Mersenne- en Fermatgetallen
|
|
- Joost Joris Moens
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk 5 Mersenne- en Fermatgetallen 5.1 Mersennegetallen Uit Hoofdstuk 4 is naar voren gekomen dat getallen van de vorm 2 n 1 met n 2 en hun al of niet priem zijn van belang is voor de constructie van perfecte getallen. We noemen dergelijke getallen Mersennegetallen. Als zo n getal ook nog priem is dan noemen we het een Mersenne priemgetal. Voor de aardigheid reproduceren we op de volgende bladzij de eerste dertig Mersennegetallen en hun priemontbinding. Ongetwijfeld hebben veel tijdgenoten van Fermat naar dergelijke tabellen gekeken en erover nagedacht. Het blijkt dat er voldoende zaken zijn die de aandacht verdienen. We noemen er hier een paar. 1. Om te beginnen zien we dat 2 n 1 priem is voor n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. Merk op dat deze waarden van n zelf ook priem zijn. Het omgekeerde geldt niet, primaliteit van n impliceert niet altijd de primaliteit van 2 n 1. In de tabel zien we bijvoorbeeld dat samengesteld is. 2. Bij n = 30 zien we in de ontbinding van de priemfaktoren 151, 331. Deze getallen zijn allebei 30-vouden plus 1. Dat is opvallend. Echter, niet alle priemfactoren zijn een 30-voud plus 1, want bevat ook de faktoren 3, 7, 11. Maar deze priemfaktoren hebben de eigenschap dat ze al in eerdere ontbindingen zijn voorgekomen. Dit is mogelijk een verklaring voor het feit dat het geen 30-vouden plus 1 zijn. Bij n = 25 zien we ook iets dergelijks. De priemfaktoren 601 en 1801 zijn nog niet eerder voorgekomen in de tabel en we observeren dat het allebei 25-vouden plus 1 zijn. De lezer kan zelf constateren dat in de tabel zich het volgende lijkt af te spelen. Als q een priemdeler is van 2 n 1 en q is geen deler van 2 m 1 voor 2 m < n, dan is q een n-voud plus Het getal is deelbaar door 7. Het kleinste Mersenne-getal deelbaar door 7 is Merk op dat Een andere deler van is 11. Het 29
2 30 HOOFDSTUK 5. MERSENNE- EN FERMATGETALLEN kleinste Mersenne-getal deelbaar door 11 is Merk op dat Dit suggereert het volgende. Zij q een priemdeler van 2 n 1 en m het kleinste natuurlijke getal zó dat 2 m 1 door q deelbaar is. Dan is m een deler van n. 4. Dan een laatste, maar niettemin belangrijke, observatie. Als p een oneven priemgetal is, dan deelt p het Mersennegetal 2 p 1 1. n 2 n 1 ontbinding Misschien dat de lezer ook een aantal van deze eigenschappen had kunnen constateren als hij of zij er lang genoeg naar had gekeken. In ieder geval was Fermat ermee bekend. Het mooiste van dit alles is dat met enig nadenken het mogelijk
3 5.1. MERSENNEGETALLEN 31 is bovenstaande observaties in hun algemeenheid aan te tonen. Dit is precies wat Fermat deed en wat we hier nu gaan nadoen. Stelling Stel a Z 2 en m, n N. Dan geldt, 1. Als m een deler is van n, dan is a m 1 een deler van a n Als an 1 priem is, dan is n priem. In het geval dat a = 2 zegt onderdeel (2) van deze stelling dat 2 n 1 priem impliceert dat n priem is. Dit was precies observatie 1. Als a > 2 dan kan a n 1 nooit priem zijn voor n 2 omdat we volgens onderdeel (1) van de stelling altijd a 1 als deler hebben. Dit is de reden dat we in onderdeel (2) naar an 1 kijken in plaats van a n 1. Als we a = 10 nemen dan is (10 n 1)/(10 1) het getal dat uit n enen bestaat. We noemen dergelijke getallen rep-units (uit het Engels, repeating units). Bijvoorbeeld, = = Als n samengesteld is, dan is het heel makkelijk in te zien dat de n-de rep-unit niet priem is. Bijvoorbeeld bij n = 15, of = = Laten we nu even de Stelling bewijzen. Voor het bewijs van deel (1) stellen we k = n/m. We gebruiken nu de identiteit, Vul hier x = a m in. We vinden x k 1 = (x 1)(x k x 2 + x + 1). a km 1 = (a m 1)(a mk m + + a m + 1). Dus a n 1 is een veelvoud van a m 1. Dit was het eerste deel van de stelling. Stel dat an 1 priem is. Neem aan dat n een echte deler m heeft ( echt wil zeggen, niet 1 en niet n). Dan heeft an 1 de echte deler am 1, in tegenspraak met het gegeven dat an 1 priem is. Dus moet n ook priem zijn. Onze derde observatie kan ook bewezen worden. Stelling Stel a Z 2 en n N. Zij q een priemdeler van a n 1. Zij m het kleinste natuurlijke getal zó dat a m 1 deelbaar is door q. Dan is m een deler van n.
4 32 HOOFDSTUK 5. MERSENNE- EN FERMATGETALLEN Voor het bewijs gaan we Stelling gebruiken met als verzameling V alle k N zó dat a k 1 deelbaar is door q. We tonen eerst aan dat V een verschillenverzameling is. Stel dat s, t V en s > t. Merk op dat a s 1 = a s t (a t 1) + a s t 1. Omdat q zowel a s 1 als a t 1 deelt volgt uit deze gelijkheid dat q ook a s t 1 deelt. Met andere woorden, s t V en V is een verschillenverzameling. Volgens Stelling bestaat V uit veelvouden van zijn kleinste element. Maar dit kleinste element is juist m. Dus in het bijzonder, omdat n V, geldt dat m n. Voor de vierde observatie blijken we de binomiaalcoëfficienten uit de Appendix nodig te hebben. Stelling (Kleine stelling van Fermat) Stel a N en p priem. Dan is p een deler van a p a. Bovendien, als p geen deler is van a dan deelt p het getal a p 1 1. Merk op dat als p een deler is van a p a = a(a p 1 1) en p deelt niet a, dan deelt p natuurlijk a p 1 1. Het tweede deel van de stelling volgt dus direkt uit het eerste. Voor het eerste deel passen we volledige induktie naar a toe. Als a = 1 dan is a p a gelijk aan nul en is de stelling waar. Stel nu k N en stel dat de stelling waar is voor a = k. Uit het binomium van Newton, Stelling 21.1, volgt (k + 1) p = k p + ( ) p k p p 1 ( ) p k Volgens Stelling zijn de coëfficienten ( p r) voor r = 1, 2,..., p 1 allen deelbaar door p. Dus is (k + 1) p k p 1 deelbaar door p. Onze induktieveronderstelling zegt dat k p k deelbaar is door p. Dan is ook (k + 1) p (k + 1), de som van (k + 1) p k p 1 en k p k, deelbaar door p. Hiermee is onze stelling voor a = k + 1 bewezen en de induktiestap voltooid. Er moet bij gezegd worden dat bovenstaand bewijs een tamelijk folkloristische is. Het is mogelijk een veel eleganter en conceptueler bewijs te geven, maar dan moeten we eerst iets weten over congruenties, zie Gevolg Onze tweede observatie is een gevolg van de kleine stelling van Fermat en Stelling Stelling Stel a N 2 en p een priemgetal dat niet a deelt. Zij m het kleinste natuurlijke getal zó dat a m 1 deelbaar is door p. Dan is p een m-voud plus 1.
5 5.2. MERSENNE PRIEMGETALLEN 33 Uit Stelling weten we dat a p 1 1 deelbaar is door p. Uit Stelling met n = p 1 volgt dat m een deler moet zijn van p 1. Dus is p een veelvoud van m plus 1. We kunnen nu uitleggen hoe Fermat de priemdeler 223 van vond. De priemgetallen één voor één als deler proberen is een heidens werk, zeker als je geen computer hebt. Fermat redeneerde als volgt. Stel dat p een priemdeler is van De kleinste m zó dat 2 m 1 deelbaar is door p is volgens Stelling een deler van 37. Dus 1 of 37. De mogelijkheid 1 vervalt, dus blijft m = 37 over. Dus moet volgens Stelling gelden dat p een 37-voud plus 1 is. Sterker nog, omdat p oneven is, is p zelfs een veelvoud van 74 plus 1. We gaan nu priemgetallen van deze vorm proberen. De eerste mogelijkheid, 75, is niet priem. De tweede, 149, deelt niet. De derde, 223, is raak. Fermat had hier overigens wel geluk, de kleinste priemdeler van is bijvoorbeeld en deze is niet zo simpel met pen en papier te vinden. 5.2 Mersenne priemgetallen De belangstelling voor Mersenne priemgetallen was groot in de 17e eeuw, onder anderen door hun verband met de perfekte getallen. In 1644 beweerde Mersenne in dit verband dat de volledige lijst van priemgetallen p zó dat p 257 en 2 p 1 priem is, gegeven wordt door 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Hoe Mersenne aan deze bewering kwam is niet duidelijk. Hoe dan ook, de rij bevat vijf fouten. Allereerst hadden er nog p = 61, 89, 107 bij gemoeten, verder blijken en samengesteld te zijn. Tegenwoordig is men ook zeer geïnteresseerd in Mersenne priemgetallen. Het grootst bekende priemgetal, waarvan ongeveer eens per jaar het grootte-record wordt verbeterd en die vervolgens de kranten haalt, is vrijwel altijd een Mersennegetal. De reden is dat we het zogenaamde Lucas-Lehmer criterium hebben, een erg eenvoudig recept om na te gaan of een Mersennegetal priem is of niet. Het werd in de vorige eeuw door Lucas ontdekt en door D.H.Lehmer in 1931 tot het volgende recept vereenvoudigd. Kies een priemgetal p. We willen nu weten of het Mersennegetal M p = 2 p 1 priem is. Construeer hiertoe de rij getallen S 1, S 1, S 2,..., S p 1 als volgt. Kies S 1 = 4 en vervolgens voor iedere k 2 het getal S k als de rest van Sk bij deling door M p. We hebben nu de opmerkelijke stelling dat M p precies dan priem is als S p 1 = 0. Hier volgt een tweetal voorbeelden (controleer maar). Eerst nemen we p = 7. S 1 = 4, S 2 = 14, S 3 = 67, S 4 = 42, S 5 = 111, S 6 = 0 Het getal is dus priem. In het tweede voorbeeld kiezen we p = 11. S 1 = 4, S 2 = 14, S 3 = 194, S 4 = 788, S 5 = 701, S 6 = 119
6 34 HOOFDSTUK 5. MERSENNE- EN FERMATGETALLEN S 7 = 1877, S 8 = 240, S 9 = 282, S 10 = 1736 Dus is niet priem. De negentiende eeuwse wiskundige Lucas gebruikte dit criterium om aan te tonen dat priem is. In 1877 was dit een formidabel karwei als we bedenken dat uit 39 cijfers bestaat. Lucas vondst stond dan ook aan de grens van wat in die tijd mogelijk was en gedurende 75 jaar bleef dit getal het grootst bekende priemgetal. In de vijftiger jaren namen computers dit soort werk over en sinds die tijd is de lijst bekende Mersenne priemgetallen steeds groter geworden. In onderstaande tabel geven we alle n waarvoor nu (mei 2008) bekend is dat 2 n 1 priem is. In de tabel geven we ook de naam van de ontdekker(s) en, indien van toepassing, de machine waarmee het gebeurde. De zoektocht naar nog grotere priemgetallen gaat onverminderd voort. Waren het vroeger supercomputers die men liet zoeken naar Mersenne priemgetallen, tegenwoordig kan iedereen met een PC het volgende getal vinden door mee te doen aan GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) een zoekactie gecoördineerd op de internet site n jaar machine ontdekker anoniem Cataldi Cataldi Euler Pervushin Powers Fauquembergue Lucas SWAC Robinson SWAC Robinson SWAC Robinson SWAC Robinson SWAC Robinson BESK Riesel IBM7090 Hurwitz IBM7090 Hurwitz ILIAC2 Gillies ILIAC2 Gillies ILIAC2 Gillies wordt vervolgd...
7 5.2. MERSENNE PRIEMGETALLEN 35 n jaar machine ontdekker IBM360/91 Tuckerman Cyber 174 Noll, Nickel Cyber 174 Noll Cray 1 Nelson, Slowinski Cray 1 Slowinski Colquitt, Welsch Cray X-MP Slowinski Cray X-MP Slowinski Cray 2 Slowinski, Gage Cray C90 Slowinski, Gage Cray T94 Slowinski, Gage Pentium 90 MHz J.Armengaud (GIMPS) Pentium 100 MHz G.Spence (GIMPS) Pentium 200 MHz R.Clarkson (GIMPS) Pentium 350 MHz N. Hajratwala (GIMPS) AMD 800 MHz M.Cameron (GIMPS) Pentium 2GHz M.Shafer (GIMPS) Pentium 2,4 GHz J.Findley (GIMPS) PC s M.Nowak (GIMPS) C.Cooper, S.Boone (GIMPS) C.Cooper, S.Boone (GIMPS) H-M.Elvenich (GIMPS) O.M.Strindmo (GIMPS) E.Smith (GIMPS) C.Cooper (GIMPS) In vergelijking tot priemtesten voor willekeurige getallen is de Lucas-Lehmer test een wonder van eenvoud. Kijken we daarentegen naar de repunits, dat wil zeggen getallen van de vorm , dan is er niet zo n mooie test bekend. Daarom is de lijst met rep-units, waarvan we weten dat ze priem zijn, veel kleiner. Zij E n = (10 n 1)/9 de repunit bestaande uit n enen. Voor n < is het bekend dat E n alleen priem is als n = 2, 19, 23, 317, 1031 De volgende kandidaten zijn E 49081, E 86453, E , E Van deze getallen heeft men het sterke vermoeden dat ze priem zijn. Wat wij daarmee bedoelen lees je in de tekst volgend op Stelling Maar zoals gezegd, door het ontbreken van een goede test hebben we geen absolute zekerheid. De huidige algemene priemtesten kunnen redelijkerwijs getallen tot zo n duizend cijfers aan, en dus zal het wel enige tijd duren voor we absolute zekerheid over bijvoorbeeld E hebben. Tenslotte zij opgemerkt dat zelfs vergeleken met dit grote getal de Mersenne priemgetallen gigantisch zijn.
8 36 HOOFDSTUK 5. MERSENNE- EN FERMATGETALLEN 5.3 Fermatgetallen Laten we eens kijken naar getallen van de vorm 2 m + 1 en ons afvragen wanneer deze priem kunnen zijn. Er blijkt het volgende te gelden. Als 2 m +1 priem is, dan is m een macht van 2. Dat wil zeggen er is een n zó dat m = 2 n. De verklaring is als volgt. Stel dat m een oneven priemdeler heeft, zeg p. We weten dat voor willekeurige x geldt, (x p + 1) = (x + 1)(x p 1 x p 2 + x + 1). Vul hier x = 2 m/p in. dan zien we dat 2 m/p + 1 een echte deler is van 2 m + 1. Dus als 2 m + 1 priem is, dan heeft m alleen maar de priemdeler 2. Onze vraag is nu dus geworden, voor welke n is 2 2n + 1 priem? De getallen F n = 2 2n +1 noemen we de Fermatgetallen. Fermat constateerde dat F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = allemaal priemgetallen zijn en sprak het vermoeden uit dat al deze getallen wel eens priem zouden kunnen zijn. De geschiedenis heeft uitgewezen dat Fermat het niet vaak mis had, maar dat hij hier een vergissing van de eerste orde maakte. Euler liet namelijk zien dat 641 een priemdeler van F 5 is. Dit had Fermat ook makkelijk kunnen zien, op bijna dezelfde wijze als waarmee hij aantoonde dat 223 een deler van is. Er geldt namelijk de volgende stelling Stelling Zij p een priemdeler van 2 2n +1. Dan is p 1 deelbaar door 2 n+1. Als p een deler is van 2 2n +1 dan is p ook deler van het Mersennegetal 2 2n+1 1 = (2 2n + 1)(2 2n 1). Als we kunnen aantonen dat p geen enkel getal 2 m 1 met m < 2 n+1 deelt, dan volgt uit Stelling dat p een 2 n+1 -voud plus 1 is, en we zijn klaar. Zij nu m het kleinste getal zódat p een deler is van 2 m 1. Dan volgt uit Stelling dat m een deler van 2 n+1 is. Dus m = 2 k voor zekere k. We willen laten zien dat k = n + 1. Stel k n. Dan is 2 m 1 = 2 2k 1 een deler van 2 2n 1. Dus deelt p ook het getal 2 2n 1. Maar dit wordt erg lastig als we bedenken dat p ook een deler is van 2 2n + 1. Het verschil van deze getallen, 2, is immers ook deelbaar door p en we krijgen een onmogelijkheid. Daarom kan k n niet optreden en concluderen we dat k = n + 1. Ons bewijs is hiermee klaar. Om delers van F 5 te vinden hoeven we alleen maar priemgetallen die een 64-voud plus 1 zijn als deler te proberen. De priemgetallen die hiervoor in aanmerking komen zijn 193, 257, 449, 577, 641,... en 641 doet het. Het is heel goed mogelijk dat Fermat deze getallen inderdaad heeft geprobeerd maar bij 577 de moed heeft opgegeven. Voor Fermatgetallen blijkt er ook een simpele priemtest te zijn, namelijk de test van Pepin. Deze gaat als volgt. Construeer de rij getallen S 0, S 1, S 2,..., S 2 n 1 door S 0 = 3 en voor elke k 1 nemen we voor het getal S k de rest van S 2 k 1
9 5.3. FERMATGETALLEN 37 bij deling door F n. Het blijkt dat F n priem is precies dan als S 2 n 1 = F n 1. In Hoofstuk 11 leggen we uit waarom Pepin s test werkt. Ironisch genoeg is er buiten de getallen F 1, F 2, F 3, F 4 geen enkel Fermatgetal gevonden dat priem is. Omdat F n een dubbel exponentiële funktie van n zal de rij Fermatgetallen zeer snel stijgen. Zo past F 30 nog wel in een PC-geheugen, maar getallen van de grootte-orde van F 40 niet meer. Het zal daarom niemand verbazen dat van weinig Fermatgetallen de volledige priemontbinding bekend is. Hieronder volgen de tot nu toe (2014) bekende volledige ontbindingen. F 5 = (Euler, 1732) F 6 = (Landry, Le Lasseur, 1880) F 7 = (Morrison, Brillhart, 1974) F 8 = P 62 (Brent, Pollard, 1980) F 9 = P 99 (Lenstra, Manasse, 1990) F 10 = P 252 (Brent, 1995) F 11 = P 564 (Brent, Morain, 1988) De getallen P 62, P 99, P 252, P 564 zijn allen priem en van de aangegeven lengte. De lezer kan ze desgewenst zelf uitrekenen op een computer. Voor de huidige stand van zaken zie de website /
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Nadere informatiepriemrecords? Jaap Top
priemrecords? Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 18-23 april 2013 (Collegecaroussel, Groningen) 1 priemrecords?! over priemgetallen 2, 3, 5, 7,..., 101,..., 2017,...... p priem: niet deelbaar door
Nadere informatieHoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen
Hoofdstuk 4 Delers 4. Delers (op)tellen Ieder getal heeft zijn delers. Van oudsher heeft het onvoorspelbare gedrag van delers van getallen een aantrekkingskracht uitgeoefend op mensen. Zozeer zelfs dat
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatieSpookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel
Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.
Nadere informatiePriemontbinding en ggd s
Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieRSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieOPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Nadere informatieHoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieOplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.
Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieBewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
Nadere informatieGetaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Nadere informatieAlgoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?
Algoritmes en Priemgetallen Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA? Het recept van RSA Kies p q priemgetallen en bepaal N = pq Kies e Z N (publieke sleutel) Bepaal d e 1 mod φ N (privésleutel) x ed x kφ
Nadere informatiePriemtesten en priemontbinding
Hoofdstuk 8 Priemtesten en priemontbinding 8.1 Complexiteit We hebben het al in eerdere hoofdstukken gezegd, ontbinding van grote getallen in priemfactoren is moeilijk. Ontbinding van willekeurige getallen
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieIn Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieHoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten
Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieDe telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen
De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg! Voor
Nadere informatieWanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
Nadere informatie1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieGetaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Nadere informatieOpmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Nadere informatieVerzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Stage Ignatiuscollege, 17 mei 2010 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen
Nadere informatie1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
Nadere informatiePublic Key Cryptography. Wieb Bosma
Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie
Nadere informatiePG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5
2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene
Nadere informatieFinaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade
NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal
Nadere informatieDossier 3 PRIEMGETALLEN
Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,
Nadere informatieWISKUNDE 1. Aansluitmodule wiskunde MBO-HBO
WISKUNDE 1 Aansluitmodule wiskunde MBO-HBO Wat moet je aanschaffen? Basisboek wiskunde tweede editie Jan van de Craats en Rob Bosch isbn:978-90-430-1673-5 Dit boek gebruikt men ook op de Hanze bij engineering.
Nadere informatieVerzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Lezing 4e Gymnasium, 19 november 2015 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatieExtra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid
Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid 4.1 Delers en veelvouden 1 Bepaal door opsomming. a) del 84 =... b) del 13 =... c) del 44 =... d) del 89 =... e) del 1 =... f) del 360 =... 2 Bepaal de eerste
Nadere informatieDiophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
Nadere informatieHaskell: programmeren in een luie, puur functionele taal
Haskell: programmeren in een luie, puur functionele taal Jan van Eijck jve@cwi.nl 5 Talen Symposium, 12 juli 2010 Samenvatting In deze mini-cursus laten we zien hoe je met eindige en oneindige lijsten
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieVerzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Stage Ignatiuscollege, 20 mei 2008 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen
Nadere informatieFinaletraining Wiskunde Olympiade
Finaletraining Wiskunde Olympiade Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite, Merlijn Staps Voor het schrijven van dit trainingsmateriaal hebben we inspiratie opgedaan uit materiaal van de Rijksuniversiteit
Nadere informatie1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
Nadere informatieFinaletraining Wiskunde Olympiade
Finaletraining Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite, Merlijn Staps Voor het schrijven van dit trainingsmateriaal hebben we inspiratie opgedaan uit materiaal
Nadere informatieHoofdstuk 6 : DEELBAARHEID
1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk
Nadere informatieWorteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/887/25833 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Palenstijn, Willem Jan Title: Radicals in Arithmetic Issue Date: 204-05-22 Samenvatting
Nadere informatieHoofdstuk 18. Het abc-vermoeden Introductie
Hoofdstuk 18 Het abc-vermoeden 18.1 Introductie In de gehele getallen zijn optelling en vermenigvuldiging de belangrijkste bewerkingen. Als we echter uitsluitend naar de optelstructuur van de gehele getallen
Nadere informatieDan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels dit w = ( 1 / / 4
Dan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels 7 9 dit w = ( / 3 + / 4 )(Z + z), in regels 0 staat over de zwarte koeien dit z = ( / 4 + / 5 )(* + g), over de gevlekte
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieHoofdstuk 6 : DEELBAARHEID
1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk
Nadere informatieHeron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule
Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in
Nadere informatieMemoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door
Nadere informatieKaternen. regionale training. Finale
Katernen voor de regionale training ten behoeve van de Finale van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Katernen voor de
Nadere informatieIMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017
IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 18 maart 2016
Selectietoets vrijdag 18 maart 016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Voor een positief geheel getal n dat geen tweemacht is, definiëren we t(n) als de grootste oneven deler van
Nadere informatiehandleiding ontbinden
handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen
Nadere informatieIrrationaliteit en transcendentie
Hoofdstuk 9 Irrationaliteit en transcendentie 9. Irrationale getallen In dit hoofdstuk zullen we aannemen dat de lezer weet wat reële getallen zijn, hoewel dat misschien niet helemaal gerechtvaardigd is.
Nadere informatiemet gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +
I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieOpgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Nadere informatieOpen priemproblemen. Jan van de Craats
Open priemproblemen Jan van de Craats Misschien denk je dat over priemgetallen, de bouwstenen van het rekenen, wel zo ongeveer alles bekend is. Dat er op dat terrein geen onopgeloste vraagstukken meer
Nadere informatieKaternen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade
Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern
Nadere informatiePriemgetallen. van nutteloos tot staatsgevaarlijk? Wieb Bosma. Nijmeegse Tweedaagse Radboud Universiteit
Priemgetallen van nutteloos tot staatsgevaarlijk? Wieb Bosma Nijmeegse Tweedaagse Radboud Universiteit Nijmegen oktober 2008 Priemgetallen 2 Voorwoord Dit zijn de aantekeningen bij één van de twee onderwerpen
Nadere informatieUitwerkingen toets 9 juni 2012
Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is
Nadere informatieNATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN
II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,
Nadere informatieDe telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen
De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5 VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg!
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieFACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE
FACTORISATIE EN CRYPTOGRAFIE UvA-MASTERCLASS WISKUNDE 1993 P. Stevenhagen Faculteit Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 1993 INLEIDING In deze masterclass zullen we ons voornamelijk bezighouden
Nadere informatieDefinitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.
Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.
Nadere informatieOVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Nadere informatieUitwerkingen eerste serie inleveropgaven
Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatieregel: de som van de cijfers op de even plaatsen min de som van de cijfers op de oneven plaatsen moet 0 of 11 zijn.
Rekenperiode 5e klas januari - februari 1998 1. deelbaarheid door 2 2. deelbaarheid door 4 3. deelbaarheid door 8 4. opgave 5. deelbaarheid door 3 6. deelbaarheid door 9 7. opgave 8. deelbaarheid door
Nadere informatieHoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1
Hoofdstuk 16 De vergelijking van Pell 16.1 De oplossing Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking x Ny = 1 in de onbekenden x, y Z 0. We noemen dit soort vergelijking de vergelijking van
Nadere informatieVolledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Nadere informatieIn Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 Extremenprincipe 6 3 Ladenprincipe 11 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van
Nadere informatieHoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger
Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd
Nadere informatieGehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 10 maart 2017
Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele
Nadere informatieRekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A
Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk
Nadere informatieOefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.
Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieUitwerking puzzel 91-7: Je kunt het schudden
Uitwerking puzzel 91-7: Je kunt het schudden Het credit voor deze puzzel gaat naar Frans van Hoeve. Hij stuurde het ons, in een iets andere vorm, met titel Penny-flipping problem. Hij was het tegengekomen
Nadere informatieInleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Jan Vonk 1 oktober 2008 1 Combinatoriek Inleiding Een gebied dat vandaag de dag haast niet onderschat kan worden binnen de wiskunde
Nadere informatiePriemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras
Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Bart Zevenhek 0 februari 008 Samenvatting In deze vier artikelen wordt ingegaan op enkele getaltheoretische eigenschappen
Nadere informatieRingen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012
Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider. Laat bij elke opgave zien hoe je aan je
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatiePerfecte getallen en Leinster groepen
Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen
Nadere informatieDiscrete Structuren voor Informatici
Discrete Structuren voor Informatici 1 Eenvoudige telproblemen Dit zijn aantekeningen voor het college Discrete Structuren voor Informatici, Blok A, herfst 2008. We behandelen een aantal telproblemen,
Nadere informatie1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden
Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i
Nadere informatie