OOG VOOR SYMMETRIE. Een wiskundige passie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "OOG VOOR SYMMETRIE. Een wiskundige passie"

Transcriptie

1 OOG VOOR SYMMETRIE Een wiskundige passie Jan van de Craats (UvA) Ars et Mathesis, 16 november 2013

2 Twee soorten rozetpatronen

3 Twee soorten rozetpatronen

4 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie

5 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie

6 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie [g(11)] Draai- en spiegelsymmetrie [s(11)]

7 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie Draai- en spiegelsymmetrie

8 Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie [g(11)] Draai- en spiegelsymmetrie [s(11)]

9 Wat is symmetrie?

10 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren.

11 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert.

12 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert. Een isometrie is een transformatie die de afstand van elk tweetal punten onveranderd laat.

13 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert. Een isometrie is een transformatie die de afstand van elk tweetal punten onveranderd laat. Voorbeelden: rotaties, spiegelingen, translaties,...

14 Wat is symmetrie? Overal om ons heen zien we symmetrische voorwerpen en patronen. Wiskundigen willen die symmetriepatronen classificeren. Een symmetrie van een figuur (voorwerp, tekening, patroon,...) is een isometrie die de figuur (als geheel) in zichzelf transformeert. Een isometrie is een transformatie die de afstand van elk tweetal punten onveranderd laat. Voorbeelden: rotaties, spiegelingen, translaties,... Als je een symmetrie toepast, zie je na afloop geen verschil.

15 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën

16 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder.

17 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:

18 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:

19 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:

20 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen:

21 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en icosaëder. Gekleurde kubussen: Handtekeningen: [s(3,3,2)], [g(3) s(2)], [g(3,3,2)], [g(4,3,2)]

22 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde octaëders:

23 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde octaëders:

24 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde octaëders: Handtekeningen: [g(3) s(2)], [g(4,3,2)]

25 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde dodecaëders:

26 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde dodecaëders:

27 Voorwerpen met eindig veel symmetrieën Gekleurde dodecaëders: Handtekeningen: [s(5,3,2)], [g(5,3,2)]

28 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft.

29 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën van dat voorwerp in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie.

30 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën van dat voorwerp in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. (N.B.: met bol bedoel ik boloppervlak.)

31 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën van dat voorwerp in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. (N.B.: met bol bedoel ik boloppervlak.) Elk symmetrisch voorwerp kun je dus identificeren met een symmetrisch bolpatroon dat dezelfde symmetrieën heeft!

32 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën van dat voorwerp in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. (N.B.: met bol bedoel ik boloppervlak.) Elk symmetrisch voorwerp kun je dus identificeren met een symmetrisch bolpatroon dat dezelfde symmetrieën heeft! Bolpatronen zijn tweedimensionaal. Dus eenvoudiger te bestuderen.

33 Symmetrische voorwerpen en bolpatronen Stelling: Elk begrensd driedimensionaal voorwerp heeft minstens één punt dat onder alle symmetrieën op zijn plaats blijft. Als O zo n vast punt is, gaat elke bol met middelpunt O onder alle symmetrieën van dat voorwerp in zichzelf over, want elke symmetrie is een isometrie. (N.B.: met bol bedoel ik boloppervlak.) Elk symmetrisch voorwerp kun je dus identificeren met een symmetrisch bolpatroon dat dezelfde symmetrieën heeft! Bolpatronen zijn tweedimensionaal. Dus eenvoudiger te bestuderen. Zo is er een verbinding met de studie van symmetrische patronen in het (euclidische) vlak (zelfde methoden, zelfde notaties).

34 Voorbeelden van bolpatronen [s(4,3,2)]

35 Voorbeelden van bolpatronen [s(4,3,2)]

36 Voorbeelden van bolpatronen [s(4,3,2)]

37 Voorbeelden van bolpatronen [s(5,3,2)] [g(3) s(2)] [g(2) s(2)]

38 De zeven platonische bolpatronen (1)

39 De zeven platonische bolpatronen (1)

40 De zeven platonische bolpatronen (1) [s(5,3,2)]

41 De zeven platonische bolpatronen (2)

42 De zeven platonische bolpatronen (2) [g(5,3,2)]

43 De zeven platonische bolpatronen (3)

44 De zeven platonische bolpatronen (3) [s(4,3,2)]

45 De zeven platonische bolpatronen (4)

46 De zeven platonische bolpatronen (4) [g(4,3,2)]

47 De zeven platonische bolpatronen (5)

48 De zeven platonische bolpatronen (5) [s(3,3,2)]

49 De zeven platonische bolpatronen (6)

50 De zeven platonische bolpatronen (6) [g(3) s(2)]

51 De zeven platonische bolpatronen (7)

52 De zeven platonische bolpatronen (7) [g(3,3,2)]

53 Alle platonische bolpatronen tezamen [g(3,3,2)] [g(3) s(2)] [s(3,3,2)] [g(4,3,2)] [s(4,3,2)] [g(5,3,2)] [s(5,3,2)]

54 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging:

55 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart).

56 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren).

57 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!

58 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!

59 Intermezzo: op jacht naar de handtekening Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Eerste poging: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 5. Klaar???

60 De zeven parametrische bolpatronen (1)

61 De zeven parametrische bolpatronen (1) [g(7,7)]

62 De zeven parametrische bolpatronen (2)

63 De zeven parametrische bolpatronen (2) [s(7,7)]

64 De zeven parametrische bolpatronen (3)

65 De zeven parametrische bolpatronen (3) [g(7) s]

66 De zeven parametrische bolpatronen (4)

67 De zeven parametrische bolpatronen (4) [g(7) x]

68 De zeven parametrische bolpatronen (5)

69 De zeven parametrische bolpatronen (5) [g(7,2,2)]

70 De zeven parametrische bolpatronen (6)

71 De zeven parametrische bolpatronen (6) [g(2) s(7)]

72 De zeven parametrische bolpatronen (7)

73 De zeven parametrische bolpatronen (7) [s(7,2,2)]

74 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept:

75 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart).

76 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren).

77 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!

78 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer!

79 Hoe vind je de handtekening van een bolpatroon? Het definitieve recept: 1. Teken alle spiegelcirkels (zwart). 2. Kleur alle rotatiecentra; geef equivalente centra dezelfde kleur (en niet-equivalente centra verschillende kleuren). 3. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat niet op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in g(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 4. Zet de orde van elk rotatiecentrum dat wel op een spiegelcirkel ligt binnen de haken in s(..,...,..). Gebruik elke kleur maar één keer! 5. Is het patroon hetzelfde als zijn spiegelbeeld maar zijn er geen spiegelcirkels, dan zijn er draaispiegelingen in het spel. De handtekening is dan [g(n) x] voor zekere parameterwaarde N.

80 Alle parametrische bolpatronen tezamen (hier: N = 7) [g(n,n)] [s(n,n)] [g(n) s] [g(n) x] [g(n,2,2)] [g(2) s(n)] [s(n,2,2)]

81 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (1)

82 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (1) Strookpatronen kun je identificeren met oneindige parametrische bolpatronen en omgekeerd. Er zijn dus ook precies 7 soorten strookpatronen!

83 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (1) Strookpatronen kun je identificeren met oneindige parametrische bolpatronen en omgekeerd. Er zijn dus ook precies 7 soorten strookpatronen! [g(7,7)] [g(, )]

84 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (2) [s(7,7)] [s(, )]

85 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (3) [g(7) s] [g( ) s]

86 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (4) [g(7) x] [g( ) x]

87 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (5) [g(7,2,2)] [g(, 2, 2)]

88 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (6) [g(2) s(7)] [g(2) s( )]

89 Strookpatronen en parametrische bolpatronen (7) [s(7,2,2)] [s(, 2, 2)]

90 De parametrische bolpatronen als bolschijfpatronen [g(7,7)] [s(7,7)] [g(7) s] [g(7) x] [g(7,2,2)] [g(2) s(7)] [s(7,2,2)]

91 De zeven strookpatronen [g(, )] [s(, )] [g( ) s] [g( ) x] [g(,2,2)] [g(2) s( )] [s(,2,2)]

92 Behangpatronen

93 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn patronen waarin translaties voorkomen in één richting.

94 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn patronen waarin translaties voorkomen in één richting. Behangpatronen zijn patronen in het vlak waarin translaties in verschillende richtingen voorkomen.

95 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn patronen waarin translaties voorkomen in één richting. Behangpatronen zijn patronen in het vlak waarin translaties in verschillende richtingen voorkomen. Het is welbekend dat er precies zeventien verschillende soorten behangpatronen zijn. Allemaal hebben ze hun eigen handtekening. In die handtekeningen worden hun symmetrie-eigenschappen weerspiegeld.

96 Behangpatronen Strookpatronen in het vlak zijn patronen waarin translaties voorkomen in één richting. Behangpatronen zijn patronen in het vlak waarin translaties in verschillende richtingen voorkomen. Het is welbekend dat er precies zeventien verschillende soorten behangpatronen zijn. Allemaal hebben ze hun eigen handtekening. In die handtekeningen worden hun symmetrie-eigenschappen weerspiegeld. Het is heel gemakkelijk om met de bovenbeschreven methoden de handtekening van een patroon te vinden.

97 De zeventien behangpatronen (1) [O] [s s] [s x] [x x] [g(2,2) s] [g(2,2) x]

98 De zeventien behangpatronen (2) [g(2,2,2,2)] [g(2) s(2,2)] [s(2,2,2,2)] [g(3,3,3)] [g(3) s(3)] [s(3,3,3)]

99 De zeventien behangpatronen (3) [g(4,4,2)] [g(4) s(2)] [s(4,4,2)] [g(6,3,2)] [s(6,3,2)]

100 Literatuur en achtergronden

101 Literatuur en achtergronden Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Massachusetts, 2008

102 Literatuur en achtergronden Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Massachusetts, 2008 Achtergronden bij deze lezing:

103 Literatuur en achtergronden Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Massachusetts, 2008 Achtergronden bij deze lezing: JvdC, Symmetrie op de bol en in het vlak, Nieuw Archief voor Wiskunde 5/12 nr. 4, december 2011 (Ook te lezen en te downloaden vanaf mijn homepage. )

104 ... en tot slot:

105 ... en tot slot: Veel dank!

Een passie voor SYMMETRIE

Een passie voor SYMMETRIE Een passie voor SYMMETRIE Jan van de Craats (UvA) NWD, 6 februari 2016 Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Rozetpatronen (2 soorten) Soorten symmetrische

Nadere informatie

Symmetrie op de bol en in het vlak

Symmetrie op de bol en in het vlak Jan van de Craats Symmetrie op de bol en in het vlak NAW 5/2 nr. 4 december 20 24 Jan van de Craats Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Postbus 94248 090 GE Amsterdam J.vandeCraats@uva.nl

Nadere informatie

Symmetrie op de bol en in het vlak

Symmetrie op de bol en in het vlak Symmetrie op de bol en in het vlak Jan van de Craats Samenvatting In dit artikel beschrijf ik de discrete symmetriegroepen van bolpatronen en patronen in het vlak. In mijn behandeling, die steunt op ideeën

Nadere informatie

Morenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen

Morenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Morenaments Ornamenten met symmetrie Fien Aelter, Liesje Knaepen en Kristien Vanhuyse, studenten SLO wiskunde KU Leuven Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Dit werklad is een voorbereiding

Nadere informatie

Symmetriegroepclassificatie met de orbifoldnotatie

Symmetriegroepclassificatie met de orbifoldnotatie Symmetriegroepclassificatie met de orbifoldnotatie Jos Klarenbeek Bachelorscriptie Begeleiding: prof.dr. Jan van de Craats en dr. Hessel Posthuma KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,

Nadere informatie

handleiding pagina s 434 tot Handleiding 1.2 Huistaken huistaak 12: bladzijde Werkboek

handleiding pagina s 434 tot Handleiding 1.2 Huistaken huistaak 12: bladzijde Werkboek week 13 les 5 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 434 tot 443 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina s 374 en 375: vierhoeken pagina 376: eigenschappen van diagonalen in vierhoeken

Nadere informatie

Symmetrie in islamitische ornamentale kunst

Symmetrie in islamitische ornamentale kunst Symmetrie in islamitische ornamentale kunst Jan van de Craats (UvA, OU) Wie in Andalusië de moorse paleizen en moskeeën, zoals het Alhambra in Granada, het Alcazar in Sevilla of de grote Mezquita-moskee

Nadere informatie

de Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw

de Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw SAMENSTELLING: H. de Leuw 1. VEELHOEKEN. Een veelvlak is een lichaam dat wordt begrensd door vlakke veelhoeken. Zo zijn balken en piramides wel veelvlakken, maar cilinders en bollen niet. Een veelhoek

Nadere informatie

Bruno Ernst Symposium

Bruno Ernst Symposium Bruno Ernst Symposium Betegelingen en behanggroepen symmetrie in wiskundige termen Jeanine Daems Universiteit Leiden Voorbeelden van symmetrische figuren: wat is symmetrie in de wiskunde? symmetrie

Nadere informatie

Platonische transformatiegroepen

Platonische transformatiegroepen Platonische transformatiegroepen Luc Van den Broeck 8 augustus 2015 Samenvatting In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.

Nadere informatie

Rotaties in de ruimte, de ruimte van rotaties

Rotaties in de ruimte, de ruimte van rotaties Rotaties in de ruimte, de ruimte van rotaties Roland van der Veen (UvA) Dit is een hands-on inleiding in de wiskunde achter rotaties. De bedoeling is om aan hand van opgaven en puzzels zelf aan de slag

Nadere informatie

Diktaat Concrete Meetkunde Veelvlakken en alles wat daarbij komt kijken...

Diktaat Concrete Meetkunde Veelvlakken en alles wat daarbij komt kijken... Diktaat Concrete Meetkunde Veelvlakken en alles wat daarbij komt kijken... Anieke Brombacher 3230589 Auke Mollema 3233626 Patrick van Stiphout 3223604 24 april 2009 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Regelmatige

Nadere informatie

Veelvlak. Begrippenlijst

Veelvlak. Begrippenlijst Veelvlakken Tijdens dit project Veelvlakken ga je vooral veel zelf onderzoeken. Je zult veel aan het bouwen zijn met Polydron materiaal. Waarschijnlijk zul je naar aanleiding van je bevindingen zelf vragen

Nadere informatie

Veelvlakken kleuren. Dion Gijswijt

Veelvlakken kleuren. Dion Gijswijt Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig? Veelvlakken kleuren Dion Gijswijt De

Nadere informatie

B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder

B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder B136 De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak Het twaalfvlak of dodecaëder Een dodecaëder ligt besloten tussen 6 paren van evenwijdige vlakken. Als die

Nadere informatie

Imaginary - van bol naar kubus

Imaginary - van bol naar kubus Imaginary - van bol naar kubus Gommaar Maes en Tania Van Damme SLO Wiskunde - Universiteit Gent en Atheneum Mariakerke Inleiding: coördinaat en vergelijking. Vlak Coördinaat Als we werken binnen een orthonormaal

Nadere informatie

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing

Nadere informatie

V el v'akk n kl ure. door Dion Gijswijt

V el v'akk n kl ure. door Dion Gijswijt door Dion Gijswijt V el v'akk n kl ure Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig?

Nadere informatie

WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5. Arnout Van Vaerenbergh

WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5. Arnout Van Vaerenbergh WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5 Arnout Van Vaerenbergh vorige oefening: 1/ contextsimulatie - Muziekles van Vermeer 2/ exacte input - objecten tekenen in perspectief 3/ exacte output -

Nadere informatie

Spiegelen en symmetrie

Spiegelen en symmetrie Spiegelen en symmetrie Bedoeling: De leerlingen komen doormiddel van verschillende activiteiten te weten wat spiegelen (en spiegelas) en symmetrie is. Doelen: De leerlingen kunnen - in eigen woorden verwoorden

Nadere informatie

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 1005 tot 1015 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 812: gelijkvormig / vervormen pagina 813: patronen pagina 814: kubus pagina

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Regelmatige vlakvullingen

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Regelmatige vlakvullingen Escher in Het Paleis Wiskundepakket Regelmatige vlakvullingen Regelmatige vlakvullingen Een regelmatige vlakvulling is een manier om een vlak te vullen doormiddel van een zich steeds herhalend patroon.

Nadere informatie

Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2

Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2 Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door

Nadere informatie

HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES

HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES Verschuiven, roteren, spiegelen, vergroten/verkleinen zijn manieren om bij een figuur een 'beeldfiguur' te bepalen. Deze manieren noem je 'transformaties'. 2.1 LIJNSPIEGELING

Nadere informatie

2. Antwoorden meetkunde

2. Antwoorden meetkunde 2. Antwoorden meetkunde In dit hoofdstuk zijn de antwoorden op de opgaven over Meetkunde opgenomen. Ze zijn kort en bondig per paragraaf gerangschikt. Dat betekent dat de antwoorden geen uitgebreide uitleg

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

2 Wiskunde. 2.1 Bolmeetkunde

2 Wiskunde. 2.1 Bolmeetkunde 1 Inleiding Een centraal probleem in de moderne theoretische natuurkunde is het verenigen van quantumtheorie en zwaartekracht. Een mogelijke aanpak is holografie, bedacht door onze Nobelprijswinnaar Gerard

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Wiskunde & Cultuur 2-3 W.v.Ravenstein 2010-2011 aangepast Vandaag Platonische lichamen Regelmatig, halfregelmatig en andere naamgeving Waarom zijn er maar 5 Platonische

Nadere informatie

Een Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron op het Kottenpark

Een Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron op het Kottenpark Een Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron op het Kottenpark Deze Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron werd op 5 februari 2011 gebouwd door: Ninouk Akkerman,

Nadere informatie

1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman 1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen, Universiteit van Amsterdam Voorwoord In deze bijdrage geven we een kort overzicht van recente ontwikkelingen in het vakgebied van

Nadere informatie

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige.

Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met de blik van een wiskundige. Artikel uit Euclides, maart 2010, jrg. 85, no. 5, Tijdschrift van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren Viervlakken tussen Kunst en Wiskunde Kijkend naar het werk van kunstenaar Henk Verbeek met

Nadere informatie

De Cantitruncated 600 cel

De Cantitruncated 600 cel De Cantitruncated 600 cel Afgeknotte icosahedrische prismatohexacosihecatonicosachoron Paul van de Veen info@vandeveen.nl januari 2013 I. De 5 Platonische lichamen In één dimensie bestaan alleen maar lijnen.

Nadere informatie

Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak)

Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak) OEFENING: TEKENEN IN SYMMETRIE MET BEIDE HANDEN GELIJKTIJDIG Op bord (verticaal) Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak) L R L R Ik zie het anders OEFENING: SYMMETRIE L R Oefeningen voor kinderen

Nadere informatie

Draaisymmetrie en lijnsymmetrie

Draaisymmetrie en lijnsymmetrie Uitdager van de maand Draaisymmetrie en lijnsymmetrie Rekenen Wiskunde, Groep 6 Algemeen Titel Draaisymmetrie en lijnsymmetrie Cognitieve doelen en vaardigheden voor excellente leerlingen Begrijpen wat

Nadere informatie

Voetbal(len) in de wiskundeles

Voetbal(len) in de wiskundeles Voetbal(len) in de wiskundeles Item 1 --- Shot op doel Opdracht : a) figuur links boven (keeper op midden van de doellijn) Welke speler (B of D) maakt de grootste kans om te scoren? b) figuur rechtsboven

Nadere informatie

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Dimensies een ruimtelijke tocht langs onbekende assen Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Junior College Utrecht, Januari 7 Inhoud. Abstract.... Inleiding...5.

Nadere informatie

Exploraties met GeoGebra

Exploraties met GeoGebra 23 Strookpatronen 23.1 Inleiding Exploraties met GeoGebra Strookpatronen (friezen) zijn randversieringen met een herhaald motief, voortgebracht door een verschuiving (translatie) volgens een vaste richting

Nadere informatie

handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom

handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 95 tot 974 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram pagina 754: puzzel geometrische figuren pagina 837: diverse gezichtspunten

Nadere informatie

Escher en de wiskunde van betegelingen

Escher en de wiskunde van betegelingen Escher en de wiskunde van betegelingen Gert Heckman IMAPP, Radboud Universiteit, Nijmegen G.Heckman@math.ru.nl 12 november 2012 1 Euclidische meetkunde De Euclidische meetkunde bestudeert configuraties

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

Sudoku s. Annelies Veen Noud Aldenhoven

Sudoku s. Annelies Veen Noud Aldenhoven Sudoku s Annelies Veen Noud Aldenhoven Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Het plaatje op de voorkant is een erg bijzondere puzzel, een soort sudoku. Sudoku s zijn puzzeltjes met hun eigen

Nadere informatie

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13

Nadere informatie

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET...

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET... In dit artikel laten we zien hoe je een kubus, een rombendodecaëder en een afgeknotte octaëder kunt omvormen tot een. Om de constructie zelf uit te voeren, heb je de bouwtekeningen nodig die bij dit artikel

Nadere informatie

Bedoeling: Doelen: Leerplandoelen wiskunde (VVKBaO):

Bedoeling: Doelen: Leerplandoelen wiskunde (VVKBaO): Bedoeling: De leerlingen leren M.C. Escher en zijn werken kennen. Ze ontdekken ook wat regelmatige vlakvulling is en maken kennis met de drie soorten symmetrie die Escher in zijn werken gebruikt. Na het

Nadere informatie

CWI Syllabi. Managing Editors. Executive Editor. Editorial Board

CWI Syllabi. Managing Editors. Executive Editor. Editorial Board blanko ii CWI Syllabi Managing Editors A.M.H. Gerards (CWI, Amsterdam) J.W. Klop (CWI, Amsterdam) N.M. Temme (CWI, Amsterdam) Executive Editor M. Bakker (CWI Amsterdam, e-mail: Miente.Bakker@cwi.nl) Editorial

Nadere informatie

Symmetrie ONDER DE LOEP. 1. Inleiding. Inhoud. Symmetrie en groep

Symmetrie ONDER DE LOEP. 1. Inleiding. Inhoud. Symmetrie en groep ONDER DE LOEP Symmetrie Inhoud 1. Inleiding 2. Transformaties, isometrieën en symmetrische figuren a. Enkele vlakke transformaties b. Samenstellen c. Isometrieën d. Symmetrische figuren 3. Rozetpatronen

Nadere informatie

24/11/2008. heel handig hulpvenster past zich voortdurend aan. Engelstalige handleiding van 63 blz. dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008

24/11/2008. heel handig hulpvenster past zich voortdurend aan. Engelstalige handleiding van 63 blz. dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008 Cabri 3D een voorstelling van de mogelijkheden dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008 Paul Decuypere, VVKSO cahier de brouillon interactif www.cabri.com 1985: eerste versie van Cabri I 1989: eerste

Nadere informatie

Een hecatonicosachoron op het Kottenpark

Een hecatonicosachoron op het Kottenpark Een hecatonicosachoron op het Kottenpark Afgeknotte Hecatonicosachoron Deze schaduw van deze 4-dimensionale polytoop bestaat uit 120 afgeknotte dodecaëders en 600 tetraëders Gebouwd op 30 januari 2010

Nadere informatie

Een inleiding in de wiskunde

Een inleiding in de wiskunde collegedictaat Een inleiding in de wiskunde Eerstejaars College Natuurkunde, Sterrenkunde, en Wiskunde Robbert Dijkgraaf Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam

Nadere informatie

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt]

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] [Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] Inleiding 1.1. Waar gaat het over? Vraag je aan iemand om een veelvlak te noemen,

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

0. Warming Up. Opdracht 0.1 Classificeren. Voor iedereen: leg de juiste figuur op de juiste plaats

0. Warming Up. Opdracht 0.1 Classificeren. Voor iedereen: leg de juiste figuur op de juiste plaats 0. Warming Up Opdracht 0.1 Classificeren Voor iedereen: leg de juiste figuur op de juiste plaats Workshops Meetkunde Voorbereiding Kennisbasistoets Rekenen Pagina 1 Opdracht 0.2 Classificeren Nog een keer

Nadere informatie

Exotisch koken met Felix Klein

Exotisch koken met Felix Klein Exotisch koken met Felix Klein In het bruisende Göttingen van 111 jaar geleden (zie de vorige scoop [3]) bracht Felix Klein grote delen van de wiskunde samen in een hele reeks niet-euclidische meetkunden.

Nadere informatie

Samenvatting van. door Maarten Solleveld

Samenvatting van. door Maarten Solleveld Samenvatting van Periodic cyclic homology of affine Hecke algebras door Maarten Solleveld De afgelopen jaren is mij vaak gevraagd wat ik nou eigenlijk onderzoek. Op deze vraag heb ik inmiddels een voorraadje

Nadere informatie

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken

Nadere informatie

University of Groningen. Theory and history of geometric models Polo-Blanco, Irene

University of Groningen. Theory and history of geometric models Polo-Blanco, Irene University of Groningen Theory and history of geometric models Polo-Blanco, Irene IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please

Nadere informatie

Het vermoeden van Poincaré

Het vermoeden van Poincaré Het vermoeden van Poincaré Joseph Steenbrink IMAPP, Radboud University Nijmegen 6 februari 2010 Outline 1 Poincaré 2 Het vermoeden 3 Topologie versus meetkunde Henri Poincaré Nancy 1854 - Parijs 1912 Achtergrond

Nadere informatie

Bij een pv kan men origineel en beeld continu in elkaar overvoeren. De `oriëntatie' blijft hierbij behouden. Er zijn dus twee soorten gt's: De directe

Bij een pv kan men origineel en beeld continu in elkaar overvoeren. De `oriëntatie' blijft hierbij behouden. Er zijn dus twee soorten gt's: De directe Lesbrief 9 Meetkunde II 1 Puntvermenigvuldigingen Definitie 1.1 Een transformatie G van het vlak heet een gelijkvormigheidstransformatie (verder afgekort als gt) als er een constante f > 0 bestaat zo,

Nadere informatie

Ontdek Polydron en Polydron Frameworks

Ontdek Polydron en Polydron Frameworks Ontdek Polydron en Polydron Frameworks Bob Ansell Contactgegevens Polydron Site E,Lakeside Business Park Broadway Lane South Cerney Cirencester Gloucestershire GL7 5XL Tel: +44 (0)1285 863980 Email: headoffice@polydron.com

Nadere informatie

Rekenweb Meetkundelessen

Rekenweb Meetkundelessen Rekenweb Meetkundelessen Handleiding Colofon www.rekenweb.nl meetkunst@uu.nl Inleiding Deze lessenserie bestaat uit zeven meetkundelessen. Les 1: oriëntatie in de ruimte Les 2: blokkenbouwsels Les 3: plattegronden

Nadere informatie

Rinus Roelofs. De natuur weeft niet. nationaal vlechtmuseum noordwolde

Rinus Roelofs. De natuur weeft niet. nationaal vlechtmuseum noordwolde Rinus Roelofs De natuur weeft niet nationaal vlechtmuseum noordwolde Weven Basispatronen 2 Draaiing 4 Zwart-wit betegelingen 6 Tegelpatronen 8 Bollen 10 Ringen 12 Weven is door mensen is uitgevonden. Het

Nadere informatie

Handleiding vierde middag Concrete Meetkunde 2009 Beweging en symmetrie

Handleiding vierde middag Concrete Meetkunde 2009 Beweging en symmetrie 1 Drie startproblemen Handleiding vierde middag Concrete Meetkunde 2009 Beweging en symmetrie opgave 1. Een klein puntspiegelwonder. Zet drie punten op papier, A, B en C. Kies een ander punt: X 1. Puntspiegel

Nadere informatie

Bijlagen bij Practicumboek: Naast alle ideeën uit: het boek: Zanten, M. van, e.a. (2010), Meten en meetkunde,reken-wiskundedidactiek

Bijlagen bij Practicumboek: Naast alle ideeën uit: het boek: Zanten, M. van, e.a. (2010), Meten en meetkunde,reken-wiskundedidactiek Bijlagen bij Practicumboek: Naast alle ideeën uit: het boek: Zanten, M. van, e.a. (2010), Meten en meetkunde,reken-wiskundedidactiek, Baarn/Utrecht/Zutphen: ThiemeMeulenhoff, je practicumboek, de reken-wiskundemethode

Nadere informatie

SketchUp L. 2.1 2D tekenen

SketchUp L. 2.1 2D tekenen 2.1 2D tekenen Inmiddels kunnen we ons zelf bewegen in SketchUp. De volgende stap is dat we wel iets in SketchUp moeten hebben om ons rond te bewegen. We moeten dus iets gaan tekenen. Voordat je ook maar

Nadere informatie

Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Ab van der Roest Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het

Nadere informatie

Antwoorden van PQRS / 4Q Nationale Wiskunde Dagen 2017

Antwoorden van PQRS / 4Q Nationale Wiskunde Dagen 2017 Antwoorden van PQRS / 4Q Nationale Wiskunde Dagen 2017 1a Notenveelvraat Chantek heeft 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Hij neemt eerst 8 noten, waar dat kan 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 Vervolgens

Nadere informatie

STUDIEHANDLEDIG REKENEN

STUDIEHANDLEDIG REKENEN Naam Klas STUDIEHANDLEDIG REKENEN Opleiding Opleiding: Juridische Dienstverlening Cursusjaar: 2013-2014 Semester: 3 Schrijvers: M. Chaar / F. el Maaliti/ C. van Buul MBO College Zuid Europaboulevard 13

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen.

Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Jakob Steiner (Utzenstorf (kanton Bern), 18 maart 1796 - Bern, 1 april 1863) was een Zwitsers wiskundige. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

Islamitische ornamentiek

Islamitische ornamentiek 40 NAW 5/6 nr. 1 maart 2005 Islamitische ornamentiek Jan van de Craats Jan van de Craats Korteweg-De Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam craats@science.uva.nl

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL

DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL Inhoud GETALLENKENNIS 13 1 Getallen 13 2 Het decimale talstelsel 14 3 Breuken 16 Begrippen 16 Soorten breuken 16 Een breuk vereenvoudigen 17 4 Breuken, percenten, kommagetallen 18 Breuk omzetten in een

Nadere informatie

a 2 +b 2 =c 2 www.stocs.nl patent pending / rights reserved / info@stocs.nl

a 2 +b 2 =c 2 www.stocs.nl patent pending / rights reserved / info@stocs.nl Bouwen met touwen spelend leren a 2 +b 2 =c 2 Met S TOCS kunnen kinderen spelenderwijs kennis maken met wiskunde, techniek en architectuur. STOCS bouwwerken bestaan uit lijnen, vlakken en hoeken. Wat zijn

Nadere informatie

Ruimte en tijd: overzicht

Ruimte en tijd: overzicht Overzicht Contents 1 Inleiding 1 2 De klassieke ruimte 2 3 Klassieke mechanica 5 4 Hyperbolische meetkunde 7 5 Gekromde ruimten 11 6 De vierde dimensie 13 7 Ruimte en tijd in de moderne fysica 16 1 Inleiding

Nadere informatie

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN?

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? Voor de GETALLENLEER worden concreet volgende doelstellingen nagestreefd: Begripsvorming

Nadere informatie

HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2

HOOFDSTUK 0. = α g1 α g2 HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling

Nadere informatie

Magidoku s en verborgen symmetrieën

Magidoku s en verborgen symmetrieën Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies

Nadere informatie

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi... Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,

Nadere informatie

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg

Nadere informatie

2 Basisfuncties Sinusfunctie Cosinusfunctie Tangensfunctie... 6

2 Basisfuncties Sinusfunctie Cosinusfunctie Tangensfunctie... 6 Inhoud 1 Voorbereidende opdracht. 2 2 Basisfuncties. 4 2.1 Sinusfunctie............................. 4 2.2 Cosinusfunctie........................... 5 2.3 Tangensfunctie........................... 6 3

Nadere informatie

Verbazend symmetrisch

Verbazend symmetrisch Verbazend symmetrisch Oratie gehouden door Erik Peter van den Ban bij de aanvaarding van het ambt van bijzonder hoogleraar vanwege het Utrechts Universiteitsfonds op het vakgebied Lie theorie Utrecht,

Nadere informatie

Niet-euclidische meetkunde. Les 3 Meetkunde op de bol

Niet-euclidische meetkunde. Les 3 Meetkunde op de bol Niet-euclidische meetkunde Les 3 Meetkunde op de bol (Deze les sluit aan bij de paragrafen 2.1 en 2.2 van de tekst Niet-Euclidische meetkunde van de Wageningse Methode) Kun je het vijfde postulaat afleiden

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

K 1 Symmetrische figuren

K 1 Symmetrische figuren K Symmetrische figuren * Spiegel Plaats de spiegel zó, dat je twee gelijke figuren ziet. Plaats de spiegel nu zó op het plaatje, dat je dezelfde figuur precies éénmaal ziet. Lukt dat bij alle plaatjes?

Nadere informatie

Evenwijdige perspectiefvoorstellingen

Evenwijdige perspectiefvoorstellingen Evenwijdige perspectiefvoorstellingen Luc Van den Broeck 1 augustus 2015 Samenvatting Dit seminarieproject voor leerlingen van een vijfde jaar start met een overzicht van verschillende projectiesystemen

Nadere informatie

Citation for published version (APA): Nutma, T. A. (2010). Kac-Moody Symmetries and Gauged Supergravity Groningen: s.n.

Citation for published version (APA): Nutma, T. A. (2010). Kac-Moody Symmetries and Gauged Supergravity Groningen: s.n. University of Groningen Kac-Moody Symmetries and Gauged Supergravity Nutma, Teake IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please

Nadere informatie

Exploraties met GeoGebra

Exploraties met GeoGebra 9 Fractalen Exploraties met GeoGebra Een fractaal is een meetkundige figuur waarin een zelfde motief zich steeds op kleinere schaal herhaalt. Men spreekt in dat verband over de bloemkoolstructuur of de

Nadere informatie

Gynzy Rekenen Werkbladen

Gynzy Rekenen Werkbladen Werkblad Getalbegrip 001 Getalbegrip 002 Meetkunde 001 Meetkunde 004 Meetkunde 005 Meetkunde 007 Meetkunde 009 Meetkunde 010 Meetkunde 011 Meetkunde 012 Meetkunde 016 Meetkunde 017 Meetkunde 018 Meetkunde

Nadere informatie

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als

Nadere informatie

Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel

Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

Nadere informatie

Instructies. Stap 1. Stap 2

Instructies. Stap 1. Stap 2 Instructies Hieronder staat een reeks van 10 opgaven uit verschillende wiskundegebieden. Telkens staat erbij welke foute antwoorden vaak door leerlingen worden gegeven (zoals vastgesteld in onderzoek).

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie