Voorwoord. Prof.dr. J.M. van Ruitenbeek en Prof.dr. J.W.M. Frenken Kamerlingh Onnes Laboratorium Universiteit Leiden

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Voorwoord. Prof.dr. J.M. van Ruitenbeek en Prof.dr. J.W.M. Frenken Kamerlingh Onnes Laboratorium Universiteit Leiden"

Transcriptie

1 MASTERCLASS NANOTECHNOLOGIE 1-3 FEBRUARI 001 Leids Instituut voor Onderzoek in de Natuurkunde (LION) Leids Instituut voor Onderzoek in de Natuurkunde (LION)

2 Voorwoord Stel je eens voor dat je in staat zou zijn om materie atoom voor atoom, of molecuul na molecuul, naar je hand te zetten. Dit is het ultieme toekomstvisioen van wetenschappers en technologen in een groot aantal vakgebieden. De materiaalfysici zouden zo bijvoorbeeld materialen kunnen maken met volstrekt nieuwe eigenschappen of combinaties van eigenschappen, precies aangepast aan de toepassing waarvoor het materiaal bedoeld is. Wat dacht je bijvoorbeeld van slimme materialen, die zich kunnen aanpassen aan de omstandigheden, zoals slimme verf, die overdag wit is en s nachts zwart. De chemici zouden zo elk (stabiel) molecuul dat ze kunnen bedenken ook zomaar in elkaar kunnen zetten, zonder dat daar een kolf of reageerbuis aan te pas komt. Zij dromen al van chemische fabrieken zonder afval. De biologen zouden DNA en andere belangrijke bio-moleculen kunnen bouwen, met precies de gewenste eigenschappen. De medici zouden niet alleen nieuwe medicijnen kunnen bouwen, maar ook bijvoorbeeld kleine, half-intelligente anti-virus machientjes waarmee je gericht binnen het lichaam de strijd met een ziekte zou kunnen aanbinden. Als we de materie zo volledig beheersen dat we deze op de schaal van de atomen kunnen ontwerpen, dan zijn de mogelijkheden vrijwel niet te overzien. De mogelijkheid van atomaire controle lijkt misschien uitsluitend een toekomstdroom te zijn, en thuis te horen bij de fantasie van bijvoorbeeld Star Trek, maar de toekomst is hier dichterbij dan velen van ons nu nog denken. Het is met verfijnde technieken nu al mogelijk om eenvoudige structuren atoom voor atoom op te bouwen, en momenteel wordt in een groeiend aantal onderzoekslaboratoria de basis gelegd van een reservoir aan geheel nieuwe kennis op dit terrein. De verzamelnaam hiervan is Nanotechnologie. In deze masterclass Nanotechnologie zullen we een uitgebreide blik werpen in de fascinerende nanowereld van de materie op de schaal van enkele atomen of moleculen. We nemen een aantal van de basistechnieken onder de loep die bij de nanotechnologie een rol spelen. We zullen zien dat op de atomaire schaal de materie zich niet meer zo gedraagt als we in het dagelijks leven gewend zijn. Om het nieuwe gedrag te begrijpen, verdiepen we ons in de kwantummechanica. Tenslotte, zullen we ook zelf een stukje nanotechnologie in de praktijk brengen door proeven uit te voeren met moderne meetopstellingen en door zelf een voor de nanotechnologie belangrijk instrument te bouwen, namelijk een nanomotor. Met deze Masterclass introduceren we niet alleen het nieuwe terrein van de nanotechnologie, maar proberen we tevens om in drie dagen een min of meer representatieve indruk te geven van de studie natuurkunde aan de Universiteit Leiden. Prof.dr. J.M. van Ruitenbeek en Prof.dr. J.W.M. Frenken Kamerlingh Onnes Laboratorium Universiteit Leiden 1 februari 001 1

3

4 1 Inleiding: nanotechnologie There s plenty of room at the bottom! Richard P. Feynman 1.1 Wat is nanotechnologie? Nanotechnologie: Science Fiction Nanotechnologie bestaat niet! Precieser geformuleerd: nanotechnologie bestaat nog niet. Maar nanotechnologie wordt momenteel in diverse onderzoekslaboratoria voorbereid en wordt misschien wel dè technologie van de 1 e eeuw. Deze masterclass gaat dus in zekere zin over science fiction. Momenteel beginnen de contouren zich af te tekenen van deze toekomstige technologie. De eraan ten grondslag liggende wetenschappelijke principes worden al druk verkend. We zullen in de masterclass kennismaken met dit uitermate dynamische onderzoeksterrein en ons een beeld vormen van de uitdagingen en mogelijkheden die hier liggen Wat is nano? Het voorvoegsel nano in het woord nanotechnologie slaat op de piepkleine schaal waarop de nanotechnologie zich richt, namelijk de schaal van één tot enkele nanometers. Een nanometer = 1 nm = 10 9 m. Om gevoel voor deze lengte te krijgen, kunnen we het beste de vergelijking maken met de typische afstanden tussen de atomen in vaste stoffen, zoals metalen en halfgeleiders. Vraag 1.1. Het metaal koper heeft een dichtheid van ongeveer 9 g/cm 3. Schat de afstand tussen de koperatomen in het metaal (Tip: het getal van Avogadro bedraagt ongeveer en een koperatoom heeft een massa van ongeveer 64 atomaire massa-eenheden). Het resultaat dat we hier voor koper vinden, is ruim binnen een factor hetzelfde voor de meeste andere materialen. We zien dus dat een nanometer een lengte is waarop nog maar enkele atomen passen. Nanotechnologie is dan ook de technologie op de schaal van enkele atomen Waar is nanotechnologie voor nodig? De nanotechnologie wordt door velen gezien als een natuurlijke consequentie van de voortschrijdende miniaturisering die met name in de moderne micro-elektronica plaatsvindt. De componenten van geïntegreerde schakelingen, bijvoorbeeld de afzonderlijke transistoren op een computerchip, worden gestaag kleiner. Het aantal transistoren en andere elementen die op een chip passen wordt daardoor Figuur 1.1. De wet van Moore in de praktijk: de groei van het aantal transistoren in de PCprocessoren van Intel. (Bron: ) 3

5 steeds groter. Dat merk je bijvoorbeeld aan de toenemende rekenkracht van nieuwe generaties PC s en aan de steeds groter wordende werkgeheugens van PC s. Wonderlijk genoeg volgt die groei al sinds de jaren zestig van de vorige eeuw een heel eenvoudige wet, die al in 1965 werd opgesteld door de halfgeleiderfysicus Gordon Moore. De wet van Moore is geen echte natuurkundige wet, maar wordt door de elektronica-industrie gehanteerd als een soort afspraak, de zogenaamde International Technology Roadmap for Semiconductors: ruwweg elk jaar verdubbelt het aantal schakelingen per vierkante centimeter. De laatste tijd loopt de groei iets minder snel dan aanvankelijk, en duurt de verdubbeling gemiddeld circa anderhalf jaar. Om die groei mogelijk te maken, worden door een voortdurende verbetering van de productietechnieken de afmetingen van alle elektronische structuren elke drie jaar gehalveerd. De hier beschreven schaalverkleining is al meer dan 35 jaar aan de gang, sinds de begintijd van de chips. De afmetingen zijn dus sindsdien meer dan twaalf keer gehalveerd! Terwijl de componenten, bijvoorbeeld transistoren, in de nieuwste generaties elektronica in hun afmeting al op het niveau zijn aangekomen van 1 µm (1 micrometer = 10-6 m), zijn de afzonderlijke elementen waaruit die componenten zijn opgebouwd zelfs nog kleiner; verbindende metaalbaantjes zijn tegenwoordig soms al dunner dan 100 nm. Die onderdelen hebben dus een breedte waarop nog maar een paar honderd atomen passen! Het zal duidelijk zijn dat de miniaturisering niet onbeperkt door kan gaan. Volgens de wet van Moore zouden immers binnen enkele jaren de afmetingen van de elektronische componenten op een chip kleiner worden dan de afstand tussen twee atomen. Vraag 1.. Als de wet van Moore geldig blijft, hoeveel jaar duurt het dan nog tot de breedte van de metaalbaantjes op een computerchip gereduceerd is tot één atoom? Zoals we later zullen zien, zijn er ook diverse andere redenen waarom de huidige miniaturisering niet lang meer kan blijven doorgaan volgens het door Moore uitgestippelde, en totnogtoe door de industrie gevolgde pad. Als de afmetingen van de schakelingen heel klein worden, dan gedragen deze schakelingen zich namelijk niet meer op dezelfde manier als hun grotere uitvoering. Dat kan storend zijn voor hun werking, vooral als je domweg dezelfde schakeling op een kleiner oppervlak wilt kopiëren. Maar de veranderende werking levert ook nieuwe mogelijkheden op, vooral als je bereid bent de elektronica zo te ontwerpen dat je van die andere eigenschappen juist gebruik maakt. Een belangrijk voorbeeld van veranderend gedrag op de kleine schaal is de geleiding van elektrische stroom door een ultradunne metaaldraad. Het is tegenwoordig in het laboratorium mogelijk om de dunst denkbare draadjes te maken, namelijk draadjes met een dikte van slechts één atoom (zie 1..). Op deze piepkleine schaal overheersen de wetten van de kwantummechanica en kunnen we met de wet van Ohm niet meer uit de voeten. We zullen ons in deze masterclass verdiepen in de spelregels van de kwantummechanica (Hoofdstuk 3), en aan de hand daarvan ontdekken hoe stroom door een dunne draad loopt en waarom dat anders gaat dan bij een dikke draad (Hoofdstuk 6) Technologie met atomen en moleculen In de vorige paragraaf hebben we gezien dat de toekomstige elektronica niet meer micro-elektronica maar nano-elektronica zal zijn. De afmetingen van de werkzame componenten zullen hoogstens enkele tientallen atoomafstanden bedragen, en voor de werking van deze nano-devices zal de kwantummechanica van wezenlijk belang zijn. De nieuwe technologie, met structuren die samengesteld zijn uit slechts een klein aantal atomaire of moleculaire bouwstenen blijft niet beperkt tot het gebied van de elektronica. Onze science fiction strekt zich ook uit tot de materiaalkunde, de chemie en de biologie. We zullen ons in deze masterclass niet met al deze toekomstdromen bezighouden, maar we zullen ons beperken tot voornamelijk de elektronische toepassingen. Om een globale indruk te krijgen van de reikwijdte van de nanotechnologie, laten we hier een aantal interessante voorbeelden de revue passeren. 4

6 1. Voorbeelden van nanotechnologie 1..1 Microscopen die atomen kunnen zien In het begin van de jaren tachtig van de vorige eeuw kreeg de ontwikkeling van de nanotechnologie een enorme impuls door de uitvinding van de zogenaamde rastertunnel-microscoop. Dit instrument maakt het mogelijk om de buitenkant van materialen af te tasten met een zo grote gevoeligheid, dat de afzonderlijke atomen aan het materiaal-oppervlak daarbij zichtbaar worden (zie Figuur 1.). De uitvinders, Gert Binnig en Heinrich Rohrer (IBM, Züricht), ontvingen voor deze doorbraak in 1986 de Nobelprijs voor de natuurkunde. We zullen in Hoofdstuk 3 uitgebreid verder kennismaken met deze bijzondere, nieuwe vorm van microscopie. Figuur 1.. Indium-atomen, als verontreiniging verstopt in het oppervlak van een koper kristal, en afgebeeld met de rastertunnelmicroscoop (Hoofdstuk 3). Elk van de kleine rode bobbeltjes is één koperatoom. Elk van de gele uitsteeksels is één indiumatoom Dunne draden De dunste metaaldraad die ooit is gemaakt, heeft een dikte van slechts één atoom. In Figuur 1.3 is een afbeelding te zien van een computersimulatie van zo n draadje van het materiaal goud. Tussen de twee goudelektroden is een brugje te zien van zes goudatomen, dat zich spontaan heeft gevormd. In Hoofdstuk 6 zullen we nader kennis maken met deze ultradunne draadjes, en zien we dat ze niet meer gehoorzamen aan de wet van Ohm. Figuur 1.3. Metaaldraad met een dikte van één atoom Bucky-ballen en nanobuizen Wereldwijd wordt in een groot aantal laboratoria gewerkt aan zogenaamde bucky balls. Dit zijn ronde, voetbalvormige structuren van koolstof. Elke bucky ball bestaat uit precies zestig koolstof atomen, elk op een van de hoekpunten van de bal. Samen vormen de atomen een regelmatig patroon van vijfhoeken en zeshoeken, net als bij een echte voetbal. De diameter van de balletjes bedraagt 5

7 slechts circa 1 nm. Voor de ontdekking van deze atomaire voetballen kregen Harry Kroto, Richard Smalley en Robert Curl in 1996 de Nobelprijs voor de scheikunde. Figuur 1.4. Model van een bucky ball (C 60 ), en van een stukje van een C 60 kristal. De eigenschappen van deze nanoballetjes wijken vaak sterk af van die van de andere vormen van koostof, zoals grafiet en diamant. Daarmee zijn ze interessant voor een groot aantal mogelijke toepassingen. De balletjes zijn enorm sterk en ze vertonen relatief weinig neiging om chemische bindingen aan te gaan met andere stoffen. Daarom hopen biochemici bijvoorbeeld dat bepaalde medicijnen mooi in zo n koolstof- kooitje getransporteerd zouden kunnen worden door je lichaam. Natuurkundigen hebben ontdekt dat je uit de balletjes prachtige kristallen kunt maken, die, als je bepaalde metaalatomen aan de koolstofballetjes bevestigt, bij lage temperatuur supergeleidend zijn. De perfect ronde vorm en de chemische ongevoeligheid maken de balletjes ook mogelijk geschikt als smeermiddel ( nano-kogellager ). Figuur 1.5. Microscoop-opname (zie Hoofdstuk 3) en model van een koolstof nanobuis. Sterk verwant met de bucky balls zijn de koolstof nanobuizen. Een nanobuis is een ultradunne koker van koolstofatomen, die je je kunt voorstellen als een opgerold grafietlaagje. De diameter van zo n buisje bedraag typisch 1 nm. Dit zijn de dunste vezels die momenteel gemaakt kunnen worden. Ze blijken enorm sterk te zijn en worden daarom in de toekomst mogelijk toegepast ter versteviging van materialen. Figuur 1.6. Microscoop-opname (zie Hoofdstuk 3) van een koolstof nanobuis tussen twee elektroden op een siliciumchip. 6

8 In Figuur 1.6 Zien we hoe een nanobuis de elektroden verbindt op een chip, waarmee de geleiding gemeten kan worden. Afhankelijk van de manier van oprollen van het grafietlaagje, werkt het buisje als een elektrisch geleidende draad of als een halfgeleider LEGO met atomen In Figuur 1.7 wordt de kleinste reclame getoond die ooit is gemaakt. Het structuurtje bestaat uit een aantal xenon atomen die met een nauwkeurigheid van circa 0.1 nm zijn neergezet op het oppervlak van een nikkel-kristal. De totale lengte van het logo bedraagt nog geen 3 nm. Dit voorbeeld illustreert dat het mogelijk is om nanostructuren atoom voor atoom op te bouwen. We zullen in Hoofdstuk 5 serieuzere vormen tegenkomen van LEGO met atomen. Figuur 1.7. Onderzoekers in een van de laboratoria van IBM in de Verenigde Staten gebruikten een rastertunnlmicroscoop (zie Hoofdstuk 3) om de xenon atomen op dit nikkel oppervlak een voor een op hun plaats te zetten. Met diezelfde microscoop werd vervolgens het resultaat afgebeeld Bionanotechnologie Het grote voorbeeld voor de nanotechnologie is de biologie. Levende cellen kan je beschouwen als gecompliceerde chemische micro-fabriekjes. Ze zitten vol met machientjes met afmetingen van enkele nanometers. Het bekendste voorbeeld is het DNA. Een gestrekt DNA molecuul heeft een diameter van slechts.5 nm. Het fungeert als een belangrijk onderdeel in de aanmaak van alle biologische bouwstenen in de cel. Figuur 1.8. Microscoop-opname (zie Hoofdstuk 3) van een individueel human transcription factor : DNA complex. Veel biologische processen maken gebruik van mechanische verplaatsingen, die veroorzaakt worden doordat een eiwitmolecuul, een zogenaamd motorproteïne, als het ware over een ander molecuul heenkruipt. Deze bewegingen spelen bijvoorbeeld een rol bij celdeling en bij de werking van spieren. In de wanden van cellen en mitochondria zitten grote aantallen speciale eiwitmoleculen die betrokken zijn bij de regulering van transport van atomen en moleculen van de ene kant naar de andere kant en bij de energiehuishouding van de cel. Van diverse van deze nano-wondertjes is de structuur in de laatste jaren opgehelderd met technieken zoals Röntgendiffractie en NMR (nuclear magnetic resonance 7

9 draaiende atpase.mov Figuur 1.9. Schematische weergave van het membraan-eiwitcomplex F1-ATPase. Met behulp van de aan het eiwit bevestigde, sliertvormige actine-fiber, kan de spontane draaiing van het eiwit zichtbaar worden gemaakt (klik hiervoor op het movie -symbool). spectroscopy), en op basis van hun structuur probeert men ook hun werking te begrijpen. Figuur. 1.9 laat het schema zien van het eiwitcomplex met de naam F1-ATPase. Het speelt een belangrijke rol bij de synthese van ATP-moleculen, de brandstof voor de cel. Onderzoekers in de Engeland en de Verenigde Staten hebben ontdekt dat het middelste gedeelte van dit complex tijdens de ATP-productie om zijn as draait, als een soort Wankel-motor. Voor het ontrafelen van de structuur van deze complexe draaimotor ontvingen John Walker (Cambridge) en Paul Boyer (Los Angeles) in 1997 de Nobelprijs voor de scheikunde. In de tekening van Figuur 1.8 is aangegeven hoe de draaiing zichtbaar wordt gemaakt. Aan de centrale as is een dunne moleculaire wimpel bevestigd, die door de draaiing mee wordt gesleurd. In het filmpje (klik met linkermuisknop) is een microscoop-opname van de waargenomen draaiing duidelijk te zien. 1.3 De droom van Feynman De eerste wetenschapper die serieus heeft nagedacht over de mogelijkheid van het beheersen van de materie op de schaal van atomen en moleculen was de Nobelprijs-winnaar Richard Feynman. In een legendarische lezing, getiteld There s plenty of room at the bottom, bij een bijeenkomst van de American Physical Society in 1959, hield hij zijn collega s voor dat de natuurkundige wetten het niet onmogelijk maken om atomen zichtbaar te maken met sterke microscopen en om materialen atoom voor atoom in elkaar te zetten. De toepassingen waarop de nanotechnologie zich momenteel richt, werden in de visionaire lezing van Feynman allemaal al voorzien. Hoe vooruitziend zijn blik was, wordt duidelijk als je je realiseert dat dit slechts enkele jaren na de uitvinding van de transistor was, en meerdere jaren vóór de ontwikkeling van de eerste elektronische chip. Feynman dacht ook na over de manier waarop de atomair precieze technieken zouden kunnen worden omgezet in massaproductie. Hij liet zich hierbij deels inspireren door de biologie. Dit belangrijke punt komt in onze masterclass aan de orde in Hoofdstukken 5 en 7. Feynmans droom is verder uitgewerkt door diverse op de toekomstige technologie gerichte organisaties. Een van de bekendste daarvan is het Foresight Institute. Op de website van deze organisatie word je op de hoogte gehouden van de laatste ontwikkelingen op het gebied van de nanotechnologie. Bovendien vind je hier ook links naar enkele goed leesbare, algemene (web)-boeken, waarin wordt uitgelegd hoe de huidige techniek stap voor stap kan worden verfijnd naar massaproductie met controle op de schaal van nanometers. 8

10 Figuur Richard P. Feynman ( ) wordt beschouwd als de grondlegger van de nanotechnologie Verder in deze masterclass Veel van de verschijnselen die bij de nanotechnologie optreden zijn doorspekt met kwantummechanische effecten. Na deze inleiding zullen we ons daarom eerst, in Hoofdstuk, uitgebreid verdiepen in de kwantummechanica. Gewapend met deze nieuwe kennis kunnen we de werking begrijpen van de rastertunnelmicroscoop, die in deze masterclass een van de hoofdrolspelers is, en waarmee we in Hoofdstuk 3 nader kennis zullen maken. In Hoofdstuk 4 dalen we stapje voor stapje af in afmetingen naar het domein van de nanometer en proberen we ons een voorstelling te maken van de bizarre veranderingen in de fysische eigenschappen van materialen die tijdens die afdaling optreden. Misschien wel de belangrijkste verandering betreft de elektrische geleiding van materialen, die op nanometerschaal de wet van Ohm niet meer volgt. Dit belangrijke effect vormt het onderwerp van Hoofdstuk 6. Hoofdstuk 5 gunt ons een atomair gevoelige blik op de oppervlakken van diverse materialen. Hierbij zullen we zien dat materialen aan de buitenkant vaak onverwachte structuren vertonen, en dat op de oppervlakken veel spontane beweging van atomen optreedt. In Hoofdstuk 5 komen we ook al de eerste serieuze vingeroefeningen tegen met het atoom voor atoom manipuleren van de materie. Tenslotte, werpen we in Hoofdstuk 7 een blik in de toekomst van de nanotechnologie. Op het gevaar af verzeild te raken in de science fiction speculeren we over de stormachtige ontwikkelingen die we in de komende jaren mogen verwachten binnen de nanotechnologie. 9

11 10

12 Spoedcursus Kwantummechanica.1 Deel 1 Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it. Niels Bohr.1.1 Inleiding Aan het eind van de negentiende eeuw was de natuurkunde stevig gegrondvest op drie belangrijke pijlers, drie theoretische bouwwerken. Met deze theorieën was men zeer succesvol in de beschrijving van vrijwel alle tot dan toe waargenomen natuurverschijnselen. De eerste pijler was gelegd door Newton, en later werd zijn theorie uitgebreid door vele grote namen, waaronder Hamilton en Lagrange. Dit bouwwerk wordt gevormd door wat wij nu de klassieke mechanica noemen. De klassieke mechanica beschrijft de beweging van voorwerpen onder invloed van krachten, en of dit nu koffiekopjes of planeten zijn maakt niet uit. De gevonden wetmatigheden bleken allemaal fantastisch te kloppen, bijvoorbeeld in de voorspelling van de details van de beweging van de planeten in ons zonnestelsel. De tweede pijler betreft de wetten die elektromagnetische verschijnselen beschrijven, en deze wetten hebben de meest algemene en compacte vorm gekregen door het werk van Maxwell. Maar er zijn veel wetenschappers die belangrijke bijdragen hebben geleverd aan deze theorie, waaronder Coulomb, Faraday, Ampère, en nog vele andere. De wetten zoals Maxwell deze formuleerde, beschrijven de statische elektrische en magnetische verschijnselen zoals de elektrische velden ten gevolge van een bepaalde verdeling van geladen deeltjes, of het magnetisch veld ten gevolge van een elektrische stroom. Daarbovenop beschrijven ze de wisselende velden van radiogolven en zelfs van het zichtbare licht. De derde pijler, tenslotte, werd gevormd door de warmteleer, of thermodynamica, die oorspronkelijk ontwikkeld was door Carnot om een beschrijving te kunnen geven voor een optimaal efficiënte stoommachine. De theorie bleek zeer breed toepasbaar voor alle verschijnselen waar warmte een rol speelt. Bovendien was men in staat, voornamelijk dankzij Boltzmann, om een microscopische verklaring van de thermodynamica te geven in termen van de statistische beweging van atomen, en die beweging gebeurt dan onder invloed van de mechanische wetten à-la-newton. Dit resultaat was een triomf van de wetenschap, en versterkte het vertrouwen dat men aan het eind van de negentiende eeuw had dat alle natuurverschijnselen uiteindelijk terug te voeren zouden zijn op de wetten van Newton en Maxwell. Zo stonden de natuurkundigen aan het begin van de twintigste eeuw vol zelfvertrouwen, in de overtuiging dat het niet lang zou duren voordat men alle fundamentele problemen in de natuurkunde had begrepen. Deze zelfvoldaanheid werd in zeer korte tijd tenietgedaan door een aantal waarnemingen die met geen mogelijkheid in termen van de oude theorieën waren te beschrijven. We willen niet te lang stil staan bij deze waarnemingen omdat ons dat te ver van ons pad af zou leiden, maar voor de geïnteresseerde lezer geeft Appendix A1 hiervan een korte beschrijving. Zorgvuldig analyseren van deze waarnemingen leidde in de eerste drie decennia van de twintigste eeuw tot twee enorm belangrijke doorbraken. De ene is voor het grootste deel toe te schrijven aan Albert Einstein, en staat bekend als de Relativiteitstheorie. Een prachtige theorie met zeer verstrekkende consequenties, maar daar willen we het hier niet over hebben. De tweede theorie is de Kwantummechanica, en deze is voor onze cursus van groot belang. Met deze theorie willen we daarom wat nader kennis maken. 11

13 .1. De golf-deeltje paradox De grootste namen uit de natuurkunde van het begin van de twintigste eeuw probeerden uit alle macht de verschijnselen te verklaren in termen van de toen bekende en geaccepteerde wetten. De wetten van Newton en Maxwell werkten zo goed dat men niet graag bereid was toe te geven dat er iets mis mee was. Grote natuurkundigen, waaronder Niels Bohr, Albert Einstein, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger en vele anderen, hebben daar jarenlang mee geworsteld. De problemen die de experimenten beschreven in de Appendix A1 opwierpen werden nog versterkt door nieuwe experimenten, waaronder de verstrooiïng van elektronen door licht, uitgevoerd door Compton, en de experimenten van Franck en Hertz. De resultaten van deze experimenten dwongen deze grote mannen uiteindelijk tot capitulatie: de oude theorieën moesten op de helling. De beschrijvingen voorgesteld door Planck voor de straling van een zwart lichaam, door Einstein voor het foto-elektrisch effect en door Bohr voor de spectraallijnen, waren onacceptabel binnen de oude theorieën omdat er zeer vreemde aannames gemaakt moesten worden. Maar ze wezen allemaal in de richting van een zelfde soort nieuwe theorie. Het heeft echter tot 197 geduurd voordat die er was. In dat jaar kwamen de belangrijkste onderzoekers op dit gebied bijeen op een historische conferentie, de Solvay conferentie gehouden in België. Daar werd uiteindelijk besloten dat het niet anders kon dan dat men de nieuwe theorie moest aanvaarden, en men beschreef hoe deze er in grote lijnen uit moest zien. Om de botsing van een elektron met een lichtdeeltje (foton) te beschrijven had Einstein voorgesteld om aan een foton een impuls p = hν / c = h / λ toe te kennen. Hierbij gebruikte hij de natuurcontante h die al door Planck was ingevoerd voor de verklaring van de straling van een zwart lichaam. i Het verschil tussen golven en deeltjes leek daarmee te vervagen, en in vervolg op deze lijn van redeneren stelde Louis De Broglie voor om ook aan deeltjes een golflengte toe te kennen via dezelfde relatie, p = h / λ. De golflengte wordt dus langer naarmate het deeltje langzamer beweegt. Daarnaast wordt de golflengte langer naarmate het deeltje lichter wordt. Vraag.1. Bereken de golflengte van een elektron dat beweegt met een kinetische energie gelijk aan de thermische energie ii k B T bij kamertemperatuur. Bereken ook de golflengte van een waterstofatoom met een kinetische energie behorend bij een temperatuur van 1 Kelvin. Tot slot, bereken de golflengte van een middenklasse auto met een snelheid van 10 km/h. Beredeneer in welke gevallen de golflengte een waarneembare consequentie zal hebben. Alle, naar klassieke begrippen, uitheemse ingrediënten werden tot een geheel gesmeed en dit werd de kwantummechanica, die een theoretische beschrijving geeft van het gedrag van elementaire deeltjes, waaronder de elektronen. De theorie breekt met het traditionele onderscheid tussen golven en deeltjes. Deze theorie is vaak strijdig met onze intuïtie, een intuïtie die gevormd is door onze ervaringen uit het dagelijks leven, waarin we niet geconfronteerd worden met microscopische verschijnselen. We mogen ons er dus eigenlijk niet al te zeer over verbazen dat de microscopische wereld beheerst wordt door wetmatigheden die ons bijzonder vreemd voorkomen. In die microscopische wereld kan men een elektron opvatten als een deeltje, dat we op een bepaald moment op een bepaalde plaats kunnen aantreffen, maar eveneens kunnen we het beschrijven als een golf die zich uitstrekt over bijvoorbeeld het gehele stuk metaal waarin het zich bevind, en waarvan de plaats dus onbepaald is. Welk van deze beide gezichtspunten van toepassing is hangt af van de vraag die we stellen, ofwel hangt af van welke eigenschap van het elektron gemeten wordt. i De waarde van de constante van Planck is h = 6, Js. ii Atomen bewegen harder naarmate de absolute temperatuur T groter is. Omdat atomen een bepaalde snelheid hebben, hebben ze ook een kinetische energie. Deze energie wordt verhoogd en verlaagd door de temperatuur te variëren. Deze kinetische energie van de atomen heet thermische energie. 1 34

14 Het idee dat een elektron zowel als golf alsook als deeltje beschreven kan worden komt ons zeer vreemd voor. Van een biljartbal kunnen we zeggen dat deze een duidelijk bepaalde plaats heeft op elk moment in de tijd. Daarnaast kennen we het verschijnsel van een druppel die in een vijver valt en die een golfpatroon veroorzaakt dat zich over de gehele vijver uitstrekt. Maar we kunnen ons geen voorstelling vormen van een object dat die twee eigenschappen in zich verenigt. Niettemin is de kwantummechanica in staat, in elk geval in mathematische vorm, een synthese van deze eigenschappen te vormen die niet alleen de juiste voorspellingen geeft voor onze experimentele waarnemingen, maar ook de grenzen aangeeft van wat we met onze waarnemingen kunnen bepalen. Het gedrag van een elektron wordt binnen deze theorie beschreven door de wiskundige vergelijking, die naar de Oostenrijkse natuurkundige Schrödinger is vernoemd, en die in principe alles beschrijft wat we over het elektron kunnen zeggen. De Schrödingervergelijking zal hieronder gegeven worden, en we zullen enkele voorbeelden behandelen waarop deze van toepassing is. Maar voordat we hieraan beginnen, willen we eerst het tegen-intuïtieve aspect van de theorie wat nader bekijken..1.3 Het twee-spleten experiment van Young: fotonen Een van de zeer beroemde experimenten in de golfoptica is het experiment van Young (zie Figuur.1). Bij dit experiment wordt licht, met een golflengte λ, afkomstig van een puntbron door twee spleten gestuurd. Het licht valt daarna op een scherm. Nu meten we de intensiteit van het licht langs de x- richting. De lichtintensiteit is een maat voor de hoeveelheid licht die, per seconde op een bepaalde plaats op het scherm valt. Als λ << d << L wordt een interferentiepatroon op het scherm zichtbaar. De functie die deze intensiteitverdeling beschrijft is, I x d = 4 I 0cos π (.1) λ L Figuur.1. Het twee-spletenexperiment van Young. Het licht van een puntbron valt van grote afstand opeen scherm met twee spleten D en E die op een korte afstand d van elkaar liggen. Het licht dat door de spleten komt valt op een tweede scherm dat op afstand L van het eerste scherm staat. De intensiteit van het licht dat wordt waargenomen als functie van de plaats x op het scherm vertoont een patroon van maxima en minima als gevolg van de interferentie van het licht dat door elk van de twee spelen is gevallen. 13

15 met I 0 de intensiteit op het scherm als één spleet gesloten is. Op het scherm bestaat dus een patroon van lichte en donkere strepen. We verklaren dit als een gevolg van constructieve en destructieve interferentie. De intensiteit van het licht is een afgeleide grootheid; we moeten rekenen met de veldsterkten van het elektromagnetische veld (de intensiteit is evenredig met het kwadraat van de elektrische veldsterkte). In het punt P ( x = 0, symmetrisch t.o.v. de spleten) interfereren de golven constructief want de weglengte tussen de bovenspleet en P is gelijk aan die tussen de onderspleet en P. De veldsterkte in P is dus tweemaal zo groot als dat hij zou zijn als maar één spleet openstond. Om de veldsterkte in het punt Q (coördinaat x ) te berekenen moeten we kijken naar het weglengteverschil = DQ EQ (zie Figuur.1). Als = λ / is er destructieve interferentie in Q en dus is daar de veldsterkte gelijk aan nul; als = λ is er constructieve interferentie in Q. We zien dus dat we steeds het veld uitrekenen als som van twee velden (afkomstig van de twee bronnen) die onderling een plaatsafhankelijk faseverschil hebben. Door dit faseverschil is er variatie in de sterkte van het totale veld en dus van de totale intensiteit. Deze variatie is afgebeeld in Figuur.. Figuur.. Het interferentiepatroon als functie van de plaats x langs het scherm. I/I 0 Tot zover is de beschrijving van de waarneming helemaal gegeven in termen van golven. Maar de kwantummechanica zegt ons dat licht bestaat uit deeltjes, de fotonen. Als je aan fotonen denkt, denk je aan energiepakketjes en niet aan velden. Om het twee-spleten experiment netjes uit te voeren in de context van fotonen wil je eigenlijk met maar één foton tegelijk werken. Je moet dan de lichtintensiteit heel sterk verminderen naar een extreem lage waarde. Het lijkt dan logisch te zeggen dat het foton maar door één spleet gaat, òf door de bovenste òf door de onderste. Einstein vond dit vanzelfsprekend en argumenteerde als volgt: "Stel het foton gaat door de bovenste spleet. Dan maakt het niet uit of ik de onderste spleet bedek of niet''. De lichtverdeling achter één spleet ziet er echter heel anders uit dan die voor twee spleten. Als je met de redenering van Einstein meedenkt, zou je moeten concluderen dat er bij zeer lage lichtintensiteit geen interferentiepatroon overblijft. Je kunt het twee-spletenexperiment voor zeer lage intensiteit in de praktijk uitvoeren. Wat je dan ziet, is dat één foton inderdaad geen interferentiepatroon oplevert maar om een triviale reden. Eén foton kan maar één korrel op een film zwarten. Máár, wanneer je dit experiment gedurende lange tijd voortzet met steeds maar één foton tussen bron en scherm dan verschijnt op den duur het interferentiepatroon van Young. Einsteins redenering gaat dus niet op, en zelfs een enkel foton heeft dus nog golfeigenschappen. Kun je dan nog wel zeggen dat het foton door de ene of de andere spleet gaat? Het antwoord is nee! Je moet concluderen dat het foton altijd door beide spleten gaat! Wat kun je dan nog wel zeggen in termen van fotonen? Hierna zullen we laten zien dat het optische interferentiepatroon van lichtgolven mag worden beschouwd als een waarschijnlijkheidsverdeling voor de positie van de fotonen op het scherm. Daar waar de golfoptica destructieve interferentie voorspelt komen ook werkelijk geen of heel weinig fotonen terecht. 14 xd/ λ L

16 .1.4 Het twee-spleten experiment van Young: elektronen Als we het postulaat van De Broglie uit.1. serieus nemen, moet het ook mogelijk zijn een tweespleten experiment met elektronen uit te voeren. Zulke experimenten zijn ook gedaan (zie Figuur.3). Het resultaat komt volledig overeen met de optische variant. Ook hier kunnen we de elektronenstroom verminderen totdat er maar één elektron aanwezig is. Ook hier lijkt de positie waar elk individueel elektron terechtkomt zuiver door toeval bepaald. Als we echter naar het resultaat van een groot aantal elektronen kijken dan krijgen we het interferentiepatroon terug. Het golfkarakter is dus iets wat aan elk individueel elektron kleeft. Figuur.3. Resultaten van een twee-spetenexperiment met elektronen bij toenemend aantal elektronen. Als weinig elektronen het apparaat hebben doorlopen, herken je geen patroon. Hun ruimtelijke verdeling lijkt willekeurig. Het interferentiepatroon wordt pas duidelijk als voldoende elektronen hebben meegedaan. 15

17 . Deel..1 De Schrödingervergelijking Voor de merkwaardige experimentele resultaten die aanleiding gaven tot het zoeken naar een nieuwe theorie is dus een prachtige beschrijving gevonden die bekend staat als de kwantummechanica. Het gedrag van een deeltje wordt beschreven door een zogenaamde golffunctie, die niet beschrijft waar het deeltje zich werkelijk bevindt op elk gegeven tijdstip, maar die de waarschijnlijkheid beschrijft om het deeltje op een bepaald punt aan te treffen wanneer we daar gaan kijken. De wetenschappers die deze theorie hebben geconstrueerd hebben dus een zeer belangrijke concessie moeten doen om een sluitende theorie te krijgen: de theorie is namelijk niet deterministisch. Dat wil zeggen dat uit een meting van de positie en snelheid van een deeltje op een bepaalde tijd, geen absolute voorspellingen gedaan kunnen worden over waar we het deeltje in de toekomst zullen aantreffen. We kunnen alleen de waarschijnlijkheid voorspellen, en deze wordt beschreven door de golffunctie. De golffunctie, die we zullen aanduiden met de griekse letter ψ, kan worden gevonden als oplossing van de Schrödingervergelijking. Hoe is Erwin Schrödinger aan zijn formule gekomen? Een groot deel is raden geweest. Maar niet zomaar raden, want de theorie moest aan strikte voorwaarden voldoen. Onder andere besloot Schrödinger op grond van de resultaten van De Broglie dat hij moest uit gaan van een beschrijving van deeltjes als golven. Verder moest hij eisen dat, voor systemen die groot genoeg zijn, kwantumeffecten geen rol kunnen spelen. Immers, uit onze ervaring uit het dagelijks leven weten we dat kwantummechanica geen rol speelt op de schaal waarop wij leven. We moeten dus eisen dat we de bekende resultaten van de wetten van Newton terugvinden wanneer de afmetingen groot worden. Bohr heeft deze belangrijke eis aan de theorie heel duidelijk geformuleerd en dit staat bekend als het Correspondentieprincipe van Bohr. De theorie moet dus een uitbreiding zijn van de bekende wetten, en ze niet volledig vervangen. Laten we eerst het resultaat van het werk van Schrödinger bekijken, en dan gaan we ermee aan de slag. Het grootste probleem dat we moeten overwinnen is te leren begrijpen wat de formules betekenen. Om de discussie niet nodeloos ingewikkeld te maken beschrijven we het gedrag van een deeltje met massa m dat slechts in één dimensie (de x-richting) kan bewegen. Voor zo'n deeltje ziet de Schrödingervergelijking er als volgt uit: d ψ ( x) dx = Cψ ( x) (.) Dit is een differentiaalvergelijking, en dat mag je ook verwachten want golven zijn over het algemeen oplossingen van differentiaalvergelijkingen. De golffunctie ψ (x) is de oplossing van de vergelijking, die we zoeken. Het linker lid van de vergelijking zegt dat we deze golffunctie twee maal naar de plaatscoördinaat x moeten differentiëren, en het resultaat daarvan moet dan weer diezelfde golffunctie opleveren, maar dan vermenigvuldigd met een factor C. Om de Schrödingervergelijking compleet te maken moeten we nog zeggen wat die factor C is, en voor de gevallen die we hier zullen bespreken is dit een constante met een waarde m C = ( E ) (.3) D V In deze vergelijking komen een aantal natuurconstanten voor: de massa van het deeltje, m, en de constante van Planck die in dit geval geschreven wordt als D = h / π. Verder is V potentiële energie van het deeltje en E de totale energie. De factor C is dus evenredig met het verschil tussen de totale 16

18 energie en de potentiële energie, en dat verschil is de kinetische energie. De factor C is dus evenredig met de kinetische energie. De vergelijking beschrijft alle situaties voor een deeltje dat in één richting kan bewegen. De informatie over het specifieke probleem dat we willen beschrijven komt op twee plaatsen de vergelijking binnen. Op de eerste plaats gebeurt dat via de massa m van het deeltje, dat bijvoorbeeld een elektron zou kunnen zijn met massa m e = 9, kg. Op de tweede plaats komt deze informatie de vergelijking binnen via de potentiële energie V (x), die bijvoorbeeld zou kunnen worden beschreven door de elektrische potentiële energie van een elektron dat wordt aangetrokken door een proton zoals het geval is in een atoom, zodat V ( x) = (1/ 4πε 0)( e / x). We zullen ons hier echter beperken tot problemen waarbij de potentiële energie constant is... Een vrij deeltje: potentiële energie nul. Om een beter beeld te krijgen van de betekenis van de vergelijking bekijken we enkele bijzondere situaties. Om te beginnen nemen we een geval waarbij de potentiële energie overal nul is, V ( x) = 0. We beginnen met een oplossing te zoeken voor de differentiaalvergelijking (.). Wanneer C constant is de oplossing vrij eenvoudig, een mogelijke oplossing is namelijk ψ ( x ) = sin( kx). (.4) Laten we dat eens controleren. De eerste keer differentiëren van ψ (x) geeft dan dψ ( x) d x = d sin( kx) = k cos( kx). (.5) d x We hebben hierbij gebruik gemaakt van de kettingregel, waarbij we eerst sin( y ) naar y differentiëren, en dit vervolgens vermenigvuldigen met de afgeleide van y = kx naar x. Bij de tweede keer differentiëren gebruiken we dat sin( y) de afgeleide van cos( y ) is, zodat ψ ( x) = k ψ ( x). (.6) dx d De golffunctie ψ ( x ) = sin( kx) is dus inderdaad een oplossing die aan de Schrödingervergelijking (.) voldoet, wanneer k gelijk is aan C. Wanneer we dan bedanken dat C gegeven wordt door (.3), met V ( x) = 0 dan vinden we een relatie tussen deze parameter k en de energie E, D k m = E (.7) We zien dus dat de oplossing van de Schrödingervergelijking inderdaad een golf is, in dit geval een eenvoudige sinusgolf. De golflengte λ van de golf wordt bepaald door de afstand tussen twee maxima van de golf, waarvoor dus geldt dat k λ = π. Vraag.. (1) Voldoet ψ ( x ) = Asin( kx) ook aan de Schrödingervergelijking met V ( x) = 0? () Voldoet ψ ( x ) = sin( kx + ϕ), met ϕ een constante fase, ook aan de Schrödingervergelijking met V ( x) = 0? (3) Voldoet ψ ( x ) = cos( kx) ook aan de Schrödingervergelijking met V ( x) = 0? 17

19 ..3 Impuls, snelheid en golflengte van het deeltje Om nu een natuurkundige betekenis aan deze wiskundige relaties te kunnen toekennen moeten we aannemen dat de golflengte λ de De Broglie golflengte voorstelt, waarvoor geldt dat λ = h / p. Met k λ = π volgt dan dat p = h / λ = hk / π = Dk. Dit suggereert dus dat we D k moeten opvatten als de impuls p van het deeltje. Dat klopt dan ook mooi met vergelijking (.7) waaruit dan volgt dat 1 E = p / m = mv, de klassieke kinetische energie (immers, in dit geval hebben we V ( x) = 0 gekozen, zodat de totale energie gelijk is aan de kinetische energie). We zien dus dat een lage kinetische energie overeenkomt met een lange golflengte, een hoge energie met een korte golflengte...4 Deeltje met kinetische energie nul We hebben nu het geval bekeken waarbij de potentiële energie nul is. Omgekeerd kunnen we een geval bekijken waarvoor de kinetische energie nul is. De totale energie is dan gelijk aan de potentiële energie, en dus moet C in (.3) gelijk aan nul zijn. Aangezien we hebben gevonden dat k gelijk is aan C vinden we dan dat het deeltje een impuls p = Dk gelijk aan nul heeft, en dus een oneindig lange golflengte. Inderdaad, voor een kinetische energie gelijk aan nul is ook de impuls, en dus de snelheid, gelijk aan nul...5 Interpretatie van de golffunctie Het onwennige aspect de Schrödingervergelijking is de bijzondere vorm van de kinetische energie en het feit dat we het deeltje beschrijven met een golffunctie. Hoe moeten we die golffunctie nu interpreteren? We gebruiken hier de analogie met de intensiteit van de lichtgolven in het interferentieexperiment van Young: de waarschijnlijkheid W om het deeltje aan te treffen op een plaats x wordt gegeven door het kwadraat van de golffunctie Ψ (x) op die plaats, ( Ψ( )) W ( x) = x. (.8) Voor een algemene oplossing ψ ( x ) = Asin( kx + ϕ) ligt daarmee dan gelijk de amplitude A vast, want de totale waarschijnlijkheid om het deeltje waar dan ook aan te treffen moet natuurlijk gelijk aan 1 zijn. Wanneer L de totale lengte is van de ruimte waarin het deeltje zich beweegt dan vinden we A = / L. Dit wordt geïllustreerd in Figuur.4. (Ψ(x)) A 0 0 x L Figuur.4. Omdat de totale waarschijnlijkheid om het deeltje ergens te vinden 1 moet zijn, en omdat we deze waarschijnlijkheid gelijk willen stellen aan ( Ψ (x)), moeten we het oppervlak onder de grafiek bepalen en dit gelijk stellen aan 1. Aan de grafiek kun je zien dat dit oppervlak ongeveer de helft is van de breedte van de grafiek, L, maal de hoogte, A. Door de integraal uit te rekenen kun je laten zien dat dit de exacte oplossing is. 18

20 ..6 Doordringen in het verboden gebied Uit de klassieke natuurkunde, waarmee de natuurkunde van vóór de kwantummechanica wordt bedoeld, is het volgende gedrag van voorwerpen bekend: Een voorwerp dat een kinetische energie E kin heeft wordt afgeremd wanneer het aanloopt tegen een stijgende potentiële energie en het voorwerp komt tot stilstand zodra de kinetische energie volledig is omgezet in potentiële energie. Wanneer we wrijving verwaarlozen, dan kunnen we een kogel vertikaal omhoog schieten en deze bereikt een hoogte H die gegeven wordt door de kinetische energie bij aanvang, mgh=e kin (hierin is m de massa van het voorwerp en g de valversnelling). Hoger kan het voorwerp bij gegeven kinetische energie nooit komen. In de kwantummechanica is dit niet meer waar, en dit volgt direct uit de Schrödingervergelijking () zoals we nu zullen laten zien. Vraag.3. Maak een grafiek van de potentiële energie als functie van de hoogte H, voor een kogel die vertikaal wordt afgeschoten met een snelheid van 100 m/s. Teken in dezelfde grafiek de totale energie van de kogel als functie van de hoogte. Geef in de grafiek aan wat het hoogste punt is dat de kogel zal bereiken. Zoals gebruikelijk mag wrijving worden verwaarloosd. Stel we hebben een elektron met energie E dat zich vrij kan bewegen in een ruimte met potentiële energie V = 0, zoals links van het punt x = 0 in de schematische voorstelling van Figuur.4. Wat gebeurt er rechts, waar V = V 0 > E? In dat gebied kunnen we de Schrödingervergelijking schrijven als d Ψ( x) m = ( E V d x D 0 ) Ψ( x) (.9) De vergelijking lijkt op het probleem van.. van een deeltje in een ruimte met potentiële energie nul, maar nu met een effectieve negatieve energie E V0. Het feit dat de energie negatief is, betekent dat de sinusfunctie geen oplossing meer vormt voor deze differentiaalvergelijking. E V = 0 V = V 0 x=0 Figuur.4. Een schematische voorstelling van potentiële energie nul, links van x=0, naar een hoge potentiële energie, rechts van x=0. Vraag.4. Bekijk de Schrödingervergelijking (.9) voor een potentiële energie V 0, die constant is voor alle waarden van de plaats x. Waarom is een sinusfunctie geen goede oplossing meer wanneer de energie E kleiner is dan V 0? Dat de sinusfunctie geen oplossing meer is, is misschien niet zo verrassend, want we zouden verwachten dat het deeltje helemaal niet kan doordringen in het gebied rechts van x = 0 in Figuur.4, aangezien zijn energie niet toereikend is. Het verrassende is dat er wel degelijk andere oplossingen van de vergelijking (.9) bestaan in dat gebied, namelijk 19

21 Ψ ( x) = B exp( κ x), òf Ψ ( x) = Bexp( κ x). (.10) De vorm van deze functies staan weergegeven in Figuur.5. Dit zijn natuurlijk niet echt golven, maar het zijn functies die snel groeien of uitdempen voor toenemende x. Door invullen van (.10) in (.9) vinden we voor κ κ = m( V0 E ) / D (.11) 4.0 functiewaarde e x e -x positie x Figuur.5. De oplossingen van de Schrödingervergelijking in een gebied waar de potentiële energie groter is dan de energie van het deeltje wordt gegeven door e-machten met een positieve of een negatieve exponent. De eerste van de twee oplossingen in (.10) kunnen we buiten beschouwing laten, want die zou erop duiden dat het steeds waarschijnlijker wordt om het deeltje aan te treffen naarmate we verder naar rechts gaan. (Deze oplossing is van belang voor andere situaties, bijvoorbeeld wanneer zich ergens verder naar rechts een gebied bevindt waar V = 0, en waar de deeltjes dan vandaan komen.). We hebben dus een oplossing gevonden van de Schrödingervergelijking in een gebied waar ze niet zouden mogen komen volgens de klassieke natuurkunde. We moeten de oplossing van de golffunctie rechts en links van x = 0 nog netjes aan elkaar plakken. De wiskunde staat voor de geïnteresseerden uitgewerkt in Appendix A, en het resultaat van deze berekening voor de golffunctie staat weergegeven in Figuur Tunnelen De theorie voorspelt dus het volgende: een deeltje dat vrij kan bewegen, maar in contact komt met een potentiële energieberg die hoger is dan zijn beschikbare kinetische energie, kan toch in die berg doordringen, maar de waarschijnlijkheid om het deeltje op een afstand x aan treffen neemt exponentieel af met de afstand. We spreken hier van tunnelen: het deeltje graaft zich als het ware een tunnel door de barrière, maar komt niet ver wanneer de barrière maar hoog genoeg is. Tot zover was dit puur theorie, afgeleid van de eigenschappen van de Schrödingervergelijking. Het verassende is dat dit effect ook in werkelijkheid optreedt. Met name de STM, die uitgebreid in het volgende hoofdstuk ter sprake komt, is gebaseerd op dit verschijnsel, en het zal daar uitgebreider worden besproken. 0

22 Figuur.6. De oplossingen van de Schrödingervergelijking rond het punt waar de potentiële energie over gaat van nul (links van x = 0) naar een waarden die groter is dan de energie van het deeltje zelf (rechts van x = 0). Het onderste deel van de figuur toont de energie en potentiële energie als functie van de positie. Het bovenste deel toont de golffunctie, als oplossing van de Schrödingervergelijking. De sinusgolf links sluit glad verlopend aan op de exponentieel afnemende oplossing rechts. 1

23 .3 Deel 3: Kwantummechanisch model voor metalen.3.1 Deeltje in een put Om wat meer inzicht te verwerven in de kwantummechanica zullen we de theorie uit de vorige paragrafen toepassen op een betrekkelijk eenvoudig probleem: een deeltje met massa m in een ééndimensionale put. Dit probleem zal ook dienen als basis voor een eenvoudige beschrijving van de eigenschappen van elektronen in metalen. Verder zal het van pas komen bij de bespreking van enkele verschijnselen uit de nanofysica. We beginnen met een potentiaalput met oneindig hoge wanden. We schrijven de Schrödingervergelijking weer in de vorm: d Ψ( x) = CΨ( x), d x m met C = ( E V ). (.1) D De put wordt dan beschreven door de vorm van de potentiële energie (zie ook Figuur.7), V ( x) = 0, V ( x) =, voor 0 x a; elders. (.13) Energie 0 a x Figuur.7. Vorm van de potentiële energieput waarin de elektronen worden opgesloten. In de gearceerde links van x=0 en rechts van x=a is de potentiële energie oneindig hoog..3. Buiten de put Voor x > a of x < 0 (de gearceerde gebieden in de figuur) is de potentiële energie oneindig hoog, en daar is dus ook C oneindig groot. We hebben gezien dat de golffunctie van een deeltje exponentieel afvalt in een gebied waar de potentiële energie hoger is dan de beschikbare kinetische energie van het deeltje. De golffunctie valt sneller af naarmate het verschil tussen kinetische en potentiële energie groter is. Het deeltje heeft natuurlijk geen oneindig grote energie en dus zal de golffunctie oneindig snel afvallen in het gebied buiten de put. Met andere woorden: Voor x > a of x < 0 moet gelden dat Ψ( x ) = 0. Dat klinkt inderdaad redelijk: de waarschijnlijkheid om het deeltje links van 0 of rechts van

Higgs-deeltje. Peter Renaud Heideheeren. Inhoud

Higgs-deeltje. Peter Renaud Heideheeren. Inhoud Higgs-deeltje Peter Renaud Heideheeren Inhoud 1. Onze fysische werkelijkheid 2. Newton Einstein - Bohr 3. Kwantumveldentheorie 4. Higgs-deeltjes en Higgs-veld 3 oktober 2012 Heideheeren 2 1 Plato De dingen

Nadere informatie

De golfvergelijking van Schrödinger

De golfvergelijking van Schrödinger De golfvergelijking van Schrödinger De golfvergelijking van Schrödinger beschrijft het gedrag van het elektron in het atoom. De oplossing van die vergelijking? i bevat informatie over de energie in de

Nadere informatie

7. Hoofdstuk 7 : De Elektronenstructuur van Atomen

7. Hoofdstuk 7 : De Elektronenstructuur van Atomen 7. Hoofdstuk 7 : De Elektronenstructuur van Atomen 7.1. Licht: van golf naar deeltje Frequentie (n) is het aantal golven dat per seconde passeert door een bepaald punt (Hz = 1 cyclus/s). Snelheid: v =

Nadere informatie

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005 Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule

Nadere informatie

De Broglie. N.G. Schultheiss

De Broglie. N.G. Schultheiss De Broglie N.G. Schultheiss Inleiding Deze module volgt op de module Detecteren en gaat vooraf aan de module Fluorescentie. In deze module wordt de kleur van het geabsorbeerd of geëmitteerd licht gekoppeld

Nadere informatie

QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX. Naam: Klas: Datum:

QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX. Naam: Klas: Datum: DE EPR-PARADOX QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX Naam: Klas: Datum: DE EPR-PARADOX DE EPR-PARADOX EEN GEDACHTE-EXPERIMENT Volgens de wetten van de quantummechanica kunnen bepaalde deeltjes spontaan vervallen.

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

10 Materie en warmte. Onderwerpen. 3.2 Temperatuur en warmte.

10 Materie en warmte. Onderwerpen. 3.2 Temperatuur en warmte. 1 Materie en warmte Onderwerpen - Temperatuur en warmte. - Verschillende temperatuurschalen - Berekening hoeveelheid warmte t.o.v. bepaalde temperatuur. - Thermische geleidbaarheid van een stof. - Warmteweerstand

Nadere informatie

Quantummechanica 5/6 VWO

Quantummechanica 5/6 VWO Lessenserie Quantummechanica 5/6 VWO Docentenhandleiding Quantumtheorie WAAR? In ieder geval: RAAR! Opzet en doelen In deze serie van 3 lessen wordt voor leerlingen in klas 5 of 6 VWO een introductie gegeven

Nadere informatie

Figuur 1 Schematische opstelling van de STM

Figuur 1 Schematische opstelling van de STM Zdenko van Kesteren Scanning Tunneling Microscope Vorige keer bekeken we de Atomic Force Microscope (AFM). De krachtige kijker die een resolutie had in de orde van de grootte van een atoom. Een andere

Nadere informatie

Samenvatting Vrij vertaald luidt de titel van dit proefschrift: "Ladingstransport in dunne- lm transistoren gebaseerd op geordende organische halfgeleiders". Alvorens in te gaan op de specieke resultaten

Nadere informatie

QUANTUMFYSICA FOTOSYNTHESE. Naam: Klas: Datum:

QUANTUMFYSICA FOTOSYNTHESE. Naam: Klas: Datum: FOTOSYNTHESE QUANTUMFYSICA FOTOSYNTHESE Naam: Klas: Datum: FOTOSYNTHESE FOTOSYNTHESE ANTENNECOMPLEXEN Ook in sommige biologische processen speelt quantummechanica een belangrijke rol. Een van die processen

Nadere informatie

Botsingen. N.G. Schultheiss

Botsingen. N.G. Schultheiss 1 Botsingen N.G. Schultheiss 1 Inleiding In de natuur oefenen voorwerpen krachten op elkaar uit. Dit kan bijvoorbeeld doordat twee voorwerpen met elkaar botsen. We kunnen hier denken aan grote samengestelde

Nadere informatie

Nederlandse samenvatting voor geïnteresseerden buiten het vakgebied

Nederlandse samenvatting voor geïnteresseerden buiten het vakgebied Nederlandse samenvatting voor geïnteresseerden buiten het vakgebied Met dit proefschrift ga ik promoveren in de biochemie. In dit vakgebied wordt de biologie bestudeerd vanuit chemisch perspectief. Het

Nadere informatie

Massa: misschien denkt u er alleen aan als u op de weegschaal staat. Grote natuurkundigen hebben er mee geworsteld. Mensen zoals Newton, Einstein en

Massa: misschien denkt u er alleen aan als u op de weegschaal staat. Grote natuurkundigen hebben er mee geworsteld. Mensen zoals Newton, Einstein en Massa: misschien denkt u er alleen aan als u op de weegschaal staat. Grote natuurkundigen hebben er mee geworsteld. Mensen zoals Newton, Einstein en recent Higgs. 1 Als ik deze voetbal een trap geef schiet

Nadere informatie

Samenvatting. Klassieke! deeltjes. Bosonen

Samenvatting. Klassieke! deeltjes. Bosonen Samenvatting Dit proefschrift gaat over kwantummaterie, oftewel de collectieve gedragingen van een veelheid aan kwantumdeeltjes. In een stukje metaal of legering zitten circa 10 26 atomen die zich meestal

Nadere informatie

Schriftelijk examen 2e Ba Biologie Fysica: elektromagnetisme 2011-2012

Schriftelijk examen 2e Ba Biologie Fysica: elektromagnetisme 2011-2012 - Biologie Schriftelijk examen 2e Ba Biologie 2011-2012 Naam en studierichting: Aantal afgegeven bladen, deze opgaven niet meegerekend: Gebruik voor elke nieuwe vraag een nieuw blad. Zet op elk blad de

Nadere informatie

nieuw deeltje deeltje 1 deeltje 2 deeltje 2 tijd

nieuw deeltje deeltje 1 deeltje 2 deeltje 2 tijd Samenvatting Inleiding De kern Een atoom bestaat uit een kern en aan de kern gebonden elektronen, die om de kern cirkelen. Dat de elektronen aan de kern gebonden zijn, komt doordat er een kracht werkt

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/22238 holds various files of this Leiden University dissertation

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/22238 holds various files of this Leiden University dissertation Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/22238 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Verbiest, Gerard Jan Title: Unravelling heterodyne force microscopy Issue Date:

Nadere informatie

Supergeleiding, hoe werkt dat? Samengevat. Onderwerp: elektrische stroom elektrisch veld en magnetisch veld

Supergeleiding, hoe werkt dat? Samengevat. Onderwerp: elektrische stroom elektrisch veld en magnetisch veld Supergeleiding, hoe werkt dat? atoomfysica Onderwerp: elektrische stroom elektrisch veld en magnetisch veld In 1911 deed de Nederlander Heike Kamerlingh Onnes een zeer merkwaardige ontdekking. Hij merkte

Nadere informatie

Sterrenkunde Ruimte en tijd (3)

Sterrenkunde Ruimte en tijd (3) Sterrenkunde Ruimte en tijd (3) Zoals we in het vorige artikel konden lezen, concludeerde Hubble in 1929 tot de theorie van het uitdijende heelal. Dit uitdijen geschiedt met een snelheid die evenredig

Nadere informatie

Samenvatting voor de leek

Samenvatting voor de leek Samenvatting voor de leek Niet-vluchtig geheugen (NVG), computergeheugen dat informatie bewaart zelfs als er geen spanning op de chip staat, wordt steeds belangrijker in elektronische apparatuur. De meest

Nadere informatie

QUANTUM- & ATOOMFYSICA VWO

QUANTUM- & ATOOMFYSICA VWO QUANTUM- & ATOOMFYSICA VWO Foton is een opgavenverzameling voor het nieuwe eindexamenprogramma natuurkunde. Foton is gratis te downloaden via natuurkundeuitgelegd.nl/foton Uitwerkingen van alle opgaven

Nadere informatie

Einstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet!

Einstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet! Einstein (6) n de voorafgaande artikelen hebben we het gehad over tijdsdilatatie en Lorenzcontractie (tijd en lengte zijn niet absoluut maar hangen af van de snelheid tussen waarnemer en waargenomene).

Nadere informatie

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding:

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding: 1 Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. 23-09-2015 -------------------------------------------- ( j.eitjes@upcmail.nl) Een korte inleiding: Is Ruimte zoiets als Leegte, een

Nadere informatie

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Relativiteit Als je aan relativiteit denkt, dan denk je waarschijnlijk als eerste aan Albert Einstein. En dat is dan ook de bedenker van de relativiteitstheorie.

Nadere informatie

OVERAL, variatie vanuit de kern LES- BRIEF. Tweede Fase. Het neutrinomysterie. Foto: CERN

OVERAL, variatie vanuit de kern LES- BRIEF. Tweede Fase. Het neutrinomysterie. Foto: CERN OVERAL, variatie vanuit de kern LES- BRIEF Tweede Fase Het neutrinomysterie Foto: CERN 1 Het was op het nieuws, het was in de krant, iedereen had het er over: neutrino s die sneller gaan dan het licht.

Nadere informatie

Alfastraling bestaat uit positieve heliumkernen (2 protonen en 2 neutronen) met veel energie. Wordt gestopt door een blad papier.

Alfastraling bestaat uit positieve heliumkernen (2 protonen en 2 neutronen) met veel energie. Wordt gestopt door een blad papier. Alfa -, bèta - en gammastraling Al in 1899 onderscheidde Ernest Rutherford bij de uraniumstraling "minstens twee" soorten: één die makkelijk wordt geabsorbeerd, voor het gemak de 'alfastraling' genoemd,

Nadere informatie

Schrödinger vergelijking. Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013

Schrödinger vergelijking. Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013 Schrödinger vergelijking Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013 Inhoud presentatie Algemene opmerkingen Aannemelijk maken van de vergelijking Oplossingen van de vergelijking De situatie rond

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

In de figuur hieronder zie je een Elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur).

In de figuur hieronder zie je een Elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur). 2.1 Wat is licht? In de figuur hieronder zie je een Elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur). Licht is een elektromagnetische golf. Andere voorbeelden

Nadere informatie

NATUURKUNDE 8 29/04/2011 KLAS 5 INHAALPROEFWERK HOOFDSTUK

NATUURKUNDE 8 29/04/2011 KLAS 5 INHAALPROEFWERK HOOFDSTUK NATUURKUNDE KLAS 5 INHAALPROEFWERK HOOFDSTUK 8 29/04/2011 Deze toets bestaat uit 3 opgaven (32 punten). Gebruik eigen grafische rekenmachine en BINAS toegestaan. Veel succes! Opgave 1: Afbuigen van geladen

Nadere informatie

Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur

Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur Opmerkingen: 1) Lijsten met de punten toegekend door de corrector worden op OASE gepubliceerd. De antwoorden van

Nadere informatie

Exact Periode 5 Niveau 3. Dictaat Licht

Exact Periode 5 Niveau 3. Dictaat Licht Exact Periode 5 Niveau 3 Dictaat Licht 1 1 Wat is licht? In de figuur hieronder zie je een elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur). Licht is

Nadere informatie

Elektriciteit. Elektriciteit

Elektriciteit. Elektriciteit Elektriciteit Alles wat we kunnen zien en alles wat we niet kunnen zien bestaat uit kleine deeltjes. Zo is een blok staal gemaakt van staaldeeltjes, bestaat water uit waterdeeltjes en hout uit houtdeeltjes.

Nadere informatie

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss 1 Deeltjes in Airshowers N.G. Shultheiss 1 Inleiding Deze module volgt op de module Krahten in het standaardmodel. Deze module probeert een beeld te geven van het ontstaan van airshowers (in de atmosfeer)

Nadere informatie

Windmolenpark Houten. Project nask & techniek Leerjaar 2 havo/atheneum College de Heemlanden, Houten. Namen: Klas:

Windmolenpark Houten. Project nask & techniek Leerjaar 2 havo/atheneum College de Heemlanden, Houten. Namen: Klas: Namen: Klas: Windmolenpark Houten Project nask & techniek Leerjaar 2 havo/atheneum College de Heemlanden, Houten Ontwikkeld door: Geert Veenstra Gerard Visker Inhoud Probleem en hoofdopdracht Blz 3 Samenwerking

Nadere informatie

Werken met eenheden. Introductie 275. Leerkern 275

Werken met eenheden. Introductie 275. Leerkern 275 Open Inhoud Universiteit Appendix B Wiskunde voor milieuwetenschappen Werken met eenheden Introductie 275 Leerkern 275 1 Grootheden en eenheden 275 2 SI-eenhedenstelsel 275 3 Tekenen en grafieken 276 4

Nadere informatie

Hierin is λ de golflengte in m, v de golfsnelheid in m/s en T de trillingstijd in s.

Hierin is λ de golflengte in m, v de golfsnelheid in m/s en T de trillingstijd in s. Inhoud... 2 Opgave: Golf in koord... 3 Interferentie... 4 Antigeluid... 5 Staande golven... 5 Snaarinstrumenten... 6 Blaasinstrumenten... 7 Opgaven... 8 Opgave: Gitaar... 8 Opgave: Kerkorgel... 9 1/10

Nadere informatie

Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur

Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur EXAMEN HOGER ALGEMEEN VOORTGEZET ONDERWIJS IN 1979 Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur NATUURKUNDE Dit examen bestaat uit 4 opgaven ft Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van

Nadere informatie

Love and Fear of Water: Water Dynamics around Charges and Apolar Solutes S.T. van der Post

Love and Fear of Water: Water Dynamics around Charges and Apolar Solutes S.T. van der Post Love and Fear of Water: Water Dynamics around Charges and Apolar Solutes S.T. van der Post Samenvatting Water is meer dan een oplosmiddel Het leven op aarde is gebaseerd op water: vrijwel alle organismen,

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 havo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1 havo 2007-I De wet van Moore Eén van de belangrijkste onderdelen van de computer is de chip. Een chip is een elektronische schakeling die uit vele duizenden transistors bestaat. Toch is een chip niet groter dan een

Nadere informatie

Alles om je heen is opgebouwd uit atomen. En elk atoom is weer bestaat uit protonen, elektronen en neutronen.

Alles om je heen is opgebouwd uit atomen. En elk atoom is weer bestaat uit protonen, elektronen en neutronen. 2 ELEKTRICITEITSLEER 2.1. Inleiding Je hebt al geleerd dat elektriciteit kan worden opgewekt door allerlei energievormen om te zetten in elektrische energie. Maar hoe kan elektriciteit ontstaan? En waarom

Nadere informatie

Deze Informatie is gratis en mag op geen enkele wijze tegen betaling aangeboden worden. Vraag 1

Deze Informatie is gratis en mag op geen enkele wijze tegen betaling aangeboden worden. Vraag 1 Vraag 1 Twee stenen van op dezelfde hoogte horizontaal weggeworpen in het punt A: steen 1 met een snelheid v 1 en steen 2 met snelheid v 2 Steen 1 komt neer op een afstand x 1 van het punt O en steen 2

Nadere informatie

Klas 6 natuurkunde. 4 nieuwe hoofdstukken 3 toetsen 3 PO s CE training. SE: Nova, PTA CE: Syllabus + examenregels

Klas 6 natuurkunde. 4 nieuwe hoofdstukken 3 toetsen 3 PO s CE training. SE: Nova, PTA CE: Syllabus + examenregels Klas 6 natuurkunde 4 nieuwe hoofdstukken 3 toetsen 3 PO s CE training SE: Nova, PTA CE: Syllabus + examenregels Geen GR! Binas 6 e druk ? E-pack? Uitwerkingenboekje? Magister mail check of maillijst? Presentaties,

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20843 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Schramm, Sebastian Markus Title: Imaging with aberration-corrected low energy

Nadere informatie

Fluorescentie. dr. Th. W. Kool, N.G. Schultheiss

Fluorescentie. dr. Th. W. Kool, N.G. Schultheiss 1 Fluorescentie dr. Th. W. Kool, N.G. Schultheiss 1 Inleiding Deze module volgt op de module de Broglie. Het detecteren van kosmische straling in onze ski-boxen geschiedt met behulp van het organische

Nadere informatie

Basiskennis en Basisvaardigheden IV (404)

Basiskennis en Basisvaardigheden IV (404) ASISKENNIS EN ASISVAARDIGHEDEN IV 404 asiskennis en asisvaardigheden IV (404) SCHEIKUNDE 404.01 De kandidaat kan het scheiden van mengsels in verschillende zuivere stoffen 404.02 De kandidaat kan de opbouw

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Biofotonen en de regulering van het lichaam met Prof. Fritz-Albert Popp van het International Institute of Biophysics in Neuss, Duitsland.

Biofotonen en de regulering van het lichaam met Prof. Fritz-Albert Popp van het International Institute of Biophysics in Neuss, Duitsland. Biofotonen en de regulering van het lichaam met Prof. Fritz-Albert Popp van het International Institute of Biophysics in Neuss, Duitsland. In de andere twee testen werd duidelijk dat de stem de activiteit

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur 1 RONDDRAAIENDE MASSA 5pt Een massa zit aan een uiteinde van een touw. De massa ligt op een wrijvingloos oppervlak waar het

Nadere informatie

Nederlandse samenvatting voor geïnteresseerden buiten dit vakgebied

Nederlandse samenvatting voor geïnteresseerden buiten dit vakgebied Nederlandse samenvatting voor geïnteresseerden buiten dit vakgebied Modellen Lego voor het leven Wij mensen houden van modellen. Als kinderen beginnen wij de opbouw van dingen te begrijpen door ze met

Nadere informatie

Samenvatting. Samenvatting

Samenvatting. Samenvatting Samenvatting Een 'quantum dot' is een kristallijne strucuur waarvan de afmetingen in drie dimensies zijn beperkt, zodat de golffuncties van de elektronen opgesloten zijn in dit volume. De typische afmetingen

Nadere informatie

TENTAMEN. Van Quantum tot Materie

TENTAMEN. Van Quantum tot Materie TENTMEN Van Quantum tot Materie Prof. Dr. C. Gooijer en Prof. Dr. R. Griessen Vrijdag 22 december 2006 12.00-14.45 Q105/ M143/ C121 Dit schriftelijk tentamen bestaat uit 5 opdrachten. Naast de titel van

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Radioactiviteit

Hoofdstuk 9: Radioactiviteit Hoofdstuk 9: Radioactiviteit Natuurkunde VWO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 9: Radioactiviteit Natuurkunde 1. Mechanica 2. Golven en straling 3. Elektriciteit en magnetisme 4. Warmteleer Rechtlijnige

Nadere informatie

Samenvatting. Figuur 2

Samenvatting. Figuur 2 Cellen, de bouwstenen van ons lichaam, zijn verassend goed georganiseerde systemen. Verrassend, aangezien cellen erg klein zijn. Een typische cel in ons lichaam is tientallen micrometer in doorsnede, duizend

Nadere informatie

Samenvatting. Sub-diffractie optica

Samenvatting. Sub-diffractie optica Samenvatting Het bestuderen en manipuleren van licht speelt al vele eeuwen een belangrijke rol in wetenschappelijke en technologische ontwikkeling. Met de opkomst van de nanotechnologie, ontstond ook de

Nadere informatie

Zonnestraling. Samenvatting. Elektromagnetisme

Zonnestraling. Samenvatting. Elektromagnetisme Zonnestraling Samenvatting De Zon zendt elektromagnetische straling uit. Hierbij verplaatst energie zich via elektromagnetische golven. De golflengte van de straling hangt samen met de energie-inhoud.

Nadere informatie

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven. " '"of) r.. I r. ',' t, J I i I.

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven.  'of) r.. I r. ',' t, J I i I. .o. EXAMEN VOORBEREDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWJS N 1979 ' Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur NATUURKUNDE.,, Dit examen bestaat uit 4 opgaven ',", "t, ', ' " '"of) r.. r ',' t, J i.'" 'f 1 '.., o. 1 i Deze

Nadere informatie

3 Het Foto Elektrisch Effect. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/51931

3 Het Foto Elektrisch Effect. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/51931 Auteur Its Academy Laatst gewijzigd Licentie Webadres 08 May 2015 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/51931 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.

Nadere informatie

Trillingen... 2 Harmonische trilling... 3 Opgave: Bol aan veer II... 5

Trillingen... 2 Harmonische trilling... 3 Opgave: Bol aan veer II... 5 Inhoud... 2 Harmonische trilling... 3 Opgave: Bol aan veer I... 5 Opgave: Bol aan veer II... 5 Resonantie... 6 Biosensoren... 7 Opgave: Biosensor... 8 Energiebehoud... 9 Energiebehoud in een massaveersysteem...

Nadere informatie

1ste ronde van de 19de Vlaamse Fysica Olympiade 1. = kx. = mgh. E k F A. l A. ρ water = 1,00.10 3 kg/m 3 ( θ = 4 C ) c water = 4,19.10 3 J/(kg.

1ste ronde van de 19de Vlaamse Fysica Olympiade 1. = kx. = mgh. E k F A. l A. ρ water = 1,00.10 3 kg/m 3 ( θ = 4 C ) c water = 4,19.10 3 J/(kg. ste ronde van de 9de Vlaamse Fysica Olympiade Formules ste onde Vlaamse Fysica Olympiade 7 9de Vlaamse Fysica Olympiade Eerste ronde De eerste ronde van deze Vlaamse Fysica Olympiade bestaat uit 5 vragen

Nadere informatie

Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW)

Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW) Huygens Institute - Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW) Citation: R. Kaptein, Levensbericht M.F. Perutz, in: Levensberichten en herdenkingen, 2004, Amsterdam, pp. 72-75 This PDF was made

Nadere informatie

Big Ideas Great STEM. Katrien Strubbe

Big Ideas Great STEM. Katrien Strubbe + Big Ideas Great STEM Katrien Strubbe (Natuur)wetenschappen: doelen 2 Natuurwetenschappen geven leerlingen een fundamenteel en duurzaam inzicht in de structuren en processen die de mens, de natuur en

Nadere informatie

Quantummechanica = golfmechanica

Quantummechanica = golfmechanica Quantummechanica = golfmechanica Golven Wave in stadion Geluidsgolf in lucht Geplukte snaar (Animaties van Dr. Dan Russell, Kettering University) Superpositie van golven Lineaire superpositie als twee

Nadere informatie

Uitwerkingen VWO deel 1 H2 (t/m par. 2.5)

Uitwerkingen VWO deel 1 H2 (t/m par. 2.5) Uitwerkingen VWO deel 1 H2 (t/m par. 2.5) 2.1 Inleiding 1. a) Warmte b) Magnetische Energie c) Bewegingsenergie en Warmte d) Licht (stralingsenergie) en warmte e) Stralingsenergie 2. a) Spanning (Volt),

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2010 tijdvak 1 dinsdag 18 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

De Zon. N.G. Schultheiss

De Zon. N.G. Schultheiss 1 De Zon N.G. Schultheiss 1 Inleiding Deze module is direct vanaf de derde of vierde klas te volgen en wordt vervolgd met de module De Broglie of de module Zonnewind. Figuur 1.1: Een schema voor kernfusie

Nadere informatie

Examenprogramma natuurkunde vwo

Examenprogramma natuurkunde vwo Examenprogramma natuurkunde vwo Ingangsdatum: schooljaar 2013-2014 (klas 4) Eerste examenjaar: 2016 Het eindexamen Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma

Nadere informatie

Hoofdstuk 6: Elektromagnetisme

Hoofdstuk 6: Elektromagnetisme Hoofdstuk 6: lektromagnetisme Natuurkunde VWO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 6: lektromagnetisme Natuurkunde 1. Mechanica 2. Golven en straling 3. lektriciteit en magnetisme 4. Warmteleer Rechtlijnige

Nadere informatie

Zoektocht naar het Higgs deeltje. De Large Hadron Collider in actie. Stan Bentvelsen

Zoektocht naar het Higgs deeltje. De Large Hadron Collider in actie. Stan Bentvelsen Zoektocht naar het Higgs deeltje De Large Hadron Collider in actie Stan Bentvelsen KNAW Amsterdam - 11 januari 2011 1 Versnellen op CERN De versneller Large Hadron Collider sub- atomaire deeltjes botsen

Nadere informatie

Zoektocht naar de elementaire bouwstenen van de natuur

Zoektocht naar de elementaire bouwstenen van de natuur Zoektocht naar de elementaire bouwstenen van de natuur Het atoom: hoe beter men keek hoe kleiner het leek Ivo van Vulpen CERN Mijn oude huis Anti-materie ATLAS detector Gebouw-40 globe 21 cctober, 2006

Nadere informatie

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2)

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Snelheid en gemiddelde snelheid Met de grootheid snelheid geef je aan welke afstand een voorwerp in een bepaalde tijd aflegt. Over een langere periode is de snelheid

Nadere informatie

Samenvatting. Wat is licht

Samenvatting. Wat is licht Samenvatting In dit onderdeel zal worden getracht de essentie van het onderzoek beschreven in dit proefschrift te presenteren zodanig dat het te begrijpen is door familie, vrienden en vakgenoten zonder

Nadere informatie

Natuurwetten »NIEUWE NATUURKUNDE VWO6 »UITWERKINGEN. a. = b. = = c. = = = d. = = Boorplatform naar links, Dan afstand = = Kabel is dan dus uitgerekt!

Natuurwetten »NIEUWE NATUURKUNDE VWO6 »UITWERKINGEN. a. = b. = = c. = = = d. = = Boorplatform naar links, Dan afstand = = Kabel is dan dus uitgerekt! »NIEUWE NATUURKUNDE VWO6 Natuurwetten»UITWERKINGEN HOOFDSTUK 1 - MODELLEN 1. a. A F shorizontaal F s vraag 1a C 40m Pythagoras: B Met gelijkvormigheid driehoeken vind je veerconstante (BINAS 35A-4 ) C

Nadere informatie

Beste leerling, Om een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de examenvragen onderverdeeld in 4 categorieën.

Beste leerling, Om een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de examenvragen onderverdeeld in 4 categorieën. Beste leerling, Dit document bevat het examenverslag van het vak Natuurkunde vwo, eerste tijdvak (2016). In dit examenverslag proberen we zo goed mogelijk antwoord te geven op de volgende vraag: In hoeverre

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren.

Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren. 1 Meten en verwerken 1.1 Meten Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren. Grootheden/eenheden Een

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Licht. Natuurkunde VWO 2011/2012. www.lyceo.nl

Hoofdstuk 3: Licht. Natuurkunde VWO 2011/2012. www.lyceo.nl Hoofdstuk 3: Licht Natuurkunde VWO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 3: Licht Natuurkunde 1. Mechanica 2. Golven en straling 3. Elektriciteit en magnetisme 4. Warmteleer Rechtlijnige beweging Trilling en

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

hoofdstuk 1 Elektriciteit.

hoofdstuk 1 Elektriciteit. hoofdstuk 1 Elektriciteit. 1.1 Lading. Veel toestellen op het laboratorium werken met elektriciteit. De werking van deze toestellen berust op elektrische lading die stroomt. We kennen twee soorten lading:

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 woensdag 30 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 woensdag 30 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HVO 2007 tijdvak 1 woensdag 30 mei 13.30-16.30 uur wiskunde 1,2 ij dit examen hoort een uitwerkbijlage. it examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Als de trapper in de stand van figuur 1 staat, oefent de voet de in figuur 2 aangegeven verticale kracht uit op het rechter pedaal.

Als de trapper in de stand van figuur 1 staat, oefent de voet de in figuur 2 aangegeven verticale kracht uit op het rechter pedaal. Natuurkunde Havo 1984-II Opgave 1 Fietsen Iemand rijdt op een fiets. Beide pedalen beschrijven een eenparige cirkelbeweging ten opzichte van de fiets. Tijdens het fietsen oefent de berijder periodiek een

Nadere informatie

Eindexamen vwo natuurkunde pilot 2012 - I

Eindexamen vwo natuurkunde pilot 2012 - I Eindexamen vwo natuurkunde pilot 0 - I Opgave Lichtpracticum maximumscore De buis is aan beide kanten afgesloten om licht van buitenaf te voorkomen. maximumscore 4 De weerstanden verhouden zich als de

Nadere informatie

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814.

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. STAATSCOURANT Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Nr. 11699 8 juni 2012 Rectificatie Examenprogramma natuurkunde vwo van 28 april 2012, kenmerk VO2012/389632 In de regeling

Nadere informatie

Coaxial Plasmonic Metamaterials for Visible Light M.A. van de Haar

Coaxial Plasmonic Metamaterials for Visible Light M.A. van de Haar Coaxial Plasmonic Metamaterials for Visible Light M.A. van de Haar Samenvatting Optische metamaterialen zijn kunstmatige materialen opgebouwd uit elementen die typisch kleiner zijn dan de golflengte van

Nadere informatie

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Gelet op artikel 7 van het Eindexamenbesluit v.w.o.- h.a.v.o.- m.a.v.o.- v.b.o.

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Gelet op artikel 7 van het Eindexamenbesluit v.w.o.- h.a.v.o.- m.a.v.o.- v.b.o. STAATSCOURANT Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Nr. 11101 6 juni 2012 Regeling van de Minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap van 28 april 2012, nr. VO/389632, houdende

Nadere informatie

De logica van bacteriele groei

De logica van bacteriele groei The dream of every cell is to become two cells (Francois Jacob, 1971) De logica van bacteriele groei Bij ideale condities: dubbeling binnen 20 min een top-downbenadering Na 24 uur: 1021 cellen Hoe krijgt

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen?

Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen? werkblad experiment 4.5 en 5.4 (aangepast) naam:. klas: samen met: Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen? De weerstand R van een voorwerp is te bepalen als men de stroomsterkte

Nadere informatie

Nieuwe resultaten van de zoektocht naar het Higgs deeltje in ATLAS

Nieuwe resultaten van de zoektocht naar het Higgs deeltje in ATLAS Nieuwe resultaten van de zoektocht naar het Higgs deeltje in ATLAS Op 4 juli 2012 presenteerde het ATLAS experiment een update van de actuele resultaten van de zoektocht naar het Higgs deeltje. Dat gebeurde

Nadere informatie

Op basis van de tweede wet van Newton kan onderstaand verband worden afgeleid. F = m a = m Δv Δt

Op basis van de tweede wet van Newton kan onderstaand verband worden afgeleid. F = m a = m Δv Δt Inhoud en stoot... 2 Voorbeeld: Kanonschot... 3 Opgaven... 4 Opgave: Tennisbal... 4 Opgave: Frontale botsing... 5 Opgave: Niet-frontale botsing... 5 1/5 en stoot Op basis van de tweede wet van Newton kan

Nadere informatie

Zelf een simpele ionisatiekamer bouwen

Zelf een simpele ionisatiekamer bouwen Zelf een simpele ionisatiekamer bouwen Simpele ionisatiekamer Een ionisatiekamer is een detector voor ioniserende straling, zoals alfa-, bèta- en gammastraling. Ten gevolge van ionisaties wordt de lucht

Nadere informatie

HOOFDSTUK 2: Elektrische netwerken

HOOFDSTUK 2: Elektrische netwerken HOOFDSTUK 2: Elektrische netwerken 1. Netwerken en netwerkelementen elektrische netwerken situering brug tussen fysica en informatieverwerkende systemen abstractie maken fysische verschijnselen vb. velden

Nadere informatie

De vijf invloedrijkste fotonica-toepassingen

De vijf invloedrijkste fotonica-toepassingen Deze week organiseerde de Vrije Universiteit Brussel een De vijf invloedrijkste fotonica-toepassingen congres over de recente ontwikkelingen in fotonica: Spie Photonics Europe. Fotonica heeft alles te

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 27 mei totale examentijd 3 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 27 mei totale examentijd 3 uur natuurkunde 1,2 Examen VWO - Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 27 mei totale examentijd 3 uur 20 05 Vragen 1 tot en met 17. In dit deel staan de vragen waarbij de computer

Nadere informatie