De toets levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Eindtoets Technische Natuurwetenschappen voor W (3NCB) Maandag 9 januari 25, uur. De toets levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. Opgave Beantwoord de volgende vragen en geef daarbij een korte argumentatie. Per onderdeel is punt te behalen. (a) Kunnen stroomlijnen elkaar snijden? Leg je antwoord uit. (b) Bepaal het stuwpunt van de stroming met de volgende stroomfunctie: ψ(r,θ) = θ +rcosθ. (c) Een rond kogeltje met diameter d en dichtheid ρ k valt door een vloeistof met dichtheid ρ v en viscositeit η onder invloed vande zwaartekrachtsversnelling g. Gegeven is dat Re. Bereken de constante sedimentatiesnelheid v die het kogeltje bereikt. (d) Een stroperige vloeistof met dichtheid ρ en viscositeit η stroomt naar beneden langs een verticale wand onder invloed van de zwaartekracht met valversnelling g. De vloeistof vormt een film met uniforme dikte d op de wand; aan het grensvlak tussen de vloeistof en de omgeving wordt een stroomsnelheid v gevonden. d ρ, η g v Geef de relevante fysische parameters en hun dimensies. Door hoeveel onafhankelijke kentallen wordt dit probleem beschreven? Je hoeft deze kentallen niet af te leiden! (e) Een drukverschil p drijft de stroming van een viskeuze vloeistof door een rondebuis(straal R)aan. Indebuis metenwe destroomsnelheid; de maximale waarde blijkt v 0 te zijn. We vervangen de buis door een even lang exemplaar, maar nu met straal R. De overige gegevens (drukverschil, viscositeit, etc.) blijven gelijk. Wat zal nu de hoogst gemeten 2 stroomsnelheid in de buis zijn, vergeleken met v 0?

2 (f) Een pitcher in een honkbalwedstrijd wil een curveball werpen die naar rechts afbuigt. Hoe moet hij de bal laten draaien om dit effect te bereiken? Licht je antwoord toe. (g) De golfsnelheid v van golven aan het vloeistofoppervlak van een nietviskeuze vloeistof met dichtheid ρ blijkt uitsluitend af te hangen van de golflengte λ en de valversnelling g. We meten een golfsnelheid v voor golven met golflengte λ. Bepaal de golfsnelheid v 2 van golven met een tienmaal kleinere golflengte λ 2 = 0 λ. (h) Een hydraulische krik bestaat uit twee cilinders die verbonden zijn en gevuld met vloeistof. Aan de kant van de smalle cilinder (met doorsnedeoppervlaka )druktmenviaeenzuigermeteenkrachtf opdevloeistof. Met welke kracht F 2 wordt de zuiger indebrede cilinder (met doorsnedeoppervlak A 2 ) omhooggedrukt? F F 2 A A 2 (i) Twee identieke geluidsbronnen S,2 zenden geluid uit met dezelfde toonhoogte en volume, maar met een instelbaar faseverschil: S produceert Asinωt, en S 2 produceert Asin(ωt+φ). Stel dat je het geluid meet in een punt P, en dat de afstand van P tot beide bronnen even groot is, zeg R. Hoe groot moet φ dan zijn om in P zo min mogelijk geluid te meten? (j) Een dikke bromvlieg maakt f vleugelslagen per seconde, en veroorzaakt dus een bromtoon van frequentie f. Het akelige beest zoemt op een afstand D met snelheid v b rond je hoofd, in cirkelvormige banen. Hoe groot is de Dopplerverschuiving in de bromtoon die jij waarneemt (er van uitgaand dat je geduldig genoeg bent om zelf stil te blijven staan)?

3 Opgave 2 In het oerwoud hangt een baviaan aan een liaan aan een boomtak. In de boom nadert een luipaard, maar de baviaan heeft nog niets in de gaten. Om aan deze situatie te rekenen gebruiken we het model rechts in de schets, met de volgende gegevens: µ l en L 0 zijn resp. de lineaire massadichtheid en de lengte van de onbelaste liaan, die zich gedraagt als een ideaalelastiekmetveerconstante k ; M a isde massa van de aap, M l die van de luipaard. ½L 0 + L M a ½L 0 Op het moment dat deze opgave begint hangt de aap (die je als puntmassa op mag vatten) in evenwicht en in rust aan de liaan, zoals in de figuur. Je mag in de hele opgave de massa van de liaan verwaarlozen ten opzichte van de massa van de aap, en ook de rek als gevolg van het eigen gewicht van de liaan verwaarlozen. De hieronder gevraagde formules moet je zoveel mogelijk schrijven in termen van de hierboven gegeven parameters van het probleem. (3 pnt) (a) Geef een formule voor de afstand z = L 2 0+ L waarop de aap onder de tak hangt. (Hint: Denk even na over welke veerconstante je hier moet gebruiken.) (b) Geef een formule voor de transversale golfsnelheid in het stuk liaan boven de aap. (c) De luipaard stapt op t = 0 te bruusk op de boomtak, waardoor een transversale trilling over de liaan naar beneden gaat lopen. Na hoeveel tijd arriveert die trilling bij de aap? (d) En na hoeveel tijd arriveert de trilling helemaal onderaan de liaan? (Hint: Check expliciet dat je uitkomst de correcte dimensie heeft.) (e) Deaapschrikt zich deblubbers, enspringt naareenliaanineennaburige boom. De oorspronkelijke liaan gaat daardoor slingeren. Geef een uitdrukking voor de periode van die slingering. Je mag hier rek verwaarlozen, en de liaan opvatten als een dunne, rechte staaf, waarvoor I Z = 2 ML2. (f) Doordathetuiteindevandeliaaninhetwaterhangt, demptdeslingering langzaam uit door wrijving. Per slingerperiode neemt de amplitude met 0% af. Schets in één grafiek zowel de amplitude als de totale mechanische energie in de slingering als functie van de tijd, gedurende minstens 3 volledige perioden. Onderdeel (g) z.o.z.!

4 (g) Op de vrij naar beneden hangende liaan kunnen ook staande transversale golven ontstaan. Schets de vorm van de twee langst mogelijke golven, en beargumenteer kort waarom je denkt dat die er zo uit moeten zien als in je schets. Opgave 3 Het uiteinde van een vierkant kanaal (hoogte en breedte gelijk aan B) is voorzien van een Pitotbuis om de stroomsnelheid te kunnen meten. De Pitotbuis is dun en zal daardoor de stroming niet merkbaar verstoren. Een vloeistof met dichtheid ρ a en verwaarloosbare viscositeit stroomt door het kanaal. De vloeistof in de U-buis heeft een dichtheid ρ b > ρ a. p 0 v a B ρ a y x h ρ b g (a) Leid een formule af voor de snelheid v a als functie van de variabelen in bovenstaande figuur. Direct na het uittreden past de druk in de straal zich aan zodat deze constant is en gelijk aan de omgevingsdruk p 0. De straal valt op een afbuiger die de straal halveert; de bovenste helft wordt naar boven afgebogen onder een willekeurige hoek α, terwijl de onderste helft eerst versmalt tot b = 3 B en daarna precies verticaal uittreedt. In- en uittredende stralen hebben een uniforme snelheid; afmetingen zijn zoals aangegeven, de afmeting in de richting het papier in verandert niet. We willen weten welke kracht F op de afbuiger moet worden uitgeoefend om dit op zijn plaats te houden.

5 y p 0 v 2 ρ a v x B 2 B 2 B 2 α b v 3 (3 pnt) (b) Schets een geschikte contour voor het bepalen van deze kracht F met de benodigde normaalvectoren. Schrijf deze normaalvectoren en de in- en uitgaande snelheidsvectoren v, v 2 en v 3 op in componenten. Je mag v a gebruiken in deze formuleringen; het antwoord van (a) hoeft niet gesubstitueerd te worden. (c) Bepaal de gevraagde kracht F nodig om het bochtstuk op zijn plaats te houden. Zwaartekracht mag in dit onderdeel worden verwaarloosd. (d) De opwaarts gerichte uitgaande straal beschrijft een boog. Wat is de snelheidsvector v h op het hoogste punt, uitgeschreven in componenten? Bepaal ook de hoogte h van het hoogste punt ten opzichte van de afbuiger. Voor welke hoek α is deze hoogte maximaal? (e) We gebruiken nu een andere vloeistof, met dezelfde dichtheid ρ a maar een niet te verwaarlozen viscositeit η. Verliezen door wrijving worden gedomineerd door de verliezen in het kanaal, waarvoor een wrijvingsfactor K geldt, en een bijdrage door de aanwezigheid van de Pitotbuis, wrijvingsfactor K 2. Watis het extra drukverschil p datdeaanvoerende pomp moet leveren zodat de opwaartse straal van onderdeel (d) dezelfde hoogte bereikt?

6

7 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE VAKGROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerking Eindtoets TNW voor W (3NCB) Maandag 9 januari 25. Opgave (a) Stroomlijnen kunnen elkaar uitsluitend snijden in een stuwpunt. Stroomlijnen raken overal aan de lokale snelheidsvector. Een snijpunt van stroomlijnen kan alleen voorkomen op punten waar de stroomrichting niet gedefinieerd is, ofwel waar de snelheid nul is (stuwpunt). (b) In het stuwpunt geldt dat v = (v r,v θ ) = (0,0). De snelheidscomponenten v r en v θ zijn: v r = r ψ θ = r sinθ, v θ = ψ r = cosθ. Uit v θ = 0 volgt meteen dat θ = ± 2 π. Uit v r = 0 volgt dan dat r = 0 (voor θ = + 2 π), r + = 0 (voor θ = 2 π), waarbij alleen θ = + π een fysisch relevante oplossing r = geeft (denk 2 eraan dat per definitie r 0!). Dus we vinden als stuwpunt (r,θ) = (, π), overeenkomend met (x,y) = (0,). 2 (c) De krachten op de kogel zijn in evenwicht: wrijving, zwaartekracht en opwaartse kracht. F z = F b +F w π 6 d3 ρ k g = π 6 d3 ρ v g +3πηdv v = (ρ k ρ v )gd 2 8η (d) De relevante parameters zijn d [L], ρ [M/L 3 ], η [M/(L T)], v [L/T] en g [L/T 2 ]. We hebben 5 relevante parameters met in totaal 3 basisdimensies: er zijn dus 5 3 = 2 onafhankelijke kentallen die dit probleem beschrijven.

8 (e) Voor een laminaire stroming door een ronde buis geldt het Poiseuillesnelheidsprofiel, zie formuleblad. De maximale snelheid v 0 is te vinden in het midden van de buis en bedraagt v 0 = p 4ηL R2. Nu halveert de straal R terwijl de andere parameters gelijk blijven; de grootste snelheid in de buis zal dan viermaal kleiner zijn. (f) Een bal werpen met snelheid v door stilstaande lucht is equivalent met de omstroming van een bal door een luchtstroom met tegengestelde uniforme snelheid v. Zie de schets hieronder. Dit is de situatie waarvoor de formule voor de liftkracht F y = ρvγ is afgeleid. Als de luchtstroming in de +x-richting is gericht, hebben we een positieve liftkracht F y nodig, en dus een negatieve circulatie Γ: de bal moet rechtsom draaien. (g) De variabelen [λ]=l, [v]=l/t en [g]=l/t 2 geven één dimensieloze parameter (3 variabelen in 2 dimensies; dichtheid ρ doet niet mee omdat de dimensie M verder niet voorkomt), bijvoorbeeld Π = v2 gl. Voor de beschreven golven moet gelden dat = v2 2, waarmee we gλ gλ 2 met λ 2 = λ /0 meteen zien dat v2 2 = v2 /0, ofwel v 2 = v / 0. (h) We oefenen via F een druk uit op de vloeistof gelijk aan p = F /A. Volgens de Wet van Pascal werkt deze druk overal in de vloeistof, dus ook bij de tweede zuiger. Dus p 2 = p, waarmee gevonden wordt dat F 2 = p 2 A 2 = F A 2 /A. (i) Het faseverschil φ moet gelijk zijn aan π of π, of algemener (2n+)π met n Z. (j) De Dopplerverschuiving is 0, want de snelheid staat altijd loodrecht op de verbindingslijn. v 2

9 Opgave 2 (a) Massa liaan mag verwaarloosd worden. De veerconstante van de halve liaan is 2k! In evenwicht moet M a g = 2k L, dus z = ( L L) = L 2 0 +M a g/(2k ). (b) v g = F s /µ met F s = M a g en µ = µ L 2 0 l L L. (c) δt = ( L L)/v g = L 2 0( L L)µ l /(M a g). (d) Dat kost een extra tijd t. De golfsnelheid in het onderste stuk liaan wordt bepaald door het eigen gewicht daarvan, en is dus niet constant. De massa van de liaan mag hier dus niet verwaarloosd worden. Kies y = 0 bij de aap en y = L 2 0 onderaan, dan is de lokale spankracht F s (y) = ( L 2 0 y)µ l g, dus de lokale snelheid is v g = F s /µ l = ( L 2 0 y)g, en t = 2 L 0 0 dy v g = 2 L 0 0 dy ( L 2 0 y)g = 2L 0 g (e) Gebruik Steiner, met I Z = (µ 2 ll 0 )L 2 0 en d = L 2 0, dan is I = µ 3 ll 3 0, dus ω = Mgd/I = 3g/2L 0 en T = 2π/ω = 2π 2L 0 /3g. (3 pnt) (f) Grafiek zie volgende pagina. Belangrijk: amplitude neemt met 0% per periode af, dus na 3 periodenis nog 73%over (geen 70%). Energie neemt geleidelijk af (dus geen oscillaties!) met 9% per periode, vooral als de snelheid groot is, dus de amplitude klein; uiteindelijk nog 53% over. Grafiek begint niet op t = 0, maar iets later, en de slingering begint met amplitude nul. (g) Schetsen zie volgende pagina. Randvoorwaarden: een vast uiteinde (bovenaan, knoop) en een vrij uiteinde (onderaan, buik). Bij de langst mogelijke golven past λ of 3 λ op L

10 00% 50% 0 Genormaliseerde totale energie Opgave 3 (a) Pas Bernoulli toe tussen de twee uiteinden van de dunne buis: p +ρ a gy + 2 ρ av 2 = p 2 +ρ a gy ρ av 2 2, waarbij we zien dat y = y 2, v = v a, v 2 = 0 (stuwpunt vlak vóór de mond van de Pitotbuis) en p 2 p = gh(ρ b ρ a ) (aflezen in de U-buis). Er blijft over: ρ 2 ava 2 = gh(ρ b ρ a ), en dus volgt dat v a = 2gh ρ b ρ a. ρ a (b) Een geschikte contour C is hieronder geschetst. Voor vector v 3 geldt dat de grootte v 3 verkregen wordt met behoud van massa: v A = v 3 A 3 v a 2 B2 = v 3 bb = v 3 3 B2, ofwel v 3 = v 3 = 3 2 v a. De vectoren zijn: v = (v a,0), n = (,0),

11 v 2 = (v a cosα,v a sinα), n 2 = (cosα,sinα), v 3 = (0, 3 2 v a), n 3 = (0, ). y C v 2 x n 2 v n n 3 v 3 (3 pnt) (c) Pas impulsbehoud toe op contour C: I = p nda+ F. De druk op contour C is overal gelijk aan p 0, dus de drukterm levert geen netto bijdrage voor de krachtenbalans. Er is slechts één kracht F, dit is de gevraagde kracht. De impulsfluxen zijn: v = v n = v a, I = ρ a v A v = ( B 2 ρ a v 2 a,0). v 2 = v 2 n 2 = v a (cos 2 α+sin 2 α) = v a, I 2 = ρ a v 2 A 2 v 2 = 2 B2 ρ a v 2 a (cosα,sinα). v 3 = v 3 n 3 = 3 2 v a, I3 = ρ a v 3 A 3 v 3 = (0, 3 4 B2 ρ a v 2 a ). Er blijft over: F = I + I 2 + I 3 = B 2 ρ a v 2 a ( 2 cosα, 2 sinα 3 4 ). (d) Bovenaan is de y-component van de snelheid tot nul gereduceerd terwijl dex-component nietverandert, dus v h = (v a cosα,0). Weziendat v h = v a cosα en weten dat voor de uittredende straal van de ombuiger geldt

12 dat v 2 = v a. Pas Bernoulli toe tussen punt A aan de ombuiger en punt B, het hoogste punt dat de straal bereikt: p A +ρ a gy A + 2 ρ av 2 A = p B +ρ a gy B + 2 ρ av 2 B, met p A = p B = p 0 en y B y A = h. Er blijft over: ofwel ρ a gh = 2 ρ a(v 2 a (v a cosα) 2 ), h = v2 a 2g ( cos2 α). Hiermee valt meteen te zien dat de maximale hoogte wordt bereikt voor α = 90. (e) Het drukverlies t.g.v. viscositeit volgt uit de gemodificeerde vergelijking van Bernoulli: omdat beide wrijvingsfactoren betrekking hebben op dezelfde snelheid v = v a vinden we p = (K +K 2 ) ρ 2 ava 2.