OOG VOOR SYMMETRIE. Een wiskundige passie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "OOG VOOR SYMMETRIE. Een wiskundige passie"

Transcriptie

1 OOG VOOR SYMMETRIE Een wiskundige passie Jan van de Craats (UvA) Ars et Mathesis, 16 november 2013

2 Twee soorten rozetpatronen

3 Twee soorten rozetpatronen

4 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie

5 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie

6 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie [g(11)] Draai- en spiegelsymmetrie [s(11)]

7 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie Draai- en spiegelsymmetrie

8 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie [g(11)] Draai- en spiegelsymmetrie [s(11)]

9 Wat is symmetrie?

10 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren.

11 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert.

12 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert. Een isometrie is een transformatie die de afstand van elk tweetal punten onveranderd laat.

13 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert. Een isometrie is een transformatie die de afstand van elk tweetal punten onveranderd laat. Voorbeelden: rotaties, spiegelingen, translaties,...

14 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert. Een isometrie is een transformatie die de afstand van elk tweetal punten onveranderd laat. Voorbeelden: rotaties, spiegelingen, translaties,... Als je een symmetrie toepast, zie je na afloop geen verschil.

15 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën

16 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder.

17 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:

18 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:

19 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:

20 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:

21 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen: Handtekeningen: [s(3,3,2)], [g(3) s(2)], [g(3,3,2)], [g(4,3,2)]

22 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde octaëders:

23 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde octaëders:

24 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde octaëders: Handtekeningen: [g(3) s(2)], [g(4,3,2)]

25 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde dodecaëders:

26 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde dodecaëders:

27 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde dodecaëders: Handtekeningen: [s(5,3,2)], [g(5,3,2)]

28 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft.

29 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën van dat voorwerp in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie.

30 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën van dat voorwerp in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. (N.B.: met bol bedoel ik boloppervlak.)

31 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën van dat voorwerp in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. (N.B.: met bol bedoel ik boloppervlak.) Elk symmetrisch voorwerp kun je dus identificeren met een symmetrisch bolpatroon dat dezelfde symmetrieën heeft!

32 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën van dat voorwerp in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. (N.B.: met bol bedoel ik boloppervlak.) Elk symmetrisch voorwerp kun je dus identificeren met een symmetrisch bolpatroon dat dezelfde symmetrieën heeft! Bolpatronen zijn tweedimensionaal. Dus eenvoudiger te bestuderen.

33 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën van dat voorwerp in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. (N.B.: met bol bedoel ik boloppervlak.) Elk symmetrisch voorwerp kun je dus identificeren met een symmetrisch bolpatroon dat dezelfde symmetrieën heeft! Bolpatronen zijn tweedimensionaal. Dus eenvoudiger te bestuderen. Zo is er een verbinding met de studie van symmetrische patronen in het (euclidische) vlak (zelfde methoden, zelfde notaties).

34 Voorbeelden van bolpatronen [s(4,3,2)]

35 Voorbeelden van bolpatronen [s(4,3,2)]

36 Voorbeelden van bolpatronen [s(4,3,2)]

37 Voorbeelden van bolpatronen [s(5,3,2)] [g(3) s(2)] [g(2) s(2)]

38 De zeven platonische bolpatronen (1)

39 De zeven platonische bolpatronen (1)

40 De zeven platonische bolpatronen (1) [s(5,3,2)]

41 De zeven platonische bolpatronen (2)

42 De zeven platonische bolpatronen (2) [g(5,3,2)]

43 De zeven platonische bolpatronen (3)

44 De zeven platonische bolpatronen (3) [s(4,3,2)]

45 De zeven platonische bolpatronen (4)

46 De zeven platonische bolpatronen (4) [g(4,3,2)]

47 De zeven platonische bolpatronen (5)

48 De zeven platonische bolpatronen (5) [s(3,3,2)]

49 De zeven platonische bolpatronen (6)

50 De zeven platonische bolpatronen (6) [g(3) s(2)]

51 De zeven platonische bolpatronen (7)

52 De zeven platonische bolpatronen (7) [g(3,3,2)]

53 Alle platonische bolpatronen tezamen [g(3,3,2)] [g(3) s(2)] [s(3,3,2)] [g(4,3,2)] [s(4,3,2)] [g(5,3,2)] [s(5,3,2)]

54 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging:

55 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart).

56 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren).

57 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!

58 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!

59 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 5. Klaar???

60 De zeven parametrische bolpatronen (1)

61 De zeven parametrische bolpatronen (1) [g(7,7)]

62 De zeven parametrische bolpatronen (2)

63 De zeven parametrische bolpatronen (2) [s(7,7)]

64 De zeven parametrische bolpatronen (3)

65 De zeven parametrische bolpatronen (3) [g(7) s]

66 De zeven parametrische bolpatronen (4)

67 De zeven parametrische bolpatronen (4) [g(7) x]

68 De zeven parametrische bolpatronen (5)

69 De zeven parametrische bolpatronen (5) [g(7,2,2)]

70 De zeven parametrische bolpatronen (6)

71 De zeven parametrische bolpatronen (6) [g(2) s(7)]

72 De zeven parametrische bolpatronen (7)

73 De zeven parametrische bolpatronen (7) [s(7,2,2)]

74 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept:

75 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart).

76 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren).

77 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!

78 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!

79 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 5. Is het patroon hetzelfde als zijn spiegelbeeld maar zijn er geen spiegelcirkels, dan zijn er draaispiegelingen in het spel. De handtekening is dan [g(n) x] voor zekere parameterwaarde N.

80 Alle parametrische bolpatronen tezamen (hier: N = 7) [g(n,n)] [s(n,n)] [g(n) s] [g(n) x] [g(n,2,2)] [g(2) s(n)] [s(n,2,2)]

81 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (1)

82 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (1) Strookpatronen kun je identificeren met oneindige parametrische bolpatronen en omgekeerd. Er zijn dus ook precies 7 soorten strookpatronen!

83 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (1) Strookpatronen kun je identificeren met oneindige parametrische bolpatronen en omgekeerd. Er zijn dus ook precies 7 soorten strookpatronen! [g(7,7)] [g(, )]

84 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (2) [s(7,7)] [s(, )]

85 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (3) [g(7) s] [g( ) s]

86 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (4) [g(7) x] [g( ) x]

87 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (5) [g(7,2,2)] [g(, 2, 2)]

88 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (6) [g(2) s(7)] [g(2) s( )]

89 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (7) [s(7,2,2)] [s(, 2, 2)]

90 De parametrische bolpatronen als bolschijfpatronen [g(7,7)] [s(7,7)] [g(7) s] [g(7) x] [g(7,2,2)] [g(2) s(7)] [s(7,2,2)]

91 De zeven strookpatronen [g(, )] [s(, )] [g( ) s] [g( ) x] [g(,2,2)] [g(2) s( )] [s(,2,2)]

92 Behangpatronen

93 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn patronen waarin translaties voorkomen in één richting.

94 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn patronen waarin translaties voorkomen in één richting. Behangpatronen zijn patronen in het vlak waarin translaties in verschillende richtingen voorkomen.

95 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn patronen waarin translaties voorkomen in één richting. Behangpatronen zijn patronen in het vlak waarin translaties in verschillende richtingen voorkomen. Het is welbekend dat er precies zeventien verschillende soorten behangpatronen zijn. Allemaal hebben ze hun eigen handtekening. In die handtekeningen worden hun symmetrie-eigenschappen weerspiegeld.

96 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn patronen waarin translaties voorkomen in één richting. Behangpatronen zijn patronen in het vlak waarin translaties in verschillende richtingen voorkomen. Het is welbekend dat er precies zeventien verschillende soorten behangpatronen zijn. Allemaal hebben ze hun eigen handtekening. In die handtekeningen worden hun symmetrie-eigenschappen weerspiegeld. Het is heel gemakkelijk om met de bovenbeschreven methoden de handtekening van een patroon te vinden.

97 De zeventien behangpatronen (1) [O] [s s] [s x] [x x] [g(2,2) s] [g(2,2) x]

98 De zeventien behangpatronen (2) [g(2,2,2,2)] [g(2) s(2,2)] [s(2,2,2,2)] [g(3,3,3)] [g(3) s(3)] [s(3,3,3)]

99 De zeventien behangpatronen (3) [g(4,4,2)] [g(4) s(2)] [s(4,4,2)] [g(6,3,2)] [s(6,3,2)]

100 Literatuur en achtergronden

101 Literatuur en achtergronden Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Massachusetts, 2008

102 Literatuur en achtergronden Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Massachusetts, 2008 Achtergronden bij deze lezing:

103 Literatuur en achtergronden Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Massachusetts, 2008 Achtergronden bij deze lezing: JvdC, Symmetrie op de bol en in het vlak, Nieuw Archief voor Wiskunde 5/12 nr. 4, december 2011 (Ook te lezen en te downloaden vanaf mijn homepage. )

104 ... en tot slot:

105 ... en tot slot: Veel dank!

Bruno Ernst Symposium

Bruno Ernst Symposium Bruno Ernst Symposium Betegelingen en behanggroepen symmetrie in wiskundige termen Jeanine Daems Universiteit Leiden Voorbeelden van symmetrische figuren: wat is symmetrie in de wiskunde? symmetrie

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.

Nadere informatie

WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5. Arnout Van Vaerenbergh

WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5. Arnout Van Vaerenbergh WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5 Arnout Van Vaerenbergh vorige oefening: 1/ contextsimulatie - Muziekles van Vermeer 2/ exacte input - objecten tekenen in perspectief 3/ exacte output -

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Regelmatige vlakvullingen

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Regelmatige vlakvullingen Escher in Het Paleis Wiskundepakket Regelmatige vlakvullingen Regelmatige vlakvullingen Een regelmatige vlakvulling is een manier om een vlak te vullen doormiddel van een zich steeds herhalend patroon.

Nadere informatie

Spiegelen en symmetrie

Spiegelen en symmetrie Spiegelen en symmetrie Bedoeling: De leerlingen komen doormiddel van verschillende activiteiten te weten wat spiegelen (en spiegelas) en symmetrie is. Doelen: De leerlingen kunnen - in eigen woorden verwoorden

Nadere informatie

HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES

HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES Verschuiven, roteren, spiegelen, vergroten/verkleinen zijn manieren om bij een figuur een 'beeldfiguur' te bepalen. Deze manieren noem je 'transformaties'. 2.1 LIJNSPIEGELING

Nadere informatie

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Wiskunde & Cultuur 2-3 W.v.Ravenstein 2010-2011 aangepast Vandaag Platonische lichamen Regelmatig, halfregelmatig en andere naamgeving Waarom zijn er maar 5 Platonische

Nadere informatie

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige.

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige. Artikel uit Euclides, maart 2010, jrg. 85, no. 5, Tijdschrift van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met

Nadere informatie

Draaisymmetrie en lijnsymmetrie

Draaisymmetrie en lijnsymmetrie Uitdager van de maand Draaisymmetrie en lijnsymmetrie Rekenen Wiskunde, Groep 6 Algemeen Titel Draaisymmetrie en lijnsymmetrie Cognitieve doelen en vaardigheden voor excellente leerlingen Begrijpen wat

Nadere informatie

Escher en de wiskunde van betegelingen

Escher en de wiskunde van betegelingen Escher en de wiskunde van betegelingen Gert Heckman IMAPP, Radboud Universiteit, Nijmegen G.Heckman@math.ru.nl 12 november 2012 1 Euclidische meetkunde De Euclidische meetkunde bestudeert configuraties

Nadere informatie

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Dimensies een ruimtelijke tocht langs onbekende assen Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Junior College Utrecht, Januari 7 Inhoud. Abstract.... Inleiding...5.

Nadere informatie

1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman 1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen, Universiteit van Amsterdam Voorwoord In deze bijdrage geven we een kort overzicht van recente ontwikkelingen in het vakgebied van

Nadere informatie

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET...

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET... In dit artikel laten we zien hoe je een kubus, een rombendodecaëder en een afgeknotte octaëder kunt omvormen tot een. Om de constructie zelf uit te voeren, heb je de bouwtekeningen nodig die bij dit artikel

Nadere informatie

Een inleiding in de wiskunde

Een inleiding in de wiskunde collegedictaat Een inleiding in de wiskunde Eerstejaars College Natuurkunde, Sterrenkunde, en Wiskunde Robbert Dijkgraaf Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam

Nadere informatie

0. Warming Up. Opdracht 0.1 Classificeren. Voor iedereen: leg de juiste figuur op de juiste plaats

0. Warming Up. Opdracht 0.1 Classificeren. Voor iedereen: leg de juiste figuur op de juiste plaats 0. Warming Up Opdracht 0.1 Classificeren Voor iedereen: leg de juiste figuur op de juiste plaats Workshops Meetkunde Voorbereiding Kennisbasistoets Rekenen Pagina 1 Opdracht 0.2 Classificeren Nog een keer

Nadere informatie

Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak)

Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak) OEFENING: TEKENEN IN SYMMETRIE MET BEIDE HANDEN GELIJKTIJDIG Op bord (verticaal) Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak) L R L R Ik zie het anders OEFENING: SYMMETRIE L R Oefeningen voor kinderen

Nadere informatie

Bedoeling: Doelen: Leerplandoelen wiskunde (VVKBaO):

Bedoeling: Doelen: Leerplandoelen wiskunde (VVKBaO): Bedoeling: De leerlingen leren M.C. Escher en zijn werken kennen. Ze ontdekken ook wat regelmatige vlakvulling is en maken kennis met de drie soorten symmetrie die Escher in zijn werken gebruikt. Na het

Nadere informatie

Bijlagen bij Practicumboek: Naast alle ideeën uit: het boek: Zanten, M. van, e.a. (2010), Meten en meetkunde,reken-wiskundedidactiek

Bijlagen bij Practicumboek: Naast alle ideeën uit: het boek: Zanten, M. van, e.a. (2010), Meten en meetkunde,reken-wiskundedidactiek Bijlagen bij Practicumboek: Naast alle ideeën uit: het boek: Zanten, M. van, e.a. (2010), Meten en meetkunde,reken-wiskundedidactiek, Baarn/Utrecht/Zutphen: ThiemeMeulenhoff, je practicumboek, de reken-wiskundemethode

Nadere informatie

a 2 +b 2 =c 2 www.stocs.nl patent pending / rights reserved / info@stocs.nl

a 2 +b 2 =c 2 www.stocs.nl patent pending / rights reserved / info@stocs.nl Bouwen met touwen spelend leren a 2 +b 2 =c 2 Met S TOCS kunnen kinderen spelenderwijs kennis maken met wiskunde, techniek en architectuur. STOCS bouwwerken bestaan uit lijnen, vlakken en hoeken. Wat zijn

Nadere informatie

Rinus Roelofs. De natuur weeft niet. nationaal vlechtmuseum noordwolde

Rinus Roelofs. De natuur weeft niet. nationaal vlechtmuseum noordwolde Rinus Roelofs De natuur weeft niet nationaal vlechtmuseum noordwolde Weven Basispatronen 2 Draaiing 4 Zwart-wit betegelingen 6 Tegelpatronen 8 Bollen 10 Ringen 12 Weven is door mensen is uitgevonden. Het

Nadere informatie

STUDIEHANDLEDIG REKENEN

STUDIEHANDLEDIG REKENEN Naam Klas STUDIEHANDLEDIG REKENEN Opleiding Opleiding: Juridische Dienstverlening Cursusjaar: 2013-2014 Semester: 3 Schrijvers: M. Chaar / F. el Maaliti/ C. van Buul MBO College Zuid Europaboulevard 13

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN?

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? Voor de GETALLENLEER worden concreet volgende doelstellingen nagestreefd: Begripsvorming

Nadere informatie

DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL

DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL Inhoud GETALLENKENNIS 13 1 Getallen 13 2 Het decimale talstelsel 14 3 Breuken 16 Begrippen 16 Soorten breuken 16 Een breuk vereenvoudigen 17 4 Breuken, percenten, kommagetallen 18 Breuk omzetten in een

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom. Deel 2 Meetkunde

Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom. Deel 2 Meetkunde Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom Deel 2 Meetkunde Sessie 5 Begeleiding wiskunde Leerplancommissie wiskunde VVKSO Stuurgroep Hilde De Maesschalck, Maggy Van Hoof, Philip Bogaert, Michel

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi... Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,

Nadere informatie

Handleiding vierde middag Concrete Meetkunde 2009 Beweging en symmetrie

Handleiding vierde middag Concrete Meetkunde 2009 Beweging en symmetrie 1 Drie startproblemen Handleiding vierde middag Concrete Meetkunde 2009 Beweging en symmetrie opgave 1. Een klein puntspiegelwonder. Zet drie punten op papier, A, B en C. Kies een ander punt: X 1. Puntspiegel

Nadere informatie

Evenwijdige perspectiefvoorstellingen

Evenwijdige perspectiefvoorstellingen Evenwijdige perspectiefvoorstellingen Luc Van den Broeck 1 augustus 2015 Samenvatting Dit seminarieproject voor leerlingen van een vijfde jaar start met een overzicht van verschillende projectiesystemen

Nadere informatie

Op zoek naar het monster

Op zoek naar het monster Afgelopen zomer heeft Hans Krabbendam het Symmetriemonster mee genomen naar Schotland, met als gevolg dat hij daar voortdurend symmetrieën tegenkwam en fotografeerde. Maar het leverde ook een fraaie analyse

Nadere informatie

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg

Nadere informatie

Bedoeling: Doelen: Leerplandoelen wiskunde (VVKBaO):

Bedoeling: Doelen: Leerplandoelen wiskunde (VVKBaO): Bedoeling: De leerlingen lezen een artikel over Stromae, de bekende Belgische zanger. Ze ontdekken dat hij heel erg van wiskunde houdt. Daarna maken ze kennis met M.C. Escher en zijn kunstwerken. Ze ontdekken

Nadere informatie

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

K 1 Symmetrische figuren

K 1 Symmetrische figuren K Symmetrische figuren * Spiegel Plaats de spiegel zó, dat je twee gelijke figuren ziet. Plaats de spiegel nu zó op het plaatje, dat je dezelfde figuur precies éénmaal ziet. Lukt dat bij alle plaatjes?

Nadere informatie

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.smart.be www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Inleiding tot de opdrachten Beeldelementen

Inleiding tot de opdrachten Beeldelementen BEELDELEMENTEN Lesbrief over: Licht Kleur Vorm Ruimte Compositie Inleiding tot de opdrachten Beeldelementen Het uiterlijk van een kunstwerk/bouwwerk of interieur wordt bepaald door verschillende aspecten.

Nadere informatie

Peuters - 1K 2K 3K. Basismateriaal. Aanbod peuters 1K indien nodig

Peuters - 1K 2K 3K. Basismateriaal. Aanbod peuters 1K indien nodig Peuters - 1K 2K 3K puzzelhoek Materialen Insteekblokken: meetkundige lichamen, kubus, cilinder, Inlegplank met en zonder knoppen - Per inlegruimte één persoon, dier of voorwerp - Per inlegruimte enkele

Nadere informatie

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en):

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en): Wiskunde, LTP leerjaar 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 26 De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert

Nadere informatie

SketchUp: 3D voor iedereen (/)

SketchUp: 3D voor iedereen (/) 1 DE CURSUS (/) SKETCHUP? (/SKETCHUP.HTML) INSTALLATIE (/INSTALLATIE.HTML) DE BASIS (/DE-BASIS.HTML) GEREEDSCHAPPEN (/GEREEDSCHAPPEN.HTML) GEAVANCEERD (/GEAVANCEERD.HTML) SketchUp: 3D voor iedereen (/)

Nadere informatie

Hoofdstuk 13 SYMMETRIE VWO. b A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y c B, C, D, E, H, I, K, O, X 13.0 INTRO

Hoofdstuk 13 SYMMETRIE VWO. b A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y c B, C, D, E, H, I, K, O, X 13.0 INTRO Hoofdstuk 13 SYMMETRIE VWO 13.0 INTRO 1 a Rechtsoven staat het woord in spiegelschrift Linksonder staat het woord ondersteoven Rechtsonder staat het woord achterstevoren en ondersteoven. Alleen de H, I,

Nadere informatie

Voortbouwen op IMAGINARY

Voortbouwen op IMAGINARY Voortbouwen op IMAGINARY Philippe Cara Vrije Universiteit Brussel pcara@vub.ac.be IMAGINARY Kick-off event KULeuven, 3 juni 2015 Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 1 / 31 Componenten

Nadere informatie

Leerstofplanning. 3 vmbo-k

Leerstofplanning. 3 vmbo-k Leerstofplanning 3 vmbo-k Inhoud 3 vmbo-k deel 1 1 Kijken in ruimtefiguren Bij kaart: schaal, hemelsbreed en werkelijke afstand(vuistregels), hoogtelijnen op kaart, verticale doorsnede bij hoogtekaart,

Nadere informatie

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke

Nadere informatie

UITWERKINGEN. bij. reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, meetkunde:

UITWERKINGEN. bij. reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, meetkunde: UITWERKINGEN bij reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, meetkunde: Blokkenbouwsels, voor- en zijaanzichten, hoogtekaart Viseren en projecteren Bouwplaten Symmetrie Namen en eigenschappen van figuren Plattegronden

Nadere informatie

PRAKTICUMOPGAVE 1. De eerste prakticumopgave is het maken van een applet om een "Mandelbrotfiguur" te tekenen, zoals hieronder omschreven.

PRAKTICUMOPGAVE 1. De eerste prakticumopgave is het maken van een applet om een Mandelbrotfiguur te tekenen, zoals hieronder omschreven. 1 of 5 3-5-2006 14:58 PRAKTICUMOPGAVE 1 De eerste prakticumopgave is het maken van een applet om een "Mandelbrotfiguur" te tekenen, zoals hieronder omschreven. Het practicum moet individueel worden gemaakt

Nadere informatie

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100 1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder

Nadere informatie

http://psdtuts.com/tutorials/photo-effects-tutorials/how-to-create-a-fantasy-photo-manipulation/

http://psdtuts.com/tutorials/photo-effects-tutorials/how-to-create-a-fantasy-photo-manipulation/ http://psdtuts.com/tutorials/photo-effects-tutorials/how-to-create-a-fantasy-photo-manipulation/ Fantasie foto Stap 1 De eerste Stap bestaat erin om de juiste foto s te kiezen. Hier werden drie foto s

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Cabri en Internet. Sangaku. Tangram en de kromme van Von Koch. Cirkels van Apollonius. Mozaïeken. Volgende. Volgende. Cabri Internet Overzicht

Cabri en Internet. Sangaku. Tangram en de kromme van Von Koch. Cirkels van Apollonius. Mozaïeken. Volgende. Volgende. Cabri Internet Overzicht Cabri Internet Overzicht Cabri en Internet Volgende Cabri-werkbladen door M.P. Knapper-Kersten april 2000 Met toestemming van de auteur zijn onderstaande door haar ontworpen Cabri-werkbladen opgenomen

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

1 De Gulden snede wordt ook wel divina proportione (goddelijke verhouding) of sectione aurea (gouden verdeling) genoemd. Het is eigenlijk één

1 De Gulden snede wordt ook wel divina proportione (goddelijke verhouding) of sectione aurea (gouden verdeling) genoemd. Het is eigenlijk één De Gulden snede Inhoudsopgave 1. De Gulden snede 2. Hoe verkrijg ik de Gulden snede? 3. Pythagoras en het pentagram 4. De vijf regelmatige veelvlakken 5. Fibonacci 6. Leonardo da Vinci en de Gulden snede

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Vormen van een raket Raketten

Vormen van een raket Raketten Vormen van een raket Raketten Vgroep 1-2 17 tijdsduur 65 minuten kerndoelen 1, 23, 32, 44, 45 en 54 lesdoelen De leerling: herkent een aantal wiskundige vormen: een cirkel, een driehoek, een rechthoek

Nadere informatie

TULE inhouden & activiteiten Rekenen/wiskunde (Meten en meetkunde) Kerndoel 32. Toelichting en verantwoording

TULE inhouden & activiteiten Rekenen/wiskunde (Meten en meetkunde) Kerndoel 32. Toelichting en verantwoording TULE - REKENEN/WISKUNDE KERNDOEL 32 152 TULE inhouden & activiteiten Rekenen/wiskunde (Meten en meetkunde) Kerndoel 32 De leerlingen leren eenvoudige meetkundige problemen op te lossen. Toelichting en

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Een wiskundige reconstructie van tekening nummer 53 van de Topkapi boekrol

Een wiskundige reconstructie van tekening nummer 53 van de Topkapi boekrol Een wiskundige reconstructie van tekening nummer 53 van de Topkapi boekrol MATTIAS VISSER, Minkema College, Woerden Utrecht, november 2006 Inleiding Het verhaal over de Topkapi boekrol dat u nu gepresenteerd

Nadere informatie

27 Macro s voor de schijf van Poincaré

27 Macro s voor de schijf van Poincaré 27 Macro s voor de schijf van Poincaré 27.1 Inleiding In het secundair onderwijs zijn leerlingen vertrouwd met de Euclidische meetkunde. In het Euclidisch vlak geldt het beroemde 5 de parallellen postulaat:

Nadere informatie

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door WISKUNDE B-DAG 2012 Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur Eenvou(w)dig De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door Wiskunde B-dag 2012 1 Opgave 6 van de Kangoeroe wedstrijd wizprof 2010: De foto van

Nadere informatie

TEKENEN. beeldende vorming. Vlakvullingen. hoofdstuk 13: vlakvulling

TEKENEN. beeldende vorming. Vlakvullingen. hoofdstuk 13: vlakvulling Vlakvullingen Tekeningen zoals hierboven heb je vast weleens eerder gezien, bijvoorbeeld op één van de posters in de wiskundelokalen. Het is het werk van Escher.Je kent hem misschien ook wel van de onmogelijke

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Symmetrie. Vakantiecursus 2011. CWI syllabus 61

Symmetrie. Vakantiecursus 2011. CWI syllabus 61 Symmetrie Vakantiecursus 2011 CWI syllabus 61 CWI Syllabi Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) Postbus 94079, 1090 GB Amsterdam Telefoon +31 20 592 9333 Website: http://www.cwi.nl/en/publications Contact:

Nadere informatie

11 De hoed van Napoleon

11 De hoed van Napoleon 11 De hoed van Napoleon 11.1 Historiek Napoleon Bonaparte (1769-1821) was van Italiaanse afkomst en begon zijn carrière als onderluitenant in de artillerie en klom op tot Frans generaal. Op zijn dertigste

Nadere informatie

Regelmaat in de ruimte

Regelmaat in de ruimte Regelmaat in de ruimte . Regelmaat in de ruimte A.K. van der Vegt VSSD iv VSSD Eerste druk 1991, tweede druk 2002 Uitgave van: VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The Netherlands tel. +31 15 27 82124,

Nadere informatie

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................

Nadere informatie

Inhoud. Inleiding computer graphics. Introductie 11. Leerkern 14. Terugkoppeling 57. Uitwerking van de opgaven 57

Inhoud. Inleiding computer graphics. Introductie 11. Leerkern 14. Terugkoppeling 57. Uitwerking van de opgaven 57 Inhoud Inleiding computer graphics Introductie 11 Leerkern 14 1 Invoer en opslag van 3D objecten 14 2 Ray tracing 18 2.1 Basisprincipe van ray tracing 18 2.2 Secundaire stralen 20 2.3 Intersectieberekeningen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Het document Discussietekst: Aanzet tot een document van parate kennis en vaardigheden (bijlage 3) kan hierbij ook ingeschakeld worden.

Het document Discussietekst: Aanzet tot een document van parate kennis en vaardigheden (bijlage 3) kan hierbij ook ingeschakeld worden. Bijlage 4 uit de tekst Aansluiting van de tweede graad op het nieuwe leerplan in de eerste graad A (april 2011) Wat kennen en kunnen alle leerlingen op het einde van de 1 s t e graad? Aandacht voor de

Nadere informatie

Aan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier!

Aan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier! Aan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier! Wiskunde leuk? Reken maar! www.wiskundekangoeroe.be Dit initiatief kwam tot stand binnen het actieplan Wetenschapscommunicatie

Nadere informatie

Opdrachten Tarski s World

Opdrachten Tarski s World Opdrachten Tarski s World Logika thema 4 13 april 2004 1 Propositielogika 1.1 Atomaire proposities in Tarski s world Open de wereld, wittgens.sen, en het bestand met beweringen, wittgens.sen 1. Ga van

Nadere informatie

ALGEBRA I. P. Stevenhagen

ALGEBRA I. P. Stevenhagen ALGEBRA I P. Stevenhagen 2015 INHOUDSOPGAVE ALGEBRA I 1. Wat is algebra? 7 Groepen, ringen en lichamen Symmetrieën van de ruit Rekenen modulo 8 Symmetrieën van het vierkant Permutaties van 4 elementen

Nadere informatie

Appendix: Zwaartepunten

Appendix: Zwaartepunten Appendi: Zwaartepunten Enkele opmerkingen vooraf: Maak altijd eerst een schets van het betreffende gebied (en dat hoeft heus niet zo precies te zijn als de grafieken die ik hier door de computer kan laten

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2011-2012: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2011-2012: eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2011-2012: eerste ronde 1.Vantweenatuurlijkegetallenmennismevenennoneven.Welkvanvolgendegetallen is dan oneven? () m+4n () 3m+2n () mn (D) m n (E) n m 2. Welk van volgende

Nadere informatie

Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde

Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde Luc Van den Broeck 1 1 EDUGO campus De Toren, Oostakker ABSTRACT Het kaartspel SET, dat gespeeld wordt met 81 kaarten waarop verschillende geometrische

Nadere informatie

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Gemaakt door: Harm Bakker Peter Vaandrager April 2002. Met dank aan mevr.o. De Meulemeester van KSO Glorieux uit Ronse in België. Geschiedenis

Nadere informatie

Onmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde

Onmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Onmogelijke figuren Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Je hebt vast wel eens een stripboek

Nadere informatie

Uitdager van de maand. Rekenen Wiskunde, Groep 8. Algemeen

Uitdager van de maand. Rekenen Wiskunde, Groep 8. Algemeen Uitdager van de maand Breuken Rekenen Wiskunde, Groep 8 Algemeen Titel Breuken Cognitieve doelen en vaardigheden voor excellente leerlingen Met een breuk aangeven welk deel van een vorm gekleurd is (begrijpen).

Nadere informatie

Scoreblad bewis 01. naam cursist: naam afnemer: werkpunt. niet goed. tellen. getalbegrip. algemeen 01 04. bewerking en. optellen en.

Scoreblad bewis 01. naam cursist: naam afnemer: werkpunt. niet goed. tellen. getalbegrip. algemeen 01 04. bewerking en. optellen en. Scoreblad bewis naam cursist: datum: naam afnemer: inhoud vraag opmerkingen OK werkpunt niet goed tellen eieren tellen in dozen van 10 getallen verder aanvullen in kralenketting getalbegrip getallen ertussen

Nadere informatie

Archimedes, De methode van de mechanische stellingen, inleiding

Archimedes, De methode van de mechanische stellingen, inleiding Archimedes, De methode van de mechanische stellingen, inleiding en propositie 2. De volgende vertaling is gebaseerd op de editie van Heiberg, vol. 2, pp. 426-430, 438-446, vergeleken met de vertaling van

Nadere informatie

Projectieve meetkunde en dualiteit

Projectieve meetkunde en dualiteit Projectieve meetkunde en dualiteit Irina Kachurovskaya Tobias Huisman Bram Wage 27 maart 2009 2 Inhoudsopgave 1 De hand-out 5 1.1 Inleiding in dualiteit en projectiviteit...................... 5 1.1.1

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie

Voorbereidend materiaal

Voorbereidend materiaal Voorbereidend materiaal Met deze tekst kan je je voorbereiden op het middagprogramma van het Wiskundtoernooi 2014, de Sum of Us. Het thema van dit jaar is 3D-printen. Over paragraaf 3, Een schedelplaatje

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 11 juni 2007 ( s morgens) Zakrekenmachine die niet grafisch en niet programmeerbaar is.

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 11 juni 2007 ( s morgens) Zakrekenmachine die niet grafisch en niet programmeerbaar is. EUROPEES BACCALAUREAAT 007 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 11 juni 007 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (40 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen. Zakrekenmachine

Nadere informatie

oefenbundeltje voor het derde leerjaar

oefenbundeltje voor het derde leerjaar oefenbundeltje voor het derde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012

Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012 Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 202 Cor Kraaikamp August 24, 202 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

Transformatiedansen. dansfiche eindwerk Wiskunde in Beweging. Kathy Nagels. 3 BOSO AV (wiskunde/fysica) 2010-2011

Transformatiedansen. dansfiche eindwerk Wiskunde in Beweging. Kathy Nagels. 3 BOSO AV (wiskunde/fysica) 2010-2011 Transformatiedansen dansfiche eindwerk Wiskunde in Beweging Kathy Nagels 3 BOSO AV (wiskunde/fysica) 2010-2011 Dansfiche Transformatiedansen Doelgroep Tijd Groepsgrootte Materiaal Secundair onderwijs:

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

WISKUNDE B-DAG 2009. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door

WISKUNDE B-DAG 2009. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door WISKUNDE B-DAG 2009 vrijdag 20 november De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door Vooraf Tijdens deze Wiskunde B-dag bestudeer je een spel dat is bedacht in de jaren 70 van de vorige eeuw. Het

Nadere informatie