THERMODYNAMICA 2 (WB1224) Elke opgave moet op een afzonderlijk blad worden ingeleverd.

Transcriptie

1 THERMODYNAMICA 2 (WB1224) 8 april u. AANWIJZINGEN Het tentamen bestaat uit drie open vragen op 10 bladzijden. Het tentamen is een GESLOTEN BOEK tentamen. Dit betekent dat tijdens het tentamen uitsluitend het uitgereikte formuleblad mag worden geraadpleegd. Gebruik van aantekeningen of andere hulpmiddelen (zoals een eigen formuleblad) is niet toegestaan. Gebruik van een (niet programmeerbaar) rekenapparaat is wel toegestaan. Elke opgave moet op een afzonderlijk blad worden ingeleverd. Zorg er voor dat het ingeleverde werk (elk blad afzonderlijk) is voorzien van naam en studienummer. Zorg ervoor dat bij het inleveren alle bladen in elkaar zijn gevouwen. Gebruik bij het beantwoorden van de vragen een zwarte of blauwe pen. Het gebruik van een rode pen en/of potlood is niet toegestaan. Geef bij het beantwoorden van de vragen zo duidelijk mogelijk aan hoe het antwoord is verkregen: laat zien welke relaties zijn gebruikt en waar deze relaties op zijn gebaseerd. Vermeld bij de uitkomsten de eenheden en kijk of de gevonden waarden realistisch zijn. Zo niet, geef aan waarom. 1

2 OPGAVE 1 Stikstof komt een turbine binnen bij 100bar en 300K en komt de turbine uit bij 40bar en 245K. Er vindt geen warmteuitwisseling plaats met de omgeving. Bereken de geleverde arbeid in kj/kg en de entropieproductie in kj/(kg K) met behulp van de volgende gegevens: Stikstof kan niet worden beschouwd als een ideaal gas. Voor de afwijking van ideaal gasgedrag kunt u gebruik maken van de bijgevoegde departure grafieken. Voor stikstof zijn de volgende gegevens bekend: T c =126K, p c =33.9 bar, molmassa 28 gram/mol. Bij lage druk is de c p van stikstof gelijk aan 28 J mol -1 K -1 en deze waarde is niet afhankelijk van de temperatuur. 2

3 OPGAVE 2 1 mol gasvormig argon ondergaat een volumeverandering van volume V 1 naar volume V 2, die reversibel en adiabatisch wordt uitgevoerd. Van dit proces willen we graag de temperatuursverandering ΔT=T 2 -T 1 weten. Argon kan niet worden beschouwd als een ideaal gas. (a) Laat zien dat uit de 2 e hoofdwet van de thermodynamica volgt dat dit een proces is bij constante entropie. (b) Naar welke partiële afgeleide moeten we op zoek gaan op de temperatuursverandering te kunnen berekenen? Het verband tussen druk p, molair volume v en temperatuur T van gasvormig argon kan worden beschreven met de toestandsvergelijking van van der Waals a p 2 vb RT v Hierin geldt dat b<v. (c) Laat zien dat de soortelijke warmte bij constante volume (c v ) van gasvormig argon niet afhangt van het volume. (d) Leid een formule af voor de temperatuursverandering ΔT=T 2 -T 1 van bovengenoemd proces, indien verondersteld kan worden dat de soortelijke warmte van argon bij constant volume een lineaire functie is van de temperatuur, dat wil zeggen c v =a+bt waarin a en b constanten zijn. Hint: denk aan de min-1 regel. 3

4 OPGAVE 3 Given the configuration for a solar power plant based on the regenerated supercritical CO 2 Brayton cycle as in figure 1 and the following data: Working fluid CO 2 (molar mass: 44 g/mol) Compressor inlet temperature 37 C Compressor inlet pressure 77 bar Compression (expansion ratio) 2.3 Compressor isentropic efficiency 0.82 Turbine inlet temperature 650 C Turbine isentropic efficiency 0.87 Regenerator Temperature difference hot streams (T 5 - T 3 ) 40 C Regenerator Temperature difference cold streams (T 6 - T 2 ) 30 C Net Electrical Power output W 25 MW e Environment for exergy calculations T 20 C ; P bar 0 0 Figure 1: process flow diagram of the solar power plant 4

5 Questions: (a) In a T-s diagram of CO 2, draw the saturated vapor-liquid line and the thermodynamic cycle, indicating the processes forming the cycle (compression, regenerator-heating, solar heating, expansion, regenerator-cooling, cooling). Note that the critical values for pressure and temperature of CO 2 are P bar, T C cr cr (b) Calculate the values of P, T, h, s for all the state points of the thermodynamic cycle (1, 2, 3, 4, 5, 6) using the polytropic ideal gas thermodynamic model (constant isobaric specific heat C along each thermodynamic process) with: P C 3,98 kj/ kg K C 0,98 kj/ kg K C C v Cv Cv C P,1-2,1-2 1,62 kj/ kg K 0,97 kj/ kg K P,234,2 3 4 C 1,23 kj/ kg K 1,01 kj/ kg K P,45,4 5 2,66 kj/ kg K 0,95 kj/ kg K P,561 v,561 (c) Using the values previously calculated with the polytropic ideal gas thermodynamic model, make a table like the one below and fill in the missing values. State CO 2 properties P T h s (d) Calculate the mechanical power consumption of the compressor exchanged in the regenerator Q reg W, the thermal power input Q W comp, the thermal power solar input, the mechanical power produced by the turbine and the thermal efficiency (I-law efficiency) of the turb system using the data from the table you produced in question c. (e) Calculate the exergy losses occurring in the regenerator and in the turbine using the thermodynamic data from the table you produced in question c. 5

6 Formuleblad Thermodynamica 2 Ideale Gaswet pv nrt en dus pv RT Constantes R Jmol K N AV moleculen/mol 1 ste HW gesloten system du Q W V2 Reversibele arbeid W pdv V1 1 ste 2 2 de CV c 2 c 1 HW open systeem Q CV W CV m2h2 gz2m1h 1 gz1 dt 2 2. Hierin wordt de uitgaande stroom aangeduid met 2 en de ingaande stroom met 1. 2 de Q HW gesloten systeem ds S met S 0 T 2 de dscv Q CV HW open system ms 2 2ms 1 1 CV met CV 0 waarbij het warmtetransport trans dt T trans plaatsvindt bij temperatuur T Thermodynamische potentialen H U pv A F U TS G U TS pv Veranderingen van U, H, F, G du TdS pdv dn dh TdS Vdp dn df SdT pdv dn dg SdT Vdp dn Partiële afgeleiden voor f(x,y) f f f f df dx dy Mdx Ndy dus M en N x y y xy y x Maxwell relatie voor f(x,y) M N f f Indien df Mdx Ndy dan oftewel y x y xy y xy Integreren x2 f f x2, y1 f x1, y1 dx x x y 1 Min 1 regel x z y 1 y xyzx z x x y x x 6

7 Definitie warmtecapaciteit U S H S CV T en C T T T T T p V, N V, N P, N P, N Departure Gibbs energy IG p f Z( p) 1 ln ln dp p RT p Clapeyron equation dp sg sf hg hf dt v v T v v sat g f g f Clausius-Clapeyron equation dln P hg hf 2 dt RT sat Carnot efficiency TL Carnot 1 T H 0 Thermal power cycle efficiency (I-law efficiency) Wnet th Q in Isentropic process for an ideal gas T P v C met T1 P1 v1 C Entropy change of an ideal gas with temperature and pressure T p st ( 2, p2) st ( 1, p1) cp ln Rln T p P v Isentropic efficiencies for compression and expansion h1 h h 2 2, is h1 is, exp, is, compr h h h h 1 2, is 2 1 COP (coefficient of performance) QC TC QH TH COPcooling, COPheating Q Q T T Q Q T T H C H C H C H C 7

8 Exergy: specific flow exergy and balances 2 v ex f h h0 gz T0s s0 2 dex T 0 Ex,1 Ex,2 ( h0 T0 s0 )( M 1 M 2 ) 1 Q W Ex dt Tb f f d T M ex ex 1 Q W Ex 0 f,1 f,2 d Tb 8

9 9

10 10

11

12

13

14 Solution of Exercise #3 A very similar exercise has been worked out during lecture and is available on slide 30 of Part 10. In that case an accurate model for CO 2 has been used. In this case the polytropic ideal gas model must be employed for simplicity. The polytropic ideal gas model is given by Pv = RT and C P (or C v ) = const. (within a temperature interval). The polytropic ideal gas model leads to large errors in the calculation of thermodynamic properties of fluids, if applied to states in the vicinity of the vapor liquid critical point, which is the case here. This is maybe a bit tricky to realize, even if it has been explained during lectures. Anyway, the ability to calculate the states of the Brayton cycle is tested here. a) T-s chart P = bar 4 Solar heating 3 Expansion 5 P = 77 bar T [ C] Regeneratorheating Regeneratorcooling Compression 6 Cooling s [kj/kgk] b) Given the average values of C P and C v, the average value of the polytropic exponent and the average value of =( 1) / for each of the processes can be calculated from C P / C v : C P, C 0.98, v C P, C 0.97, v C P, C v,45 45 C P, C 0.95, v

15 State 1: compressor inlet P 1 = 77 bar (given) T 1 = 37 C (given) Assume state 1 is as the reference state for h and s respectively h 1 = 0 kj/kg s 1 = 0 kj/kgk State 2: compressor outlet P 2 =P 1 * = 77 * 2.3 = bar Isentropic state at compressor outlet T 2,is = T 1 (P 2 /P 1 ) 1 2 = T 1 () 1 2 = ( )* = C (= K ) h 2,is h 1 = C P,1 2 (T 2,is T 1 ) = 3.98*( ) = kj/kg Use definition of isentropic efficiency to calculate the state at compressor outlet h 2 h 1 = (h 2,is h 1 ) / η s,compr = / 0.82 = kj/kg h 2 = h 1 = = kj/kg T 2 = (h 2 h 1 ) / C P,1 2 + T 1 = / = C s 2 s 1 = C P,1 2 ln(t 2 /T 1 ) (C P,1 2 C v,1 2 )ln(p 2 /P 1 ) = C p,1 2 ln(t 2 /T 1 ) (C P,1 2 C v,1 2 )ln() = 3.98ln([ ] / [ ]) ( )ln2.3 = kj/kgk s 2 = = kj/kgk State 4: turbine inlet P 4 =P 2 = bar T 4 = 650 C (given) h 4 h 2 = C p,2 3 4 (T 4 T 2 ) = 1.62*( ) = kj/kg h 4 = = kj/kg State 5: turbine outlet P 5 = P 1 = 77 bar Isentropic state at turbine outlet T 5,is = T 4 (P 5 /P 4 ) 4 5 = T 4 () 4 5 = ( )* = C h 4 h 5,is = C P,4 5 (T 4 T 5,is ) = 1.23*( ) = kj/kg Use definition of isentropic efficiency to calculate the state at turbine outlet h 4 h 5 = (h 4 h 5,is ) * η s,turb = * 0.87 = kj/kg h 5 = = kj/kg T 5 = T 4 (h 4 h 5 ) / C P,4 5 = / 1.23 = C s 5 s 4 = C P,4 5 ln(t 5 /T 4 ) (C P,4 5 C v,4 5)ln(P 5 /P 4 ) = C P,4 5 ln(t 5 /T 4 ) + (C P,4 5 C v,4 5)ln() = 1.23*ln([ ] / [ ]) + ( )ln2.3 = kj/kgk

16 State 6: regenerator P 6 = P 5 = P 1 = 77 bar T 6 = T = = C h 6 h 1 = C P,5 6 1 (T 6 T 1 ) = 2.66*( ) = kj/kg h 6 = = kj/kg s 6 s 1 = C P,5 6 1 ln(t 6 /T 1 ) (C P,5 6 1 C v,5 6 1 )ln(p 6 /P 1 ) = C P,5 6 1 ln(t 6 /T 1 ) 0 = 2.66*ln([ ] / [ ]) = kj/kgk s 6 = = kj/kgk State 3: regenerator P 3 = P 2 = P 4 = bar T 3 = T 5 40 = = C h 3 h 4 = C P,2 3 4 (T 3 T 4 ) = 1.62*( ) = kj/kg h 3 = = kj/kg s 3 s 2 = C P,2 3 4 ln(t 3 /T 2 ) (C P,2 3 4 C v,2 3 4 )ln(p 3 /P 2 ) = C p,2 3 4 ln(t 3 /T 2 ) 0 = 1.62ln([ ] / [ ]) = kj/kgk s 3 = = kj/kgk State 4: turbine inlet s 4 s 3 = C P,2 3 4 ln(t 4 /T 3 ) (C P,2 3 4 C v,2 3 4 )ln(p 4 /P 3 ) = C P,2 3 4 ln(t 4 /T 3 ) 0 = 1.62ln([ ] / [ ]) = kj/kgk s 4 = s 3 = = kj/kgk s 5 = s 4 = = kj/kgk c) State P [bar] T [ C] h [kj/kg] s [kj/kgk] d) Specific work for the compressor: w compr = h 2 h 1 = kj/kg Specific work for the turbine w turb = h 4 h 5 = kj/kg << w compr (!) We realize that, as a result of using the inapplicable polytropic ideal gas model for the compression, the calculated power consumed by the compressor is larger than that produced by

17 the turbine, therefore the net power output calculated under this assumption is negative, and so is the efficiency of the cycle! As a result, it is not possible to obtain 25 MW out of this system in case the polytropic ideal gas model is used. Specific thermal power exchanged in the regenerator q reg = h 6 h 5 = h 3 h 2 = = kj/kg Specific thermal power input q solar = h 4 h 3 = kj/kg Thermal efficiency: η I = specific energy obtained / specific energy provided 100% = (w turb w compr ) / q solar 100% = ( ) / % = 472 %! Due to the fact that it is not possible to obtain 25 MW from the system, it is also not possible to calculate the mass flow rate from: W net = W turb W compr = M (h 4 h 5 ) M (h 2 h 1 ) = M ([h 4 h 5 ] [h 2 h 1 ]) M = W net / ([h 4 h 5 ] [h 2 h 1 ]) Therefore it is not possible to determine the mechanical power consumption of the compressor, the power output of the turbine and the thermal power exchanged in the regenerator. Power consumption compressor: W compr = M (h 2 h 1 ) Thermal power exchanged in regenerator: Q reg = M (h 3 h 2 ) = M (h 6 h 5 ) Thermal power input: Q solar = M (h 4 h 3 ) Mechanical power produced by turbine: W turb = M (h 4 h 5 ) e) Regenerator: Ex d = M (e f2 e f3 ) + M (e f5 e f6 ) = M {h 2 h 3 T 0 (s 2 s 3 ) + h 5 h 6 T 0 (s 5 s 6 )} = 21.4 * { ( ) * ( ) ( ) *( )} = 21.4 * ( ) = 18.4 * 10 3 kw = 18.4 MW

18 Or, because h 2 h 3 + h 5 h 6 = 0: Ex d = M T 0 { (s 2 s 3 ) + (s 5 s 6 )} Turbine: Ex d = M (e f4 e f5 ) W turb = M {h 4 h 5 T 0 (s 4 s 5 )} W turb = 21.4 * {137.5 ( ) ( 0.024)} 2.9 * 10 3 = 3.1 * * 10 3 = 0.2 * 10 3 kw = 0.2 MW Or, because W turb = M (h 4 h 5 ): Ex d = M T 0 (s 4 s 5 )