Voorwoord. Bij de met een * gemerkte opgaven hoort een werkblad.

Transcriptie

1 Voorwoord Dit hoofdstuk komt uit het boek van editie 011 (voor de eamenjaren 009 t/m 016), maar is wat betreft dit onderwerp ook geschikt voor het nieuwe eamen vanaf 017. Eigenlijk was het de bedoeling om dit hoofdstuk een opfrisbeurt te geven voor dit nieuwe eamen, maar het is niet gelukt dit op tijd af te hebben. Omdat scholen hier niet op kunnen blijven wachten, zetten wij dit oude hoofdstuk online. De behandeling is een mi van inzicht en oefening. Daarbij komt de algebra uit de onderbouw aan de orde; dat betreft algemene wiskunde vaardigheden. We bouwen verder op het deel voor havo 4. Opgaven of onderdelen daarvan met een, zijn niet noodzakelijk voor de opbouw en kunnen eventueel worden overgeslagen. Deze opgaven of delen zijn meestal moeilijker. Elk hoofdstuk heeft een of meer paragrafen die geschikt zijn als keuzeopgaven. Deze kunnen goed gebruikt worden om te verdelen over de klas en door leerlingen te laten presenteren. Dat zijn: hoofdstuk 6, paragraaf 1, 6, 9 Bij de met een * gemerkte opgaven hoort een werkblad. De verwijzingen naar de Grafische Rekenmachine zijn geschreven op de TI84. Ze zijn gemarkeerd door nevenstaand mannetje. Andere apparaten werken analoog. Veel succes 1

2 Eponenten en Logaritmen 1 Eponentiële rijen 4 Eponentiële functies 11 De eponentiële familie 17 4 Vergelijkingen 5 Logaritmen 7 6 Klein en groot 7 Op de GR 6 8 De hoofdeigenschap 9 9 Logaritmische verbanden 4 Antwoorden 50 Uitgave 011 Colofon 008 Stichting De Wageningse Methode Auteurs Illustraties Distributie Leon van den Broek, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh, Aafke Piekaar, Daan van Smaalen Wilson Design, Uden Iddink voortgezet onderwijs bv, Postbus 14, 67 BA Ede ISBN Homepage Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke andere wijze ook, zonder voorafgaande toestemming van de houder van het copyright.

3 Eponenten en Logaritmen

4 1 Eponentiële rijen 1 Volgens een oud verhaal toonde de uitvinder van het schaakspel zijn vinding aan de koning. Deze was zo ver-rukt van de schoonheid van het spel, dat hij de man vorste-lijk wilde belonen. De uitvinder mocht zelf zijn beloning kiezen. Hij koos: 1 graankorrel op het eerste veld van het schaakbord, graankorrels op het tweede veld, 4 graankorrels op het derde veld, 8 graankorrels op het vierde veld, enzovoort, tot en met het vierenzestigste veld. De koning was verbaasd over zoveel bescheidenheid en gaf zijn dienaren de opdracht de beloning voor de uitvinder in orde te maken. a. Ga na dat er ongeveer 00 graankorrels op het elfde veld komen. b. Hoeveel korrels komen er op het vierenzestigste veld? c. Stel dat tien graankorrels samen 1 gram wegen. Hoeveel ton (duizend kg) weegt dan de massa korrels op het vierenzestigste veld? Vergelijk dit met de jaarlijkse wereldgraanproductie van ca 600 miljoen ton. De koning was natuurlijk niet in staat om aan de wens van de uitvinder te voldoen: het aantal graankorrels op het schaakbord is onvoorstelbaar groot. Dat terwijl we toch met nietige aantallen van 1,, 4, 8,... korrels begonnen. Kennelijk zorgt 6 keer verdubbelen voor een gigantisch aantal. Het aantal graankorrels op het vierenzestigste veld noteren 6 we zo: (twee tot de macht drieënzestig). Op de GR tik je in: ^ 6. 4 Eponenten en Logaritmen

5 Stel dat jouw Germaanse (?) voorvader in het jaar 1 één eurocent op de bank had gezet tegen 1% rente. Bij dat rentepercentage wordt een kapitaal elk jaar 1,01 keer zo groot. 000 In het jaar 001 is het kapitaal dan aangegroeid tot (1,01) eurocent. Bereken eens hoeveel euro dat is. Valt dat tegen? Kennelijk levert een jaarlijkse vergroting met een kleine factor als 1,01 op den duur toch wel grote resultaten. Anneke heeft een reep chocolade van 00 gram. Ze breekt er de eerste keer de helft van af en eet die op. Daarna wordt ze zuiniger: ze breekt van de rest de helft af en eet die op. Enzovoort: elke volgende keer eet ze van het overgebleven stuk de helft. We zien af van praktische problemen: snel zal het breken van de rest lastig worden en zal ze nauwelijks in de gaten hebben dat ze iets in haar mond steekt. a. Hoeveel gram chocolade consumeert Anneke de zevende keer? de b. Hoeveel gram chocolade consumeert Anneke de n keer? (n is een variabele.) c. Hoeveel gram chocolade heeft Anneke nog na n keer over? Schrijf je antwoord met een macht. 4 We starten met een vierkant van oppervlakte 1. We verdelen het in vier vierkanten en kleuren het stuk links-onder zwart. Dat was stap 1. In stap nemen we de drie witte vierkanten. Elk van die drie vierkanten verdelen we in vieren en kleuren de stukken links-onder zwart. Enzovoort: in de volgende stap nemen we de resterende witte vierkanten, verdelen die allemaal in vieren en kleuren de stukken linksonder zwart. a. Teken het plaatje dat je krijgt na 4 stappen. de W n is de oppervlakte van het stuk dat nog wit is na de n stap. b. Maak een tabel voor W n. c. Geef een formule voor W n. d. Onderzoek met je rekenmachine na hoeveel stappen het witte deel kleiner dan 1% is? de e. Zn is de oppervlakte van het stuk dat na de n stap nog zwart is. Geef een formule voor Zn. Eponentiële rijen 5

6 Helge von Koch ( ) was een Zweedse wiskundige. Hij maakte zijn kromme in De sneeuwvlokkromme In een cirkel is een gelijkzijdige driehoek met zijde 6 cm getekend. Deze driehoek is het nulde model. Hieruit maken we als volgt het eerste model: 1. Verdeel elke zijde van het nulde model in drie gelijke stukken.. Teken op de middelste derde delen een gelijkzijdige driehoek (aan de buitenkant).. Laat de middelste derde delen weg. Door deze procedure op het eerste model toe te passen ontstaat het tweede model. We kunnen zo doorgaan. Op den duur krijgen we een model dat steeds meer op een sneeuwvlok gaat lijken: de sneeuwvlokkromme van Koch. het nulde model het eerste model het tweede model de Pn is de omtrek van het n model in cm. a. Bereken P0, P1 en P. b. Geef een formule voor Pn. c. Bepaal met je rekenmachine de kleinste waarde van n, waarvoor Pn groter is dan 0 m. de On is de oppervlakte van het n model in cm. Voor On geldt n de volgende formule: On = (1,6 0,6 ( 49 ) ) 9. d. Controleer de juistheid van de formule voor de gevallen n = 0 en n = 1. e. Onderzoek of On groter kan zijn dan 5. Eamen havo wiskunde B, 1996 tijdvak 6 Eponenten en Logaritmen

7 6 In de laatste opgave is de omtrek een eponentiële functie van n. Als je voor een zekere n de waarde van Pn weet, vind je de volgende waarde door met een vast getal te vermenigvuldigen. a. Met welk getal moet je vermenigvuldigen? b. Is er zo'n constante factor voor het gewicht aan chocolade dat Anneke na n keer nog over heeft (opgave )? c. Is er zo'n constante factor voor Zn in opgave 4? d. Is er ook zo'n constante factor voor On in opgave 5? Toelichten. A0, A1, A, A,... is een eponentiële rij als elke term (behalve A0) ontstaat uit de vorige door die met een vaste factor te vermenigvuldigen. Die vaste factor is de groeifactor van de rij. A0 is de beginterm en heeft geen voorganger. Men spreekt ook wel van een meetkundige rij. De vaste factor noemt men wel de reden van de rij. Eponentiële rijen kun je ook mooi op de GR maken. Je moet dan eerst een beginwaarde en een groeifactor kiezen. Op de TI 8 gaat dat als volgt: Toets MODE: zet het apparaat op Seq Toets Y= nd Voer in: u(n) = g u(n 1) [u vind je met u ; g is de groeifactor] Kies een beginterm [u(nmin)] Toets TABLE 7 Bekijk de volgende rij: 0, 480, 70, 80, 160, 40, 645,.... De termen noemen we A0, A1, A, A, enzovoort. a. Ga na dat dit het begin van een eponentiële rij is. Wat is de groeifactor? b. Wat zijn de volgende twee termen? c. Geef een formule voor An. 8 Anneke heeft begin vast op de bank gezet tegen % rente. Vast betekent dat ze er langere tijd niet over kan beschikken; ze is verplicht het volle bedrag twintig jaar onaangeroerd te laten. Dat is gunstig voor de bank en die geeft dan ook in zo'n geval een hoog rentepercentage: aan Anneke dus %. Eponentiële rijen 7

8 Aan het eind van een jaar krijgt Anneke bericht van de bank dat de rente over het afgelopen jaar is bijgeschreven en hoe groot haar kapitaal daarmee is geworden. Op 1 januari 001 was dat 10, op 1 januari We bekijken de rij bedragen (in euro's) op 1 januari van de opvolgende jaren, te beginnen met 000: 00, 10, 1,... a. Wat zijn de volgende drie bedragen? b. Ga na dat we met een eponentiële rij te maken hebben. Wat is de groeifactor? c. Eigenlijk is het gek dat de rij bedragen een eponentiële rij geven. Immers, er wordt elk jaar een bedrag bij opgeteld. En bij een eponentiële rij wordt juist vermenigvuldigd! Of is dat toch niet gek? Leg uit. d. Geef een formule voor het bedrag Bn op 1 januari van het jaar 000+n. e. Na twintig jaar loopt de spaarvorm af. Op 1 januari 00 wordt het eindbedrag aan Anneke uitgekeerd. Welk bedrag is dat? 9 Bekijk nog eens rij An uit opgave 7. Bij deze rij maken we een nieuwe rij: Bn = 00 An. a. Bereken de eerste vier termen: B0, B1, B en B. b. Is dit weer een eponentiële rij? Zo ja, wat is de groeifactor? c. Geef een formule voor Bn, uitgedrukt in n. A-formaten Het meest bekende papierformaat is het zogenaamde Aformaat. 8 Eponenten en Logaritmen

9 Een uitgevouwen krant heeft het A1-formaat. Als je zo'n vel dubbelvouwt, krijg je het A-formaat, vouw je dat weer dubbel dan krijg je het A-formaat. Enzovoort. Een briefkaart bijvoorbeeld heeft het A6-formaat. Alle vellen in deze serie zijn gelijkvormig. Het grootste vel in de reeks is A0: dat heeft zijden van 84,1 bij 118,9 cm; de op pervlakte is 1 m. De lange zijde van A1 is gelijk aan de korte zijde van A0; de korte zijde van A1 is de helft van de lange zijde van A0. Dat volgt uit het dubbelvouwen. a. Maak een tabel t/m het A-formaat: (misschien kun je je GR gebruiken) formaat A0 A1 korte zijde Kn lange zijde Ln oppervlakte On 84,1 118,9 000 b. Een proefwerkblaadje heeft het A4-formaat. Controleer de afmetingen met de tabel. c. Geef een formule voor de oppervlakte On. De oppervlaktes vormen een eponentiële rij met groeifactor. De korte zijden vormen ook een eponentiële rij. Eveneens de lange zijden. Uit het feit dat de groeifactor van de oppervlakte is, volgt de groeifactor van de korte en de lange zijde. d. Wat is die groeifactor? Controleer je antwoord in de tabel. Geef een formule voor Kn en voor Ln. n 11 An = A0 g is een eponentiële rij. Bij deze rij maken we vier nieuwe rijen: Bn = A, Cn = An, Dn = + An, En = (An). n Ga bij elk van deze rijen na of hij weer een eponentiële rij is. Zo ja, wat is de groeifactor? Zo nee, geef een voor-beeld waaruit blijkt dat het antwoord nee is. De plaatjes die bij de opgaven 4 en 5 werden opgebouwd, worden wel fractals genoemd. Een fractal is een meetkundige figuur waarin hetzelfde motief zich op steeds kleinere schaal herhaalt. Sinds de intrede van de computer zijn fractals gemakkelijk te maken. Ze staan tegenwoordig sterk in de belangstelling. Ze zijn niet alleen vanwege het fraaie figuratieve ka-rakter interessant. Aan de basis van fractals staan wiskundige theorieën, die een centrale rol spelen bij het hanteren van chaos. En dat is van belang bij weersvoorspellingen, verkeersproblemen, insectenplagen enzovoort. Eponentiële rijen 9

10 1 De zeef van Sierpinski Begin met een zwarte gelijkzijdige driehoek (links). Door daarop een zekere procedure te laten werken, ontstaat op den duur de figuur rechts: de zeef van Sierpinski. nummer 0 nummer De startfiguur is dus de driehoek: die heeft nummer 0. Daaronder staat figuur nummer : die je krijgt na drie stappen. Hierboven staat vergroot figuur nummer 5. a. Beschrijf de procedure die je moet toepassen om van een figuur naar de figuur van het opvolgend nummer te komen. We letten verder alleen op de zwarte driehoeken. Van figuur nummer 0 is de oppervlakte. In figuur nummer zijn er 7 zwarte driehoeken. 1 b. Leg uit dat één zo'n zwarte driehoek oppervlakte 64 heeft. c. Hoeveel zwarte driehoeken heeft nummer n? Wat is de oppervlakte van één zo'n zwarte driehoek? Wat is dus de zwarte oppervlakte Zn in figuur nummer n? d. Hoeveel procent van de begindriehoek wordt op den duur wit? Waclaw Sierpinski ( ) was een Poolse wiskundige. Hij bedacht de zeef in Eponenten en Logaritmen

11 Eponentiële functies In de vorige paragraaf hebben we alleen positieve getallen in de eponent gekozen. Nu laten we alle getallen als eponent toe. 1 Als je een fles melk uit de koelkast haalt, zal de temperatuur van de melk langzaam oplopen. De begintemperatuur is die van de koelkast, de eindtemperatuur is die van de omgeving waarin de fles terecht komt. Bij een zekere koelkasttemperatuur en een bepaalde omt gevingstemperatuur geldt de formule: T = ,78. Hierin is T de temperatuur in graden Celsius en t het aantal minuten dat is verstreken nadat de melk uit de koelkast is gehaald. a. Teken op de GR de grafiek van deze functie. Welk window lijkt jou geschikt? b. Onderzoek wat er gebeurt met de grafiek als t groot wordt. Verwoord je conclusie. c. Uit de formule kun je zowel de koelkasttemperatuur als de omgevingstemperatuur afleiden. Doe dat. Toelichten. d. Bepaal met je rekenmachine wanneer de temperatuur van de melk 15,5 C is. Afronden op een geheel aantal minuten. e. Bereken het differentiequotiënt T t gedurende de eerste minuut dat de melkfles uit de koelkast is. Eamen havo wiskunde B, 1996 tijdvak 1, gedeeltelijk Eponentiële functies 11

12 Blaasontsteking bij mensen wordt veroorzaakt door de colibacterie (Eschirichia Coli). Een kolonie van zulke bacteriën groeit snel: in 0 minuten tijd is hun aantal verdubbeld. Bij iemand bevonden zich op tijdstip t = 0 zo'n 00 colibacteriën in de urinewegen. Het aantal bacteriën t uur later noemen we N(t). t a. Verklaar dat N(t) = b. Teken de bijbehorende grafiek op de GR. c. De infectie wordt pas door de drager opgemerkt als hij 8 zo'n bacteriën heeft. Wanneer is dat het geval? (GR) 8 d. Bij het legen van een volle blaas wordt 90% van de bacteriën uitgestoten. Hoeveel tijd heeft de kolonie daarna nodig om weer op het 8 peil van te komen? Omdat het moeilijk is om alleen door middel van drinken van een blaasontsteking af te komen, wordt meestal een medicijn gebruikt. Door gebruik van een zeker medicijn neemt het aantal bacteriën elk uur af met 65%. Het aantal bacteriën, t uur na het innemen van het medicijn noemen 8 we M(t). M(0) =. t 8 e. Verklaar de formule M(t) = 0,5. f. De bacterie is uitgeroeid als M(t) < 1. Na hoeveel uur is dat het geval? (GR) Afronden op een geheel aantal uren. Bij de kernramp in Tsjernobyl in 1986 kwamen vooral de radio-actieve elementen Jodium (11), Cesium (17) en Strontium (91) vrij. Radio-actieve stoffen zenden straling uit, die bij grote dosis erg schadelijk kan zijn voor de gezondheid. Maar gelukkig neemt de stralingsintensiteit af in de loop van de tijd. a. Van Jodium (11) neemt de stralingsintensiteit snel af, namelijk met 8, % per etmaal. Toon aan dat de straling na acht dagen gehalveerd is. De halfwaardetijd (of halveringstijd) van Jodium (11) is acht dagen. b. Hoe lang duurt het voordat de stralingsintensiteit tot een kwart is teruggegaan? c. Stel een formule op voor de stralingsintensiteit van Jodium (11) in %, als functie van de tijd in dagen. d. Teken de grafiek op de GR. Controleer daarmee je antwoorden op a en b. 1 Eponenten en Logaritmen

13 4 In 1960 telde de aarde circa,0 miljard mensen. In 1970 waren dat er,6 miljard. Stel dat de wereldbevolking eponentieel groeit. a. Hoeveel mensen waren dan op aarde in 1980? En in 1990? En in 1950? We rekenen de tijd in decennia (tientallen jaren). t = 0 komt overeen met begin M(t) is het aantal mensen op tijdstip t. b. Stel een formule op voor M(t). c. Teken de bijbehorende grafiek op de GR. d. In het artikel hieronder van Wikipedia kun je lezen dat de 5 miljardste wereldbewoner werd geboren halverwege 1987 en de 6 miljardste halverwege Controleer of dit in overeenstemming is met je formule uit b. e. In het artikel staat ook een voorspelling over de stand van de wereldbevolking in het jaar 050. Blijft volgens de VN de groeifactor in de komende eeuw hetzelfde, neemt hij toe, of neemt hij af? Bevolkingsgroei In 1804 woonden er één miljard mensen op de wereld. In 197 waren dat twee miljard. Eind jaren '50 groeide de wereldbevolking tot drie miljard personen. Op 11 juli 1987 werd het Kroatische jongetje Matej Gaspar symbolisch uitgeroepen tot vijfmiljardste wereldburger. Op 19 juli 1999 werd volgens de Verenigde Naties de zesmiljardste mens geboren. Een baby uit Sarajevo kreeg de eer. Dit was uiteraard een symbolische keuze, omdat niet was na te gaan wie daadwerkelijk de zesmiljardste wereldburger werd. De VN koos voor Sarajevo om te tonen dat de regio zich herstelde. De VN hanteert een scenario met betrekking tot bevolkingsgroei. In dat scenario, de "constant-fertility variant", wordt uitgegaan van een voortzetting van het huidige, hoge, geboortecijfer. In dat scenario zal de wereldbevolking in 050 de 1 miljard benaderen. Functies van de vorm y = A g zijn eponentiële functies. Het getal g heet de groeifactor. Eponentiële functies 1

14 * 5 We nemen in de algemene gedaante y = A g voor A het getal 1 en voor g de getallen 1,, 4, en. Hieronder staan de vijf grafieken. a. Geef op het werkblad met kleur aan hoe de grafieken precies lopen. b. De grafieken van y = (1 ) en y = ( ) lopen ergens tussen de vijf getekende grafieken door. Teken deze twee erbij op het werkblad. 6 a. De grafieken van de eponentiële functies y = g heb-ben een punt gemeenschappelijk. Welk punt? Kun je dat verklaren? b. Wat weet je van het grondtal g als de functie stijgend is? En wat als de functie dalend is? Blijft er één geval over. Welk? c. Hoe ziet de grafiek eruit van y = 0,99? En van y = 1,01? 7 Kun je van de volgende functies zeggen of ze stijgend of dalend zijn (zonder eerst de grafiek te tekenen): y = ( ), y =, y = ( ), y = 0,9? De grafiek van y = gaat aan de linkerkant steeds meer op de -as lijken. Preciezer gezegd: als je langs de grafiek van y = naar links gaat, kom je zo dicht bij de -as als je maar wilt. We zeggen dat de -as horizontale asymptoot is van de grafiek van y =. 8 a. Ga na dat de -as horizontale asymptoot is van de grafiek van elke eponentiële functie (behalve als g = 1). b. Ken jij nog een andere functie waarvan de grafiek asymptoten heeft? 14 Eponenten en Logaritmen

15 9 Vergelijk de functies y = en y =. De formules lijken veel op elkaar. Maar het zijn toch heel verschillende functies. a. Noem eens wat opvallende verschillen, bijvoorbeeld wat de grafieken betreft. b. Teken beide grafieken in één figuur, voor -5 5.? c. Voor welke positieve getallen geldt: < We gaan het groeigedrag van y = en y = vergelijken. Daarvoor berekenen we de gemiddelde toename van beide functies op verschillende -intervallen van lengte 1. Voorbeeld We laten toenemen van tot. Dan neemt y = toe van 4 tot 8. Dus y = 4. Dan neemt y = toe van 4 tot 9. Dus y = 5. a. Bereken y voor beide functies op de -intervallen in de tabel. b. Is de conclusie gerechtvaardigd dat voor grote waarden van de functie y = veel sneller groeit dan y =? We hebben in de vorige opgave gekeken naar de absolute toename van y. We kunnen ook kijken naar de relatieve toename van y: dat is hoeveel keer zo groot y wordt op een -interval van lengte 1. Voorbeeld We laten toenemen van tot. Dan neemt y = toe van 4 tot 8. y wordt dus groot. Dan neemt y = toe van 4 tot 9. y wordt dus zo groot. Eponentiële functies 8 4 = keer zo 9 4 =,5 keer 15

16 11 a. Bereken voor beide functies hoeveel keer zo groot y wordt op de -intervallen in de tabel. b. Wat valt je op? 1 a. We bekijken de functie y =. Hoeveel keer zo groot wordt y op een -interval van lengte 1? b. Dezelfde vraag voor de functie y = 7 ( ). Het orgel van de Nicolai kerk te Hamburg. Per octaaf worden de pijpen van een orgel half zo hoog. Zodoende brengt een orgel eponentiële groei fraai in beeld. 16 Eponenten en Logaritmen

17 De eponentiële familie y = g is de standaard eponentiële functie met grondtal g. De -as is horizontale asymptoot van de grafiek (behalve als g = 1). Als g > 1, dan is de functie stijgend, als 0 < g < 1, dan is de functie dalend. De grafiek gaat door het punt (0,1). 1 f() = - + a. De grafiek van f is verwant met de grafiek van de standaard eponentiële functie y =. Hoe moet je de grafiek van y = verschuiven om de grafiek van f te krijgen? b. Is f stijgend of dalend? c. Teken de grafiek van f. d. Welke lijn is asymptoot van de grafiek van f? e. Welke getallen zitten in het bereik van f? f() = 1 + ( ) en g() = 1 ( ) a. Hoe krijg je de grafiek van f uit die van y = ( )? En hoe krijg je de grafiek van g uit die van y = ( )? b. Is f stijgend? En g? c. Geef een vergelijking van de horizontale asymptoot van de grafiek van f. Ook voor de grafiek van g. d. Geef het bereik van beide functies. e. Er is een getal, met f() = 4. Wat is g() voor dat getal? h() = - ( ) + 5 a. Hoe ontstaat de grafiek van h uit die van y = ( )? b. Is h een stijgende functie? Hoe zie je dat aan de formule van h? c. Welke lijn is horizontale asymptoot van de grafiek van h? d. Geef het bereik van h. De eponentiële familie 17

18 De grafiek van y = a g + b is verwant aan de grafiek van y = g. Je krijgt de grafiek van y = a g + b door de grafiek van y = g a keer zo steil te maken (ten opzichte van de -as) en daarna b eenheden omhoog te schuiven. De lijn y = b is horizontale asymptoot van de grafiek van y = a g + b. We herhalen de rekenregels voor machten. p q = a p q = a = a = (a b) an = n a p = I a a II a :a III (a ) IV a b V VI p q p p p+q p q p q p 1 a 1 ap 4 a. Vul in: = :7 = (7 ) = = ( ) b. Bereken zonder rekenmachine: 1, 1,77,5 1,5 : ( ) 0,5 0,5 8 5 Bereken zonder rekenmachine; schrijf tussenstappen op: 8, 1 49, 000, - 8, -1 49, Schrijf zo mogelijk als macht van één getal Eponenten en Logaritmen

19 7 Goed of fout? = 1 = (-) (40) 1 (-) 7 = 5 ( ) = = = = 4 14 = 7 = 15 ( ) = 5 5 = 5 5 = 4 8 a. Teken in één window de grafieken van y = en y =( ). b. Hoe liggen de grafieken ten opzichte van elkaar? c. Er is een verband tussen en ( ) : voor elke zijn en ( ) elkaars omgekeerde. Uit welke rekenregel volgt dit verband? d. Voor welke geldt:? En voor welke geldt: ( )? 9 a. Teken in één window de grafieken van y = en + y =. b. Hoe moet je de grafiek van y = verschuiven om de + grafiek van y = te krijgen? c. Hoe moet je de grafiek van y = vermenigvuldigen + om de grafiek van y = te krijgen? + d. Wat is dus het verband tussen en? Uit welke rekenregel volgt dat verband? + e. Voor welke geldt:? a. Teken in één window de grafieken van y = en 1 y =. b. Hoe liggen de grafieken ten opzichte van elkaar? 1 c. Wat is het verband tussen en? Uit welke rekenregel volgt dat verband? d. Voor welke geldt:? 11 a. Teken in één window de grafieken van y = en y = 8. b. Hoe liggen de grafieken ten opzichte van elkaar? c. Wat is het verband tussen en 8? Uit welke rekenregel volgt dat verband? d. Voor welke geldt: 8? De eponentiële familie 19

20 1 a. Teken in één window de grafieken van y = en 1 y =. b. Hoe liggen de grafieken ten opzichte van elkaar? c. Welke functie krijg je als je de functies y = en 1 y = met elkaar vermenigvuldigt? d. Wat is het snijpunt van de grafieken? p 1 We bekijken de bundel functies y = 5 voor elk getal p. Het getal p is een parameter: bij elke waarde van p hoort één eemplaar uit de bundel. a. Hoe ontstaan de grafieken in de bundel uit elkaar? b. Voor welke waarde van p gaat het eemplaar door het punt (,- )? 14 We bekijken de bundel functies y = p ( ) voor elk getal p. a. Hoe ontstaan de grafieken in de bundel uit elkaar? b. Voor welke waarde van p gaat het eemplaar door het punt (-1,1)? 15 Hieronder staat de grafiek van een functie f. Voor 0 geldt de formule f() =. Voor 0 geldt een andere formule. Gegeven is verder dat de grafiek van f puntsymmetrisch is in het punt (0,1), wat betekent dat bij spiegeling in het punt (0,1) de grafiek van f in zichzelf overgaat. a. Bereken f(1) en f(5). b. Stel de formule van f op voor 0. Op de volgende bladzijde is de grafiek getekend van de afgeleide functie f ' voor 0. c. Neem de grafiek van f ' over en voltooi hem door er het gedeelte dat hoort bij > 0 bij te tekenen. Toelichten. 0 Eponenten en Logaritmen

21 Eamen havo wiskunde B, 1994 tijdvak De eponentiële familie 1

22 4 Vergelijkingen De vergelijking = 8 kun je onmiddellijk oplossen. Immers, duidelijk is dat = aan de vergelijking voldoet en ook dat het enige getal is met die eigenschap. Maar dan weet je automatisch ook de oplossing van de 1 vergelijking = 8. Daarvoor moet namelijk 1 gelijk aan zijn. Dus = 4. 1 Voor welke geldt: +7 a. 7 b. = 8? c. d. = 8? = 8? 1 = 8? Los op: a. 5 b. 5 c. 4 d. - = = = = +1 f() = 4 en g() = a. Teken in één window de grafieken van f en g. Uit de grafiek kun je aflezen dat het snijpunt van de grafieken eerste coördinaat - heeft. Of - precies goed is, kun je nagaan door f(- ) en g(- ) uit te rekenen. b. Zijn f(- ) en g(- ) eact gelijk? 4 In het snijpunt van de grafieken van de vorige opgave geldt: f() = g(). We kunnen de waarde van ook vinden zonder grafieken te tekenen. Dat gaat door de rekenregels voor machten toe te passen. Als volgt: Eponenten en Logaritmen

23 f() - 4 = = g() +1 grondtallen gelijk maken - +1 = grondtallen weglaten - = +1 - = 1 = -. Controleer elke stap in deze berekening. Leg met name uit - - dat 4 =. + 5 f() = en g() = ( ) a. Teken in één window de grafieken van f en g. b. Lees de coördinaten van het snijpunt af. c. Bereken de coördinaten van het snijpunt op de manier van opgave 4. d. Voor welke geldt: f() < g()? 6 f() = 9 en g() = ( ) a. Teken in één window de grafieken van f en g. b. Lees de coördinaten van het snijpunt af. c. Bereken de coördinaten van het snijpunt. d. Voor welke geldt: f() < g()? 7 Zeppelins Af en toe zie je ze nog wel als reclamemiddel, zulke sigaarvormige luchtschepen. In de jaren dertig werden ze als lue vervoermiddel gebruikt. Een probleem was dat het draaggas door de huid van het luchtschip ontsnapte. Een verlies van 50% per dagen was normaal. De Graf Zeppelin, 198 Vergelijkingen

24 Een luchtschip heeft op tijdstip 0 nog m draaggas. De hoeveelheid draaggas na t dagen noemen we G(t) (in duizenden m ). We gaan uit van een verlies van 50% per dagen. a. Teken de grafiek van G voor de eerste 50 dagen. (Zet om de dagen een stip; dus zes stippen in totaal. Trek daardoor een vloeiende kromme.) b. Na hoeveel dagen is 5% van het draaggas verloren gegaan? Aflezen uit de grafiek. c. Hoeveel procent van het draaggas gaat verloren in 1 dagen? --d. Noem de groeifactor per dag: g. Dan geldt: g = (vul in). Bereken hieruit de groeifactor g in drie decimalen. e. Geef een formule voor G(t). 8 Een bacteriekolonie wordt elke dag 7 keer zo groot. a. Bereken de groeifactor per halve dag. b. Bereken de groeifactor per uur. 9 a. We bekijken drie vergelijkingen: (1) =,89, () = 1,7, () = 4,18. Laat zien hoe je van vergelijking (1) vergelijking () kunt maken. En hoe je van (1) vergelijking () kunt maken. Welk van de drie vergelijkingen kun je het gemakkelijkst oplossen? b. Los op: =,89. a. We bekijken drie vergelijkingen: 4 (1) = 1, () =, () = 4. Laat zien hoe je van vergelijking (1) vergelijking () kunt maken. En hoe je van () vergelijking () kunt maken. Welk van de drie vergelijkingen kun je het gemakkelijkst oplossen? b. Los op: = Los op, in twee decimalen: = p = 1,4 z = a 0, = 1 b = 1 c = 1 1 d = 0 4 Eponenten en Logaritmen

25 1 Op grotere hoogte is de luchtdruk veel lager dan op zeeniveau. Afgezien van kleine atmosferische schommelingen is de luchtdruk op zeeniveau 00 millibar. De luchtdruk is een eponentiële functie van de hoogte. Op vijf kilometer hoogte is de luchtdruk ongeveer 500 millibar. a. Noem de groeifactor per km: g. Bij vijf km stijging wordt 5 de luchtdruk dan g keer zo groot. De luchtdruk is op zeeniveau 00 millibar en op vijf km hoogte 500 millibar. Bereken hieruit g. b. Hoe groot is de luchtdruk op 1 km hoogte? c. Hoe groot is de luchtdruk boven op de Mount Everest (8848 meter)? d. Geef een formule voor de luchtdruk L als functie van de hoogte h; L in millibar en h in km. e. Probeer uit te zoeken op welke hoogte de luchtdruk 00 millibar is. Welke methode gebruik je? Om een algemene indruk te krijgen van de hygiënische gesteldheid, hebben de onderzoekers eerst het kiemgetal vastgesteld. Dit getal geeft het aantal bacteriën aan dat in de garnaal zit. Worden de garnalen te lang bewaard, worden ze onvoldoende gekoeld, is het water waarin ze worden gekoeld niet schoon, al dit soort zaken komen tot uitdrukking in een hoog kiemgetal. De ontwerpnorm voor dit kiemgetal, zoals dat medio 1985 zou moeten gelden, bedraagt één miljoen bacteriën per gram. Geen enkele garnaal voldoet op dit moment aan die norm. Slechts vier van de door ons onder de loep genomen monsters bevatten minder dan miljoen bacterien per gram, wat volgens de normen van de Internationale Commissie voor Microbiologische Eisen aan Voedsel (ICMSF) nog toelaatbaar is. Vergelijkingen 1 Hollandse garnalen: 0% onvoldoende Dit was de kop van een artikel in Koopkracht, het maand-blad van Konsumenten Kontakt (september '84), over de kwaliteit van Hollandse garnalen. Hiernaast staat een gedeelte van dat artikel afgedrukt. Er staat te lezen dat het kiemgetal (dit is het aantal bacteriën per gram) in gar-nalen soms meer dan 0 miljoen bedroeg. Een onvoor-stelbaar groot aantal, vaak te wijten aan onvoldoende hygiëne. Onvoorstelbaar is ook de snelheid waarmee een bacteriecultuur zich uit kan breiden. Als voorbeeld nemen we de Shigella-bacterie. Neem aan dat een portie garnalen besmet is met 0 Shigella-bacteriën per gram (het kiemgetal is dus 0). De garnalen worden bewaard bij een temperatuur van 0 C. Dan wordt het kiemgetal elk uur 5, keer zo groot. a. Hoe groot is het kiemgetal uur later? En een halve dag later? b. Geef een formule voor het kiemgetal t uur later. c. Ga er vanuit, dat mensen ziek worden van garnalen als het kiemgetal groter is dan miljoen. Zoek een methode om te bepalen na hoeveel uur de garnalen niet meer voor consumptie geschikt zijn. Gevraagd wordt een geheel aantal uren. Welke methode heb je gekozen? 5

26 14 Helderheid van water Op ruim honderd meter diepte is de zee zo donker als de nacht. Op zo'n diepte komt geen plantaardig leven voor. Er bewegen zich slechts enkele lichtpuntjes, die meegevoerd worden door inktvissen en kleine schaaldiertjes. Zeewater laat per meter ongeveer 90% van het licht door; de rest wordt verstrooid of geabsorbeerd en in warmte omgezet. a. Eén meter zeewater laat 90% van het invallende licht door. De daarop volgende meter laat hiervan weer 90% door, dus meter zeewater laat 0,9 0,9 = 0,81 oftewel 81% van het daglicht door. Hoeveel procent van het daglicht is er over op 0 meter diepte? b. Geef een formule voor het percentage van het daglicht op meter diepte. In een door de maan verlichte nacht is de lichtsterkte maar ste deel van de lichtsterkte overdag. Op zekere zeediepte is het net zo donker als in een door de maan verlichte nacht. c. Ga na dat die diepte ligt tussen 1 en meter. Zoek een methode om die diepte in meters nauwkeurig te bepalen. Welke methode heb je gekozen? t In opgave 1c kreeg je de vergelijking 5, = 0.000, in opgave 14c de vergelijking 0,9 = Deze vergelijkingen heb je opgelost met je rekenmachine. Hoe je zo'n vergelijking snel in vele decimalen nauwkeurig op kunt lossen is onderwerp van de volgende paragraaf. 6 Eponenten en Logaritmen

27 5 Logaritmen 1 We bekijken de Shigella-bacterie uit opgave 1 van de vorige paragraaf. Hieronder staat een stukje van de grat fiek van de functie S(t) = 5,. Het tijdstip t waarop S(t) = is op de t-as aangegeven. Dat tijdstip komt niet mooi uit. Dat tijdstip noemen 5, we log Spreek dat uit als de 5,-logaritme van 0000 of korter 5,-log In de grafiek kun je aflezen dat log ,9. 6,9 Dit betekent dus dat 5, a. Reken na of dit klopt. 5, b. Lees uit de grafiek af hoe groot log ongeveer is. --Vul in: , en reken na of dit klopt. 5, 5, log is de tijdsduur waarin het aantal bacteriën keer zo groot wordt, bij groeifactor 5,. Een andere bacteriekolonie verdubbelt zich per uur. We gaan ons de volgende vraag stellen: Hoeveel uur duurt het voordat het aantal bacteriën 7 keer zo groot wordt? a. Noteer het antwoord op deze vraag met behulp van --een logaritme: log ---. b. Schrijf precies op wat de betekenis is van: log 0. c. Schrijf precies op wat de betekenis is van: log 0,1. Logaritmen 7

28 log 8 is het aantal uur dat het duurt voordat de kolonie 8 keer zo groot is. Dat getal is dus eact. d. Geef zo ook de eacte waarden van de volgende logaritmen. Gebruik een rekenmachine alleen maar om je antwoorden te controleren. log 4 log log log log log 1 log 4 log e. Vul op de juiste plaatsen de woorden "groeifactor", "tijdsduur" en "vergrotingsfactor" in: log 64 = We bekijken opnieuw de duisternis van de diepzee (opgave 14 van de vorige paragraaf). We vroegen hoeveel meter je moet duiken om nog het ste deel van het licht over te houden, bij groeifactor 0,9 per meter. Dat 0,9 getal noemen we log Hieronder staat een stukje van de grafiek van de functie L() = 0,9. a. Uit de grafiek kun je aflezen dat 0,9 log ongeveer gelijk is aan 118. Dat betekent dus dat 0, Reken na of dat klopt. b. Lees af uit de grafiek hoe groot is. Reken na of je antwoord klopt ,9 log 5 ongeveer Eponenten en Logaritmen

29 4 In een sterk verontreinigd meer neemt de hoeveelheid licht per meter die je duikt af met 50%. We gaan ons de volgende vraag stellen: Hoeveel meter moet je duiken voordat er nog maar % van de hoeveelheid licht over is? a. Noteer het antwoord op deze vraag met behulp van --een logaritme: log ,5 b. Schrijf precies op wat de betekenis is van: log 0,. 0,5 log 0,15 is het aantal meter dat je moet duiken voordat de hoeveelheid licht 0,15 keer zo groot is. Dat getal is dus eact. c. Geef zo ook de eacte waarden van de volgende loga-ritmen. Gebruik een rekenmachine alleen maar om je antwoorden te controleren. 0,5 0,5 log 0,5 log 4 0,5 0,5 log 0,5 log 0,5 0,5 log 1 log d. Vul op de juiste plaatsen de woorden "groeifactor", "tijdsduur" en "vergrotingsfactor" in: 0, log 16 = We bekijken een eponentieel groeiproces met groei-factor g. g log is de tijdsduur die nodig is om de hoeveelheid keer zo groot te laten worden. t g Als g =, dan log = t (en omgekeerd). 5 We bekijken een eponentieel groeiproces met groeifactor 5. a. De tijdsduur waarin de hoeveelheid 5 keer zo groot 5 wordt, is log 5. Welk geheel getal is dat? b. Schrijf enkele "vijf-logaritmen" op die mooi uitkomen. Logaritmen 9

30 Voorbeeld We willen log 8 berekenen. Noem dit getal even t. t ( ) -t t = 8 = = - 6 Bereken: a. 7 7 log 7 b. log 0,1 c. log 1 g g log g log 0,1 0,1 log log d. log 1 e. 7 log 1 g log 1g g log log 4 log g 1 g log g 7 log g g Nieuwe getallen Soms komen logaritmen mooi uit. Zo is log 9 geen nieuw getal: het is een andere schrijfwijze voor het getal. Meestal komen logaritmen niet mooi uit. Zo kenden we het getal log nog niet. En het is wel even wennen aan nieuwe getallen. Zoiets heb je al eerder ervaren, namelijk toen je in de derde klas kennis maakte met wortels, en al op de basisschool toen je voor het eerst met breuken ging werken. Eigenlijk is er nu weer hetzelfde aan de hand. Vergelijk maar eens de vragen over breuken, wortels en logaritmen in de volgende opgave. 7 Welke getallen zijn geheel, welke niet? 1 0, 11, 8, 7, log 9, log 8. Eponenten en Logaritmen

31 De functies MAAL en DEEL DOOR zijn elkaars inverse. Dat betekent het volgende. In woorden Als je op een getal eerst de ene functie laat werken en daarna op de uitkomst de andere functie, dan krijg je het oorspronkelijke getal terug. In machientjestaal MAAL DEEL DOOR DEEL DOOR MAAL In formuletaal ( ) : = ( : ) = 8 Bereken zonder rekenmachine: en ( ) zijn elkaars inverse. a. Zeg op drie manieren wat dat betekent: in woorden, in machientjestaal en in formuletaal. b. Bereken zonder rekenmachientje: ( 1999 ) ( ) 1999 () --- en log zijn elkaars inverse. a. Zeg op drie manieren wat dat betekent: in woorden, in machientjestaal en in formuletaal. b. Bereken zonder rekenmachientje: log( 1999 ) log( ) log1999 Algemeen Logaritmen g g log, log g log g t t 1

32 11 We controleren deze twee formules nog eens voor drie gevallen die mooi uitkomen. a. Bereken zonder rekenmachientje: log 8 log 8 log log 1 4 0,1 log 0,1log 0,1 b. Bereken zonder rekenmachientje: 5 log 5 log 0,1 0,1 log 0,1 1 a. Het grondtal van een logaritme kan niet elk getal zijn. 1 0 Probeer maar eens uit te rekenen wat log 7, log 7 en 7 log 7 zouden moeten zijn. Waarom lukt dat niet? b. Ook kun je niet van elk getal de logaritme nemen. Probeer maar eens uit te rekenen wat log -4 en log 0 zouden moeten zijn. Waarom lukt dat niet? Afspraak g log bestaat alleen als > 0 en g > 0 en g 1. Eponenten en Logaritmen

33 6 Klein en groot Logaritmische schaalverdelingen: GÉÉN onderdeel CE vanaf 017! 1 De logaritmische schaal Een blauwe vinvis is het grootste dier dat ooit geleefd heeft; hij weegt gemiddeld 0 ton (1 ton = 00 kg). Een bij weegt 0,1 gram. a. Hoeveel bijen zijn samen even zwaar als een blauwe vinvis? In de biologie hebben we te maken met erg zware en erg lichte dieren. Om het hele scala van etreem licht tot uiterst zwaar op één getallenlijn in beeld te brengen gebruiken we een logaritmische schaal (de gewichten zijn in grammen). b. Waarom zetten we de gewichten eigenlijk niet uit op een gewone, lineaire, schaal? c. Neem de logaritmische schaal over (neem als eenheid 1 cm) en geef er op aan: de mens (0 kg), de merel (0 gram), de vlo (0,01 gram). d. Bij een lineaire schaal wordt, als je 1 cm naar rechts gaat, het bijbehorende getal 1 groter. Hoe zit dat bij de logaritmische schaal? Hoeveel cm staat het getal 00 rechts van 1 op de logaritmische schaal? En 0,0001? Om een getal op de logaritmische schaal te plaatsen, moet je uitrekenen hoeveel cm het rechts van 1 komt te staan. Daarvoor schrijf je het getal als macht van ; de eponent moet je hebben. e. Schrijf 75 als macht van ; dus 75 = ---. Hoeveel cm rechts van 1 staat 75 dus op de logaritmische schaal? De knop log op je rekenmachine is log Op je rekenmachientje zit de knop log : daarmee vind je de eponent om een getal als macht van te schrijven. Toets maar eens in: log, log 0,.... f. Gebruik de log-knop om het gewicht van een olifant (4 ton) op de logaritmische schaal (van vraag c) aan te geven. Ook van een spreeuw (80 g) en een mensenbaby ( kg). Klein en groot

34 Waar staat het getal 16 op een getallenlijn met eenheid 1 cm? 1) Op een lineaire schaal staat 16 op afstand 16 cm rechts van 0. ) Op een logaritmische schaal staat 16 op afstand log 16 1, cm rechts van 1. De opeenvolgende machten van : , = 0,01, 1 = 0,1, = 1, =, = 0,... vind je op een logaritmische schaal op regelmatige afstanden van 1 cm van elkaar. In plaats van de cm kun je natuurlijk ook een andere eenheid nemen. Geluid De variatie in geluidssterkte is erg groot. Het menselijk oor is gevoelig voor heel zachte geluiden (een speld valt op een wollen vloerkleed) en voor heel harde geluiden (een startend straalvliegtuig). Om het hele bereik op één getallenlijn aan te geven gebruiken we een logaritmische schaal. We nemen het geluid van de vallende speld als basisgeluid (de gehoordrempel): 0 bel (bel is de eenheid waarin we geluidssterkte uitdrukken). Een geluid van 1 bel is keer zo sterk als het basisgeluid (dat komt dus overeen met gelijktijdig vallende spelden). Een geluid van bel is even sterk als dat van 0 gelijktijdig vallende spelden, enzovoort. a. Maak een logaritmische schaal als bij opgave 1 en geef daarop aan: - ademhaling (00 spelden) - rustige huiskamer (.000 spelden) - naburig onweer ( miljoen spelden) 14 - straalvliegtuig (pijngrens: spelden) Om de plaats (= het aantal bel) van een geluid te bepalen moet je de -logaritme nemen van het equivalente aan-tal spelden. b. Een normaal gesprek op één meter afstand heeft een geluidssterkte van spelden. Hoeveel bel is dat? Geef een normaal gesprek aan op de logaritmische schaal. c. Dicht bij de boen haalt een popgroep wel een geluidssterkte van bel. Geef dat aan op de logaritmische schaal. Hoeveel keer zo sterk is dat als een naburig onweer? d. De klassen V4a en V4b zijn even rumoerig. Apart brengt elk een geroezemoes van 7 bel voort. De klassen komen bij elkaar in één lokaal. 4 Eponenten en Logaritmen

35 Hoeveel bel meet het gezamenlijke geroezemoes? Een bacteriesoort wordt gekweekt op een voedingsbodem. Het aantal bacteriën groeit eponentieel; de groeifactor per dag is. Op tijdstip 0 zijn er 00. a. Hoeveel zijn er na dag? Geef dat aantal aan op een logaritmische schaal. b. Hoeveel bacteriën zijn er 40 uur vóór tijdstip 0? Ook aangeven op de logaritmische schaal. 9 c. Wanneer zijn er een half miljard ( )? Aangeven op de logaritmische schaal. Volume (cm ) Aantal cellen Walvis Sequoia 6 14 Holtedier 5 1 Kelp Spons 4 1 Paddestoel 4 Over het algemeen vertoont een groter organisme een grotere compleiteit. Het ene uiterste is een foraminifeer met maar één soort cel, in een betrekkelijk klein aantal. Het andere uiterste is een walvis met honderd verschillende celtypen. Hiernaast staan van verschillende organismen het volume en het aantal cellen uitgezet tegen het aantal celtypen. Op de assen zijn logaritmische schalen gebruikt. De grafiek is afkomstig uit De maat van het leven, een uitgave van Natuur en Techniek. a. Bepaal zo nauwkeurig mogelijk met behulp van de grafiek het aantal celtypen van een paddestoel, het volume van een paddestoel en het aantal cellen van een paddestoel. b. Hoeveel cellen gaan er in één kubieke centimeter? 11 Groenwier Foraminifeer Aantal celtypen Klein en groot 5

36 7 Op de GR Op de GR zit niet voor elke logaritme een knop: alleen voor de logaritme met grondtal (knop LOG) en voor de logaritme met grondtal e (knop LN). In deze paragraaf leggen we uit hoe je met de knop LOG ook alle andere logaritmen kunt berekenen. 1 a. Schrijf en als machten van ; geef de eponenten in vier decimalen (gebruik de log-knop): = en = b. We gaan log uitrekenen; dat getal noemen we even t. Probeer in onderstaande afleiding elke stap te volgen en vul het ontbrekende in. log = t t = 0, ( ) t 0, t 0, t 0, = 0, = = t 0, 0, _ 0, _ = c. Welke antwoord heb je voor log gevonden (in vier decimalen)? Bereken tot de macht dat getal. Komt eruit wat er uit moet komen? De teller is precies log en de noemer is log. Je kunt log dus zó uitrekenen: log log ENTER. a log b kun je zó op je GR berekenen: log b log a ENTER. log b log a of: nieuwste versie software kent logbase( ) Formule 6 a log b = Eponenten en Logaritmen

37 Benader op je GR in drie decimalen: 4 4 log 5 log log log 0 log 5 log 1 log 5 log 50 Los de volgende vergelijkingen op, in drie decimalen achter de komma. 7 = = 11 = 7 = 11 = 111 (1,1) = 1 ( ) = (1,1) = 1 4 Een kapitaal van 5.4 staat uit tegen % rente per jaar. De groei van het kapitaal is eponentieel. a. Wat is de groeifactor per jaar? Geef een formule voor het kapitaal na t jaar. b. Zodra het kapitaal is aangegroeid tot.000 wordt het van de bank gehaald. Hoe lang duurt dat (in maanden nauwkeurig)? 5 Een glasplaat van 1 cm neemt 0% van het erop vallend licht weg. a. Leg uit dat door een glasplaat van cm 64% van het licht wordt doorgelaten. b. Hoeveel procent van het licht wordt doorgelaten door een glasplaat van cm? c. Hoe dik moet je een glasplaat maken om slechts 40 procent van het licht door te laten (in mm nauwkeurig)? 6 Op juli 1987 werd in Zagreb Matej Gaspar geboren (zie bladzijde 17). Hij werd door de VN symbolisch gekozen tot de 5 miljardste aardbewoner. Men schat dat de wereldbevolking elk jaar toeneemt met 1,9%. Wanneer zal volgens deze schatting de wereldbevolking de 8 miljard bereiken? 7 a. Los op in drie decimalen nauwkeurig: 7 ( ) = 4 = 7 7 y ( ) = y = 7 b. Verklaar het opvallende verband. Op de GR 7

38 8 a. Los op in twee decimalen nauwkeurig: y = 1 8 = 1 y = 0,78 8 = 0,78 b. Verklaar het opvallende verband. 9 Lawaai Geluid is een trilling in de lucht die door het gehoororgaan waargenomen wordt. De intensiteit I van geluid wordt uit-gedrukt in watt per vierkante meter (W/m ). Uit eperi-menten blijkt dat geluid met een intensiteit van één bil-joenste ( 1) W/m voor jonge mensen nog net hoor-baar is. Dit wordt de gehoorgrens genoemd. Het andere uiterste is de pijngrens: die ligt bij een geluidsintensiteit van W/m. De geluidsintensiteit van het tikken van een horloge op 1 meter afstand komt ongeveer overeen met de gehoorgrens; het geluid van een opstijgend straal-vliegtuig met de pijngrens. Uit de intensiteit I leidt men een meer praktische grootheid af, het geluidsdrukniveau L, volgens de formule: L = log I, waarbij I0 de geluidsintensiteit is die hoort I0 bij de gehoorgrens, dus I0 = 1 W/m. De eenheid van geluidsdrukniveau heet decibel, afgekort db, genoemd naar Aleander Graham Bell, de uitvinder van de telefoon. a. Bereken de geluidsdrukniveaus die horen bij de gehoorgrens en de pijngrens. Op een zekere afstand produceren twee personenauto's elk een geluidsdrukniveau van 80,0 db. De geluidsintensiteit is twee maal de geluidsintensiteit van één personen-auto. b. Bereken de waarde van hun gezamenlijk geluidsdrukniveau in één decimaal nauwkeurig. Het verkeerslawaai in de buurt van een verkeersweg is onder meer afhankelijk van de afstand tot de weg. Voor afstanden van 0 tot 00 meter gebruikt men de volgen-de formule: L = L0 log( R), waarbij R de afstand tot de as van de weg in meters is, L0 het geluidsdrukniveau van het verkeer op de as van de weg is, L het geluidsdrukniveau op R meter afstand van de as van de weg is. Bij een afstand van R = 0 m behoort een geluidsdrukniveau van 77 db. c. Bereken in meters nauwkeurig welke afstand R behoort bij een geluidsdrukniveau van 74 db. Eamen havo wiskunde B, 1995 tijdvak 1 8 Eponenten en Logaritmen

39 8 De hoofdeigenschap 1 a. Bereken in één decimaal nauwkeurig: log, log 5 en log 15. b. Welk verband lijkt te bestaan tussen deze drie logaritmen? c. Iemand denkt dat log + log 5 = log 8. Wat denk jij? We korten even af: log = a, log 5 = b en log 15 = c. a b c a. Dan geldt: =, = en = (vul in). b. Leg uit hoe hier uit volgt dat a+b = c. c. Klopt dit met je vermoeden in 1b? Een bacteriekolonie groeit eponentieel met groeifactor per uur. a. In hoeveel uur wordt de kolonie 8 keer zo groot? En in hoeveel uur keer zo groot? En in hoeveel uur 8 = 16 keer zo groot? Conclusie Als je de vergrotingen vermenigvuldigt: 8 = 16, dan moet je de tijdsduren optellen: +1 = 4. b. In hoeveel uur wordt de kolonie 4 keer zo groot? En in hoeveel uur keer zo groot? En in hoeveel uur 4 keer zo groot? Conclusie Als je de vergrotingen vermenigvuldigt: 4, dan moet je de tijdsduren optellen: + =. c. In t1 uur wordt de kolonie a1 keer zo groot en in t uur wordt hij a keer zo groot. In hoeveel uur wordt de kolonie a1 a keer zo groot? Conclusie Algemeen g g g log a1 + log a = log a1 a log a1 + log a = log a1 a Dit is de hoofdeigenschap van logaritmen. De hoofdeigenschap 9

40 4 We controleren de hoofdeigenschap voor enkele gevallen. 5 5 a. Bereken log 65 + log op twee manieren, beide zonder rekenmachine: 5 5 1) door log 65 en log apart uit te rekenen, 5 5 ) door log 65 + log met de hoofdeigenschap eerst 5 te schrijven als log. b. Bereken op twee manieren met je rekenmachine: log 0 + log 5 en log 7 + log. 5 Bereken zonder rekenmachine; gebruik de hoofdeigenschap: log 6 log log 0,4 0 log log 5 log log 1 log 0,08 log 0 log + log log 5 log 5 Uit de hoofdeigenschap kun je andere eigenschappen van logaritmen afleiden. In de vorige opgave heb je gezien dat log 6 + log 1 = log 9, dus log 9 log 1 = log 6. Algemeen g g g log a log b = log 6 Bereken zonder rekenmachine: 4 4 log 640 log 5 5 log log 0,7 0,7 log log log 84 log log log 6 log 5 log a b 5 log Er volgt nog een interessante formule uit de hoofdeigenschap. Kijk maar: log + log + log = log, dus: log = log. Algemeen 40 g p g log = p log Eponenten en Logaritmen

41 7 a. We controleren deze formule voor twee gevallen. Ga met je rekenmachine na dat: log 00 = log 00 en 4 log 7 = 4 log 7. b. Bereken zonder rekenmachine; schrijf ook je tussenstappen op: 4 11 log 11 log 11 log ( 91 ) log ( 1 9 ) 11 g g c. Leg uit hoe uit de formule volgt: log 1 = log. 8 Van de getallen a, b en c is gegeven: a a log b = 5 en log c =. Bereken: a log b a log b c a log bc a log a log bc log b c a log 1c a a 1 b log bc 9 a, b en c zijn positieve getallen. a. Bewijs dat geldt: log ab + log bc + log ca = log abc. b. Bewijs dat geldt: log ba + log bc + log ca = 0. a. Voor welke geldt: log =? log =? log =? log 1 log = log 4? c. Voor welke geldt: log + log 8 = log 1 log 95 log = log log log = log 7 log + log 40 = 4 log log 5 = 1 + log 7 De hoofdeigenschap log (+1) =? log (+1) =? log ( 1) =? log ( ) =? =? b. Voor welke geldt: log = log 6? 1 log log 6 + log = log 6? 1 = log?????? 41

42 log log = log 1 log? 11 Hoe presteert een sprinter op de km? Hoe presteert een lange-afstandloper op een kortere afstand? En als je weet hoe snel iemand de 0 meter loopt, kun je dan ook voorspellen hoe lang hij over de km doet? Daar gaat deze opgave over. Stel dat een atleet de 000 meter loopt met een snelheid van 0 km/u. Een andere afstand s meter zal hij afleggen met een andere snelheid, zeg van v km/u. Er geldt: v = 0 log s. 000 a. Bereken v als s = 400. Rond je antwoord af op een geheel getal. b. Hoe kun je aan de formule zien dat bij een langere afstand een lagere gemiddelde snelheid hoort? c. Wat voor effect heeft verdubbeling van de afstand op de gemiddelde snelheid? d. De gegeven formule laat zich herschrijven tot: v s =. Toon dat aan. Eamen havo wiskunde B, 1989 tijdvak 1 In de jaren zestig werd de rekenliniaal veel gebruikt. Daarop staan (onder andere) logaritmische schalen. Met behulp hiervan kon men snel grote vermenigvuldigingen uitvoeren. 4 Eponenten en Logaritmen