Deeltjes en velden. de fysica van het allerkleinste. door. Prof.dr Johannes F.J. van den Brand dr. Gideon Koekoek

Transcriptie

1 Deeltjes en velden de fysica van het allerkleinste door Prof.dr Johannes F.J. van den Brand dr. Gideon Koekoek Afdeling Natuurkunde en Sterrenkunde Faculteit der Exacte Wetenschappen Vrije Universiteit, Amsterdam en Nationaal instituut voor subatomaire fysica (Nikhef), Amsterdam

2

3 INHOUDSOPGAVE 1 Inhoudsopgave 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN Inleiding Quarks Leptonen Wisselwerking en deeltjesuitwisseling Beschrijven van deeltjesinteracties met Feynmandiagrammen Quantumveldentheorie Quantumelektrodynamica Quantumchromodynamica Elektrozwakke wisselwerking Spin en statistiek Uitgewerkte opgaven Unificatie Quantumchromodynamica SU(3)-kleur Opgaven Negen gluonen Zwakke wisselwerking Speciale relativiteitstheorie Spin Rho-meson SPECIALE RELATIVITEITSTHEORIE 35.1 Historische introductie en Einsteins postulaten Het minkowskilijnelement Tijddilatatie Lorentzcontractie De lorentztransformaties Invariantie van de lichtsnelheid Verlies van universele definitie van tijd en gelijktijdigheid Ruimtetijd Ruimtetijddiagrammen Relativistisch Dopplereffect Relativistische mechanica Uitgewerkte opgaven Impuls van een π + meson Kinetische energie van een proton Kinematica van elektron-proton verstrooiing Verval van het muon Tijddilatatie Deeltjesidentificatie Proton in magnetisch veld Maximum energie-overdracht in een botsing van een elektron Paarproductie Botsing in het zwaartepuntsysteem Mandelstam variabelen Energieproductie in de Zon Opgaven

4 INHOUDSOPGAVE.13.1 Causaliteit Verval van pionen Collider en Fixed-Target Experimenten Kosmische Straling Supernova SN1987A QUANTUMMECHANICA Inleiding en wiskundig intermezzo Operatoren en complexe functies Bases in de hilbertruimte Matrices en operatoren Eigenfuncties en eigenwaarden Grondslagen van de quantummechanica Axioma s Operatoren voor plaats en impuls De onzekerheidsrelaties van Heisenberg Schrödingervergelijking als eigenwaardenvergelijking Diracnotatie Onzekerheid in de quantumfysica Tijdevolutie van een systeem Impulsmoment Veranderen van coordinatenstelsel: Wigner-rotatiematrices Combineren van impulsmomenten Spin Matrixrepresentatie van spin- 1 deeltjes Operatoren voor spin Spinoren Verwachtingswaarden Het meetprobleem in de quantummechanica Meting van spin in een willekeurige richting Storingsrekening Inleiding tot tijdafhankelijke storingsrekening Twee-niveaus systemen Het verstoorde systeem Tijdafhankelijke storingsrekening Sinusvormige verstoringen Emissie en absorptie van elektromagnetische straling Absorptie, gestimuleerde emissie, en spontane emissie Integraalvorm van de schrödingervergelijking De Born benadering Einstein, Podolsky en Rosen Paradox Formulering van de EPR Paradox door Bohm De ongelijkheid van Bell Uitgewerkte opgaven Toepassing van een machtreeks Impuls van een foton Bremsstrahlung Separatie van een molecuul Elektromagnetisch vermogen Fotoelektrisch effect

5 INHOUDSOPGAVE Constante van Planck uit fotoelektrisch effect Fotoelektrische stoppotentiaal Fotoelektrisch effect: maximum kinetische elektronenergie Het Comptoneffect Comptonverstrooiing Golflengte van een thermisch neutron Energie en golflengte van een proton Oplossend vermogen van een optische microscoop Oplossend vermogen van een elektronenmicroscoop Braggse diffractie met neutronen Kristalstructuur uit Braggse diffractie Vectoren over de reële ruimte (dus de elementen zijn reële getallen) Lineaire afhankelijkheid van vectoren Relatie tussen inproduct en uitproduct Vectoren over de complexe ruimte (dus de elementen zijn complexe getallen) Hoek tussen complexe vectoren Complexe matrices Complexe matrices en vectoren Lineaire ruimte (de elementen zijn reële getallen) Voorbeeld van een lineaire ruimte Meer over lineaire ruimten Opgaven Comptonverstrooiing Waterstofatoom De Broglie-golflengte Fotonflux Harmonische oscillator STRUCTUUR VAN HADRONEN Verstrooiingstheorie Verstrooiing aan de ladingsverdeling Elektron-nucleon verstrooiing Diepinelastische verstrooiing Elektron - positron annihilatie Uitgewerkte opgaven Rutherfordverstrooiing Elektron-nikkel verstrooiing Ladingsvormfactor van het proton Mott werkzame doorsnede voor elastische elektron-proton verstrooiing Het fijne van biljarten Detectie van zonneneutrino s Opgaven Collider en zwaartepuntsenergie Algemene vragen Aantal kleurladingen Λ-hyperonen Levensduur van opgeslagen elektronen

6 INHOUDSOPGAVE 4 5 SYMMETRIEËN Inleiding Behoud van impuls Lorentztransformaties vormen een groep Definities Groeptheoretische aspecten van de Lorentztransformaties Connectie met quantummechanica Behoud van lading Lokale ijksymmetrieën Behoud van baryongetal Behoud van leptongetal Spiegeling in de ruimte en pariteit Pariteitschending in β-verval Heliciteit van leptonen Behoud van pariteit in de sterke wisselwerking Ladingssymmetrie van de sterke wisselwerking Isospinsymmetrie in de sterke wisselwerking resonantie en isospinformalisme Isospin en het quarkmodel Isospin en de elektromagnetische wisselwerking Vreemdheid Mesonen als gebonden quark-antiquark toestanden Opbouw van baryonen uit drie quarks Additionele quantumgetallen: C, B, en T CPT-theorema: deeltjes en antideeltjes Invariantie van tijdsomkeer Gedetailleerd evenwicht Elektrisch dipoolmoment van het neutron Uitgewerkte opgaven Rotatiesymmetrie Lokale ijkinvariantie Behoud van baryongetal Isopin Nucleon spin statistiek Deeltjes: reacties en verval Behoudswetten Quarkverdelingsfuncties Dubbele resonantie productie Hoekverdeling en pariteit Opgaven Botsingsprocessen en deeltjesverval Algemene vragen Λ-hyperonen Botsingsprocessen, isospin van kaonen Isospin en deeltjesverval

7 INHOUDSOPGAVE 5 6 SYMMETRIEBREKING 6.1 Inleiding CP schending CP - schending in het verval van neutrale K - mesonen Neutrino oscillaties RELATIVISTISCHE VELDENTHEORIE Inleiding Diracvergelijking Antideeltjes Uitgewerkte opgaven Opgaven Feynmanregels voor QED Transformatiegedrag van ψγ µ γ Spinoren: orthogonaliteit en compleetheid LAGRANGIAANSE VELDENTHEORIE Inleiding lokale ijkinvariantie QUANTUMELEKTRODYNAMICA Inleiding Afleiding van de Feynmanregels Propogatoren en vertices Renormalisatie Ghosts, etc QUANTUMCHROMODYNAMICA Inleiding Lokale ijkinvariantie Yang-Mills theorie ELEKTROZWAKKE WISSELWERKING Inleiding Materie en antimaterie CP schending Kosmologische implicaties HIGGS MECHANISME Inleiding De oorsprong van massa Goldstone bosonen Genereren van massa via het Higgs mechanisme Massa en QCD A APPENDIX - LINEAIRE ALGEBRA 41 A.1 Vectorrekening over de reële ruimte A.1.1 Scalaren en vectoren A.1. Product van een scalar en een vector A.1.3 Som en verschil van vectoren A.1.4 Lineaire afhankelijkheid; ontbinden van vectoren, kentallen

8 INHOUDSOPGAVE 6 A.1.5 Inwendig of scalair product van vectoren A.1.6 Uitwendig of vectorieel product van vectoren A.1.7 Determinantnotatie voor het uitwendig product A.1.8 Tripelproducten A.1.9 Voorbeelden A. Complexe grootheden A.3 Lineaire ruimten en lineaire afbeeldingen A.3.1 Lineaire ruimten A.3. Eigenschappen A.3.3 Lineaire onafhankelijkheid, basis, dimensie A.3.4 Inwendig product, norm en orthogonaliteit van vectoren A.3.5 Lineaire afbeeldingen A.4 Matrixrekening A.4.1 Matrices A.4. Determinant van een matrix A.4.3 Product van een matrix met een kolomvector A.4.4 Matrix als transformatie-operator A.4.5 Som van matrices A.4.6 Product van scalar met matrix A.4.7 Product van matrices A.4.8 Diagonale matrices A.4.9 Geadjugeerde en inverse matrices A.4.10 De getransponeerde van een matrix; symmetrische en alternerende matrices 55 A.4.11 Orthogonale matrices A.5 Vectorrekening over de complexe ruimte A.5.1 Vectoren A.5. Inproduct A.5.3 De Gram-Schmidt procedure A.5.4 Eigenvectoren en eigenwaarden A.5.5 Geconjugeerde en Hermitische matrices A.5.6 Unitaire matrices B APPENDIX - WAARSCHIJNLIJKHEID 65 B.1 Inleiding B. Connectie met de quantummechanica C APPENDIX: FUNDAMENTELE CONSTANTEN 69 D APPENDIX: COÖRDINATENSYSTEMEN 70 E APPENDIX: CONVENTIES, EENHEDEN EN NOTATIES 71 F APPENDIX: FASERUIMTE 7 G APPENDIX - KLASSIEKE GOLFVERSCHIJNSELEN 75 G.1 Inleiding G. Wiskundige beschrijving G.3 Fourieranalyse van golfverschijnselen G.3.1 Fouriercoëfficiënten en Fourierreeksen G.3. Complexe schrijfwijze van de Fourierreeks G.3.3 Fouriertransformatie

9 INHOUDSOPGAVE 7 G.3.4 Beschrijving van een golfpakket G.4 De golfvergelijking G.4.1 Partiële afgeleiden en oplossingen van de golfvergelijking

10 INHOUDSOPGAVE 8

11 INHOUDSOPGAVE 9 Voorwoord In dit college wordt een inleiding tot de deeltjesfysica behandeld, waarbij de nadruk ligt op het begrijpen van de fundamentele aannamen die worden gedaan in het formuleren van de theorie. We zullen een smal pad volgen dat leidt tot de definitie van het Standaard Model van de deeltjesfysica, waarbij het gaandeweg duidelijk zal worden dat de theorie een prachtige beschrijving biedt van de unificatie van quantumelektrodynamica, quantumchromodynamica en de zwakke wisselwerking. Het bestaansrecht van de theorie is gebaseerd op de succesvolle beschrijving van natuurverschijnselen. Het Standaard Model geeft een wetenschappelijke basis aan fenomenen als elementaire deeltjes en velden, alsmede de interacties tussen deeltjes en het verval van deeltjes. Op dit moment staat de deeltjesfysica aan de frontlinie van het wetenschappelijk onderzoek. Experimenten als Atlas, LHCb en Alice gebruiken proton-proton botsingen bij de allerhoogste energie om het Standaard Model aan stringente tests te onderwerpen. Hierbij wordt de Large Hardron Collider bij CERN gebruikt. In 013 is met dit instrument de laatste ontbrekende bouwsteen van het Standaard Model gevonden: het Higgsboson. Parallel aan het CERN programma zijn er diverse experimenten gaande die bijvoorbeeld de neutrinosector van het Standaard Model onderzoeken. Recent is aangetoond dat neutrino s een kleine massa hebben en ook dat verschillende neutrinosoorten in elkaar over kunnen gaan. Wiskunde speelt een prominente rol in het opzetten van natuurkundige theorieën, en het Standaard Model vormt hierop geen uitzondering. In de behandeling van de diverse onderwerpen zullen we liberaal gebruikmaken van verschillende wiskundige technieken. De student dient zich te realiseren dat in alle gevallen de nadruk ligt op het begrip van het natuurkundig fenomeen. Overigens is de wiskundige complexiteit van deeltjesfysica behoorlijk geavanceerd, omdat men kennis dient te hebben van zowel de speciale relativiteitstheorie als van de quantummechanica. Deze gebieden zijn verenigd in de quantumveldentheorie en we zullen hiervan een tipje van de sluier oplichten. Het college deeltjesfysica wordt in 013 voor het eerst gegeven in het kader van het HOVO (Hoger Onderwijs Voor Ouderen) programma aan de Vrije Universiteit, Amsterdam. Van de studenten wordt voorkennis vereist op het niveau van H.B.S.-B, VWO of Gymnasium. Om tegemoet te komen aan het niveau van de studenten worden diverse onderwerpen, zoals lineaire algebra, nogmaals beknopt behandeld tijdens het college. Verder is de benadering redelijk schools. Er wordt huiswerk opgegeven en behandeld (en dit telt mee voor het uiteindelijke cijfer). Hierbij dient benadrukt te worden dat een goed begrip van de stof enkel zal volgen uit zelfwerkzaamheid van de student. De opgaven zijn een belangrijk instrument in dit verband, want hierin kan de opgedane kennis worden toegepast, terwijl de opgaven soms ook voor verdieping van de materie zorgdragen. Merk op dat er in dit kader ook een website is ingericht, die bereikt kan worden via jo/df/. Het dictaat is als volgt gestructureerd. Na een inleiding in hoofdstuk 1, wordt de speciale relativiteitstheorie besproken in hoofdstuk. De behandeling is volledig gebaseerd op de zogenaamde minkowskimetriek van ruimtetijd. Quantummechanica wordt behandeld in hoofdstuk 3. We beperken ons tot een goed begrip van het formalisme en demonstreren dit aan de hand van de spin van deeltjes (een zuivere quantummechanische grootheid). Spin-1/ vormt het meest eenvoudige voorbeeld van een quantumsysteem. Alle bouwstenen van de natuur, quarks en leptonen, hebben spin-1/. De structuur van hadronen is bepaald met behulp van botsingsexperimenten. De belangrijkste resultaten zoals de quark en gluonstructuur van het proton, bespreken we in hoofdstuk 4. In hoofdstuk 5 worden diverse symmetrieën en de daaraan gerelateerde behoudswetten behandeld. Hier wordt ook een deel van de wiskunde geïntroduceerd, met name de groepentheorie. Breking van symmetrie wordt besproken in hoofdstuk 6, waar we het mechanisme van CP schending zullen behandelen. Dit geeft goed inzicht in de verschillen

12 INHOUDSOPGAVE 10 tussen materie en antimaterie. Ook bespreken we de recente ontdekking van neutrino-oscillaties. Vervolgens verdiepen we ons wiskundig inzicht in hoofdstuk 7, waar we de relativistische veldentheorie behandelen. Vervolgens behandelen we Lagrangiaanse veldentheorie in hoofdstuk 8. Nu de theoretische basis is gelegd, gaan we diverse toepassingen bespreken, zoals quantumelektrodynamica in hoofdstuk 9 en quantumchromodynamica in hoofdstuk 10. Vervolgens verdiepen we onze kennis van de elektrozwakke wisselwerking in hoofdstuk 11. Tenslotte bespreken we het Higgs-mechanisme in hoofdstuk 1. De diverse appendices dienen als achtergrondmateriaal. Het zal opvallen dat verschillende onderwerpen ontbreken die in een regulier college wel aan de orde komen. Zo worden onderwerpen uit de kernfysica niet of nauwelijks besproken. De reden hiervoor is dat het volgens de auteurs onvoldoende bijdraagt tot een verdieping van het inzicht, maar enkel leidt tot een verbreding van de kennis. De onderwerpen zijn gekozen om zo snel mogelijk de stof te doorgronden, teneinde direct te komen tot de discussie van de filosofische implicaties en de focus van het moderne wetenschappelijk onderzoek. Dit verklaart ook waarom er relatief veel aandacht wordt besteed aan een didactische inleiding tot de deeltjesfysica. Overigens is het zo dat het niveau van behandeling van de stof in sommige gevallen overeenkomt met (of zelfs uitstijgt boven) die van een derde-jaars natuurkundestudent. In de samenstelling van dit dictaat is geput uit diverse bronnen, zoals Quantummechanica - HOVO college 006, Jo van den Brand; Elementary particle physics - An introduction, David C. Cheng, Gerard K. O Neill; Subatomic physics, Hans Frauenfelder, Ernest M. Henley; Fundamentals of Quantum Mechanics, V.A. Fock; Gravitation, Charles Misner, Kip Thorne, John Archibald Wheeler; The theory of special relativity, J. Aharoni; Quantum Universum - HOVO college 009, Jo van den Brand; Basic Concepts of Quantum Mechanics, L.V. Tarasov; Concepts of Particle Physics I and II, Kurt Gottfried and Victor F. Weisskopf; Quarks and Leptons, Francis Halzen, Alan D. Martin; Gauge Theories in Particle Physics, I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey; Nuclear and Particle Physics, Burcham and Jobes; In sommige gevallen is gebruik gemaakt van relevante review artikelen uit de vakliteratuur. De bronnen worden dan ter plaatse vermeld. Belangrijke informatie over het Standaard Model is te vinden op Tenslotte willen de auteurs bij voorbaat aan een ieder dank betuigen die gaat bijdragen aan de verbetering van het voorliggende dictaat. Door vrijelijk uw suggesties door te geven aan de docenten zullen wij deze gebruiken ter verbetering van het lesmateriaal.

13 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN 11 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN 1.1 Inleiding De Griekse wijsgeer Demokritos (Abdera, in Thracië, ca. 460 B.C. - ca. 370 B.C.) hield er een aantal interessante opvattingen op na. Hij had bijvoorbeeld het idee dat het zijnde bestaat uit een oneindige veelheid van atomen die uitgebreidheid bezitten en niet verder deelbaar zijn (άτ oµoς), dat alle dingen zijn gemaakt uit een aantal atomen, en dat een verandering bestaat uit een wijziging in de groepering van de atomen; er zijn zwaardere en lichtere atomen: de lichtere vormen het hemelgewelf en groeperen zich tot hemellichamen, de zwaardere atomen vormen de aarde, die bolvormig is; dat er een eindeloos aantal werelden naast de onze bestaat, die werelden ontstaan of vergaan naargelang de atomen zich groeperen of weer uiteengaan. Volgens Demokritos bestaan ook de levende wezens enkel uit atomen, en heeft het levende zich ontwikkeld uit het niet-levende. Helaas is het overgrote deel van het werk van Demokritos verloren gegaan. Echter met het door hem ingevoerde begrip, atomos, heeft hij een der vruchtbaarste ideeën aan de wetenschap gegeven. Het blijft een fascinerende vraag of er werkelijk zoiets bestaat als elementaire deeltjes. Is het mogelijk om ons universum uit een klein aantal eenvoudige elementaire bouwstenen samen te stellen? Is het mogelijk de in de natuur voorkomende dingen in steeds kleinere substructuren te ontbinden, of stuit men uiteindelijk op een grens? Bestaan er deeltjes, die principiëel niet verder deelbaar zijn? En als deze elementaire deeltjes werkelijk bestaan, hoeveel verschillende soorten zijn er dan nodig voor een correcte beschrijving van de natuur en welke eigenschappen (massa, lading, spin, enz.) hebben deze objecten? In dit hoofdstuk zullen we een voorlopig antwoord op deze vragen geven. Het zal blijken dat het uiteindelijke bewijs van vele van de uitspraken die in dit hoofdstuk gedaan zullen worden, vaak slechts in het vervolg van de studie gegeven kan worden. Het is opmerkelijk dat het bestaan van enkele elementaire deeltjes door theoretici voorspeld is, en dat experimentatoren op basis van de gepostuleerde eigenschappen - vaak na tientallen jaren onderzoek - het bestaan van deze deeltjes aangetoond hebben. Een voorbeeld is het neutrino (ν e, ν e ), dat in 1931 door Wolfgang Pauli ingevoerd werd, om de klassieke behoudswetten (energie, impuls, impulsmoment) voor β-verval te redden. De existentie van het neutrino werd twintig jaar later (door Cowan en Reines) direct bewezen 1. Een ander voorbeeld zijn de ijkbosonen, W +, W en Z 0, die naast het foton een cruciale rol spelen in de theorie van de elektrozwakke wisselwerking. Het bestaan van deze deeltjes kon slechts experimenteel aangetoond worden nadat men op CERN (Geneve, Zwitserland) een geschikte deeltjesversneller, de SPS protonantiproton collider, gebouwd had. Ook heeft men decades met allergrootste inspanning naar het zogenaamde Higgs-boson gezocht. Dit deeltje is nodig voor onze beschrijving van het mechanisme van spontane symmetriebreking in de elektrozwakke ijkveldentheorie. Het bestaan van het Higgsboson is uiteindelijk in 013 met de LHC onomstotelijk aangetoond 3. Merk op dat er ook deeltjes zijn, waarvan het bestaan reeds enige tijd geleden gepostuleerd is, maar die echter niet experimenteel zijn aangetoond 4. Het magnetische monopool valt in deze klasse. Het bestaan van dit laatste deeltje is gepostuleerd om de Maxwell-vergelijkingen meer symmetrisch te maken. Verder zijn er nog de zogenaamde tachyonen, die snelheden groter dan 1 In het zogenaamde "Poltergeist" experiment van Clyde Cowan en Frederick Reines. De laatste werd geëerd met de Nobelprijs Natuurkunde in Deze ontdekking leverde Simon van der Meer en Carlo Rubbia de Nobelprijs Natuurkunde op in Tijdens het schrijven van dit dictaat (zomer 013) voorspel ik dat dit de Nobelprijs Natuurkunde in 013 zal worden. Peter Higgs krijgt hem zeker, maar wie nog meer? 4 Of die slechts in experimenten voorkwamen, die niet door andere experimentatoren herhaald konden worden!

14 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN 1 de lichtsnelheid hebben 5. Ook zijn er nog gepostuleerde deeltjes met namen als leptoquark, gravitino, instanton, enz. Tenslotte zijn er deeltjes, waarvan het bestaan niet op theoretische gronden voorspeld is, maar die desalniettemin in experimenten waargenomen werden (en waarvan men zelfs op dit moment nog niet weet waar ze eigenlijk goed voor zijn ). In deze categorie vallen bijvoorbeeld de muonen (µ, µ + ), deeltjes die zich gedragen als de gewone elektronen (e, e + ), maar een veel grotere massa hebben. Het is reeds lang bekend dat de gewone materie uit moleculen bestaat, die uit ongeveer honderd verschillende elementen samengesteld kunnen worden. Elk element bestaat uit een minuscule atoomkern (ongeveer keer kleiner dan het atoom) en een elektronenwolk. De elektronen, en vooral die in de buitenste schillen en die dus het minst sterk gebonden zijn, bepalen de eigenschappen van het element voor de vaste-stof fysica, scheikunde en biologie. Vanwege de geringe energie die in deze vakgebieden per atoom omgezet kan worden (enige ev), kan de atoomkern als inert beschouwd worden. Enkel zijn lading en massa zijn van belang 6, en de kern kan als ondeelbaar beschouwd worden, waarbij zijn substructuur geen enkele rol speelt. Als hogere energieën ter beschikking staan - voor de klassieke kernfysica beschouwt men typische energieën van enkele MeV - kan de kern aangeslagen of zelfs gespleten worden. Tegenwoordig 7 weten we dat elke kern is samengesteld uit protonen en neutronen. Protonen en neutronen zijn verschillende manifestaties van een hypothetisch kerndeeltje, genaamd het nucleon. Vroeger dachten we dat het nucleon een elementair deeltje was, en uit gewoonte wordt dat nu soms nog wel eens gezegd. Echter, met elementair deeltje bedoelen we dat het deeltje geen structuur vertoont althans voorzover we dat kunnen meten. In dat licht bezien was het correct, dat we vroeger het proton en neutron als elementair deeltje beschouwden, terwijl we nu weten dat het nucleon opgebouwd is uit nog fundamentelere deeltjes. Rond het jaar 1935 zag de wereld er zeer eenvoudig uit; fysici hadden voldoende aan slechts enkele elementaire deeltjes om het universum op te bouwen. Deze deeltjes zijn gegeven in tabel 1. Table 1: Elementaire deeltjes en hun belangrijkste eigenschappen, zoals bekend omstreeks Deeltje Symbool Rustenergie Lading Spin Levensduur [ e ] [ ] 1 Proton p 938,7 MeV +1 > 1, jaar 1 Neutron n 939,57 MeV 0 88 s 1 Elektron e 0,511 MeV -1 > 4, jaar 1 Neutrino ν e < ev 0 > 300 s/ev Gamma γ < ev 0 1 Voor zover we tegenwoording weten is het proton stabiel (levensduur τ > jaar). Er zijn diverse precisie-experimenten, die intensief speuren naar protonverval, zoals voorspeld door een aantal theoretische modellen. Het neutron daarentegen vervalt als volgt, n p + e + ν e, (1) en zijn levensduur is gemeten aan de hoge-intensiteitsreactor van ILL in Grenoble met ultrakoude neutronen en bedraagt τ = (881, 5 ± 1, 5)s. () 5 Het zal duidelijk zijn dat niet alle theoretici enthousiast zijn over deze gepostuleerde deeltjes. Verder is het onduidelijk of het mogelijk is met tachyonen een signaal (informatie) over te brengen - iets dat in conflict zou zijn met de speciale relativiteitstheorie. 6 en soms ook het magnetische moment, bijvoorbeeld in de hyperfijnwisselwerking. 7 We verwaarlozen hier subtiliteiten als bijvoorbeeld de virtuele mesonen in het binnenste van de kern.

15 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN Quarks Het zou een vergissing zijn aan te nemen dat een neutron bestaat uit een gebonden toestand van een proton, elektron en antineutrino 8. Elektron en neutrino gelden nog steeds als (in principe puntvormige) elementaire deeltjes. Daarentegen zijn er goede redenen om aan te nemen dat het proton en neutron, elk met een diameter van ongeveer fm (1 fm = 1 femtometer m), samengestelde objecten zijn. Zij zijn, net als de andere baryonen, uit telkens drie elementaire bouwstenen, de quarks, opgebouwd. We hebben en p = (uud) (3) n = (udd). (4) De gluonen (ofwel lijmdeeltjes) zorgen ervoor dat de quarks gebonden zijn in het inwendige van de nucleonen. In tabel geven we de eigenschappen van de quarks. De quantumgetallen B (baryongetal), T 3 (z-component van de isospin), S (vreemdheid), C (charm), b (bottomness of beauty), t (topness) zullen in volgende hoofdstukken besproken worden 9. Table : Notatie, eigenschappen en belangrijkste quantumgetallen van de quarks. Naam Symbool Lading Massa Spin B T 3 S C b t [ e ] [ GeV/c ] [ ] Up u 3, 3 +0,7 0, Down d , 8 +0,7 0, Strange s (95 ± 5) Charm c 3 1, 75 ± 0, Bottom b ,1-4, Top t 3 173, 5 ± 1, Sinds het mogelijk is machines te bouwen waarmee deeltjes versneld kunnen worden tot energieën van meer dan 1 GeV, heeft men een buitengewoon groot aantal nieuwe deeltjes ontdekt, die alle de sterke wisselwerking ondergaan. Deze deeltjes worden hadronen genoemd en kunnen in twee groepen worden onderverdeeld, de mesonen en de baryonen. Het quarkmodel heeft het mogelijk gemaakt om orde en systematiek te scheppen is deze warboel van deeltjes, elk met hun merkwaardige vertegenwoordigers: de baryonen zijn uit telkens drie quarks samengesteld, terwijl de mesonen uit een quark en een antiquark opgebouwd zijn. Belangrijk is het feit dat tot nu toe geen vrije quarks zijn waargenomen, ondanks dat men in talrijke experimenten, veelal in de trant van Millikan s oliedruppeltjes experiment, intensief naar fractionele ladingen gezocht heeft (in één opzienbarend experiment werden ladingen, die een veelvoud van 1 3 waren, gevonden - echter, dat resultaat kon door geen enkel ander onderzoeksteam bevestigd worden). Integendeel, er zijn zelfs goede redenen, waarom men niet verwacht geïsoleerde vrije quarks experimenteel te kunnen vinden. 8 Een eenvoudige quantummechanische berekening laat zien, dat er teveel energie voor nodig is om een elektron te binden binnen het volume van een kern. 9 De quantumgetallen karakteriseren een bepaalde toestand van een systeem van deeltjes. Ze zijn constant (men zegt behouden) zolang het systeem ongestoord is. Quantumgetallen hebben te maken met behoudswetten. Een voorbeeld is de wet van behoud van lading. Een uitzondering hierbij is de spin, want enkel het totale impulsmoment is behouden: spin en baanimpulsmoment. Verder zijn sommige behoudswetten niet altijd strikt geldig: zoals de wet van behoud van vreemdheid.

16 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN 14 Tot nu toe zijn we niet op het begrip antimaterie ingegaan, ofschoon Paul Dirac al in 197 een relativistische toestandvergelijking voor het elektron had opgesteld, waaruit het bestaan van een antideeltje voor het elektron volgt. Het bestaan van dit positron werd vervolgens aangetoond in 193 door Carl Anderson van het California Institute of Technologie, waarbij experimenten met kosmische straling werden uitgevoerd 10. Tegenwoordig neemt men aan dat er voor elk deeltje een antideeltje bestaat, met dezelfde massa, dezelfde levensduur en dezelfde spin als dit deeltje, terwijl alle andere eigenschappen, bijvoorbeeld die met de lading te maken hebben, het tegenovergestelde teken hebben. In enkele gevallen, zoals bijvoorbeeld bij het foton, zijn deeltje en antideeltje identiek. 1.3 Leptonen Naast de hadronen is er een andere klasse van deeltjes, die niet sterk wisselwerken, de leptonen 11. Table 3: Eigenschappen van de Leptonen. Naam Symbool Lading Massa Spin Levensduur [ e ] [ MeV/c ] [ ] Elektron e 1 1 0,511 > 4, jaar e-neutrino ν e 0 < ? Muon µ ,66,197 µs 1 µ-neutrino ν µ 0 < 0, 17? Tau τ s 1 τ-neutrino ν τ 0 < 4? Alle elementaire deeltjes (behalve het γ quantum), die we in dit hoofdstuk hebben ingevoerd, bezitten een halftallige spin en zijn voorbeelden van fermionen. Zij ondergaan Fermi-Dirac statistiek. Fermionen kunnen elk slechts in paren gecreëerd (bijvoorbeeld γ e + + e ) of vernietigd worden (bijvoorbeeld e + + e γ, 3γ). Dit suggereert het bestaan van een (of meer) behoudswetten 1. Voor de opbouw van de normale wereld zijn enkel de vier deeltjes van de eerste generatie, dus de up- en down-quarks 13, het elektron en zijn neutrino nodig. De vier bijbehorende antideeltjes (ū, d, e + en ν e ) vindt men slechts zelden. Pas wanneer we naar hoge energieën gaan, zoals het geval is met kosmische stralen, de Big Bang of bij deeltjesversnellers, dienen we ook de andere generaties in beschouwing te nemen. Hiermee dringt zich dan ook direct de vraag op of met een verdere toename van de beschikbare energie weer andere deeltjesfamilies gevonden zullen worden. Hoewel deze vraag op dit moment niet afsluitend beantwoord kan worden, is het wel zo dat de experimenten bij LEP op CERN (vervalsbreedte van de Z 0 ) sterke aanwijzingen hebben geleverd dat er drie en niet meer dan drie generaties van deeltjes bestaan. 10 Hij ontving hiervoor in 1936 de Nobelprijs Natuurkunde; hij was toen 31 jaar oud. Een jaar later ontdekte hij het muon. 11 Oorspronkelijk werden de deeltjes ingedeeld aan de hand van de massa: de lichte deeltjes ofwel leptonen (e, ν) met mc < 1 MeV, de middelzware deeltjes ofwel mesonen met mc 100 MeV en de zware deeltjes ofwel baryonen met mc > 1 GeV. Deze klassificatie is echter niet zinvol: de muonen (µ) en de tau s (τ) gedragen zich analoog aan het elektron, ondanks dat ze een geheel verschillende massa hebben. 1 We kunnen dit ook anders formuleren: indien de lading (of bijvoorbeeld het baryongetal) strikt behouden is, dan kan het lichtste geladen deeltje, het elektron (of bijvoorbeeld het lichtste baryon, het proton) niet vervallen. 13 We verwaarlozen voorlopig het feit, dat in het nucleon ook een (omstreden) hoeveelheid s, s en andere quarks bijgemengd zijn. Ook worden de drie kleuren van de quarks pas later besproken.

17 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN Wisselwerking en deeltjesuitwisseling Laten we beginnen met een beschouwing uit de klassieke mechanica. De gravitatiewet geeft de kracht tussen twee (voorlopig als puntvormig aangenomen) massa s als m 1 m F grav = g grav r1 ˆr 1. (5) Uit deze krachtwet en de wetten van Newton kon bijvoorbeeld de beweging van alle planeten in ons zonnestelsel met fantastische nauwkeurigheid worden afgeleid. Schijnbare afwijkingen bleken later te leiden tot de grootste triomfen van het model. Zo ontdekte men in het begin van de negentiende eeuw dat de planeet Uranus niet voldeed aan de gravitatiewet en bovendien de behoudswetten voor energie en impulsmoment schond. De oplossing van deze discrepantie werd in 1846 door Urbain Le Verrier en John Couch Adams gegeven: de baan van Uranus wordt door de aantrekkingskracht van een onbekende planeet beinvloed! Uit de zeer kleine storingen van de baan van Uranus kon zelfs de plaats van het onbekende object berekend worden. Daadwerkelijk vond op 3 September 1846 de sterrenkundige Johann Galle, zoals men zegt: in minder dan een half uur, binnen 1 van de voorspelde positie, de nieuwe planeet Neptunus. Dat was zonder twijfel één van de grootste successen van de klassieke mechanica. In het begin van de twintigste eeuw resteerde er in principe slechts één enkel niet begrepen effect: de periheliumverschuiving van de planeet die zich het dichtst bij de zon bevindt, namelijk Mercurius. De afwijking van Newtons model (slechts 43.11±0.45 boogseconde per eeuw) kon enkel door de algemene relativiteitstheorie van Einstein verklaard worden (de berekende afwijking bedraagt boogseconde per eeuw). Een vergelijkbare doorbraak deed zich voor in de atoomfysica, nadat de basiswetten voor de golfmechanica (de Schrödinger- en Diracvergelijking, alsook het Pauli-principe) ontdekt waren. Samen met de wet van Coulomb (beter: de Maxwell-vergelijkingen), q 1 q F em = g em r1 ˆr 1, (6) konden de banen van de elektronen voor de eenvoudigste atomen (H, He) berekend worden. Weer volgde er een fantastische overeenstemming tussen de berekende energieën en de zeer precies gemeten spectra. De quantumelektrodynamica (QED) werd aan steeds stringentere tests onderworpen, en steeds volgde er dezelfde perfecte overeenstemming tussen experiment en de berekeningen (de relatieve nauwkeurigheid is op dit moment beter dan 10 7 ). Vanzelfsprekend wilde men, aangemoedigd door deze successen, ook in andere gebieden van de natuurkunde een vergelijkbare nauwkeurigheid bereiken. Eerst bij de berekening van kernen en de constituenten ervan (protonen en neutronen) en in een volgende stap, bij de synthese van het nucleon uit zijn basiselementen, de quarks. Deze wens is tot nu toe niet in vervulling gegaan, en in het verloop van dit college zullen we de redenen voor dat falen dienen na te gaan. In dit hoofdstuk proberen we een overzicht van alle in de natuur voorkomende krachten te geven. We zijn, door onze ervaring met de klassieke mechanica en elektrodynamica, gewend aan het idee dat krachten worden overgebracht van één lichaam op het andere, door een veld. Het begrip veld is slechts een hypothese - het veld is fictief, de kracht daarentegen is aantoonbaar. In de deeltjesfysica is het bijzonder nuttig om een ander concept in te voeren: het idee van deeltjesuitwisseling. Dit behelst dat bepaalde deeltjes ervoor zorgen dat bepaalde krachten worden overgedragen. Naast de zwaartekracht en de elektromagnetische wisselwerking zullen we - misschien verbazingwekkend - slechts twee nieuwe krachten hoeven in te voeren, namelijk de sterke wisselwerking en de zwakke wisselwerking Gedurende de laatste jaren was er regelmatig sprake van een zogenaamde vijfde kracht, die als een modificatie

18 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN 16 Nadat men wist dat een kern is samengesteld uit protonen en neutronen, drong zich de vraag op, waarom een kern, ondanks de geweldige elektrische afstoting tussen de positief geladen protonen, gebonden is. Klaarblijkelijk bestaat er een, voorlopig voor ons nog onbekende, wisselwerking die sterker is dan de elektromagnetische, en die men daarom de sterke wisselwerking of de kernkracht 15 noemt. Uit het β-verval van bepaalde kernen (bijvoorbeeld 3 H 3 He + e + ν e ) en later ook uit het verval van deeltjes (bijvoorbeeld µ e + ν e + ν µ ) kon het bestaan van nog een vierde kracht, de zogenaamde zwakke wisselwerking afgeleid worden. Deze kracht wordt door geheel andere eigenschappen gekarakteriseerd 16. In de onderstaande tabel worden enkele van de belangrijkste eigenschappen van de krachten vermeld. Table 4: Belangrijkste eigenschappen van krachten en de bijbehorende uitgewisselde deeltjes. Wisselwerking Sterkte Dracht Boson Massa Koppelt aan [ GeV/c ] El. magn 1/137 γ 0 Lading Zwakke m W ±, Z 0 80, 91 Quarks, lept. Gravitatie 5, Graviton 0 Massa Kernkracht 1 1, m π ±, enz. 0,135,.. Hadronen Sterke 1 Confinement 8 Gluonen 0 Quarks Tabel 4 laat zien dat de natuur is opgebouwd uit fermionen: quarks en leptonen; deeltjes met halftallige spin ( 1 ), die Fermi-Dirac statistiek volgen. De onderlinge wisselwerkingen van deze fermionen worden overgebracht door uitwisseling van andere deeltjes. Deze uitgewisselde deeltjes zijn bosonen, hebben heeltallige spin (0, 1, ) en gedragen zich daarom volgens de Bose-Einstein statistiek. Merk op dat neutrino s slechts voor één enkele wisselwerking gevoelig zijn, namelijk de zwakke wisselwerking, indien we aannemen dat hun massa nul is. Leptonen zijn niet gevoelig voor de sterke wisselwerking, zodat enkel de quarks alle wisselwerkingen ondergaan. In tabel 4 is de karakteristieke sterkte van de wisselwerking aangegeven met een dimensieloos getal. We zullen deze procedure toelichten aan de hand van de elektrostatische potentiaal. De potentiële energie van twee elementaire ladingen, die zich op een afstand r van elkaar bevinden, bedraagt U em = 1 q 1 q e ( 4πɛ 0 r 4πɛ 0 c ) c1 r = α em c 1 r. (8) van de gravitatiepotentiaal ingevoerd werd: V grav = g grav m 1m r 1 (1 αe r λ ). (7) Een heranalyse door Fischbach (1986) van de oude data van Eötvos resulteerde aanvankelijk in α en λ m. Fischbach s publicatie gaf aanleiding tot een serie nieuwe experimenten (waaronder zeer geraffineerde metingen met torsieslingers), die aanvankelijk ook aanwijzingen gaven voor het bestaan van zo n vijfde kracht met een middellange reikwijdte. Men is bezig met een nieuwe reeks zorgvuldige experimenten en de voorlopige resultaten duiden erop dat de effecten te verklaren zijn, zonder dat een additionele wisselwerking ingevoerd dient te worden. 15 Teneinde verwarring te voorkomen zullen we in het vervolg spreken over de kernkracht, als we de wisselwerking van baryonen en mesonen bedoelen en daarbij hun inwendige structuur, welke bij lage energieën niet van belang is, verwaarlozen. Daarentegen bedoelen we met de sterke wisselwerking die krachten, die tussen de quarks werkzaam zijn. 16 De zwakke wisselwerking schendt bijvoorbeeld, zoals we later nog uitvoerig zullen bespreken, de pariteit ofwel spiegelsymmetrie.

19 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN 17 We vinden dan α em = e 4πɛ 0 c = 1 137, 036, (9) waarbij de constante van Planck is (gedeeld door π) en c de lichtsnelheid. c = MeV fm. Analoog vinden we voor de gravitatie van twee protonen de energie waarbij U grav = g grav m 1 m r Merk op dat g grav m p c c1 r = α grav c 1 r, (10) α grav = g grav m p c = 5, (11) Voor zowel de zwakke wisselwerking, α F = , als de sterke wisselwerking, α S = 0, 07 14, zijn in de literatuur ook andere normeringen gebruikelijk. Figuur 1: Grafisch overzicht van de elementaire bouwstenen (fermionen) en deeltjes die wisselwerkingen realiseren (bosonen) in het Standaard Model van de deeltjesfysica. Fig. 1 toont de bouwstenen van het Standaard Model van de deeltjesfysica: leptonen en quarks. De bouwstenen zijn georganiseerd in drie generaties. Verder worden de bosonen getoond die verantwoordelijk zijn voor de verschillende wisselwerkingen, samen met het Higgs-deeltje dat verantwoordelijk is voor elektrozwakke symmetriebreking. Door het uitvoeren van nucleon-nucleon verstrooiingsexperimenten heeft men vastgesteld dat de kernkracht een eindige dracht heeft (λ 1, 4 fm). In de eenvoudigste benadering (en met

20 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN 18 verwaarlozing van alle spineffecten) kan de kernkracht gevonden worden uit U kern α S c 1 r e r λ. (1) De Japanse fysicus Hideki Yukawa heeft reeds in 1935 de suggestie gedaan, dat deze kracht overgebracht kan worden door uitwisseling van deeltjes met een rustenergie van mc = c λ 140 MeV. (13) Daadwerkelijk werden deze deeltjes dan ook 17 in 1947 door Cecil Powell, hij werkte in laboratoria in het hoogggebergte (o.a. in de Andes op 5000 m hoogte), via sporen in fotografische emulsies gebruikt in kosmische stralingsexperimenten aangetoond. Het gaat hier om de drie pionen, π +, π (genoteerd als π ± ) en π 0. Een exacte afleiding van het verband tussen de vorm van de Yukawa-potentiaal en de massa van het uitgewisselde deeltje kan pas later gegeven worden. We beperken ons hier tot een heuristisch argument: Indien een uitwisselingsdeeltje met een van nul verschillende massa door een nucleon geëmitteerd wordt, bijvoorbeeld m π, dan gaat dit altijd gepaard met het schenden van de wet van behoud van energie. Deze energie, m π c, mag door het nucleon geleend worden, mits het wordt terugbetaald binnen een tijd t 18. De onzekerheidsrelatie laat zulks toe voor een beperkte tijdsduur t, waarbij E t = m π c t. (14) In deze tijd kan het deeltje hooguit een afstand λ = c t c m π c (15) afleggen, en die kan worden geïnterpreteerd als de dracht van de desbetreffende kracht. We zijn er nu aan gewend dat de krachtwetten voor gravitatie 19 en de elektromagnetische wisselwerking er zeer eenvoudig uitzien. Dit is echter geenszins het geval voor de kernkracht. Integendeel, deze krachtwet is zeer gecompliceerd. We zullen er enkele aspecten uitlichten. 1. De radiële afhankelijkheid is ingewikkeld en kan in ruwe benadering beschreven worden door een superpositie van verschillende Yukawa-potentialen. De reden van de ingewikkelde radiële afhankelijkheid is het feit dat er verschillende mesonen bestaan, die elk een bijdrage tot de nucleon-nucleon wisselwerking geven.. Er zijn oneindig veel deelprocessen, die in een exacte berekening allemaal meegenomen dienen te worden. In QED convergeert de bijbehorende reeks, omdat de koppelingsconstante (α em 1/137) klein is. Dat is echter niet het geval in de kernfysica (α S 1). In dat geval is uitwisseling van één pion even waarschijnlijk als uitwisseling van N pionen. 3. De interactiepotentiaal is niet centraal, maar bevat diverse componenten die van de spin afhangen. Van belang zijn de spin-spin koppeling, de spin-baan koppeling en de tensorinteractie. 17 Na enkele dwalingen, want aanvankelijk werden in 1937 muonen ontdekt door Carl Anderson en Neddermayer in experimenten met kosmische straling. Muonen hebben echter totaal niets te maken met de sterke wisselwerking. 18 Omdat de energie op tijd teruggegeven dient te worden, de wet van behoud van energie is immers geschonden, noemt men zo n deeltje een virtueel deeltje. Het kan experimenteel niet worden waargenomen. 19 Uiteraard hebben we het nu niet over de complicaties die voortvloeien uit de algemene relativiteitstheorie.

21 1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN De interactie is bijzonder slecht bekend voor kleine afstanden tussen de nucleonen (r < 1 fm). Vermoedelijk dienen ook niet-lokale componenten in rekening gebracht te worden. 5. Er zijn aanwijzingen voor het bestaan van meer-deeltjes krachten. Dit betekent dat de wisselwerking tussen twee nucleonen verandert, als er nog een derde (of meer) hadron in het interactiegebied gebracht wordt. De grootte van deze meer-deeltjes kracht is nog onbekend en wordt daarom op dit moment in veel experimenten met drie-nucleon systemen onderzocht. We verbazen ons tegenwoordig niet meer over deze gecompliceerde vorm van de nucleon-nucleon interactie. We weten immers dat de nucleonen en mesonen zelf een inwendige structuur hebben en uit meerdere deeltjes (de quarks, antiquarks en gluonen) zijn samengesteld. De kernkracht is terug te voeren tot de onderliggende sterke wisselwerking, die de quarks (en antiquarks) door middel van gluonen samenbindt. De potentiaal tussen een quark en een antiquark, die samen een meson vormen, bevat twee termen, V (r) 4 α S 3 r + λr. (16) In een zeer vereenvoudigde voorstelling komt de eerste term overeen met de verwachte bijdrage van de uitgewisselde massaloze gluonen, terwijl de tweede term (de zogenaamde confinement term) ermee te maken heeft dat de quarks (vanwege hun kleur) zich niet uit het hadron kunnen vrijmaken. Als het ware zijn ze in een kleurloze wereld veroordeeld tot eeuwige opsluiting. Veel fysici hebben, ondanks tientallen jaren van frustratie, de hoop niet opgegeven, dat alle vier de wisselwerkingen zich uiteindelijk zullen laten verenigen in één enkele theorie. Als dat lukt leidt dat tot unificatie van alle interacties, waarbij alle krachten manifestaties zijn van verschillende aspecten van slechts één enkele interactie. Tot nu toe is dat wel gelukt met de zwakke en de elektromagnetische wisselwerking. Het zogenaamde Standaard Model van de elektrozwakke interactie van Glashow, Salam en Weinberg (1961) laat bijvoorbeeld toe het β-verval van deeltjes en kernen te begrijpen en met goede nauwkeurigheid te berekenen. Hetzelfde model beschrijft ook de zogenaamde neutrale stromen en de creatie van de intermediare vectorbosonen van de zwakke wisselwerking bij elektron-positron botsers. Tenslotte, merken we nog op dat de gravitatiekracht dermate zwak is (α grav ), dat ze in de kern- en deeltjesfysica tot nu toe geen rol schijnt te spelen. We zullen haar dan ook in het vervolg verwaarlozen. Het uitwisselingsdeeltje is het nog niet experimenteel aangetoonde graviton, een deeltje met spin. 1.5 Beschrijven van deeltjesinteracties met Feynmandiagrammen Quantumveldentheorie Als we de processen in de subatomaire fysica willen beschrijven dan dienen we hiervoor quantumveldentheorie te gebruiken. Dit is een quantummechanische theorie die processen kan beschrijven waarbij deeltjes, beschouwd als quanta van een veld, ontstaan of verdwijnen. Het veld is een complexe functie van ruimte-tijd coördinaten en beschrijft de toestand van het systeem. De beschrijving wordt in overeenstemming gebracht met de eisen van de quantummechanica door het veld te quantiseren. Paul Dirac was de eerste fysicus die erin slaagde (in 197) een gequantiseerde veldentheorie op te stellen. Deze theorie beschreef de emissie en absorptie van fotonen en luidde het begin in van de ontwikkeling van de relativistische quantumelektrodynamica (QED). Dat de speciale relativiteitstheorie een essentiële rol speelt is duidelijk, omdat deeltjes gecreëerd en geannihileerd