Aftrekken volgens een standaardprocedure (2)

Transcriptie

1 Aftrekken volgens een standaardprocedure (2) E. de Goeij Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht In het eerste deel 1 van dit artikel hebben we een historische en geografische blik op het cijferen geworpen. Er werd een overzicht gegeven van te onderscheiden aftrekalgoritmen, te weten het inwisselalgoritme, het algoritme volgens gelijkblijvend verschil en het omgekeerd optelalgoritme. Echter, geen van deze aftrekalgoritmen sluit goed aan bij de manier waarop kinderen van nature een aftrekking zouden uitvoeren. Dit tweede deel geeft een vervolg op het betoog rond de vraag hoe we in het toekomstige Nederlandse reken-wiskundeonderwijs invulling willen geven aan het rekenen volgens een standaardprocedure en omvat twee paragrafen en een korte terugblik. In paragraaf 1 zien we hoe het aftrekken volgens een standaardprocedure eruit zou zien als we het aan kinderen zelf zouden overlaten. In paragraaf 2 wordt ingegaan op de door het TAL-team 2 ontwikkelde leerlijnbeschrijving voor kolomsgewijs rekenen en cijferen. Daarbij bespreken we hoe bij het ontwikkelproces zoveel mogelijk aansluiting is gezocht bij informele standaardprocedures van kinderen en ook hoe door leraren basisonderwijs en andere reken-wiskundedeskundigen op de voorstellen van het TAL-team is gereageerd. Gaan we in Nederland een nieuwe weg bewandelen? 1 Hoe rekenen kinderen volgens standaardprocedures? Een van de voornaamste doelen in het reken-wiskundeonderwijs is het bevorderen van gecijferdheid. Waar we in Nederland graag naar toe willen, is dat leerlingen bij het oplossen van een opgave een verstandige keuze kunnen maken voor een bepaalde rekenvorm. Soms hoeft er nu eenmaal geen exact antwoord te worden gegeven en kan met een globale schatting worden volstaan. In een ander geval zijn de getallen in de opgave zodanig, dat gemakkelijk en flexibel uit het hoofd kan worden gerekend. Bij grote ingewikkelde getallen daarentegen ligt het inzetten van de rekenmachine meer voor de hand. Gezien de kerndoelen voor het basisonderwijs vinden we in Nederland dat kinderen bepaalde opgaven ook met een standaardprocedure moeten kunnen oplossen. De praktijk leert echter dat als leerlingen eenmaal een standaardprocedure hebben geleerd, ze bij het oplossen van een opgave vaak kiezen voor deze rekenvorm, ongeacht de eigenschappen van de getallen en de bewerking. 3 Een algoritme brengt ze immers altijd tot de juiste uitkomst, mits natuurlijk de berekeningen correct worden uitgevoerd. Een nadeel van algoritmen is dat een verhoogde kans op fouten bestaat indien de stap-voorstap procedure niet inzichtelijk is onderwezen. In paragraaf 2 van het eerste deel van dit artikel werd op veel voorkomende fouten bij het inwisselalgoritme ingegaan. Voordat een algoritme is geleerd, ontwikkelen sommige kinderen al hun eigen rekenprocedure. Als we deze informele procedures naast elkaar leggen, ontdekken we overeenkomsten die we hier bespreken. In de (inter)nationale literatuur doen leraren, bijvoorbeeld in een ingezonden brief, regelmatig verslag van een aftrekmanier die een van de leerlingen in hun klas op eigen initiatief heeft ontwikkeld voordat het standaardalgoritme werd geleerd. Joshua King (1998) is een van die leerlingen. In Teaching Children Mathematics brengt hij zelf de lezer op de hoogte van zijn King arithmetic waarbij in een aftrekking het principe van inwisselen kan worden omzeild (fig.1). Subtraction figuur 1 Joshua rekent in tegenstelling tot de bestaande cijferalgoritmen van-links-naar-rechts. Hij begint dus te rekenen met de grootste getallen. Dat is handig, omdat dan de orde van grootte van het antwoord al direct globaal zichtbaar is. Bij het splitsend uitrekenen van de kolomsgewijze aftrekkingen, rekent Joshua in eerste instantie met cijfers: 4 2 is 2. Vervolgens kijkt hij naar de waarde van de getallen (400 en 200) en plakt achter de jaargang 20 nummer 3 3

2 2 nog twee nullen omdat het honderden zijn, zoals hij zelf schrijft. Een ander voorbeeld uit de literatuur. In de jaren tachtig publiceerde Madell (1985) over Children s Natural Processes. Uit de ervaringen van Madell blijkt dat kinderen niet noodzakelijk hoeven te rekenen zoals het ze wordt geleerd. Zijn onderwijsexperiment wijst uit dat een belangrijk principe van het standaardalgoritme voor optellen en aftrekken, namelijk het denken in kolommen, voor kinderen niet altijd vanzelfsprekend is. En als kinderen al in kolommen denken, dan geven ze vrijwel allemaal de voorkeur aan het rekenen van-links-naarrechts (leesrichting), net zoals Joshua King deed. Kamii, Lewis en Livingstone (1993) en Thompson (1999) hebben ook geconstateerd dat kinderen vaak in de leesrichting van-links-naar-rechts rekenen, ten minste zolang ze nog niet hebben geleerd om van-rechts-naarlinks te werken. Bij de som (onder elkaar) gaven de meeste zeven- en achtjarige kinderen in de klas van Madell, die de beschikking hadden over MAB-materiaal, de voorkeur aan de volgende berekeningswijzen (Madell, 1985, pag.21; Beishuizen, 1997): Leerling A = = = 29 Leerling B = = = 29 Opvallend is dat de kinderen van-links-naar-rechts met positiewaarden rekenen ( in plaats van 5 2 ). Van de mogelijkheid om in te wisselen, maakt geen van de leerlingen gebruik, ze realiseren zich wel een tekort. Zo formuleert leerling B: That s 1 to take away. De leerlingen drukken de tekorten in deze natuurlijke berekeningen echter niet uit in negatieve getallen. Een vergelijkbare informele aftrekmanier van kinderen vinden we in een onderzoek van Boswinkel (1995). Mohammed uit groep 5 trekt, in tegenstelling tot de leerlingen van Madell, wel van-rechts-naar-links af. Maar als de aftrekker in een kolom groter is dan het aftrektal gaat hij niet inwisselen; hij noteert daarentegen wat er nog vanaf moet (fig.2). Bij het maken van deze sommen kiest Mohammed zijn eigen verwoordingen: Eerst 8 7 = 1, even die 2 eraf, dan wordt het 7 7 = 0, 8 3 = 5, dan is het 501, dan is die 2 nog over, die doe ik eraf bij de tienen, dan is het 481. Die zet ik even weg, die schrijf ik even daar en die heb ik nog over, dus die moet er nog af zijn uitspraken die andere kinderen in het onderzoek van Boswinkel ook spontaan gebruikten. Blijkbaar realiseren de kinderen zich een tekort dat later in de berekening nog moet worden bijgesteld. figuur 2: manier van aftrekken zoals Mohammed die zelf heeft ontwikkeld (Boswinkel, 1995, pag.9) Meerdere auteurs doen de aanbeveling om in het onderwijs beter aan te sluiten bij de rekenaanpakken die kinderen zelf hanteren, zo ook Becker (1987). Hij stelt de front-end subtraction (ofwel het rekenen met tekorten) voor, waarmee de leerlingen in zijn klas zich meer vertrouwd voelden: = = (30) (30) 4 8 = (4) (4) = = 266 Hiermee zijn we aangekomen bij het kolomsgewijs rekenen met tekorten, dat in de leerlijn van het TAL-project als inzichtelijke basis voor het cijferen wordt aanbevolen. 2 Aftrekken volgens TAL 4 Vorig jaar verscheen een leerlijnbeschrijving met tussendoelen voor het domein hele getallen in de bovenbouw van de basisschool, ontwikkeld door het TALteam (Van den Heuvel-Panhuizen, Buys & Treffers, 2001). Een leerlijn beschrijft het leertraject dat leerlingen voor een bepaald leerstofgebied doorlopen en tussendoelen vormen de cruciale bakens op deze leerlijn. Tijdens het ontwikkelen van de leerlijn Kolomsgewijs rekenen en cijferen (Treffers, Noteboom & De Goeij, 2001) deed zich onder andere de vraag voor welke rol nog aan het cijferen kan worden toegekend. In deze paragraaf wordt beschreven welke overwegingen en beslissingen op basis van ervaringen, discussies, onderzoeksgegevens en consultatie werden genomen. Wederom beperken we ons voornamelijk tot de basisbewerking aftrekken. 4 tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs

3 Overwegingen in de leerlijnbeschrijving van TAL Bij de ontwikkeling van de leerlijn met tussendoelen stond de vraag óf leerlingen nog moeten leren rekenen volgens een standaardprocedure niet ter discussie. Standaardprocedures zijn immers waardevol, omdat ze altijd kunnen worden ingezet - bijvoorbeeld bij het niet beschikken over een rekenmachine - en omdat ze bij een correcte uitvoering altijd tot het juiste antwoord leiden. Bovendien gaat het rekenen volgens een standaardprocedure gepaard met een overzichtelijke, vlotte werk- en notatiewijze. Maar het rekenen volgens een standaardprocedure is niet de enige rekenvorm. In de leerlijn voor het rekenen met hele getallen in de bovenbouw wordt ernaar gestreefd dat leerlingen afhankelijk van het type opgave kiezen voor een gepaste, efficiënte rekenvorm. Het maken van een afweging voor een rekenvorm wordt als een essentieel onderdeel van gecijferdheid beschouwd. Daarbij moet wel gezegd worden dat uiteindelijk wordt gestreefd naar een reken-wiskundeprogramma waarin veel aandacht is voor hoofdrekenen en schattend rekenen - rekenvormen die van waarde zijn voor het leven van alledag. Rekenen volgens een standaardprocedure blijft dus gehandhaafd. De vraag was echter welke standaardprocedure de voorkeur verdient en vanaf welk moment in het leertraject deze kan worden ingezet. De afgelopen jaren hebben voor wat betreft het cijferen al enkele veranderingen in het onderwijsprogramma plaatsgevonden. Zo is de introductie van cijferend optellen en aftrekken uitgesteld van groep 5 naar groep 6. In groep 5 ontstaat hierdoor meer ruimte voor het structureren en decimaliseren van getallen en voor het automatiseren van het rekenen tot honderd. Voor het cijferend vermenigvuldigen en delen geldt dat die tegenwoordig steeds vaker via inzichtelijke voorvormen worden aangeleerd en de meest verkorte vorm komt zelfs niet meer in alle gevallen aan de orde. De traditionele staartdeling is eigenlijk, zoals eerder vermeld, al verleden tijd. Met de leerlijn van TAL is bij deze trend aangesloten. Een nieuw punt van overweging was of alle leerlingen aan het einde van de basisschool een aftrekopgave nog cijferend volgens de methode van inwisselen moeten kunnen oplossen. Hetzelfde geldt trouwens voor het cijferend vermenigvuldigen. 5 Cijferend optellen blijft wel wenselijk, omdat dit kan worden ingezet bij lange optellingen. Cijferend delen is al min of meer van het toneel verdwenen. Weer terug naar het aftrekken. Zoals dit artikel reeds heeft laten zien, zijn er tal van mogelijkheden om via een standaardprocedure tot het antwoord van een aftreksom te komen. Sommige van deze standaardprocedures zijn voor kinderen beter te doorzien dan ons huidige inwisselalgoritme. Het TAL-team heeft uiteindelijk gekozen voor een algoritme dat beter aansluit bij inzichtelijke, informele rekenaanpakken van kinderen, zoals besproken in de vorige paragraaf. Voor het aftrekken betekent dit dat het splitsend hoofdrekenen wordt gestandaardiseerd tot het rekenen met tekorten. In de volgende paragraaf wordt op deze vorm van kolomsgewijs rekenen nader ingegaan. In principe geldt dat we tevreden kunnen zijn als kinderen de vaardigheid van het rekenen met tekorten beheersen. Toch is in de leerlijnbeschrijving met tussendoelen uit implementatie-overwegingen het cijferend rekenen gehandhaafd. Voor de onderwijspraktijk zal het afschaffen van cijferend aftrekken volgens de methode van inwisselen namelijk een te grote verandering met zich meebrengen. Bovendien is het vlot kunnen cijferend aftrekken bij opgaven met lastige getallen mooi meegenomen. Via het invoeren van het rekenen met tekorten wordt aansluiting gestimuleerd bij de manier waarop kinderen van nature een aftrekprobleem aanpakken. Kolomsgewijs rekenen als inzichtelijke basis voor het cijferen Het is belangrijk om een aftrekalgoritme goed te doorzien. Zo niet, dan krijgen allerlei fouten en misvattingen de overhand. We hebben gezien, dat als leerlingen zelf de gelegenheid krijgen om algoritmen te ontwikkelen, zij een voorkeur hebben voor het rekenen met getalwaarden van-links-naar-rechts (van-groot-naar-klein). Voor het aftrekken heeft deze benadering tot gevolg dat met tekorten moet worden gerekend. In figuur 3 is het overzicht van de tussendoelen voor het rekenen volgens een standaardprocedure gedeeltelijk opgenomen. Het schema bevat de eindvormen van de optel- en aftrekprocedures die leerlingen aan het einde van de basisschool zouden moeten beheersen. Er wordt een onderscheid gemaakt in eindvormen voor kolomsgewijs rekenen en voor cijferen. Kolomsgewijs rekenen staat dicht bij het hoofdrekenen; er wordt splitsend gerekend van-links-naar-rechts met getalwaarden. Voor het optellen geldt dat kolomsgewijs optellen een inzichtelijke basis voor cijferend optellen vormt. In de overgangsfase van kolomsgewijs naar cijferend rekenen verandert slechts de rekenrichting (van-rechts-naarlinks) en worden de tussenberekeningen cijferend opgeteld (van boven naar beneden) in plaats van getalwaarden samen te voegen. Een verkorting van het algoritme in de overgangsfase leidt tot het cijferalgoritme voor optellen. Vanuit het kolomsgewijs aftrekken is vanwege de verschillende rekenhandelingen een verkorting naar het aftrekalgoritme volgens het principe van inwisselen, zoals bij het optellen, niet mogelijk. Daarom is voorgesteld jaargang 20 nummer 3 5

4 figuur 3: voorstel voor optellen en aftrekken volgens een standaardprocedure (Treffers, Noteboom & De Goeij, 2001) het aftrekalgoritme te leren naar analogie van het optelalgoritme. Leerlingen die het aftrekalgoritme moeilijk onder de knie kunnen krijgen en er te veel tijd aan moeten spenderen, kunnen volstaan met het rekenen met tekorten. Bij het kolomsgewijs rekenen met tekorten wordt de aftrekking splitsend uitgerekend, te beginnen bij de grootste waarde ( = 300). Indien de waarde in de aftrekker groter is dan die in het aftrektal ontstaat een tekort: betekent een tekort van 40, waardoor er straks nog 40 moeten worden afgetrokken. Om dit niet te vergeten wordt het tekort als 40 genoteerd. Door het rijgend aftrekken van de tussenberekeningen kan het uiteindelijke antwoord worden bepaald ( ). Eerst gebeurt dat met behulp van tussennotaties op papier, maar door het steeds langer oefenen van het hoofdrekenen kan een som als geleidelijk aan ook uit het hoofd worden berekend. Om het werkgeheugen niet te veel te belasten, worden alleen de uitkomsten genoemd en niet de bewerking. Dus 500, 460, 463 en niet 500 min 40 is 460, plus 3 is 463. Aan de eindvormen van het kolomsgewijs rekenen in figuur 3 gaat uiteraard nog een concrete en betekenisvolle introductie vooraf. Daarbij biedt de geldcontext een waardevolle ondersteuning: Bij de aftrekking van de tientallen kwamen we vier briefjes van 10 te kort. Er moet dus nog 40 van het totaal worden afgetrokken. Bij sommen met grote en lastige getallen leren de leerlingen in principe de rekenmachine in te zetten. Een som als is een grensgeval, maar kán nog wel kolomsgewijs worden uitgerekend. Vooral als voldoende aandacht wordt besteed aan het overzichtelijk noteren, kan via het rekenen met nullen het oplossen van de opgave tot een goed einde worden gebracht. In afbeelding 3 is het werk van Bas 6 opgenomen. Door de laatste twee nullen in de tussenberekeningen weg te denken, is voor Bas een som als niet lastig meer: 50 3 en plak er vervolgens weer twee nullen achter. Bas heeft dit tussenresultaat er even naast geschreven en weet zo al globaal de orde van grootte van het antwoord. Zie hier het gemak van een overzichtelijke, verticale notatie. Naast het rekenen met nullen is het een voorwaarde voor het kolomsgewijs rekenen dat leerlingen sommen met honderdtallen, tientallen en/of eenheden, zoals en , vlot en makkelijk uit het hoofd kunnen berekenen. figuur 4: leerlingenwerk rekenen met tekorten Combinatiemethode hoofdrekenen-cijferen De principes van het kolomsgewijs rekenen met tekorten en het inwisselalgoritme verschillen zodanig van elkaar dat een geleidelijke overgang via verkorting, zoals bij het optellen, niet mogelijk is. Indien wordt gekozen voor een ander aftrekalgoritme, waarbij de rekenhandelingen meer overeenkomen, kan het rekenen met tekorten wel als een inzichtelijke basis voor het cijferen fungeren. Hiervoor is in de leerlijnbeschrijving Kolomsgewijs rekenen en cijferen (Treffers, Noteboom & De Goeij, 2001) ter keuze een alternatief algoritme geïntroduceerd. Het gaat om de combinatiemethode hoofdrekenen-cijferen, zoals die in de Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool, deel 2 (Treffers & De Moor, 1990) is beschreven. De combinatiemethode hoofdrekenen-cijferen is een verkorting van het rekenen met tekorten, en verloopt bij de opgave als volgt: 6 tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs

5 De uitkomst van 4 min 8, namelijk een tekort van 4, wordt gesymboliseerd als 4. Daarna wordt van-linksnaar-rechts gerekend: van de twee tientallen wordt één tiental ingewisseld voor tien eenheden en vervolgens verrekend met het tekort van vier eenheden (Van Dongen, 1988). In de Proeve... vermeldden de auteurs suggesties voor variaties in notatiewijzen. In plaats van bij een tekort een cirkel te plaatsen, kan ook een streepje worden gezet of bijvoorbeeld het cijfersymbool in een andere kleur worden genoteerd. Het hier genoemde alternatieve aftrekalgoritme zou pas in het begin van groep 7 aan de orde dienen te komen. Meningen over het kolomsgewijs rekenen en cijferen De leerlijn Kolomsgewijs rekenen en cijferen (Treffers, Noteboom & De Goeij, 2001) is vanwege de vernieuwingen tijdens het ontwikkelproces het meest intensief onder de aandacht van onderwijsgevenden en andere reken-wiskundedeskundigen gebracht. Voorafgaand aan het ontwikkelproces van de leerlijnbeschrijving is via een grootschalige consultatie op de Panama najaarsconferentie 1998, en later ook op de Panama voorjaarsconferentie 1999, een vragenboekje over de verschillende rekenvormen verspreid. De bedoeling was de meningen over bepaalde zaken, zoals de rol van het cijferen in het toekomstige reken-wiskundeonderwijs, te peilen. In een later stadium, toen er eenmaal een conceptversie van de leerlijn Kolomsgewijs rekenen en cijferen lag, zijn reacties gevraagd op de voorstellen voor het rekenen volgens een standaardprocedure. Van den Heuvel-Panhuizen en De Goeij (1999a; 1999b) hebben in een tweedelig artikel verslag gedaan van de resultaten van het vragenboekje. Voor wat betreft het cijferen kan vastgesteld worden dat een ruime meerderheid van de respondenten voorkeur uitsprak voor een (meer) ondergeschikte rol van het cijferen. Een kleine groep mensen koos voor een centrale rol van het cijferen of juist voor het afschaffen van deze rekenvorm. Deze uitkomst komt globaal overeen met het resultaat van een soortgelijke consultatie die in 1984 ten behoeve van de ontwikkeling van de Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool door Cadot en Vroegindeweij (1986) werd uitgevoerd. Toen kon 57 procent van de respondenten het terugdringen van de bestede tijd aan cijferen onderschrijven, wat eveneens op een minder belangrijke rol van het cijferen duidt. De consultatie bracht eigenlijk naar voren dat men het cijferen niet geheel wilde afschaffen, bijvoorbeeld omdat de reflectie erop kan leiden tot een beter inzicht in het getallensysteem en omdat het algoritmiseren als een essentiële wiskundige activiteit wordt beschouwd. Vooral onderwijsgevenden waren van mening dat leerlingen in alle gevallen op het cijferen moeten kunnen terugvallen. Het cijferen verdient dus zeker een plaats, maar hoofdrekenen en schattend rekenen werden door de respondenten toch belangrijker geacht. Ook het gebruik van de rekenmachine werd gezien als aanleiding om aan het cijferen een meer ondergeschikte rol toe te kennen. Later tijdens het ontwikkelproces van de leerlijn met tussendoelen is ook het voorstel om kolomsgewijs rekenen als alternatieve en voorbereidende standaardprocedure te introduceren aan vele deskundigen op rekenwiskundegebied voorgelegd. Uit de raadpleging kan geconcludeerd worden dat vrijwel iedereen het kolomsgewijs rekenen als basis voor het cijferen kan onderschrijven. Inzichtelijk rekenen staat immers hoog in het vaandel en ook de aansluiting met het hoofdrekenen en schattend rekenen wordt gewaardeerd. Over het vervolg op kolomsgewijs rekenen bestaat een minder eenduidige mening. Globaal kunnen voor de einddoelen van kolomsgewijs rekenen en cijferen drie mogelijkheden worden onderscheiden, te weten: leerlingen leren in het kader van het rekenen volgens een standaardprocedure a alleen kolomsgewijs rekenen; b kolomsgewijs rekenen en voor sommige bewerkingen een cijferalgoritme; c kolomsgewijs rekenen en voor alle bewerkingen een cijferalgoritme (met uitzondering van het delen, want de staartdeling wordt in de moderne reken-wiskundemethoden al niet meer onderwezen). Via flyers, op internet, in een themanummer van Willem Bartjens (TAL-team, 1999), tijdens gesprekken op scholen en op conferenties en studiedagen, zijn bovengenoemde drie mogelijkheden aan deskundigen voorgelegd met de vraag naar welke eindvorm van dit ABC de voorkeur uitgaat. Soms werden - doordat er sprake was van een ontwikkelproces - tussentijds kleine aanpassingen gemaakt in Het ABC van het cijferen. Ook vond de verspreiding van de voorstellen via de verschillende kanalen niet allemaal tegelijk plaats. In het themanummer van Willem Bartjens kon bijvoorbeeld al een eerste stand van zaken van de meningen worden beschreven (De Goeij & Nelissen, 1999a; 1999b). Voor iedere categorie bestonden voorstanders. Deskundigen die kozen voor het voorstel om het kolomsgewijs rekenen als einddoel te beschouwen (A), noemden onder andere de volgende argumenten: het rekenen van-links-naar-rechts, ofwel van-grootnaar-klein, heeft een grotere maatschappelijke waarde dan het cijferend rekenen ; met dit voorstel krijgen het hoofdrekenen en het gebruik van de rekenmachine meer nadruk ; jaargang 20 nummer 3 7

6 inzichtelijk rekenen en het gevoel voor getallen en bewerkingen worden bevorderd ; alleen vernieuwende voorstellen als deze kunnen de hardnekkige, traditionele opvattingen over cijferen veranderen ; met name voor zwakkere rekenaars is het kolomsgewijs rekenen zinvol, voor goede rekenaars blijft de mogelijkheid van cijferen altijd openstaan. Argumenten voor het voorstel bij (B), waarbij voor sommige bewerkingen nog wel een cijferalgoritme wordt geleerd, waren: cijferend leren optellen en aftrekken neemt na het kolomsgewijs rekenen niet veel tijd meer in beslag, dus waarom niet ; voor het oplossen van tussenberekeningen bij het kolomsgewijs vermenigvuldigen en delen kunnen het cijferend optellen en aftrekken goed van pas komen ; het cijferen niet helemaal afschaffen om toch nog zoveel mogelijk aan leerlingen te kunnen aanbieden om op terug te kunnen vallen (dit is met name een argument van leraren in het basisonderwijs); om innovatieve redenen is dit voorstel een mooi compromis; cijferen afschaffen gaat te ver en kiezen voor het laatste voorstel (C) betekent geen verandering voor de nabije toekomst ; cijferen heeft een zekere snelheid in zich bij het rekenen met grote getallen en kommagetallen ; de rekenmachine kan enerzijds het cijferen vervangen, maar anderzijds kan cijferen juist handig zijn als een rekenmachine niet voorhanden is. Voor het behouden van cijferen als vervolg op het kolomsgewijs rekenen werden de volgende motieven gegeven, die soms overeenkomen met die van het tweede voorstel: cijferend leren optellen en aftrekken neemt na het kolomsgewijs rekenen niet veel tijd meer in beslag ; voor het oplossen van tussenberekeningen bij het kolomsgewijs vermenigvuldigen en delen kunnen het cijferend optellen en aftrekken goed van pas komen ; cijferen heeft een zekere snelheid in zich bij het rekenen met grote getallen en kommagetallen ; hoe meer er wordt aangeboden, hoe beter ; het is jammer als leerlingen nooit kennismaken met cijferen, want cijferen is cultureel erfgoed ; om innovatieve redenen, niet te revolutionair ; cijferen is een voorbereiding op de wiskunde later. Het zoeken naar een middenweg leek na bestuderen van de argumenten een acceptabele oplossing. Uiteindelijk is ervoor gekozen om het cijferend optellen en aftrekken te handhaven. Echter, leerlingen die te veel tijd moeten investeren in het cijferalgoritme kunnen zich beperken tot, of eventueel terugvallen op het inzichtelijk kolomsgewijs rekenen dat voor alle leerlingen een einddoel is. Cijferend vermenigvuldigen is wel als een differentieel doel geformuleerd en dat maakt dat het cijferen toch weer iets heeft moeten inleveren ten opzichte van het hoofdrekenen en het gebruik van de rekenmachine. Bij lastige opgaven kunnen leerlingen de rekenmachine inzetten. 3 Terugblik Als we het cijferen inzichtelijker willen maken, moet met de keuze voor een standaardprocedure zoveel mogelijk aansluiting worden gezocht bij rekenaanpakken die kinderen van nature gebruiken, zo luidt de strekking van dit artikel. Hiermee wordt echter niet bedoeld dat het onderwijs leerlingen uitnodigt tot het zelf ontwikkelen van hun eigen, individuele standaardprocedures. In de leerlijnbeschrijving met tussendoelen van TAL is op basis van raadpleging en onderzoek gekozen voor minder nadruk op het cijferend aftrekken en meer accent op het kolomsgewijs aftrekken met tekorten. Kolomsgewijs rekenen kan als inzichtelijke grondslag voor het cijferen fungeren en sluit niet alleen aan bij informele rekenstrategieën van kinderen, maar ook bij het hoofdrekenen en schattend rekenen. Kinderen die het cijferen niet onder de knie krijgen, kunnen zich beperken tot, of eventueel terugvallen op het kolomsgewijs rekenen, zij het dat het bij lastige opgaven met grote getallen een minder efficiënte rekenvorm is. In die gevallen kan de rekenmachine dienst doen. Het maken van de afweging voor een bepaalde rekenvorm op basis van de gegeven getallen en bewerkingen is een essentieel bestanddeel van gecijferdheid. Daar wordt uiteindelijk naar gestreefd. Noten 1 Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het rekenwiskundeonderwijs, jaargang 20, nummer 2, pag Het TAL-project (Tussendoelen Annex Leerlijnen) wordt in opdracht van het Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen uitgevoerd door het Freudenthal Instituut en de SLO, in samenwerking met het CED. 3 Dit geldt met name voor meisjes. Zij ervaren in het gebruik van een standaardprocedure een zekere houvast, aldus Van den Heuvel-Panhuizen en Vermeer (1999), die onderzoek verrichtten naar de verschillen in rekenprestaties tussen meisjes en jongens. 4 De leerlijnbeschrijving voor het domein Hele Getallen - Bovenbouw Basisschool bestaat uit vijf min of meer aparte leerlijnen voor getallen en getalrelaties, hoofdrekenen, kolomsgewijs rekenen en cijferen, schattend rekenen en rekenmachine. Ofschoon deze rekenvormen nauw aan elkaar zijn gerelateerd, zijn ze ter verduidelijking apart beschreven. In deze paragraaf staat de leerlijn Kolomsgewijs rekenen en cijferen centraal. 5 Uiteindelijk is besloten het vermenigvuldigen volgens het meest verkorte algoritme als differentieel doel op te nemen. Leerlingen die moeite hebben met dit algoritme kun- 8 tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs

7 nen altijd terugvallen op het meer inzichtelijke kolomsgewijs vermenigvuldigen. 6 Dit leerlingenwerk is in het kader van het TAL-project door A. Noteboom verzameld. Literatuur Becker, S. (1987). Readers Dialogue. The Arithmetic Teacher, 35(4), 5. Beishuizen, M. (1997). Development of mathematical strategies and procedures up to 100. In: M. Beishuizen, K. Gravemeijer & E. van Lieshout (eds.). The Role of Contexts and Models in the Development of Mathematical Strategies and Procedures. Utrecht: CD-ß Press/Freudenthal Instituut, Boswinkel, N. (1995). Interactie, een uitdaging. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 14(1), Cadot, J. & D. Vroegindeweij (1986). 10 voor de basisvorming rekenen/wiskunde onderzocht. Op weg naar een nationaal plan voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool en het gebruik van de computer daarbinnen. Utrecht: OW&OC. Diels, P.A. & J. Nauta (1936). Fundamenteel rekenen. Groningen: Wolters. Dongen, A. van (1988). Verschil in reactie. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 7(1), 3-8. Goeij, E. de & J. Nelissen (1999a). Reacties op Het ABC van het cijferen. Willem Bartjens, 19(1), Goeij, E. de & J. Nelissen, J. (1999b). In gesprek met schoolteams. Willem Bartjens, 19(1), Heuvel-Panhuizen, M. van den & E. de Goeij (1999a). De resultaten van een nationale bezinning op het rekenen in de bovenbouw van de basisschool (1). Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 17(4), Heuvel-Panhuizen, M. van den & E. de Goeij (1999b). De resultaten van een nationale bezinning op het rekenen in de bovenbouw van de basisschool (2). Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 18(1), Heuvel-Panhuizen, M. van den & H. Vermeer (1999). Verschillen tussen meisjes en jongens bij het vak rekenen-wiskunde op de basisschool. Eindrapport MOOJ-onderzoek. Utrecht: CD-ß Press/Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. Heuvel-Panhuizen, M. van den, K. Buys & A. Treffers (red.) (2001). Kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele getallen Bovenbouw Basisschool. Groningen: Wolters-Noordhoff. Kamii, C., B.A. Lewis & S.J. Livingstone (1993). Primary Arithmetic; Children Inventing Their Own Procedures. Arithmetic Teacher, 41(4), King, J. (1998). King arithmetic. Readers Exchange. Teaching Children Mathematics, 5(4), 212. Madell R. (1985). Children s Natural Processes. Arithmetic Teacher, 32(7), TAL-team(1999). En nu uw mening over cijferen. Willem Bartjens, 19(1), Treffers, A. & E. de Moor (1990). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 2. Basisvaardigheden en cijferen. Tilburg: Zwijsen. Treffers, A., A. Noteboom & E. de Goeij (2001). Kolomsgewijs rekenen en cijferen. In: M. van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys & A. Treffers (red.). Kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen, Hele getallen Bovenbouw Basisschool. Groningen: Wolters-Noordhoff, jaargang 20 nummer 3 9