Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs"

Transcriptie

1 .. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs Een kleine analyse van het wiskunde onderwijs binnen twee generaties. door Liesbeth van der Plas-Eskes 1 Rekenvaardigheid in verband met wiskunde Het belang van breukenvaardigheid voor wiskunde en natuurkunde Wat is de oorzaak van de geringe rekenvaardigheid van de brugklasser? Rekenen in de brugklas Enige neveneffecten van de cito-toets. 6 2 Het algebra probleem Moeder s intensieve wekelijkse algebra training in de brugklas Dochter s twee of drie weekjes algebra in de brugklas De noodzaak van algebra in de onderbouw 19 3 Het meetkunde probleem Moeder s brugklas meetkunde boek Meetkunde in de brugklas-boeken van dochter Het nut van meetkunde in de brugklas 28 4 Nederlandse kinderen goed in wiskunde? De PISA-toets nader bekeken Inleiding Feiten De PISA wiskunde test nader geanalyseerd Conclusie 38 5 Slotopmerkingen en conclusies Waarom moest ik dat vroeger allemaal leren? Ik doe er nu toch niets meer mee Waarom zijn er te weinig wiskunde en natuurkunde studenten? Waarom zijn de huidige schoolboeken niet goed voor VWO-leerlingen? Met het oog op de toekomst 41 Bronvermelding 43 Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 1

2 2 C 2008 Liesbeth van der Plas

3 1 Rekenvaardigheid in verband met wiskunde 1.1 Het belang van breukenvaardigheid voor wiskunde en natuurkunde Zonder goede breukenvaardigheid kom je met algebra niet verder dan een beetje optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Neem als voorbeeld de volgende eenvoudige deelsom: 6ab 3a = 2b Een leerling is hier nog lang niet aan toe als hij het volgende gewone rekensommetje niet uit zijn hoofd kan uitrekenen: = 2 7 = 14 Hij begrijpt dan nog niet dat de tienen tegen elkaar wegvallen en dat een breukstreep niets anders is dan een deelstreep. Nog een voorbeeld: 2 5a + 3 7b = 14b 35ab + 15a 15a + 14b = 35ab 35ab = = Als een kind niet in staat is om het getalsommetje probleemloos uit te rekenen, is de algebra opgave ook nog veel te hoog gegrepen. In het basisonderwijs wordt te weinig gerekend en geoefend met breukensommetjes. De belangrijkste oorzaak hiervan is de invoering van het rekenmachientje in het onderwijs en de hierdoor algemeen ontstane misvatting dat het eindeloos oefenen van sommetjes ouderwets en onnodig zou zijn, ja zelfs zou getuigen van een zekere boosaardigheid ten aanzien van de leerling. Een rekenmachientje is immers goed voor automatismen, een kind moet goed worden in inzicht. Het wrange is echter dat rekenkundig inzicht alleen kan worden verkregen indien er eerst een degelijke basisvaardigheid bestaat in de automatismen van het optellen en vermenigvuldigen. Deze automatismen zijn een absolute voorwaarde voor het verwerven van enig rekenkundig begrip. Zoals je geen violist kunt worden zonder dat je eerst uren hebt geoefend in het zuiver en goed aanstrijken van de vier snaren, zoals je geen voetballer kunt worden als je niet eerst eindeloos hebt lopen pingelen en schieten, zo kun je je geen rekenkundig inzicht verwerven als je je niet eerst de automatismen van het optellen en aftrekken hebt eigen gemaakt. Voor alle vakken geldt dat men zich eerst een groot aantal domme automatismen moet eigen maken voordat men met behulp van deze basisvaardigheden creatief en met inzicht kan gaan werken. Voor die tijd ontbreekt eenvoudigweg het gereedschap. Het idee dat een rekenmachientje het vele oefenen onnodig heeft gemaakt, berust op een groot en fataal misverstand. Voordat je echt aan algebra kunt beginnen moet je eerst op de basisschool goed hebben leren optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, eerst gewoon, daarna met breuken. Zo niet, dan is algebra bij voorbaat al abracadabra. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 3

4 1.2 Wat is de oorzaak van de geringe rekenvaardigheid van de brugklasser? De geringe rekenvaardigheid van de startende brugklasser heeft een aantal oorzaken. 1. Het eindeloos opzeggen en herhalen van de tafels wordt gezien als ouderwets. Het eindeloos opzeggen en herhalen van de tafels wordt gezien als ouderwets en uit de tijd, ja zelfs als een soort plagen van de leerling. Deze mag immers later toch een rekenmachientje gebruiken. Door deze algemeen heersende opvatting beheerst de gemiddelde brugklasser de tafels onvoldoende. 2. Het veelvuldig oefenen van gelijksoortige sommetjes wordt gezien als dom en onnodig. Het systematisch herhalen en oefenen van gelijksoortige sommetjes maakt dat kinderen op een gegeven moment iets zonder nadenken kunnen uitrekenen. Dit wordt gezien als dom en ondidactisch en volstrekt uit de tijd. Computers en rekenmachientjes zijn goed voor het platte rekenwerk. Een kind mag zich, als het om rekenen gaat, geen automatismen eigen maken. Deze algemeen heersende opvatting, vaak onuitgesproken maar toch zeer duidelijk aanwezig, maakt dat er te weinig wordt geoefend, vooral met breukensommetjes. De nadruk wordt vooral gelegd op inzicht. Men beseft daarbij onvoldoende dat inzicht pas ontstaat na heel veel oefenen. Door het herhaald oefenen van veel sommetjes van dezelfde soort ontstaat langzamerhand inzicht in het hoe en waarom van de berekening. 3. De Cito-toets bevat geen echte breukensommen. Om alle breukenvragen van de Cito-toets foutloos te kunnen beantwoorden hoeft een kind feitelijk alleen te weten wat 1 5 betekent en dat 1 5 taartpunt groter is dan 1 10 taartpunt. Gewoon de berekening laten zien van sommetjes zoals: wordt niet gevraagd. Doordat de Cito-toets alleen meerkeuzevragen bevat worden berekeningen bij voorbaat al nooit verlangd, maar zelfs meerkeuzevragen over dit soort sommen ontbreken geheel. Zoals dat gaat met proefwerken in het algemeen en al helemaal bij een toets met zoveel impact als de Cito-toets, stelt de gemiddelde school zijn onderwijs hierop af. Bedoeld of onbedoeld, want de meest gebruikte schoolboeken bevatten ook veel te weinig oefenmateriaal. 4. De rekenmethoden van het basisonderwijs bevatten te weinig basis-oefenmateriaal. We bekijken de meest gebruikte oefenstof voor het tweede semester van groep 8, te weten: Alles telt, leerlinlingenboek 8b Maatschrift 8A bij Alles telt Werkschrift 8 bij Alles telt De wereld in getallen, groep 8, Rekenboek b Als een leerling alle sommen zou maken van het bovenstaande lijstje, dan maakt hij in totaal slechts een zeer klein aantal sommetjes die echt van belang zijn voor algebra, te weten: noemers gelijk maken en teller x teller gedeeld door noemer x noemer. Hieronder de aantallen: noemers gelijk maken : 10 sommetjes totaal in alles van Alles telt 30 sommetjes in De wereld in getallen teller x teller gedeeld door noemer x noemer : 5 sommetjes in toaal in alles van Alles telt 0 sommetjes in De wereld in getallen In totaal zijn dit 45 kleine sommetjes (niet 45 rijtjes, maar 45 losse sommetjes) in een half jaar! Het laatste half jaar wel te verstaan. Met de opgedane kennis van deze 45 sommetjes stapt het kind onwetend naar de brugklas, volstrekt niet toegerust met de basisvaardigheden die nodig zijn om aan echte wiskunde (algebra en Euclidische meetkunde) te kunnen beginnen. 5. De breukenvaardigheid van de gemiddelde leraar in het basisonderwijs is onvoldoende. 4 C 2008 Liesbeth van der Plas

5 1.3 Rekenen in de brugklas We bekijken het meest gebruikte boek Getal en Ruimte om te achterhalen wat er in de brugklas gedaan wordt aan het voor wiskunde ernstige hiaat in breukenvaardigheid. De twee brugklasboeken bevatten slechts één paragraaf, namelijk 2.2 Breuken, waarin wordt geoefend met elementaire basissommetjes, namelijk in de opgaven 14 t/m 27. Hieronder een paar voorbeelden (onderdelen van respectievelijk de opgaven 19, 22 en 26): Dat was alles over breuken, alleen 2.2. Dit betekent dat de leerlingen slechts ongeveer een weekje oefenen met breuken. Daarna wordt tot aan het einde van de brugklas niets meer aan dit onderwerp gedaan. Heel af en toe verschijnt er wel tussen andere sommetjes door een opgave waarin een of twee breukgetallen voorkomen, maar van structureel en herhaald oefenen in geen sprake. In de tweede klas hebben de leerlingen nog steeds onvoldoende basiskennis om echt met algebra te kunnen beginnen. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 5

6 1.4 Enige neveneffecten van de cito-toets. We bekijken de cito-toets van 2007, ofwel de Eindtoets Basisonderwijs Groep 8. De toets bestaat, als het om rekenen gaat, in totaal uit 60 vragen verdeeld over de drie toetsdagen. Van deze 60 vragen zijn er 10 die iets met breuken te maken hebben. Als een leerling weet hoe 1 4 taartpunt er uit ziet, en hoe 1 5 taartpunt er ongeveer uitziet, dan kan hij 6 van de 10 breuken-vragen goed beantwoorden. Als hij dan ook nog weet dat 0,031 gelijk is aan , dan levert hem dit weer twee goede breuk-antwoorden op. Bij rekenen 2 vraag 18 moet hij weten dat hetzelfde is als 500 : 200. Bij rekenen 3 vraag 3 en vraag 19 moet hij 4 weten dat 10 = 2 5. Samenvattend moet de leerling bij het verlaten van de basisschool de onderstaande vier feitjes weten over breuken voor een foutloze toets. Wijs 1 4 taartpunt aan en 1 10 taartpunt. Is 1 4 kleiner of groter dan 1 6? Is 0,031 gelijk aan of gelijk aan 100? betekent 500 : 200 en 4 10 = 2 5 Zelfs zonder deze geringe breukenkennis mist een leerling slechts 10 van de 60 rekenvragen en kan hij nog met gemak naar het VWO. We vergelijken dit voor de grap eens met iets heel anders. In het huis van mijn grootvader, ooit het hoofd van een lagere school in Noordwijk, vond ik op zolder het volgende boekje uit 1918: Mijn Examen, opgaven van de toelatings-examens voor hoogere burgerscholen en gymnasia Ik pik er maar drie sommetjes uit als voorbeeld (bladzijde 52 opgave 9,11 en 15): De som van twee getallen is 100,2792. Vermindert men het eene getal met 2,4592 en vermeerdert men het andere met 4,716, dan krijgt men twee getallen, waarvan het eerste 5 / 9 x zoo groot is als het tweede. Bereken die getallen. Bereken: Bereken: 4 1 /4 2 : ( /2 2 1 /4 1 2 /7 ) 13 2 /3 4 0, 1875 ha 2187, 5 dg cm 3 1 / 8 hg / 3 + 0, 5 : 0, 875 0, km 5, 4 dm cl 6, 5 hl Je gelooft het niet. Dit komt uit een tijd waar we waarschijnlijk echt niet naar terug willen... In de huidige tijd van computers en rekenmachientjes lijkt het inderdaad iets zinvoller om iets meer te doen aan natuurkunde proefjes en aan denk-reken-puzzeltjes. Maar om even terug te keren naar de moderne eisen voor toelating tot hogere burgerscholen. Het doel van de cito-toets is om de leerling straks op de juiste plek te krijgen. Dit doel zal de toets, neem ik aan, bereiken dus kan gezegd worden dat zij aan haar doel beantwoordt. Maar door de enorme invloed die de cito-toets in de loop der jaren heeft gekregen komt er een zeer bedenkelijk neveneffect naar voren. De toets bepaalt voor een belangrijk deel het soort sommetjes dat op de scholen geoefend wordt. Op dit moment kan een kind dat totaal geen kennis of inzicht in breuken heeft toch goed scoren. Zoals de eisen uit 1918 laten zien, hebben wij de tijden drastisch veranderd. Het lijkt met toch echter duidelijk dat een jong kind een paar dingen wél degelijk en goed moet leren om in het moderne leven verder te kunnen en om zijn denkvermogen te ontwikkelen. Hierbij denk ik onder meer aan: Het zeer goed kennen van de tafels. Het met gemak kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van twee breuken. 6 C 2008 Liesbeth van der Plas

7 In de cito-toets wordt nooit gevraagd om gewoon twee eenvoudige breuken met ongelijke noemer bij elkaar op te tellen. Geen enkele vraag ziet er bijvoorbeeld uit als: Bereken: Bereken: Bereken: Bereken: : 43 7 Het zou wellicht een goed idee zijn als het CITO in de toekomst vragen zoals bovenstaande veelvuldig gaat stellen zodat de cito-score duidelijk het verschil laat zien tussen leerlingen die wél en leerlingen die níét in staat zijn om twee breuken bij elkaar op te tellen of met elkaar te vermenigvuldigen. Op die manier kan het onbedoelde schadelijke neveneffect van de cito-toets worden omgezet in een zeer krachtig en positief middel om het onderwijs te verbeteren. Leraren en leerlingen in het basisonderwijs zullen dan namelijk automatisch weer leren omgaan met breuken. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 7

8 8 C 2008 Liesbeth van der Plas

9 2 Het algebra probleem 2.1 Moeder s intensieve wekelijkse algebra training in de brugklas Rond 1965 werd er een paar keer per week intensief geoefend met algebra. Door de nu volgende bladzijden uit het algebra brugklasboek goed te bekijken (inzoomen met het vergrootglas), zal duidelijk worden dat de moeders van nu aan het einde van de eerste klas al een zeer grote vaardigheid hadden opgebouwd in het rekenen met letters en een goed inzicht hadden verworven in het hoe en waarom van algebra. P.Wijdenes, beknopte algebra I week 1 Waarom rekenen met letters? Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 9

10 week 2 a = 2, b = 3, c = 5, d = 7 week 3 a = 3 substitueren in 4abc 2d 2 substitueren in 3 + (a 3 2a)(a 3 + 4) week 4 gelijksoortige termen aanwijzen week 5 a = 2, b = 1, c = 3, z = 0 substitueren in a 2 b 2 (a + b + z)2 a 2 b 2 (b + c z) 2 10 C 2008 Liesbeth van der Plas

11 week 6 week 7 haakjes wegwerken (6p 2q r) (3p 2 q 2 r 2 ) haakjes wegwerken pq(p 3 q 3 + p 2 q 2 4) week p3 q 5 16 pq3 week 9 25cd 4 x 3 40c 2 d 3 Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 11

12 week 10 x 3y + 3y x + x2 + y 2 xy week 11 schrijven als produkt 5a 5 10a 4 b 2 15a 3 b 3 week 12 haakjes weg 4a 2 bc(5a + 7b 2 + 4c 2 ) week 13 ( ) p 2abc 3m 2 n 3 12 C 2008 Liesbeth van der Plas

13 week 14 uit het hoofd 9p p 2 p 2 week 15 +4x 2 y + 6z = () week 16 [ { (a + 2b) + (3c d)} + 3d] week 17 3p(2p 2 pq) Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 13

14 week 18 p 2 (p 2 3p + 5) 4p( p 2 + 8p 9) + 7(3p p 8) week 19 (3p 2q) 2 week 20 Ontbind uit het hoofd: a(b + c) + (b + c) week 21 ( a 2 ) 2 ( b 2 ) 2 ( c 2 ) 4 a 3 b 4 c 5 14 C 2008 Liesbeth van der Plas

15 week 22 (6a 4 17a 3 b + 17a 2 b 2 6ab 3 + 6b 4 ) : (3a 2 4ab 2b 2 ) week 23 x 5 = 1 5 week 24 x + 3x 9 5 = 4 5x 12 3 week 25 (a + b)x + (a b)x = a 2 Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 15

16 week 26 Verdeel het getal 60 in twee delen zo, dat het achtste deel van het grootste stuk gelijk is aan het zevende deel van het kleinste. week 27 Twee even grote vaten zijn geheel met water gevuld. Wanneer men 34 liter uit het ene vat neemt en 80 liter uit het andere, blijft er in het eerste juist diremaal zoveel over als in het tweede. Hoe groot is de inhoud van elk vat? week 28 (81p 4 16q 4 ) : (3p + 2q) week 29 Deel x y3 door x 5 + y 3 16 C 2008 Liesbeth van der Plas

17 week 30 Ontbind in factoren: 9(x + y) 2 4(x y) 2 week 31 (m + n)(m n)(m 2 + n 2 )( m 4 + n 4 ) week 32 Ontbind in factoren: 16a 2 25b 2 30bc 9c 2 Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 17

18 2.2 Dochter s twee of drie weekjes algebra in de brugklas Rond 2000 wordt er in de brugklas slechts 2 à 3 weken iets gedaan aan algebra. Het is niet meer dan een zeer summiere inleiding die niet kan beklijven door het gebrek aan herhaling. Door de nu volgende bladzijden uit de schoolboeken goed te bekijken (inzoomen met het vergrootglas), zal het duidelijk worden dat er aan het einde van de brugklas al een achterstand van meer dan een jaar is opgebouwd als het gaat om inzicht en vaardigheid in algebraïsche bewerkingen. Méér dan een jaar, omdat aan het eind van de brugklas de rekenvaardigheid nog steeds onvoldoende is om in de tweede klas een goede start met algebra te kunnen maken. Getal en Ruimte week 20 6a + 14a + 3b week (a 1) 2a + 8 week 32 ( xy 6 z 5 ) 7 18 C 2008 Liesbeth van der Plas

19 2.3 De noodzaak van algebra in de onderbouw Er is in de afgelopen decennia een aantal omstandigheden en beweegredenen geweest om algebra voor niet wiskundig geïnteresseerde kinderen zoveel mogelijk te vermijden. Zie onder meer 5 1 Waarom moest ik dat vroeger allemaal leren? Ik doe er nu toch niets meer mee. Er bestaat echter een onweerlegbaar belang van goed algebra onderwijs in de onderbouw van het VWO voor alle leerlingen, en wel onder meer om de volgende twee redenen. 1. Door algebra leer je precies werken en goed en logisch nadenken. Dit is voor alle academici van belang, welk vak ze ook uitoefenen. 2. Om onze economie op hoog niveau te houden hebben wij veel goede wiskundigen, natuurkundigen en scheikundigen nodig. Er zijn momenteel te weinig bèta studenten die in Nederland hun VWO opleiding hebben gevolgd en die dus waarschijnlijk in Nederland zullen blijven werken. Hieronder een tweetal oorzaken. Veel kinderen met een exacte aanleg krijgen de kans niet om hun talenten te ontdekken. De twaalfjarige leeftijd is een ontvankelijke leeftijd. Kinderen die een exacte aanleg hebben, moeten de kans krijgen om op tijd, nog voordat zij de pubertijd bereiken, kennis te maken met de abstracte aard van wiskunde. Zij kunnen alleen dán hun talenten ontdekken en ontplooien. Het logisch redeneren in de overzichtelijke en bondige algebrataal is voor deze kinderen een openbaring. Zij ontdekken dat zij door het gebruik van wiskundige formules en symbolen veel moeilijker dingen kunnen uitrekenen en bewijzen dan met gewoon Nederlands mogelijk zou zijn. Zelfs in het tweede en derde leerjaar komt de leerling nog niet echt in aanraking met de korte en krachtige wiskundetaal die voor sommige kinderen juist zo aantrekkelijk is en waar zij de schoonheid van inzien. De enkeling die in zijn middelbare schooltijd wel de smaak van wiskunde te pakken krijgt begint aan zijn of haar studie zonder de daartoe benodigde wiskundebasisvaardigheden. De universiteiten en hogescholen weten dit maar al te goed en zien zich genoodzaakt om de middelbare schoolstof opnieuw zelf te doceren, voordat ze met hun eigenlijke kennisoverdracht kunnen starten. Wiskunde is namelijk een vak waarvoor je, als primaire eis, eerst de algebra-taal moet beheersen. Van deze algebra-taal moet een beginnend eerstejaars student de elementaire grammaticaregels kennen en er mee kunnen lezen en schrijven. Zonder die kennis valt er nog geen college Analyse, Elementaire Algebra of Getallentheorie te volgen. Vergelijk dit met het in de Franse taal lezen en het in de Franse taal bespreken van een Franse roman als je alleen nog maar être en avoir plus een paar honderd woordjes Frans op school hebt geleerd. In de pers verschijnt zo nu en dan een bericht waaruit zou blijken dat Nederlandse scholieren het juist goed doen als het gaat om wiskunde. Dit zou dan met name blijken uit de resultaten van de internationale Pisatoets. Feit is echter dat PISA absoluut niet het wiskundig niveau van onze scholieren onderzoekt. Lees ter verduidelijking van dit belangrijke punt hoofdstuk 4 Nederlandse kinderen goed in wiskunde?. Ter vergelijking kun je je het volgende afvragen: Kun je een internationaal gerenommeerd pianist worden als je pas op je veertiende begint met piano spelen? Kun je een groot voetballer worden als je in je jeugd niet een paar keer per week hebt getraind of op straat gevoetbald? Kun je een groot wiskundige of natuurkundige worden als je pas op veertien of vijftienjarige leeftijd bent begonnen met abstracte algebra en logisch redeneren? Het antwoord op bovenstaande drie vragen luidt: Ja, het kan, maar alleen bij wijze van zéér grote uitzondering. Wij hebben meer goede beta-mensen nodig dan de enkeling die ondanks een late start toch nog wiskundige wordt. Aan onze twaalfjarigen wordt een stelselmatige oefening en opbouw van vaardigheden geheel onthouden. Zij oefenen slechts twee of drie weken een heel klein beetje algebra waardoor ze niet meer dan een zeer summiere inleiding krijgen die niet kan beklijven door het gebrek aan opbouw en herhaling. De achterstand is aan het eind van de brugklas al groter dan een jaar, omdat ook de rekenvaardigheid nog steeds onvoldoende is om in de tweede klas een goede start te kunnen maken met algebra. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 19

20 20 C 2008 Liesbeth van der Plas

21 3 Het meetkunde probleem 3.1 Moeder s brugklas meetkunde boek Schoolboek uit 1961, gebruikt door de auteur van dit stukje en haar twee oudere zusjes. Alle academici van 55 jaar en ouder gebruikten in hun eerste middelbare schooljaar dit of een soortgelijk meetkundeboek. Het boek begint, net als Euclides in ongeveer 300 voor Christus, met drie zeer eenvoudige axioma s. Deze drie axioma s als uitgangspunt nemend, leer je via logisch en precies redeneren allerlei bijzondere eigenschappen van driehoeken en cirkels ontdekken en bewijzen. Het doel van deze lessen is niet zozeer om bijvoorbeeld te weten dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan, maar om zeer precies en logisch te leren denken. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 21

22 Alle stellingen worden bewezen. Daardoor wordt de leerling niet gevraagd om iets zo maar klakkeloos te geloven! Integendeel, de leerling moet een bewijs zelf kunnen reproduceren. Zelf een eigenschap proberen te bewijzen is voor sommige kinderen een fascinerende uitdaging. Er wordt zeer veel geoefend, week in, week uit. Het zelfstandig en kritisch denkvermogen wordt op deze manier ontwikkeld. 22 C 2008 Liesbeth van der Plas

23 Zelf meetkundige figuren leren tekenen is zeer leerzaam en nuttig. Geen dure werkboeken met voorgedrukte figuren, maar papier, potlood, passer en geodriehoek. Al halverwege de eerste klas wordt hier gevraagd zelf te bewijzen dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan. Het zoeken naar een sluitend bewijs is een grote uitdaging, of een leerling er nu meteen in slaagt of niet. Het gevoel echt iets geleerd te hebben is voor een kind veel plezieriger dan louter het gevoel dat de les leuk was. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 23

24 Week in, week uit oefenen. Met regelmaat en structuur wordt het bouwwerk van Euclides opgetrokken. Het gaat voor kinderen die later jurist of arts worden niet om de kennis van de stellingen van de vlakke meetkunde. Het gaat erom dat zij leren om kritisch en exact na te denken. Voor alle hoger opgeleiden, zowel voor bèta s als voor alfa s, is dit essentieel. Door een paar keer per week te oefenen wordt vanzelf het abstracte denkvermogen ontwikkeld. Formules over het aantal diagonalen van een n-hoek kunnen 12-jarigen in het VWO allemaal begrijpen. Hier is geen wiskundeknobbel voor nodig, maar alleen regelmaat, structuur en begeleiding. 24 C 2008 Liesbeth van der Plas

25 Het denkvermogen is aan het einde van het eerste leerjaar al zo goed ontwikkeld, dat complexe stellingen over twee snijdende cirkels voor niemand te moeilijk zijn. Passer, geodriehoek en papier. Dat is het enige dat nodig is om meetkundige figuren te leren tekenen. Door gebruik te maken van een werkboek met voorgedrukte figuren leer je dat niet! Werkboeken maken juist dat het meetkundig inzicht minder goed wordt ontwikkeld. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 25

26 3.2 Meetkunde in de brugklas-boeken van dochter Rond 2000 wordt er in de brugklas niets gedaan aan de opbouw van het Euclidische meetkunde bouwwerk. Het meest creatieve en indrukwekkende onderdeel van de schoolwiskunde wordt geheel overgeslagen. In de brugklas werkt men met één methode, waarin allerlei onderwerpen door elkaar worden behandeld. Pas in hoofdstuk 5, Lijnen en hoeken (het is inmiddels niet ver voor de kerstvakantie), wordt er gesproken over een punt en een lijn. Een wiskundige definitie wordt niet gegeven. Het woord axioma wordt niet genoemd. De begrippen punt en lijn uit het normale spraakgebruik waren de leerling natuurlijk al wel bekend. Hij leert hier dus niets nieuws en zeker geen wiskunde. 26 C 2008 Liesbeth van der Plas

27 In de 37 bladzijden over lijnen en hoeken wordt niet veel nieuws geleerd. Vaak lijkt iets op een bladzijde vol oefeningen. Bij nader inzien hebben de oefeningen meestal niet veel met wiskunde te maken. In hoofdstuk 9, Symmetrie en vlakke figuren, verschijnt de zo belangrijke stelling uit de vlakke meetkunde over de drie hoeken van een driehoek. Een bewijs is er niet bij. De leerling moet de stelling klakkeloos geloven, omdat het waar lijkt als je in een driehoek gaat knippen. Dit is een soort karikatuur van wiskunde. Het is juist precies wat wiskunde niet is. Het doel van meetkunde is niet om te weten dat de drie hoeken van een driehoek samen 180 graden zijn. Het doel is om een dergelijke stelling te leren bewijzen en zo het kritisch en logisch denkvermogen te ontwikkelen. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 27

28 3.3 Het nut van meetkunde in de brugklas De Euclidische meetkunde is vrijwel geruisloos en zonder discussie uit de onderbouw verdwenen. Dit ongemerkte verdwijnen is mogelijk gemaakt doordat leerlingen niet meer werken met een overzichtelijk algebra boek en een apart meetkunde boek, maar met een wiskundemethode. In het hoofdboek van een dergelijke methode worden allerlei losse onderwerpen door elkaar behandeld, versierd met veel plaatjes en teksten. Deze manier van werken met losse onderwerpen (nu eens twee weken omgaan met informatie, dan weer drie weken plaatsbepalen enz.), maakt dat er geen sprake meer is van een systematische opbouw van het indrukwekkende bouwwerk van Euclides. De meeste kinderen, ook het merendeel van onze toekomstige artsen, economen en juristen, komen nu totaal niet meer in aanraking met de strakke en onweerlegbare bewijsvoering van Euclides. Dit is des te meer te betreuren omdat de Euclidische meetkunde de meest effectieve manier is om goed en precies te leren denken en werken. De zeer kleine groep kinderen dat na de vierde klas het meest exacte pakket (natuur en techniek) kiest, begint veel te laat, in het vijfde leerjaar, met het meest aantrekkelijke en meest creatieve onderdeel van de school wiskunde. De luxe wiskunde boeken hebben mede hun huidige positie kunnen veroveren omdat veel ouders het uiterlijk van die boeken veel leuker en aantrekkelijker vinden dan hun eigen saaie boeken vol formules waar ze vaak nog met enig afgrijzen naar omzien. Al die kennis en formules hebben ze in hun huidige werk toch nooit meer nodig. Wat zij echter niet beseffen is dat zij vooral door de voor de Euclidische meetkunde zo karakteristieke strakke bewijsvoering ( Gegeven, Te bewijzen, Bewijs ) precies hebben leren denken en werken. Hun in hun jeugd getrainde redenatievermogen gebruiken ze nu wel degelijk nog elke dag. Hieronder volgen twee belangrijke overwegingen om herinvoering van de vlakke meetkunde in de onderbouw te overwegen. 1. Voor kinderen is het niet leuk als zij niet precies leren denken en werken. Voor de samenleving is het niet leuk is als er te veel fouten en denkfouten worden gemaakt door de deelnemers aan het arbeidsproces. Denk daarbij bijvoorbeeld aan (jonge) notarissen die niet in staat zijn een ondubbelzinnige en logische akte te maken. Of denk aan (jonge) artsen die te weinig getraind zijn in het exact en logisch redeneren en daardoor onvoldoende in staat zijn de juiste diagnose te stellen. Of denk aan slordige apothekers en niet-systematisch denkende informatici. 2. Een aantal van de nu iets oudere bètamensen hebben juist door die vlakke meetkunde (waarmee ze systematisch oefenden vanaf hun twaalfde jaar) ontdekt dat hun talent en liefde lag bij de exacte vakken. Velen van hen zouden de bètaweg niet zijn ingeslagen als ze in hun jeugd de huidige talige wiskundeboekjes hadden moeten doorwerken. Voor kinderen met een exacte aanleg is het niet goed dat hun nu de kans op het juiste vak wordt onthouden. Voor de samenleving is het niet goed dat er te weinig kinderen zijn die na hun schoolopleiding kiezen voor een exacte studie. Het is dan ook bepaald geen overbodige luxe om herinvoering van de vlakke meetkunde in de onderbouw in elk geval sterk te overwegen. Zoals al eerder gezegd, het doel van de vlakke meetkunde is voor de meeste toekomstige hoger opgeleiden niet de meetkunde zelf. Daar hoeven zij later niets meer over te weten. Echter, het leren om kritisch en exact na te denken, is zowel voor alfa s als voor bèta s onmisbaar. 28 C 2008 Liesbeth van der Plas

29 4 Nederlandse kinderen goed in wiskunde? De PISA-toets nader bekeken. 4.1 Inleiding Eenmaal per drie jaar verschijnt er een wiskunde rapport van de OESO (Organisatie voor Economische Samenwerking en Ontwikkeling) inzake vergelijkend onderzoek naar de onderwijsresultaten van ruim 40 landen. Deze officiële PISA rapporten ( PISA staat voor Programme for International Student Assessment ) publiceren op het gebied van wiskunde de pisa-testresultaten van 15-jarige leerlingen uit alle OESO lidstaten en geassocieerde landen. De rapporten zijn behoorlijk invloedrijk. Politici en beleidsbepalers halen de rapportcijfers (vooral als deze goed zijn!) graag aan en maken daar goede sier mee. Zo ook het Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap (OCW) dat zich al een reeks van jaren baseert op de uitkomsten van PISA rapporten, wanneer het stelt dat het Nederlandse onderwijs in de top 10 van de wereld scoort. Bij wiskunde zelfs als vierde, achter Hongkong, Finland en Zuid-Korea, zo stelt het OCW, daarmee welhaast expliciet de indruk wekkend dat ons wiskundeonderwijs en de prestaties van onze leerlingen tot de mondiale top zouden behoren. Volstrekt ten onrechte, naar ik in het onderstaande zal illustreren. 4.2 Feiten De in 2000, 2003 en 2006 uitgebrachte PISA rapporten, die uit duizenden pagina s bestaan, hebben zeer veel kritiek geoogst, onder meer van de onderwijspsycholoog Willem Smit, die al jaren bezig is met meet- en regelkunde van onderwijsonderzoek. De belangrijkste punten van kritiek zijn: Onzorgvuldig geconstrueerde of slecht vertaalde opgaven. De validiteit van de testopgaven voor de nationale leerplannen. De leerplannen verschillen tussen de landen en zelfs binnen één land (bijvoorbeeld in Duitsland) aanzienlijk van elkaar. Testopgaven van internationale inspecties en onderzoeksinstituten zullen dus altijd beter aansluiten bij het leerplan van land A dan dat van land B. De PISA test staat los van de nationale leerplannen op het gebied van de wiskunde en is geen directe meting van de resultaten van die nationale leerplannen. De PISA test kan de kwaliteit van de onderwijsstelsels op het terrein van de wiskunde in de onderzochte landen in dit opzicht dus niet met elkaar vergelijken. Om die reden hebben de posities van de landen op de PISA-ranglijsten dus weinig betekenis. In de onderzochte landen is van allerlei verschillende omstandigheden sprake en zijn culturele verschillen van invloed op de uitkomsten van het onderzoek, zoals: - het aantal aan het vak wiskunde bestede lesuren verschilt van land tot land; - invloeden van geëmigreerde leerlingen met een taalachterstand; - invloeden van de klassengrootte in verschillende landen; - beschikbaarheid van middelen, werkomstandigheden van leraren, opleiding van leraren, opleidingsniveau en hulp van de ouders, ervaring met meerkeuzevragen. Wat meet PISA nu eigenlijk? Het antwoord op deze vraag wordt door de OESO op haar website gegeven, waaraan ik het volgende ontleen: The OESO/PISA mathematical literacy domain is concerned with the capacities of students to analyse, reason, and communicate ideas effectively as they pose, formulate, solve and interpret mathematical problems in a variety of situations. The OESO/PISA assessment focuses on real-world problems, moving beyond the kinds of situations and problems typically encountered in school classrooms. In real-world settings, citizens regularly face situations when shopping, travelling, cooking, dealing with their personal finances, judging political issues, etc, in which the use of quantitative or spatial reasoning or other mathematical competencies would help clarify, formulate or solve a problem. Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs 29

Rekenvaardigheid in relatie tot wiskunde

Rekenvaardigheid in relatie tot wiskunde Rekenvaardigheid in relatie tot wiskunde Auteur: Liesbeth van der Plas Een wiskundeleraar in de brugklas van het VWO kan nog niet beginnen met wiskunde omdat hij zijn klas eerst nog moet leren rekenen

Nadere informatie

Overig nieuws Hulp ouders bij rekenen deel 3.

Overig nieuws Hulp ouders bij rekenen deel 3. Overig nieuws Hulp ouders bij rekenen deel 3. Het rekenonderwijs van tegenwoordig ziet er anders uit dan vroeger. Dat komt omdat er nieuwe inzichten zijn over hoe kinderen het beste leren. Vroeger lag

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Uit De Ophaalbrug, werkmateriaal bij de overstap basisonderwijs voortgezet onderwijs, sept. 2003

Uit De Ophaalbrug, werkmateriaal bij de overstap basisonderwijs voortgezet onderwijs, sept. 2003 Uit De Ophaalbrug, werkmateriaal bij de overstap basisonderwijs voortgezet onderwijs, sept. 2003 REKENEN-WISKUNDE VERSLAG Samenstelling De BOVO-kwaliteitsgroep rekenen-wiskunde bestond uit: Sira Kamermans,

Nadere informatie

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 besteedt aandacht aan het onderhouden en uitbreiden van de basisvaardigheden van het rekenen met maten, oppervlaktes en inhouden, coördinaten en assenstelsels,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Hoofdstuk 1 Rekenen Hoofdstuk 2 Lineaire verbanden Hoofdstuk 3 Vlakke meetkunde Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Hoofdstuk 5 Statistiek Hoofdstuk 6 Ruimtemeetkunde Hoofdstuk

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 besteedt aandacht aan het onderhouden en uitbreiden van de basisvaardigheden van het rekenen met maten, oppervlaktes en inhouden, coördinaten en assenstelsels,

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie

Netwerk 3 basis docentenhandleiding. Docentenhandleiding deel 3A en 3B basis. Inhoud deel 3A. Inhoud deel 3B

Netwerk 3 basis docentenhandleiding. Docentenhandleiding deel 3A en 3B basis. Inhoud deel 3A. Inhoud deel 3B Docentenhandleiding deel 3A en 3B basis Inhoud deel 3A Hoofdstuk 1 Plaatsbepalen Hoofdstuk 2 Grafieken en tabellen Hoofdstuk 3 Rekenen Hoofdstuk 4 Informatieverwerking Hoofdstuk 5 Tekenen en rekenen Computer

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Correctievoorschrift VMBO-GL en TL

Correctievoorschrift VMBO-GL en TL Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 00 tijdvak wiskunde CSE GL en TL Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Biljarten op een ellips. Lab kist voor 3-4 vwo

Biljarten op een ellips. Lab kist voor 3-4 vwo Biljarten op een ellips Lab kist voor 3-4 vwo Dit lespakket behoort bij het ellipsvormige biljart van de ITS Academy. Ontwerp: Pauline Vos, in opdracht van Its Academy Juni 2011 Leerdoelen: - kennismaken

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

REKENEN EN WISKUNDE OUDE EN NIEUW STIJL

REKENEN EN WISKUNDE OUDE EN NIEUW STIJL REKENEN EN WISKUNDE OUDE EN NIEUW STIJL Nadat bekend was geworden dat studenten van hogere opleidingen tekortschieten in rekenkundige en wiskundige vaardigheden, haastten docenten en studenten zich te

Nadere informatie

Toets bij 2F Opgavenboekje rekenen 1

Toets bij 2F Opgavenboekje rekenen 1 Voortgezet onderwijs en middelbaar beroepsonderwijs Toetsen taal en rekenen Toets bij F Opgavenboekje rekenen In deze toets staan 0 opgaven Gebruik op je antwoordblad de kolom waarboven staat: Rekenen

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna

Nadere informatie

Correctievoorschrift VMBO-KB

Correctievoorschrift VMBO-KB Correctievoorschrift VMBO-KB 2007 tijdvak wiskunde CSE KB Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling 2 Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores

Nadere informatie

Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 2005

Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 2005 Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 2005 tijdvak WISKUNDE CSE GL EN TL Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling 2 Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel REGELS

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100 1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Getallen 1 is een programma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip).

Getallen 1 is een programma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip). Getallen 1 Getallen 1 is een programma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip). Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 1 Getallen 1 is geschikt voor groep 7 en 8 van de basisschool

Nadere informatie

De 10 e editie havo-vwo OB

De 10 e editie havo-vwo OB De 10 e editie havo-vwo OB Presentatie havo/vwo onderbouw 10 e editie 1 HAVO/VWO 1 VWO 2 HAVO 2 HAVO/VWO 2 VWO De delen 10 e editie onderbouw 3 HAVO deel 1 3 HAVO deel 2 3 VWO deel 1 3 VWO deel 2 Presentatie

Nadere informatie

Getallen 1 is een computerprogramma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip).

Getallen 1 is een computerprogramma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip). Getallen 1 Getallen 1 is een computerprogramma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip). Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 1 Getallen 1 is geschikt voor groep 7 en 8 van de basisschool

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Strategiekaarten. Deze strategiekaarten horen bij de ThiemeMeulenhoff-uitgave (ISBN 978 90 557 4642 2): Rekenen: een hele opgave, deel 2

Strategiekaarten. Deze strategiekaarten horen bij de ThiemeMeulenhoff-uitgave (ISBN 978 90 557 4642 2): Rekenen: een hele opgave, deel 2 Deze strategiekaarten horen bij de ThiemeMeulenhoff-uitgave (ISBN 978 90 557 4642 2): Joep van Vugt Anneke Wösten Handig optellen; tribunesom* Bij optellen van bijna ronde getallen zoals 39, 198, 2993,..

Nadere informatie

Hoe maak je nu van breuken procenten? Voorbeeld: Opgave: hoeveel procent van de onderstaande tekening is zwart gekleurd?

Hoe maak je nu van breuken procenten? Voorbeeld: Opgave: hoeveel procent van de onderstaande tekening is zwart gekleurd? Procenten Zoals op de basisschool is aangeleerd kunnen we een taart verdelen in een aantal stukken. Hierbij krijgen we een breuk. We kunnen ditzelfde stuk taart ook aangegeven als een percentage. Procenten:

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Handleiding. Reken-wiskundemethode voor het primair onderwijs. Katern 1S en 1F

Handleiding. Reken-wiskundemethode voor het primair onderwijs. Katern 1S en 1F I Handleiding Reken-wiskundemethode voor het primair onderwijs Katern 1S en 1F Handleiding bij de katernen 1F en 1S 1 In 2010 hebben de referentieniveaus een wettelijk kader gekregen. Basisscholen moeten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde C (pilot) tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde C (pilot) tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.

Nadere informatie

kommagetallen en verhoudingen

kommagetallen en verhoudingen DC 8Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen 1 Inleiding Dit thema gaat over rekenen en rekendidactiek voor het oudere schoolkind en voor het voortgezet onderwijs. Beroepscontext: als onderwijsassistent

Nadere informatie

7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte

7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte 1 Tekenen in roosters Kern 1 Tegelvloeren Kern 2 Oppervlakte Kern 3 Het assenstelsel Kern 4 Rechthoeken 2 Rekenen Kern 1 De rekenmachine Kern 2 Voorrangsregels Kern 3 Afronden Kern 4 Afronden 3 Grafieken

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

1.Tijdsduur. maanden:

1.Tijdsduur. maanden: 1.Tijdsduur 1 etmaal = 24 uur 1 uur = 60 minuten 1 minuut = 60 seconden 1 uur = 3600 seconden 1 jaar = 12 maanden 1 jaar = 52 weken 1 jaar = 365 (of 366 in schrikkeljaar) dagen 1 jaar = 4 kwartalen 1 kwartaal

Nadere informatie

a. De hoogte van een toren bepalen met behulp van een stok

a. De hoogte van een toren bepalen met behulp van een stok Gelijkvormigheid in de 17 de - en 18 de -eeuwse landmeetkunde Heb jij enig idee hoe hoog dat gebouw of die boom is die je uit het raam van je klaslokaal ziet? Misschien kun je de hoogte goed schatten,

Nadere informatie

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.smart.be www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl

Nadere informatie

Vergelijkingen met één onbekende

Vergelijkingen met één onbekende - 89 - Hoofdstuk 3: ergelijkingen met één onbekende Opgave boek pag 67 nr. 5: Los op in R a. 3 ( + ) 4 7.................. {... }... proef : 1 e lid :... e lid :... b. ( 3 ) + 7 5 ( )........................

Nadere informatie

Correctievoorschrift examen VMBO-GL en TL 2003

Correctievoorschrift examen VMBO-GL en TL 2003 Correctievoorschrift examen VMBO-GL en TL 003 tijdvak WISKUNDE CSE GL EN TL WISKUNDE VBO-MAVO D inzenden scores Vul de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten in op de optisch leesbare formulieren

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

Opdracht 2.1 a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde grootte te krijgen.

Opdracht 2.1 a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde grootte te krijgen. Uitwerkingen hoofdstuk Gebroken getallen. Kennismaken met breuken.. Deel van geheel Opdracht. a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en):

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en): Wiskunde, LTP leerjaar 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 26 De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert

Nadere informatie

De Cito Eindtoets Rekenen 2008

De Cito Eindtoets Rekenen 2008 e ito Eindtoets Rekenen 008 Jan van de raats Inleiding In een binnenkort te verschijnen rapport van de onderwijsinspectie worden zorgen geuit over het rekenpeil op de basisschool. Niet minder dan 7 procent

Nadere informatie

Producten, machten en ontbinden in factoren

Producten, machten en ontbinden in factoren Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen

Nadere informatie

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2008 tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.

Nadere informatie

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7.

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7. Herhalingsoefeningen Rijen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Onderzoek of de

Nadere informatie

Rekenen Wiskunde Ondersteuning

Rekenen Wiskunde Ondersteuning Schooljaar 2014-2015 Rekenen Wiskunde Ondersteuning Handvatten voor leerlingen met (ernstige) reken- en/of wiskundeproblemen Naam leerling:... Klas: 0 Inleiding In deze bundel probeer ik je wegwijs te

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

2003 De Wageningse Methode. Foto s De Wageningse Methode. Druk/Verkoop Tamminga bv, Postbus 176, 6920 AD Duiven

2003 De Wageningse Methode. Foto s De Wageningse Methode. Druk/Verkoop Tamminga bv, Postbus 176, 6920 AD Duiven INHOUDSOPGAVE Routes in Vakhorst 1 Oppervlakte 6 Formules 9 Roosterkwartier 11 Test 15 Op de grens van Roosterkwartier en Vakhorst 16 Met negatieve getallen 18 Formules uit plaatjes 0 Zonder plaatjes Terugblik

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. 1 maximumscore 2 De staplengte is 1600 : 2754 1 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) (of 0,58 meter) 1

Vraag Antwoord Scores. 1 maximumscore 2 De staplengte is 1600 : 2754 1 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) (of 0,58 meter) 1 Eindexamen wiskunde vmbo gl/tl 00 - I Beoordelingsmodel Stappenteller maximumscore De staplengte is 600 : 754 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) ( 0,58 meter) Als het antwoord in meters gegeven

Nadere informatie

Samen rekenen... alleen!

Samen rekenen... alleen! veel Inside 2-99 Samen rekenen... leuker dan alleen! Rekenen met een tutor: wat wil je nog meer? Agnes Vosse Dit artikel is eerder gepubliceerd in Willem Bartjens, jaargang 17, januari 1998 1. Inleiding

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Wat betekenen de getallen? Samen bespreken. Kies uit kilometer, meter, decimeter of centimeter.

Wat betekenen de getallen? Samen bespreken. Kies uit kilometer, meter, decimeter of centimeter. 70 blok 5 les 23 C 1 Wat betekenen de getallen? Samen bespreken. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 60 981 540 C 2 Welke maten horen erbij? Samen bespreken. Kies uit kilometer, meter, decimeter of centimeter.

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I WISKUNDE. MAVO-D / VMBO-gt

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I WISKUNDE. MAVO-D / VMBO-gt UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VAK: NIVEAU: WISKUNDE MAVO-D / VMBO-gt EXAMEN: 2002-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke

Nadere informatie

Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 2004

Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 2004 Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 2004 tijdvak 2 WISKUNDE CSE GL EN TL WISKUNDE VBO-MAVO-D inzenden scores Verwerk de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten per school in het programma Wolf

Nadere informatie

Checklist Rekenen Groep 3. 1. Tellen tot 20. 2. Getallen splitsen. Hoe kun je zelf het tellen controleren?

Checklist Rekenen Groep 3. 1. Tellen tot 20. 2. Getallen splitsen. Hoe kun je zelf het tellen controleren? Checklist Rekenen Groep 3 1. Tellen tot 20 Als kleuters, in groep 1 en groep 2, zijn de kinderen bezig met de zogenaamde voorbereidende rekenvaardigheid. Onderdelen hiervan zijn ordenen en seriatie. Dit

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Modulewijzer InfPbs00DT

Modulewijzer InfPbs00DT Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering

Nadere informatie

SPLITSEN handleiding. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en 10. het leren splitsen van de getallen: handleiding bij oefenboek 1, 2, 3 en 4

SPLITSEN handleiding. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en 10. het leren splitsen van de getallen: handleiding bij oefenboek 1, 2, 3 en 4 SPLITSEN handleiding het leren splitsen van de getallen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en 10 handleiding bij oefenboek 1, 2, 3 en 4 inleiding Dit is de handleiding bij vier oefenboeken voor het leren splitsen

Nadere informatie

wizbrain 2015 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizbrain 2015 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.e-nemo.nl www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe rekenmachine is niet toegestaan je hebt 75 minuten de tijd www.smart.be www.sanderspuzzelboeken.nl

Nadere informatie

Instructies zijn niet alleen visueel, maar ook auditief, met hoogkwalitatief ingesproken geluid (geen computerstem).

Instructies zijn niet alleen visueel, maar ook auditief, met hoogkwalitatief ingesproken geluid (geen computerstem). Getallen 3 Doelgroep Getallen 3 is bedoeld voor leerlingen in klas 3-5 van de havo, klas 3-6 van het vwo en in mbo 3&4. Het programma is bijzonder geschikt voor groepen waarin niveauverschillen bestaan.

Nadere informatie

Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 2012

Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 2012 Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 2012 tijdvak 1 wiskunde CSE GL en TL Het correctievoorschrift bestaat uit: 1 Regels voor de beoordeling 2 Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5

Nadere informatie

Leaflet. Connector Ability. Brochure kandidaten. Touwbaan 1 4205 AB Gorinchem T 0183-693939 E info@interselect.nl www.interselect.

Leaflet. Connector Ability. Brochure kandidaten. Touwbaan 1 4205 AB Gorinchem T 0183-693939 E info@interselect.nl www.interselect. Leaflet Connector Ability Brochure kandidaten Touwbaan 1 4205 AB Gorinchem T 0183-693939 E info@interselect.nl www.interselect.nl Inhoud 1 Waarom deze brochure? 2 2 Waarom wordt er getest? 2 3 Wat is de

Nadere informatie

Tussendoelen in MathPlus

Tussendoelen in MathPlus MALMBERG UITGEVERIJ B.V. Tussendoelen in MathPlus Versie 1 Inhoud Tussendoelen onderbouw in MathPlus... 2 Tabel tussendoelen... 2 1HVG... 7 Domein Rekenen... 7 Domein Meten en tekenen... 9 Domein Grafieken

Nadere informatie

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Ik weet hoe je met procenten moet rekenen: procenten en breuken, percentage berekenen, toename en afname in procenten, rekenen met groeifactoren.

Nadere informatie

Kandidaatbrochure met oefenvragen Opleidingsniveau: MBO4-BA-MA

Kandidaatbrochure met oefenvragen Opleidingsniveau: MBO4-BA-MA P E O P L E I M P R O V E P E R F O R M A N C E Kandidaatbrochure met oefenvragen Opleidingsniveau: MBO4-BA-MA 1 van 34 / PiCompany 2005iMedia 2005 www.picompany.nl tel. 0346-55 90 10 fax 0346-55 90 15

Nadere informatie

Hoofdrekenen als struikelblok

Hoofdrekenen als struikelblok Hoofdrekenen als struikelblok Jan van de Craats 18 oktober 2007 Op de basisschool neemt hoofdrekenen tegenwoordig een belangrijke plaats in. Daarbij gaat het vooral om sommen waarbij de manier waarop je

Nadere informatie

Overstapprogramma 6-7

Overstapprogramma 6-7 Overstapprogramma - Cijferend optellen 9 Verdeel het getal. Het getal 8 kun je verdelen in: duizendtallen honderdtallen tientallen eenheden D H T E 8 D H T E 8 = 8 9 9 9 = = = = Zet de getallen goed onder

Nadere informatie

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door WISKUNDE B-DAG 2012 Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur Eenvou(w)dig De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door Wiskunde B-dag 2012 1 Opgave 6 van de Kangoeroe wedstrijd wizprof 2010: De foto van

Nadere informatie

HANDREIKING REKENEN 2F MBO

HANDREIKING REKENEN 2F MBO HANDREIKING REKENEN 2F MBO TEN BEHOEVE VAN REKENONDERWIJS CENTRAAL ONTWIKKELDE EXAMENS pagina 2 van 24 Inhoud 1 Voorwoord 5 2 Algemeen 6 3 Domein getallen 7 4 Domein verhoudingen 9 5 Domein Meten en Meetkunde

Nadere informatie

PTA wiskunde BBL - Kijkduin Statenkwartier - cohort 13-14-15

PTA wiskunde BBL - Kijkduin Statenkwartier - cohort 13-14-15 A. Schoolexamen derde leerjaar, 2013-2014 1 SE 1 De volgende onderdelen worden getoetst: PCS Schriftelijk 90 min ja 2,0 Hoofdstuk 1: Plaats en afstand. 301B Algebraïsche verbanden en WI/K/4 * * * aanzichten

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

Uitwerking toets rekenvaardigheid. Opgave 1 a. 7125,98 + 698,99 = Tip: Bij kommagetallen is het eenvoudiger om aan geld te denken.

Uitwerking toets rekenvaardigheid. Opgave 1 a. 7125,98 + 698,99 = Tip: Bij kommagetallen is het eenvoudiger om aan geld te denken. Uitwerking toets rekenvaardigheid Opgave a. 725,98 + 698,99 = Tip: Bij kommagetallen is het eenvoudiger om aan geld te denken. 725,98 + 698,99 = 725,98 + 700,0= 7824,97 Denk eraan ik doe er teveel bij

Nadere informatie

Tenslotte de staartdelingen. De regel is ietwat gecompliceerder dan de vorige, omdat zulke delingen niet op 0 hoeven uit te komen:

Tenslotte de staartdelingen. De regel is ietwat gecompliceerder dan de vorige, omdat zulke delingen niet op 0 hoeven uit te komen: REKENEN? Uit onderzoek van het CITO (2006) blijkt dat ruim de helft van de eerstejaars Pabo-studenten slechter rekent dan de beste leerlingen uit groep 8. Die ruime helft van de eerstejaars Pabo-studenten

Nadere informatie

Derde domein: gebroken getallen. 1 Kennismaking met breuken. 1.1 De breuk als deel van een geheel. Opdracht 1. Opdracht 2. blaadje 1.

Derde domein: gebroken getallen. 1 Kennismaking met breuken. 1.1 De breuk als deel van een geheel. Opdracht 1. Opdracht 2. blaadje 1. Derde domein: gebroken getallen 1 Kennismaking met breuken 1.1 De breuk als deel van een geheel Opdracht 2 blaadje 1 blaadje 2 blaadje 3 blaadje 4 Een blaadje in twee delen vouwen geeft de helft van een

Nadere informatie

wiskunde CSE GL en TL

wiskunde CSE GL en TL Examen VMBO-GL en TL 2008 tijdvak 2 dinsdag 17 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CSE GL en TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 24 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten

Nadere informatie

TOELICHTING REKENEN MET BREUKEN

TOELICHTING REKENEN MET BREUKEN TOELICHTING REKENEN MET BREUKEN 1 2 3 11628_rv_wb_breuken_bw.indd 2 13-11-12 23:2611628_rv_wb_breuken_bw.indd 3 13-11-12 23:27 4 5 6 Rekenvlinder Rekenen met breuken Toelichting Uitgeverij Zwijsen B.V.,

Nadere informatie

VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012

VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012 VWO finales versie 1 28 oktober 2012 1 1 inleiding De finale van de VWO en de meeste internationale olympiades bestaan uit het bewijzen van vragen. Dit is iets wat men niet meer leert op school en waarbij

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

SAMENVATTING BASIS & KADER

SAMENVATTING BASIS & KADER SAMENVATTING BASIS & KADER Afronden Hoe je moet afronden hangt af van de situatie. Geldbedragen rond je meestal af op twee decimalen, 15,375 wordt 15,38. Grote getallen rondje meestal af op duizendtallen,

Nadere informatie

PTA wiskunde KBL - Bohemen Media (Statenkwartier)- cohort 14-15-16

PTA wiskunde KBL - Bohemen Media (Statenkwartier)- cohort 14-15-16 Wiskunde Het schoolexamen in het vierde leerjaar (2015-2016) wordt ook toegepast binnen de locatie Statenkwartier. Schooljaar 2014-2015 ( leerjaar 3 ) Kader Schoolexamen 1 SE 1 De volgende onderdelen worden

Nadere informatie