De derde wet van Newton

Transcriptie

1 7 De derde wet van Newton Als er op een ssteem een kracht wordt uitgeoefend, is er altijd een ander ssteem dat die kracht levert. Voorbeelden: Lien werpt een bal weg: op de bal wordt een kracht uitgeoefend, want de bal versnelt. Dat is ssteem 1. Lien oefent de kracht uit: zij is ssteem 2. Ben krijgt een boksstoot: op hem wordt een kracht uitgeoefend. Hij is ssteem 1. De bokser die hem de slag toedient, oefent de kracht uit: hij is ssteem 2. Bij het uitoefenen van een kracht is er dus een interactie tussen twee sstemen. Newton was de eerste die besefte dat niet alleen het ene ssteem een kracht uitoefent op het andere, maar dat tegelijk ook dat ssteem een kracht uitoefent op het eerste. Als een ssteem 1 een kracht F12 uitoefent op een ssteem 2, oefent ssteem 2 een even grote tegenge stelde kracht F21 uit op ssteem 1: F12 = F21 Dat is de derde wet van Newton. Q1 F21 Q1 F21 We bekijken enkele voorbeelden die deze wet illustreren. Q2 F12 F12 is de kracht van 1 op 2. Q2 F21 F12 F12 Vorig jaar leerde je de coulombkracht kennen: een positieve lading Q1 (ssteem 1) oefent een afstotingskracht uit op een positieve lading Q2 (ssteem 2). De lading Q2 (ssteem 2) oefent een even grote tegengestelde kracht uit op lading Q1 (ssteem 1). Sla met een houten hamer een spijker in een eiken plank. Tijdens de fractie van een seconde waarin de hamer contact maakt met de spijker, oefent de hamer (ssteem 1) een kracht uit op de spijker (ssteem 2), want die komt in beweging en dringt in de plank. De spijker (ssteem 2) oefent een kracht uit op de hamer (ssteem 1), want die vertraagt. Bovendien wordt de hamer lokaal vervormd: er ontstaat een afdruk van de spijkerkop in de houten hamer. Om uit een roeibootje naar de kant te stappen, oefen jij (ssteem 1) een kracht uit op het bootje (ssteem 2). Het bootje (ssteem 2) oefent een kracht uit op jou (ssteem 1), waardoor je naar de kant kunt stappen. Maar door de kracht die jij uitoefent op het bootje, komt dat ook in beweging en kun je in het water terecht komen! Soms zie je het effect van de ene kracht wel, maar van de andere kracht niet: als Dan tegen een muur leunt, oefent hij (ssteem 1) een kracht F12 uit op de muur (ssteem 2), maar van die kracht merk je niets omdat de muur niet vervormt of in beweging komt! De muur (ssteem 2) oefent een kracht F21 uit op Dan (ssteem 1) waardoor hij in evenwicht kan blijven. Interactie_6.2_Lb.indb 73 5/08/15 11:18

2 74 ] Kinematica en dnamica Dat de kracht F12 van ssteem 1 op ssteem 2 even groot is als de kracht F21 van ssteem 2 op ssteem 1, blijkt uit volgende eperimenten: Oefen een kracht uit van bv. 2,0 N op een dnamometer (1): die wijst dan 2,0 N aan. Je kunt daarvoor ook een dnamometer (2) gebruiken. Dnamometer 1 (ssteem 1) ondervindt een kracht van dnamometer 2 (ssteem 2) en wordt uitgerekt. Dnamometer 2 (ssteem 2) ondervindt een kracht van dnamometer 1 (ssteem 1) en wordt ook uitgerekt. Beide krachten zijn even groot! ssteem 1 F21 ssteem 2 F12 Plaats een magneet en een massief ijzeren blok elk op een lichtlopend wagentje. De magneet (ssteem 1) oefent een kracht uit op het ijzeren blok (ssteem 2), want het wagentje met het blok komt in beweging. Het blok (ssteem 2) oefent een kracht uit op de magneet (ssteem 1), want dat wagentje komt ook in beweging. Als je de krachten meet, zie je dat ze even groot zijn, ook al is de massa van het blok en de magneet verschillend! ssteem 1 F21 F12 ssteem 2 Enkele opmerkingen: Volgens de derde wet van Newton treden krachten nooit alleen op, maar altijd per twee. Men noemt deze wet ook wel de wet van actie en reactie: de ene kracht (de actie ) heeft als gevolg dat er ook een andere kracht ( de reactie ) optreedt. Maar het is niet zo dat de ene kracht eerst optreedt en daarna (als reactie) de andere. Beide krachten treden gelijktijdig op: als de ene kracht er is, is de andere er ook! Die wet zou dus beter de wet van de gelijktijdige interactie genoemd worden. De twee krachten grijpen aan op twee verschillende sstemen: de ene kracht op het ene ssteem, de andere op het andere ssteem. Daarom kun je geen resultante bepalen van een koppel actie- en reactiekrachten! Alhoewel de twee krachten even groot zijn, kan de versnelling van de twee sstemen toch verschillend zijn: als je uit een boom springt, val je naar beneden omdat de aarde een kracht op je lichaam uitoefent. Jij oefent een even grote (tegengestelde) kracht uit op de aarde, maar omdat de massa van de aarde zo veel groter is, valt de aarde niet merkbaar naar boven! Interactie_6.2_Lb.indb 74 5/08/15 11:19

3 75 Middelpuntvliedende krachten F Een ssteem waarin de wetten van Newton gelden noemt men een inertiaal ssteem. Voor een waarnemer in een ssteem dat versnelt, gelden de wetten van Newton niet. Zo n ssteem noemen we een nietinertiaal ssteem. Nog een voorbeeld: een blokje zit aan een veer op een wrijvingsloze en horizontale schijf die ronddraait. Het blokje voert een ECB uit. De veer is uitgerekt. Voor een buitenstaander (A) is dit begrijpelijk: het blokje oefent op de veer een kracht uit die naar buiten gericht is (wet van de traagheid!); de veer oefent op het blokje een (reactie)kracht uit die naar binnen gericht B is. Daardoor voert het blokje de ECB uit. Voor een waarnemer (B) op de schijf is het blokje in rust. Toch is de veer uitgerekt! Voor B kan dit maar als op het blokje een kracht inwerkt die naar buiten gericht is. Die kracht is echter fictief, want er is geen enkel ssteem dat die kracht uitoefent. Het is die fictieve kracht die je zelf ook ervaart als je op een paardenmolen zit en die de middelpuntvliedende of centrifugale kracht genoemd wordt. K INE M ATICA E N DY NA M ICA Als je in een carrousel zit, heb je de indruk dat je naar buiten geduwd wordt. In het dagelijkse leven noemt men dat wel eens de middelpuntvliedende kracht. Als je de krachten op Stefanie in de draaiende ton (p. 59) bekijkt, zie je echter dat er geen naar buiten gerichte kracht is, integendeel, de resulterende kracht is naar binnen gericht! De kracht die zij dus meent te ervaren is er in werkelijkheid niet! Er zijn nog situaties waarin je zo n schijnkracht ervaart: in een auto die een bocht neemt, heb je het gevoel dat je naar buiten gedrukt wordt; in een vliegtuig dat vertrekt, word je tegen de stoel gedrukt; bij een auto-ongeval word je tegen je gordel gedrukt. Zo n schijnkrachten treden op telkens je deel uitmaakt van een ssteem dat een versnelling heeft. We bekijken wat er gebeurt aan de hand van een wagen die een bocht neemt. Voor de bocht bewegen wagen en passagiers rechtlijnig met een constante snelheid. Wanneer de wagen de bocht ingaat, zullen passagiers, door de wet van de traagheid, rechtdoor bewegen. Wanneer de wrijvingskracht van de stoel op de passagier voldoende groot is, zal die kracht ervoor zorgen dat de passagier meegenomen wordt en de bocht neemt. Indien die kracht te klein is, beweegt de passagier rechtdoor, terwijl de auto de bocht neemt en dus onder de passagier doorschuift. Zo komt de passagier tot tegen de deur; die zal op hem een kracht uitoefenen, waardoor hij de bocht kan nemen. Die kracht is de reactiekracht van de kracht die hijzelf op de deur uitoefent. Als er geen deur aanwezig is, vliegt hij rechtdoor uit de wagen! Voor een buitenstaander is het naar buiten gedrukt worden dus een gevolg van de wet van de traagheid. Daarom noemt men die schijnkrachten ook wel traagheidskrachten. A WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: de 3e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven Interactie_6.2_Lb.indb 75 5/08/15 11:19

4 8 Voorbeeldoefeningen Bekijk eventueel eerst het stappenplan op p OEFENING De normaalkracht Sergeï (massa 58,9 kg) staat op een koord. Bepaal de krachten die op hem inwerken als hij op de koord even in rust staat. Om de reactiekracht te bepalen, moet je de volgorde omdraaien: van Sergeï op de koord wordt van de koord op Sergeï Oplossing Het ssteem dat we beschouwen is Sergeï. Op zijn lichaam werkt de zwaartekracht. Door de zwaartekracht oefent Sergeï op de koord een kracht FSk uit: FSk is de kracht van Sergeï op de koord. Volgens de derde wet van Newton oefent de koord op Sergeï een even grote tegengestelde (reactie)kracht uit: FkS is de kracht van de koord op Sergeï. Op Sergeï werken twee krachten: en FkS. FkS FkS Voor een kracht zoals waarvan je de richting kent, kun je de componenten onmiddellijk uitdrukken als functie van de grootte (hier:, = 0 en, = -). Voor een kracht zoals FkS, waarvan we de richting niet kennen, moet je werken met de componenten (hier FkS, en FkS,). Volgens de tweede wet van Newton geldt FkS = m a FSk We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren: op de -as: 0 FkS, = m a (1) op de -as: - FkS, = m a (2) Voor de zwaartekracht geldt = m g = 58,9 kg 9,81 N/kg = 578 N De versnelling a is nul, omdat hij even in rust is (en blijft). De vergelijkingen (1) en (2) worden dan FkS, = m N FkS, = m 0 FkS Daaruit volgt FkS, = 0 N FkS, = 578 N (= ) De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N. Wat is het verschil tussen en Fn? Interactie_6.2_Lb.indb 76 Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een kracht uit. Die kracht staat loodrecht op het steunvlak en noemen we de normaalkracht.

5 77 Krachten bij het vertrek met een caravan Brecht vertrekt met zijn auto (massa 1620 kg) en caravan (massa 659 kg) uit rust met versnelling 1,50 m/s2. a) Bepaal de krachten op het geheel. b) Bepaal de krachten op de caravan. Oplossing a) Het ssteem dat we beschouwen is de auto met de caravan. FaN Fm Fm K INE M ATICA E N DY NA M ICA - OEFENING Op dat ssteem werken drie krachten: de zwaartekracht de normaalkracht de kracht van de motor die voor de versnelling zorgt Fm Let op de vectorpijltjes! Volgens de tweede wet van Newton geldt Fm = m a We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur. Projecteren geeft op de -as: 0 0 Fm = m a (1) op de -as: - 0 = m a (2) Voor de zwaartekracht geldt = m g = (1620 kg 659 kg) 9,81 N/kg = N De versnelling a is horizontaal en naar voor gericht: De wagen kan slechts versnellen door de wrijvingskracht met het wegdek. Als er praktisch geen wrijving is, zoals bv. op een verijsd wegdek, kan de wagen niet versnellen! Interactie_6.2_Lb.indb 77 a = 1,50 m/s2 en a = 0. De vergelijkingen (1) en (2) worden dan Fm = (1620 kg 659 kg) 1,50 m/s N = 0 Daaruit volgt Fm = N = N

6 78 ] Kinematica en dnamica,c b) Het ssteem dat we beschouwen is de caravan. Op dat ssteem werken drie krachten: de zwaartekracht,c de normaalkracht,c Fac de kracht van de (trekhaak van de) auto op de caravan Fac,c Volgens de tweede wet van Newton geldt,c,c Fac = m ac Voor de zwaartekracht geldt,c = mc g = 659 kg 9,81 N/kg = N De versnelling ac van de caravan is horizontaal, naar voor gericht en is eveneens 1,50 m/s2. Projecteren geeft op de -as: 0 0 Fac = 659 kg 1,50 m/s2 (1) op de -as: -,c,c 0 = 0 (2) Daaruit volgt Fac = 989 N,c = N Bindingskrachten De (trekhaak van de) auto oefent op de caravan een kracht Fac uit. De caravan oefent op de auto een even grote tegengestelde (reactie)kracht Fca uit. Beschouw je de auto en de caravan als één ssteem, dan zijn dat krachten tussen onderdelen van het ssteem (van de auto op de caravan en omgekeerd). We noemen dat bindingskrachten. Die bindingskrachten zijn er bv. ook tussen alle atomen en moleculen van de auto. Met de bindingskrachten van een ssteem hoeven we geen rekening te houden aangezien dat geen uitwendige krachten zijn! Als je de caravan als ssteem beschouwt, is de kracht Fca wel een uitwendige kracht. Fac Interactie_6.2_Lb.indb 78 Fac Fca Bindingskrachten zijn krachten tussen onderdelen van één ssteem. Daarmee hoeven we geen rekening te houden.

7 79 - OEFENING Krachten op een wagen bij het takelen K INE M ATICA E N DY NA M ICA Een takelwagen trekt een wagen (massa 1200 kg) omhoog met een constante snelheid van 0,20 m/s. De hellingshoek is 7,0. Bepaal de krachten op de wagen. De wrijvingskracht mag je verwaarlozen. Oplossing Het ssteem dat we beschouwen is de auto. Op de auto werken drie krachten: de zwaartekracht de normaalkracht de trekkracht van de kabel Fk De trekkracht die een kabel of touw op een voorwerp uitoefent, werkt volgens de richting van de kabel. Fk Fn Ft Fk 30 Volgens de tweede wet van Newton geldt Fk = m a Waarom kiezen we het assenstelsel zo? We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur en projecteren op de -as:, 0 Fk = m a (1) op de -as:, 0 = m a (2),, 7,0 Denk aan de tekens bij het projecteren:, en, zijn negatief. Waarom? Voor de zwaartekracht geldt = m g = 1200 kg 9,81 N/kg = 11,8 kn, = - sin 7,0 = -1,4 kn, = - cos 7,0 = -11,7 kn De versnelling a is nul, omdat de snelheid van de auto constant is en de baan recht. De vergelijkingen (1) en (2) worden dan Daaruit volgt -1,4 kn Fk = m 0 P Fk = 1,4 kn -11,7 kn = m 0 = 11,7 kn Opmerkingen: - De normaalkracht is hier kleiner dan de zwaartekracht omdat de wagen op een helling staat. Hoe groter de helling, hoe kleiner de normaalkracht. Bij een loodrechte helling duwt de wagen niet meer op de helling en is de normaalkracht nul. - De kracht Fk is even groot en tegengesteld aan de component van de zwaartekracht volgens de helling: Fk = 1,4 kn, = -1,4 kn Als je de wrijvingskrachten verwaarloost, maakt het geen verschil uit of de auto in rust is of met constante snelheid wordt opgetrokken: de kracht Fk is in beide gevallen even groot! Interactie_6.2_Lb.indb 79

8 80 ] Kinematica en dnamica - OEFENING Zwiercarrousel Bobbejaan zit in een zwiercarrousel en beschrijft een ECB. De massa van het geheel (Bobbejaan zitje) is 85,2 kg. De periode is 5,74 s. De straal van de beschreven cirkel is 9,60 m. Bepaal de krachten op Bobbejaan en zijn zitje. Oplossing Het ssteem dat we beschouwen is Bobbejaan en zijn zitje. Op dat ssteem werken twee krachten: de zwaartekracht de kracht van de kabel Fk Fk Volgens de tweede wet van Newton geldt Fk = m a We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur. Projecteren geeft op de -as: 0 Fk, = m a (1) op de -as: - Fk, = m a (2) Voor de zwaartekracht geldt = m g = 85,2 kg 9,81 N/kg = 836 N Fk Vermits het ssteem een ECB uitvoert, is a horizontaal en naar het middelpunt van de baan gericht: a = a Voor de grootte van de versnelling geldt π 2π 2 9,60 m = 11, 5 m/s a = ω2 r = r = T 5, 74 s Dus a = a = 11,5 m/s2 a = 0 De vergelijkingen (1) en (2) geven Fk, = 85,2 kg 11,5 m/s2-836 N Fk, = 0 Daaruit volgt Fk, = 980 N Fk, = 836 N De grootte van de kracht Fk is Fk 836 N 980 N Fc 836 N 1 Fk = (Fk,2 Fk,2 ) = (980 N)2 (836 N)2 = N Opmerking: De kracht (836 N) is even groot als en tegengesteld aan de -component van Fk (836 N). Die twee compenseren elkaar. De -component van Fk geeft de resulterende kracht Fc. Zoals verwacht bij een ECB wijst die resulterende kracht naar het middelpunt van de baan. Interactie_6.2_Lb.indb 80

9 81 - OEFENING Middelpuntzoekende kracht op de maan K INE M ATICA E N DY NA M ICA De maan voert (bij benadering) een ECB uit rond de aarde. Bereken de middelpuntzoekende kracht die op de maan werkt. Oplossing Het ssteem dat we beschouwen is de maan. Vermits het ssteem een ECB uitvoert, is de kracht Fc naar het middelpunt (van de aarde) gericht. Fc Een staalkabel met breeksterkte N/cm2 moet een diameter hebben van 386 km om deze kracht te kunnen weerstaan! Voor de grootte van de kracht geldt 2 2π Fc = m ω 2 r = m r T Invullen van de gegevens (zie gegevenskaart) geeft Fc = 7, kg 2 2π , m = 2, N 6 2,36 10 s Stappenplan voor het oplossen van oefeningen op de wetten van Newton 1. Kies het ssteem. 2. Teken de uitwendige kracht(en) op het ssteem: dat zijn de krachten die de omgeving op het ssteem uitoefent. 3. Pas de tweede wet van Newton toe op dat ssteem. / F = m a i 4. Kies een (zo efficiënt mogelijk) assenstelsel en projecteer de vectoren. Let op de tekens! 5. Bepaal de onbekende grootheid(heden) met de vergelijkingen. Gebruik eventueel de formules uit de kinematica. WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: oefeningen en denkvragen m.b.t. de wetten van Newton oplossen de begrippen normaalkracht, bindingskracht en trekkracht uitleggen aan de hand van voorbeelden Interactie_6.2_Lb.indb 81

10 9 De gravitatiekracht 9.1 Van geocentrisch naar heliocentrisch wereldbeeld Tot in de 16e eeuw geloofde men dat de aarde het centrum van het heelal was en dat planeten, sterren, de zon rond de aarde draaiden (geocentrisch wereldbeeld). Het stuitte dan ook op heel wat tegenstand, o.a. van de kerkelijke overheden, toen o.a. Copernicus en Galilei het heliocentrische wereldbeeld voorop stelden, waarbij de zon als centrum wordt beschouwd. De beweging van de planeten rond de zon kan dan beschreven worden door de drie wetten van Kepler: WETTEN Galileo Galilei Eerste wet: de planeten bewegen op ellipsvormige banen rond de zon, met de zon in een brandpunt. Tweede wet: de voerstraal (de lijn tussen zon en planeet) beschrijft in gelijke tijden gelijke oppervlakken (perkenwet). t t Controleer de derde wet van Kepler voor enkele planeten met behulp van je gegevenskaart. Derde wet: de verhouding van de derde macht van a (lengte van de halve lange as) tot het kwadraat van T (periode) is dezelfde voor alle planeten: a3 = cte T2 : Gravitatie Trefwoorden: Aristoteles, Galilei, Copernicus, Tcho Brahe, Kepler, Newton, Cavendish, Einstein Zoek een antwoord op volgende vragen: Welke bijdrage leverden de hierboven vermelde wetenschappers aan de gravitatietheorie? Hoe bepaalde Cavendish de gravitatieconstante? Maak een tijdsas met de belangrijkste bijdragen op dat vlak. Wat is het verschil tussen trage massa en zware massa? Interactie_6.2_Lb.indb 82

11 83 De ellips K INE M ATICA E N DY NA M ICA Een ellips is een kromme waarvan de som van de afstanden tot twee gegeven punten F1 en F2 constant is: voor elk punt van de ellips is de afstand d1 d2 dezelfde. De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de ellips. Je kunt een ellips tekenen door de eindpunten van een koordje in twee punten (de brandpunten) te fieren en een lijn te tekenen waarbij het touw gespannen blijft. b d1 a F2 F1 d2 P Uit de tabel blijkt dat b/a 1; de banen zijn dus praktisch cirkelvormig. Een ellips heeft twee smmetrieassen: een lange en een korte as. De lengte van de halve lange as is a, die van de halve korte as is b. De verhouding b/a is een maat voor de afplatting van de ellips. Die waarde ligt tussen 0 (rechte) en 1 (cirkel). hemellichaam Interactie_6.2_Lb.indb 83 straal hemellichaam (m) straal baan (m) periode T (s) b/a Zon 1, , Mercurius 3, , , , ,978 Venus 4, , , , ,000 Aarde 5, , , , ,999 Maan Met volgende zin kun je de volgorde van de planeten rond de zon onthouden: MEt VEel AAndacht MAakt JUlia S Avonds URenlang NEpalese PLooirokjes. Sinds 2006 wordt Pluto niet meer als een planeet beschouwd. massa m (kg) 7, , , , ,998 Mars 6, , , , ,996 Jupiter 1, , , , , Saturnus 5, , , , ,998 Uranus 8, , , , , Neptunus 1, , , , ,000 (Pluto 1, , , , ,969)

12 84 ] Kinematica en dnamica 9.2 De gravitatiekracht Het feit dat de planeten een kromlijnige baan beschrijven, betekent dat er op de planeten voortdurend een kracht inwerkt. Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag. RAAG KSV E O RZ DE ON Welke kenmerken (grootte, richting, zin) heeft de kracht die zorgt voor de kromlijnige baan van de planeten? Isaac Newton beschreef die kracht voor het eerst in WET Twee massa s m1 en m2 oefenen op elkaar door hun massa een aantrekkingskracht uit: de gravitatiekracht Fg. Voor de grootte van deze kracht geldt Gravitatie komt van het Latijnse woordje gravitas, wat zwaar, zwanger betekent. Fg = G m1 m2 r2 r is de afstand tussen de twee massa s. G is de gravitatieconstante: G = 6, N m2/kg2. Dat is de algemene gravitatiewet. m1 Fg Fg m2 r Vermits de constante G erg klein is, is de gravitatiekracht tussen voorwerpen slechts merkbaar als één van beide voorwerpen een grote massa heeft. Welke afstand r moet je gebruiken in de gravitatiewet? Voor puntmassa s is de afstand r de afstand tussen die punten. Bij reële voorwerpen is die afstand niet zomaar te bepalen: elk deeltje (proton, neutron, elektron ) van het ene voorwerp oefent immers gravitatiekracht uit op elk deeltje van het andere voorwerp. Al die krachten samen geven de resulterende gravitatiekracht op het voorwerp. m2 We doen nu volgende gedachteproef: m1 je vervangt de twee voorwerpen F21 F12 door puntmassa s en zet die op een zodanige afstand r dat de gravitatiekracht dezelfde is als tussen de voorwerpen. Dat is de afstand r tussen de voorwerpen die we zoeken. F12 m2 m1 F21 In oefeningen krijg je de afstand r opgegeven. De zon en de planeten beschouwen we als homogene en r regelmatige bollen. Dan mag je de afstand tussen de middelpunten gebruiken. Interactie_6.2_Lb.indb 84

13 85 - OEFENING Grootte van de gravitatiekracht Oplossing De grootte van de gravitatiekracht is G m1 m2 Fg = r2 6, N m2 /kg2 58,33 kg 52,8 kg = 9, N = (1,50 m)2 FTJ FJT K INE M ATICA E N DY NA M ICA Hoe groot is de gravitatiekracht tussen Jan (massa 58,3 kg) en Tine (52,8 kg) als ze zich 1,50 m van elkaar bevinden? SYST 1 SYST 2 Die kracht is zo klein dat je daar in praktijk niets van merkt! - OEFENING Getijden Hoe groot is de gravitatiekracht die de maan op het stuwmeer in de figuur uitoefent? Het volume water in het meer is 15,9 103 m3. Fg meer Oplossing De grootte van de gravitatiekracht is Fg = Maak een schets zodat je ziet wat de afstand r is. G m1 m2 r2 De afstand r is r = raarde-maan ra = 3, m 6, m = 3, m ra raarde-maan De massa water in het meer is m=ρ V = 1, kg/m3 15,9 103 m3 = 15,9 106 kg Dus Fg = 6, N m2 /kg2 15, k g 7, kg (3, m)2 = 546 N Omdat de maan rond de aarde draait, verandert de gravitatiekracht van de maan op de zeeën en oceanen voortdurend. De stroming die daardoor ontstaat, veroorzaakt de getijden. In een nagenoeg afgesloten zee zoals de Middellandse Zee, zijn er nauwelijks of geen getijden. Interactie_6.2_Lb.indb 85

14 86 ] Kinematica en dnamica - OEFENING Gravitatiekracht van de aarde op de maan Hoe groot is de gravitatiekracht die de aarde op de maan uitoefent? Oplossing Fg r De grootte van de gravitatiekracht is Fg = G m1 m2 r2 = 6, N m2 /kg2 5, kg 7, kg (3, m)2 = 1, N De middelpuntzoekende kracht die nodig is om de maan haar cirkelvormige baan te laten beschrijven, is F = 2, N (zie oef. p. 81) Deze kracht is (op een afronding na) even groot als de gravitatiekracht. Daaruit blijkt dat de beweging van de maan rond de aarde verklaard kan worden met de gravitatiekracht. 9.3 Gravitatie- en zwaartekracht De zwaartekracht Met de gravitatiekracht kun je niet alleen de beweging van de planeten verklaren, maar ook de zwaartekracht. Ook op en rond andere planeten en hemellichamen is er zwaartekracht omwille van de gravitatiekracht die die hemellichamen uitoefenen. De zwaartekracht is de gravitatiekracht die de aarde op elk voorwerp uitoefent. Dat blijkt uit de kenmerken van beide krachten op een voorwerp op aarde: - zowel de zwaartekracht als de gravitatiekracht zijn verticaal en naar beneden gericht; - beide krachten veranderen op eenzelfde manier met de hoogte; - de zwaartekracht en de gravitatiekracht die de aarde op een voorwerp uitoefent zijn even groot. We bekijken dat laatste puntje voor een auto met massa 1250 kg. De grootte van de zwaartekracht is = m g = 1250 kg 9,81 N/kg = N Interactie_6.2_Lb.indb 86

15 De term zwaartekracht gebruiken we meestal voor de gravitatiekracht op een voorwerp op aarde. De term gravitatiekracht gebruiken we in het algemeen, bv. voor de kracht tussen de aarde en de maan. De grootte van de gravitatiekracht is G m ma Fg = r2 6, N m2 /kg kg 5, kg = = N (6, m) De valversnelling Een voorwerp met massa m waarop een resulterende kracht F werkt, krijgt een versnelling a met als grootte a= K INE M ATICA E N DY NA M ICA 87 F m De versnelling van een voorwerp als gevolg van de zwaartekracht is de valversnelling g. Vermits = Fg geldt F F g= z = g m m G m ma = 2 r m G ma = 2 r Op het aardoppervlak is r gelijk aan de aardstaal ra. Dan is G ma m g = GG 2m g = ra2 aa g = ra2 11 6,r N m2 /kg 2 5, kg a N m22 /kg 226 5, kg = 6, 673 m / kg m5h, kg = 6, ^6N, = ^ 6, mh2 ^6, kg m mh m = 9, 820 m/s 22 = 9, 820 N/kg = 9, 820 kg 2 m = 9, 820 N/kg = 9, 820 skg = 9, 820 m/s 2 kg 2 m/s = 9, 820 N/kg = 9, 820 s 2 kg = 9, 820 m s kg s2 In onze streken is g gelijk aan 9,81 m/s2. De kleine afwijking die we hier vinden, is een gevolg van het feit dat de aarde geen perfecte en homogene bol is en roteert. Hoe deze factoren g beïnvloeden, behandelen we op p. 92. Interactie_6.2_Lb.indb 87 De valversnelling g op een hemellichaam met massa m en straal r is g = G m. r2 Dat is in overeenstemming met de wetten van de vrije val die je in zag: de valversnelling is constant en onafhankelijk van de massa van het voorwerp; de valversnelling aan het aardoppervlak is 9,82 m/s2. Met de formule g = G m kun je ook de valversnelling op bv. de maan berekenen: r2 voor m en r moet je dan respectievelijk de massa en de straal van de maan gebruiken.

16 88 ] Kinematica en dnamica m De zwaarteveldsterkte Fg Een (bron)massa mb creëert in de ruimte een gravitatieveld of zwaarteveld: een andere massa m die zich in de buurt bevindt, ondervindt de gravitatiekracht Fg. Om de invloed van de bronmassa mb te beschrijven, definiëren we de grootheid gravitatie- of zwaarteveldsterkte. DEFINITIE De gravitatie- of zwaarteveldsterkte Fg in een punt P in de buurt van een bronmassa is de verhouding van de gravitatiekracht op een proefmassa m in dat punt tot die massa: Fg Eg = Vergelijk deze definitie met die van de elektrische veldsterkte, die je vorig jaar leerde kennen. m Voor de grootte van de zwaarteveldsterkte op het aardoppervlak geldt Eg = Fg = G ma m ra2 m = G ma ra2 Je vindt dezelfde formule terug als voor de valversnelling g! m De zwaarteveldsterkte Eg op een hemellichaam met massa m en straal r is Eg = G m. r2 De zwaarteveldsterkte en de valversnelling zijn één en dezelfde grootheid. Daarom kunnen we voor beide grootheden hetzelfde smbool gebruiken, nl. g. Albert Einstein Relativiteitstheorie Space tells matter how to move. Matter tells space how to curve. (John Archibald Wheeler) Interactie_6.2_Lb.indb 88 De aanwezigheid van een massa in de ruimte verandert die ruimte, ook letterlijk. Dat volgt uit de relativiteitstheorie van Einstein: in de buurt van een massa is de ruimte gekromd. In zo n ruimte is de gewone (euclidische) meetkunde niet meer geldig: zo is bv. de som van de hoeken van een driehoek er verschillend van 180! Volgens de relativiteitstheorie bewegen lichtstralen niet rechtlijnig in de buurt van een massa, maar buigen ze af. Dat werd voor het eerst vastgesteld tijdens een zonne-eclips in Een tweede bevestiging van de relativiteitstheorie was de baan van de planeet Mercurius, die niet kon verklaard worden met de wetten van Newton, maar wel met de relativiteitstheorie.

17 Het gewicht van een voorwerp Maar wat is gewicht dan wel? Elk voorwerp op aarde wordt door de aarde aangetrokken. Als het voorwerp ondersteund wordt, oefent het daardoor een kracht uit op zijn steun. Die kracht is het gewicht van het voorwerp, smbool Gw. Als die steun een dnamometer of een weegschaal is, kun je de grootte van het gewicht onmiddellijk aflezen. Volgens de derde wet van Newton oefent de steun een even grote tegengestelde kracht uit op het voorwerp, de normaalkracht : K INE M ATICA E N DY NA M ICA De massa en het gewicht van een voorwerp worden dikwijls met elkaar verward. Zo vraagt de dokter je gewicht, maar in feite bedoelt hij je massa (uitgedrukt in kg). Gw = - en dus Gw = GW DEFINITIE De massa m van een voorwerp is een maat voor de hoeveelheid materie en wordt uitgedrukt in kg. Het gewicht Gw van een voorwerp is de kracht die het voorwerp uitoefent op zijn steun en staat in N. De normaalkracht is de kracht van de steun op het voorwerp en is even groot als het gewicht Gw. G w = We bekijken het gewicht van een voorwerp in verschillende situaties. 7 FZ Het gewicht van een voorwerp in rust op een horizontaal oppervlak Obeli staat op een weegschaal in rust. Zijn massa is 110 kg. Op zijn lichaam werken twee krachten: de zwaartekracht en de normaalkracht. Beschouw je Obeli als ssteem, dan geldt volgens de tweede wet van Newton = m a Vermits hij in rust is en blijft, is a gelijk aan nul. GW We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren: op de -as: 0 0 = m 0 (1) op de -as: - = m 0 (2) Vergelijking (2) geeft = = m g = 110 kg 9,81 N/kg = N Bijgevolg Gw = = N Interactie_6.2_Lb.indb 89 Voor een voorwerp in rust op een horizontaal vlak, is het gewicht even groot als de zwaartekracht: Gw = m g

18 90 ] Kinematica en dnamica 7 Het gewicht van een voorwerp dat opwaarts versnelt Obeli staat op een weegschaal in een lift die opwaarts vertrekt. Op zijn lichaam werken twee krachten: de zwaartekracht en de normaalkracht. FZ a GW Volgens de tweede wet van Newton is = m a Vermits de lift opwaarts versnelt, is a verticaal en naar boven gericht: a = 0 en a = a. We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren: op de -as: 0 0 = m 0 (1) op de -as: - = m a (2) Vergelijking (2) geeft = m a = m g m a = m (g a) Zijn gewicht is Gw = = m (g a) Op analoge wijze kun je de formules opstellen voor een lift die vertraagt of die naar beneden vertrekt. (zie oef. 77 p. 116) Zijn gewicht is groter dan de zwaartekracht. Bv. als de lift versnelt met 3,0 m/s2, vind je Gw = 110 kg (9,81 m/s2 3,0 m/s2) = N Dat klopt met de waarneming: als de lift vertrekt, geeft de weegschaal een grotere waarde aan. Voor het gewicht van een voorwerp dat opwaarts versnelt, geldt Gw = m (g a) Je gewicht kun je bepalen met een weeg schaal, maar toch lees je daarop je massa af. Hoe kan dat? In feite is een weegschaal een soort dnamometer: de uitwijking van de schaal wordt veroorzaakt door de vervorming van veren. Stel dat je massa 63,0 kg bedraagt. De zwaartekracht die op je lichaam werkt, is = m g = 63,0 kg 9,81 m/s2 = 618 N De kracht je gewicht die je op de weegschaal uitoefent is even groot: Gw = 618 N Zet men op de schaal Interactie_6.2_Lb.indb 90 Gw uit, dan kun je onmiddellijk je massa aflezen: g Gw 618 N = = 63, 0 kg g 9, 81 m/s N : 9,81 N kg 63,0 kg

19 91 7 Gewichtloosheid FZ GW K INE M ATICA E N DY NA M ICA Obeli staat in een lift. Plots breekt de liftkabel. Op zijn lichaam werken twee krachten: de zwaartekracht en de normaalkracht. Volgens de tweede wet van Newton is = m a De versnelling van Obeli en de lift is neerwaarts gericht en is gelijk aan de valversnelling g. We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren op de -as: - = m (-g) -m g = -m g = m g m g = 0 Het gewicht van Obeli is Gw = =0 Het gewicht is nul: Obeli is gewichtloos! Dat klopt ook met de waarneming: tijdens de valbeweging geeft de weegschaal in de lift de waarde nul aan! Als hij zijn knots loslaat, ziet hij die zweven. Je kunt dat als volgt begrijpen: tijdens de val van de lift werkt enkel de zwaartekracht op de lift, op Obeli, op zijn knots De versnelling als gevolg van die kracht (de valversnelling) is voor alle voorwerpen dezelfde. Op een voorwerp dat een vrije val uitvoert, werkt enkel de zwaartekracht. Het gewicht van zo n voorwerp is nul: het is gewichtloos. Een ssteem waarop geen enkele kracht werkt, is eveneens gewichtloos. Paraboolvluchten Om fenomenen in gewichtloze toestand te onderzoeken, organiseert de ESA parabool vluchten met de Caravelle. Het vliegtuig stijgt daarbij tot ongeveer m hoogte (punt A: zie fig.). In dat punt heeft het een snelheid van 460 km/h, worden de kleppen van de vleugels ingeklapt en de motoren stilgelegd. De liftkracht en de stuwkracht valt dan weg en enkel de zwaartekracht werkt nog in op het vliegtuig. Tussen punt A en B volgt het vliegtuig een parabolische baan zoals een voorwerp dat een schuine worp uitvoert. Het toestel (en alles in het toestel) is gewichtloos tot in punt B. Dan worden de motoren terug aangezet en eindigt de gewichtloze fase. (m) ESA 7500 Interactie_6.2_Lb.indb 91 A B

20 92 ] Kinematica en dnamica Factoren die g beïnvloeden De valversnelling g is niet overal even groot. Ver van de aarde bv. is g gelijk aan nul (waaruit kun je dat besluiten?). Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag: RAAG KSV E O RZ DE ON h Van welke factoren hangt de valversnelling g af? 7 Invloed van de hoogte Vroeger zag je al dat g = G ma r2 Op een hoogte h boven het aardoppervlak is r = ra h en dus g = G ma (ra h)2 We kunnen dat ook schrijven als g= G ma ra2 ra2 (ra h)2 = 9, 820 m/s2 ra2 (ra h)2 g (m/s2) hoogte (km) g (m/s2) 0 9, , , , , , , , h (km) Invloed van de vorm van de aarde De aarde is niet bolvormig maar afgeplat: de straal is het grootst aan de evenaar en het kleinst aan de polen. Interactie_6.2_Lb.indb De valversnelling (of de zwaarteveldsterkte) g daalt met de hoogte: ra2 g = 9, 820 m/s2 (ra h) plaats aardstraal g (m/s2) Noordpool 6356,8 km 9,87 Evenaar 6378,1 km 9,80 Als gevolg van de afplatting van de aarde neemt g af van de polen naar de evenaar.

21 93 Wat zou er gebeuren als de gravitatiekracht plots zou wegvallen? Let op de eenheden! Hoeksnelheid moet je uitdrukken in rad/s! Invloed van de aardrotatie Omdat de aarde roteert om haar as, voert een voorwerp op aarde een ECB uit. Daarvoor is de centripe tale kracht Fc nodig. Voor de grootte van de krachten geldt Fg = m g = m 9,820 m/s2 Fc = m w2 r w is de hoeksnelheid van de aarde = a 2 rk = 7, (rad)/s 24 h r is de straal van de cirkel die een voorwerp beschrijft. K INE M ATICA E N DY NA M ICA 7 We bekijken 3 plaatsen: Op de evenaar: De straal van de cirkel die het voorwerp beschrijft is gelijk aan de aardstraal ra = 6378,1 km " Fg ra " F " Fc De grootte van de centripetale kracht is Fc = m w 2 ra Als de aarde zo snel zou ronddraaien dat Fc = Fg, is F = 0 en zou een voorwerp niet meer vallen! (zie oef. 72 p. 116) Een gedeelte van de gravitatiekracht zorgt voor die centripetale kracht. De rest van de gravitatiekracht zorgt voor de valversnelling (die je effectief meet): F = Fg - Fc en dus Fg = F Fc " Die kracht F is naar het middelpunt van de aarde gericht. Omdat de gravitatiekracht en de centripetale kracht dezelfde richting en zin hebben, geldt voor de grootte van F F = Fg - Fc = m g - m w2 ra = m (g - w2 ra) De grootte van de effectieve valversnelling is ge = F / m = m (g - w2 ra) / m = g - w2 ra = 9,820 m/s2 - [7, (rad)/s]2 6378,1 103 m = 9,820 m/s2-0,0337 m/s2 = 9,786 m/s2 Interactie_6.2_Lb.indb 93 5/08/15 11:21

22 94 ] Kinematica en dnamica Op de polen: Het voorwerp beschrijft een cirkel met een straal nul. De grootte van de centripetale kracht is Fc = m w2 r = m w2 0 = 0 De volledige gravitatiekracht zorgt voor de valversnelling: F = Fg - Fc = Fg - 0 = Fg ra " Fg Die kracht is naar het middelpunt van de aarde gericht. De grootte van de effectieve valversnelling is Fg m g ge = F = = = g = 9, 820 m/s 2 m m m 7 Op breedtegraad m: Het voorwerp beschrijft een cirkel met een straal r gelijk aan r = ra cos λ want cos λ = r/ra. r " " Fc " Fg - Fc " Fg " F r ra De grootte van de centripetale kracht is Fc = m w2 r = m w2 ra cos λ plaats Noordpool België Evenaar λ ( ) ge (m/s2) ,820 9,807 9,786 Een gedeelte van de gravitatiekracht zorgt voor die centripetale kracht. De rest van de gravitatiekracht zorgt voor de valversnelling (die je effectief meet): F = Fg - Fc = Fg (- Fc) Omdat de gravitatiekracht en de centripetale kracht niet dezelfde richting hebben, wijst de kracht F niet naar het middelpunt van de aarde! Een voorwerp valt daardoor niet naar het middelpunt van de aarde, maar (op het noordelijk halfrond) iets meer naar het zuiden. De effectieve valversnelling is kleiner. Op onze breedtegraad vindt men ge = 9,807 m/s2 Door de rotatie van de aarde neemt de effectieve valversnelling af van de polen naar de evenaar. WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: de gravitatiewet formuleren de zwaartekracht verklaren met de gravitatiekracht aantonen dat de zwaarteveldsterkte en de valversnelling identieke grootheden zijn de definitie geven van het gewicht van een ssteem uitleggen van welke factoren g afhankelijk is oefeningen en denkvragen m.b.t. de gravitatiekracht oplossen Interactie_6.2_Lb.indb 94 5/08/15 11:21