Lineaire algebra. v + w. s x (v) s x (λv) = λs x (v) s x (w) s x (v + w) = s x (v) + s x (w) Paul Igodt & Wim Veys

Transcriptie

1 Lineaire algebra auteursrechtelijk beschermd materiaal y v + w w v λv Paul Igodt & Wim Veys s x (v) x s x (λv) = λs x (v) s x (w) s x (v + w) = s x (v) + s x (w)

2 Voorwoord Met dit handboek kunnen studenten uit een diversiteit aan opleidingen kennismaken met de basisbegrippen, basistechnieken en enkele voorname resultaten van de lineaire algebra. In vrijwel alle toepassingsgebieden van wiskunde wordt lineaire algebra aangewend. Soms beperkt dat zich tot elementair matrixrekenen, maar vaak komen ook moeilijkere probleemstellingen aan bod. Deze problemen presenteren zich in een veelheid aan uitzichten en vormen, maar steevast vinden we er dezelfde begrippen in terug: vectoren, lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid, voortbrengers, basis, vrijheidsgraden, lineaire combinaties, dimensie, spectraalstelling, diagonaliseren, singuliere waarden,... Niet altijd is het louter technisch oplossen van de probleemstelling het belangrijkst, maar veeleer het kwalitatief inzicht in de structuur of de aard van een oplossing; juist dát brengt typisch de echte voorspellende kracht voor analoge of nieuwe probleemstellingen met zich mee. Doorheen het hele boek hebben we oog voor het aanleren van nauwkeurigheid zowel in formulering als in berekening. De aanpak die we hanteren is hierdoor niet beperkt tot louter technische aspecten, maar brengt steevast ook zorgvuldige argumentaties. Deze ietwat steviger wiskundige onderbouw vraagt de student om volgehouden aandacht. Niettemin kunnen de sleutelresultaten in de opbouw van het geheel door de verzorgde lay-out als het ware afzonderlijk gelezen worden. We illustreren met vele voorbeelden en ook een selectie uit het vrijwel ongelimiteerd aanbod aan thematische toepassingen van de lineaire algebra komt aan bod. Het ruime aantal oefeningen biedt mogelijkheid om te differentiëren naar belangstelling, context, abstractie en diepgang. We engageren ons om dit ook in elektronische vorm als een extra ondersteuning bij het handboek aan de lezers aan te bieden. In een tijdperk van steeds krachtiger computeralgebra kunnen we de vraag stellen in welke mate dergelijke rekenkracht kan of moet aangewend worden. Ook wij zetten computeralgebra in voor snelle simulaties of voor uitgebreide analyses. Onze didactische ervaring brengt ons evenwel de overtuiging bij dat een degelijke handmatige beheersing en het hiermee samengaand groeiend inzicht best voorafgaan aan gevorderde computeralgebra. Net dat inzicht zorgt ervoor dat de gebruiker zich ondersteund weet bij het inzetten van software. Het biedt hem ook de mogelijkheid om gericht te exploreren. Hierbij de juiste vragen leren stellen én bovendien

3 VOORWOORD betekenisvolle goede antwoorden vinden, vormen dan een dankbare beloning voor de gewonnen rekenkracht. Zo zal computeralgebra finaal echt ondersteunen, bevestigen of illustreren. Dit werk kwam tot stand in goede samenwerking met verschillende medewerkers, die verbeteringen in de tekst hebben gesuggereerd en het oefeningenaanbod hebben rijker gemaakt of uitgeprobeerd. We danken in het bijzonder Sandra Deschamps, Rein Duyck, Hendrik Hubrechts, Tristan Kuijpers, Dirk Segers, Karl Van Valckenborgh, Kelly Verheyen en Kaatje Zeeuwts voor hun onverdroten ijver en opbouwende kritische spirit. Paul Igodt Wim Veys juni

4 Inhoudsopgave Voorwoord 5 1 Eerstegraadsvergelijkingen en matrices Contextenmatrixvorm Gauss-eliminatie, echelonvorm, rijgereduceerde vorm Voorbeelden Stelselsmetparameters Rekenenmetmatrices Inverteerbaarheid van matrices en inverse matrices Elementaire rijoperaties en elementaire matrices LU-decompositie NutvaneenLU-decompositie LU-decompositie van een inverteerbare matrix Voorbeeld van een LU-decompositie Praktischeconstructie Oefeningen Eerstegraadsvergelijkingen Matrices Determinanten Kennismaking in het geval van (2 2)-matrices Determinant: definitie, bestaan en eigenschappen Drieinvloedrijkeeigenschappen Overpermutatiesenhunteken Er is juist één determinantafbeelding (voor elke n 1) Ontwikkelen naar een rij of kolom De toegevoegde matrix of adjunctmatrix DeformulevanCramer Toepassingen Veelterminterpolatie Oppervlakte van een parallellogram

5 INHOUDSOPGAVE 2.4 Oefeningen Vectorruimten Hetbegripvectorruimte Deelruimtenenlineairecombinaties Somendirectesomvandeelruimten Lineaire onafhankelijkheid, basis en dimensie Lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid Basis, dimensie en coördinaten Nogmaals som en directe som Vectorruimten geassocieerd aan een matrix Nulruimte, rijruimte en kolomruimte van een matrix Basis van de nulruimte, de rijruimte en de kolomruimte Oefeningen Lineaire afbeeldingen en lineaire transformaties Definitieenvoorbeelden Lineaireafbeeldingenenmatrices Matrixvoorstellingen van een lineaire afbeelding De vectorruimte van de lineaire afbeeldingen Lineaire afbeeldingen samenstellen en het matrixproduct Isomorfismenvanvectorruimten Invloedvanhetveranderenvanbasis Invloed op de coördinaatvaneenvector Invloed op de matrix van een lineaire afbeelding Invloed op de matrix van een lineaire transformatie De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen Rangeneigenschappen Algemene vorm en oplossing van een lineair probleem Oefeningen Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonaliseerbaarheid Probleemstellingen: voorbeelden Eigenwaardeneneigenvectoren Iedereen gebruikt het: Google s PageRank TM Eeneenvoudigmodel Eentweedemodel De echte PageRank: een eigenvector! Spectrumeneigenruimten Diagonaliseerbaarheid van een lineaire transformatie

6 INHOUDSOPGAVE 5.6 Transformaties van complexe vectorruimten Toepassingen Discrete-tijd-evoluties Stochastische matrices en Markov-ketens Eigenwaarden van Leslie-matrices Toemaatje: over triangularisatie en Jordan Oefeningen Inproductruimten en Euclidische ruimten InproductenenHermitischeproducten Euclidische meetkunde en Euclidische ruimte Orthonormale basis, orthogonaal complement Transformaties met een symmetrische matrix Orthogonale matrices Orthogonale en symmetrische transformaties Toepassingen Extrema en teken van kwadratische vormen Singuliere-waardenontbinding van een matrix Kleinste-kwadratenoplossing als AX = B niet oplosbaar is Oefeningen Bibliografie 269 Index 270 9

7

8 HOOFDSTUK 1 Eerstegraadsvergelijkingen en matrices Bij een grote variatie aan problemen in allerlei wetenschapsgebieden moeten stelsels van eerstegraadsvergelijkingen opgelost worden. Als het maar een paar vergelijkingen in weinig onbekenden betreft kan men een oplossing vinden met gezond verstand. In veel praktijkgevallen moeten grote stelsels met tientallen, duizenden of nog meer vergelijkingen en onbekenden opgelost worden. Men kan stellen dat de systematische methode in deze context Gauss-eliminatie is. Ze geeft enerzijds inzicht in de algemene structuur van de oplossingen van stelsels van eerstegraadsvergelijkingen en vormt anderzijds de kern van alle methoden om deze stelsels effectief (en efficiënt) met behulp van computers op te lossen. Deze methode komt in de praktijk neer op het manipuleren van rijen van matrices. Een (wiskundige) matrix is een rechthoekig schema getallen. Ook matrices komen voor in zeer gevarieerde toepassingsgebieden van de wiskunde, bijvoorbeeld als transformatievoorschrift van bewegingen in het vlak of in de ruimte, of bij de beschrijving van populatie-evoluties in de biologie of van marktbewegingen in de economie. Essentieel hierbij is dat men ook bewerkingen kan uitvoeren op matrices, zoals optellen en vermenigvuldigen. In dit hoofdstuk behandelen we het oplossen van stelsels via Gauss-eliminatie en de essentie van het matrixrekenen. De natuurlijke biotoop van matrices, namelijk lineaire afbeeldingen op vectorruimten, komt later aan bod in Hoofdstuk Context en matrixvorm We spreken van een eerstegraadsvergelijking in de variabelen (of onbekenden of veranderlijken) x 1, x 2,..., x n als we een vergelijking van het type a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b hebben, waarin a 1,a 2,...,a n,b gegeven getallen zijn. De a i noemen we de coëfficiënten van de vergelijking; b wordt het rechterlid (of de constante term) genoemd. Vaak worden dergelijke vergelijkingen ook lineaire vergelijkingen genoemd. 11

9 H1 EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN MATRICES Eerstegraadsvergelijkingen behoren tot de ervaringswereld van de meeste leerlingen in het secundair onderwijs; zij ontspruiten uit een grote diversiteit aan probleemstellingen. Voorbeeld Evenwicht bij chemische reacties. De reactie waarbij ammoniak en zuurstof combineren tot stikstofmonoxide en water(damp), wordt weergegeven als x 1 NH 3 + x 2 O 2 x 3 NO + x 4 H 2 O. Hierin moeten de coëfficiënten x i gehele getallen zijn. Zij drukken uit dat aan weerskanten van de vergelijking evenveel atomen van elk type aanwezig zijn. Met andere woorden x 1 = x 3 (stikstof) 3x 1 =2x 4 (waterstof) 2x 2 = x 3 + x 4 (zuurstof). We hebben hier drie eerstegraadsvergelijkingen in vier variabelen; we spreken van een (3 bij 4)-stelsel eerstegraadsvergelijkingen. Het vergt niet zoveel moeite om hiervoor een oplossing (zelfs meerdere) te vinden. Zo voldoet bijvoorbeeld (x 1,x 2,x 3,x 4 )=(4, 5, 4, 6). 2. Handel en economie. Om een veevoeder samen te stellen dat aan bepaalde voedingskwaliteiten voldoet, worden grondstoffen G 1,...,G 5 gebruikt. De kenmerken van elk van de grondstoffen, met betrekking tot twee voedingseigenschappen A en B, worden gegeven in de onderstaande tabel. G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 A B Als de producent een mengsel moet samenstellen dat 20 eenheden A en 30 eenheden B telt, dan leidt dat tot de voorwaarden { 2x1 +3x 2 + x 3 +4x 4 +6x 5 = 20 (A) 3x 1 +4x 2 +5x 3 +3x 4 +2x 5 = 30 (B), een (2 bij 5)-stelsel eerstegraadsvergelijkingen. 3. Stroom in netwerken. Of het nu bijvoorbeeld om elektrische stroom, informatiehoeveelheid, dan wel verkeersintensiteit gaat, netwerken gehoorzamen 12

10 CONTEXT EN MATRIXVORM aan de wetten van Kirchoff. Hieronder wordt bijvoorbeeld een gedeelte van een stadsverkeersnetwerk (met éénrichtingsverkeer) getoond, met kruispunten A,B,...,F, en opgave van verkeersintensiteiten uitgedrukt in aantal voertuigen per uur (vpu). noord 700 vpu 400 vpu 200 vpu x vpu 300 vpu F E D x 3 west x 5 x 6 x 7 oost 800 vpu x 1 x vpu A B C 100 vpu 500 vpu 400 vpu zuid Door op elk kruispunt het evenwicht uit te drukken tussen inkomende en uitgaande voertuigen, ontstaan er eerstegraadsvergelijkingen. Zo geldt voor kruispunt E dat x = x 4 + x 6. Het gehele verkeersschema geeft aanleiding tot een (6 bij 7)-stelsel van eerstegraadsvergelijkingen. Schrijf dit stelsel op. 4. Vlakke meetkunde. In het vlak (geïdentificeerd met R 2 ) bepaalt een eerstegraadsvergelijking ax + by = c een rechte. Als b = 0 dan is deze rechte evenwijdig met de y-as; in het andere geval is het een rechte met richtingscoëfficiënt a b. Een (2 bij 2)-stelsel eerstegraadsvergelijkingen { ax + by = r cx + dy = s 13

11 H1 EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN MATRICES kan dus opgevat worden als het opgeven van twee rechten in het vlak en het zoeken naar de punten die tegelijk op die beide rechten liggen. Elementaire kennis van de vlakke meetkunde geeft ons hier meteen het antwoord. Er zijn drie mogelijke situaties. Ofwel zijn de rechten evenwijdig (en verschillend); dan hebben ze geen punten gemeenschappelijk, het stelsel heet strijdig of inconsistent. Bijvoorbeeld { 3x +2y =5 6x +4y =7. Ofwel zijn de rechten niet evenwijdig; dan snijden ze elkaar in juist één (snij)punt. Bijvoorbeeld { 3x +2y =5 6x +3y =7. Ofwel zijn de rechten samenvallend (met andere woorden dezelfde); in dat geval hebben ze al hun punten gemeenschappelijk. Bijvoorbeeld { 3x +2y =5 6x +4y = Ruimtemeetkunde. In de ruimte (geïdentificeerd met R 3 ) bepalen eerstegraadsvergelijkingen zoals ax + by + cz = d niet een rechte, maar een vlak! Schrijf de vergelijkingen op van de vlakken die telkens twee coördinaatassen bevatten (bijvoorbeeld x- en y-as). Wat is de meetkundige vertaling van een stelsel eerstegraadsvergelijkingen? In dit hoofdstuk maken we kennis met het praktisch behandelen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen. Is het stelsel oplosbaar? Is er juist één oplossing of zijn er meerdere? Hoe vinden we een oplossing? Hoe vinden we alle oplossingen? Laat ons x 1,x 2,...,x n noteren voor de n veranderlijken, en veronderstel dat we m eerstegraadsvergelijkingen hebben. Dan verkrijgen we, in het algemeen, een stelsel van de vorm a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m, 14

12 GAUSS-ELIMINATIE, ECHELONVORM, RIJGEREDUCEERDE VORM waarin we de getallen a ij (1 i m, 1 j n) de coëfficiënten van het stelsel noemen. In feite is deze notatie niet bijzonder zuinig, vermits we in elke vergelijking alle variabelen opnieuw opschrijven. Een meer gebruikelijke notatie is die waarin we de coëfficiënten samenbrengen in een tabel, de matrix van de coëfficiënten, en de variabelen nog slechts één keer noteren. We verkrijgen dan a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n... a m1 a m2 a m3 a mn x 1 x 2 x 3.. x n 1 x n = b 1 b 2 b 3.. b m 1 b m, kortweg ook AX = B genoteerd. Hierin is A een matrix met m rijen en n kolommen, X een matrix met n rijen en één kolom en B een matrix met m rijen en één kolom. We spreken kortweg van de coëfficiëntenmatrix A, de variabelen X en het rechterlid B. Als het rechterlid volledig uit nullen bestaat, spreken we van een homogeen stelsel. 1.2 Gauss-eliminatie, echelonvorm, rijgereduceerde vorm De voornaamste techniek om zo n stelsel op een doeltreffende en praktische manier op te lossen bestaat er in het stelsel om te vormen tot een eenvoudiger type stelsel. Tijdens dit omvormen mag noch de oplosbaarheid, noch de oplossingsverzameling wijzigen. We maken kennis met drie operaties die hierbij van doorslaggevend belang zijn: de elementaire rijoperaties (ERO). Om deze operaties kort te noteren, spreken we af om met R i de i-de vergelijking in het stelsel voor te stellen, met andere woorden R i : a i1 x 1 + a i2 x 2 + a i3 x a in x n = b i. I. R i λr i (λ = 0). Wanneer we een eerstegraadsvergelijking uit het stelsel met een getal verschillend van nul vermenigvuldigen, dan heeft dit hoegenaamd geen invloed op de oplosbaarheid en/of de oplossingen ervan. We kunnen dit uiteraard doen met elke vergelijking in een gegeven stelsel. Doen we dit met de 15