Van Latijns tot magisch vierkant

Transcriptie

1 Faculteit Wetenschappen en Bio-Ingenieurswetenschappen Departement Wiskunde Van Latijns tot magisch vierkant Carlo Emerencia Promotor: Prof. Dr. Philippe Cara 8 januari 016

2 Inhoudsopgave 1 Inleiding Latijnse Vierkanten 4.1 Latijnse vierkanten (in standaardvorm) Orthogonale Latijnse vierkanten Dubbel diagonale Latijnse vierkanten Magische Vierkanten Definities Constructies Verbanden Met Andere Combinatorische Structuren Steinersystemen Projectieve Vlakken

3 1 Inleiding Deze bachelorproef gaat over magische vierkanten, objecten die vooral worden bestudeerd in een tak van de wiskunde, genaamd recreatieve wiskunde. Hier bestudeert men, in tegenstelling tot zeer fundamentele problemen, zoals fysische bewegingen en symmetrie van bijvoorbeeld moleculen, meer problemen die ontstaan uit puzzels en raadsels, die niet meteen een antwoord geven op moeilijke vragen, zoals eerder geformuleerd. Meestal zijn voor onderwerpen binnen de recreatieve wiskunde niet zeer gevorderde technieken nodig om de theorie erachter te begrijpen, maar kan het wel nuttig zijn om kinderen en/of volwassenen die niet dagelijks met wiskunde bezig zijn te motiveren dat dat wel interessant kan zijn. Maar wat zijn nu deze magische vierkanten, en wat maakt ze zo magisch? Om dat uit te leggen, keren we terug naar het oude China: in het jaar 800 voor Christus, waar de rivier Lo, volgens de legende, dikwijls overstroomde. Men geloofde dat er offers aan de riviergod gebracht moesten worden om de rivier te kalmeren, maar ieder offer was echter tevergeefs. Op een dag merkte een kind na een overstroming op dat er een schildpad aanspoelde op het land, met negen opmerkelijke tekens op haar schild, in een drie bij drie raster. Deze tekens leken op graffen met elk een bepaald aantal toppen. Wordt het aantal toppen per graf in een nieuw raster (of vierkant) gezet, krijgt men dit: Op het allereerste zicht, ziet zelfs iemand met wat getalleninzicht misschien niet echt iets opvallends. Maar kijk je er wat langer naar, zie je met wat experimenteerwerk dat voor iedere rij in het vierkant geldt dat de som van de getallen gelijk is aan 15. Net hetzelfde voor de drie kolommen en de hoofd- en nevendiagonaal. Dat was dus de oplossing: er moest niet een, maar 15 offers aan de riviergod gebracht worden, om de rivier te kalmeren. Dit vierkant werd voortaan Lo Shu genoemd, wat betekent: Boek van de rivier Lo, en het getal 15 had

4 nu een zeer speciale betekenis gekregen. 1 Een magisch vierkant is zelfs te vinden in de kerk van de Sagrada Familia in Spanje: De som van de rijen, kolommen en diagonalen in dit vierkant is 33, de leeftijd van Jezus toen hij gekruisigd werd. Dit leidt nu tot een aantal andere vragen, namelijk: Bestaan er nog andere magische vierkanten van dezelfde orde?, Bestaan er anders nog grotere magische vierkanten?, Hoe construeert men, indien ze bestaan, deze vierkanten? en Zijn er misschien verbanden met andere interessante wiskundige objecten?. In deze bachelorproef zal er naar constructies toegewerkt worden met behulp van Latijnse vierkanten, wat meteen in het volgende hoofdstuk besproken wordt en.html 3

5 Latijnse Vierkanten Dit hoofdstuk zal gewijd worden aan mogelijke bouwstenen voor magische vierkanten, namelijk Latijnse vierkanten, en speciale klassen ervan: de paarsgewijs orthogonale. Alle definities en eigenschappen die nodig zullen zijn, staan opgesomd. Eerst uiteraard de definitie van een Latijns vierkant..1 Latijnse vierkanten (in standaardvorm) Definitie.1.1 [5] Een Latijns vierkant van orde n met n verschillende symbolen (bijvoorbeeld: 0, 1,..., n 1) is een n n raster, waarbij op iedere rij en iedere kolom ieder symbool juist een keer voorkomt. Voorbeeld is een Latijns vierkant van orde 3. Voorbeeld.1.3 [8] n N 0 : de Cayley-tabel van (Z n,+) is een Latijns vierkant van orde n. Bewijs: n n n 1 n 1 n... n Stel dat er twee getallen op een rij gelijk zijn, of ook: a, b, c Z n : a + b = a + c. We trekken van beide leden a af en we zien dat b = c. Wegens commutativiteit van de groep Z n, geldt hetzelfde voor de kolommen en de Cayley-tabel is dus een Latijns vierkant van orde n. Opmerking: In het algemeen geeft iedere Cayley-tabel van een groep van orde n aanleiding tot een Latijns vierkant van orde n, maar niet omgekeerd. Definitie.1.4 [5] Een Latijns vierkant van orde n noemt men in standaardvorm, indien de symbolen op eerste rij van het vierkant in een vooraf afgesproken volgorde staan. 4

6 Zo is het Latijns vierkant uit voorbeeld.1. ook een Latijns vierkant in standaardvorm: de eerste rij is 0, 1,, volgens de orde van N. In wat volgt, zullen we in alle Latijnse vierkanten de symbolen 0, 1,,, n 1 gebruiken. Stelling.1.5 [5] Ieder Latijns vierkant van orde n kan in standaardvorm gezet worden. Bewijs: Zij L = (l i,j ) een Latijns vierkant, niet noodzakelijk in standaardvorm. Zij verder σ S n de permutatie die de rij l 1,1, l 1,,..., l 1,n op de rij 0, 1,..., n 1 stuurt. Beschouw dan het vierkant: L = (σ(l i,j )), en stel dat in een bepaalde rij i van L geldt: σ(l i,k ) = σ(l i,m ). Omdat σ een permutatie is, kan de inverse permutatie toegepast worden en vinden we: l i,k = l i,m. Maar nu is L een Latijns vierkant, waaruit volgt: k = m. Een analoog argument kan toegepast worden op de kolommen van L, en dus is L een Latijns vierkant in standaardvorm. We noteren dus voortaan voor een willekeurig Latijns vierkant L het ermee geassocieerde Latijns vierkant in standaardvorm als L. Voorbeeld.1.6: Stel dat we in standaardvorm willen brengen. Als we de permutatie (0)(1 3 ) op ieder element van het vierkant toepassen, krijgen we: vierkant is, deze keer in standaardvorm., wat weer een Latijns. Orthogonale Latijnse vierkanten De Latijnse vierkanten die interessant zullen zijn om uiteindelijk magische vierkanten te construeren, zijn de paren die orthogonaal zijn. Het magisch vierkant dat we willen bekomen, zal namelijk een bepaalde lineaire combinatie van de twee Latijnse vierkanten zijn. Eerst een definitie van wat er 5

7 bedoeld wordt met orthogonaliteit van twee Latijnse vierkanten. Definitie..1 [5] Men noemt twee Latijnse vierkanten L 1 en L van orde n orthogonaal, indien het vierkant gevormd door koppels van overeenkomstige elementen van L 1 en L alle n mogelijke koppels bevat. Voorbeeld..: en vierkanten van orde zijn twee orthogonale Latijnse Stelling..3 [5] Als L 1 en L orthogonale Latijnse vierkanten van orde n zijn, dan zijn L 1 en L dat ook. Bewijs: Verloopt analoog aan het bewijs van Stelling.1.5 Stelling..4 Zij n een priemmacht (n = p h, p priem, h N). Dan is het maximaal aantal Latijnse vierkanten van orde n, waarvan iedere twee orthogonaal zijn, gelijk aan n 1. Bewijs: Hiervoor bewijzen we eerst een lemma: Lemma..5 Zij n een willekeurig niet-nul natuurlijk getal. Dan is het maximaal aantal Latijnse vierkanten van orde n, waarvan iedere twee orthogonaal zijn, hoogstens n 1. Bewijs: Zij L 1, L,..., L k een verzameling van k Latijnse vierkanten, die paarsgewijs orthogonaal zijn. We veronderstellen dat k > 0 en we mogen wegens Stelling..3, zonder de algemeenheid te schaden, veronderstellen dat ze in standaardvorm staan (door achteraf een inverse permutatie toe te passen). Neem L i en L j zo twee vierkanten. We beschouwen nu het element l i,1 uit het vierkant L i. 6

8 L i = n 1 l i,1 Omdat L i een Latijns vierkant is, kan het niet dat l i,1 = 0. Verder kan het ook niet dat l,1 i = lj,1 voor j verschillend van i, want wegens het in standaardvorm staan van L i en L j, zou daaruit volgen dat eenzelfde koppel meer dan een keer voorkomt in het vierkant gevormd door de koppels. Er blijven dus n 1 mogelijkheden over voor l,1 i, waardoor k ook ten hoogste n 1 kan zijn. Bewijs van Stelling..4: Als n een priemmacht is, bestaat er een veld F van orde n [1]. Noteer voor de elementen van F : {f 1, f,..., f n }. We spreken af dat f n = 0. Zij nu voor alle 1 k n 1 het vierkant L k als volgt gedefinieerd: l k i,j = f i f k + f j Er moet nu bewezen worden dat L k een Latijns vierkant is, en dat L k1 L k orthogonaal zijn voor willekeurige 1 k 1, k n 1. en Voor de rijen: zij l k i,j = lk i,m, dan: f i f k + f j = f i f k + f m f j = f m j = m Voor de kolommen: zij l k i,j = lk m,j, dan: f i f k + f j = f m f k + f j f i f k = f m f k f i = f m (omdat k n, is f k 0) i = m Zij (l k 1 i,j, lk i,j ) = (lk 1 q,r, l k q,r), dan: l k 1 i,j = lk q,r en l k 1 i,j = lk q,r f i f k1 + f j = f q f k1 + f r en f i f k + f j = f q f k + f r f i (f k1 f k ) = f q (f k1 f k ) (aftrekken van beide gelijkheden) f i = f q (k k 1, en dus f k f k1 en (f k1 f k ) inverteerbaar) i = q 7

9 f i f k1 + f j = f i f k1 + f r (vorig resultaat invullen in de eerste vergelijking) f j = f r j = r Dit bewijst de orthogonaliteit van L k1 en L k We weten dus dat er voor n een priemmacht minstens n 1 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten bestaan. Wegens het lemma hiervoor, is dit aantal dus juist n 1. Uit deze stelling blijkt nu dat n = 6 het kleinste natuurlijk getal is, waarvoor er niet noodzakelijk n 1 = 5 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten bestaan. Men kan zelfs meer zeggen: [5] Voor n = 6 bestaan er zo niet eens twee. Dit houdt verband met het volgende probleem waar Euler zich mee bezighield: Is het mogelijk om 36 officieren van 6 verschillende rangen en van iedere rang 6 verschillende afdelingen, in een zes bij zes opstelling te krijgen, zodat op iedere rij en iedere kolom van de opstelling iedere officier een verschillende afdeling en rang heeft?. Euler vermoedde in 178 dat dit probleem geen oplossing had, waardoor er dus ook geen paar orthogonale latijnse vierkanten bestaat van orde 6. Hij vermoedde zelfs meer: voor geen enkel natuurlijk getal n, met n (mod 4) bestond dit paar van orde n. Dit is nu een van de vermoedens in de wiskunde, dat niet bewezen, maar ontkracht werd in 1960 door Bose, Shrikhande en Parker. Een tegenvoorbeeld van orthogonale latijnse vierkanten van orde 10: [3] Wat Euler beweerde was niet helemaal fout, want voor het geval n = 6 werd in 1900 door Tarry bewezen dat zulk een paar van orde 6 wel degelijk niet bestaat. 8

10 De constructie van orthogonale Latijnse vierkanten zal echter niet genoeg zijn om magische vierkanten te construeren, met de reden dat het niet noodzakelijk zo is dat de som van de rijen en de kolommen ook de som van de hoofd- en nevendiagonaal is. Hieraan wijden we de volgende paragraaf..3 Dubbel diagonale Latijnse vierkanten Definitie.3.1 [] Een dubbel diagonaal Latijns vierkant van orde n, is een Latijns vierkant van orde n, waarbij bovendien op de hoofd- en nevendiagonaal ervan ook alle n verschillende symbolen staan Voorbeeld.3.: is een dubbel diagonaal Latijns vierkant van orde Voorbeeld.3.3: Er bestaan geen dubbel diagonale Latijnse vierkanten van orde 3. Bewijs: Laten we proberen er een te construeren. We vullen de hoofddiagonaal in met de symbolen 0,1, (zie figuur onderaan). Merk op dat we de algemeenheid niet schaden, omdat we altijd permutaties op de symbolen kunnen toepassen. Op rij 1 kolom moet een staan, omdat 0 in dezelfde rij, en 1 in dezelfde kolom staat. Om een analoge reden moet op rij kolom 1 een staan. Met deze informatie kunnen we de ontbrekende symbolen invullen: We zien nu dat op de nevendiagonaal enkel het symbool 1 staat, waardoor we geen dubbel diagonaal Latijns vierkant bekomen. Merk op dat indien we in het begin de nevendiagonaal zouden ingevuld hebben, we wegens symmetrie een probleem zouden gekregen hebben met de hoofddiagonaal. Ook belangrijk om op te merken is dat als L een dubbel diagonaal Latijns vierkant is, dat dan ook L er een is. Dit volgt uit een redenering analoog aan Stellingen.1.5 en..3. 9

11 Het volgende dat we willen bespreken is hoeveel van deze vierkanten er bestaan die opnieuw paarsgewijs orthogonaal zijn, maar dan ook hoe ze geconstrueerd kunnen worden. Een bovengrens geven op dit aantal is niet erg moeilijk: Stelling.3.4 [4] Zij n N \ {0, 1}. Als n even is, is het maximaal aantal dubbel diagonale paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten hoogstens n. Voor n oneven is dit aantal hoogstens n 3. Bewijs: Zij n een natuurlijk getal, oneven, en niet 1. Zij L 1, L,..., L k een stel dubbel diagonale Latijnse vierkanten, zodanig dat ieder paar orthogonaal is. Neem L i en L j met i j. We mogen weer veronderstellen dat de twee vierkanten in standaardvorm staan. Omdat n oneven is, is er een element op de n+1 n+1 -de rij en op de -de kolom van L i. Noem dit l i n n+1... n 1, n+1 l i n+1, n+1 Dit symbool mag niet 0 of n 1 zijn, omdat het vierkant dan anders niet dubbel diagonaal is. Bovendien mag dit ook niet n+1 zijn, omdat het vierkant dan anders niet Latijns is. Er zijn blijven dus n 3 mogelijkheden over voor l i n+1. Vanwege de orthogonaliteit van L i en L j kan k dus ook, n+1 hoogstens n 3 zijn. Zij nu n even, en niet 0. Omdat n even is, bestaat er geen symbool dat op zowel de hoofd- als de nevendiagonaal ligt. Met dezelfde notatie als in het oneven geval, beschouwen we het symbool l, i. Dit symbool ligt op de hoofddiagonaal van het vierkant en mag niet gelijk zijn aan 0 of 1. Bijgevolg zijn er voor dit symbool dus slechts n mogelijkheden en kan k dus hier ten hoogste n zijn. In feite willen we ook een ondergrens aantonen voor dit aantal voor n groter dan 1. In het geval dat n een priemmacht is, zullen deze grenzen samenvallen, wat ideaal is. Hiervoor hebben we een extra operatie nodig die we op Latijnse vierkanten kunnen toepassen om nieuwe Latijnse vierkanten te verkrijgen met dezelfde eigenschappen. 10

12 Definitie.3.5: [7] Zij A, B een Latijnse vierkanten van orde respectievelijk n en m, dan definiëren we het Kronecker-product (soms ook direct product genoemd) van A en B als: A B =,1 B a, B... a,n B a 1,1 B a 1, B... a 1,n B a a n,1 B a n, B... a n,n B Of concreter: (a 1,1, b 1,1 ) (a 1,1, b 1, )... (a 1,1, b 1,n )... (a 1,n, b 1,1 ) (a 1,n, b 1, )... (a 1,n, b 1,n ) (a 1,1, b,1 ) (a 1,1, b, )... (a 1,1, b,n )... (a 1,n, b,1 ) (a 1,n, b, )... (a 1,n, b,n ) (a 1,1, b n,1 ) (a 1,1, b n, )... (a 1,1, b n,n)... (a 1,n, b n,1 ) (a 1,n, b n, )... (a 1,n, b n,n) (a n,1, b 1,1 ) (a n,1, b 1, )... (a n,1, b 1,n )... (a n,n, b 1,1 ) (a n,n, b 1, )... (a n,n, b 1,n ) (a n,1, b,1 ) (a n,1, b, )... (a n,1, b,n )... (a n,n, b,1 ) (a n,n, b, )... (a n,n, b,n ) (a n,1, b n,1 ) (a n,1, b n, )... (a n,1, b n,n)... (a n,n, b n,1 ) (a n,n, b n, )... (a n,n, b n,n) Deze notatie is alleen ter verduidelijking en is voor bewijzen omslachtig en neemt veel plaats in beslag. Daarom zal de eerste notatie gebruikt worden. Voorbeeld.3.6: Zij A = en B = Dan is A B = (0,0) (0,1) (0,) (1,0) (1,1) (1,) (0,1) (0,) (0,0) (1,1) (1,) (1,0) (0,) (0,0) (0,1) (1,) (1,0) (1,1) (1,0) (1,1) (1,) (0,0) (0,1) (0,) (1,1) (1,) (1,0) (0,1) (0,) (0,0) (1,) (1,0) (1,1) (0,) (0,0) (0,1) Misschien is het de aandachtige lezer al opgevallen dat: Stelling.3.7: [4] Als A en B Latijnse vierkanten zijn van orde respectievelijk n en m, dan is A B een Latijns vierkant van orde n m Bewijs: Neem: (a i1,j 1, b i,j ) en (a i1,j 3, b i,j 4 ) op dezelfde rij, en elk in een verschillende kolom in het vierkant A B (een analoge bewering kan toegepast worden indien rij en kolom omgewisseld worden). Als a i1,j 1 a i1,j 3, dan zijn de koppels niet gelijk, en is het bewijs klaar. Als a i1,j 1 = a i1,j 3, dan weten we dat (a i1,j 1, b i,j ), (a i3,j 3, b i,j 4 ) a i1,j 1 B, omdat A een Latijns vierkant is. Maar hieruit volgt meteen dat b i,j b i,j 4, aangezien B ook een Latijns vierkant is. Hieruit volgt weer dat de koppels niet gelijk kunnen zijn, en dus dat A B een Latijns vierkant is. Stelling.3.8: [4] 11

13 1. Als A en B dubbel diagonale Latijnse vierkanten zijn, dan is A B dat ook.. Als A en B een constante diagonaal hebben, dan heeft A B dat ook. 3. Als A en B orthogonale Latijnse vierkanten zijn, en C en D ook, dan zijn A C en B D dat ook. Bewijs: 1. Analoog aan Stelling Stel: a het constante element op de hoofddiagonaal van A en b dat van B. Dan zal het constante hoofddiagonaalelement van A B, het koppel (a, b) zijn. Hetzelfde argument kan toegepast worden op de nevendiagonaal. 3. Stel: ((a i1,j 1, c i,j ), (b i1,j 1, d i,j )) = ((a i3,j 3, c i4,j 4 ), (b i3,j 3, d i4,j 4 )), dan: (a i1,j 1, c i,j ) = (a i3,j 3, c i4,j 4 ) en (b i1,j 1, d i,j ) = (b i3,j 3, d i4,j 4 ) a i1,j 1 = a i3,j 3 en b i1,j 1 = b i3,j 3 en c i,j = c i4,j 4 en d i,j = d i4,j 4 (a i1,j 1, b i1,j 1 ) = (a i3,j 3, b i3,j 3 ) en (c i,j, d i,j ) = (c i4,j 4, d i4,j 4 ) i 1 = i 3 en i = i 4 en j 1 = j 3 en j = j 4. Hieruit volgt de orthogonaliteit van A C en B D. Merk op dat deze eigenschappen uitgebreid kunnen worden voor niet alleen het product van twee, maar ook voor een product van een willekeurig eindig aantal vierkanten. Stelling.3.9: [4] Zij n N \ {0, 1}, n = p α 1 1 pα... pαr r en zij P (n) = min{p α i i x i i {1,..., r} met x i = als p i =, en x i = 3 als p i }. Dan geldt dat het maximaal aantal dubbel diagonale paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten minstens P (n) is. Bewijs: We tonen eerst aan dat voor een priemmacht de bovengrens, zoals er in stelling.3.4 staat, bereikt wordt, en vervolgens dat voor n willekeurig de ondergrens klopt. Om het voor priemmachten te kunnen bewijzen, kijken we eerst naar een priemmacht van een priemgetal groter dan. We weten dat er juist p 1 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten geconstrueerd kunnen worden met de elementen van het veld F van orde p (zie stelling..4). Waar eerst de volgorde van de elementen vrij gekozen kon worden, leggen we nu de volgorde van de elementen zodanig vast, zodanig dat: f p+1 = 0 en i {1,..., p} : f i + f p i+1 = 0. Neem het vierkant 1

14 L i, 1 i n 1. Stel: l a,a = l b,b voor a, b {1,..., p}, dan geldt: f a f i + f a = f b f i + f b f a (f i + 1) = f b (f i + 1). Hier kunnen we f i + 1 enkel schrappen als f i p 1. In dat geval krijgen we dat f a = f b en dus a = b. In het geval dat f i = p 1 is, bevat de hoofddiagonaal van L i overal het getal 0, en is het dus geen dubbel diagonaal Latijns vierkant. Stel: l a,p a+1 = l b,p b+1 voor a, b {1,..., p}, dan geldt, dankzij de volgorde die we opgelegd hebben: f a f i + f p a+1 = f b f i + f p b+1 f a (f i 1) = f b (f i 1). Hier kunnen we f i 1 enkel schrappen als f i 1. In dat geval krijgen we dat f a = f b en dus a = b. In het geval dat f i = 1 is, bevat de nevendiagonaal van L i overal het getal 0, en is het dus geen dubbel diagonaal Latijns vierkant. In het geval waar p =, zijn zowel de hoofd- als de nevendiagonaal van het enige Latijnse vierkant van orde gelijk. Dan bevat de ene diagonaal het getal 0, en de andere het getal 1. Er bestaan dus geen dubbel diagonale Latijnse vierkanten van orde. We gaan de p 1 dubbel diagonale orthogonale Latijnse vierkanten van orde p nu gebruiken om dubbel diagonale orthogonale Latijnse vierkanten van orde p h te construeren. Neem het Latijns vierkant L van orde p met de constante nevendiagonaal. Uit stelling.3.8 weten we dat, indien we h keer het Kronecker-product van L met zichzelf nemen, het resulterende vierkant van orde p h de constante nevendiagonaal behoudt. Het vierkant dat we dan bekomen bevat h-tupels van elementen uit het veld met p elementen, die opgevat kunnen worden als vectoren in F h, wat als additieve groep isomorf is met het veld met p h elementen, wegens het feit dat dit veld, als additieve groep, h voortbrengers heeft. We kunnen met iedere vector (h-tupel) op de eerste rij van het vierkant een element uit het veld met p h elementen associëren als volgt: het inwendig product van deze vector met de vector van de h voortbrengers (een lineaire combinatie van de voortbrengers van het veld van orde p h met als coëfficiënten de elementen uit het h-tupel met elementen uit het priemveld). Als we dit toepassen op de eerste rij van het net geconstrueerde vierkant, kunnen we stelling..4 opnieuw toepassen, 13

15 waardoor we p h 1 orthogonale vierkanten krijgen, waarvan er p h 3 dubbel diagonale tussen zijn als p oneven is (zie bovenstaande berekeningen), en p h als p even is (omdat dan de vierkanten met constante hoofd- en nevendiagonaal gelijk zijn). Nu kunnen we het algemeen geval bewijzen: zij n een willekeurig natuurlijk getal. Voor iedere priemmacht p α i i die n deelt, bestaan er p α i i x i (herinner dat x i = als p i = en x i = 3 als p i > ) dubbel diagonale orthogonale Latijnse vierkanten. Kies dan voor iedere priemmacht P (n) vierkanten L i 1, Li,..., Li P (n). De Kronecker-producten L1 j L j Lr j zullen wegens stelling.3.4 een stel dubbel diagonale orthogonale Latijnse vierkanten van orde n vormen voor iedere j tussen 1 en P (n). 14

16 3 Magische Vierkanten We keren nu terug naar hoe we magische vierkanten zoals de Lo Shu kunnen construeren. Eerst een aantal definities. 3.1 Definities Definitie 3.1.1: [8] Een magisch vierkant van orde n, is een vierkant van n bij n (in dit geval gehele) getallen, zodanig geplaatst dat de som van iedere rij getallen gelijk is aan de som van iedere kolom getallen, gelijk aan de som van de getallen op de hoofd- en nevendiagonaal, gelijk aan een vast getal k. k noemt men het magisch getal van dat vierkant. Een magisch vierkant heet zuiver (of normaal) indien het de getallen van 1 tot en met n bevat (en dus niet gewoon willekeurige getallen). Een vierkant heet semi-magisch, indien men enkel eist dat de som van de rijen en de kolommen gelijk is aan k. De Lo Shu is dus een zuiver magisch vierkant van orde 3, met k = 15. Voor zuivere magische vierkanten is er slechts een mogelijkheid voor k. Stelling 3.1.: [8] Voor een zuiver magisch vierkant geldt: k = n (n +1) Bewijs: We nemen de som van alle getallen van alle rijen. Enerzijds is dit k n, anderzijds is dit de som van alle gehele getallen van 1 tot en met n. Als n we dit gelijkstellen, krijgen we: i = n (n +1) = n k k = n (n +1) Zo hebben alle zuivere magische vierkanten van orde 4, 5 en 6 respectievelijk als magisch getal 34, 65 en Constructies In dit gedeelte leggen we onder andere de link tussen Latijnse vierkanten van orde n en (zuivere) semi-magische vierkanten van orde n. Stelling 3..1: [8] Zij n N en A en B, indien ze bestaan, twee orthogonale Latijnse vierkanten van orde n met symbolen 0,..., n 1, dan is M = n A + B + J n altijd een semi-magisch vierkant van orde n. 15

17 J n is notatie voor de matrix (1) i,j van orde n. J n = Bewijs: Laten we een willekeurige rij beschouwen in M. Als we de som van de getallen op die rij nemen, krijgen we: n (n a i,j + b i,j + 1) = n n a i,j + n b i,j + n 1 = n j=1 = (n + 1) j=1 j=1 j=1 n a i,j + n b i,j + n j=1 n (j 1) + n (A en B zijn Latijnse vierkanten) j=1 = (n + 1) n (n 1) + n = n ( n 1 + 1) = n n +1. j=1 We weten dus dat de rijsom constant is. de kolomsom constant. Met dezelfde redenering is ook We moeten nog aantonen dat M alle getallen bevat tussen 1 en n. Dit doen we door aan te tonen dat alle getallen verschillend zijn, en geen enkel getal in M kleiner kan zijn dan 1, of groter dan n. We weten dat het kleinste getal in A gelijk is aan 0, net als in B, en is dus het kleinste getal in M is: n = 1. Het grootste getal in A is n 1, net als in B, en is dus het grootst mogelijke getal in M: n (n 1) + (n 1) + 1 = n n + n = n. Stel: i 1, j 1, i, j {1,..., n} : n a i1,j 1 + b i1,j = n a i,j + b i,j + 1, dan: n a i1,j 1 +b i1,j 1 = n a i,j +b i,j n (a i1,j 1 a i,j ) = b i,j b i1,j 1. Omdat a i1,j 1, a i,j, b i1,j 1, b i,j {0,..., n 1}, geldt: a i1,j 1 a i,j, b i1,j 1 b i,j n 1, maar het kan niet dat: a i1,j 1 a i,j > 0, omdat anders: b i1,j 1 b i,j n. Hieruit volgt dat: a i1,j 1 = a i,j, en dus ook dat b i1,j 1 = b i,j. Uit de orthogonaliteit van A en B volgt dat i 1 = i en j 1 = j, waardoor in M getallen op een verschillende positie verschillend zijn. Stelling 3..: [8] Met dezelfde notaties als in Stelling 3..1 geldt dat M een magisch vierkant is van orde n, als voldaan is aan een van deze twee voorwaarden: 1. A en B zijn dubbel diagonaal 16

18 . n is oneven, de hoofddiagonaal van A bevat alleen n 1 en de nevendiagonaal van B bevat alleen n 1. Bewijs: In beide gevallen weten we dat M al een semi-magisch vierkant is, dus het volstaat om na te gaan dat de som van de hoofd- en nevendiagonaalelementen gelijk is aan n (n +1). Geval 1: n (n a i,i + b i,i + 1) = n n a i,i + n b i,i + n 1 = n = (n + 1) n a i,i + n b i,i + n n (i 1) + n (A en B zijn dubbel diagonaal) = (n + 1) n (n 1) + n = n ( n 1 + 1) = n n +1. Voor de nevendiagonaal kan exact dezelfde berekening uitgevoerd worden, maar met a i,n i+1, b i,n i+1 in plaats van a i,i, b i,i. Geval : Hier geven we ook alleen een bewijs voor de hoofddiagonaal. n (n a i,i + b i,i + 1) = n n a i,i + n b i,i + n n 1 = n a i,i + n b i,i + n = n n 1 + n (i 1) + n = n n 1 + n (n 1) + n = n ( n 1 + 1) = n n +1. In de berekening ook wordt gebruikt dat omdat n oneven is, de nevendiagonaal van A, en de hoofddiagonaal van B wel alle symbolen 0,..., n 1 bevatten. 17

19 4 Verbanden Met Andere Combinatorische Structuren Niet alleen zijn Latijnse vierkanten en magische vierkanten aan elkaar gerelateerd, maar er zijn nog andere objecten te construeren met Latijnse vierkanten, en omgekeerd. 4.1 Steinersystemen Definitie 4.1.1: [1] Zij V een verzameling met v elementen (die men punten noemt), en zij R P(V ) met b elementen (die men blokken noemt). Men noemt (V, R) een (t, k, v)-steinersysteem als aan volgende twee voorwaarden voldaan is: 1. Ieder blok bevat juist k punten. Iedere t punten in V komen voor in juist 1 blok Voorbeeld 4.1.: Zij V = {1,, 3, 4, 5, 6, 7}. Samen met {{1,,3},{1,4,5},{1,6,7},{,4,6},{,5,7},{3,4,7},{3,5,6}} is dit een (, 3, 7)-Steinersysteem. 4. Projectieve Vlakken Definitie 4..1: [5] Zij P een niet-lege, eindige verzameling punten, R P(P ) een verzameling rechten. Dan noemt men (P, R) een projectief vlak indien voldaan is aan deze drie voorwaarden: 1. Door iedere twee punten gaat juist een rechte.. Ieder paar rechten snijdt in juist een punt. 3. Er bestaan vier punten, waarvan geen drie collineair zijn. Stelling 4..: [6] Voor ieder punt p, en iedere rechte L die dat punt niet bevat zijn volgende eigenschappen equivalent: 1. L bevat juist n 1 punten.. Er gaan juist n 1 rechten door p. Bewijs: Van 1 naar : Stel dat L juist n 1 punten bevat. Omdat p niet op L ligt, gaan er minstens n 1 rechten door p (iedere rechte, bepaald door p en een punt op L). Stel dat er een andere rechte door p gaat. Dan moet 18

20 deze rechte L snijden in een ander punt dan de n 1 die oorspronkelijk op L lagen, wegens het feit dat het snijpunt tussen twee verschillende rechten uniek is. Dit is onmogelijk. Van naar 1: Stel dat er juist n 1 rechten door het punt p gaan. Omdat p niet op L ligt, snijdt de rechte L iedere rechte door p in juist een punt. Stel dat er nog een ander punt op L ligt. Dan bepalen dat punt en p nog een andere rechte door p, wat ook onmogelijk is. Stelling 4..3: [6] Er bestaat een n N, zodat alle rechten juist n + 1 punten bevatten (en er dus door ieder punt ook juist n + 1 rechten gaan). Bewijs: Er bestaan vier punten waarvan er geen drie collineair zijn. Noem deze punten p 1, p, p 3, p 4. We weten dus dat, indien deze n bestaat, ze minstens moet zijn (door het punt p 1 gaan minstens 3 rechten: die door p 1 en p, die door p 1 en p 3 en die door p 1 en p 4 ). Laat n het getal zijn, zodanig dat er juist n+1 rechten door het punt p 1 gaan. Vanwege Stelling 4.. bevatten de rechten door p i en p j (i, j {, 3, 4}) juist n + 1 punten. Zij q nu een willekeurig punt in het projectief vlak. Minstens een van de drie rechten door p i en p j (i, j {, 3, 4}), bevat het punt q niet (omdat anders p, p 3 en p 4 collineair zijn). Hieruit volgt weer (wegens Stelling 4..) dat er door q juist n + 1 rechten gaan, en het bewijs is klaar. We noemen deze n de orde van het projectief vlak. Stelling 4..4: [6] Een projectief vlak van orde n, bevat juist n + n + 1 punten. Bewijs: Zij p een punt in het projectief vlak. We weten er door p juist n + 1 rechten gaan, en dat elk van deze rechten juist n punten bevat, naast p. Al deze punten zijn verschillend, omdat het snijpunt tussen twee verschillende rechten uniek is. Het aantal punten in het projectief vlak is dus juist n (n + 1) + 1 = n + n + 1. Op een analoge manier kan er bewezen worden dat er juist n +n+1 rechten in een projectief vlak liggen. We hebben al deze voorgaande stellingen nodig voor het volgend resultaat: 19

21 Stelling 4..5: [1] Een projectief vlak van orde n is een (, n + 1, n + n + 1)-Steinersysteem, en omgekeerd. Bewijs: Van 1 naar : Dit volgt onmiddelijk uit Stellingen 4.. en 4..4 Van naar 1: Zij S = {({x, y}, B) x, y B, B een blok}. Dubbeltellen op S geeft, met k het aantal blokken dat een paar punten bevat: k (n ) +n+1 = (n + n + 1) (n+1 ) k (n + n + 1) (n + n) = (n + n + 1) n (n + 1) k = 1. Een analoge berekening geeft dat er juist een punt op twee verschillende rechten ligt. Als n, dan is n + n + 1 7, waardoor er minstens 4 punten aanwezig zijn. Bovendien bestaan er drie niet-collineaire punten, aangezien n + 1 3, en er dus minstens twee verschillende rechten zijn. Kies dan een punt p 1, rechten L 1 en L door p 1, een punt p L 1 \ L en p L \ L 1. Dit kan omdat iedere rechte minstens 3 punten bevat. De drie gekozen punten zijn niet collineair. Nu deze begrippen ingevoerd zijn, kunnen we een verband leggen tussen projectieve vlakken van orde n en orthogonale Latijnse vierkanten van orde n en dus ook, minder rechtstreeks, met magische vierkanten van orde n. Dan zijn volgende eigenschappen equiva- Stelling 4..6: [3] Zij n N. lent: 1. Er bestaat een projectief vlak van orde n.. Er bestaan n 1 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten van orde n. Bewijs: Van 1 naar : Neem twee verschillende punten a en b uit het projectief vlak. Er bestaat juist een rechte R door a en b. Zij A de verzameling van alle rechten die R snijden in a (we noteren A = {A 1, A,... A n }), B de verzameling van alle rechten die R snijden in b (we noteren B = {B 1, B,... B n }). Zij nu s i,j telkens het snijpunt van de rechten A i en B j. De rechte R bestaat nog uit n 1 punten, naast a en b. Noem deze r 1, r,... r n 1. Definieer nu voor 1 m n 1 de verzameling R k van alle rechten die R snijden in r k (we noteren R k = {R k 1, Rk,... Rk n}). Nu maken we de n 1 orthogonale 0

22 Latijnse vierkanten L k als volgt: kies i, j {1,,..., n}. Indien het snijpunt van A i en R k j het punt s i,x is, dan stellen we L k i,j = x. Er moet nog bewezen worden dat deze vierkanten Latijns zijn en paarsgewijs orthogonaal. Zij L k i,j 1 = L k i,j, dan geldt dat A i Rj k 1 = A i Rj k = {s i,x } = A i B x. Hieruit volgt: Rj k 1 Rj k = {s i,x } = {r k }, en dus s i,x = r k. Maar omdat s i,x B x en r k R, geldt nu: B x R = {r k } = {b}, wat een tegenspraak oplevert, tenzij j 1 = j. Stel: L k i 1,j = Lk i,j, dan geldt dat A i 1 R k j = A i R k j = {s i,x} = A i B x. Hieruit volgt: A i1 A i = {s i,x } = {a}, en dus a = s i,x. Maar omdat a B x en a R, geldt nu: B x R = {a} = {b}, wat alweer een tegenspraak oplevert, tenzij i 1 = i. Stel: (l k i 1,j 1, l m i 1,j 1 ) = (l k i,j, l m i,j ), dan: l k i 1,j 1 = l k i,j en l m i 1,j 1 = l m i,j A i1 R k j 1 = A i R k j = {s i,x } = A i B x en A i1 R m j 1 = A i R m j = {s j,y } = A j B y {s i,x } = R k j 1 R k j = {r k } en {s i,x } = A i1 A i = {a} (we hebben slechts een van de twee gelijkheden nodig om de orthogonaliteit te bewijzen) s i,x = r k = a, wat een contradictie oplevert, tenzij j 1 = j (of i 1 = i, maar we mogen het eerste veronderstellen zonder de algemeenheid te schaden). Maar dan geldt nog steeds: s i,x = a, en aangezien dan s i,x R en s i,x B x, krijgen we: R B x = {b} = {s i,x }, zodat a = b, een tegenspraak. Van naar 1: Zij L 1, L,..., L n 1 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten gegeven. Beschouw de n + 1 symbolen: a, b, r 1,..., r n 1. Beschouw vervolgens een vierkante matrix L van orde n met n andere en ook onderling verschillende symbolen. Om een projectief vlak te construeren van orde n is het wegens Stelling 4..5 voldoende om een (, n + 1, n + n + 1)- Steinersysteem te construeren. Dit doen we als volgt: We moeten n +n+1 blokken maken met elk n+1 punten. We maken eerst n blokken met elk n punten. De matrix L heeft n rijen en n kolommen, met die symbolen vullen we de eerste n blokken (noem deze B 1, B,..., B n ). Om de overige n n + 1 = n (n 1) + 1 blokken te maken, kijken we voor iedere 1 k n 1 en 1 i n in het Latijns vierkant L k naar alle vakjes waar het symbool x voorkomt. In L kijken we dan naar de overeenkomstige 1

23 vakjes, en de symbolen die daarin staan zetten we telkens in een nieuw blok. Deze blokken noemen we B k x. Vervolgens voegen we aan iedere B j (1 j n) het symbool a toe, aan iedere B j (n + 1 j n) het symbool b toe en aan iedere Bj k (1 k n 1, 1 j n) het symbool r k toe. Het laatste blok B zal dan bestaan uit de symbolen a, b, r 1,..., r n 1. Wegens constructie zijn er juist n +n+1 punten. Een punt uit de matrix L (l i,j ) komt voor op juist een rij in L (en dus in het blok B i ), juist een kolom in L (en dus in het blok B n+j ). Voor de rest komt dit punt in juist n 1 andere blokken voor, namelijk: B k x met 1 k n 1 en x het symbool in L k op de i-de rij en de j-de kolom. Deze x is uniek, omdat iedere L k een latijns vierkant is. Nu rest er enkel nog te bewijzen dat twee verschillende punten tot juist een blok behoren (of dat twee verschillende blokken juist een punt gemeenschappelijk hebben). Wegens constructie is de doorsnede van het blok B en een blok B i (1 i n) juist het punt a of het punt b. De doorsnede van B met B k x (1 k n 1, 1 x n) is juist het punt r k en de doorsnede van B i en B j (1 i j n) is juist het punt l i,j, het punt a of het punt b. De doorsnede van B i en B k x is het punt l i,j. Om de doorsnede van B k 1 x 1 en B k x te bepalen, zoeken we een rij-index i en een kolomindex j, zodanig dat x 1 op de i-de rij en de j-de kolom van L k 1 ligt, en x op de i-de rij en de j-de kolom van L k ligt. De orthogonaliteit van L k 1 en L k zorgt ervoor dat er zo juist een rij- en kolomindex bestaan.

24 Referenties [1] Cara Philippe, Codetheorie, VUB, 014 [] Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H., The CRC handbook of combinatorial designs, Chapter : Latin Squares, MOLS and orthogonal arrays, CRC Press, pp , 006 [3] Connelly Robert, Orthogonal Latin squares and finite projective planes, web450/cg9-0.pdf, 015 [4] Gergely, E., A remark on doubly diagonalized orthogonal Latin squares., Discrete Math. 10 (1974), [5] Grimaldi Ralph P., Discrete And Combinatorial Mathematics, Chapter 17: Finite Fields and Combinatorial Designs, Fifth Edition, Addison- Wesley, pp , 004 [6] Kåhrström Johan, On Projective Planes, 00 [7] Klyve, Dominic; Stemkoski, Lee, Graeco-Latin squares and a mistaken conjecture of Euler., College Math. J. 37 (006), no. 1, 15. [8] Vanpoucke Jordy, Mutually orthogonal latin squares and their generalizations, jvpoucke/masterthesismols.pdf, 01 3