G o o g l e. Hoe maak je een eerlijke tabel voor de eredivisie? Bernd Souvignier Radboud Universiteit Nijmegen

Transcriptie

1 G o o g l e of Hoe maak je een eerlijke tabel voor de eredivisie? Bernd Souvignier Radboud Universiteit Nijmegen

2 Te veel gevonden? Voor de zoekaanvraag Google tabel eredivisie zijn er liefst 9750 resultaten, waaronder een hele hoop die helemaal geen tabel bevatten. Onder de eerste 10 of 20 willen we er echter graag een (of meerdere) hebben die de actuele tabel wel laat zien. Probleem: Hoe kunnen de zoekresultaten in een gunstige volgorde gebracht worden?

3 Orde in de grabbelton Sergey Brin en Lawrence Page, de uitvinders van Google, stellen: De relevantie van een document is evenredig met de som der relevanties van de documenten die erop verwijzen. Voorstel (van Brin en Page): Orden de matchende documenten volgens hun relevantie. Dit idee werd in feite al lang voor de opkomst van het internet en zoekmachines voorgesteld om rankings te bepalen, namelijk 1952 door de Engelse wiskundige T.H. Wei in zijn proefschrift en 1955 in een artikel van de Engelse statisticus M.G. Kendall die het werk van Wei oppikte.

4 Relevantie in formules Noteer de relevantie van document no. 1 met R 1, die van document no. 2 met R 2 enz., dan moeten voor de relevanties vergelijkingen gelden zo als: k R 1 = R 2 + R 4 + R 8 k R 2 = R 3 + R 5 + R 7 + R 11 + R 13 k R 3 = R 1 + R 4 + R 9 + R 16. als bijvoorbeeld documenten no. 2, 4 en 8 op document no. 1 verwijzen, documenten no. 3, 5, 7, 11 en 13 op document no. 2, enz. Hierbij is k de evenredigheidsfactor.

5 Een kip en ei probleem Om de relevantie R 1 te berekenen, moeten we R 2 al kennen, want k R 1 = R 2 + R 4 + R 8. Om de relevantie R 2 te berekenen, moeten we R 3 al kennen, want k R 2 = R 3 + R 5 + R 7 + R 11 + R 13. Om de relevantie R 3 te berekenen, moeten we R 1 al kennen, want k R 3 = R 1 + R 4 + R 9 + R 16.!?@***?grmph**@ Een vicieuze cirkel: De relevanties moeten blijkbaar in een klap uit het niets berekend worden.

6 Kip en ei in een klap (deel I) We herschrijven de vergelijkingen voor de relevanties een beetje: k R 1 = R 2 + R 4 + R 8 k R 2 = R 3 + R 5 + R 7 + R 11 + R 13 k R 3 = R 1 + R 4 + R 9 + R 16 wordt (door aftrekken van de linkerzijden). 0 = k R 1 + R 2 + R 4 + R 8 0 = k R 2 + R 3 + R 5 + R 7 + R 11 + R 13 0 = R 1 k R 3 + R 4 + R 9 + R 16. Dit is een stelsel lineaire vergelijkingen in de onbekenden R 1, R 2, R 3,... dat ook nog een parameter k bevat en waarbij alle linkerzijden nul zijn.

7 Een stelsel vergelijkingen zo als Kip en ei in een klap (deel II) 0 = k R 1 + R 2 + R 4 + R 8 0 = k R 2 + R 3 + R 5 + R 7 + R 11 + R 13 0 = R 1 k R 3 + R 4 + R 9 + R 16. heeft natuurlijk een heel flauwe oplossing, namelijk: R 1 = R 2 = R 3 = R 4 =... = 0. Maar dan zijn alle documenten even weinig relevant :-(. Echter: We kunnen speciale waarden van de parameter k bepalen waarvoor er naast deze flauwe oplossing ook nog interessante oplossingen zijn. Verrast?

8 Geen verrassing! We kijken naar een iets eenvoudiger stelsel vergelijkingen: kx + y = 0 2x ky = 0 dan volgt uit de eerste vergelijking rechtstreeks dat y = kx en invullen in de tweede vergelijking geeft 2x = ky = k 2 x. We hebben natuurlijk de flauwe oplossing x = y = 0 voor willekeurige k. Echter, voor x 0 moet 2 = k 2 gelden, en in dit geval mogen we x zelfs vrij kiezen. De speciale waarden zijn dus k = 2 en k = 2 en voor deze waarden vinden we (met bijvoorbeeld x = 1) de interessante oplossingen: k = 2 : (x, y) = (1, 2) k = 2 : (x, y) = (1, 2).

9 Kip en ei in een klap (deel III) De speciale waarden van de parameter k laten zich ook in het algemene geval altijd berekenen. De grootste van deze speciale waarden heeft een bijzondere eigenschap: Voor de interessante oplossing geldt dat alle R i positief zijn. De oplossing voor de grootste speciale waarde kiezen we als relevanties van de documenten. Voor de andere speciale waarden zijn er steeds positieve en negatieve R i. Het bepalen van de speciale waarden leer je in een studie wiskunde of natuurkunde overigens al in het eerste jaar (in het vak Lineaire Algebra).

10 Een eerlijke tabel voor de eredivisie Het is eerlijk als punten die tegen een sterk team behaald worden meer wegen dan punten die tegen een zwak team behaald worden. Noteer met R i de sterkte van team no. i (analoog met relevantie). Gewogen punten: een overwinning van een team met sterkte R levert R 3 punten op; gelijkspel levert R 1 punten op. De sterkte van een ploeg is evenredig met de som der (gewogen) punten die tegen de andere teams zijn behaald.

11 Champions League 2005/2006, groepsfase, groep E Schema der behaalde punten en bijhorend stelsel vergelijkingen: team 1) 2) 3) 4) 1) k R 1 = 1 R R R 4 2) k R 2 = 4 R R R 4 3) k R 3 = 1 R R R 4 4) k R 4 = 3 R R 3 De grootste speciale waarde k = geeft de sterktes R 1 = , R 2 = , R 3 = , R 4 = De behaalde eerlijke punten - die we scores gaan noemen - zijn: k R 1 = 9.617, k R 2 = , k R 3 = 8.015, k R 4 = De sterktes zijn juist zo genormeerd dat de som der scores hetzelfde is als de som der daadwerkelijk behaalde punten.

12 Champions League 2005/2006, groepsfase, groep E Schema der behaalde punten en bijhorend stelsel vergelijkingen: team 1) 2) 3) 4) 1) k R 1 = 1 R R R 4 2) k R 2 = 4 R R R 4 3) k R 3 = 1 R R R 4 4) k R 4 = 3 R R 3 Tabel met daadwerkelijk behaalde punten en berekende scores: team punten sterkte score 1) AC Milan ) PSV Eindhoven ) Schalke ) Fenerbahçe Istanbul

13 Tabel eredivisie op 14 maart 2008 plaats team wedstrijden punten sterkte score 1. PSV Eindhoven Ajax Amsterdam Feyenoord Rotterdam FC Groningen NAC Breda SC Heerenveen FC Twente Enschede Roda JC Kerkrade Vitesse Arnhem FC Utrecht NEC Nijmegen AZ Alkmaar Heracles Almelo Sparta Rotterdam De Graafschap Doetinchem VVV Venlo Willem II Tilburg Excelsior Rotterdam De wedstrijd PSV - Ajax wordt op woensdag 19 maart ingehaald.

14 Het effect van de uitslag PSV - Ajax op de scores team vooraf PSV wint gelijkspel Ajax wint PSV Eindhoven (59) (62) (60) (59) Ajax Amsterdam (53) (53) (54) (56) Feyenoord Rotterdam FC Groningen NAC Breda SC Heerenveen FC Twente Enschede Roda JC Kerkrade Vitesse Arnhem FC Utrecht NEC Nijmegen AZ Alkmaar Heracles Almelo Sparta Rotterdam De Graafschap Doetinchem VVV Venlo Willem II Tilburg Excelsior Rotterdam factor k