Werken met. vectoren. Hoofdstuk 1 Werken met vectoren 9

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Werken met. vectoren. Hoofdstuk 1 Werken met vectoren 9"

Transcriptie

1 Hoofdstuk Werken met vectoren 9 Werken met vectoren In Lthen in Duitslnd evindt zich de testn vn de Trnsrpid, een mgneettrein die over een specile n zweeft Stukken mgnetisch weekijzer in de n en elektromgneten in de trein zorgen ervoor dt de trein gt zweven An de onderknt vn de n is een kel ngercht die tussen de stukken weekijzer doorslingert Door de kel loopt een stroom vn,0 3 Ampére Deze stroom zorgt smen met het mgnetische veld voor de stuwkrcht vn de trein Deze krcht wordt de lorentzkrcht genoemd De grootte en de richting vn de lorentzkrcht kun je erekenen met ehulp vn vectoren Vectoren in R en R 3 Bewerkingen met vectoren 3 Lengte en inwendig product 4 De hoek tussen twee vectoren 5 Uitwendig product 6 Toepssen: Uitwendig product 7 Vectorfuncties 8 Toepssen: Vectorfuncties Hoofdzken Toets Noordhoff Uitgevers v

2 0 Hoofdstuk Werken met vectoren Vectoren in R en R3 Pltsvector Je kunt een vector tekenen ls een pijl Als je in een ssenstelsel het eginpunt vn de vector in de oorsprong tekent, krijg je een pltsvector De pltsvector in het pltte vlk die eindigt in het punt, noteer je ls De pltsvector in R3 die eindigt in het punt,, 3 noteer je ls De getllen, en 3 zijn de kentllen vn de vector O z 3 o Eenheidsvector en nulvector 0 De vectoren en zijn de eenheidsvectoren in R 0 Zij liggen lngs de ssen en worden ngeduid met e en e In R3 zijn de eenheidsvectoren 0 0 e 0, e en e Een vector wrvn lle kentllen 0 zijn, is de nulvector Zowel in R ls in R3 noteer je de nulvector ls o of ls een kolom met lleen mr nullen Je kunt je de nulvector voorstellen ls een pijl wrvn het eginpunt en het eindpunt smenvllen De nulvector heeft geen richting Vrije vector Bij vrije vectoren ligt het eginpunt niet in O, mr in een willekeurig punt Met de kentllen geef je n hoe je vnuit het (willekeurige) eginpunt vn de vector in het eindpunt vn de vector komt: je gt dn eenheden in de richting en eenheden in de -richting Vooreeld 3 Een msspunt P eweegt zich met een snelheid v, 7 Dt etekent dt P zich met 3 m/s in de -richting,,7 m/s in de -richting en m/s in de z-richting eweegt Noordhoff Uitgevers v 4COLOUR_INF_ _BWpdf :45:34

3 Hoofdstuk Werken met vectoren Oefeningen Teken in een -ssenstelsel de vectoren en Verleng vector met een fctor Wt zijn de kentllen vn de nieuwe vector? c Teken een vector c met dezelfde lengte ls, mr met tegenstelde richting d Wt zijn de kentllen vn c? Gegeven zijn de vectoren 3 en 4 3 Verleng vector met een fctor Wt zijn de kentllen vn de nieuwe vector? Vector c heeft dezelfde lengte ls vector, mr is tegengesteld vn richting Wt zijn de kentllen vn de vector c? 3 In een ssenstelsel in R 3 is kuus OABCDEFG getekend wrvn drie rien smenvllen met respectievelijk de -s, de -s en de z-s De rien heen lengte 5 Teken in de kuus een vector die smenvlt met de digonl OB en ereken de lengte vn OB met ehulp vn de stelling vn Pthgors Teken in de kuus ook een vector die smenvlt met de digonl OF en ereken ook drvn de lengte c Teken de rechthoekige driehoek OBF in een plt vlk en ereken de hoek tussen OB en OF 4 In een ssenstelsel in R 3 is het lok OABCDEFG getekend wrvn drie rien smenvllen met respectievelijk de -s, de -s en de z-s OA =, OC = 7, OD = 4 Schrijf ls vector: OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG Geef de coördinten vn het eginpunt en geef de richting vn de volgende vrije vectoren: EF, EA, ED, DF, DB c De digonlen DB en OF snijden elkr in S en delen elkr middendoor Schrijf OS ls vector 5 Een stroomdrd evindt zich in een homogeen mgnetisch veld De richting vn het veld wordt gegeven door de vrije vector B 3 De stroomdrd gt door het punt (0,5) en de richting vn de stroom wordt gegeven door de vrije vector I Mk een schets vn deze situtie in een -ssenstelsel E A E A z D O D z O F B G C G F C B Noordhoff Uitgevers v

4 Hoofdstuk Werken met vectoren Bewerkingen met vectoren Optellen Zowel in R ls in R3 kun je vectoren ij elkr optellen door de kentllen op te tellen Als en dn is: 3 3 z o Meetkundig etekent dit: leg het eginpunt vn de vector op het eindpunt vn De somvector is dn de vector vn het eginpunt vn nr het eindpunt vn (de rode pijl in de figuur) Dit geldt ook voor vrije vectoren Vermenigvuldigen met een getl Je kunt een vector met een getl vermenigvuldigen door de kentllen met dt getl te vermenigvuldigen c Als en c is een getl dn is: c c Meetkundig etekent dit dt je de vector met een fctor c vergroot Is c < 0, dn keert ovendien de richting vn de vector om ( ) is de tegengestelde vn Vooreelden 3 3 Als 4 en dn is 6 en ( 3) ( ) Verder is 4 en o Ontinden Een vector of kun je schrijven ls een comintie vn eenheidsvectoren: e e of e e 3 e3 e e e e De vector is drmee ontonden in de eenheidsectoren Noordhoff Uitgevers v 4COLOUR_INF_ _BWpdf :45:34

5 Hoofdstuk Werken met vectoren 3 Oefeningen 3 7 Gegeven zijn de vectoren 5, en c 4 3 Bereken c Bereken Bereken c d Bereken 3c Gegeven zijn de vectoren 4, 0 en c 0 6 Bereken 4c Bereken 3 c Gegeven zijn: 0, 30, c 85, d Voor welke vector geldt: c d? Voor welke vector geldt: c d o? c Voor welke vector z geldt: z c d o? 4 De vector wordt ontonden in de vectoren 0 en 0 Bereken Teken vervolgens de vectoren in een ssenstelsel en teken hierin het prllellogrm met digonl 3 5 Ontind de vectoren 5, 7 eenheidsvectoren en c 0 in de 6 Twee krchten die op een deeltje werken zijn gegeven door 3 F en F F 3 is een derde krcht zodt het deeltje in rust lijft Bereken F3 Noordhoff Uitgevers v

6 4 3 Hoofdstuk Werken met vectoren Lengte en inwendig product De lengte vn een vector Volgens de stelling vn Pthgors is de lengte vn de vector gegeven door In R kun je de lengte vn een vector erekenen door de stelling vn Pthgors twee keer toe te pssen 3 O z 3 De lengte vn de digonl in de liggende rechthoek is Vervolgens ereken je de lengte vn door de stelling vn Pthgors toe te pssen in de rechtopstnde rechthoek: 3 3 o Inwendig product Het inwendig product vn twee vectoren is een getl De grootte vn dt getl hngt f vn de lengtes vn de vectoren en de hoek die de vectoren met elkr mken Als en dn is het inwendig product (kort: inproduct) vn en gedefinieerd door = In R geldt: ls en dn is = 3 3 het inwendig product vn en 3 Met het inproduct kun je de lengte (nottie ) vn een vector erekenen Als dn is Dt etekent Deze formule geldt ook in R3 Vooreelden ( ) 5 ( ) Als 4 dn is 4 4 Noordhoff Uitgevers v 4COLOUR_INF_ _BWpdf :45:34

7 Hoofdstuk Werken met vectoren 5 Oefeningen Bereken het inwendig product vn: 4 en 4 en e c e en e d 3 en 3 5 e 3 en e 3 5 f e en (3) e Gegeven zijn de vectoren, 0 en c 0 4 Bereken de volgende inproducten 3 c c 4c d c 3 Geef twee vectoren en in R 3 die ongelijk zijn n o en wrvoor geldt: 0 4 Bereken de lengte vn de vectoren 4 en 5 Gegeven zijn de vectoren en 3 3 Bereken de lengte vn en vn Bereken 7 Bewijs de volgende eigenschppen ( c) c c Noordhoff Uitgevers v

8 6 4 Hoofdstuk Werken met vectoren De hoek tussen twee vectoren Hoek en inproduct In de tekening hiernst is en 0 Dus 0 De hoek tussen de vectoren is In dit specile gevl geldt cos en Er komt dus: cos( ) In de tweede tekening zijn eide vectoren over eenzelfde hoek gedrid Drij verndert de wrde vn het inwendig product niet Ook in dt gevl is cos( ) In de tekening zie je dt cos( ) de lengte is vn de loodrechte projectie vn op Ook geldt dus: = (lengte vn de loodrechte projectie vn op ) (lengte vn ) Conclusie: Als de vectoren en een hoek met elkr mken, geldt voor het inproduct vn en : cos Vooreeld De door een krcht verrichte reid is gelijk n de grootte vn de krcht in de richting vn de weg ml de lengte vn de fgelegde weg Dt is het inproduct vn de krchtvector en de wegvector De zeilschepen op de foto worden met menskrcht door het knl getrokken Het knl is ongeveer 000 meter lng De totle netto menskrcht is 000 N De krcht mkt een hoek vn 0 met het knl De verrichte reid is cos(0 ) = Nm De hoekformule De formule cos( ) geldt in R en in R3 Je kunt deze formule geruiken om de hoek tussen twee vectoren te erekenen ls je de kentllen weet Je schrijft dn: cos( ) π Is 0 dn is cos 0 en dus is Vooreeld 4 Als en dn is cos ( ) 0, 336 Dus deze vectoren mken met elkr een hoek cos (0,336) 70 Noordhoff Uitgevers v 4COLOUR_INF_ _BWpdf :45:35

9 Hoofdstuk Werken met vectoren 7 Oefeningen Onderzoek of de vectoren en 3 loodrecht op elkr stn Gegeven zijn de vectoren 5 en 6 Voor welke wrde(n) vn stn deze vectoren loodrecht op elkr? Zoek een vector in R die loodrecht stt op en op p Gegeven de vectoren p en p 3 Voor welke wrde(n) vn p stn en loodrecht op elkr? Bereken de cosinus vn de hoek tussen en Gegeven is de krcht F in R De vectoren s, s en s3 eplen een f te leggen weg in R vn de oorsprong nr A (zie figuur) Bereken de reid die F lngs deze f te leggen weg verricht Bereken de reid die F lngs de kortste weg vn O nr A verricht F Volgens de definitie vn reid ls het inproduct vn de krcht en de weg ls vector met richting en grootte, kn de verrichte reid ook een negtieve wrde heen Geef vooreelden vn situties wrin de verrichte reid positief, 0 en negtief is Noordhoff Uitgevers v 4COLOUR_INF_ _BWpdf :45:35

10 8 5 Hoofdstuk Werken met vectoren Uitwendig product Het uitwendig product (kort: uitproduct; nottie: ) vn de vectoren en in R3 is een vector c in R3 c Deze vector c stt loodrecht op en op De richting vn c kun je eplen door in gedchten een kurkentrekker te drien vn nr over de kleinste hoek tussen en De ewegingsrichting vn de kurkentrekker is de richting vn In de figuur hiernst wijst nr rechts, nr chteren en c nr oven Let erop dt de richting vn c tegengesteld is n de richting vn Voor de lengte vn geldt: = sin( ) De kentllen vn het uitwendig product kun je erekenen met de formules: (zonder ewijs) Vooreeld 3 ( ) ( ) 3 ( ) 3 5 ( ) 9 Rekenschem Het uitproduct is lleen gedefinieerd voor vectoren in R3 Voor het uitrekenen vn het uitproduct estt een hndig rekenschem Zet de kentllen en de eenheidsvectoren in een rechthoek zols hiernst Verind de kentllen en eenheidsvectoren in drietllen door pijlen, die schuin nr eneden en schuin omhoog wijzen De pijlen nr eneden geven de plustekens en de pijlen nr oven de mintekens Zo vind je: e3 3e 3e 3e 3e e3 3 3 e 3 3 e e Vooreeld e e e e e e3 e e e e3 e e 5e 3e 4e3 7 e e 9e3 9 Noordhoff Uitgevers v 4COLOUR_INF_ _BWpdf :45:35

11 Hoofdstuk Werken met vectoren 9 Oefeningen 0 Gegeven zijn de vectoren 4, en c 6 3 Bereken de volgende uitwendige producten c c 3c d 5c Bereken: e e e e c e e 3 e e e 3 d 3 Bewijs dt voor lle vectoren, in R 3 geldt: Het uitwendig product vn vectoren wordt geruikt ij het progrmmeren vn 3D-pltjes op een eeldscherm Je kunt drmee direct met de coördinten erekenen of een punt links of rechts vn een lijn ligt of op een lijn ligt zonder dt je die figuur hoeft te tekenen In de volgende opgven zie je hoe dt werkt c Gegeven zijn de punten A, B en C in het -vlk (het eeldscherm) met eeldschermcoördinten,,,, c, c c Lt zien dt AB en AC c C 0 0 Bewijs dt 0 AB AC 0 c c z Vn AB nr AC wordt in dit gevl linksom gedrid c c Verklr hiermee dt 0 d Hoe kun je uit het feit dt c c 0 fleiden dt C links vn de lijn door A en B ligt? c c dn ligt C op de lijn e Bewijs: Als 0 door A en B c c dn ligt C rechts vn f Bewijs: Als de lijn door A en B 0 A AB AC B Noordhoff Uitgevers v

12 0 Hoofdstuk Werken met vectoren 6 Toepssen: Uitwendig product Het moment vn een krcht In de figuur grijpt een krcht F n op het eind vn een stf met lengte l die kn drien om punt A F mkt een hoek met de stf Je kunt F ontinden in een component in de richting vn de stf en een component loodrecht op de stf Door deze loodrechte krcht F zl de stf rechtsom gn drien om A Het moment M vn F ten opzichte vn A is een vector die ngrijpt in A en loodrecht op het ppier stt Bij een rechtsdriende eweging (met de klok mee en in het vlk vn het ppier) wijst de vector nr chteren (vn je f) De grootte M vn het moment vn deze krcht ten opzichte vn het punt A is de (loodrechte) krcht ml de rm Dus: M l F l F sin( ) A l F F Vt je de stf op ls vector r vn A nr het ngrijpingspunt vn F, dn geldt de formule M r F Het moment is dus het uitproduct vn r en F De richting vn M epl je met de kurkentrekkerregel; je moet dn F in gedchten verpltsen nr A Vooreeld r en F liggen in het horizontle - vlk, z 7 50 r 3 en F 50 3 Vn oven gezien drit r met de klok mee Voor de 0 0 momentvector M geldt: ( 50 3) 0 M r F ( 50 3) F r M Een krcht F in een z- ssenstelsel grijpt n in het punt (, 5, 3) Bereken het moment vn F ten opzichte vn O In de figuur hiernst zijn vier krchten getekend Bereken vn elk vn deze krchten het moment ten opzichte vn punt O Bereken vn elk vn deze krchten het moment ten opzichte vn punt P 00 N 3 meter O 4 meter 300 N P 400 N N Noordhoff Uitgevers v

13 Hoofdstuk Werken met vectoren De lorentzkrcht op een gelden deeltje Een mgneetzweeftrein is een hoogstndje vn elektrische technologie Elektrische stromen zorgen smen met mgnetische velden voor een voortewegende en voor een opwrtse krcht Doordt de trein gt zweven is er geen mechnische wrijving en kn de trein hoge snelheden ereiken Deze technologie erust op het verschijnsel dt een ewegend gelden deeltje in een mgnetisch veld, een krcht ondervindt vn dt mgnetische veld Deze krcht heet de lorentzkrcht Een elektrisch gelden deeltje met lding Q [Coulom] eweegt met een snelheid v [m/s] in een homogeen mgnetisch veld B [tesl] Het gelden en ewegende deeltje ondervindt een krcht F [N]vn het mgnetische veld F stt loodrecht op B en v en is gericht volgens de kurkentrekkerregel F Q v B En dus: F Q v B sin( ) Er geldt: F Q v B In het pltje wijst v nr chteren; het deeltje eweegt dus vn je f B wijst nr rechts De lorentzkrcht F is dn nr eneden gericht ls Q een positieve lding is en nr oven gericht ls Q een negtieve lding is De lorentzkrcht op een stroomdrd De stroomsterkte I [Amp] in een stroomvoerende geleider geeft n hoeveel lding per seconde door een doorsnede vn de geleider gt Heeft de geleider lengte L [m] dn is I L de totle hoeveelheid lding die per seconde door de geleider gt De geleider wordt gepltst in een homogeen mgnetisch veld met veldsterkte B [tesl] F L I B Voor de lorentzkrcht F [N] op de geleider geldt dn: 3 Een rechthoekig drir spoeltje evindt zich in een homogeen en horizontl gelegen mgnetisch veld B Het mgnetische veld loopt vn links nr rechts en mkt een hoek met het vlk vn het verticle spoeltje Door het spoeltje gt een stroomsterkte I Drdoor werken er lorentzkrchten op het spoeltje die het doen drien In de tekening zijn de krchten F op de verticle stukken vn het spoeltje getekend Teken een ovennzicht vn het spoeltje en teken drin de krchten F en geef n wt de hoek is vn F met het spoeltje De hoogte vn het spoeltje is h Geef een formule voor F F h I l F n B c d Lt zien dt de lorentzkrchten op de horizontle stukken vn het spoeltje elkr opheffen De lengte vn de horizontle stukken vn het spoeltje is l Geruik dit gegeven om een formule voor het moment M vn F ten opzichte vn de s vn het spoeltje f te leiden Noordhoff Uitgevers v

14 7 Hoofdstuk Werken met vectoren Vectorfuncties Tot nu toe he je in R en in R3 gewerkt met vectoren wrvn de kentllen getllen of constnten zijn In deze prgrf mk je kennis met vectoren wrvn de kentllen functies vn t zijn Drdoor krijg je functies die een vector ls uitkomst heen Deze functies kunnen in het lgemeen worden weergegeven door de (t ) (t ) vergelijking: r (t ) of r (t ) (t ) (t ) z (t ) Vooreeld Gegeven de volgende vectorfunctie in R: t r (t ) t Je kunt voor t verschillende wrden invullen Elke ingevulde wrde levert een vector, ijvooreeld: 3 r (), r (), r (3) en r ( ) 4 9 Door de eindpunten vn deze vectoren te verinden krijg je de grfiek vn de vectorfunctie In dit gevl liggen die eindpunten op een prool t Dit kun je ls volgt fleiden uit: t Door t te elimineren vind je Vooreeld cos(7t ) r (t ) sin(7t ), t vrieert vn 0 tot π t π cos cos π 0 π π π r sin, r sin π π π π π De eindpunten vn de vectoren r (t ) liggen op een schroeflijn Vn ovenf gezien liggen de wrden vn (t) en (t) op de eenheidscirkel Doordt de wrden vn z(t) toenemen met t, schroeft de vector zich omhoog Als t toeneemt vn 0 tot π, drit de vector 7 ml om de z-s Noordhoff Uitgevers v 4COLOUR_INF_ _BWpdf :45:35

15 Hoofdstuk Werken met vectoren 3 Oefeningen t Gegeven de vectorfunctie r( t) 3 t Bereken r( ), r( ), r (0), r () en r () Teken deze vectoren in een - ssenstelsel c Druk vnuit de vergelijkingen vn de kentllen uit in t e Gegeven de vectorfunctie r( t) t Bepl het domein vn r( t) Geef een vergelijking voor de grfiek vn de eindpunten vn de vectoren r c Schets deze grfiek cos(π t ) t 3 r( t), t > 0 sin(π t ) t Bereken r ( t) Verklr wrom de grfiek vn r( t) een spirl is die nr (0,0) spirliseert cost sin t 4 Gegeven de vectorfunctie r( t) sin t cost Bereken r ( t) Hoe ziet de figuur gevormd door de eindpunten vn r( t) eruit? 5 De schroeflijn vn vooreeld is een elektrische spirl wr een stroom 7sin(7 t) I( t) 7cos(7 t) doorloopt Bereken de stroomsterkte I( t) De spirl wordt gepltst in een mgnetisch veld B 0 Bereken de grootte vn de lorentzkrcht I( t) B op de spirl Noordhoff Uitgevers v

16 4 8 Hoofdstuk Werken met vectoren Toepssen: Vectorfuncties Bewegingen in het vlk of in de ruimte Vectorfuncties zijn geschikt om ewegingen in het pltte vlk en lngs ruimtekrommen te eschrijven De sisvergelijkingen vn deze ewegingen (t ) (t ) zijn: OP r (t ) en OP r (t ) (t ) (t ) z (t ) Hierin is t de tijd en zijn (t), (t) en z(t) de coördinten vn het eindpunt P vn de vector r (t ) De vector r (t ) heet de pltsvector vn het punt P Door te differentiëren vind je direct de snelheidsvector v (t ) en de versnellingsvector (t ) vn het punt P d d ( t ) (t ) dt dt (t ) (t ) d d v (t ) (t ) (t ) en (t ) (t ) (t ) dt dt z (t ) z (t ) d d z (t ) z ( t ) dt dt In vectornottie: (t ) v (t ) r (t ) Voor vectoren in R gelden soortgelijke formules, mr dn zonder z(t) De cirkeleweging De eweging vn een punt P op een cirkel met middelpunt O en strl R in het R cos t pltte vlk kun je eschrijven door: OP r (t ) R sin t Hierin is ω de hoeksnelheid; dt is het ntl rdilen dt de vector r (t ) per tijdseenheid drit R sin t Voor de snelheidsvector vn P geldt dn: v (t ) en voor de R cos t R cos t versnellingsvector: (t ) R sin t In de figuur hiernst is de situtie getekend op tijdstip t De strl vn de cirkel is R In seconde doorloopt het punt een hoek met grootte Dit is de hoeksnelheid, het ntl rdilen dt per seconde wordt doorlopen v (t ) is de nsnelheid vn het punt v () r () () π seconden doorloopt het punt een volledige cirkel Dit is de omlooptijd vn het punt In Noordhoff Uitgevers v 4COLOUR_INF_ _BWpdf :45:35

17 Hoofdstuk Werken met vectoren 5 Oefeningen De cirkeleweging wordt gegeven door de vergelijking voor r( t) op de linkerpgin Bereken v( t) en ( t) Bereken r( t) v( t) en v( t) ( t) c Toon n dt r( t) en v( t) en dt v( t) en ( t) loodrecht op elkr stn en dt r( t) en ( t) tegengestelde richting heen Voor de eweging vn een punt geldt: sin t v( t) cos4t en r(0) cost Bereken v v ( t) Hoe groot is de fstnd vn het punt tot de oorsprong lst π 4 sin t 3 Gegeven r( t) cost t Bereken v( t) en ( t) Bereken r c Toon n dt v( t) en ( t) loodrecht op elkr stn 4 Stellieten voor tv-ontvngst stn op een vste plts ten opzichte vn de rde Door de n vn de stelliet ongeveer in het vlk vn de evenr te leggen en de fstnd vn de stelliet ten opzichte vn de rde geschikt te kiezen, kun je ervoor zorgen dt die omlooptijd 4 uur is zodt de stelliet ltijd op dezelfde plts oven de evenr lijft hngen G er ij het volgende vn uit dt de stelliet in een cirkelvormige n eweegt, zodt je de formules voor de cirkeleweging op de linkerpgin kunt geruiken π T is de omlooptijd vn een stelliet Lt zien dt = ( t) T De zwrtekrcht F houdt de stelliet in hr n Volgens de mm zwrtekrchtwet vn Newton geldt: F G R R c Hierin is G = 6,676 0 kg m 3 s, de universele grvittieconstnte, m de mss vn de stelliet en M de mss vn de rde Bovendien geldt de trgheidswet vn Newton: F m 3 R GM Leidt met deze formules f dt T 4π Bereken hiermee op welke fstnd de stelliet moet stn ten opzichte vn het centrum vn de rde en ten opzichte vn het rdoppervlk (M = 5, kg, Strl rde = 6, m) Noordhoff Uitgevers v

18 6 Hoofdstuk Werken met vectoren Hoofdzken Een vector in R die eindigt in het punt, noteer je ls Een vector in R 3 die eindigt in het punt,, 3 noteer je ls 3 Met en in R 3 geldt: c Met constnte c en in R 3 geldt: c c 3 c 3 Het inwendig product vn en is Het inwendig product (inproduct) vn twee vectoren is een getl De lengte vn is 3 De cosinus vn hoek tussen en is cos Ook geldt cos 3 3 Het uitwendig product vn en is Dit is een vector die loodrecht stt op en op De richting vn het uitproduct kun je eplen met de kurkentrekkerregel De richting vn stt loodrecht op en op en is gelijk n de ewegingsrichting vn een kurkentrekker die wordt gedrid vn nr over de kleinste hoek Vectorfuncties zijn functies met een vector ls uitkomst ( t) De lgemene vergelijking is: r( t) ( t) z( t) Als t de tijd voorstelt, dn eschrijven de eindpunten vn r( t) de n vn een ewegend punt De snelheid v( t) en de versnelling ( t) zijn de eerste en de tweede fgeleide vn de kentllen vn r( t) Dus ( t) v ( t) r ( t) Noordhoff Uitgevers v

19 Hoofdstuk Werken met vectoren 7 Toets Gegeven zijn de vectoren 3, 3 5 Bereken 3 c Bereken en c c Bereken en c d Bereken c en c en c 3 Bepl de vectoren met lengte 3 0 die gelijke hoeken mken met 3 0 en met Bereken de cosinus vn de hoek tussen de vectoren en 4 De steel vn een vloerwrijver mkt met de vloer een hoek vn 60 o De vloerwrijver wordt met een krcht vn 00N voortgeduwd over en fstnd vn 0 m Hoeveel reid wordt drij verricht? t 5 Gegeven de vectorfunctie r( t) sin t t Voor welke t is v miml? 3 t 3 6 Gegeven de vectorfunctie r( t) t 3 t Bepl v( t) en ( t) Bepl r c Bepl de cosinus vn de hoek tussen v( t) en ( t) Noordhoff Uitgevers v

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t www. - - nfhnkelijk

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B II

Eindexamen vwo wiskunde B II Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot I Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle)

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Inhoud college 7 Basiswiskunde

Inhoud college 7 Basiswiskunde Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 30/12: Electrische velden, Wet vn Guss Berekening vn electrische flux Alleen de component vn het veld loodrecht op het oppervlk drgt bij n de netto flux. We definieren de electrische flux ls

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Zwaartepunt en traagheid

Zwaartepunt en traagheid Nslgwerk deel 8 wrtepunt en trgheid Uitgve 2016-1 uteur HC hugocleys@icloud.com Inhoudsopgve 1 wrtepunt 4 1.1 Inleiding wrtepunt vn een lichm....................... 4 1.2 Momentenstelling..................................

Nadere informatie

Antwoorden Natuurkunde Hoofdstuk 1

Antwoorden Natuurkunde Hoofdstuk 1 Antwoorden Ntuurkunde Hoofdstuk 1 Antwoorden door Dn 2719 woorden 3 pril 2016 4,3 2 keer eoordeeld Vk Methode Ntuurkunde Systemtishe ntuurkunde 1.1 Grootheden en eenheden Opgve 1 Kwntittieve metingen zijn

Nadere informatie

Deel B. Wiskunde. voor het hoger onderwijs. Sieb Kemme Wim Groen Theo van Pelt Jan Walter. Achtste editie

Deel B. Wiskunde. voor het hoger onderwijs. Sieb Kemme Wim Groen Theo van Pelt Jan Walter. Achtste editie Deel B Wiskunde voor het hoger onderwijs Sieb Kemme Wim Groen Theo van Pelt Jan Walter Achtste editie Wiskunde voor het hoger onderwijs Deel B Wiskunde voor het hoger onderwijs Deel B Sieb Kemme Wim

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar.

Hertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar. Hertentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 14 juli 2011 09:00-12:00 Schrijf op elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke opgve op een prt vel. Dit tentmen bestt uit 4 vrgen. Alle vier

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan. 2 Verschuiven Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting.

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting. 1. EVENWICHT Zols in het eerste gedeelte over krchten en momenten reeds n de orde is gesteld werken op een lichm meestl meerdere krchten tegelijkertijd. We zeggen dt het lichm onderhevig is n een stelsel

Nadere informatie

MET VOLLE KRACHT VOORUIT

MET VOLLE KRACHT VOORUIT MET VOLLE KRACHT VOORUIT VERSIE PR O EF KRACHT, ENERGIE EN VERMOGEN WEZO3_1u_them4.indd 3 15/04/16 09:48 HOOFDSTUK 1 KRACHTEN 1.1 Uitwerking vn een krcht p 5 1.2 Meten vn een krcht p 7 1.3 Kenmerken vn

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte

Nadere informatie

Inleiding Natuurwetenschappen

Inleiding Natuurwetenschappen Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut

Nadere informatie

m p Tabel: I plaat 3 m pa 2

m p Tabel: I plaat 3 m pa 2 VRIJE UNIVERSITEIT BRUSSE FACUTEIT TOEGEPASTE WETENSCHAPPEN MECHANICA Een e kndidtuur Burgerlijk Ingenieur-Architect Acdeiejr -3 Zterdg juni 3 Vrg O R Bovenstnd voorwerp werd gevord door uit een vlkke

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

2) Kegelsneden (in basisvorm)

2) Kegelsneden (in basisvorm) ) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM HEREXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 008 VK : WISKUNE TUM : TIJ : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Begripsvragen: Beweging

Begripsvragen: Beweging Hndboek ntuurkundedidctiek Hoofdstuk 4: Leerstofdomeinen 4.2 Domeinspecifieke leerstofopbouw 4.2.1 Mechnic Begripsrgen: Beweging 1 Meerkeuzergen O Q R P 1 [H/V] Iemnd stt op de in figuur 1 ngegeen plts

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

I Vectoren in R. I.0 Inleiding

I Vectoren in R. I.0 Inleiding I Vectoren in R I Inleiding Een vector is een wiskundig begrip dt centrl stt in de wiskunde zelf, mr dt ook een grote rol speelt in nder vkken, in het bijzonder de ntuurkunde en de econometrie In dit hoofdstuk

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

35 7 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO

35 7 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6 d 6.0 INTRO km kost,0: =,0 drnkje kost : =,0, dus de entrée is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog

Nadere informatie

Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Jn vn de Crts Henk Pijls De kromme gevormd door de toppen vn de prolen door drie gegeven punten NAW 5/9 nr. mrt 08 9 Jn vn de Crts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit vn Amsterdm j.vndecrts@uv.nl

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,9 drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Tentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 11 juli 2012 09:00-12:00. Leg uw collegekaart aan de rechterkant van de tafel.

Tentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 11 juli 2012 09:00-12:00. Leg uw collegekaart aan de rechterkant van de tafel. Tentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 11 juli 1 9:-1: Leg uw collegekrt n de rechterknt vn de tfel. Schrijf o elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke ogve o een rt vel. Dit tentmen

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..

Boek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules.. Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

Uitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim

Uitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim Uitwerking Tentmen Anlyse B, 8 juni 0 Opgve [5pt] Bereken Hint: b = e b log. lim ( sin(π. Zij I =], [. Voor lle I \ {} geldt dt Definieer ( sin(π = e log( sin(π = e log sin(π. ϕ( = f(, f( = log, g( = sin(π.

Nadere informatie

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO H6 RECHTE LIJNEN VWO 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,0 (oude druk) km kost,0: =,9 (nieuwe druk) drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek.

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek. M15 Rechthoek en lk 692 E Je kunt hieronder eenvoudig de oppervlkte vn een rechthoek vinden door de ruitjes te tellen. Elk ruitje is 1 cm². Hoe groot is de oppervlkte vn deze rechthoek?... 693 B Bereken

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4

Nadere informatie

Continuïteit en Nulpunten

Continuïteit en Nulpunten Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B I

Eindexamen vwo wiskunde B I Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

Toepassingen op Integraalrekening

Toepassingen op Integraalrekening Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes

Nadere informatie

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30 ELEKTROMAGNETISME - 3AA3 9 rt 8, 4. 7. uur Geef bij iedere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl duidelijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wordt geïntegreerd Het forulebld en beoordelingsforulier

Nadere informatie

Ongelijkheden groep 2

Ongelijkheden groep 2 Ongelijkheden groep Rvi & Cuchy-Schwrz Trnstrendtriningsdg (triningsdg, 6 mrt 009 Cuchy-Schwrz Cuchy-Schwrz Voor reële getllen x,, x n en y,, y n geldt: x i y i en bijgevolg x i y i n n met gelijkheid

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN Permnente kennis 3de trimester 4de jr Grooteden en eeneden BASISGROOTHEDEN Bsisgrooteid Symool Eeneid lengte l meter m mss m kilogrm kg tijd t seonde s elektrise stroom I mpère A AFGELEIDE GROOTHEDEN EN

Nadere informatie

= = = = = = = =

= = = = = = = = 0 ld nm Hulp Reken uit met cijferen 0 Reken uit met splitsen Honderdvouden ij elkr en dn de rest ij elkr. + 0 = 0 + = 0 + = 0 + 0 = + 0 = 0 + 0 = 0 + = 0 + = Honderdvouden vn elkr f en dn de rest vn elkr

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie