Algebraïsche vaardigheden op 4 VWO Wiskunde B Verslag onderzoeksplan

Transcriptie

1 Algebraïsche vaardigheden op 4 VWO Wiskunde B Verslag onderzoeksplan Iris Fox Blended Master Wiskunde Studentnummer

2 Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Inleiding... 2 Hoofdstuk 2: Theoretisch kader... 3 Wat zijn algebraïsche vaardigheden?... 3 Symbol sense... 3 Eigenschappen van de leerling... 4 Mogelijke oplossingen... 4 De gekozen interventie... 5 Hoofdstuk 3: Voorgestelde interventie... 7 Inleiding... 7 Inhoud van het programma... 7 CIMO-logica... 8 Hoofdstuk 4: Voorgestelde methode... 9 De testgroep... 9 Het resultaat... 9 Hoofdstuk 5: Planning en organisatie Literatuurlijst

3 Hoofdstuk 1: Inleiding De afgelopen maanden heb ik mij bezig gehouden met de vraag: Hoe is het gesteld is met de algebraïsche vaardigheden van de 3 en 4 VWO leerlingen met wiskunde B? Om een goed beeld te kunnen krijgen hiervan, is er een leerlingtest op het College Weert uitgevoerd waarop leerlingen van 4 VWO met wiskunde B, de doelgroep voor het onderzoek volgend schooljaar, getest worden op hun algebraïsche vaardigheden. Deze bleken op verschillende punten flink onder de maat. In totaal werden van alle testvragen slechts 45,5% juist beantwoord. Met name vragen met manipuleren van breukvormen, het werken met machten, het herleiden van een algebraïsche uitdrukking en inzichtsvragen kwamen slecht uit de bus. Deze resultaten sluiten goed aan bij de antwoorden uit de afgenomen docentenenquête. Het slechtste werd gepresteerd op inzicht, in dit verband beter te beschrijven als de structuur van een formule doorzien. Landelijk staan algebraïsche vaardigheden regelmatig ter discussie. Er wordt steeds vaker onderzoek naar gedaan en vervolgopleidingen geven aan dat hun studenten ondermaats presteren op dit vlak. Volgens docenten heeft dit te maken met te weinig tijd om daadwerkelijk structureel bezig te kunnen zijn met deze algebraïsche vaardigheden, waardoor ze niet beklijven. In de les is deze tijd er vaak niet en in de schoolboeken wordt wel aandacht besteed eraan, maar te weinig of niet regelmatig genoeg. Soms wordt hierbij beschuldigend naar de onderbouw gewezen. Er dient dan ook vervolgonderzoek uitgevoerd te worden, om te onderzoeken op welke manier de algebraïsche vaardigheden van leerlingen op 4 VWO met wiskunde B verbeterd kunnen worden. Vanuit de literatuur is ook op te merken dat algebraïsche vaardigheden een hot item zijn. Er wordt steeds meer onderzoek naar gedaan. De uitgevers passen hun boeken aan, ze stoppen er meer algebraïsche vaardigheden in en benoemen dit ook nadrukkelijk. Met het oog op het interventieonderzoek komen een aantal belangrijke punten naar voren, die zowel vanuit de literatuur, alsook vanuit het gesproken woord van collega s op één lijn liggen. De belangrijkste vraag voor dit onderzoeksplan zal zijn Hoe kunnen de algebraïsche vaardigheden van leerlingen verbeterd worden en welke middelen zijn daarvoor nodig?. Met name het doorzien van de structuur van een formule blijkt voor leerlingen lastig en is daarom een belangrijk punt in dit interventieonderzoek. Hoe kun je leerlingen trainen om juist dit te ontwikkelen? Omdat dit ook vanuit de literatuur als een ontwikkelpunt naar voren kwam, zal op dit onderdeel de focus komen te liggen, waarbij de structurele en algemene vaardigheden wel degelijk meegenomen moeten worden omdat zij de basis vormen voor het oplossen van algebraïsche vraagstukken. Samenhangend met de centrale onderzoeksvraag zijn de volgende deelvragen geformuleerd: Welke interventies zijn er ontwikkeld en toegepast en wat waren de effecten daarvan? Welke mogelijkheden biedt de school mij op het gebied van tijd en ruimte? Hoe kan een docent leerlingen trainen om de structuur van een formule te doorzien? Op welke manier kan een docent recht doen aan de verschillen in niveau tussen de leerlingen? 2

4 Hoofdstuk 2: Theoretisch kader Algebra en de Tweede Fase, dat is een aparte combinatie waarin leerlingen enerzijds gebruik mogen maken van hulpmiddelen zoals een formulekaart en een grafische rekenmachine, anderzijds wordt er van ze verwacht in staat te zijn algebraïsche bewerkingen terplekke en zonder deze hulpmiddelen uit te voeren. In het artikel Discrete Algebra wordt uitgelegd dat leerlingen uit 4 VWO meestal niet in (aantal hoeken 2) 180 staat zijn om de formule te herleiden tot (Kindt, 2000). Dit legt aantal hoeken N meteen de vinger op de zere plek bij het werken met algebra in de bovenbouw: leerlingen missen de algebraïsche vaardigheden, die zo hard nodig zijn in andere verbanden, geïntegreerde opdrachten of in andere contexten. Wat zijn algebraïsche vaardigheden? Om een goed beeld te krijgen van wat we precies verstaan onder algebraïsche vaardigheden, maakt Kemme onderscheid tussen algemene en specifieke algebraïsche vaardigheden (Kemme, 2000). De opgaven waarin specifieke (instrumentele) algebraïsche vaardigheden van leerlingen verwacht worden, beperken zich tot een korte instructie als: los op, ontbindt in factoren, herleid, bereken exact, enzovoort. Deze korte teksten benoemen de vaardigheden vaak expliciet en als ze dat niet doen, is het bekijken van deze opgaven al voldoende om te weten wat er gevraagd wordt. Behalve deze opgaven met expliciete instructies, zijn er ook opgaven waarin het niet meteen duidelijk is, welke kennis en vaardigheden nodig zijn om de opgave op te kunnen lossen. Tegenwoordig bevatten de boeken uit de bovenbouw veel van deze, vaak contextrijke, opgaven waarin een juiste interpretatie van het probleem een grote rol speelt. Vaak is er algemene algebraïsche kennis nodig, zoals kennis over de samenhang tussen een formule en grafiek of tabel. Tot deze algemene algebraïsche vaardigheden kan ook het kiezen van een juiste strategie gerekend worden. Symbol sense Maar algebra is meer dan het beheersen van basisvaardigheden. Het kiezen van een juiste strategie om een opgave aan te pakken, opstellen van modellen, het kiezen van vervolgstappen, onderscheiden van belangrijke en minder belangrijke informatie, het juist interpreteren van resultaten enzovoort, door Kemme ook wel algebraïsch redeneren genoemd, of in de vakliteratuur symbol sense genoemd (Arcavi, 1994; Drijvers, 2003). Symbol sense is te vergelijken met number sense bij rekenen. Het is een algebraïsche expertise die op de achtergrond een belangrijke rol speelt bij het plannen en uitvoeren van basisbewerkingen. Het gaat hier dan om kennis van achterliggende concepten en strategische vaardigheden. In termen van Van Streun (P. Drijvers, 2012) omvat symbol sense het Weten hoe en Weten waarom. Fig 1. Verschillende aspecten van Algebraïsche vaardigheid (Drijvers, 2012) Figuur 1 geeft het onderscheid tussen basisvaardigheden en symbol sense schematisch weer. Het is niet altijd mogelijk om een duidelijke lijn te trekken tussen deze twee. Deze tweedeling kan wel helpen om de moeilijkheden met algebraïsche vaardigheden in de bovenbouw beter te bekijken. De 3

5 meeste klachten van docenten uit de bovenbouw en vervolgopleidingen komen over de linker kolom, die van de basisvaardigheid. Eigenschappen van de leerling Een belangrijke vraag die beantwoord dient te worden is welke eigenschappen een leerling moet hebben om een algebraïsch vraagstuk te kunnen oplossen. De twee belangrijkste zijn het herschrijven van algebraïsche uitdrukkingen en het oplossen van vergelijkingen. Maar hier houdt het niet bij op. Het is van belang dat leerlingen een repertoire aan heuristieken ontwikkelen voor het oplossen van algebraïsche problemen (Streun, 1989). Het vermogen om formules en expressies te lezen is een belangrijke algebraïsche deskundigheid. Een eveneens belangrijk onderdeel daarvan is het ontwikkelen van een totaalblik op expressies en formules. Hierdoor kan een leerling irrelevante informatie negeren en zich richten op de essentiële kenmerken van een opgave, waardoor ze beter bestand zijn tegen complexere, algebraïsche situaties. Beide eerdergenoemde algebraïsche vaardigheden zijn belangrijk voor leerlingen om te beheersen. Een leerling die alleen over specifieke algebraïsche vaardigheden beschikt, zal niet ver komen in het eindexamen, waar de opgaven voor het overgrote deel uit contexten bestaan. Van een leerling wordt dus verwacht dat deze beide vaardigheden in voldoende mate moet bezitten, om opgaven van dit type tot een goed einde te kunnen brengen. Als een leerling de structuur van een formule niet kan doorzien of niet weet dat je geen wortel kunt trekken uit een negatief getal, heeft de leerling er weinig aan dat hij/zij perfect vergelijkingen kan oplossen (Kemme, 2000). Mogelijke oplossingen Op welke manier kun je ervoor zorgen dat leerlingen daadwerkelijk begrijpen wat ze doen? In de afgelopen eeuw zijn door verschillende critici (Thorndike, 1924; Wertheimer, 1959; Gick & Holyoak, 1983; De Lange, 1987; Gravemeijer, 1994; Greeno, Collins & Resnick, 1996; Mayer & Wittrock, 1996; Lobato, 2003; etc.) uitspraken gedaan over wat er precies overgedragen wordt, hoe deze overdracht gebeurt, waarom dit zo belangrijk is en hoe deze kennisoverdracht geoptimaliseerd kan worden door middel van instructie. Ondanks de verschillen in hun zienswijze, benadrukken zij allemaal dat het enorm belangrijk is om een goede selectie te maken van de voorbeelden die leerlingen voorgeschoteld krijgen tijdens hun leerproces (Bock, 2011). Volgens grootschalig onderzoek (Arcavi A., 1994) zijn een aantal zaken belangrijk om goede instructie en overdracht van kennis te kunnen garanderen: Symbolische manipulaties moeten aangeleerd worden in rijke contexten die de mogelijkheden bieden om te leren wanneer en hoe deze manipulaties gebruikt moeten worden. Door grote open problemen aan leerlingen voor te schotelen, kunnen ze zelf ontdekken hoeveel facetten van symbol sense zo gestimuleerd worden. De grafische rekenmachine of een andere ICT tool kan hierbij een goed middel zijn. Opdrachten die op het eerste gezicht erg technisch van aard lijken, kunnen door a-priorische kennis van leerlingen inzichtelijk gemaakt worden. Algebraïsche symboliek moet aan het begin van een nieuwe situatie worden geïntroduceerd, opdat leerlingen ze niet zien als formele en betekenisloze verschijningen om mee te worstelen, maar als krachtige manieren om problemen mee te kunnen begrijpen en oplossen en erover te kunnen praten met elkaar. 4

6 Door leerlingen te laten ontdekken dat er meerdere manieren zijn om een probleem op te lossen en deze oplossingen met elkaar in verband te brengen, ontwikkelen ze een grotere symbol sense. Laat leerlingen steeds kritisch kijken naar symbolen en niet klakkeloos regels toepassen zonder te begrijpen wat er echt gebeurt. Uit ander onderzoek (Kaminsky, 2008) bleek dat het geven van meerdere concrete voorbeelden aan leerlingen niet de meest efficiënte manier van kennisoverdracht opleverde. Door een probleem complexer te maken worden meer oplossingsstrategieën bekeken. Door vooral te werken vanuit concrete abstracte concepten, wordt het moeilijk om eenzelfde probleem in een contextrijke opgave te herkennen. Bovendien is het voor jonge leerlingen moeilijk om hun aandacht te vestigen op één concrete opgave, omdat ze het moeilijk vinden om zich te kunnen focussen. Een contextrijke opgave geeft zo meer ruimte aan de jonge leerling. Het IES (Institute of Education Sciences) heeft een pratice guide uitgebracht met daarin een aantal goede aanbevelingen om een lesprogramma te ontwikkelen (Star, 2015): Laat leerlingen reeds opgeloste en uitgewerkte problemen bediscussiëren om verbindingen te leggen tussen strategieën en logica. Selecteer opgeloste problemen die reflecteren op de lesdoelen, inclusief problemen waarin veelgemaakte fouten voorkomen. Maak hierbij gebruik van zowel klassikale discussies, groepswerk en individueel werk. Leer leerlingen om de structuur van een algebraïsche expressies te ontrafelen en begrijpen. Gebruik daarbij de juiste terminologie, laat leerlingen reflecteren om de structuur duidelijk te krijgen en laat ze zien dat meerdere representaties van eenzelfde probleem andere informatie kan geven. Laat leerlingen opzettelijk kiezen tussen verschillende oplossingsstrategieën. Laat ze daarvoor eerst de strategieën herkennen en produceren, moedig ze aan om redeneringen en de wiskundige juistheid te formuleren. Daarna gaan leerlingen verschillende oplossingsstrategieën vergelijken en evalueren. De gekozen interventie De interventie die zal gaan plaatsvinden is een ontwerpinterventie die zal bestaan uit een structureel programma dat aan leerlingen aangeboden zal worden. Er zal een lessenserie voor acht weken, met elke week twee lessen van 15 tot dertig minuten, ontwikkeld worden waarin leerlingen verschillende problemen voorgeschoteld krijgen. Ze zullen deels aan de basis van algebraïsche vaardigheden werken en daarnaast ook probleemopgaven krijgen om zo feeling te ontwikkelen voor het kiezen van een juiste oplossingsstrategie. Er zal een afwisseling plaatsvinden van klassikale discussie, groepswerk en individueel werk. Opgaven zullen individueel in een schriftje gemaakt worden en door de docent nagekeken en nabesproken worden, klassikaal en/of individueel. Op deze manier houdt de docent een vinger aan de pols en kan op tijd bijsturen. Door structureel te oefenen, zullen leerlingen beter worden in het oplossen van algebraïsche vraagstukken en door te discussiëren met klasgenoten krijgen leerlingen ook andere ideeën en zienswijzen te horen, waardoor ze een breder repertoire opbouwen en anders gaan nadenken tijdens en voorafgaand aan het oplossen van opgaven. De opgaven zullen ontwikkeld worden volgens de practise guide van het IES omdat deze recentelijk is gepubliceerd en naar verwachting het beste past bij de leerling van deze tijd. Daarnaast sluiten de aanbevelingen van deze guide feilloos aan bij het grootste probleem uit het onderzoeksverslag, namelijk het doorzien van de structuur van een 5

7 formule. Er zal dus veel nadruk gelegd worden op het begrijpen, uiteenrafelen, reflecteren en discussiëren van en over problemen. Voor wat betreft de mogelijkheden op school, blijkt alles mogelijk, zolang het in mijn eigen lessen past. Een geschikt lokaal kan aangevraagd worden indien nodig. 6

8 Hoofdstuk 3: Voorgestelde interventie Inleiding Volgend schooljaar zullen twee vierde klassen VWO, waarin leerlingen zitten met wiskunde B, gebruikt worden om de hierna beschreven interventie te gaan testen. In de ene klas wordt de interventie toegepast, in de andere klas wordt regulier lesgegeven. Voorafgaand aan de interventie zal een test plaatsvinden om het startniveau van beide klassen vast te stellen. Daarna zal de interventie gedurende een periode van acht lesweken tussen de start van het schooljaar en de kerstvakantie worden uitgevoerd. Leerlingen in de testklas krijgen tijdens de wiskundeles, die 75 minuten duurt en twee keer per week gegeven wordt, een programma aangeboden waar ze elke les tussen de 15 en dertig minuten mee bezig zullen zijn. Na afsluiting van het programma zal opnieuw een test in beide klassen worden afgenomen, die vergelijkbaar is qua niveau, lengte en inhoud, zodat vastgesteld kan worden of, en zo ja op welke manier, de interventie effect heeft gehad. Inhoud van het programma In totaal zullen er twintig contactmomenten met de leerlingen uit de testklas zijn. Tijdens deze contactmomenten zal een intensief programma worden doorlopen waarin de leerlingen zullen gaan werken aan hun algebraïsche vaardigheden. Aan de ene kant zullen ze werken aan de basisvaardigheden ofwel specifieke algebraïsche vaardigheden om zo snel en efficiënt een probleem op te kunnen lossen, wanneer zij de strategie reeds bepaald hebben, omdat het belangrijk is dat leerlingen een repertoire aan heuristieken ontwikkelen voor het oplossen van algebraïsche problemen (Streun, 1989). Aan de andere kant zullen ze getraind worden om een juiste keuze te maken voor een bepaalde oplossingsstrategie, om zo beter te worden in het kiezen van een juiste strategie om een opgave aan te pakken, opstellen van modellen, het kiezen van vervolgstappen, onderscheiden van belangrijke en minder belangrijke informatie, het juist interpreteren van resultaten enzovoort, door Kemme ook wel algebraïsch redeneren genoemd, of in de vakliteratuur symbol sense genoemd (Arcavi, 1994; Drijvers, 2003). Het programma dat ontwikkeld gaat worden, zal op verschillende manieren aangeboden worden. Leerlingen krijgen opzettelijk geen boekje met daarin alles wat er gaat gebeuren, omdat VWO leerlingen vaak de neiging hebben om vooruit te werken. Daardoor zou een leerling al halverwege het programma klaar kunnen zijn met het programma, waardoor de laatste vijf weken weinig tot geen aandacht meer wordt geschonken aan hun vaardigheden en de test dan geen goed beeld zal geven van het effect. Het materiaal zal daarom per les aan de leerlingen bekend worden gemaakt, door middel van stencils in combinatie met een eigen website die wekelijks zal worden aangevuld. Aan het begin van de week, voorafgaand aan de eerste les, zal een complex probleem worden voorgeschoteld aan leerlingen, dat verschillende aspecten van vaardigheden vereist om opgelost te kunnen worden. Dit probleem verschijnt op de website en kan op die manier al voorafgaand aan de daadwerkelijke les bekeken worden. Leerlingen krijgen het probleem te zien en mogen proberen om het op te lossen. Tijdens dit oplossen is het van groot belang dat zij alles opschrijven wat ze denken en doen en geen foute zaken tussentijds weghalen. Alles wat de leerlingen opschrijven, zullen zij in een apart schrift doen. Tijdens de les zal een klassengesprekje plaatsvinden zodat er discussie kan komen rondom het probleem. Samen zal besproken worden welke vaardigheden belangrijk zijn om het probleem goed op te kunnen lossen. Daarna zal er dieper worden ingegaan op die specifieke vaardigheden: Er worden zorgvuldig gekozen, goede voorbeelden met opgeloste problemen getoond, omdat dit 7

9 enorm belangrijk is (Bock, 2011) (Star, 2015). Verder worden er ook fout-opgeloste problemen getoond, leerlingen moeten verklaren welke fouten worden gemaakt, zodat zij meer begrip zullen vormen (Star, 2015). Vervolgens zullen leerlingen de specifieke algebraïsche vaardigheden gaan herhalen om snelheid en accuratesse te kweken. Tijdens de tweede les van de week is er ruimte om hier nog mee verder te gaan. Aan het einde van de week wordt teruggeblikt op het oorspronkelijke probleem en wordt aan de leerlingen gevraagd deze netjes uit te werken in hun schrift en een korte evaluatie te schrijven van de week. Deze evaluatie zal digitaal ingeleverd worden. Het schrift zal tussentijds met de herfstvakantie bekeken worden door de docent en aan het einde van het programma nogmaals uitvoerig bekeken worden. Op deze manier is er de ruimte om acht weken lang een probleem voor te leggen aan de leerlingen, waarin zij aan allerlei aspecten van het probleemoplossen zullen gaan werken. CIMO-logica In het onderzoek zal CIMO-logica worden toegepast in het ontwerp van een programma voor de leerlingen van 4 VWO met wiskunde B. De inhoud van de CIMO is als volgt: Problematische context. Leerlingen uit de betreffende doelgroep hebben onvoldoende algebraïsche vaardigheden paraat. Wanneer zij een toets verwachten, wordt ervoor geleerd en gaat het beter, maar doordat ze weinig begrip hebben in algebraïsche structuren, lukt het oplossen niet wanneer het onverwachts getoetst wordt. Een onderdeel dat er uitspringt, is het doorzien van de structuur van een formule. Interventie. Er zal een acht weken durend programma worden gemaakt om de leerlingen met allerlei aspecten van algebraïsche vaardigheden kennis te laten maken. Er zal afwisseling in werkvormen zijn en leerlingen zullen achteraf hun leerproces evalueren. Mechanismen. Met deze interventie worden getracht de volgende mechanismen uit te lokken: Leerlingen zullen beter gaan kijken naar een vraagstuk en een gegronde keuze gaan maken voor hun aanpak. Verder zullen leerlingen meer zelfvertrouwen ontwikkelen voor het oplossen van algebraïsche vraagstukken. Tenslotte zal de docent meer inzicht krijgen in de problemen die daadwerkelijk spelen bij zijn leerlingen, door de intensieve begeleiding en controle. Outcomes. Met het uitlokken van deze mechanismen worden verschillende outcomes beoogd: betere resultaten op algebraïsche vaardigheden, zowel bij wiskunde maar later ook bij verwante vakken zoals scheikunde en natuurkunde (deze zullen niet in het onderzoek bekeken worden). 8

10 Hoofdstuk 4: Voorgestelde methode Als design voor dit onderzoek is gekozen voor een ontwerp. Deze past het beste bij de probleem, omdat leerlingen beter kunnen worden in het oplossen van algebraïsche vaardigheden als zij veel oefenen. Dat betekent dat er materiaal ontwikkeld moet worden en dat materiaal zal getest moeten worden. Voorafgaand en afsluitend door een test en tijdens de interventie met een programma. De testgroep De testgroep zal bestaan uit een klas leerlingen van 4 VWO met wiskunde B in hun profiel. Dit kunnen zowel leerlingen zijn met de profielen Natuur & Gezondheid, Natuur & Techniek en Economie en Maatschappij. Deze laatstgenoemde groep is meestal de zwakste, daar leerlingen in dat betreffende profiel meer gericht zijn op de economische kant, gecombineerd met talen en zij standaard wiskunde A aangeboden krijgen. De Natuur & Techniek groep scoort over het algemeen het hoogst op wiskunde B. Welke klas volgend schooljaar gebruikt zal worden is nog niet bekend, maar om te bekijken of er vooruitgang is geboekt en of de mechanismen inderdaad geleid hebben tot de beoogde outcome, is dit niet zo van belang, want voor elke klas, ongeacht het profiel, zou er een vooruitgang geboekt moeten zijn. Leerlingen van 4VWO zijn over het algemeen gemotiveerde leerlingen, zeker op het College, dat een specifieke VWO school is. Leerlingen zijn zeer gemotiveerd en maken hun huiswerk over het algemeen goed. Ordeproblemen spelen niet of nauwelijks in de klas. De didactiek is heel belangrijk, voornamelijk omdat er vaak zeer getalenteerde leerlingen bij zitten, die alles tot in de puntjes willen weten en vaak zeer interessante, niet tot de stof behorende vragen hebben. Als docent moet je dus vakinhoudelijk zeer sterk in je schoenen staan. Verder zijn leerlingen van dit niveau vaak erg zelfstandig, soms zelfs té zelfstandig, waardoor ze fouten niet zien en te snel door willen werken. Als docent is het daarom belangrijk goed te controleren wat een leerling doet en wat de leerlingen nog meer zou kunnen doen om het nog beter te doen. Het resultaat Er zal gewerkt worden met twee parallelklassen wiskunde B op 4 VWO. één van de klassen zal wel deelnemen aan het ontworpen programma, terwijl de andere klas het reguliere programma op 4 VWO volgt. Aan het begin en aan het eind van het onderzoek zal een test onder beide klassen afgenomen worden, waarop leerlingen getest zullen worden op hun specifieke en algemene algebraïsche vaardigheden. Deze twee testen zullen 50 minuten duren en zullen vergelijkbaar zijn qua niveau, lengte en inhoud. Tijdens deze test is het gebruik van een grafische rekenmachine toegestaan om situaties beter te bekijken, maar niet om oplossingen grafisch-numeriek te gaan berekenen. De grafische rekenmachine is namelijk een uitstekende tool om de structuur van een formule of de context van een opgave mee te kunnen ontleden en leerlingen zullen tijdens de interventie ook ontdekken hoe handig deze kan zijn. De resultaten van de klassen zullen vergeleken worden en na afloop van de eindtest zal een statistisch onderzoek plaatsvinden om te kunnen beoordelen of de leerlingen van de testklas meer vooruitgang hebben geboekt dan de leerlingen van de controleklas. Dit zal gedaan worden aan de hand een T-toets (n>20) (Moore, 2006). Daarvoor is het belangrijk dat de toetsen op een eenduidige manier nagekeken zullen worden en dus zal veel zorg besteed worden aan een helder correctiemodel. Doordat er in de testklas minimaal 20 leerlingen zullen zitten is een T-toets een uitstekende methode voor data-analyse en zullen de resultaten betrouwbaar te noemen zijn. 9

11 Daarnaast zullen de leerlingen een vragenlijst krijgen om te kunnen analyseren of hun zelfvertrouwen gegroeid is, ze zelf denken beter te zijn geworden in het oplossen van algebraïsche vaardigheden, of de extra belasting opweegt tegen de effecten van het programma etc. Leerlingen zullen naast open vragen, ook vragen gaan invullen waar zij een beoordeling met een cijfer aan vast zullen hangen. De resultaten van het onderzoek zullen als valide omschreven kunnen worden, omdat de test aan het einde een goede afspiegeling zal zijn van het aangeboden programma, maar ook omdat de resultaten naar verwachting contructvalide te noemen zullen zijn daar andere onderzoeken op dit gebied ook al aangetoond hebben dat leerlingen beter worden in algebraïsche vaardigheden wanneer zij een goed programma aangeboden zullen krijgen en dat daarmee ook hun zelfvertrouwen groeit. Op deze manier zal de analyse dus zowel uit kwalitatieve (T-toets) alsook kwantitatieve (vragenlijst) data bestaan. De verwerking van de resultaten zal geschieden aan de hand van grafieken (cirkeldiagrammen, staafgrafieken), tabellen, wiskundige berekeningen die nodig zijn voor het uitvoeren van de T-toets en beschrijvende statistiek. 10

12 Hoofdstuk 5: Planning en organisatie De planning voor de interventies die zullen gaan plaatsvinden in het komende schooljaar staan hieronder weergegeven. Hierbij is rekening gehouden met het jaarrooster op Het College dat inmiddels al vastligt. Week 1 (1 t/m 4 september): Afnemen test onder beide klassen Week 2 (7 t/m 11 september): Start programma, onderdeel 1 Week 3 (14 t/m 18 september): Onderdeel 2 Week 4 (21 t/m 25 september): Onderdeel 3 Week 5 (28 september t/m 2 oktober): Onderdeel 4 Week 6 (5 t/m 9 oktober): Onderdeel 5 Week 7 (12 t/m 16 oktober): Onderdeel 6 Week 8 (19 t/m 23 oktober): Proefwerkweek op school, geen lessen Week 9 (26 t/m 30 oktober): Herfstvakantie Week 10 (2 t/m 6 november): Onderdeel 7 Week 11 (9 t/m 13 november): Onderdeel 8 Week 14 (30 november t/m 4 december): Afsluitende test onder beide klassen Onder de onderdelen 1 t/m 8 worden de tien probleemopgaven bedoeld die in die week aan bod zullen komen. De daadwerkelijke inhoud van die problemen is nog niet bekend, dat zal in de komende maanden ontwikkeld worden. In elk geval zullen verschillende aspecten van algebraïsche vaardigheden terugkomen, denk hierbij aan het werken met breuken, vergelijkingen, wortelvormen etc. In het geval van een lesuitval is er ruimte om nog maximaal twee weken door te gaan met het programma. In de weken van 8 t/m 15 december is er een toetsweek op school dus het is van belang om voor die tijd klaar te zijn met alles. Het is niet wenselijk om de test pas na de toetsweek en kerstvakantie te geven, want dan zijn leerlingen al vier weken niet meer bezig geweest ermee en dit zal de testresultaten naar verwachting te zeer gaan beïnvloeden. 11

13 Literatuurlijst Arcavi, A. (1994). Symbol sense: informal sense-making in formal mathematics. For the learning of mathematics. Arcavi, A. (1994). Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics. For the learning of mathematics, Bock, D. d. (2011). Abstract or concrete examples in learning mathematics? Journal for research in mathematics education, pp Drijvers, P. (2003). Algebraische vaardigheden, symbol sense en ICT. de Nieuwe Wiskrant, Drijvers, P. (2013). Wat bedoelen ze toch met... symbol sense. de Nieuwe Wiskrant, Kaminsky, J. (2008, april 25). The advantage of abstract examples in learning math. Science, pp Kemme, W. &. (2000). Welke algebra heb je nodig in 4 VWO? denieuwe Wiskrant, Kindt, M. (2000). Discrete algebra. de Nieuwe Wiskrant, Moore, D. (2006). Statistiek in de praktijk. Academic Service. P. Drijvers, A. v. (2012). Handboek wiskundedidactiek. Utrecht: Epsilon. Star, J. R. (2015, april). Teaching strategies for improving algebra kowledge in middle and high school students. Washington DC, Verenigde Staten: IES. Streun, A. v. (1989). Heuristisch Wiskundeonderwijs. Verslag van een onderwijsexperiment. Groningen: Rijksuniversiteit Groningen. 12