Uitwerkingen Hoofdstuk 8

Transcriptie

1 Uitwerkingen Hfdstuk 8 1 Vermedens en bewijzen 1. Zijde AB is tweemaal z grt als zijde AD. Z is k zijde AC tweemaal z grt als zijde AE. ABC is een vergrting van ADE met factr 2. 2a. Gegeven: ABCD is een rechthekig trapezium BEC = ABD ; AB = 8 en AD = 15 CE = 13,6 Te bew. ABD BEC Bewijs: A= ABC(90 ) ΔABD : ΔBEC( hh) ABD = BEC( geg) b. Om AE te berekenen hebben we EB ndig en dus k BC. We hebben k BD ndig. Er geldt: BD 2 = AB 2 + AD 2 BD 2 = = 289 BD = 17. AB BD 8 17 Uit de gelijkvrmigheid vlgt : = = 17. EB = 8.13,6 EB EC EB 13,6 8.13,6 EB = = 6,4 AE = 8 6,4 = 1, Geg. C = 90 ; AC = 15 ; BC = 8 CD AB Te bew. 3 paar gelijkvrmige drieheken. Bewijs: ADC = ACB(90 ) ΔADC : ΔACB( hh) A= A

2 2 BDC = ACB(90 ) ΔBDC : ΔBCA( hh) B= B ADC = BDC(90 ) A = 90 B Δ ADC : A = DCB DCB = 90 B Δ CDB( hh) b. Eerst AB : AB 2 = AC 2 + BC 2 AB 2 = = 289 AB = Nu geldt : sin( CD BC CD A) = 17. CD 8.15 C 7 1 AC = AB 15 = 17 = = 20 D 17 = 17 AD AC AD ADC ACB = = 17. AD = 225 AD = = 13 4 AC AB BD BC BD 8 cs( B) = 17. BD 64 BD BC = AB 8 = 17 = = = 4. Gegeven: CA AB en DE BC AD = 7 ; DE = 5 en BE = 12 Te ber. AC en CE Ber. In BDE Pyth. BD 2 = DE 2 + BE 2 BD 2 = = 169 BD = 13 DE AC 5 AC Nu geldt: tan( B) = = = 12. AC = 100 AC = = BE AB BE AB Ok geldt: cs( B) = = = 12. BC = 260 BC = = 21 BD BC 13 BC CE = BC BE = = Geg. Rechthek ABCD ; AB = 24 ; AP= 3 ; PD = 7 te ber. PQ

3 3 Berekening: In PCD Pyth. PC 2 = CD 2 + PD 2 PC 2 = PC 2 = 625 PC = 25 DQP = BQC( verstaandeheken) ΔPQD : ΔCQB( hh) QPD = QCB( z heken) PQ PD PQ 7 = = QC BC QC 10 PQ = = 17 = Verder weten we dat PC = 25 6a. Gegeven: E = F = 90 ; rechthek ABCD; AB = 10 ; BC = 6 en CE = 8 Te ber. AF Berekening: D1+ D3 = 90 A = D D1+ A1 = cs( A 1 ) = cs ( D 3 ) b. AF DE AF DE = In vullen = AD DC Ng even DE berekenen in CDE DE + CE 2 = CD 2 DE 2 = = 36 DE = 6 AF 6 = 10. AF = 36 AF = 3, Nu ng gegeven: BG DE te ber. BG

4 4 Berekening: Teken CH BG AF // BG (BH) en BC // AD A1 = HBC AF AD 3,6 6 ΔAFD : ΔBHC( hh) = = HB = 3,6 F = H(90 ) HB BC HB 6 Verder geldt mdat vierhek HCEG een rechthek is, dat GH = CE = 8 BG = BH + GH = 3,6 + 8 = 11,6 7. a. b. c d. e. A = 180º - 60º - 70º = 50º f. zelfde driehek als bij e.

5 5 g. 8. Gegeven pgm ABCD te bew. AS = CS en BS = DS Bewijs: A1 = C1( AD // BC) D1 = B2( AD// BC) ΔASD ΔCSB AD = BC( zie bekblz. 121) AS = CS en BS = DS 9. Gegeven: AB = CD en BC = AD te bew. A = C Bewijs: Trek lijnstuk BD. Dan geldt: AB = CD( geg.) AD = BC( geg.) ΔABD ΔCDB( zzz) A = C BD = BD

6 10a. Gegeven AB=BC =CD = AD te bew. AB //CD en AD //BC 6 CDB AB //CD Bewijs: Teken weer lijnstuk BD. AB = CD( geg.) AD = BC( geg.) ΔABD ΔCDB( zzz) ABD = BD = BD Verder vlgt k uit de cngruentie dat ADB = DBC AD // BC. b. Gegeven verder de diagnalen. te bew. De diagnalen zijn deellijnen dus b.v A = A 1 2 AC = AC Bewijs: AD=AB(geg) Δ ADC Δ ABC A 1 = A 2 DC=BC(geg) Z k bij de andere heken De diagnalen delen de heken van de vierhek middendr. 11. Gegeven: Cirkel met middelpunt M MN AB Te bew. AN = BN Bewijs: Teken de lijnstukken MB en MA.

7 Bewijs: 12. AM = BM ( straal) MN = MN ΔANM ΔBNM ( zzr) AN = BN ANM = BNM (90 ) Gegeven: ABC ACQ en BCP zijn gelijkzijdig. 7 te bew. AP = BQ Bewijs: 13. C1 = 60 ( gelijkzijdig) C1 = C3 C3 = 60 ( gelijkzijdig) QC = AC( gelijkzijdig) ΔACP ΔQCB( zhz) AP = QB PC = BC( gelijkzijdig) geg. A = B te bew. AC = BC Bewijs: Teken lijnstuk CD AB. A= B( geg) CD = CD ΔADC ΔBDC (zhh) AC = BC ADC = BDC(90 ) 14 A A 180 A 180 A 1+ 2 = 1 = 2 A1 A = 3 A3 A2 180 A3 180 A2 + = =

8 15. gegeven: ABCD is p.g.m. 8 te bew. A = C B = D A= B2 ( AD// BC) A = C = B2 ( AB// CD) B1 + A = 180 ( U figuur) B1 = D = B bewijs: Verleng zijde AB. D + A = 180 ( U figuur) C 16. geg. ABC te bew. A + B + C = 180º Bewijs: Teken een lijn k dr C // AB. k // AB A = C1( Z heken) 3 C1+ C2 + C3 = 180 ( gestrekte hek) k// AB B= C A+ B+ C = geg. ABC met buitenhek B 2 te bew. B 2 = A + C A+ B1 + C = 180 Bewijs: B2 = A + C B1+ B2 = 180 ( gestrekte hek)

9 9 18. a. Dat was bij pgave 10a. b. Bij pgave 8. c. gegeven : ABCD is een ruit te bew. AC BD bewijs: ABCD is een ruit ABCD is k dus een pgm BS = DS( pgm) AS = AS ΔABS ΔADS( zzz) S1 = S4 S1 = 90 AC BD AB = AD( ruit) S1+ S4 = 180 ( gestrekte hek) 19. De diagnalen staan ldrecht p elkaar, maar ABCD is geen ruit, maar wel een vlieger ( ) a. Niet mkeerbaar. Tegenvrbeeld: Zie de figuur: AC = BD = 6, maar ABCD is duidelijk geen rechthek.

10 10 b. Deze stelling is mkeerbaar. Als de diagnalen van een vierhek elkaar middendr delen, dan is de vierhek een pgm. c. Ok mkeerbaar: Als geldt: AB + AC = BC dan is driehek ABC rechthekig met A = 90º. d. Niet mkeerbaar. Tegenvrbeeld: zie de vlieger bij pgave Telichting: Bij het mcirkelen vanuit punt A geldt dat AD = AC. Z geldt k vanuit punt B dat BD = BC. Aangezien we dezelfde straal hebben genmen geldt dus dat vierhek ACBD een ruit is met symmetrieas DC DC deelt AB ldrecht middendr en is dus middelldlijn van lijnstuk AB. 23. Telichting: Vanuit punt A mcirkelen AB = AD. Nu vanuit de punten B en D met dezelfde straal mcirkelen. Vierhek ABCD is dus een ruit. AC is dan as van symmetrie. Lijn AC is dus bissectrice van A. Gegeven: Vierhek ABCD met

11 AC = BC = BD = AD als gevlg van de cnstructie a. Te bew. CD is middelldlijn AB. Bewijs. Zie k de telichting bij pgave 22. AC = BC = BD = AD vierhek ACBD is een ruit. BD is dus symmetrieas. CD AB en AM = BM CD is middelldlijn van AB. b. Zie k pgave 23. Gegeven vanuit de cnstructie dat AB = BC = CD = AD Te bew. AC is bissectrice van A Bewijs: Vierhek ABCD is dus een ruit. AC is dan as van symmetrie. Lijn AC is dus bissectrice van A. 25a. geg. AP = BP te bew. P p mll van AB Bewijs: Teken de lijn dr P AB AP = BP( geg) PSA = PSB(90 ) ΔASP ΔBSP PS = PS (zzr) AS = BS en PS AB Pp mll van AB

12 b. De mkering is : Elk punt dat p de middelldlijn van AB ligt heeft gelijke afstanden tt de punten A en B. geg. AS = BS en PS AB te bew. AP = BP 12 26a. Bewijs: AS = BS( mll) PSA = PSB( mll) ΔASP ΔBSP (zhz) AP = BP PS = PS Gegeven: CP = BP Te bew. CAP = BAP Bewijs. Teken de afstanden CP en BP ldrecht p AC en AB. CP = BP( geg) ACP = ABP(90 ) ΔABP ΔACP (zzr) CAP = BAP AP is deellijn van AP = AP A P ligt p de deellijn f bissectrice van A. b. Omkering: Als een punt p de bissectrice van een hek ligt dan heeft dat punt gelijke afstanden tt de benen van die hek. Geg. CAB en deellijn AP Te bew. CP = BP

13 13 Bewijs: Teken de lijnstukken CP en BP ldrecht p AC en AB. ACP = ABP(90 ) AP = AP ΔACP Δ ABP (zhh) CP = BP P heeft gelijke afstanden CAP = BAP( deellijn) tt de benen AB en AC. 27. Gegeven ABC met deellijn van C. Te bew. AD : BD = AC : BC Bewijs: Teken hulplijn m dr A // BC en verleng deellijn uit C snijpunt P. P1 = C2( Z hek) APD ~ BCD (hh) AD : BD = AP : BC A2 = B( z hek) P1 = C2( z hek) 1 = 1 Δ C1 C2( deellijn) P C APC is gelijkbenig AP = AC. = Uit bvenstaande vlgt dus : AD : BD = AC : BC 28a. Gegeven: A = 60 ; PS is m.l.l. van AB. ; AP = BP = 5 en AC = 7 Bereken exact: AS

14 Ber. AS is deellijn AP SAP = 0,5. 60 = 30 Nu geldt: cs (30 ) = = 3 = 3 AS = = AS A S b. Als CS AS dan zu meten gelden : cs(30 ) = AS Nu de cntrle: AC =. = Het klpt dus niet CSA Gegeven: ABC met AC = 5 en BC = 6 ; CE = BE ; EF = 2 CD AB en EF AB Bereken : AB EF EB 2 1 Berekening: EF // CD CDB is een A-figuur = = CD = 4 CD BC CD 2 Nu Pyth. In ADC AC 2 = AD 2 + CD 2 AD 2 = = 9 AD = 3 Ok Pyth. In FBE EB 2 = FB 2 + EF 2 FB 2 = 9 4 = 5 FB = 5 EB FB 3 5 Vanuit de A-figuur weten we k: = = DF = 5 CE DF 3 DF AB = AD + DF + FB = a. Gegeven: A = 60 ; B = 45 AC = 6 en AD BC Te ber. AB

15 15 AE Berekening: Teken CE AB. In AEC geldt : cs (60 ) = 1 AE 2 AE 3 AC = 6 = CE Verder geldt: sin(60 ) = 1 CE 2 3 CE 3 AC = 6 = 3 In BEC geldt dat ECB = = 45 EBC is gelijkbenig EB = EC = 3 3 AB = AE + EB = b. In ABD geldt : DAB = = 45 Dus CAD = = 15 CD CD Nu geldt: sin(15 ) = Sin(15 ) CD 6.s AC = 6 = in(15 ) 1, gegeven: ABC ; CD AB ; BE = CE ; A = 60 en B = 45 te ber. EAB Berekening: Teken EF AB In CDF geldt: DCB = = 45 CD = DB = 6 In EFB geldt : FEB = = 45 FE = FB Aangezien DBC een A-figuur is FB BE EF FB 1 EF geldt: = = = = EF = FB = 3 DB BC CD In ADC geldt : CD tan(60 ) = 3 = AD =. = 2 3 AD AD 3 3 DF = DF FB = 6 3 = 3. In AEF geldt nu : EF = 3 en AF = tan( EAF) = tan( EAB) = EF 3 AF = EAB Gegeven: ABC ; CD = BD C = 90 ; AC // ED ; AC = 5 en BC = 12 Te ber. AE ; AD en BAD

16 16 Berekening: Pyth. In ABC AB 2 = AC 2 + BC 2 AB 2 = = 169 AB = 13 CD AE 6 AE ABC is een A-figuur = = AE = EB BD BE 6 BE AB = 13 AE = 0,5. 13 = 6,5 Pyth. In ADC: AD 2 = AC 2 + CD 2 AD 2 = = 61 AD = 61 BAD berekenen we uit het verschil van de heken BAC en CAD. In CAD geldt : tan ( CAD) = 6/5 = 1,2 CAD 50,19 In BAC geldt: tan( BAC) = 12/5 = 2,4 BAC 67,38 BAD = BAC - DAC = 67,38 50, a. Vermeden: De drie middelldlijnen gaan dr 1 punt. 33b.

17 17 Vermeden: De drie deellijnen gaan dr 1 punt. 33c. Vermeden: De drie zwaartelijnen gaan dr 1 punt. 33d.

18 18 Vermeden: De drie hgtelijnen gaan dr 1 punt 34. a. De drie middelldlijnen van een driehek gaan dr één punt. b. De cirkel dr punt A en middelpunt het punt M gaat k dr de punten B en C.

19 a. De drie zwaartelijnen van een driehek gaan dr één punt. b. De drie hgtelijnen van een driehek gaan dr één punt. 36. a. De drie bissectrices van een driehek gaan dr één punt. b. De cirkel die een zijde van een driehek raakt met middelpunt het snijpunt van de 3 deellijnen, raakt k de andere twee zijden van de driehek. 37a. De bissectrice van hek A en de buiten bissectrices van de heken B en C gaan dr één punt. b. De cirkel die zijde BC raakt met middelpunt het snijpunt van de twee buitenbissectrices van B en C en de bissectrice van hek A, raakt k de lijnen AB en AC.

20 De raaklijn aan een cirkel en de straal staan ldrecht p elkaar. 39. De cirkel dr de punten E, F en G gaat k dr het punt H. 40. De lijnen CF en DE lpen evenwijdig.

21 We zien dat ACB = A + C = 180 en B + D = Punt C blijkt dan te liggen p de cirkel dr de punten A, B en D.

22 De drie aangegeven cirkels gaan dr één punt. 45. Vierhek PQRS is een parallellgram. 46. De punten A, B en C liggen p één lijn.

23 23 47a. b. A= B A = C B = C A = D C = D A+ B+ C = 180 B C D + = A+ D= a. Gegeven: ABC met de drie zwaartelijnen Te bew. AT : DT = 2 : 1 Bewijs: AC = 2. EC BC = 2. CD ΔABC : ΔEDC( zhz) AB : ED = 2:1 en E1 = CAB C = C AB // ED E2 = EBA Δ ETD : Δ BTA( hh) en EDT = TAB AB : ED = AT : DT AT : DT = 2:1 we weten AB:ED = 2:1 48b. Uit de gelijkvrmigheid van ETD en BTA vlgt k dat BT : ET = 2 : 1 Nu nieuwe tekening met de derde zwaartelijn uit C. Te bew. CT : FT = 2 : 1

24 24 Bewijs: Dit is dezelfde situatie als bij nderdeel a. Nu bij twee andere zwaartelijnen AC : FD = 2 : 1 en AC // FD AT : DT = CT : FT = 2 : 1. Uit de cmbinatie van a en b vlgt dat de zwaartelijnen in iedere driehek elkaar verdelen in stukken van 2 : a. Gegeven: ABC en de drie m.l.l. Te bew. De drie m.l.l. gaan dr één punt. M p m.l.l. van AB AM = BM Bewijs: BM = CM M p m.l.l. van AC AM = CM van BC De drie m.l.l. van ABC gaan alle drie dr één punt. M ligt dus p de m.l.l. 50. Gegeven : ABC en de drie mll met snijpunt M. Te bew. M is m.p. van de mgeschreven cirkel van ABC M p mllab MA = MB Bewijs: MA = MB = MC M is het m.p. van de cirkel dr M p mllac MA = MC A, B en C. M is het middelpunt van de mgeschreven cirkel van ABC.

25 Gegeven ABC met de drie deellijnen k, m en n. te bew. k, m en n dr één punt Bewijs: De deellijnen k en m snijden elkaar in D D p k dus d(d,ac) = d(d,ab) d(d,ac) = d (D,BC) k D ligt p de deellijn van D p m dus d(d,bc) = d(d,ab) C en dus k p n de drie deellijnen k, m en n gaan dr één punt. 52. Gegeven ABC en de 3 deellijnen die dr punt D gaan. te bew. D is het middelpunt van de ingeschreven cirkel D p bissectrice van hek A d(d,ab) = d(d,ac) Bewijs: D p bissectrice van hek B d(d,ab) = d(d,bc) d(d,ab) = d (D,AC) = d (D, BC) D is dus het middelpunt van de ingeschreven cirkel van driehek ABC. 53. geg. ABC met bissectrice k van A en de buitenbissectrices m en n van de heken B en C. te bew. De lijnen k, m en n gaan dr één punt

26 N p bissectrice van hek A d(n,ab) = d(n,ac) Bewijs: N p bissectrice van hek B d(n,ab) = d(n,bc) d(n,ac) = d(n,bc) N k p bissectrice van C de drie deellijnen k, m en n gaan dr éé n punt a en b. Gegeven ABC ; AB // PQ BC // QR ; AC // PR en de drie hgtelijnen van ABC te bew. de drie hgtelijnen gaan dr één punt Bewijs: Aangezien PQ // AB en QR // BC en AC // PR ABPC ; ABCQ en ARBC zijn pgm. QC = AB en CP = AB QC = CP Z geldt k dat RB = PB en QA = RA Verder geldt dat CF is een hgtelijn CF AB Je weet dat AB // PQ CF PQ Nu weet je dus dat QC = PC en CF QP CF is mll van PQ. Z zijn k AD en BE mll. van QR en PR. De drie hgtelijnen van ABC zijn dus k de drie mll. van PQR. De drie mll. gaan dr één punt de drie hgtelijnen van ABC gaan dus k dr één punt. 55a. Gegeven: ABC en C = 90º en AM = BM Te bew. AM = BM = CM Bewijs: Teken vanuit ABC nu de rechthek ADBC met de diagnalen AB en CD.

27 CD = AB AM = BM CM = AM = BM ABCD is rechthek en dus k een pgm 27 b. Gegeven : ABC en mgeschreven cirkel met middellijn AB met AM = BM. Te bew. ACB = 90º Bewijs: A+ B+ C12 = 180 AM = CM A= C1 C1+ C2 + C12 = C12 = 180º C 12 = 90º BM = CM B= C Gegeven: vierhek ABCD Te bew. A + B + C + D = 360º Bewijs: Trek de diagnaal BD A + B + 1 D = A + B + 1 D + 1 C + B + 2 D = C+ B + D = A + B + C + D = 360º

28 Gegeven : vierhek ABCD met de hekpunten p een cirkel en middelpunt binnen ABCD Te bew. A + C = 180º en B + D = 180º Teken de 4 lijnstukken naar A,B,C en D vanuit M. 4 gelijkbenige drieheken A2 = B1 C1 = B 2 A2 A1 C1 C2 B1 B2 D1 D = C2 = D1 A1 = D 2 A+ B+ C+ D= 360 A + C = 180º en B + D = 180º b. Gegeven: vierhek ABCD met de hekpunten p een cirkel en middelpunt buiten ABCD Te bew: A + C = 180º en B + D = 180º

29 Teken weer de 4 lijnstukken er ntstaan weer 4 gelijkbenige drieheken. A12 = D2 C = 2 D 1 A + 12 C + 2 C 1 A = 2 D + 2 D + 1 B 12 B1 C1 = B12 A2 = B1 A1+ C12 = B2 + D12 A 1 + C 12 = 180º en B 2 + D 12 = 180º A + B + C + D = c. Gegeven: vierhek ABCD met de hekpunten p een cirkel en middelpunt M p een zijde van ABCD. Te bew: A + C = 180º en B + D = 180º A= D2 Bew. Teken DM en MC C2 = D1 A+ C2 + C1 = D2 + D1+ B C = B 1 A+ C = B+ D A + C = 180º en B + D = 180º A+ B+ C+ D= Gegeven: vierhek ABCD met A, B en D p de cirkel en C buiten de cirkel. Te bew. A + C < 180º

30 30 B1+ D1 = 180 ( krdenvierhek) B12 + D12 > 180 Bewijs: A + C < 180º A+ B12 + C+ D12 = Gegeven: 2 cirkels met snijpunten A en B. De lijnen k en l dr de punten A en B. Snijpunten zijn verder C, D, E en F. Te bew. CF // DE C1+ B2 = 180 ( krdenvierhek) C1 = B1 B1+ B2 = 180 ( gestrekte hek) Bewijs: C 1 = D 1 B1+ D2 = 180 ( krdenvierhek) D1 B = 1 D1+ D2 = 180 ( gestrekte hek) CF // DE (F-heken) 60. Gegeven: 2 cirkels met snijpunten A en B. De lijnen k en l dr de punten A en B. Snijpunten zijn verder C, D, E en F. Punt E ligt tussen A en D. Te bew. DE // CF Bewijs: Teken een punt G p de cirkel tussen A en E en teken verder de gestippelde lijnstukken.

31 C B 180 ( krdenvierhek) + = C 1 = D 1 CF // ED (z-heken) 180 ( ) 1+ 2 = C1 = B1 B1 B2 180 ( gestrekte hek) B1 + AGE = krdenvierhek D1 B = 1 D1 AGE 180 ( krdenvierhek) + = 31 61a. Gegeven: A = CED (DE is antiparallel) en ABC. Te bew. ABED is een krdenvierhek. CED = A( geg) Bewijs: A + DEB = 180 ABDE is een krdenvierhek CED + DEB = 180 b. Gegeven: PQR met PS QR en QT PR Te bew. ST is antiparallel met PQ Bewijs: Teken TS T3 = 90 T ligt p de cirkel met middellijn PQ(Thales) PQST is een krdenvierhek S3 = 90 S ligt p de cirkel met middellijn PQ(Thales) P12 + S23 = 180 ( krdenvierhek) P12 = S 1 ST is antiparallel met PQ S1+ S23 = 180 ( gestrekte hek)

32 Gegeven: ABC met P p AB, Q p BC en R p AC. De cirkels c 1 en c 2 dr A, P en R en dr P, B en Q en cirkel c 3 dr C, Q en R. Te bew. De drie cirkels c 1, c 2 en c 3 gaan dr één punt. Bewijs: Stel S is een snijpunt van c 1 en c 2. A + S1 = 180 ( krdenvierhek) A+ B+ S1+ S2 = 360 B + S2 = 180 ( krdenvierhek) S1+ S2 + S3 = 360 A + B = S 3 S + 3 C = 180 RSQC is een krdenvierhek S ligt p de A+ B+ C = 180 cirkel dr R, C en Q c 1, c 2 en c 3 gaan dr één punt. 63. Geg. ABCD met de vier deellijnen van A,B,C en D, die vierhek EFGH insluiten Te bew. EFGH is een krdenvierhek

33 33 Bewijs: A + D + DHA= GHE = 180 ( A1+ D 1) DHA = GHE( verst. h.) B1+ C1+ BFC = 180 EFG = 180 ( B1+ C 1) BFC = EFG( verst. h.) GHE + EFG = 180 A1 D B1 C 1 A12 + B12 + C12 + D12 = 360 A1 = A 2 GHE EFG = B1 = B2 A1+ B1+ C1+ D1 = 180 C1 = C 2 D1 = D2 vierhek EFGH is een krdenvierhek.