Copyright notice. Optimalisatietechnieken. Verzwaarde lineaire programma s. Verzwaarde lineaire programma s. Didactisch materiaal bij de cursus

Transcriptie

1 Didactisch materiaal bi de cursus Optimalisatietechnieken Academieaar Prof. dr. ir. W. Philips Tel: 09/ Fax: 09/ UNIVERSITEIT GENT Telecommunicatie en Informatieverwerking Copyright notice This powerpoint presentation was developed as an educational aid to the renewed course Optimisation Techniques (Optimalisatietechnieken), taught at the University of Gent, Belgium as of 99. This presentation may be used, modified and copied free of charge for non-commercial purposes by individuals and non-for-profit organisations and distributed free of charge by individuals and non-for-profit organisations to individuals and non-for-profit organisations, either in electronic form on a physical storage medium such as a CD-rom, provided that the following conditions are observed:. If you use this presentation as a whole or in part either in original or modified form, you should include the copyright notice W. Philips, Universiteit Gent, in a font size of at least 0 point on each slide; 2. You should include this slide (with the copyright conditions) once in each document (by which is meant either a computer file or a reproduction derived from such a file); 3. If you modify the presentation, you should clearly state so in the presentation; 4. You may not charge a fee for presenting or distributing the presentation, except to cover your costs pertaining to distribution. In other words, you or your organisation should not intend to make or make a profit from the activity for which you use or distribute the presentation; 5. You may not distribute the presentations electronically through a network (e.g., an HTTP or FTP server) without express permission by the author. In case the presentation is modified these requirements apply to the modified work as a whole. If identifiable sections of that work are not derived from the presentation, and can be reasonably considered independent and separate works in themselves, then these requirements do not apply to those sections when you distribute them as separate works. But when you distribute the same sections as part of a whole which is a work based on the presentation, the distribution of the whole must be on the terms of this License, whose permissions for other licensees extend to the entire whole, and thus to each and every part regardless of who wrote it. In particular note that condition 4 also applies to the modified work (i.e., you may not charge for it). Using and distributing the presentation means using it for any purpose, including but not limited to viewing it, presenting it to an audience in a lecture, distributing it to students or employees for self-teaching purposes,... Use, modification, copying and distribution for commercial purposes or by commercial organisations is not covered by this licence and is not permitted without the author s consent. A fee may be charged for such use. Disclaimer: Note that no warrantee is offered, neither for the correctness of the contents of this presentation, nor to the safety of its use. Electronic documents such as this one are inherently unsafe because they may become infected by macro viruses. The programs used to view and modify this software are also inherently unsafe and may contain bugs that might corrupt the data or the operating system on your computer. If you use this presentation, I would appreciate being notified of this by . I would also like to be informed of any errors or omissions that you discover. Finally, if you have developed similar presentations I would be grateful if you allow me to use these in my course lectures. Prof. dr. ir. W. Philips philips@telin.ugent.be Department of Telecommunications and Information Processing Fax: University of Gent Tel: St.-Pietersnieuwstraat 4, B9000 Gent, Belgium 05a.2 Verzwaarde lineaire programma s Verzwaarde lineaire programma s Theorie en voorbeelden Lineaire programma s hebben een stelsel van lineaire beperkingen: A en B en Verzwaarde lineaire programma s zin essentieel lineaire programma s maar met bikomende lastige beperkingen kan worden Eerste soort van lastige beperkingen: omgevormd beperkingen van het of -type: (A en B) of C of worden tot of als-dan-beperkingen: als x u dan moet x k u k We proberen deze te vervangen door lineaire beperkingen Tweede soort van lastige beperkingen: alle variabelen moeten geheel of binair zin: integer programming of zero-one programming alles of niets beperkingen: x =0 of x =u sommige variabelen moeten geheel of binair zin: mixed integer programming of mixed zero-one programming 05a.4

2 Voorbeeld : Swedish Steel... Staal bestaat uit izer met een aantal additieven Elk bestanddeel mag niet te veel noch te weinig voorkomen koolstof: 0.65% tot 0.75%; nikkel: 3% tot 3.5% chroom: % tot.2%; molybdeen:.% tot.3% Men gebruikt bi voorkeur schroot als grondstof en vult waar nodig aan met duurdere zuivere additieven Men heeft b.v. keuze uit 4 soorten schroot elk soort schroot heeft een verschillende samenstelling van twee soorten schroot is er maar een beperkte hoeveelheid (75 kg en 250 kg) voorradig men moet elk van deze twee soorten ofwel volledig opgebruiken ofwel helemaal niet gebruiken Zoek de goedkoopste oplossing om 000 kg staal te maken 05a.5...Voorbeeld : Swedish Steel... x... x 7 Rardin, tabel 4.2 Beschikbaar Pris Samenstelling (%) (kg) (kr/kg) Koolstof Nikkel Chroom Molybdeen Schroot Schroot Schroot onbeperkt Schroot onbeperkt 9 Nikkel 00 onbeperkt 4 Chroom 00 onbeperkt 60 Molibdeen 00 onbeperkt 53 Minimum Maximum gewenste samenstelling (%) Beperkingen: Minimum en maximum samenstelling mengsel Beschikbare hoeveelheden Totaal gewicht (000 kg) Kostfunctie: totale pris van het mengsel 05a.6...Voorbeeld : Swedish Steel Dit is een grotendeels lineair programma Noem x de hoeveelheid van bestanddeel (schroot of additief) Beperkingen: 7 gewenste hoeveelheid: T = 000 = x = koolstof: 0.65 T 0. x +0.7 x x x T nikkel: 3 T. x +3.2 x x T alle x niet-negatief Te minimaliseren: de kostpris 6 x +0 x 2 + x 3 +9 x 4 +4 x x x 7 En nu nog de alles-of-niets voorwaarden: x =75 y en x 2 =250 y 2 met y, y 2 =0, Besluit: lineair programma met twee binaire variabelen 05a.7 Voorbeeld 2: Productieprobleem... Productiekosten zin dikwils van de vorm µ (x) f +c x met µ(x)=0 als x=0 en µ (x)= als x > 0 geproduceerde hoeveelheid: x opstartkost: f, marginale productiekost: cx (en c > 0) niet-lineaire kostfunctie! Modellering met lineaire kostfunctie: definieer binaire y: y= als er geproduceerd wordt de kost wordt dan: f y+c x extra beperking: A: x = 0 y=0 We vervangen de als-dan beperking A door de lineaire beperking B: x uy met u een bovengrens voor elke mogelike x Onderliggende idee: als y=0 dan wordt x op nul geforceerd door B: x uy als y= dan wordt B: x u en mag dus x 0 05a.

3 ...Voorbeeld 2: Productieprobleem Zin de twee beperkingen werkelik equivalent? A: x = 0 y=0 B: x uy met u een bovengrens voor elke mogelike x Mogelike oplossingen: A: x = 0en y= 0; x > 0en y=; B: x = 0en y= 0; u x 0en y= geen echte beperking Probleem: x=0, y= als u voldoende groot is is ook een oplossing voorwaarde B is minder beperkend dan A In een realistisch kostminimalisatieprobleem geeft dit niet: x=0, y=: productie opstarten en toch niets produceren x=0, y= is altid een duurdere oplossing dan x=0, y=0 en zal dus nooit als optimale oplossing worden gekozen Besluit: men mag altid mogelike oplossingen toevoegen op voorwaarde dat deze niet optimaal kunnen zin 05a.9 Voorbeeld 3: Budgetteringsproblemen... Gegeven een aantal mogelike proecten met een gekende kost en opbrengst een maximaal budget (eventueel gespreid in de tid) Beslis welke proecten we moeten uitvoeren om een maximale opbrengst te krigen zonder het toegelaten budget te overschriden Dit is in essentie een knapzakprobleem Meestal zin er echter bikomende als-dan-beperkingen sommige proecten gebruiken de resultaten van andere: b.v.: als we proect A kiezen dan moeten we ook B kiezen sommige proecten zin mutueel exclusief 05a.0...Voorbeeld 3: NASA mission plan... Voorbeeld 3: Modellering... Rardin, tabel.2 budget requirements (billion $) Not Depends Mission Value with on Communications satellite Oribital microwave Io lander Uranus orbiter Uranus orbiter Mercury probe Saturn probe 5 3 Infrared imaging Ground-based SETI Large orbital structures 4 50 Color imaging Medical technology Polar orbital platform Geosynchronous SETI Budget = hangt af van =2 =, : incompatibele technologieën mutueel exclusief =4, 5: zelfde proect, andere startdatum mutueel exclusief 05a. Modellering: definieer binaire beslissingsvariabelen x : x = als proect wordt gekozen n Proecten n mutueel exclusief x proect vereist i x = x i Besluit: ingewikkelde als-dan-beperkingen kunnen weer worden vervangen door eenvoudige lineaire beperkingen resultaat: lineair programma met enkele binaire variabelen De lineaire modellering is niet uniek: b.v.,2,3 mutueel exclusief x +x 2 +x 3 let op: enkel voor alle x binair! x +x 2 en x +x 3 en x 2 +x 3 Een goede keuze kan de oplossing sterk vereenvoudigen 05a.2

4 Nasa: modellering Voorbeeld 4: Austin EMS location Maximaliseer 200x +3x 2 +20x 3 +50x 4 +70x 5 +20x 6 +5x 7 +0x +200x 9 +50x 0 +x +x x 3 +5x 4 mits 6x +2x 2 +3x 3 +x 7 +4x 9 +5x 2 0 (2000 tot 2004) 3x 2 +5x 3 +5x 5 +x 7 +5x 9 +x 0 +7x 2 +x 3 +4x 4 2 (2005 tot 2009) x 5 +x 6 +4x 0 +2x +4x 3 +5x 4 4 (200 tot 204) x 6 +5x +7x + x 3 +3x 4 4 (205 tot 209) 0x 4 +4x 6 +x 3 +3x 4 4 (2020 tot 2024) x 4 +x 5 x +x x 9 +x 4 (mutueel exclusief) x x 2 x 4 x 3 x 5 x 3 x 6 x 3 x 7 x 3 (afhankelikheden) alle x =0 of zero-one programma 05a.3 Rardin, fig Een EMS kan alle aangrenzende districten bedienen: district 2 kan b.v. worden bediend door =4, 5, en 6: x 4 +x 5 +x 6 Bedien alle districten met zo weinig mogelik EMS-locaties EMS =Emergency Medical Service =MUG Austin, Texas: districten: 20 mogelike locaties: 0 x i = als de i-de locatie wordt gekozen Oefening: Stel zelf de ongelikheden op 05a.4 Bedekkingsproblemen... Gegeven een aantal mogelike plaatsen om MUG-stations in te planten Elk station kan (enkel) de naburige districten bedienen Kies de inplantingsplaatsen zodat elk district door minstens station kan worden bediend en dit met zo weinig mogelik stations Definieer binaire x : x = als er een station op plaats komt Definieer J i : de verzameling van stations die een bepaald district kunnen bedienen voor elk district geldt een beperking van de vorm x J Dit is een bedekkingsprobleem: i Bedekkingsproblemen leggen voorwaarden op aan deelverzamelingen J i van obecten Hier zin de obecten de stations 05a.5 Verwante problemen Bedekkingsvoorwaarde ( set covering ) minstens één punt van een verzameling J moet worden bedekt voorbeeld: minstens EMS per district (J = EMS-stations) Stapelvoorwaarde ( set packing ) hoogstens één punt van een verzameling J mag worden bedekt (cfr. exclusiviteitsvoorwaarden) voorbeeld: maximaal lokale radio per frequentie (J = radio s) Partitioneringsvoorwaarde ( set partitioning ) uist één punt van een verzameling J moet worden bedekt voorbeeld: uist één kiesbureau per kiezer (J = bureaus) Bedekking: J Packing : J x = x Partitionering: J x 05a.6

5 Verwante problemen In het Austin EMS-probleem vraagt de optimale oplossing 6 stations; soms is dit teveel realistischer, verwant probleem: bikomende voorwaarde: gebruik maximaal n stations associeer een kost c i aan elk niet bedekt district i minimaliseer de totale kost Definieer binaire y i : y i = als district i niet wordt gedekt De kost wordt: 20 i= oude voorwaarde: district 2 moet worden bedekt x 4 +x 5 +x 6 c i y i De bedekkingsvoorwaarden bevatten nu naast de EMS-variabelen x ook de districtsvariabelen y i nieuwe voorwaarde: indien 2 niet bedekt dan moet y 2 = x 4 +x 5 +x 6 +y 2 05a.7 Besluit: Verzwaarde lineaire programma s Zin essentieel lineaire programma s met een paar mogelike complicaties: sommige variabelen moeten binair of geheel zin niet-lineaire kostfunctie (soms) vervangen door lineaire kostfunctie, binaire variabelen en niet-lineaire beperkingen niet-lineaire beperkingen (b.v. als-dan beperkingen) vervangen door lineaire beperkingen en binaire variabelen Hierbi moet men dikwils noodgedwongen extra mogelike oplossingen toelaten; dit mag als men kan aantonen dat ze geen optimale kost hebben 05a. Oplossing door volledige opsomming Beschouw een lineair programma met een aantal binaire variabelen y i en niet-binaire (reële) variabelen x Volledige opsomming: hou de binaire y i -variabelen vast en optimaliseer over de x - variabelen gewoon lineair programma met oplossing x opt (y) en optimale kost c opt (y) doe dit voor alle mogelike y en bepaal daarna y opt, de y waarvoor c opt (y) optimaal wordt de optimale oplossing is dan y=y opt, x=x opt (y opt ) Probleem: aantal op te lossen lineaire programma s verdubbelt met elke bikomende binaire variabele! Besluit: volledige opsomming is een eenvoudige oplossingsmethode is enkel bruikbaar als er niet te veel binaire variabelen zin 05a.9 Oplossing door volledige opsomming Stel dat er twee binaire veranderliken zin, n.l. y en y 2 en nog enkele continue veranderliken x, x 2, mogelike oplossingen met y =0 en y 2 =0 beste opl. met y =0 en y 2 =0 mogelike oplossingen met y = en y 2 =0 beste opl. met y = en y 2 =0 mogelike oplossingen met y =0 en y 2 = beste opl. met y =0 en y 2 = mogelike oplossingen met y = en y 2 = beste opl. met y = en y 2 = De beste onder de optimale oplossingen van de vier deelproblemen is ook de optimale oplossing van het origineel probleem mogelike oplossingen gegeven probleem 05a.20

6 Voorbeeld : Swedish Steel mogelike y Corresponderende optimale x kost y y2 x3 x4 x5 x6 x binaire variabelen y, y 2 4 lineaire programma s hierin liggen x =75y en x 2 =250y 2 onmiddellik vast enkel de variabelen x 3 x 7 treden dus nog op deze variabelen worden geoptimaliseerd met simplex Optimum Zeven continue variabelen x x 7 Twee binaire variabelen t.g.v. twee alles-of-niets voorwaarden: x =75y en x 2 =250y 2 met y, y 2 =0, 05a.2 Relaxatie van de beperkingen... Een stel beperkingen A is een relaxatie van een ander stel B als alle mogelike oplossingen van B ook mogelike oplossingen van A zin Voorbeelden: slechte relaxatie vervang.5x +4x door.5x +4x laat een ongelikheid weg laat toe dat binaire of gehele variabelen reëel worden we krigen een zuiver lineair programma Relaxaties behouden bestaande oplossingen en laten extra oplossingen toe de optimum kost van het gerelaxeerd probleem is altid beter dan die van het origineel probleem Goede relaxaties vereenvoudigen het probleem Sterke relaxaties zin relaxaties waardoor de optimale kost van het probleem weinig verandert 05a.22 Relaxatie van de beperkingen mogelike oplossingen in origineel probleem A B mogelike oplossingen in gerelaxeerd probleem optimale oplossing in origineel probleem optimale oplossing in gerelaxeerd probleem (voor verschillende gevallen) Relaxaties laten extra oplossingen toe en leiden dus altid tot een even goed optimum of een beter optimum Als het optimum van het gerelaxeerd probleem ook mogelik is in het origineel probleem dan is het gerelaxeerd optimum ook een optimum van het origineel probleem Relaxaties zin sterk als de optimale kost niet of niet veel verandert door de bikomende oplossingen die ze toelaten 05a.23 x 2 Voorbeeld: continue relaxatie Origineel probleem: lineair programma, maar gehele oplossingen vereist Continue relaxatie: laat ook niet-gehele oplossingen toe zuiver lineair programma geval A: stigende winst in origineel probleem mogelike oplossing 4 mogelike oplossing in simplex-optimum gerelaxeerd probleem geval B: stigende winst probleem (geval A) optimum in origineel 0 optimum in origineel 0 4 x probleem (geval B) Geval A: de oplossing in het gerelaxeerd probleem is toevallig geheel dit is ook de oplossing van het origineel probleem Geval B: het gerelaxeerd probleem voegt betere oplossingen toe en geeft een bovengrens voor de originele optimale winst 05a.24

7 Voorbeeld : Swedish Steel mogelike y Corresponderende optimale x kost y y2 x3 x4 x5 x6 x Optimale continue relaxatie kost Optimum y y2 x3 x4 x5 x6 x Continue relaxatie: 0 y, y 2 i.p.v. y, y 2 binair te optimistisch goede relaxatie want we krigen nu een zuiver lineair programma dat snel en eenvoudig kan worden opgelost sterke relaxatie want de optimale kost verandert niet veel Probleem: de relaxatie geeft ons een niet-mogelike oplossing (y 2 niet binair!); ook een naïeve afronding van y 2 naar 0 of levert geen mogelike oplossing (totaal gewicht 000) 05a.25 Nut van relaxaties Relaxaties zin nuttig (altid) om grenzen te bepalen voor de optimale kost: de optimale kost van het gerelaxeerd probleem is een bovengrens in een maximalisatieprobleem en een ondergrens in een minimalisatieprobleem (soms) om de exacte oplossing te berekenen: als het gerelaxeerd optimum een mogelike oplossing is van het origineel probleem is het gelik aan het origineel optimum voorbeeld: het trofeeprobleem levert een gehele oplossing (eventueel) om aan te tonen dat er geen mogelike oplossingen zin (als er na relaxatie geen mogelike oplossingen zin, kunnen er ook geen zin voor relaxatie) (soms) om benaderde oplossingen te berekenen: soms kan men de reële oplossing na continue relaxatie afronden naar een gehele oplossing die voldoet aan de beperkingen 05a.26 Aantonen niet-oplosbaarheid Voorbeeld: Origineel probleem: minimaliseer x +2x 2 waarbi x -x 2 2, -x +x 2 -, x, x 2 geheel Continue relaxatie: x, x 2 reëel dit zuiver lineair programma heeft geen oplossing omdat de beperkingen tegenstridig zin: x -x 2 2, x -x 2 het origineel probleem heeft geen mogelike oplossing Hier zien we op het zicht dat er geen oplossing is, maar voor complexere problemen is dit niet evident we kunnen dan het simplexalgoritme gebruiken om aan te tonen dat er geen oplossing is 05a.27 Grenzen berekenen voor het optimum Voorbeeld: Origineel probleem: maximaliseer x +x 2 +x 3 waarbi x +x 2, x +x 3, x 2 +x 3 x, x 2, x 3 = 0 of Optimale oplossing (op zicht): slechts één van de veranderliken kan zin mogelike oplossingen: (,0,0), (0,,0) en (0,0,) elk met kost Continue relaxatie: simplexmethode geeft (0.5, 0.5, 0.5) als optimale oplossing, met optimale kost.5 (interessante oefening!) de optimale kost in het origineel probleem is.5 Opmerking: afronding naar een mogelike oplossing is hier wel mogelik en eenvoudig: rond naar beneden af maar geeft een zeer slechte winst (0 i.p.v. ) 05a.2

8 Grenzen: voorbeeld - Austin EMS Bedien alle districten met zo weinig mogelik EMS-stations (een station wordt gebouwd als x =) de te minimaliseren kost is hier dus 0 x = Continue relaxatie en oplossen met de simplex-methode levert optimale gerelaxeerde oplossing met kost 6: x =x 7 =0 x 2 =x 3 =x =x 0 = x 4 =x 5 =x 6 =x 9 =0.5 Besluit: minstens 6 EMS-stations nodig (want optimale kost 6) Sub-optimale oplossing via afronding alle beperkingen zin van de vorm x a + +x c als we oplossingen naar boven afronden bliven ze mogelik suboptimale oplossing: x =x 7 =0, x 2 =x 3 =x =x 0 =, x 4 =x 5 =x 6 =x 9 = met kost (dus met EMS-stations) Afronding naar een mogelike oplossing is niet altid zo gemakkelik (cfr. Swedish Steel )! 05a.29 Versterken van relaxaties Versterken van relaxaties Versterken van relaxaties: voorbeeld Sommige lineaire ongelikheden in gehele lineaire programma s worden op nogal artificiële manier ingevoerd en kunnen worden vervangen door andere maar equivalente ongelikheden Voorbeeld: exclusiviteitsvoorwaarde: ofwel ofwel 2 ofwel 3: A: x +x 2 en x +x 3 en x 2 +x 3 en alle x i binair B: x +x 2 +x 3 en alle x i binair C: A en B De keuze van de ongelikheden heeft geen invloed op de oplossing van het origineel discreet probleem, maar wel op de oplossing van het continu-gerelaxeerd probleem sommige keuzes geven dus een betere grens voor de optimale kost dan andere omdat ze minder bikomende oplossingen toevoegen 05a.3 A: Maximaliseer x +x 2 +x 3 C: Maximaliseer x +x 2 +x 3 x +x 2, x +x 3, x +x 2, x +x 3, x 2 +x 3, alle x i binair x 2 +x 3, alle x i binair, x +x 2 +x 3 continue relaxatie en simplex Optimum: x =x 2 =x 3 = 0.5 Optimum: x =, x 2 =x 3 = 0 met winst.5 met winst Bovengrenzen voor de optimale winst Relaxatie van C geeft een betere bovengrens en leidt zelfs tot een binaire optimale oplossing (alle x gelik aan of 0) Het gerelaxeerd maximum is mogelik in het origineel probleem en dus ook optimaal in origineel probleem 05a.32

9 Versterken relaxaties: voorbeeld 2... Een bedrif wil centrales bouwen voor het opvangen van gratis telefoonoproepen uit 4 districten (Rardin p. 595) Er is keuze uit mogelike centrales het opzetten van centrale i kost f i elke centrale i kan elk district bedienen, en de kost van een gesprek vanuit zone naar centrale i is r i, elke centrale moet minstens 500 en maximaal 5000 gesprekken verwerken Het aantal te behandelen gesprekken in district is d Gevraagd: zoek de goedkoopste oplossing om alle gesprekken af te handelen welke centrales moeten er worden gebouwd? hoeveel gesprekken van elk district moeten ze behandelen? 05a.33...Versterken relaxaties: voorbeeld 2... Variabelen: binaire y i : y i = als centrale i wordt opgezet continue x i, 0: fractie van de oproepen uit district die door centrale i worden verwerkt Dus, minimaliseer de totale kost i= yi d xi, 5000yi i = = xi, = = i= =... r i, d x i, + i= f i y i mits minimaal/maximaal aantal gesprekken alle oproepen behandelen Echt optimum heeft kost 0 53 en alle y i =0 behalve y 4 = y = Continue relaxatie levert een optimum met kost en y = 0.23, y 4 = 0.30, y 5 = 0.5, y = 0.65, y 2 = y 3 = y 6 = 0 Dit is slechts een zwakke ondergrens (0%) voor de echte kost 05a.34...Versterken relaxaties: voorbeeld Interpretatie van d xi, 5000yi 4 = gesprekken verwerkt door centrale i yi d xi, / 5000 = = maximale capaciteit van centrale i Probleem: beschouw in het gerelaxeerde probleem een mogelike oplossing waarbi centrale i zeer weinig wordt benut de x i, -variabelen zin dus zo dat het rechterlid van de bovenstaande ongelikheid zeer klein is de ongelikheid laat oplossingen met zeer kleine waarden van y i toe waardoor de vaste openingskost f i y i na relaxatie sterk wordt onderschat t.o.v. de echte vaste kost f i Mogelike (geldige) extra voorwaarden: y i x i, voor alle i, deze voorwaarden dwingen in een aantal gevallen y i op een hogere waarde, b.v. als x i, = en x i, =0 voor beperking y i d /5000 wordt dan y i max i (x i, )= 05a.35..Versterken relaxaties: voorbeeld 2 kost y y2 y3 y4 y5 y6 y7 y echt optimum relaxatie versie relaxatie versie Besluit: de bikomende voorwaarden veranderen niets aan de oplossing van het origineel discreet probleem (ze zin triviaal geldig) maar beperken wel het aantal mogelike oplossingen in de continue relaxatie en versterken dus de eerste relaxatie Gevolg: de tweede relaxatie levert een veel scherpere ondergrens voor de optimale kost van het origineel probleem Opmerking: afronden van de y i -variabelen naar een mogelike oplossing is hier niet triviaal omdat ze zowel naar boven als onder worden begrensd door andere variabelen: 500 y i combinatie van x i, 5000 y i 05a.36

10 Opmerking Opmerking Slides die in de les werden overgeslagen moeten zoals gewoonlik wel gekend zin Slides die in de les werden overgeslagen moeten zoals gewoonlik wel gekend zin 05a.37 05a.3