Vier-staps verkeersmodellering

Transcriptie

1 Vier-staps verkeersmodellering Dictaat Caleidoscoop 2 Henri van den Pol Studentnummer: Universiteit Utrecht Faranaaz Rogier Studentnummer: Universiteit Utrecht 7 mei 2013 Samenvatting In dit dictaat bekijken we de wiskunde achter verkeersmodellering. We beschouwen hierbij het 4-staps model. We onderscheidden de volgende stappen: 1. Productie en attractie, 2. Distributie, 3. Modal split, 4. Toedeling 1

2 Inhoudsopgave 1 Productie en attractie 4 2 Distributie O-D Matrix Groeifactor Voorbeeld Gravitatie model Voorbeeld Modale split 7 4 Routetoewijzing/toedeling Voorbeeld Toedelingsmodellen voor auto s en fietsen Alles-of-niets toedeling Voor- en nadelen alles of niets toedeling Stochastische toedeling Kortste route algoritme Het Dijkstra algoritme Capaciteitsafhankelijke toedeling Method of Incremental Assignment Method of Successive Averages Opgave Opgave

3 Inleiding Met de komst van het openbaar vervoer en de auto, werd het steeds belangrijker om deze verplaatsende mensenmassa te organiseren. Het is belangrijk om dit fenomeen aan de te pakken, anders worden files met de dag langer! We willen onze reistijd natuurlijk zoveel mogelijk verkorten en idealiseren. Om dit te realiseren moeten we eerst onderzoeken hoe men zich verplaatst. Dit zijn belangrijke factoren om in je achterhoofd te houden als je het transport wil analyseren. Een veelgebruikt transport model is het vierstappen model. Dit bestaat uit: 1. Productie en attractie 2. Distributie 3. Modal split 4. Route toewijzing Het eerste onderdeel, Productie en attractie, bepaalt hoeveel mensen zich van of naar een bepaald punt verplaatsen. Dit wordt bepaald aan de hand van gegevens die verkregen zijn van bijvoorbeeld het Onderzoeks Verplaatsing Gedrag (het OVG). In het onderdeel Distributie wordt bepaald hoeveel mensen zich van plek A naar B verplaatsen. Dit is afhankelijk van de reistijd, reiskosten en de afstand. De routes worden berekend met Dijkstra s kortste route algoritme. De distributie wordt bepaald met de zwaartekrachtformule. In het onderdeel Modal split wordt bepaald hoeveel mensen zich met de bus, de auto of andere vervoersmiddelen verplaatsen tussen twee punten. Hierbij wordt een nutsfunctie gebruikt, er wordt bepaald hoeveel nut een bepaald transportmiddel heeft, in vergelijking met andere transportmiddelen. Tot slot wordt bepaalde welke route ieder persoon neemt met zijn verplaatsing. Hierbij wordt rekening gehouden met de capaciteit van een route. Dit model wordt gebruikt om de intensiteit van routes te bepalen. Aan de hand van dit model kan bijvoorbeeld bepaald worden wat er gebeurt met de gebruiksintensiteit van een weg, als er een nieuwe weg wordt aangelegd. Je kan je misschien voorstellen dat dit model ook informatief is voor milieumodellen. Aan de hand van voorspellingen van dit model kan berekend worden wat de milieu- en geluidsoverlast van een bepaalde weg is. 3

4 1 Productie en attractie Een bepaald gebied heeft een aantal ritten dat het gebied uitgaan en het gebied binnen komen, de zogenoemde productie en attractie van een gebied. In de eerste stap van verkeersmodellering, wordt bepaald hoeveel dit aantal is. Centraal in deze stap staat dus de vraag: Hoeveel ritten worden er in dit gebied gemaakt? We willen uiteindelijk een lijst met getallen produceren die dit weergeeft. Vaak wordt dit weergegeven doormiddel van een matrix, met waarden voor de verschillende zones in een gebied. Een veelgebruikte manier om dit probleem aan te pakken, is om proberen te voorspellen wat de kans is, dat een persoon n ritten maakt in bijvoorbeeld een week, gebaseerd op sociaal en economische data. Uit de praktijk blijkt dat het voor de volgende stap in verkeersmodellering, handig is om de ritten in soort te onderscheiden. De gebruikelijke 5 categorien zijn: ritten naar werk ritten naar school of college ritten voor shoppen ritten voor sociale en recreatie doeleinden overige ritten Verder is het belangrijk om de tijden te onderscheiden. Is het bijvoorbeeld rond de spits? Hebben de kinderen schoolvakantie? Rond 1960 werd de categorie analyse een veelgebruikte methode om de productie en attractie van een gebied te bepalen. Hierbij wordt het aantal ritten gebaseerd op de samenstelling van een huishouden. Voordat je dit doet is het natuurlijk nodig eerst vast te stellen welke huishoudelijke samenstellingen er zijn, en deze in klasse op te delen. Het idee hiervan is dat je bijvoorbeeld verwacht dat een gezin met kinderen meer ritten naar school zal maken, dan een huishouden zonder kinderen. Een huishouden met alleen gepensioneerde inwoners zal niet zo mobiel meer zijn en bijvoorbeeld meer ritten dichtbij huis maken dat een huishouden met alleen studenten. Er wordt aangenomen dat de samenstelling van huishouden over de tijd een stabiele factor is. Je kan dus aannemen dat modellen die gebaseerd zijn op deze methode stabiel zijn over een aantal jaren. Het is dus wel duidelijk dat het bepalen van factoren een belangrijk punt is in dit onderdeel van verkeersmodellering. De kunst is om zoveel mogelijk factoren in je model mee te nemen en je data zodanig op te delen in categorin, dat de standaard afwijking van het model minimaal is. Dit is belangrijk, omdat het bepalen van de productie en attractie van een zone, de eerste stap van modelleren is. Elke fout die in deze stap wordt gemaakt, wordt meegenomen in de volgende stappen. Hierdoor zal de fout in het eindmodel alleen maar groter worden en zal het model meer afwijken van de werkelijke situatie. 2 Distributie In het eerste hoofdstuk hebben we beschreven hoe bepaald wordt hoeveel mensen van een gebied een trip maken. De tweede stap bestaat uit het bepalen van de waarde die bij een bepaalde route horen. Je wil nu dus bepalen hoeveel mensen van zone A naar zone B reizen, hoeveel van A naar C enz. en hoeveel er terugreizen. Er zijn een aantal modellen om dit te doen. Twee veelgebruikte methodes zijn het groeifactor model en gravitatiemodel. 2.1 O-D Matrix Voor een betreffend gebied wordt er een matrix gemaakt die weergeeft waar de mensen naartoe gaan en hoeveel mensen dit zijn. Hier staat O voor origin, dit geeft dus weer hoeveel mensen er van een gebied vertrekken, in het nederlands wordt hiervoor Productie gebruikt. De D staat voor destination. Dit geeft dus weer hoeveel mensen er in een gebied aankomen. In het Nederlands wordt dit aangegeven met het woord Attractie De tabel wordt weergegeven in een twee dimensionale matrix, waarbij elke rij i het vertrekpunt van de reis weergeeft en j het aankomstpunt. Hierbij is T ij het aantal mensen die de reis neemt tussen vertrekpunt i en aankomstpunt j. Zo een matrix wordt in de tabel hieronder weergegeven. 4

5 Zone j... n O i 1 T 11 T T 1j... T 1n O 1 2 T 21 T T 2j... T 2n O T i1 T i2... T ij... T 12 O i n n T ni T n2... T nj... T nn O n D j D 1 D 2... D j... D n T O i is het totaal aantal ritten die beginnen in zone i en D j is het totaal aantal ritten die eindigen in zone j. Hierbij geldt dat D j = T ij, O i = T ij en T = T ij i j ij Neem bijvoorbeeld 100 reizigers die zich in en tussen Amsterdam en Utrecht verplaatsen. Stel dat het aantal reizigers in Amsterdam 10 is, het aantal reizigers in Utrecht 20. Het aantal reizigers van deze groep die van Amsterdam naar Utrecht reizen is 50 en het aantal die van Utrecht naar Amsterdam reizen is 20 Dan kunnen we de volgende tabel maken: Zone 1 2 O i D j In de tabel wordt Amsterdam aangegeven door zone 1 en Utrecht door zone Groeifactor We weten echter dat het aantal inwoners van Amsterdam niet constant blijft over enkele jaren. De bevolking groeit, en dus groeit het aantal reizigers in een gebied ook. We moeten met het bepalen van het aantal reizigers in ons gebied ook rekening houden met de groei van ons gevonden waarden. Anders zijn de gevonden waarden, tegen de tijd dat we het model af hebben al niet meer relevant. Als we een goede groeifactor hebben gevonden, kunnen we ook voorspellen hoe het reisgedrag van een gebied er over meerdere jaren uit zal zien. De groeifactor kunnen we do complex maken als nodig is. We kunnen het bijvoorbeeld alleen laten afhangen van de groei van de bevolking en aannemen dat de groei voor elk gebied gelijk is. De groeifactor is dan een constante waarde. Dit wordt de uniforme groeifactor genoemd. We kunnen de uniforme groeifactor als volgt weergeven: T ij = f t ij Hier is f de uniform groeifactor, t ij het voorgaande aantal ritten,en T ij vergrootte aantal ritten. Dit soort groeifactors zijn simpel en goed te begrijp. Dit soort groeifactoren worden vaak gebruikt voor korte termijn projecten. Denk bijvoorbeeld aan een toename in reizigers naar Utrecht door een evenement of een toename in auto- en busreizigers als de treinen niet rijden door een storing. Het is namelijk makkelijk en snel op te lossen. Je hebt weinig data uit het verleden nodig om de groeifactor te bepalen. Een nadeel van dit model is wel dat je er alleen het aantal reizigers van alle zones tegelijk mee vergroten. Je kan je voorstellen dat de groeifactor voor het uitgaande aantal ritten kan verschillen met het het aantal binnenkomende ritten. In dit geval hebben we verschillende groeifactoren voor de kolommen en rijen nodig. We kunnen de groeifactoren nu weergeven als: T ij = t ij a i b j We krijgen nu dus een set van factoren voor elke rij en kolom. We verkrijgen deze factoren op de volgende manier, als het aantal ritten per zone bekend is: 1. Neem b j = 1 2. Vindt de juiste waarde voor a i met deze b j 3. Vindt vervolgens de juiste waarde voor b j, met je gevonden a i 4. Controleer de waarde van je matrix op de afwijkingen 5. Herhaal stap 2 en 3 totdat je afwijking convergeert (1) (2) Je afwijking is E = O i o i + D j d j. Hier is O i en D jde gewilde waarde in zone i, o i en d j de berekende waarde na een iteratie, waarbij je jou gevonden a i en b j gebruikt Voorbeeld We hebben de volgende matrix gevonden voor een gebied met 3 zones: 5

6 Zone o i d j Het aantal ritten is echter gegroeid zodat we voor het uitgaande aantal ritten voor de zones 1, 2 en 3 respectievelijk 98, 106, 122 krijgen en voor het binnenkomende aantal ritten respectievelijk 102, 118, 106. We willen nu de factoren a i en b j vinden waarvoor dit geldt. Voor de eerste stap neen we aan dat b j = 1, en proberen dat een geschikte a i te vinden. Neem a i = O i/o i, en vind dan T ij = a i t ij. We krijgen dus: a 1 = 98/78 = 1.26, a 2 = 106/92 = 1.15, a 3 = 122/82 = Met deze waarden vinden we: T 11 = t 11 a 1 = = 25.2, T 12 = t 12 a 1 = 41.4, enz. We krijgen dan de volgende matrix: Zone O i d j D j In de volgende stap vinden we b j = D j/d j en T ij = t ij b j. We krijgen dus b 1 = 102/99.38 = 1.03, b 2 = 118/ = 0.94, enz. Verder krijgen we T 11 = t 11 b i = = enz. De matrix is hieronder verder aangevuld. Hier is o 1 = Zone o i O i d j D j De afwijking voor deze matrix is E = = 1.32 We herhalen dit proces totdat we een stabiele a i en b j hebben gevonden. We hebben dan de twee groeifactoren gevonden voor een bepaald gebied. 2.3 Gravitatie model Een ander veelgebruikt model om een verandering te analyseren, is de gravitatie model. Dit model is gebaseerd op de gravitatiewet van Newton : F = GM 1M 2/d. In dit model wordt gebruikt, T ij = CO id j/c ij. Hier is C een nog te bepalen constante,. c ij waarden in de zone ij die gebaseerd is op sociaal economische factoren, O i weer het aantal uitgaande ritten in zone i en D j het aantal inkomende ritten in de zone j. Als we weer gebruik maken van de balans factoren krijgen we T ij = A io ib jd jf(c ij). A i en B j zijn de balans factoren, zoals we ook in de eerste paragraaf hadden laten zien. f(c ij) een functie die aangeeft hoeveel het voor een reiziger kost om de reis te maken. f(c ij) kan verschillende functies zijn. Het kan bijvoorbeeld een exponentiële functie zijn (f(c ij) = e c ij ), een machtsfunctie f(c ij) = 1/c n ij of een combinatie hiervan. Hier is c ij een matrix met parameters die empirisch zijn bepaald voor de betreffende functie. We willen met het model de balans factoren dus bepalen. Hiervoor weten we dat: T ij = A io ib jd jf(c ij) en T ij = D j. Hieruit kunnen we halen dat: D j = B jd j A io if(c ij). i i i i We kunnen hiermee een formule maken voor de balansfactor B j. Deze wordt dan: B j = 1/ i A io if(c ij) (3) Op dezelfde manier kunnen we ook een formule voor A i maken. Deze wordt dan: A i = 1/ j B jd jf(c ij) (4) Aangezien A i en B j van elkaar afhankelijk zijn, kunnen we deze weer bepalen op een iteratieve methode, zoals in de vorige paragraaf beschreven was met het bepalen van de groeifactoren. De procedure is als volgt: 1. Neem B j = 1 en gebruik formule 4 om A i te bepalen. 6

7 2. Bepaal B j met formule 3 en de gevonden A i. 3. Bepaal weer A j met de B j die je in de vorige stap hebt gevonden. 4. Herhaal dit proces totdat de waarde niet of nauwelijks veranderen Voorbeeld We nemen voor het volgende voorbeeld zelf gekozen waarden. Stel dat het aantal ritten in de zones 1, 2 en 3 respectievelijk 98, 106 en 122 is. Het aantal ritten die van uit zones 1,2 en 3 vertrekken zijn respectievelijk 102, 118 en 106. We nemen aan dat de functie f(c ij) gedefinieerd is als f(c ij) = 1/c 2 ij. We gebruik de volgende zelf gekozen matrix voor c ij: c ij = De eerste stap is om B j = 1 te nemen. Vervolgens A i te vinden. We doen dit met de onderstaande tabel. i j B j D j f(c ij) B jd jf(cij) BjD jf(cij) A i = 1/ B jd jf(cij) We gebruiken nu de gevonden A i om de volgende balans factor B j te vinden met de geven formules. In de volgende tabel is het uitgewerkt voor dit voorbeeld: i j A i O i f(c ij) A io if(cij) AiO if(cij) B i = 1/ A io if(cij) We kunnen dan het aantal ritten bepalen met de functie T ij = A io ib jd jf(c ij). We krijgen voor de waarde voor A i en B j die we bepaalt hebben, de volgende waarden voor T ij: zone 1 zone 2 zone 3 o i O i zone zone zone d j D j De afwijking krijgen we weer door het verschil in d j en D j en het verschil in o i en O i bij elkaar op te tellen. We krijgen voor de laatste tabel dan een afwijking van E = 2.03 Als we het proces herhalen, dus met de gevonden waarden voor B j, nieuwe waarden voor A i te vinden enz. krijgen we een beter benadering voor de balansfactoren. De waarden voor de balansfactoren convergeren, hierdoor zal de afwijking dus ook convergeren. 3 Modale split Nu we hebben bepaald hoeveel mensen er van het ene gebied naar de andere toe reizen, wordt het belangrijk om te bepalen welke vervoersmiddelen men hiervoor gebruikt. Tegenwoordig kan je namelijk meerdere voertuigen gebruiken. Denk bij korte afstanden aan fiets, tram, bus of te voet. Bij grotere afstanden wordt dit al snel de auto en trein. De keuze in vervoersmiddel wordt dus bepaald door de afstand die je moet afleggen, maar dus ook bijvoorbeeld door de kosten en de reistijd met een bepaald voertuig. Je zal bijvoorbeeld eerder de trein nemen in de spits, om van Utrecht naar Amsterdam te reizen, dan de auto, omdat je anders het risico loopt om in de file te komen staan. De auto is in veel gevallen 7

8 echter nog steeds een goedkopere optie om mee te reizen dan openbaar vervoer. Ook hier heb je te maken met veel factoren die je in je model wil weergeven. Een goed model houdt dus rekening met zo veel mogelijk van deze factoren. Ook hier zijn er meerdere manieren om je data te verzamelen Je kunt bijvoorbeeld je model baseren op zonale informatie. Hier wordt gekeken hoe de verdeling van vervoermiddelen afhangt van de zone. Een andere toenadering is, het model baseren op de samenstelling van het huishouden. Als je je data hebt verzameld, wordt het belangrijk om een distributie te maken. Je kunt hiervoor ook een gravitatiemethode gebruiken, zoals in het vorige hoofdstuk is beschreven. 4 Routetoewijzing/toedeling Tot nu toe hebben we bepaald hoeveel ritten en met welke voertuigen deze worden gemaakt tussen de verschillende herkomsten en bestemmingen. Nu zijn we aangekomen bij de 4e en laatste stap van het model en wordt het tijd om te bepalen hoeveel voertuigen en reizigers er van elke route gebruik gaan maken. Of te wel over welke routes/netwerken sturen we de mensen en voertuigen? Dit gaan we proberen op te lossen met het toedelingsmodel (ook wel routetoewijzing model genoemd). We gaan bepalen hoe het gebruik is van alle netwerken, denk hierbij aan hoeveel voertuigen er over een weg gaan, of hoeveel passagiers er van een bepaalde verbinding met het openbaar vervoer gebruik maken. Een toedelingsmodel bestaat in principe uit twee hoofdonderdelen. Enerzijds een routezoek-algoritme waarmee één of meer routes tussen elke herkomst en bestemming bepaald worden. Anderzijds het toedelingsalgoritme waarmee de reizigers op basis van de routes aan netwerken toegewezen worden. Binnen een toedelingsmodel kunnen beide algoritmes op verschillende manieren één of meerdere keren gebruikt worden om het gewenste resultaat te krijgen. Er zijn veel verschillende soorten toedelingsmodellen. Het toedelingsmodel bestaat meestal uit twee onderdelen 1. Het routezoek-algoritme. Ofwel het bepalen van de routes tussen de herkomst en de bestemming 2. Het toedelingsalgoritme. Ofwel de reizigers aan de verschillende routes toewijzen Binnen een toedelingsmodel worden beide algoritmes één of meerdere keren gebruikt om een goed resultaat te krijgen. Wat is een goed resultaat? We zullen het een goed resultaat vinden als er sprake is van een gebruikersevenwicht. Met gebruikersevenwicht bedoelen we het gebruikersevenwicht zoals door Wardrop in 1952 geformuleerd, dat luidt als volgt: In een transportnetwerk is er sprake van gebruikersevenwicht als het verkeer zich zo over het netwerk heeft verdeeld, zodat geen enkele individuele reiziger zijn reistijd kan verminderen door een andere route te kiezen. Dus in de evenwichtssituatie hebben de gebruikte routes tussen een gegeven herkomst en bestemming ongeveer dezelfde reistijd en hebben niet gebruikte routes een hogere reistijd. Er zijn verschillende toedelingsmodellen. Waarbij er verschillende modellen voor auto s, fietsen en het openbaar vervooer zijn.[1] 4.1 Voorbeeld Laten we kijken naar een voorbeeld. Stel dat er per uur 4000 auto s van A naar B willen. Er zijn twee routes: route s door een stad heen heeft een reistijd van 10 minuten, route r over de ringweg met een reistijd van 15 minuten. Omdat het stadcentrum sneller vol is komt er per auto daar 0.02 minuten reistijd bij. Bij de ringweg komt er per auto minuten reistijd bij. Als we de reistijden noteren met t s en t r, en de stromingen met V s en V r. Dan geeft dat het volgende stelsel van vergelijkingen: t r = V r t s = V s 4000 = V r + V s De oplossing voldoet aan het gebruikersevenwicht van Wardrop als t s = t r. Dit probleem kunnen we simpel handmatig oplossen en dat levert op: V s = 1000 en V r = Dus als 1000 mensen via de stad gaan en 3000 via de ringweg dan kan niemand zijn reistijd verkorten door de andere route te kiezen. Dit was een simpel voorbeeld. In het algemeen zullen problemen 8

9 niet algebraïsch oplosbaar zijn. We zullen de oplossing in de meeste gevallen moeten benaderen met een benaderingsalgoritme. Dit algoritme moet voldoen aan een aantal eisen. Allereerst willen we dat het convergeert naar de goede oplossing. Verder willen we dat de oplossing stabiel is. Dat wil zeggen dat de oplossing niet veel verandert als de beginvoorwaarden een klein beetje veranderen. Dit is belangrijk, omdat we als beginvoorwaarden onder andere de O-D matrix hebben, maar die is ook maar een benadering van de werkelijkheid, dus de beginvoorwaarden zullen een beetje afwijken van de gemodelleerde. Als laatste willen we dat het algoritme efficiënt is. In de praktijk zijn de transportnetwerken groot en wordt alles met computers berekend. Daarom is het belangrijk dat een algoritme niet te veel rekentijd in beslag neemt. 4.2 Toedelingsmodellen voor auto s en fietsen We kunnen de toedelingsmodellen indelen naar drie criteria die we stellen naar aanleiding van de volgende vragen: 1. Wordt er rekening gehouden met verschillen in tijd? (Denk bijvoorbeeld aan spitstijd) 2. Wordt er rekening gehouden met de (beperkte) capaciteit van het netwerk? 3. Wordt er rekening gehouden met verschillen tussen reizigers? Naar aanleiding van de eerste vraag maken we onderscheid tussen twee soorten modellen: statische en dynamische toedelingsmodellen. Bij statische toedelingsmodellen nemen we aan dat het aantal voertuigen dat het netwerk gebruikt constant is in de tijd. Bij dynamische toedelingsmodellen veronderstellen we niet dat het aantal voertuigen dat het netwerk gebruikt constant in de tijd is. Hierdoor zijn dynamische modellen ingewikkelder, want deze houden er rekening mee dat het bijvoorbeeld s nachts rustiger is en in de spits een stuk drukker. Dynamische modellen kunnen ook rekening houden met eigenschappen die veranderen in de tijd zoals het openen van spitsstroken of de werking van verkeerssignalering. Wij zullen het hier eenvoudig houden en alleen statische modellen beschouwen. We kunnen statische toedelingmodellen als volgt indelen: Geen individuele verschillen Individuele verschillen Geen capaciteitseffecten Alles of niets toedeling Stochastische toedeling Capaciteitseffecten Capaciteitsafhankelijke toedeling Stochastische evenwichts toedeling De bovenstaande indeling van toedelingsmodellen geldt voornamelijk voor het autoverkeer. Voor het toedelen van fietsverkeer speelt over het algemeen enkel de afweging om wel of niet rekening te houden met de individuele verschillende tussen reizigers. In de meeste modelsystemen wordt het fietsverkeer gewoon alles-of-niets toegedeeld. In de volgende paragrafen worden deze statische toedelingsmodellen toegelicht.[1] 4.3 Alles-of-niets toedeling We beschouwen eerst het eenvoudigste toedelingsmodel: een statisch model wat geen rekening houd met de beperkte capaciteit van het netwerk. Dit heet de alles of niets toedeling. Hoe werkt het? We bepalen tussen elke herkomst en bestemming alleen de kortste route. En we sturen/toedelen vervolgens iedereen over deze kortste route.[1] Voor- en nadelen alles of niets toedeling De alles of niets toedeling is vaak niet realistisch, omdat niet iedereen dezelfde herkomst en bestemming heeft, maar ook omdat vaak wanneer iedereen dezelfde route neemt dit een zo drukke weg geeft, dat de reissnelheid afneemt of dat een weg maar een beperkte wegcapaciteit heeft. De methode wordt vooral gebruikt voor het schatten van etmaalstromen in congestievrije (ophopingsvrije) gebieden en voor het toedelen van fietsverkeer. Vanwege de snelle rekentijd in verhouding met andere toedelingsmethoden wordt de methode vaak gebruikt voor de controle van het netwerk en de routes. Omdat een alles-of-niets toedeling geen rekening houdt met een beperkte capaciteit kunnen de resultaten ook gebruikt worden om te kijken hoeveel reizigers er oorspronkelijk van een route gebruik hadden willen maken.[1] 9

10 4.4 Stochastische toedeling Er is meestal een groot aantal routes om van een bepaalde herkomst naar een bepaalde bestemming te gaan. Elke route heeft een weerstand (reistijd, kosten) die te meten is. Bij de alles of niets toedeling veronderstelden we dat iedereen dezelfde kortste route neemt. Echter door verschillen in waarneming, kennis, behoeftes en andere factoren, wordt er door reizigers toch niet allemaal voor de kortste route genomen. (Bijvoorbeeld, omdat je weet dat een bepaalde weg altijd erg druk is en er een binnendoorweg is.) Dit zorgt voor een spreiding in de routes die mensen kiezen. Om hiermee rekening te houden is het stochastische model ontwikkeld. Er zijn een aantal methodes om de stochastische verdeling te bepalen. 1. Door simulatie 2. Door een kansverdeling Om met simulatie de stochastische verdeling te bepalen worden over het algemeen Monte Carlo simulaties gebruikt. Aan de gegeneraliseerde reistijd of kosten van elk wegdeel wordt een stochastische stoorterm toegevoegd, waardoor de uiteindelijk waarde iets hoger of lager uit kan vallen. Hierdoor ontstaan andere kortste routes. Door een groot aantal alles-of-niets toedelingen zo uit te voeren en de resultaten te middelen, ontstaat spreiding van de ritten over het netwerk.[1] De methoden in de tweede groep gebruiken een theoretisch kansmodel, zoals bijvoorbeeld een logit model, om de reizigers over de alternatieve routes te verdelen. Dat is minder makkelijk dan het lijkt. De moeilijkheid wordt veroorzaakt doordat er enerzijds routes zijn die veel van elkaar verschillen en anderzijds routes zijn die slechts één of enkele wegvakken van elkaar verschillen. Hoe bepaal je dan de juiste verdeling van de ritten over de routes? Stel dat er tussen een herkomst en bestemming drie alternatieve routes zijn. De eerste route loopt via de noordelijke rondweg, terwijl de tweede route via de zuidelijke rondweg loopt. De derde route loopt ook via de zuidelijke rondweg, met als enige verschil ten opzichte van de tweede route, dat de rondweg n afslag eerder verlaten wordt en er een klein deel van de route via het onderliggend wegennet loopt. Een standaard methode, zoals die van Dial (1971), zou de ritten evenredig over de drie routes verdelen (elk een derde deel). In werkelijkheid zal de verdeling eerder 50%, 40%, 10% zijn. We zullen verder niet ingaan op de stochastische toedeling.[1] 4.5 Kortste route algoritme Een onderdeel dat alle toedelingsmodellen hebben is het kortste-route-algoritme. We beschouwen een netwerk bestaand uit knopen met lijnen daartussen. Elke lijn geven we een bepaalde waarde of weerstand. Dit doen we bijvoorbeeld naar aanleiding van de afstand, reistijd of de reiskosten die het kost om over die route te gaan. Als we de afstand nemen en het korste route algoritme toepassen dan bepalen we inderdaad echt de korste route. Maar ook voor de kortste reistijd en minste reiskosten passen we het toe, al is de naam dan niet helemaal toepasselijk.[1] Het Dijkstra algoritme Maar hoe doen we dat nu de kortste/goedkoopste/snelste route bepalen? Er bestaan veel verschillende soorten kortste route algoritmes. Elk van deze algoritmes heeft zo zijn vooren nadelen. Zo is het ene algoritme sneller in een netwerk met weinig routes en een andere sneller in een netwerk met veel routes. Het bekendste en ook het verreweg meest toegepaste algoritme is dat van Dijkstra. Dat zullen we hier behandelen.[1] Om het algoritme toe te passen maken we eerst een boom met de korste routes tussen verschillende O-D paren. Nu bestaat de tweede stap uit het toekennen van de waarden uit de O-D matrix aan de verschillende wegen van het netwerk. Hierbij kijk je in de matrix naar het aantal reizigers dat van A naar B wil, en deze laat je reizen over de korste route die je in je boom hebt bepaald. Dit doe je voor alle O-D paren en zo krijg je een totaalbeeld van de stroming per wegstuk. Het algoritme om een boom te maken die de kortste route van stad A naar B geeft luidt als volgt: 1. Begin bij A en stel de afstand van A tot A gelijk aan 0. Stel de afstand van A tot alle andere knopen gelijk aan oneindig 2. Kijk nu naar alle lijnstukken die A direct met andere knopen X verbindt en stel de afstand van A tot X gelijk aan d X = d A,X. Vermeld in je boom nu de afstand van A naar X. 10

11 3. Kies nu een aan A grenzende knoop Y uit. Kijk weer naar alle lijnstukken van Y naar andere knopen Z. Als nu d Y + d Y,Z < d Z stel dan d Z = d Y + d Y,Z. Stop nu het lijnstuk van Y naar Z in je boom en verwijder de andere lijnstukken naar Z. 4. Kies nu een knoop uit die nog niet onderzocht is en herhaal nu de vorige stap. Als je alle knopen bent langsgeweest is de complete boom geconstrueerd en ben je klaar. Het is misschien nog niet meteen duidelijk wat het algoritme doet, daarom zullen we dit aan de hand van een voorbeeld laten zien. We beschouwen het volgende netwerk 1, waarbij A = (0, 2) In figuur 2 voeren we stap 2 uit, Figuur 1: Het netwerk dat geeft het volgende: In figuur 3 voeren we stap 3 uit. We zien dat het sneller is om vanuit Figuur 2: Stap 2 van het algoritme A via (1,2) naar (1,1) dan rechtstreeks vanuit A. Want via (1,2) is het 12 en rechtstreeks 15. Daarom verwijderen we het directe lijnstuk van A naar (1,1), dat is in de figuur aangegeven met het stippellijntje. In figuur 4 gaan we nu verder met stap 4 en passen het algoritme Figuur 3: Stap 3 verder toe. Zo zien we nu dat de snelste route naar (1,0) is via (0,1). En zo gaan we net zo lang door totdat we de boom voor de hele route hebben gemaakt, zie figuur 5. Zo zien we nu dat de korste route van A naar L 28 is en dat de korste route van A naar M is 26. We hebben de procedure opgeschreven als een algoritme omdat hij vaak met computers moet worden toegepast. Voor kleine netwerken zoals ons voorbeeld is dit niet nodig, maar als netwerken groter worden kan je niet zonder. In de praktijk gaat alles met computers. Voor een computer is het noodzakelijk om het bouwen van een boom algoritmisch op te schrijven.[2],[3],[4] 11

12 Figuur 4: Stap 4 Figuur 5: De laatste stappen. 4.6 Capaciteitsafhankelijke toedeling Nu gaan we modellen beschouwen die ook met de capaciteit van een weg/netwerk rekening houden. Omdat de reistijd op (te) drukke wegen toeneemt door bijv. files, zal een deel van de reizigers een andere route kiezen. Modellen die hier rekening mee houden noemen we capaciteitsmodellen. De reistijd is voor een groot deel afhankelijk van de hoeveelheid verkeer die gedurende een bepaalde periode van het wegvak gebruik maakt in verhouding tot de capaciteit. Om hier uitspraken over te doen, definiëren we de intensiteit I als het aantal voertuigen per uur dat over een route rijdt en de capaciteit C als de maximale hoeveelheid voertuigen die in een uur over een bepaalde route kunnen. Nu definiëren we de intensiteit/capaciteit ratio of ook wel I/C ratio die de verhouding tussen de intensiteit en de capaciteit weergeeft. Meestal onstaat bij een I/C ratio van 0.8 of hoger een file. Voor capaciteitsafhankelijk toedelen van de verkeersstromen zijn veel modellen beschikbaar. Alle modellen bevatten een component waarmee de reistijd op basis van de I/C waarden bepaald wordt en een iteratief proces waarmee het verkeer over de alternatieve routes verdeeld wordt. Zo ga je langzaam naar een evenwicht toe. Als een aantal reizigers vanwege file/vertraging besluit een alternatieve route te nemen, kan de reistijd op de nieuwe route hierdoor stijgen en daalt op de andere route juist de reistijd. Waardoor sommigen misschien toch weer voor de eerste route kiezen, hierdoor gaat het langzaam maar zeker naar een evenwicht. De verschillende capaciteitsafhankelijke toedelingsmethoden verschillen in snelheid en nauwkeurigheid waarmee ze het gebruikersevenwicht bepalen. Methoden die het gebruikersevenwicht exact bepalen zijn doorgaans rekenintensiever en lastiger te analyseren. In de praktijk worden vaak minder rekenintensieve methoden toegepast, zoals de method of incremental assigment (MIA), the method of successive averages (MSA), de volumeaveragingmethode en de capacity restraint methode. We beschouwen hier MIA en MSA Method of Incremental Assignment De method of incremental assigment kan je in het Nederlands vertalen als de methode van stijgende toewijzing. De methode werkt als volgt: we gaan telkens een gedeelte van het totale vervoer (de totale stroming) alles-of-niets toewijzen aan het netwerk. Dit kun je bijvoorbeeld zien als de aanloop naar de spits, het wordt steeds drukker. Eerst kiezen alle mensen dezelfde snelste route, maar op een gegeven moment gaan mensen andere routes kiezen, omdat de reistijd op dat netwerk toeneemt. Hier het algoritme: 12

13 1. Kies getallen 1 tot en met n, met p i > 0 zodat n i=1 pi = 1 2. Vermenigvuldig je O-D matrix V nu met p 1, zodat je matrix V 1 krijgt. 3. Wijs nu V 1 met de alles of niets methode toe aan het netwerk. 4. Gebruik nu de stromingen die je in de vorige stap hebt gekregen om de nieuwe reistijden/reiskosten per route uit te rekenen. 5. Herhaal dit proces nu vanaf stap 2 met de nieuwe reistijden/reiskosten door de 1 door een i te vervangen met 1 < i n We zullen dit nu met een voorbeeld toelichten. Beschouw de situatie uit het voorbeeld. We hebben een O-D matrix bestaande uit een O-D paar, namelijk 4000 reizigers die van A naar B willen. Kies als waarden voor p i: 0.4, 0.35, 0.15 en 0.1. We beginnen door de matrix met 0.4 te vermenigvuldigen, zo krijgen we nu een stroming van 4000*0.4=1600 reizigers van A naar B die we alles-of-niets gaan toewijzen aan het netwerk. Nu gaan we verder met p 2 = 0.3 et cetera. We krijgen de volgende tabel: i 4000*p i V s t s V r t r We zien in dit voorbeeld meteen een nadeel van deze methode. In de eerste stap hebben we 1600 reizigers aan de route door de stad toegewezen en in de volgende stappen kan dit nooit minder worden. We hebben echter gezien in het voorbeel (paragraaf 4.1) dat de echte oplossing gegeven wordt door 1000 mensen via de stad en 3000 via de ringweg. Dus in dit geval kon al na de eerste stap de uitkomst niet meer convergeren naar het gewenste gebruikersevenwicht Method of Successive Averages Het nadeel van MIA is dat als er eenmaal te veel reizigers zijn toegewezen aan een bepaald wegstuk dit zo blijft en niet meer veranderd kan worden. Daarom beschouwen we the method of successive averages (MSA) of in het Nederlands: de methode van opeenvolgende gemiddelden. MSA is een iteratieve methode. Hoe werkt deze? Eerst wijzen we de hele stroming toe, met de alles-of-niets methode. In elke iteratie gebruiken we nu de vorige stroming samen met een op de nieuwe situatie alles of niets toewijzing. Als we bepaalde voorwaarde aan deze methode stellen convergeert die. Het algoritme ziet er als volgt uit: 1. Wijs al het vervoer alles of niets toe. Dit geeft de hulpstromig F i met 1 i en stel V 1 = F 1 2. Reken nu V i+1 met 1 i als volgt uit: V i+1 = (1 φ i+1)v i + φ i+1f i+1 Waarbij F i de alles of niets toewijzing is in situatie i en 0 < φ i < Herhaal de stappen net zolang totdat het verschillen tussen V i en V i 1 erg klein is. Herhaal de stappen net zolang totdat er (zo goed als) sprake is van het gebruikersevenwicht. We rekenen in elke iteratie twee stappen uit, de stroming en de hulpstroming. De rol die φ i speelt is groot. Als φ n willekeurig wordt gekozen is convergentie niet gegarandeerd. Echter als we φ i = 1 kiezen dan is de methode convergent. De methode waarbij we φ i i = 1 i kiezen is MSA. Algemener kunnen we zeggen dat de methode convergeert als de kostenfuncties differentieerbaar/netjes zijn en als φ i een rij is die aan de volgende eigenschappen voldoet: 1. i=1 φi = 2. i=1 φ2 i < We passen de methode MSA nu toe op ons model, dat geeft het volgende: iteratie V s t s V r t r We zien inderdaad dat de oplossing convergeert naar het gebruikersevenwicht en dat het in dit geval zelfs monotoon er heen convergeert. Dit hoeft echter niet altijd het geval te zijn. In het algemeen kan door φ i slim te kiezen voor snellere monotone convergentie worden gezorgd. 13

14 Referenties [1] Bezembinder, E., Het klassieke verkeersmodel [2] Kerngroep wiskunde D Delft,Het algoritme van Dijkstra, [3] Waarden van, D., Chinese postbodeprobleem, [4] Jessers, Kun je me de kortste weg vertellen?, jessers/aansluiting/kortsteweg.pdf [5] Mathew, T. V., 2007 Introduction to Transport Engireering [6] J.de D. Ortuzar, L.G. Willumsen, 1990, Modelling transport, John Wiley & Sons 14

15 Opgaves 4.7 Opgave 1 We hebben voor de zones 1,2 en 3 het uitgaande aantal ritten O i, respectievelijk 110, 122 en 114 en voor de ingaande ritten D j, respectievelijk 120, 108, 118. Verder hebben we gegeven: de functie f(c ij) = 1/c ij met voor c ij de volgende matrix: c ij = Maak met deze gegevens 1 complete iteratie, zoals in paragraaf is voorgedaan. Wat zijn de balansfactoren? Wat is de afwijking? Geef het ingaande en uitgaande aantal ritten voor de 3 zones. 4.8 Opgave 2 Beschouw het gegeven voorbeeld (paragraaf 4.1) met in plaats van 4000 nu 2000 reizigers van A naar B. a) Bereken het nieuwe gebruikersevenwicht. b) Laat p i = 5 i met 1 i 4. Bereken nu met MIA de nieuwe tabel die je krijgt. Krijgen we 10 het gewenste gebruikersevenwicht? c) Bereken met MSA het gebruikersevenwicht door net zo n tabel te maken als die in paragraaf Laat het aantal iteraties lopen van 1 tot en met de iteratie waar je bij het gebruikersevenwicht aankomt. Is de convergentie monotoon? 15