MEETKUNDE. leerplan D. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx. M.m.v. Björn Carreyn.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "MEETKUNDE. leerplan D. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx. M.m.v. Björn Carreyn."

Transcriptie

1 pl r Philip ogert Filip Geeurikx Mr Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze Erik Willokx Pr oe leerpln D fex em MEETKUNDE M.m.v. jörn rreyn rtoons Dve Vnroye

2 ook ls volgt formuleren: D '' 'D' D 5 ) ij een evenredigheid mg je Gelijkvormige driehoeken inderdd de middelste termen vn plts verwisselen. pl r In de stelling vn Thles spreekt men vn de verhouding vn evenwijdige lijnstukken. 1 gelijkvormige driehoeken Volgende tekening mkt duidelijk wrom dit 1 Definities vind je op een Y rode htergrond, twee driehoeken zijn gelijkvormig ls en slehts ls hun overeenkomstige hoeken even groot P zijn en methodes stn in een X overeenkomstige zijden dezelfde verhouding heen. ornje kder. woorden: niet opgt ij niet-evenwijdige lijnstukken. in PQ P'Q' Δ ''' F Δ XY wnt )U De eroemd ( st ) e stelling Eigenshppen vind je op W, V W, U W fex em XY X'Y' in symolen: PQ * en stelling Pythgors 1 omdt XY PQ '' vn '' '' in woorden: k een groene htergrond. X Y P Q Geshiedenis vn de wiskunde vn en herkomst vn In een rehthoekige driehoek is het kwdrt de X'Y' 1 omdt X'Y' P'Q' en Vooreeld: shuine zijde gelijk n de som vn deegrippen. kwdrten vn de P'Q' In deze voorstelling zijn de zijden [] en [''] overeenkomstige rehthoekszijden. zijden, net ls [] en [''] en ook [] en ['']. We stimuleren het geruik Thles vn Milete (Turkije. 6 v.hr v.hr.) vn wiskundesoftwre in symolen: GeoGer. Thles vn Milete leefde vn (.) 6 tot zols + ΔW is W rehthoekig in W V U U We(.) noemen en, en, en overeenkomstige hoeken. 57 v.hr. n de kust vn Klein-zië, dt nu of: 5+ Turkije heet. Omdt hij hndelr in oliën ws, reisde D n het einde vn elke prgrf vind je een eshvingen. Z Z Z smenvtting. kenmerk Gegeven: Δ rehthoekig ( Z Z Z ) shlmodellen We zeggen ook dt Δ ''' en Δ: zijn vn elkr. in Δ Δ ''' hij veel en mkte kennis veel niet-europese Wemet ewijzen deze stelling: Ps op oudere leeftijd strtte hij met de studie vn + Te ewijzen: projetievoorstelling volgt: wetenshppen en filosofie.ewijs: ij zorgde voor eenuit de eerste opmerkingen: Pr oe Twee driehoeken zijn gelijkvormig ls de overeenkomstige zijden een evenredigheid eplen. mnier verhouding vn denken tussen en trhtte de wiskunde te verklren. - nieuwe de onstnte der egelijkvormigheidsftor hde o oovereenkomstige f d s t u k d r i e hzijden o e k s mnoemen e t i n g i nwe een hthoekige driehoek Erofwordt gezegd dt hij in stt ws een zonsverduistering voorspellen, kortweg ftor. te D wrshijnlijk deze vn 585 v. 5 uitsprk: lles is wter. immers dt de oerstof wter Thles meende D pitogrmmen + - uit de definitie volgt dt ongruente driehoeken ook gelijkvormige driehoeken zijn. krijg je wter, ls duidelijkst fsevernderingen ondergt. ls ijs smelt TE ONTOUDEN + D + D de verhouding vn de overeenkomstige is dn 1. stoom. Dezijden Grieken geloofden ook dt ls je stoom verder verdunt, je lu ( D + D ) Overstnde hoeken die even groot zijn, ETEKENIS gelijkenige driehoeken die eve D [] Prktishe fsprk: heen, een dimeter die de irkel in twee gelijke verdeelt, GESIEDENIS Je kent de etekenis vn sinus, osinus en tngens (de goniometrishe wrden )vn een delen sherpe hoek inhet o om de overeenkomstige zijden vn gelijkvormige driehoeken gemkkelijk terug te vinden, spreken we f een rehthoekige driehoek. het zijn lleml vooreelden vn eigenshppen die n Thles toeges REKENMINE 6 ) Smenvtting sin V hoeken zodnig dt de hoekpunten vn de overeenkomstige hoeken in dezelfdevolgorde stn overstnde te noteren rehthoekszijde over de stelling vn Thles zijn er twijfels. Geshiedkundigen heen g IT shuine zijde lgemeen: stelling ddwerkelijk vn Thles fkomstig is. '' '' '' nliggende ls: rehthoekszijde In symolen: Opmerking: os V vn de Mr hndig is die stelling wel. ij erekende zo de hoogte F pirm shuine zijde W U V, W en W Dn: U Δ Δ def V tn U Vd V UE Uit de formule + ( met U 90 in Δ ) kunnen we fleiden: ook de fstnd tussen twee shepen mee vinden. overstndeerrehthoekszijde '' '' '' nliggende rehthoekszijde esluit:

3 mide te erekenen. ij nm de uitdging n en werkte ls volgt. Op de lijn die het midden vn één vn de zijden met de shduw vn de top () vn de pir pltste hij een pltje [DE] zodt de shduw vn de top vn dit pltje preies smenv vn de top vn de pirmide. ij mt de fstnden K, M, D, DE en erekende de pl r Teken de twee gelijkvormige driehoeken wrmee Thles gewerkt heeft. ereken de hoogte vn de V O OR WOORD 6 16 ij sommige sis oefeningen vind je een of twee sterretjes. Dit duidt de moeilijkheidsgrd n. pirmide ls je weet dt K 11 m M 96 m D m en DE m. K M D 6 In D is PQ // en P []; Q []. ereken PQ en ls P 6 m; P m en PQ + 15 m. fex em 18 htern in het oek vind je een trefwoordenregister en de oplossingen vn de oefeningen. Oppervlkte- en inhoudsprolemen. Oplossingen Een foto heeft een lengte vn 1 m en een reedte vn 8 m. ls we deze foto op het inzoomen tot 10 %, wt wordt dn de omtrek en de oppervlkte? En ls we uitzoomen Een ruit met zijde 6 m heeft een oppervlkte vn 18 m². Deze ruit is gelijkvormig me m. epl de oppervlkte vn deze ruit. 8 8 onstrutie vn een Pythgorsoom Een prllellogrm met zijden 6 m en m heeft een Elk hoofdstuk eindigt met een vrdigheid. oppervlkte vn 18 m² en is gelijkvormig 1.1 Evenwijdige projetie (lz. 16) met een prllellogrm met een oppervlkte vn 8 m². ereken de zijden vn dit prllellogrm. [] [] - {} [D] Je herinnert je misshienvnog de onstrutie vn een Pythgorsoom. Zo n oom krijg je door, vertrekkend kleinste kegel en het volume vn de kleinste kegel. d ereken vn een vierknt, een gelijkenige rehthoekige driehoek te onstrueren met depzijde vn het ls pshuine p pzijde p of Vgrootste kegel vierknt. Vervolgens onstrueer je een vierknt op elke rehthoekszijde vn de driehoek. Op de zijde vn het vierknt teken je opnieuw een gelijkenige, rehthoekige driehoek, en zo g je nog een tijdje door. T 1 d mi[] De figuur die je krijgt is eigenlijk een frtl. Dt is een meetkundige figuur wrin eenzelfde motief zih op 6m [DG] e [E] een kleinere shl steeds herhlt. In gedhten kun je dt proes oneindig vk voortzetten. dn mi[dg] f D DElk klein tkje kn immers weer opgevt worden ls een stmmetje dt een omplete oom drgt. g D GF G F x x ten we vertrekken vn een vierknt met zijde. 1 (, 5); (0, ); (, 1); e hierop Vn de regelmtige pirmide TD is gegeven: wordt, heeft ls shuine zijde. De gelijkenige driehoek die geouwd E, ), E( 5, 5), F(0, ) D( krijgen: De rehthoekszijde x kunnen weii 6 m en ITPI 15 m. ls volgt x + x De pirmide wordt gesneden door het vlk EFG 15 7; D 5; EF 6; G 10; IJ 9 Pr oe ier wordt uitgelegd hoe een rekenmhine je kn helpen. 19 ISN: Kon. i.: D/011/017/06 estelnr.: NUR: 16 Druk: die Keure 7 17 Gegeven is een prllellogrm D wrij m en D m. De fstnd tuss m. ereken de fstnd tussen de zijden [D] en []. 7 y-out en opmk: die Keure E 56 P x vn de opstnde zijden gt en evenwijdig loopt x D ereken de inhoud vn eide delen. 1 x 5 D '''D en de gelijkvormigheidsftor is. d x ls de omtrek vn D gelijk is n 0 m, wt is dn de omtrek vn '''D'? 17 (0,8) m, wt is dn de oppervlkte vn '''D ls de oppervlkte vn D gelijk is n 60m ls we onze oom wt lten groeien Foto s: Shutterstok, fotostok die Keure Niets uit deze uitgve mg verveelvoudigd en/of openr gemkt We erekenen de nieuwe rehthoekszijde x. x worden door middel vn druk, fotokopie, mirofilm of op welke wijze x + x d n opyright y die Keure rugge ook zonder voorfgnde shriftelijke toestemming vn de uitgever. 1. Stelling vn Thles (lz. 8) No prt of this ook my e reprodued in ny form y print, Verntwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, photoprint, mirofilm or ny other mens without written permission x 1 8 Kleine Pthoekeweg rugge - elgië from the pulisher. 7.R. rugge x x Druk: 011 Er komt opnieuw een tkje ij x x + x k x x 5, 6 8

4 eeld je even in wt de wereld zou zijn zonder meetkunde. Ingenieurs zouden niet kunnen erekenen hoeveel deze etonnen onstrutie kn drgen. De ouwheer vn deze shns in Noorwegen zou mr gokken hoeveel hout hij zou nodig heen ij het pirmidevormige dk en hij zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen nodig zijn voor de lustrde. En jij, op je skiltten, zou niet weten hoelng je op de shns lijft en onder welke hoek je gelneerd wordt. In dit oek glijden we doorheen de meetkunde en estuderen er de eroemdste wiskundige eigenshp: De stelling vn Pythgors. O j, de skishns is ls toeristishe ttrtie te ezoeken ten noorden vn Oslo. Proefexemplr

5 Inhoud 1 Stelling vn Pythgors 1.1 Een rokje geshiedenis > 8 1. De stelling vn Pythgors: meetkundige voorstelling > Een meetkundig ewijs > Grfield en Pythgors > Pythgorsomen > Vierkntswortel > Rtionle en irrtionle getllen > onstrutie vn irrtionle lengten > Toepssingen op de stelling vn Pythgors > Toepssingen op de stelling vn Pythgors in de ruimte > 0 Vrdigheden: Een Pythgorsoom tekenen > 6 fstnd in het vlk.1 Inleiding > 0. fstnd tussen twee punten: ijzondere gevllen > 1. fstnd tussen twee punten: lgemeen > Vrdigheden: Driehoeken, vierhoeken en rekenen met oördinten > 5 ongruentie.1 ongruente figuren > 58. ongruente driehoeken > 60. ongruentiekenmerken voor driehoeken > 61. ewijzen > 6.5 Toepssingen > 6 Vrdigheden: Ptronen ontwerpen > 77 Omtrek, oppervlkte en inhoud.1 Omtrek vn een vlkke figuur > 80. engtemten > 81. Oppervlkte vn een vlkke figuur > 81. Oppervlktemten > 8.5 Inhoudsformules voor ruimtefiguren > 8.6 Inhoudsmten > 8.7 Vooreelden > 85.8 derdemhtswortel vn een reëel getl > 86 Vrdigheden: Werken met formules > Driehoeksmeting 5.1 Driehoeksmeting > Sinus vn een sherpe hoek > osinus vn een sherpe hoek > Tngens vn een sherpe hoek > Vernd tussen sinus, osinus en tngens vn een hoek > erekening vn goniometrishe getllen met de GRM > elling en tngens > Grondformule vn de goniometrie > Oplossen vn rehthoekige driehoeken > Toepssingen > 10 Vrdigheden: Proleemoplossend denken > 16 Oplossingen > 18 Trefwoordenregister > 18 Proefexemplr

6 Wiskunde vind je ook in de groentenfdeling vn je pltselijke supermrkt. Deze Romneso, genoemd nr de Itlinse omshrijving vn rooli uit Rome is inderdd fmilie vn de rooli en de loemkool. Voor je het verorert, moet je eerst nuwgezet kijken nr de prhtige opouw. et is immers een vooreeld vn een frtl, een meetkundige figuur die estt uit kleinere, ongeveer gelijkvormige figuurtjes met veel detils. Dnkzij de stelling vn Pythgors mk je kennis met een Pythgorsoom die zl leiden tot zo n frtl. Proefexemplr

7 Stelling vn Pythgors 6 Omzetting reuken - kommgetllen > 1 Een rokje geshiedenis > 8 De stelling vn Pythgors: meetkundige voorstelling > 10 Een meetkundig ewijs > 11 Grfield en Pythgors > 1 5 Pythgorsomen > 1 6 Vierkntswortel > 1 7 Rtionle en irrtionle getllen > 15 8 onstrutie vn irrtionle lengten > 16 9 Toepssingen op de stelling vn Pythgors > Toepssingen op de stelling vn Pythgors in de ruimte > 0 11 Smenvtting > 1 Oefeningen > Vrdigheden Een Pythgorsoom tekenen > 6 Proefexemplr 1

8 Pythgors vn Smos pl r 1 ) Een rokje geshiedenis Pythgors werd georen op het Griekse eilnd Smos (rond 57 voor hristus). Omdt Smos op dt moment geregeerd werd door de tirn Polyrtes, hield hij het dr vlug voor ekeken en week hij uit nr Egypte. ter elndde hij vi ylonië in Zuid-Itlië, in roton, wr hij een 'shool' stihtte. Deze shool ws een soort klooster wr de voornmste intelletuelen vn die tijd smenkwmen. Ze hdden hun eigen regels (onder ndere gehoorzmheid, stilzwijgen, eenvoud in kleding en ezittingen), eigen geheimen, inwijdingen en symolen. et is dus te egrijpen dt de inwoners vn roton het genootshp niet eht goed gezind wren. Er wordt zelfs verteld dt Pythgors de dood vond toen de evolking, rond 500 voor hristus, het huis vn een leerling en vriend vn fex em Pythgors in rnd stk, ls protest tegen de nwezigheid vn het geheimzinnige roedershp. Pythgors verdeelde de wiskunde in vkken: rekenkunde, meetkunde, sterrenkunde en muziek! Een indeling die het meer dn 000 jr zou uithouden. Muziek ws dus heel elngrijk voor hem en zijn leerlingen. Ze estudeerden de wiskundige verhoudingen tussen klnken en ontdekten dt tegelijk klinkende noten lleen een welluidende klnk gven ls de lengte vn hun snren in een eplde wiskundige verhouding stond, zols tot (kwint) en tot 1 (otf). Mensen zijn ltijd ouwers geweest. Duizenden jren geleden heeft men immense pirmiden en tempels geouwd. Eén vn de eerste prolemen die men moest oplossen ws: hoe zetten we op het terrein een rehte hoek uit? In de tijd vn de Griekse filosoof en wiskundige Pythgors vn Smos geruikten Egyptishe lndmeters (zogenmde hrpedonpti of touwspnners) een lng touw wr op gelijke fstnden vn elkr 1 knopen werden in gemkt. et touw werd verdeeld in knopen. Dit touw werd ij de knopen en vstgemkt n de grond. Vervolgens spnt men de delen en ' op en ls Pr oe en ' smenvllen, dn is de hoek in gelijk n 90. Men noemt dit ook een Egyptishe driehoek. 5 De Egyptishe driehoek is een prktishe toepssing vn de omgekeerde stelling vn Pythgors: de som vn de kwdrten vn de kortste zijden is gelijk n het kwdrt vn de lngste zijde ( + 5 ) en dus is het een rehthoekige driehoek. 8

9 Er geldt + 5 Inderdd: hoofdstuk 1 Deze eroemde stelling die de nm stelling vn Pythgors drgt, is welliht niet door Pythgors zelf gevonden. In ylonië, Egypte, Indië en zelfs hin ws de stelling l lnger gekend. stelling vn Pythgors STEllING vn PyTGORS In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn de shuine zijde gelijk n de som vn de kwdrten vn de rehthoekszijden. Een driehoek met zijden wrvn de lengten zih verhouden ls : : 5 wordt een Egyptishe driehoek genoemd. De hoek ten opzihte vn de lngste zijde is reht. Er geldt: + 5. ij een rehthoekige driehoek is de oppervlkte vn het vierknt met de shuine zijde ls zijde, gelijk n de som vn de oppervlkten vn de vierknten met de rehthoekszijden ls zijde. Dit geldt ook ls je op de zijden hlve irkels onstrueert of gelijkzijdige driehoeken. Deze eigenshp geldt ook ls je op de zijden vn de driehoek ndere gelijkvormige figuren dn vierknten onstrueert. Een driehoek wrvn de zijden zih verhouden ls 5 : 1 : 1 wordt een Indishe driehoek genoemd. Er geldt: De hoek ten opzihte vn de lngste zijde is reht. Dergelijke drietllen noemt men ook Pythgorishe drietllen. Een ntl vn deze getllen zijn: 5 wnt wnt wnt wnt wnt wnt wnt // // // / / /// /// / + /// + Proefexemplr 5 5 9

10 10 ) De stelling vn Pythgors: meetkundige voorstelling stelling vn Pythgors In woorden: 5 + De oppervlkte vn het vierknt op de shuine zijde vn een rehthoekige driehoek is gelijk n de som vn de oppervlkten vn de vierknten op de twee rehthoekszijden. In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn de shuine zijde gelijk n de som vn de kwdrten vn de rehthoekszijden. In symolen: + of + We illustreren met GeoGer dt deze uitsprk steeds geldt. 5 oppervlkte vn het rode vierknt oppervlkte vn het ornje vierknt oppervlkte vn het grootste vierknt Proefexemplr

11 Opmerking: Ook het omgekeerde geldt: omgekeerde stelling vn Pythgors hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS ls in een driehoek het kwdrt vn een zijde gelijk is n de som vn de kwdrten vn de twee ndere zijden, dn is deze driehoek rehthoekig. Vooreelden: Een driehoek met zijden m, 5 m en 6 m is niet rehthoekig wnt: + 5 Y 6 immers: Y 6 Een driehoek met zijden 16 m, 0 m en m is wel rehthoekig wnt: immers: Een driehoek met zijden 1,8 m;, m en m is wel rehthoekig wnt: 1, 8 +, immers:, + 5, 76 9 Toepssing: Een vliegtuigmtshppij onderzoekt of de mogelijkheid estt om stnpltsen in te rihten in het vliegtuig. Men denkt er ook n om uitklpre zitvlkken te voorzien. Op de shets vind je de fmetingen terug. Stt het plnkje loodreht op de leuning? Oplossing: Er is een driehoek gevormd met zijden vn 1 m, 16 m en 0 m. omdt is de driehoek rehthoekig. De plnk stt loodreht op de leuning. ) Een meetkundig ewijs ^ + h en + D Dus: ^ + h D $ $ D $ $ 1 Proefexemplr? m 0 m 16 m 11

12 1 ) Grfield en Pythgors Jmes. Grfield ( ) Wrom geen politius ls wiskundige? De repulikein Jmes Grfield ws immers de 0ste president vn merik. ij rht het vn rme jongen uit de uitenwijken vn Ohio tot oorlogsheld en president. ij museerde zijn vrienden door simultn te noteren: met zijn linkerhnd shreef hij in het tijn, terwijl zijn rehterhnd in het Grieks shreef. Zijn suesverhl kende ehter een rupt einde toen één vn zijn politieke medestnders hem doodshoot. ➀ ➀ onstrueer een rehthoekige driehoek met zijden, en. ➁ Verleng met en onstrueer een ongruente driehoek. Z ➂ X Y ➁ + + Z ➂ Door het onstrueren vn 6 een trpezium met sissen en en ls hoogte +. DXYZ is rehthoekig in Z omdt VZ y + VZ y 90 1 ➃ De oppervlkte vn het trpezium: $ $ ^ + h ^ + h + ^ + h De stelling vn Pythgors werd door veel ndere personen ewezen zols onder ndere hskr en eonrdo D Vini. Zoek op het internet nog ndere ewijzen vn de stelling vn Pythgors. ➃ Proefexemplr X Y

13 5 ) Pythgorsomen hoofdstuk 1 Een Pythgorsoom verkrijg je door, vertrekkend vn een vierknt, een gelijkenige rehthoekige driehoek te onstrueren, met ls shuine zijde de zijde vn het vierknt. Vervolgens onstrueer je een vierknt op elke rehthoekszijde vn de driehoek. Op de zijden vn het vierknt teken je opnieuw een gelijkenige, rehthoekige driehoek. G zo nog een tijdje door. Pythgorishe drietllen en de ltste stelling vn Fermt STEllING vn PyTGORS Je kn je Pythgorsoom ook retief nkleden. ls je hndig ent kun je er zelfss een D-versie vn mken. Op pgin 8 leren we je hoe je zo n oom met GeoGer kun tekenen. Pythgorishe drietllen zijn drie ntuurlijke getllen die voldoen n de stelling vn Pythgors. Zo is, en 5 een pythgorish drietl omdt De 'primitieve pythgorishe drietllen' kleiner dn 100 zijn: ovendien krijg je een nieuw pythgorish drietl ls je een pythgorish drietl met een ntuurlijk getl vermenigvuldigt. Vooreelden: Er lijken oneindig veel ntuurlijke getllen, en te estn die voldoen n +. Ntuurlijke getllen vinden die n de voorwrde + voldoen, lijkt ehter niet zo eenvoudig te zijn. Meer zelfs: er estn gewoonweg geen getllen die ern voldoen. Er is zelfs een stelling die zegt dt er voor elk ntuurlijk getl n geen n n n oplossingen zijn voor + `,, N 0j. Dit noteerde de Frnse wiskundige Pierre de Fermt rond 167 in de kntlijn vn één vn zijn oeken. Een ewijs vn deze Proefexemplr stelling heeft men ij hem ehter nooit gevonden. Deze uitsprk werd ekend ls 'het vermoeden vn Fermt' en er werd eeuwenlng gezoht nr een ewijs vn dit vermoeden. et is ps in 199 dt de Engelse wiskundige ndrew Wiles, n zeven jr ononderroken en hrdnekkig zoeken, deze stelling heeft kunnen ewijzen. 1

14 1 6 ) Vierkntswortel omdt omdt m 9 vierkntswortel In woorden: is een vierkntswortel vn ls en slehts ls het kwdrt vn gelijk is n. In symolen: F en zijn positieve reële getllen. Opmerkingen: - estt niet. ij het erekenen met het rekentoestel vershijnt de vermelding ERROR ^ 9 h 9 ^ 81 h 9 81 Dus: ^ h Om vierkntswortels te erekenen geruiken we een rekenmhine. We geruiken hiervoor de toets , 5, 5 1, Deze ltste kunnen we niet ls een reuk shrijven. We noemen een irrtionl getl. We kunnen fgerond tot op deimlen shrijven ls 1,7. Toepssing: Een zijde vn een rehthoekige driehoek erekenen Vooreeld 1: Vooreeld : Gegeven: D, W 90 8, 10 Gegeven: D, W 90 6, Gevrgd: x? Gevrgd: x? Oplossing: We pssen de stelling vn Pythgors toe in D + x x x x x x 8 de lengte vn een zijde is positief 6 Oplossing: We pssen de stelling vn Pythgors toe in D + + x 6 x x x Proefexemplr ntwoord: De lengte vn 5? is 10. ntwoord: De lengte vn 5? is 5. $ 6 x

15 7 ) Rtionle en irrtionle getllen 0, hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS In deze deimle voorstelling komt een repeterend gedeelte voor, nmelijk 6. Dit noemen we de periode. 0, ier is de periode We noemen en rtionle getllen. 11 1, In deze deimle voorstelling komt geen repeterend gedeelte voor, hoever we de nuwkeurigheid ook (met omputers) opdrijven. p, Dit getl evt geen periode. 7, Dit getl evt geen periode. We noemen, p en 7 irrtionle getllen. esluit: 1,7 Deimle voorstellingen vn rtionle getllen evtten een periode. Deimle voorstellingen vn irrtionle getllen evtten geen periode. De rtionle en de irrtionle getllen smen noemt men de reële getllen (symool R). Z ] rtionl getl: 7; 11 ; - ; 11 ; - ; 0, ; 0, reëel getl: [ 7 8 ] \ irrtionl getl: ; ; - 7; p omputers kunnen heel veel deimlen weergeven vn rtionle en irrtionle getllen: 7 0, ,5 p - 7 Proefexemplr Q R 15

16 16 8 ) onstrutie vn irrtionle lengten D 1 We pssen de stelling vn Pythgors toe in volgende driehoeken in D: P in DD: D 1 + ^ h 1 + P in DDE: E 1 + ^ h 1 + P D E E oewel,, irrtionle getllen zijn, kunnen we toh nuwkeurig een lijnstuk tekenen wrvn de lengte,, is. Om nuwkeurig een lijnstuk te tekenen met lengte rehthoekszijden m en 5 m zijn, wnt: ^ 9 h m F 1 G 9 m onstrueer je een rehthoekige driehoek wrvn de 5 m 9 m Proefexemplr

17 hoofdstuk 1 9 ) Toepssingen op de stelling vn Pythgors Toepssing 1: De wslijn 9 m m,5 m STEllING vn PyTGORS De plen vn een wslijn stn 9 m vn elkr verwijderd en zijn zelf,5 m hoog. In het midden vn de wslijn wordt een mndje met wsspelden gehngen. ierdoor rekt de drd uit en komt het diepste punt tot op m vn de grond. oe lng is de drd nu geworden? Oplossing: In D:, 5;, 5-0, 5; W 90 We pssen de stelling vn Pythgors toe in deze driehoek: +, 5 + 0, 5 0, 5 + 0, 5 0, 5 ntwoord: 0, 5, 5 De wslijn is $ 0, 5 m of ongeveer 9,06 m lng. Proefexemplr,5 m 17

18 18 Toepssing : De tent ij de strt vn het zomerkmp vn hun jeugdeweging willen en en Stijn hun tent optrekken. ls je weet dt de shuin gepltste zeilen vn de tent een lengte heen vn,5 m en dt het grondzeil 6 m reed is, ereken dn de hoogte vn de tent. et proleem egrijpen: Mk een shets vn het voorvlk vn de tent. Duid de gegevens erop n. Welke lengte wordt er gezoht? Oplossing: et voorvlk vn de tent is een gelijkenige driehoek. We weten dt de hoogtelijn uit de top ook de middelloodlijn vn de sis is. ijgevolg: In D ^X 90h pssen de stelling vn Pythgors toe +,5 + 1, ,5-9,5, 5 1, 80 ntwoord: De tent is ongeveer 1,80 m hoog. Proefexemplr 6,5

19 Toepssing : Dethride hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS ij een dethride komen twee stuntmnnen Koen en Wouter n elkr lngs een kel nr eneden. Ilke doet volgende vststellingen: 70 m 50 m J E 0 m 15 m (Wouter) F 80 m 10 m (Koen) op welke fstnd evinden Koen en Wouter zih vn elkr op het moment dt Ilke de vststellingen doet? ereken tot op 1 m nuwkeurig. et proleem egrijpen: Oplossing: Welke lengte moet je zoeken? In D ^X 90h geldt: In welke driehoek zul je werken? 50 m - 0 m 0 m 80 m - 15 m 65 m ntwoord: Wouter en Koen evinden zih op 71,59 m vn elkr. ereken de lengte vn de keln tot op 1 m nuwkeurig. et proleem egrijpen: G + Oplossing: , 59 Welke fstnden he je nodig om de lengte De totle lengte is: D + + D vn de keln te erekenen? In welke driehoeken zl je dn werken? In DJ ^V J 90h: In DGD ^W G 90h: ntwoord: De totle lengte vn de keln is ^5 + 71, 59 +, 7hm 11,1 m. D J + J dus: 65 5 dus: D G + GD D Proefexemplr 000.,7 19

20 0 10 ) Toepssingen op de stelling vn Pythgors in de ruimte Toepssing 1: Gegeven: De kuus De kuus EFG m met een rie vn m. D op 6 we M zodt M 1 m. Gevrgd: ereken M, M en. Oplossing: Welk soort driehoek isdm? In DM D: M MD D stelling vn Pythgors met DM Y dus: M 5 m In DD M: M D DM stelling vn Pythgors met MD Y dus: M 5 m In D D : D + D dus: m 16 m m DM is gelijkenig wnt M M 5 m $ stelling vn Pythgors met D Y 90 Proefexemplr E F 1 M D G

21 Toepssing : Gegeven: De lk In een lk EFG m zijn de fmetingen 10 m, 8 m en 6 m. D Gevrgd: ereken FD. et proleem egrijpen: epl een driehoek wrvn 6 een zijde is. G n of je voldoende elementen het om in die driehoek 6 te erekenen. Moet je nog op zoek nr een tweede rehthoekige driehoek om het proleem op te lossen? Oplossing: DFD is rehthoekig in FD F + D FD 6 + D (1) We erekenen nu D in D. hoofdstuk 1 Omdt deze driehoek rehthoekig is in pssen we de stelling vn Pythgors toe. DD is rehthoekig in D D + D We vervngen () in (1): FD FD FD 6 + D ntwoord: 6 is 00 m of ongeveer 1, 1 m lng. () E 6 F STEllING vn PyTGORS Proefexemplr 10 D 8 G 1

22 Toepssing : De pirmide TD is een regelmtige pirmide met een vierknt ls grondvlk. De zijde vn het vierknt meet 16 m en de opstnde rie vn de pirmide meet m. ereken de hoogte vn de pirmide. Gegeven: Gevrgd: Oplossing: TD is een regelmtige pirmide, D is het grondvlk D 16 m; T m de hoogte T DT is rehthoekig in. We erekenen eerst. Dit doen we in vierknt D. DD is rehthoekig en gelijkenig (in een vierknt stn de digonlen loodreht op elkr en snijden elkr middendoor) D D + 56 $ In DT : $ $ stelling vn Pythgors in D T T + stelling vn Pythgors in T ^ h T + 18 T T 56 ntwoord: De hoogte is 56 m of ongeveer 18, 87 m. Tk: epl met GeoGer de hoogte vn deze pirmide door de situties met pssende fmetingen in het vlk te tekenen. Teken het vierknt D. Teken T. epl de lengte vn 6 D Proefexemplr 16? T D 16 T

23 11 ) Smenvtting hoofdstuk 1 Je kent de stelling vn Pythgors en je kunt ze meetkundig voorstellen. STEllING vn PyTGORS In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn de shuine zijde gelijk n de som vn de kwdrten vn de twee rehthoekszijden. Je kent de omgekeerde stelling vn Pythgors + of + ls in een driehoek het kwdrt vn een zijde gelijk is n de som vn de kwdrten vn de twee ndere zijden, dn is deze driehoek rehthoekig. Je kunt een Pythgorsoom tekenen. Je weet dt elk positief reëel getl een positieve en een negtieve vierkntswortel heeft. Je kunt de vierkntswortel vn een positief getl erekenen met een rekenmhine. Je weet dt rtionle getllen in hun deimle voorstelling een periode heen en dt deimle getllen zonder periode irrtionle getllen genoemd worden. Je weet dt de rtionle en de irrtionle getllen smen de verzmeling vn de reële getllen vormen. Je kunt lijnstukken met irrtionle lengten onstrueren. Je kunt de stelling vn Pythgors toepssen in vlkke figuren en ruimtefiguren. Proefexemplr

24 1 ) Oefeningen 1 ereken met je rekenmhine tot op deimlen nuwkeurig. 7 + d e f Vul in met, of. d 7 5 e f 5 7 Welke vn volgende driehoeken MNP zijn rehthoekig? Welke hoek is reht? Kruis het pssende vkje n. MN MP NP RETOEKIG NIET RETOEKIG , 9 7, ,8 9, Zijn volgende getllen Pythgorishe drietllen? J Proefexemplr NEE

25 5 Vul n met een getl zodt je een Pythgorish drietl krijgt d 7 5 e 75 1 hoofdstuk 1 6 onstrueer en zodt 1 m, D 18 m en EF 5 m. STEllING vn PyTGORS Proefexemplr 5

26 6 7 ereken x ls je over de volgende gegevens eshikt. Rond je uitkomst f tot op deimlen nuwkeurig. x K 1 x M d T Proefexemplr 18 5,7 x R x G F 7,6 5 S

27 hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS 8 et poppenhuis vn Julie heeft onderstnde fmetingen. ereken in m de totle oppervlkte vn het dk. 9 In een gelijkzijdige driehoek is de hoogte 9 m. oe lng zijn de zijden? Werk tot op 1 m nuwkeurtig. 10 Een 8 m hoge oom is door de liksem getroffen en is geknkt. De top vn de oom rkt de grond op preies 5,5 m vn de stm. Op welke hoogte (op 1 m nuwkeurig) is de oom geknkt? 5 m m Proefexemplr m 6 m 7

28 8 11 De lengte vn de digonlen vn een ruit edrgen 8 m en 6 m. ereken de lengte vn de zijde vn de ruit. 1 Een ldder vn,8 m stt tegen een muur. De voet vn de ldder is 1,6 m vn de muur verwijderd. oe hoog rust de ldder tegen de muur? Werk tot op 1 m nuwkeurig. 1 De zijde vn een gelijkzijdige driehoek meet 1 m. ereken de hoogte vn die driehoek. Werk tot op 0,01 m nuwkeurtig. Proefexemplr

29 1 De VRT-rdiomst in Grimergen is 165 m hoog. hoofdstuk 1 6 m onder de top is een kel evestigd die nr een punt op de grond loopt, dt 0 m vn de zendmst fligt. ereken de lengte vn deze kel. STEllING vn PyTGORS 15 Een mn wil ij wijze vn stunt een touw spnnen tussen torens, vn 0 m en m hoog en die 5 m vn elkr stn. oe lng moet het touw minstens zijn? 0 m Proefexemplr 5 m m 9

30 0 16 We kunnen de stelling vn Pythgors ook toepssen in ruimtefiguren. We gn op zoek nr rehthoekige driehoeken. d Noteer de stelling vn Pythgors voor driehoek EG. Noteer de stelling vn Pythgors voor driehoek G. Noteer de stelling vn Pythgors voor driehoek EI. Noteer de stelling vn Pythgors voor driehoek DJ. E F I 17 In deze lk is M het midden vn 6 ereken EM. J 18 Een keukeninstllteur wil ngn of de muren reht tegen elkr stn. Vnf het hoekpunt meet hij op eide muren 15 m f. Nu meet hij tussen de twee punten 1,90 m. Stn deze muren loodreht tegen elkr? D G d 6 m E F 1 m 15 m 15 m 190 m Proefexemplr D M v v G 8 m

31 19 Stef zwemt een m rede rivier over. n de over- knt stelt hij vst dt hij 5 m stroomfwrts is gedreven. Duid op de tekening de fmetingen n. oeveel meter heeft Stef gezwommen? hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS 0 Een heel oude opgve, uit ongeveer 1800 voor hristus, is te vinden op een ylonish kleitlet (in het ezit vn het ritish Museum te onden). De vertling luidt: Een lk met de lengte stond heleml tegen een muur n. ij is weggeshoven, wrij het oveneind 0,6 omlg is geshoven. oe ver is hij eneden vn de muur weggeshoven? 1 Twee even hoge plen stn 10 meter vn elkr verwijderd. Er is een touw strk gespnnen tussen de twee toppen vn de plen. Wnneer een koorddnser in het midden vn het touw komt, is het touw 50 m doorgezkt. oeveel m is het touw uitgerekt door het gewiht vn de koorddnser? Proefexemplr 1

32 Gegeven: Een lk wrij M het midden is vn 6 D 9 m D m G m Gevrgd: ereken. Werk in. ereken G. ereken M ereken de lengte vn de digonl 5 G? vn een kuus met zijde 1 m. ereken de lengte vn de digonl 5? vn een lk met l 6 m; m en h 1 m. E 1 6 F D G Proefexemplr E 1 E F F 1 9 M D D 1 G G

33 5 Is het mogelijk om een stok met lengte 1 meter in deze gesloten lkvormige doos te krijgen? 6 ereken de hoogte h vn deze kegel. hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS 7 Vn een pirmide is het grondvlk een vierknt met zijde 6 m en de hoogte 18 m. ereken de lengte vn de opstnde zijde. Werk tot op 0,1 m nuwkeurig. D 6 18 T 6 80 m m 0 m 50 m 1 m Proefexemplr h

34 8 Een kuusvormig stuk hout met zijde 0 m wordt in twee stukken gesneden. ereken de oppervlkte vn de doorsnede. 9 De ruimtedigonl vn een kuus is. De oppervlkte vn deze kuus is 18 d 6 e 5 JWO 009, de ronde, proleem 6 Vlmse Wiskunde Olympide vzw 0 Welke rehthoekige driehoek heeft een omtrek met hetzelfde mtgetl ls zijn oppervlkte (v. 7 m en 7 m )? Een driehoek met rehthoekszijden m en m 6 m en 8 m 9 m en 1 m d 1 m en 16 m e 15 m en 0 m JWO 005, de ronde, oefening 17 Vlmse Wiskunde Olympide vzw Proefexemplr 0 0

35 1 Nst de gekende pirmides vn heops en hefren stt ook de minder indrukwekkende pirmide vn Mykerinos. et grondvlk is een vierknt met zijde 108 m en elke opstnde zijde vn deze pirmide is 97 m lng. ereken de hoogte vn deze pirmide. Werk tot op 1 m nuwkeurig. hoofdstuk 1 STEllING vn PyTGORS Proefexemplr 5

36 pl r Een Pythgorsoom tekenen Teken zelf (met of zonder omputer) een Pythgorsoom. t je retiviteit werken! Pr oe fex em ieronder een ntl vooreelden een Pythgorsoom tekenen 6

37 hoofdstuk 1 Een Pythgorsoom tekenen met GeoGer een Pythgorsoom tekenen STEllING vn PyTGORS In GeoGer kunnen we met mro s werken. Mro s zijn erg nuttig ls we eplde hndelingen meerdere keren moeten herhlen. ngezien het tekenen vn de Pythgorsoom uit twee vershillende meetkundige onstruties estt, leren we hoe we deze moeten uitvoeren. Tekenen vn een vierknt Dit kunnen we eenvoudig vi het ioontje regelmtige veelhoek. Tekenen vn een gelijkenige rehthoekige driehoek Sluit het lgervenster (hierdoor krijgen de getekende ojeten geen nm mee) en vererg de ssen. Teken een willekeurig lijnstuk Teken de middelloodlijn vn het lijnstuk Duid het midden vn n. Teken de irkel met ls middelpunt en die gt door en. Zoek het snijpunt D vn de irkel met de getekende middelloodlijn. Teken de driehoek D. Door ojet tonen uit te vinken kun je de hulponstruties onzihtr mken. Zorg ervoor dt lleen de getekende driehoek lijft stn. We mken hier nu een mro vn: Teken met de linkermuisknop ingedrukt een rehthoek rond de getekende driehoek. Klik dn op mro s en kies voor Nieuwe mro nmken. Kies ls eindojeten lles wt er vermeld stt en voeg er driehoek veelhoek 1 n toe. Kies ls eginojeten: en. Klik dn op volgende en ndien op eëindigen. Klik op Mro s eheren en kies ls nm voor de mro: gelijkenige rehthoekige driehoek. Vergeet niet de mro op te sln. Tekenen vn een Pythgorsoom Teken een vierknt. Geruik de mro Gelijkenige rehthoekige driehoek om op de zijde vn het vierknt ovenn een gelijkenige rehthoekige driehoek te onstrueren. Vervolgens teken we twee vierknten, een op elke rehthoekszijde vn de getekende rehthoekige driehoek. Deze stppen lijf je voortdurend herhlen tot je een mooie oom krijgt. Doe het nu zelf 1 Mk een Pythgorsoom en wees retief. Doe het met ehulp vn IT (zols hieroven werd eshreven) of doe het op een mooi tekenld. Proeer ook een sheve Pythgorsoom te mken. Je geruikt dn niet een gelijkenige rehthoekige driehoek, mr wel een niet-gelijkenige rehthoekige driehoek. reëer een D-Pythgorsoom. Geruik piepshuim, krton, hout en ntuurlijk een gezonde portie retiviteit. Zorg voor een originele titel en vergeet je hndtekening niet te pltsen. Proefexemplr 7 vrdigheden

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Beste leerling. De auteurs

Beste leerling. De auteurs Voor wie kopiëren wil: U vindt dit oek goed en wenst er kopieën vn te mken. edenk dn ook eens: dt zowel uitgever ls uteurs met de oprengst ervn hun kosten moeten dekken; dt kopiëren zonder toestemming

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 180 M2 De pirmide, de kegel en de ol 18 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol 190 179 M1 1 Titel Ruimtelijke situties

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Breuken. Breuken. Wiskunde voor de brugklas. 1 De cd-roms van Wiskunde Interactief

Breuken. Breuken. Wiskunde voor de brugklas. 1 De cd-roms van Wiskunde Interactief De d-roms vn Wiskunde Intertief Breuk voor de Bsisshool het hoe wrom vn reuk verevoudig 8 4 4 optell 4 + 7 ftrekk 3 4 7 3 vermigvuldig 4 3 del 7 : 3 4 Breuk voor de Bsisshool,Vmo, Hvo/VWO Po het hoe wrom

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Krommen en oppervlakken in de ruimte

Krommen en oppervlakken in de ruimte (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN Permnente kennis 3de trimester 4de jr Grooteden en eeneden BASISGROOTHEDEN Bsisgrooteid Symool Eeneid lengte l meter m mss m kilogrm kg tijd t seonde s elektrise stroom I mpère A AFGELEIDE GROOTHEDEN EN

Nadere informatie

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter.

De standaard oppervlaktemaat is de vierkante meter. Die is afgeleid van de standaard lengtemaat, de meter. Opgve 1 Dit is een roosterord. Elk roosterhokje is 5 m ij 5 m. Hoeveel edrgt de oppervlkte vn dit ord? Opgve 2 Welke oppervlktemten ken je l? Noem er zoveel mogelijk. De oppervlkte-eenheid is de vierknte

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Welke van de volgende beweringen over de kromme snavel is of welke zijn juist voor jonge flamingo's? Maak het hokje met een juiste bewering zwart.

Welke van de volgende beweringen over de kromme snavel is of welke zijn juist voor jonge flamingo's? Maak het hokje met een juiste bewering zwart. Route I 1 Flmingo's Flmingo's zeven met hun kromme snvel voedsel uit het wter. Jonge flmingo's heen een rehte snvel. De jonge dieren zeven niet zelf voedsel uit het wter, mr worden door de ouders gevoerd.

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

les 1 1 Welke breuk is het grootst? 2 Hoe kun je een meter veterdrop in zes gelijke stukken verdelen? Hoe vergelijk je de breuken?

les 1 1 Welke breuk is het grootst? 2 Hoe kun je een meter veterdrop in zes gelijke stukken verdelen? Hoe vergelijk je de breuken? 0 vergelijken en op volgorde zetten vn eenvoudige reuken en kommgetllen reuken omzetten in kommgetllen en omgekeerd Welke reuk is het grootst? 5 6 2 7 9 5 5 9 2 5 7 2 7 8 8 9 8 5 00 5 6 7 20 5 7 27 70

Nadere informatie

Route F - Desert. kangoeroerat

Route F - Desert. kangoeroerat Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten

Nadere informatie

Inhoudsmaten. Verkennen. Uitleg. Opgave 1. Dit is een kubus met ribben van 1 m lengte. Hoeveel bedraagt de inhoud ervan?

Inhoudsmaten. Verkennen. Uitleg. Opgave 1. Dit is een kubus met ribben van 1 m lengte. Hoeveel bedraagt de inhoud ervan? Inhousmten Verkennen Opgve 1 Dit is een kuus met rien vn 1 m lengte. Hoeveel ergt e inhou ervn? Kun je e nm kuieke meter ls eenhei vn inhou verklren? In hoeveel kleinere kuussen is eze kuieke meter vereel?

Nadere informatie

ja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle

ja, studentaccount is groter dan standaard account en nog steeds gratis. Wel moet je mail adres van school en website van school invoeren ter controle Werken met Prezi Infolok Prezi: www.prezi.om prijs ipd pp geshikt voor leerling voordeel Stp 1: het nmken vn een ount. - G nr de wesite. - Kies voor 'Sign Up. grtis j presentties en mindmppen j, studentount

Nadere informatie

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek.

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek. M15 Rechthoek en lk 692 E Je kunt hieronder eenvoudig de oppervlkte vn een rechthoek vinden door de ruitjes te tellen. Elk ruitje is 1 cm². Hoe groot is de oppervlkte vn deze rechthoek?... 693 B Bereken

Nadere informatie

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet. Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistishe ngiften in te vullen en door te sturen vi internet. Het etreft een door de FOD Eonomie volledig eveiligde

Nadere informatie

Profielwerkstuk Geschiedenis van de wiskunde

Profielwerkstuk Geschiedenis van de wiskunde Profielwerkstuk Geschiedenis vn de wiskunde De wondere wereld vn de wiskunde voor Christus. Dingo Alvrez V6 Inhoudsopgve Voorwoord Egyptische Wiskunde Delen en vermenigvuldigen op z n Egyptisch 5 Egyptische

Nadere informatie

03 02 11 12 dagen. Ongeopend: 22 01 2014. 1 juni 1 juli

03 02 11 12 dagen. Ongeopend: 22 01 2014. 1 juni 1 juli lok les en C Hoelng is het houdr? in de winkelwgen houdrheidsdtum onsumeren innen 0 0 dgen zterdg jnuri 0 Ongeopend: 0 0 Ongeopend: 0 jr Ongeveer mnden 8 0 dgen C Reken met tijd. het is nu over dgen is

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

De route van de Ocean start in de Bush. Volg de bordjes naar de Ocean. De vragen staan in chronologische volgorde.

De route van de Ocean start in de Bush. Volg de bordjes naar de Ocean. De vragen staan in chronologische volgorde. Route L - Oen 1 De route vn de Oen strt in de Bush. Volg de ordjes nr de Oen. De vrgen stn in hronologishe volgorde. Kwllen Dt er lngs de Nederlndse kust kwllen voorkomen, is lgemeen ekend. De oorkwl kun

Nadere informatie

Ontleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase

Ontleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase Door Henk Jongsm, hoofduteur Op Niveu tweede fse Ontleden? Leuk! Inleiding Lstig soms, dt ontleden. Denk je net een regel te egrijpen, kom je weer een uitzondering tegen. En ls je denkt die uitzondering

Nadere informatie

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan. 2 Verschuiven Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a 68 ; dus S 80 SE. us SE S 56 ES 80 56 0. us SE 78. V- 60. Ook geldt 60. us. V-a 80 Er geldt:

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Handleiding voor het maken van Papierarchitectuur, PA.

Handleiding voor het maken van Papierarchitectuur, PA. Hnleiing voor het mken vn Ppierrhitetuur, PA. Inleiing PA is het mken vn 3D ojeten uit een plt stuk ppier of krton. Eerst wort een ontwerp gemkt op ppier of krton. Door het snijen en vouwen vn het ontwerp

Nadere informatie

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u?

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u? CREATIVITEIT drs. R.B.E. vn Wijngrden 1 SITUATIE Elke dg zijn er momenten die om retiviteit vrgen. Een proleem oplossen, een nieuw idee ontwikkelen, ties edenken, vereterpunten zoeken zken wrvoor het nuttig

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Voorkennis: wee soorten tekeningen ladzijde 254 V-1a d wee lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar nooit snijden, hoe ver je de lijnen ook doortrekt. In werkelijkheid

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

Wiskunde voor 3 havo. deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 3 havo. deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskune voor 3 hvo eel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op it lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is erhlve e rehtheene zols eoel in e hieroner vermele retive ommons lientie. Het

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 vwo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 vwo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskune voor 2 vwo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op it lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is erhlve e rehtheene zols eoel in e hieroner vermele retive ommons lientie. Het

Nadere informatie

e u z e B L O K K E N K L A S V M B O

e u z e B L O K K E N K L A S V M B O K e u z e B L O K K E N K L A S 1 2 V M B O V M B O BLOK 1 Dinsdg 3 de en 4 de uur 10 septemer tot en met 1 oktoer (4 lessen) Jeugd d Vliegen/vliegeren e g Powerpoint/Prezi/Wordle h TomTom(1) Redy stedy

Nadere informatie

8 april. 30 april. 1 juni. 29 december

8 april. 30 april. 1 juni. 29 december 32 lok 6 les en 2 C Hoelng is het houdr? in de winkelwgen houdrheidsdtum onsumeren innen 03 02 zterdg jnuri Ongeopend: 22 0 204 Ongeopend: 24 04 6 dgen C 2 Reken met tijd. het is nu over 4 dgen is het

Nadere informatie

Opbouw van het boek: overzicht

Opbouw van het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken

Nadere informatie

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen?

Om welke reden heeft een kwak relatief grote ogen? Route K - Volière en fznterie Strt ij de volière; de vrgen 1 t/m 6 gn over een ntl grote Europese vogels. De vrgen over de ndere dieren vn deze route hoeven niet in de juiste volgorde te stn. Dt komt omdt

Nadere informatie

Assertiviteit. Agressiviteit

Assertiviteit. Agressiviteit ASSERTIVITEIT drs. M.F. Serrurier Shepper 1 SITUATIE Assertiviteit is een zelfewuste, psyhishe weerrheid wrdoor u in stt ent op te komen voor uw eigen elngen en uiting te geven n uw gevoelens, wensen en

Nadere informatie

AFRIKA RAPPORT www.burgerszoo.nl

AFRIKA RAPPORT www.burgerszoo.nl AFRIKA RAPPORT Je gt op ontdekkingstoht nr de Afriknse dieren die in het Prk en in de Sfri vn Koninklijke Burgers Zoo leven. Bentwoord lle vrgen en hl je Afrik Rpport! Wrttenzwijnen Welkom in Burgers Prk!

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

K4 Relativiteitstheorie

K4 Relativiteitstheorie K4 Reltiviteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen bsisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 De golflengte vn rdiostrling is groter dn die vn liht. b Uit λ f volgt dt de frequentie vn de fotonen vn rdiostrling lger

Nadere informatie

Wiskunde voor 3 havo. deel 2. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 3 havo. deel 2. Versie 2013. Samensteller Wiskune voor 3 hvo eel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op it lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is erhlve e rehtheene zols eoel in e hieroner vermele retive ommons lientie. Het

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskune voor 1 hvo/vwo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op it lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is erhlve e rehtheene zols eoel in e hieroner vermele retive ommons lientie.

Nadere informatie

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet.

edatenq is een toepassing die de ondernemingen de mogelijkheid biedt om hun statistische aangiften in te vullen en door te sturen via internet. Hndleiding edatenq Mndelijkse enquête toerisme en hotelwezen Inleiding edatenq is een toepssing die de ondernemingen de mogelijkheid iedt om hun sttistische ngiften in te vullen en door te sturen vi internet.

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs. Rekenrijk. Handleiding. Derde editie. Ceciel Borghouts Nicole Bus. Noordhoff Uitgevers

Reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs. Rekenrijk. Handleiding. Derde editie. Ceciel Borghouts Nicole Bus. Noordhoff Uitgevers Reken-wiskundemethode voor het sisonderwijs Rekenrijk Hndleiding Derde editie Ceiel Borghouts Niole Bus Noordhoff Uitgevers Einduteur Ko Bzen Ontwerp omslg en innenwerk Astrid vn der Neut, Cpelle n den

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

columbus Onrust in Iran: het begin van het einde of het einde van het begin? HAVO/VWO brengt het beste uit twee werelden samenlesbrief

columbus Onrust in Iran: het begin van het einde of het einde van het begin? HAVO/VWO brengt het beste uit twee werelden samenlesbrief olumus rengt het este uit twee werelden smenlesrief HAVO/VWO Foto: Polo Woods / Anzenerger / Hollndse Hoogte Onrust in Irn: het egin vn het einde of het einde vn het egin? olumus Inleiding Er gt geen dg

Nadere informatie

De supermarkt. a Welk karretje heeft de duurste boodschappen? Leg uit waarom je dat denkt. b Hoeveel klanten nog tot de 1000ste klant? Reken uit.

De supermarkt. a Welk karretje heeft de duurste boodschappen? Leg uit waarom je dat denkt. b Hoeveel klanten nog tot de 1000ste klant? Reken uit. lesboek groep 8 1 De supermrkt nt 0ste kl De 0 inuut grtis! mg 1 mhppen doen boods en: bloem bij bloemen extr! grtis 3 193 86 0 klnten 1 Welk krretje heeft de duurste boodshppen? Leg uit wrom je dt denkt.

Nadere informatie

Ajodakt. Rekenen. Breuken. Breuken groep 8. Colofon. Zelfstandig werken. Antwoorden. Rekenen. Groep 8

Ajodakt. Rekenen. Breuken. Breuken groep 8. Colofon. Zelfstandig werken. Antwoorden. Rekenen. Groep 8 Ajokt Rekenen Breuken Breuken groep Colofon Vormgeving Ziner, Utreht omslg Vn Wermeskerken, Apeloorn innenwerk Antwooren Opmk PrePressMeiPrtners, Wolveg ũžěăŭƚ ŵăăŭƚ ĚĞĞů Ƶŝƚ ǀĂŶ ŚŝĞŵĞDĞƵůĞŶŚŽī ĞůĨƐƚĂŶĚŝŐ

Nadere informatie

a Hoeveel zijn dat er ongeveer per jaar? 50 1500 = 75 000 b Hoeveel zijn dat er precies? 52 1519 = 78 988 Eerst rekenden we zo: 5 2 x

a Hoeveel zijn dat er ongeveer per jaar? 50 1500 = 75 000 b Hoeveel zijn dat er precies? 52 1519 = 78 988 Eerst rekenden we zo: 5 2 x lok les C Hoeveel huizen zijn het? C C C Hoeveel zijn dt er ongeveer per jr? 0 00 = 7 000 Hoeveel zijn dt er preies? 9 = 78 988 Hoeveel huizen zijn het? In 008 werden per week gemiddeld 6 huurwoningen

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Handreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie

Handreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie Hndreiking voor zij-instroom in de zuivelindustrie Inleiding In het projet zij-instroom, onderdeel vn het progrmm Areidsmrkt & Opleiding Zuivelindustrie, is in de periode 2011-2012 onderzoek gedn nr mogelijkheden

Nadere informatie

V2.1 Eerlijk verdeeld?

V2.1 Eerlijk verdeeld? Wie verdient wt? v2 Mkt geld gelukkig? L Voor je sisehoeften zols eten, woonruimte en kleding en je l guw dit edrg kwijt. Bedenk mr eens wt de mndhuur is. En hoeveel etl je voor vste lsten 1s gs, liht

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs 0 0 Tijdvk Inzenden scores Vul de scores vn de lfbetisch eerste vijf kndidten per school in op de optisch leesbre

Nadere informatie

GBK Leden profiel beheer

GBK Leden profiel beheer GBK Leden profiel eheer Op de nieuwe GBK site kn het eigen leden profiel ijgehouden worden. Op dit profiel kn iogrfische informtie worden ingevoerd, werk kn n een portfolio worden toegevoegd, er kunnen

Nadere informatie

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet.

DOEL: Weten wat de gevolgen en risico s kunnen zijn van het plaatsen van (persoonlijke) informatie op internet. kennismking met i-respect.nl INTRODUCTIE GEMAAKT DOOR: Annèt Lmmers ONDERWERP: Een eerste kennismking met i-respect.nl en het onderwerp publiceren. DOEL: Weten wt de gevolgen en risico s kunnen zijn vn

Nadere informatie

Ajodakt. Rekenen Tijd groep 5. Colofon. Tijd. Zelfstandig werken. Antwoorden. Rekenen. Groep 5

Ajodakt. Rekenen Tijd groep 5. Colofon. Tijd. Zelfstandig werken. Antwoorden. Rekenen. Groep 5 Zelfstndig werken Tijd Ajodkt Rekenen Groep Antwoorden Colofon Auteurs Wim Sweers Henk vn Wieringen Redtie Hnn Molenr Vormgeving Mur vn Wermeskerken, Apeldoorn Zinder, Utreht omslg Rekenen Tijd groep Over

Nadere informatie

Buitenlandse rechtsvorm/-persoon Land Rechtsvorm

Buitenlandse rechtsvorm/-persoon Land Rechtsvorm BIBOB vrgenlijst Anvrg omgevingsvergunning ouwen ingevolge rtikel 2.1, lid 1, onder Wet lgemene eplingen omgevingsrecht (Wo) Anvullende vrgen in het kder vn de Wet Bevordering Integriteitseoordelingen

Nadere informatie

Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op niveau tweede fase, eerste editie. Pesten en klikken

Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op niveau tweede fase, eerste editie. Pesten en klikken Door Henk Jongsm, hoofduteur Op niveu tweede fse, eerste editie Inleiding Pesten en klikken Dr zou iets n gedn moeten worden, dt zouden ze moeten verieden. Hoe vk hoor je dt niet? Zoiets denk jij vst ook

Nadere informatie

Overzicht Opzoomerkanjers per deelgemeente

Overzicht Opzoomerkanjers per deelgemeente De uitslg wordt 1 novemer ekend gemkt. wrin de jeugd entrl stt Wie verdient uw stem? Wie krijgt uw muntje? opzoomerknjer in uw deelgemeente 1e prijs: 500 euro + sponsorpkket AH 2e prijs: 250 euro + sponsorpkket

Nadere informatie