Voorbeelden van lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen

Transcriptie

1 Voorbeelden van lineaire eerse-orde differeniaalvergelijkingen Hieronder vind je 8 voorbeelden waarbij een differeniaalvergelijking e behulp van he overzich wor opgelos. Opdrach Besudeer de voorbeelden en de oplossingen en bepaal zelf hoe de probleen worden opgelos. Schrijf di ui als een sappenplan (algorie): welke sappen nee je in welke volgorde o o een oplossing e koen. Zodra je he sappenplan klaar heb kan je he uiproberen: e voorbeelden die je nog nie had besudeerd e de oes lineaire eerse-orde differeniaalvergelijkingen. Bepaal de plaas bij een consane snelheid Een auo rij e een consane snelheid van 5 k/uur. Hoeveel afsand heef de auo na 3 uur afgelegd? dx v waarin x de plaas en v de snelheid is. dx 5 lineaire groei/afnae K 5/s x x + 5 de afgelegde weg is x - x k

2 2. Algeene oplossing van de plaas bij een consane snelheid Wellich wee je nog van de nauurkundelessen da x x + v bij een consane snelheid. Leid deze vergelijking af. dx v waarin x de plaas en v de snelheid is. dx v lineaire groei/afnae K v x x + v

3 3. Teperauuroenae in een agneron Een agneron e een verogen van 9 W verwar een kopje e g ( L) waer van 2 C. De warecapaciei van waer is C P 4,2 J g - C -. Hoe lang duur he voor he waer kook? C P P waarin de assa, C P de warecapaciei en T de eperauur van he waer is en P he verogen van de agneron is. CP d P 4, , 4,2 lineaire groei/afnae o T K 2, C/s o T 2 C T + 2, 2 + 2, 8 He waer kook bij C, zoda 2 + 2, 8 2, 38 s 2,

4 4. Gis kweken bij bierproducie Bij de producie van bier is he belangrijk o eers voldoende giscellen e hebben. Elke giscel deel zich in 3 inuen in 2 giscellen. k τ waarin de gisassa is en k,39 uur -, ofwel τ /k,72 uur,44 aal de delingsijd (deze facor,44 ko doorda de ijdconsane τ ies anders is dan de halfwaarde- of verdubbelijd: τ ½ /ln(2),44 ½ ). Hoeveel gisassa heb je nodig o in 6 uur een producie van kg gis e krijgen?,72 τ,72,72 exponeniele groei e τ,72uur,72 72 Na 6 uur is kg, zoda e 8,33 4, kg 24 g 3 4,6 e 6,

5 5. Hoor zeg he voor Praajes hebben lange benen. Als er ies ineressans gebeur, dan lijk he of iedereen binnen de korse keren er vanaf wee, ook zonder v. In een iddelgroe sad (7 inwoners) gebeur ies en he nieuws wor doorvereld. Iedereen die he nieuws hoor verel he aan geiddeld persoon per uur. Na hoeveel ijd wee de hele sad he nieuwje als de bron persoon was? kn waarin N he aanal ensen is da he nieuwje ken en k is,69 aal he aanal personen da (geiddeld) per uur door persoon wor ingelich.,69 kn,69n,44 N,44 N exponeniele groei τ,44uur N N N e,44 e,44 N 7, zoda 7 e ln( 7),44 8,85 2,8 uur,44

6 6. Radioacief verval van pluoniu In een kernreacor wor uraniu ogeze in onder andere pluoniu. Di pluoniu is een afvalproduc, da heel langzaa in lood wor ogeze. In 24 jaar verdwijn op deze anier de helf van he pluoniu. Na hoeveel ijd is 9% van he pluoniu ogeze in lood?,44 /2 waarin de reserende assa pluoniu en ½ de halfwaardeijd is (deze facor,44 ko doorda de ijdconsane τ ies anders is dan de halfwaarde- of verdubbelijd: τ ½ /ln(2),44 ½ ).,44 /2, exponeniele afnae e τ 3456jaar 3456 Als er 9% wor ogeze, dan blijf er % over, zoda,, e 3456, e ln(,) 8 4 jaar ln (, ) 3456

7 7. Radioacief verval van jodiu Radioacief jodiu wor gebruik bij edische oepassingen. He wor geaak in de reacor van Peen en heef een halfwaardeijd van 2,3 uur. Als je g radioacief jodiu nodig heb en he lig door osandigheden een dag (24 uur) op de plank, hoeveel radioacief jodiu oe je dan (een dag van evoren) aken o nog g over e houden?,44 /2 waarin de reserende assa pluoniu en ½ de halfwaardeijd is.,44 /2,44 2,3 3,32 3,32 3,32 exponeniele groei e τ 3,32uur 3, ,32 4 e 7,3 43 g,4 kg. Nie e lang laen liggen dus! 7,3 4

8 8. Koeling van een bierflesje een flesje bier van L ( kg) e een eperauur van 25 C wor in snelsroend waer van C gehangen. Hoe groer he eperauurverschil, hoe sneller de ware ui de fles wegsroo: Q UA(T fles -T waer ), waarbij Q de waresroo in W is, U de wareoverdrachscoëfficiën (in di geval U 5 W C - - ) en A he oppervlak van de fles (,6 2 ). Hoe lang duur he o he bier is afgekoeld o 5 C? C P d Q ui waarin de assa, C P de warecapaciei (4,2 3 J kg - C - ) en T de eperauur van he bier is en Q ui de ware die ui de fles sroo. C P d Qui 3 4,2 UAT waer 4,2 5,6 3 T + ( T ) 5,6( T ) ( T ) + T 5 + T 25 ( ) gerede groei/afnae T T + K e τ s o K 5 C T 25 5 e τ De gewense eperauur van 5 C wor bereik na: e e,67 e,67 - -,33 e,33 e 5 ln(,33) - ln(,3) 527s 85 in

9 Opdrach (herhaling) Besudeer de voorbeelden en de oplossingen en bepaal zelf hoe de probleen worden opgelos. Schrijf di ui als een sappenplan (algorie): welke sappen nee je in welke volgorde o o een oplossing e koen. Zodra je he sappenplan klaar heb kan je he uiproberen: e voorbeelden die je nog nie had besudeerd, e de oes lineaire eerse-orde differeniaalvergelijkingen. Als di nie luk, nee dan conac op e je docen. Wellich luk he e wa uileg. Als er basiskennis onbreek, dan is he versandig eers een andere cursus e volgen.