TEKENEN IN PERSPECTIEF P.W.H. Lemmens, november 2002, revisie maart 2005
|
|
- Hans de Haan
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TEKENEN IN PERSPECTIEF P.W.H. Lemmens, november 2002, revisie maart 2005 We stellen ons voor dat we een tekening maken van wat we zien door de ruimte (3- dimensionaal) af te beelden op een plat vlak (het 2-dimensionale tekenscherm) via een centrale projectie. We nemen een centrum van perspectiviteit, meestal één oog dat een vaste positie heeft, en trekken vanuit dat centrum een lijn naar een punt x in de ruimte. Het snijpunt van deze lijn met het tekenscherm is het beeld P (x) van x. Een concrete situatie in R 3 is bijvoorbeeld: Het oog in (0, 0, 0) en het tekenscherm is het vlak (ξ, a, ζ), waarin a een positieve constante is. In deze situatie wordt het punt (ξ, η, ζ) afgebeeld op α (ξ, η, ζ), met α zo dat α η = a, dus α = a/η, zodat P ((ξ, η, ζ)) = (a ξ/η, a, a ζ/η). Hiermee kunnen we door berekening van elk punt (ξ, η, ζ) met η 0 het beeldpunt bepalen. Alleen punten met η = 0 hebben geen beeldpunt. In werkelijkheid kijkt de tekenaar alleen vooruit, dus hij tekent alleen de beelden van punten met η > 0. Bovendien is het schilderij begrensd, maar ook daarmee kan rekening worden gehouden. Op basis van deze beschrijving kunnen we bijvoorbeeld een computerprogramma maken dat ingewikkelde situaties perspectivisch tekent (denk aan een wenteltrap). Een aantal nuttige regels voor perspectivische tekeningen maakt het mogelijk om constructies uit te voeren zonder berekening. Noem E 0 het vlak door het centrum, evenwijdig aan het tekenscherm. - Het beeld van een rechte lijn die niet door het centrum gaat en niet in E 0 ligt, is weer een rechte lijn. - Als een rechte lijn een snijpunt heeft met het tekenscherm, dan gaat het beeld van die lijn door dat snijpunt. - Het beeld van een rechte lijn die door het centrum gaat en niet in E 0 ligt, is één punt. Dit punt is het snijpunt van die lijn met het tekenscherm. - Een rechte lijn die in E 0 ligt, kan niet worden afgebeeld. In het volgende bekijken we, tenzij uitdrukkelijk anders vermeld, alleen lijnen die niet door het centrum gaan en niet in E 0 liggen. - Evenwijdige lijnen die evenwijdig zijn aan het tekenscherm worden afgebeeld op evenwijdige lijnen. 1
2 - Evenwijdige lijnen die niet evenwijdig zijn aan het tekenscherm worden afgebeeld op lijnen die alle door één punt gaan. Dat punt heet het verdwijnpunt van die lijnen. Dit verdwijnpunt is het snijpunt van het tekenscherm en de unieke evenwijdige lijn door het centrum. - Eventuele verdwijnpunten van lijnen in één vlak liggen op één lijn in het tekenscherm. Deze lijn heet de verdwijnlijn of horizon van dat vlak. Het is de snijlijn van het tekenscherm en het unieke evenwijdige vlak door het centrum. - Evenwijdige vlakken, niet evenwijdig aan het tekenscherm, hebben dezelfde horizon. Als voorbeeld zien we in onderstaande schets twee evenwijdige lijnen m 1 en m 2 met beeldlijnen m 1 en m 2 en verdwijnpunt V. De horizon h van het vlak door m 1 en m 2 loopt evenwijdig (op het tekenscherm) aan de lijn door de snijpunten van m 1 en m 2 met het tekenscherm. h m 1 m 2 V m 1 m. 2 We bespreken nu een paar veelgebruikte constructies. Daarbij maken we gebruik van bekende constructies in de Euclidische vlakke meetkunde met snijdende en evenwijdige lijnen. We geven hiervan twee voorbeelden. Stelling 1. Zijn A, B, C punten op een lijn en X, Y, Z punten op een andere evenwijdige lijn, en gaan de lijnen van AX, BY, CZ door één punt S, dan geldt voor de verhouding van de afstanden dat AB : BC = XY : Y Z en AS : BS : CS = XS : Y S : ZS. 2
3 A X B Y S Z C (figuur stelling 1) Stelling 2. Zijn A, B, C, S punten op een lijn en X, Y, Z punten op een andere lijn door S, en zijn de lijnen van AX, BY, CZ evenwijdig, dan geldt voor de verhouding van de afstanden dat AS : BS : CS = XS : Y S : ZS. Ook gelden andere evenredigheden, zoals AB : BC = XY : Y Z. A B C S Z Y X (figuur stelling 2) De tegelvloer of tegelwand. Bij een vloer die betegeld is met parallellogram-vormige, even grote tegels (vaak rechthoeken of vierkanten) zijn de randen van de tegels paarsgewijs evenwijdig, en ook de diagonalen zijn paarsgewijs evenwijdig. Zo hebben we dus vier stelsels van onderling evenwijdige lijnen. Bovendien liggen deze lijnen allemaal in hetzelfde vlak. In het tekenscherm liggen de vier verdwijnpunten dus op de horizon van dat vlak, of de lijnen van een van de stelsels lopen evenwijdig aan die horizon. Aan het beeld van één tegel en de horizon hebben we genoeg om het beeld van de hele tegelvloer te kunnen tekenen. In de volgende constructies zullen we punten en lijnen in het tekenscherm voorzien van een accent. Komen X en X beide voor, dan is X het beeld van X. Het verdelen van een lijnstuk AB in q gelijke delen. Heeft de lijn van AB geen verdwijnpunt, dan is AB evenwijdig aan het tekenscherm, en 3
4 kunnen we ook in het tekenscherm de deelpunten op gelijke afstand nemen. Dit volgt uit stelling 1. Als de lijn van AB verdwijnpunt V heeft, dan moeten we onze toevlucht nemen tot een hulpconstructie. Trek een lijn m door A, en denk dat die het beeld is van een lijn m door A en evenwijdig aan het tekenscherm. Noem A nu A 0. Zet op m vanuit A 0 punten A 1, A 2,..., A q af zo dat elk tweetal opvolgenden dezelfde afstand (in het tekenscherm) heeft. De lijnen m en AB liggen in één vlak, en omdat m geen verdwijnpunt heeft loopt de horizon h van dat vlak in het tekenscherm evenwijdig aan m en gaat door V. Bepaal het snijpunt S van B A q met h en trek de lijnen S A i (i = 1,..., q 1). Hun snijpunten met A B zijn de gewenste deelpunten op A B. In feite tekenen we dus het beeld van een speciale situatie van stelling 2. Er zijn veel manieren om een lijnstuk in gelijke delen te verdelen. Zo kunnen we ook gebruik maken van een betegelde hulpwand. Het bepalen van het midden M van een lijnstuk AB. Dit kan gebeuren op bovenstaande manier, met q = 2, maar er is ook een andere manier om dit te doen. Denk het lijnstuk als een zijde van een parallellogram ABCD dat afgebeeld wordt. Een belangrijke eigenschap van een parallellogram is dat de diagonalen AC en BD elkaar snijden in hun middens S, en dat een lijn door S evenwijdig aan AD het lijnstuk AB in het midden (dus in M) snijdt. Dit is een toepassing van stelling 2. We beschrijven de constructie voor het geval dat de lijn door A en B verdwijnpunt V heeft. Neem een punt W en trek de lijnen W A en W B. Denk dat W het verdwijnpunt van twee evenwijdige lijnen door A en B is. Trek een lijn door V die W A en W B snijdt. Noem die snijpunten respectievelijk D en C. Dan is A B C D het beeld van een parallellogram (waarom?), en het beeld van het snijpunt van de diagonalen is het snijpunt S van A C en B D. De lijn door W en S snijdt A B in het beeld van het midden van AB (in het tekenscherm is dat niet het midden). Valkuilen. Lijnen die evenwijdig worden afgebeeld, hoeven in werkelijkheid niet evenwijdig te zijn. Objecten die in de tekening een samenhangend geheel vormen, hoeven in werkelijkheid niet samenhangend te zijn. 4
5 Literatuur. Martin Kindt, Lessen in Projectieve Meetkunde. Epsilon Uitgaven nr. 26 (1993) Agnes Verweij en Martin Kindt, Perspectiviteit, hoe moet je dat zien? Zebrareeks nr. 2, Epsilon Uitgaven (2001) Jan Vredeman de Vries, Perspective. Dover Publications (1968) 5
Afsluitende Opdrachten
Afsluitende Opdrachten A Scheve lijnen We weten hoe we het perspectiefbeeld op het tafereel moeten tekenen van een horizontale lijn. Hoe zit dat als de lijn niet horizontaal is? Daarover gaat deze opdracht.
Nadere informatieTweepuntsperspectief I
1 G Tweepuntsperspectief I 1. We verlaten even het perspectief en bekijken een vierkant ABCD op ware grootte. M is het middelpunt van het vierkant. PQ is een horizontale lijn door M. Zeg dat P en Q de
Nadere informatieDraaistrekking en negenpuntscirkel
Draaistrekking en negenpuntscirkel [ Dick Klingens ] Vooraf In twee al enige tijd geleden verschenen nummers van Euclides schrijft Wim Pijls over Gelijkvormigheid (zie [e]). In de tweede aflevering stelt
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatiePascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatieEXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde)
EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde). (4 p) Geef drie verschillende mogelijkheden waardoor in de driedimensionale ruimte een rechte bepaald is? 2. (6 p) Wanneer zijn de snijlijnen
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatie1 Introductie. 2 Oppervlakteformules
Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie
Nadere informatieWiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
Nadere informatieWerkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken
Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Doel Het construeren van bijzondere vierhoeken: parallellogram, ruit, vierkant. Constructies 1. Parallellogram (eerste constructie) We herhalen
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieHoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales
Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatieVIERHOEKEN IN PERSPECTIEF
PERSPECTIEFTEKENEN AFLEVERING 3 Het perspectieftekenen is deze jaargang een thema in Pythagoras. In de vorige afleveringen (november en februari) heb je kunnen lezen over evenwijdige lijnen en over afstanden
Nadere informatie1 Cartesische coördinaten
Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatie1 Coördinaten in het vlak
Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem
Nadere informatieEen bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek
Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige
Nadere informatieHoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)
- 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatie2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.
1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen
Nadere informatieCabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's
Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven
Nadere informatieStelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2
Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door
Nadere informatieHoofdstuk 2: Kijken. Vraag 2 a) Zevende traptrede van onderen. b) Eén optrede is ongeveer 20 cm, dus het oog was ongeveer 140 cm boven de vloer.
1 Hoofdstuk 2: Kijken Vraag 1 a) Op de hoogte van de horizon. Ongeveer op de hoogte van de vierde rij ramen van het rechter gebouw. b) Ongeveer 4 etages van 3 meter = 12 meter. De pilaar van het rechter
Nadere informatieTEKENEN MET EEN DRIELUIK
PERSPECTIEFTEKENEN AFLEVERING 1 Evenwijdige lijnen worden op een foto zelden evenwijdig afgebeeld. Wat zit hier achter? Kunnen we begrijpen wat er op een foto met evenwijdige lijnen gebeurt? Het blijkt
Nadere informatieHerhalingsles 3 Meetkunde Weeroefeningen
HB13 Herhalingsles 3 Meetkunde Weeroefeningen 1 MK 1 Help Weeroefeningen de kunstenaar bij het versieren van zijn schilderij Kleur alle vierkanten geel Kleur alle rechthoeken die geen vierkant zijn rood
Nadere informatie8.0 Voorkennis. a De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren.
8.0 Voorkennis De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren. 4 OA a 2 en AB 2 1 Het bovenste kengetal geeft aan hoeveel de vector naar links of rechts gaat. Het onderste
Nadere informatieScheve projectie. DICK KLINGENS ( adres: Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) oktober 2008
Scheve projectie DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) oktober 2008 1. Afbeelden Om een juiste indruk (afdruk, of een juist beeld) van 3-dimensionale
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 99-99 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination
Nadere informatieAtheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht
Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...
Nadere informatieVl. M. Nadruk verboden 1
Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieBRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN
BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN Brugpakket 8: Vlakke figuren 1 Vlakke figuren 1.1 Vlakke figuren: Veelhoeken en niet-veelhoeken Een veelhoek is enkel begrensd door rechte lijnen. OEFENING Zet een kruisje
Nadere informatieLineaire algebra en analytische meetkunde
Lineaire algebra en analytische meetkunde John Val August 1, 11 Inhoud 1 Projectieve meetkunde 1 i Inhoud 1 Projectieve meetkunde Figure 1: De blik op oneindig Snijden de spoorstaven? Een vloer van gelijke
Nadere informatieCEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Nadere informatieVoorkennis meetkunde (tweede graad)
Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige
Nadere informatieSpelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Nadere informatieOver het Monge-punt van een viervlak
Over het Monge-punt van een viervlak Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel september 2005 Inleiding Het is mogelijk door elke ribbe van een viervlak een vlak aan te brengen evenwijdig
Nadere informatieBASIS-COLLEGE KUNSTACADEMIE
BASIS-COLLEGE KUNSTACADEMIE BASIS-COLLEGE KUNSTACADEMIE STUDIEJAAR 1 Pagina 1 BASIS-COLLEGE KUNSTACADEMIE VERSIE 1:4 De heipalen onder uw kunst studie COLLEGE 005 Perspectief BY ADRIAN POKE BASIS-COLLEGE
Nadere informatiede Wageningse Methode Antwoorden H20 COÖRDINATEN VWO 1
Hoofdstuk 0 COÖRDINATEN VWO 0.0 INTRO abd c 3 OL, 0 NB 0. HET PLATTE VLAK 6 a A(-3,) ; B(,4) ; C(-,) ; D(,0) ; E(0,-3) ; F(-6,-4) ; G(6,-4) b cd 0. DE WERELD IN KAART 3 B 4 abc e d 90 NB de Wageningse
Nadere informatie5 abd. 6 a A(-3,5) ; B(2,4) ; C(-2,2) ; D(5,0) ; E(0,-3) ; F(-6,-4) ; G(6,-4) b
Hoofdstuk 0 COÖRDINATEN VWO 0.0 INTRO abd c 3 OL, 0 NB 0. HET PLATTE VLAK 6 a A(-3,) ; B(,4) ; C(-,) ; D(,0) ; E(0,-3) ; F(-6,-4) ; G(6,-4) b cd 0. DE WERELD IN KAART 3 B 4 abc e d 90 NB de Wageningse
Nadere informatie8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.
Nadere informatieHoofdstuk 5 : De driehoek
Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als
Nadere informatieOpgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Nadere informatie5.1 Punten, lijnen en vlakken [1]
5.1 Punten, lijnen en vlakken [1] Snijdende lijnen hebben een snijpunt. De snijdende lijnen FH en EG liggen in het vlak EFGH. Snijdende lijnen liggen altijd in één vlak. Een vlak is altijd plat en heeft
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,
Nadere informatieHoofdstuk 2: Kijken. Vraag 2 a) Zevende traptrede van onderen. b) Eén optrede is ongeveer 20 cm, dus het oog was ongeveer 140 cm boven de vloer.
1 Hoofdstuk 2: Kijken Vraag 1 a) Op de hoogte van de horizon. Ongeveer op de hoogte van de vierde rij ramen van het rechter gebouw. b) Ongeveer 4 etages van 3 meter = 12 meter. De pilaar van het rechter
Nadere informatieCabri-werkblad Negenpuntscirkel
Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.
Nadere informatie6 Ligging. Verkennen. Uitleg
6 Ligging Verkennen Ligging Inleiding Verkennen Door in de applet het assenstelsel te draaien kun je nagaan of twee lijnen een snijpunt hebben. Je kunt ook andere lijnen proberen door de punten A, B, C
Nadere informatie7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen
7 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp "Vectormeetkunde" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet
Nadere informatieHoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieVlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieGEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de tweede graad. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de tweede graad R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com GeoGebra in de tweede graad Roger
Nadere informatieWiskunde D-dag Vrijeschool Zutphen VO donderdag 18 februari, 12:30u 16:30u. Aan de gang
Wiskunde D-dag 2016 Vrijeschool Zutphen VO donderdag 18 februari, 12:30u 16:30u Aan de gang Verkenning 1 piano Je moet een zware piano verschuiven door een 1 meter brede gang met een rechte hoek er in.
Nadere informatiePQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP
OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is
Nadere informatieEen andere dimensie van GeoGebra Andre Heck (Universiteit van Amsterdam), Nationale Wiskunde Dagen 2019
Een andere dimensie van GeoGebra Andre Heck (Universiteit van Amsterdam), A.J.P.Heck@uva.nl Nationale Wiskunde Dagen 2019 Nationale Wiskunde Dagen 2019 Een andere dimensie van GeoGebra 1 / 36 Overzicht
Nadere informatieDiagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =
P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat
Nadere informatieThema 02 a: Meetkunde 1 vmbo-b12. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/56945
Auteur VO-content Laatst gewijzigd 24 mei 2016 Licentie CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie Webadres https://maken.wikiwijs.nl/56945 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs Maken van
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieCabri-werkblad Projectieve meetkunde: enkele eerste stappen
Cabri-werkblad Projectieve meetkunde: enkele eerste stappen 1. Inleiding In de vlakke meetkunde (en dus ook in Cabri) wordt veelvuldig gebruik gemaakt van zogenoemde afbeeldingen. Dat zijn in het algemeen
Nadere informatieEen bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.
Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van
Nadere informatieDan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Nadere informatieWerkblad Cabri Jr. Het parallellogram
Werkblad Cabri Jr. Het parallellogram Doel Constructie van een parallellogram op basis van puntspiegelingen. We introduceren daartoe allereerst het begrip puntspiegeling. Vervolgens bekijken we de Cabri
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig
Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.
Nadere informatieDe hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry
De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde
Nadere informatieHoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN
1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.
Nadere informatie1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg
1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatie1 Het midden van een lijnstuk
Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de
Nadere informatieDe arbelos. 1 Definitie
De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.
Nadere informatieRECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want
ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de
Nadere informatieWillem-Jan van der Zanden
Enkele praktische zaken: Altijd meenemen een schrift met ruitjespapier (1 cm of 0,5 cm) of losse blaadjes in een map. Bij voorkeur een groot schrift (A4); Geodriehoek: Deze kun je kopen in de winkel. Koop
Nadere informatieExtra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde. Transformaties en Stelling van Thales.
Etra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde Transformaties en Stelling van Thales.. Waar of niet waar? a. Het beeld van een rechte door de projectie op
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39. Het construeren van figuren
Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39 20,1. De cirkel Het construeren van figuren Een cirkel of cirkelomtrek is een gesloten kromme lijn, waarvan alle punten in hetzelfde vlak liggen en even ver
Nadere informatieNeem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].
Met a en b als middelpunt en met straal groter dan de helft van [ab] trekt men met dezelfde straal twee cirkelbogen, die elkaar snijden in c en d; cd is de middelloodlijn en m het midden van [ab] Neem
Nadere informatieEllips-constructies met Cabri
Ellips-constructies met Cabri 0. Inleiding De meest gebruikte definitie van de ellips luidt: Een ellips is de verzameling van punten () waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (F 1 en F,
Nadere informatieGriekenland DE DRIEDELING VAN EEN HOEK
Griekenland Zoals Berlinghoff schrijft, was de Griekse wiskunde sterk op de meetkunde gericht. We zullen daarom vooral naar de meetkunde kijken. Eerst zullen we twee van de drie klassieke problemen (Berlinghoff
Nadere informatieUitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 4.4.1 Basis Lijnen en hoeken 1 Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit: 4 3 2 1 l k -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 n m -4 - Hieruit volgt: a Lijn k en
Nadere informatieSAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN
II - 1 HOODSTUK SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN Snijdende (of samenlopende) krachten zijn krachten waarvan de werklijnen door één punt gaan..1. Resultante van twee snijdende krachten Het
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatieElementaire Meetkunde aanvullingen en errata
Laatste update: 5 april 09 Elementaire Meetkunde aanvullingen en errata Hoofdstuk De stelling bovenaan bladz. 308 heeft niet nummer.7.5 maar.7.4 versie. Vervang in de laatste zin van.8. 'vierhoek ABCP'
Nadere informatieOEFENTOETS VWO B DEEL 3
OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is
Nadere informatie7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.
7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Junior Wiskunde Olympiade 008-009: tweede ronde ( 7) = (A) 7 (B) 7 (C) 7 of + 7 (D) 7 (E) onbepaald Beschouw de rij opeenvolgende natuurlijke getallen beginnend met en eindigend met Wat is het middelste
Nadere informatieH20 COÖRDINATEN de Wageningse Methode 1
H0 COÖRDINATEN abd 0.0 INTRO c 3 OL, 0 NB 0. HET PLATTE VLAK 6 a A(-3,) ; B(,4) ; C(-,) ; D(,0) ; E(0,-3) ; F(-6,-4) ; G(6,-4) b 0. DE WERELD IN KAART cd 3 B 4 abc d 90 NB H0 COÖRDINATEN de Wageningse
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieVoorplaat Het holocaust monument in Berlin, ter nagedachtenis van de in de tweede wereldoorlog vermoorde Joden
Inhoudsopgave 1 Een kijkdoos 3 2 Kijken 4 3 Perspectief of niet 8 4 Tekenen in perspectief 14 5 Eenpuntsperspectief 25 6 Tweepuntsperspectief 31 Voorplaat Het holocaust monument in Berlin, ter nagedachtenis
Nadere informatie