Open Universiteit Nederland Leerstofgebied technische wetenschappen. Cursusteamleiding mw. drs. J.S. Lodder

Transcriptie

1 Cursusdeel Blok 7 7 Continue wiskunde 2 Differentiaalvergelijkingen

2 Open Universiteit Nederland Leerstofgebied technische wetenschappen Cursusteamleiding mw. drs. J.S. Lodder Cursusteam dhr. dr. A.G. van Asch, auteur, Technische Universiteit Eindhoven dhr. dr. R.J. Beerends, auteur mw. drs. J.S. Lodder, auteur dhr. dr. ir. F.J.L. Martens, auteur, Technische Universiteit Eindhoven mw. drs. M.E. Bitter, onderwijstechnoloog mw. drs. G.J.J. van Prooen, onderwijstechnoloog dhr. drs. A.H.D.M. van Gijsel, redacteur Disciplineleiding dhr. drs. G. Zwaneveld Programmaleiding dhr. prof.dr. J. van de Craats Extern referent dhr. prof.dr. F. Simons, Technische Universiteit Eindhoven 2

3 Open Universiteit Cursusdeel Blok 7 7 Continue wiskunde 2 Differentiaalvergelijkingen 3

4 Productie Open Universiteit Nederland, Heerlen Basisvormgeving BRS maatschap van vormgevers, Amsterdam Omslag Buro Jo Hendriks bno, Cottessen Illustraties en la-out Soezie van den Heuvel Maria Kampermann Druk- en bindwerk Open Universiteit Nederland, Heerlen Behoudens uitzondering door de Wet gesteld mag zonder schriftelijke toestemming van de rechthebbende(n) op het auteursrecht niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt door middel van druk, fotocopie, microfilm of anderszins, hetgeen ook van toepassing is op de gehele of gedeeltelijke bewerking. Save exceptions stated b the law no part of this publication ma be reproduced in an form, b print, photoprint, microfilm or other means, included a complete or partial transcription, without the prior written permission of the publisher. Eerste druk: 999 Illustratieverantwoording omslagfoto Tacoma Narrows Bridge, Washington Corbis UK Ltd, London, Museum of Histor and Industr ISBN (serie) ISBN (deel 7) Cursuscode T

5 Structuur van de cursussen Continue wiskunde Continue wiskunde Blok Introductie 2 Rijen en reeksen 3 Limieten en continuïteit 4 Differentiaalrekening 5 Integraalrekening Continue wiskunde 2 Blok Leereenheid Bladzijde 6 Functies van meer variabelen Introductie tot de cursus 2 Kernbegrippen 22 Lineaire benaderingen 23 Talor-benaderingen en extremen 24 Practicum computeralgebra Casus: de warmtevergelijking Opgaveneenheid blok 6 Bijlage: Bewijzen van stellingen Aanwijzingen en Terugkoppelingen Register blok 6 7 Differentiaalvergelijkingen 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden 5 26 Eersteordedifferentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 28 Practicum computeralgebra 87 Casus: de ontwikkeling van een epidemie 93 Opgaveneenheid blok 7 03 Bijlage: Bewijzen van stellingen 07 Aanwijzingen en Terugkoppelingen Register blok Complexe getallen 29 De complexe getallen en het complexe vlak 30 Poolcoördinaten en complexe e-machten 3 Tweedeorde lineaire differentiaalvergelijkingen 32 Practicum computeralgebra Casus: de harmonische oscillator Opgaveneenheid blok 8 Aanwijzingen en Terugkoppelingen Register blok 8 9 Kansrekening 33 Kansen en kansmodellen 34 Stochastische variabelen en verwachting 35 Variantie en de Centrale limietstelling 36 Practicum computeralgebra Casus: schatten en toetsen Opgaveneenheid blok 9 Aanwijzingen en Terugkoppelingen Register blok 9 0 Numerieke methoden 37 Nulpuntsbepalingen 38 Numerieke integratie 39 Numerieke oplossingen van differentiaalvergelijkingen 40 Practicum computeralgebra Casus: banen Opgaveneenheid blok 0 Bijlage: Bewijzen van stellingen Aanwijzingen en Terugkoppelingen Register blok 0 Chaos en fractals 4 Chaos en fractals Terugkoppeling Eindtoets Register 5

6 Open Universiteit Continue wiskunde 2 6

7 Introductie blok 7 Introductie blok 7 In de cursussen Continue wiskunde en 2 bent u tot nu toe al een aantal differentiaalvergelijkingen tegengekomen, met name in de casussen bij blok 4 en blok 6. Eén van de voorbeelden uit blok 4 was het volgende groeimodel. Model voor exponentiële groei Veronderstel dat de groeisnelheid van een populatie op tijdstip t evenredig is met de grootte op dit tijdstip. Als model voor de populatiegrootte zoeken we een continue, differentieerbare functie. Omdat in dit model de groeisnelheid gelijk is aan de afgeleide ', betekent dit dat de functie aan de volgende vergelijking moet voldoen: '(t) = λ(t) () Differentiaalvergelijking waarbij λ de evenredigheidsconstante is. Een dergelijke vergelijking waarin voor een onbekende functie een verband gegeven is tussen deze functie en haar afgeleide, noemen we een differentiaalvergelijking. Stel dat de omvang van de populatie op tijdstip t 0 bekend is, en we die op een volgend tijdstip t willen bepalen. We hebben dan een oplossing nodig van de differentiaalvergelijking. In dit geval is het niet moeilijk om een functie te vinden die aan vergelijking voldoet, bijvoorbeeld de functie (t) = e λt. Andere oplossingen zijn van de vorm (t) = Ce λt, zoals u in dit blok zult zien. Dit betekent dat volgens dit model de populatie exponentieel groeit. Een relatief eenvoudige vorm van differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarbij de afgeleide '(x) gegeven is als functie van de variabele x: '(x) = f(x) In dit geval komt het oplossen van de differentiaalvergelijking neer op het vinden van een primitieve van f. Zo vinden we als oplossing van de differentiaalvergelijking '(x) = 2x een primitieve van 2x, dus bijvoorbeeld de functie (x) = x 2 of (x) = x In meer gecompliceerde differentiaalvergelijkingen kunnen naast, ' en x ook hogere afgeleiden van voor komen. In het algemeen kunnen we nu zeggen dat een differentiaalvergelijking een vergelijking is in een onbekende functie (x), de variabele x en de afgeleide(n) van (x). Differentiaalvergelijkingen worden in de natuurwetenschappen gebruikt om allerlei processen te beschrijven waar groei, verandering of beweging in voorkomen. Voorbeelden van zulke processen zijn populatiegroei, verval van radioactiviteit, verhitting of afkoeling en chemische reacties. 7

8 Open Universiteit Continue wiskunde 2 Zo n proces kan gemodelleerd worden door gebruik te maken van gekoppelde variabelen: als de ene variabele verandert, verandert een andere variabele mee. Door een limietovergang ontstaat een differentiaalvergelijking. We zullen hier een aantal voorbeelden van geven. Opvallend is dat bij de beschrijving van verschillende processen regelmatig dezelfde vergelijkingen opduiken. Het opstellen van differentiaalvergelijkingen is geen leerdoel van deze cursus. Voor een goed begrip is het wel belangrijk dat u in een paar gevallen gezien hebt hoe men tot zo n vergelijking kan komen. VOORBEELD Afkoeling Een kop hete koffie staat op tafel af te koelen. De temperatuur van de koffie op tijdstip t = 0 is 80 C en de kamertemperatuur is 20 C. Hoe lang duurt het voordat de koffie te drinken is? Bij benadering geldt dat de temperatuurverandering van de koffie, T, gedurende een klein tijdsinterval t, evenredig is met de lengte van dit tijdsinterval en met het temperatuurverschil tussen koffie en kamer. In formule is dit: T k(t(t) 20) t (2) De gekoppelde variabelen zijn in dit geval de tijd t en de temperatuur T: verandert de tijd, dan verandert de temperatuur mee. Deel in formule 2 linker- en rechterlid door t. Dit geeft: T t ktt ( ( ) 20) In het model nemen we aan dat bij limietovergang voor t nadert naar 0 het ongeveerteken overgaat in een gelijkteken. Zo ontstaat de volgende vergelijking: T'(t) = k(t(t) 20) (3) Wanneer we de constante k kennen en beschikken over een oplossing van vergelijking 3 die bovendien voldoet aan de voorwaarde dat T(0) = 80, dan kunnen we afleiden hoe lang de koffie moet staan totdat die drinkbaar is. Technieken om zulke oplossingen te bepalen, leert u in leereenheid 26. Tot besluit van dit voorbeeld merken we op dat wanneer de kamertemperatuur 0 C is in plaats van 20 C, een vergelijking ontstaat die lijkt op vergelijking : T'(t) = kt(t) Dit is een vergelijking met een negatieve groeiconstante. Zij kan gebruikt worden om situaties te modelleren waarin negatieve groei voorkomt. Een voorbeeld is de beschrijving van radioactief verval (zie voorbeeld 4. uit leereenheid 4). VOORBEELD 2 Het pekelvat In een pekelvat bevindt zich 00 liter water waarin 0 kg zout is opgelost. Aan het vat zijn twee pijpen verbonden. Door de ene pijp stroomt per minuut één liter schoon water het vat in, door de andere 8

9 Introductie blok 7 loopt per minuut één liter zout water uit het vat. Noem de totale hoeveelheid zout op tijdstip t in het vat (t), dan geldt dat in een tijdsinterval t de hoeveelheid zout die het vat verlaat, bij benadering gelijk is aan (t)/00. Om deze situatie te modelleren, stellen we daarom: () t t 00 Het minteken staat er omdat we te maken hebben met afname. Limietovergang ( t 0) geeft de volgende differentiaalvergelijking: '(t) = (t) (4) 00 Ook dit is een vergelijking die van de vorm van vergelijking is, maar dan met een negatieve groeiconstante. We beschouwen een variant van het pekelvat. In deze variant stroomt per minuut twee liter schoon water in het vat, terwijl er maar één liter zout water uitstroomt. Omdat er per minuut netto liter water het vat instroomt, is de hoeveelheid water in het vat op tijdstip t gelijk aan 00 + t en de concentratie van het zout dus (t)/(00 + t). Het verband tussen en t wordt in dit geval dus gegeven door de formule 00 + t (t) t Limietovergang geeft een differentiaalvergelijking waarin naast de functie ook de variabele t optreedt: '(t) = 00 + t (t) (5) VOORBEELD 3 De epidemie In een populatie van K individuen breekt een besmettelijke ziekte uit. Noem het aantal individuen dat op tijdstip t geïnfecteerd is (t). Het aantal niet-besmette individuen op tijdstip t is dus gelijk aan K (t). In het model dat we opstellen, zullen we aannemen dat een continue, differentieerbare functie is. Veronderstel dat per tijdseenheid elk individu gemiddeld r andere individuen ontmoet. Per tijdseenheid vinden dan r (t) ontmoetingen plaats tussen twee individuen waarvan in ieder geval nummer één besmet is. De kans dat nummer twee niet besmet is, is gelijk aan het quotiënt van het aantal gezonde individuen en de totale populatiegrootte, dus (K (t))/k. Het aantal ontmoetingen tussen besmette en niet-besmette individuen gedurende een tijdsinterval t is dus bij benadering r (K (t))(t) t K 9

10 Open Universiteit Continue wiskunde 2 We nemen aan dat het aantal nieuwe besmettingen per tijdseenheid evenredig is met dit aantal ontmoetingen. Bij benadering geldt dus: s r K (K (t))(t) t = c (K (t))(t) t K met c = s r. We kunnen nu de limiet voor t 0 nemen, waarbij we aannemen dat het teken overgaat in een gelijkteken. Zo ontstaat vergelijking 6: '(t) = c (K (t))(t) (6) K Vergelijkingen van deze vorm heten logistische differentiaalvergelijkingen. Ze worden bijvoorbeeld toegepast om begrensde groei weer te geven (zie de casus bij blok 4). VOORBEELD 4 Een RLC-netwerk Naast de eersteordeafgeleide kunnen ook hogereordeafgeleiden optreden in differentiaalvergelijkingen. Als voorbeeld nemen we een elektrische (serie)schakeling of elektrisch netwerk als in figuur. I(t) R + U(t) L C S FIGUUR Elektrisch netwerk met weerstand, spoel, condensator en spanningsbron R: de weerstand; spanningsverschil is RI(t) L: de spoel; spanningsverschil is LI'(t) C: de condensator; spanningsverschil is Q(t)/C De spanningsbron in dit netwerk, zoals een generator, wekt een zeker spanningsverschil U(t) op (het voltage ), waarvan we aannemen dat het in de tijd varieert (denk aan een wisselspanning ). Na het sluiten van de schakelaar S zal een in de tijd variërende stroom I(t) in het netwerk gaan lopen. In het netwerk is een (constante) weerstand R opgenomen, zoals een lamp, en over deze weerstand is het spanningsverschil RI(t) (dit is de zogenaamde Wet van Ohm). Ook is er een spoel van gewikkeld draad waarover het spanningsverschil evenredig is aan de verandering van de stroomsterkte en dus gelijk aan LI'(t) voor zekere constante L (die de zelfinductiecoëfficiënt heet). Ten slotte is er een condensator met capaciteit C, wat betekent dat het spanningsverschil tussen de twee platen in de condensator gegeven wordt door Q(t)/C, waarbij Q(t) de lading op tijdstip t is. 0

11 Introductie blok 7 In dit RLC-netwerk is het opgewekte spanningsverschil U(t) gelijk aan de som van de drie spanningsverschillen over de weerstand, spoel en condensator, waaruit dan de volgende differentiaalvergelijking voor I(t) en Q(t) volgt: LI'(t) + RI(t) + Q(t) = U(t) (7) C Daarnaast bestaat in het algemeen tussen de stroom I(t) en lading Q(t) het verband I(t) = Q'(t), ofwel I(t) Q'(t) = 0 (8) wat een tweede differentiaalvergelijking voor I(t) en Q(t) oplevert. Voor gegeven U(t) is het nu de vraag of we de onbekenden I(t) en Q(t) uit de twee differentiaalvergelijkingen 7 en 8 kunnen bepalen. Omdat we hier te maken hebben met twee differentiaalvergelijkingen in twee onbekende functies, wordt dit een stelsel differentiaalvergelijkingen genoemd. Deze komen in leereenheid 27 aan bod. In dit voorbeeld is er echter de eenvoudige relatie 8, waardoor we in vergelijking 7 de functie I(t) kunnen vervangen door Q'(t). Het resultaat is één differentiaalvergelijking voor Q(t), waarin ook de tweedeordeafgeleide van Q(t) voorkomt: LQ"(t) + RQ'(t) + Q(t) = U(t) (9) C Is Q(t) hieruit op te lossen, dan volgt I(t) direct uit vergelijking 8. Vergelijking 9 is een voorbeeld van een zogenaamde tweedeordedifferentiaalvergelijking. In leereenheid 27 en vooral ook in leereenheid 3 van blok 8 komen we uitgebreid terug op tweedeordedifferentiaalvergelijkingen en op het verband met stelsels. Invoer Uitvoer Ssteem Tot slot van dit voorbeeld nog wat terminologie die vaak in de context van dit soort toepassingen gebruikt wordt. De spanning U(t) is meestal gegeven en wordt dan ingangssignaal of invoer genoemd. Bij zo n gegeven invoer kan dan (bijvoorbeeld) de lading Q(t) op de condensator gemeten worden, wat dan uitgangssignaal of uitvoer wordt genoemd (hoewel het gebruikelijker is om het spanningsverschil Q(t)/C als uitvoer te nemen). Het RLC-netwerk kunnen we nu opvatten als een zeker ssteem (of black box ) dat een invoer verwerkt tot een uitvoer. Het is dan belangrijk om een methode te hebben waarmee de differentiaalvergelijking opgelost kan worden, met andere woorden: waarmee voor een gegeven invoer de bijbehorende uitvoer bepaald kan worden. «In de komende leereenheden zult u leren hoe u de differentiaalvergelijkingen uit de gegeven voorbeelden op kunt lossen. Daarbij rijst ook de vraag hoeveel oplossingen een differentiaalvergelijking kan hebben. Zo is te verwachten dat vergelijking 3 uit voorbeeld over de koffie: T'(t) = k(t(t) 20) (3)

12 Open Universiteit Continue wiskunde 2 precies één oplossing heeft wanneer we als extra voorwaarde stellen dat de begintemperatuur gelijk is aan T(0) = 80. Maar een andere begintemperatuur zal een andere oplossing geven. Het ligt dus voor de hand om te verwachten dat vergelijking 3 oneindig veel oplossingen heeft, maar dat de combinatie van vergelijking 3 met de beginvoorwaarde T(0) = 80 precies één oplossing heeft. U zult in dit blok zien dat dit in veel gevallen klopt, maar dat er ook vergelijkingen zijn waarbij de oplossing niet uniek bepaald is door de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde. In toepassingen worden de oplossingen van een differentiaalvergelijking vaak gebruikt om inzicht te krijgen in bepaalde aspecten van het model, bijvoorbeeld hoe gedraagt de oplossing zich op lange termijn. Vaak is van een differentiaalvergelijking de oplossing echter niet expliciet te bepalen. Ook zonder zo n expliciete oplossing is er echter nog veel over het essentiële gedrag van de oplossingen te zeggen. Als voorbeeld nemen we nogmaals differentiaalvergelijking 3 over de koffie. Het ligt voor de hand om te veronderstellen dat T op den duur naar 20 zal naderen, ongeacht de begintemperatuur. In leereenheid 26 zult u zien dat dit rechtstreeks uit de differentiaalvergelijking is af te leiden. Uit vergelijking 3 is nog wel meer over oplossingen af te leiden: zo zien we dat T' < 0 als T > 20, dus in dit geval zijn oplossingen dalend, en T' > 0 als T < 20, wat correspondeert met een stijgende oplossing. Ook dit strookt met onze verwachtingen, een kop hete koffie koelt af en een glas koude pils wordt langzaam lauw. Ook in het voorbeeld van de epidemie zijn soortgelijke vragen te beantwoorden: raakt op den duur de gehele populatie geïnfecteerd? op welk moment is de epidemie het hevigst? Een belangrijk hulpmiddel bij het onderzoek naar het gedrag van oplossingen in het geval dat deze (nog) niet bekend zijn, zijn richtingsvelden. Hier besteden we in leereenheid 25 aandacht aan. Gerelateerd aan richtingsvelden is er een methode om oplossingen numeriek te bepalen. Het principe van deze methode komt ook in dit blok aan bod. Heel belangrijk bij het toepassen van numerieke methoden zijn vragen over betrouwbaarheid en snelheid van zo n methode. Deze vragen stellen we uit tot blok 0, dat geheel gewijd is aan numerieke methoden. 2

13 Introductie blok 7 3

14 Open Inhoud Universiteit leereenheid 25 Continue wiskunde 2 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden Introductie 5 Leerkern Definities Richtingsvelden Bestaan en benaderen van oplossingen Existentie en eenduidigheid De methode van Euler 29 Samenvatting 3 Zelftoets 32 4

15 Leereenheid 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden Leereenheid 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden I N T R O D U C T I E Nu u in de introductie op dit blok al een aantal voorbeelden van differentiaalvergelijkingen hebt gezien, wordt het tijd voor definities. Daarmee beginnen we deze leereenheid. Vervolgens zult u zien hoe u grafisch al veel informatie over oplossingen van differentiaalvergelijkingen kunt krijgen zonder deze op te lossen. Voordat we ons in leereenheid 26 bezig gaan houden met het oplossen van differentiaalvergelijkingen, zullen we ons eerst een aantal theoretische vragen stellen: heeft iedere differentiaalvergelijking wel een oplossing en als er oplossingen zijn, hoeveel zijn dat er dan? Dit zijn ook belangrijke vragen in het geval dat we oplossingen numeriek willen benaderen. Omdat één numerieke methode, de methode van Euler, heel dicht aansluit bij de grafische methode uit paragraaf 25.2, laten we u aan het eind van deze leereenheid al met deze methode kennis maken. In blok 0 zal dieper op het gebruik van numerieke methoden worden ingegaan. LEERDOELEN Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u het begrip differentiaalvergelijking kent het onderscheid kent tussen gewone en partiële differentiaalvergelijkingen de orde van een differentiaalvergelijking vast kunt stellen weet wat het richtingsveld van een eersteordedifferentiaalvergelijking is door substitutie kunt controleren of een gegeven functie oplossing is van een differentiaalvergelijking uit het richtingsveld en de differentiaalvergelijking kunt bepalen waar oplossingen stijgend of dalend zijn en waar extremen optreden weet wat een oplossing van een beginwaardeprobleem is de stelling over existentie en eenduidigheid kent het principe kent van de methode van Euler om oplossingen van beginwaardeproblemen te benaderen. L E E R K E R N 25. Definities In de introductie op dit blok is een aantal voorbeelden van differentiaalvergelijkingen gegeven. Wat is nu precies een differentiaalvergelijking? Differentiaalvergelijking Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin een variabele x, een onbekende functie (x) en afgeleiden van deze onbekende functie '(x), "(x), (3) (x),... kunnen voorkomen, met als voorwaarde dat minstens één van deze afgeleiden optreedt. 5

16 Open Universiteit Continue wiskunde 2 Naast de voorbeelden uit de introductie zijn ook de volgende vergelijkingen voorbeelden van differentiaalvergelijkingen. VOORBEELD (x) = x'(x) + e '(x) x 2 "(x) 2(x) = x 3 (3) (x) ('(x)) 2 = sinx 3 x ( ) " ( x) sinx3 = x2' ( x) «U ziet aan deze voorbeelden dat differentiaalvergelijkingen de meest wilde vormen aan kunnen nemen. We zullen in dit blok maar een beperkte klasse van vergelijkingen bestuderen. Daarvoor is het echter wel van belang dat u verschillende tpen differentiaalvergelijkingen kunt onderscheiden. Een aantal begrippen die nodig zijn voor dit onderscheid, geven we in deze paragraaf. De overigen volgen in de rest van dit blok. Partiële differentiaalvergelijking Om te beginnen merken we op dat de functie in de definitie en voorbeelden steeds een functie van één variabele is. In de casus bij het vorige blok hebt u voorbeelden gezien van differentiaalvergelijkingen waarin een onbekende functie van meer variabelen en haar partiële afgeleiden voorkwamen. Dergelijke differentiaalvergelijkingen heten partiële differentiaalvergelijkingen. Een voorbeeld van een partiële differentiaalvergelijking is de zogenaamde golfvergelijking u xx (x, t) = cu tt (x, t) of de warmtevergelijking u t (x, t) = Ku xx (x, t) uit de casus van blok 6. Gewone differentiaalvergelijking n-deordedifferentiaalvergelijking Ter onderscheiding worden differentiaalvergelijkingen waarin de onbekende functie een functie van één variabele is en waarin dus alleen gewone afgeleiden voorkomen, ook wel gewone differentiaalvergelijkingen genoemd. In dit blok zullen we alleen gewone differentiaalvergelijkingen behandelen. Een belangrijke manier om onderscheid tussen verschillende differentiaalvergelijkingen te maken, is door te kijken naar de hoogsteordeafgeleide die voorkomt. In een n-deordedifferentiaalvergelijking is de afgeleide (n) de afgeleide met de hoogste orde die optreedt in deze differentiaalvergelijking. VOORBEELD De vergelijking "(x) 2(x) = sinx is een tweedeordedifferentiaalvergelijking, want de hoogsteordeafgeleide die optreedt, is "(x). De vergelijking ('(x)) 3 + ((x)) 3 = 2 is een eersteordedifferentiaalvergelijking, want de hoogsteordeafgeleide die optreedt, is '(x). «We zullen ons in dit blok hoofdzakelijk bezig houden met eersteordedifferentiaalvergelijkingen. Hogereordedifferentiaalvergelijkingen komen na de behandeling van complexe getallen in blok 8 aan bod. 6

17 Leereenheid 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden Expliciet gegeven eersteordedifferentiaalvergelijking Oplossing Notatie VOORBEELD Een eersteordedifferentiaalvergelijking is over het algemeen het meest handzaam als de afgeleide '(x) expliciet als functie van x en (x) gegeven is. De differentiaalvergelijking heeft in dat geval dus de volgende vorm: '(x) = f(x, (x)) Terwille van de leesbaarheid zullen we vaak in plaats van (x) schrijven (en ' voor '(x),...). Dit geeft bijvoorbeeld ' = 2x in plaats van '(x) = 2x(x) De algemene vorm voor een expliciete eersteordedifferentiaalvergelijking is in deze notatie: ' = f(x, ). Een oplossing van een differentiaalvergelijking is een functie die aan deze vergelijking voldoet. De functie (x) = e x2 is een oplossing van de differentiaalvergelijking ' = 2x, want voor deze functie geldt '(x) = 2xe x2 = 2x(x). OPGAVE 25. Gegeven is de differentiaalvergelijking ' = x/. Controleer dat de volgende functies oplossingen zijn van deze differentiaalvergelijking. a (x) = 5 x2 b (x) = 5 x2 De term differentiaalvergelijking suggereert dat er een verband bestaat tussen deze vergelijkingen en differentialen. Ter verduidelijking van dit verband gaan we eerst nog eens terug naar voorbeeld uit de introductie op het blok. In vergelijking 2 van dat voorbeeld was een relatie gegeven tussen een verandering van de tijd t en de bijbehorende verandering van de temperatuur T: T k(t 20) t Zie ook paragraaf voor de definitie van o(h) en paragraaf 22.4 voor differentialen. Hierbij is t gelijk aan de lengte van een tijdsinterval [t, t + h] en is T gelijk aan het temperatuurverschil dat optreedt in dit tijdsinterval: T = T(t + h) T(h). In paragraaf van blok 4 hebt u gezien dat voor een differentieerbare functie T geldt dat T = T(t + h) T(h) = T'(t)h + o(h) = dt(h) + o(h) Met andere woorden: voor kleine waarden van h = t is de differentiaal dt(h) een goede benadering van T. Omdat bovendien t = h = dt(h), immers dt is de differentiaal van de identieke functie, volgt er dat de vergelijking voor kleine waarden van h te modelleren is door dt(h) = k(t 20) dt(h) 7

18 Open Universiteit Continue wiskunde 2 In dit model heben we het teken vervangen door een gelijkteken. Zo leiden we de volgende vergelijking tussen de differentialen dt en dt af: dt = k(t 20)dt De differentiaalvergelijking uit de introductie is hieruit terug te vinden door gebruik te maken van de gelijkheid dt = T'(t)dt. Vullen we dit in en delen we links en rechts door dt, dan vinden we: T'(t) = k(t(t) 20) en dit is de vergelijking die in de introductie gegeven was. Meer algemeen kunnen we een expliciet gegeven eersteordedifferentiaalvergelijking ' = f(x, ) herschrijven tot een vergelijking tussen differentialen. Immers, ' = d/dx, dus door de differentiaalvergelijking ' = f(x, ) links en rechts met de differentiaal dx te vermenigvuldigen, krijgen we dat d = f(x, )dx Om van een vergelijking tussen differentialen een differentiaalvergelijking in engere zin te maken, bewandelen we deze weg in omgekeerde volgorde. Eersteordedifferentiaalvergelijkingen en vergelijkingen tussen differentialen zijn dus in zekere zin equivalent. Behalve dat hier de term differentiaalvergelijking mee verklaard is, zult u in leereenheid 26 zien dat de schrijfwijze met behulp van differentialen bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen erg praktisch kan zijn. OPGAVE 25.2 Laat zien dat voor 0 de volgende vergelijkingen gelijkwaardig zijn: ' = x en 2xdx + 2d = 0 OPGAVE 25.3 Gegeven is de differentiaalvergelijking ' = 2 + 4x. Bepaal constanten a en b zodanig dat de functie (x) = ax + b een oplossing is van deze differentiaalvergelijking. OPGAVE 25.4 Onderzoek welke van de volgende functies oplossing zijn van de differentiaalvergelijking = tanx. a (x) = cosx voor x π/2, π/2 b (x) = 2 + cosx voor x π/2, π/2 c (x) = 2cosx voor x π/2, π/2 d (x) = cos2x voor x π/2, π/ Richtingsvelden In deze paragraaf behandelen we een grafische methode waarmee inzicht verkregen kan worden in het gedrag van oplossingen van een eersteordedifferentiaalvergelijking. 8

19 Leereenheid 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden Als voorbeeld nemen we de differentiaalvergelijking ' = x/ uit opgave 25.. In deze opgave hebt u laten zien dat de functie (x) = 5 x 2 een oplossing is van deze vergelijking. De grafiek van deze functie is getekend in figuur 25.. x FIGUUR 25. De functie (x) = 5 x2 Wat betekent het nu meetkundig dat deze functie oplossing is van de differentiaalvergelijking? Als we bedenken dat de afgeleide in een punt geïnterpreteerd kan worden als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dit punt, dan kunnen we deze vraag als volgt beantwoorden. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt (x, ) aan de oplossing (x) = 5 x 2 wordt gegeven door de differentiaalvergelijking ' = x/ ; dus de richtingscoëfficiënt in (x, ) is gelijk aan x/. Zo is de richtingscoëfficiënt in het punt (2, ) gelijk aan 2. In figuur 25. hebben we een klein stukje van deze raaklijn door het punt (2, ) getekend. We noemen zo n lijnstukje een lijnelement. Voor het tekenen van dit lijnelement hadden we het functievoorschrift voor de oplossing (x) = 5 x2 niet nodig. Ook zonder de oplossing te kennen, kunnen we lijnelementen tekenen, en omdat deze lijnelementen raaklijnen zijn van eventuele oplossingen, kunnen we als we maar genoeg lijnelementen tekenen vaak al een beeld krijgen van het verloop van de oplossingen. In figuur 25.2 zijn een groot aantal lijnelementen getekend van de differentiaalvergelijking ' = x/. x FIGUUR 25.2 Lijnelementen van de differentiaalvergelijking ' = x/ 9

20 Open Universiteit Continue wiskunde 2 Lijnelement Richtingsveld Richtingsveldfunctie Een lijnelement bij een differentiaalvergelijking ' = f(x, ) is dus een lijnstukje door een punt (x, ) met richtingscoëfficiënt f(x, ). In principe kan bij elk punt in het domein van f zo n lijnelement getekend worden. De verzameling van al deze lijnelementen noemen we het lijnelementenveld of ook wel het richtingsveld bij de differentiaalvergelijking ' = f(x, ). In dit verband wordt de functie f ook wel de richtingsveldfunctie genoemd. Het richtingsveld kan gebruikt worden om een globaal beeld van het verloop van oplossingen af te leiden. Ook zijn er soms speciale oplossingen uit af te lezen. Door invullen in de differentiaalvergelijking is eenvoudig te controleren of zo n functie inderdaad een oplossing is. Voor we verder gaan met het eigenlijke onderwerp van deze paragraaf, het tekenen en gebruiken van richtingsvelden, staan we even stil bij figuur Het richtingsveld in deze figuur suggereert dat oplossingen van de differentiaalvergelijking cirkels met middelpunt (0, 0) zijn. De vergelijking van zo n cirkel wordt echter niet gegeven door een functievoorschrift, maar door een relatie tussen x en : bijvoorbeeld x = 5. U zult in de volgende leereenheid zien dat we meestal bij het oplossen van een differentiaalvergelijking in eerste instantie een relatie tussen en x vinden, en dat het zelfs vaak niet mogelijk is om uit deze relatie een functievoorschrift voor te vinden. Bij de controle of een gevonden relatie inderdaad aan de differentiaalvergelijking voldoet, kan het gebruik van differentialen handig zijn. Willen we bijvoorbeeld controleren dat een functie die voldoet aan de relatie x = 5 een oplossing is van de vergelijking ' = x/, dan kan dit op de volgende manier. Neem van de vergelijking x = 5 links en rechts de differentiaal: d(x ) = d5. Volgens de rekenregels voor differentialen geldt: dx 2 = 2xdx en uit de kettingregel volgt dat d 2 = 2d. Toepassen hiervan op het linkerlid van d(x ) = d5 geeft: 2xdx + 2d = 0 In opgave 25.2 hebt u aangetoond dat voor 0 deze laatste vergelijking equivalent is met de differentiaalvergelijking ' = x/, en dus wordt door x = 5 inderdaad een oplossingskromme van deze vergelijking gegeven. Eigenlijk moeten we hierbij de punten = 0 uitzonderen, want voor deze punten is de richingsveldfunctie niet gedefinieerd. Als we uitgaan van de vergelijking 2xdx + 2d = 0, vinden we in deze punten dat dx/d = 2/2x = 0. Bij benadering geldt hier, dat bij een kleine verandering van de verandering van x gelijk is aan 0, dus dit zijn punten met een verticale raaklijn. Om een goed beeld te krijgen van het verloop van oplossingen, zullen we in het richtingsveld deze verticale lijnelementen vaak juist wel intekenen. Aan de hand van een nieuw voorbeeld laten we zien hoe u sstematisch een richtingsveld kunt tekenen en hoe u informatie kunt gebruiken die u uit dit richtingsveld af kunt lezen. We onderzoeken het richtingsveld van de vergelijking ' = x/. Om te beginnen, zoeken we de punten waar '(x) = 0. Invullen in de vergelijking geeft x/ = 0, dus x = 0. Meer algemeen kunnen we voor vaste c de punten bepalen waar '(x) = c. Uit x/ = c volgt = x/c als 20

21 Leereenheid 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden c 0 en x = 0 als c = 0. Voor een aantal waarden van c kunnen we nu een hele verzameling van lijnelementen tekenen. In figuur 25.3 is dit gedaan voor c = 2,, 2, 0,, en 2. De doorgetrokken lijnen zijn de lijnen 2 met vergelijking = x/c. De lijnelementen (lijnstukjes) op zo n lijn zijn allemaal evenwijdig, want hun richtingscoëfficiënt is c. c = c = 0,5 c = 0 c = 0,5 c = c = 2 c = 2 x FIGUUR 25.3 Lijnelementen voor c = 2,, 2, 0, 2, en 2 Isocline Isocline betekent met gelijke helling Onderzoek naar extremen met behulp van richtingsveld Bij een differentiaalvergelijking ' = f(x, ) noemen we een kromme f(x, ) = c een isocline van deze differentiaalvergelijking. In dit voorbeeld zijn isoclinen rechte lijnen door de oorsprong met vergelijking = x/c. In feite is een isocline gewoon een niveaulijn bij de functie f(x, ). Figuur 25.3 suggereert dat de functies = x en = x (met domein R {0}, want 0) oplossingen van de differentiaalvergelijking zijn. We kunnen dit controleren door deze functies in de differentiaalvergelijking in te vullen: substitutie van = x in ' = x/ geeft =, dus deze functie is inderdaad een oplossing. Op dezelfde manier is te controleren dat ook = x een oplossing is. Vervolgens onderzoeken we waar ' positief dan wel negatief is. Uit ' = x/ volgt dat ' > 0 als x > 0 én > 0 of als x < 0 én < 0. In de twee andere kwadranten geldt ' < 0. Dat betekent dat oplossingen in het eerste en derde kwadrant stijgend zijn en in het tweede en vierde kwadrant dalend. We kunnen ook al bepalen waar eventuele minima en maxima liggen. Omdat ' = 0 als x = 0, liggen hier de stationaire punten van oplossingen. Voor > 0 geldt dat links van een stationair punt ' negatief is en rechts positief, dus op het positieve deel van de -as liggen de minima van oplossingen. Op het negatieve deel van de -as geldt het omgekeerde: links geldt ' > 0 en rechts ' < 0, dus hier liggen de maxima. 2

22 Open Universiteit Continue wiskunde 2 Met de informatie die we nu hebben afgeleid, kunnen we een aantal oplossingen schetsen, zie figuur x FIGUUR 25.4 Oplossingen van ' = x/ Figuur 25.4 geeft ook een beeld van het asmptotisch gedrag van oplossingen, dat wil zeggen: van het gedrag voor x of x. Het lijkt dat oplossingen voor grote positieve danwel negatieve waarden van x gaan lijken op = x of = x. Omdat we altijd maar een beperkt deel van het richtingsveld kunnen tekenen, kunnen we uit het plaatje zelf geen conclusies trekken over asmptotisch gedrag. Er zal een redenering nodig zijn om ons vermoeden te onderbouwen. Op het asmptotisch gedrag van oplossingen komen we in leereenheid 26 terug. Onderzoek naar extremen met behulp van de differentiaalvergelijking Het bepalen van minima en maxima kan ook zonder gebruik te maken van het richtingsveld. Uit de vergelijking ' = x/ volgt dat punten met x = 0 stationaire punten zijn. Of er in deze punten een minimum of maximum optreedt, kunnen we bepalen door de tweede afgeleide " te berekenen. Dit doen we door van de differentiaalvergelijking linker- en rechterlid naar x te differentiëren. Dit geeft: " = x ' 2 = x2 / 2 = x (vul ' = x/ in) We willen de waarde van " in x = 0 weten, dus we vullen dit in: "(0) = en we zien dat "(0) > 0 als > 0 en "(0) < 0 als < 0. 22

23 Leereenheid 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden Hieruit volgt dat oplossingen op het positieve deel van de -as een minimum hebben en op het negatieve deel een maximum. OPGAVE 25.5 Gegeven is de vergelijking T' = 2(T 20) (dit is de vergelijking uit voorbeeld van de introductie met k = 2). a Teken het richtingsveld. b Lees uit het richtingsveld een constante oplossing af en controleer dat deze voldoet. c Bepaal de delen van het vlak waarvoor T' > 0 en waarvoor T' < 0. d Schets een aantal oplossingen. OPGAVE 25.6 (Aanw) Gegeven is de vergelijking ' = (4 ). a Teken het richtingsveld. b Lees uit het richtingsveld constante oplossingen af en controleer dat deze voldoen. c Bepaal de delen van het vlak waarvoor ' > 0 en waarvoor ' < 0. d Bepaal punten waar de stijging van de oplossing door dat punt maximaal is. e Schets een aantal oplossingen. OPGAVE 25.7 Gegeven is de vergelijking ' = x x a Teken het richtingsveld. b Bepaal de delen van het vlak waarvoor ' > 0 en waarvoor ' < 0. c Bepaal de extremen van oplossingen. d Schets een aantal oplossingen. e Hoe verwacht u dat oplossingen zich in de buurt van 0 zullen gedragen? f Bepaal " en gebruik dit om oplossingen van de differentiaalvergelijking met domein x > 0 te bepalen Bestaan en benaderen van oplossingen EXISTENTIE EN EENDUIDIGHEID In de vorige paragraaf hebben we richtingsvelden gebruikt om een idee te krijgen van het verloop van oplossingen van differentiaalvergelijkingen. Voordat we conclusies kunnen trekken over oplossingen, moeten we eigenlijk eerst weten of er wel oplossingen zijn. In opgave 25. konden we laten zien dat de functie (x) = 5 x 2 inderdaad een oplossing is van de differentiaalvergelijking ' = x/. In veel gevallen zullen we echter de oplossingen niet kennen, omdat we niet weten hoe we de vergelijking op moeten lossen of omdat de oplossingen niet in elementaire functies zijn uit te drukken (zoals ook bij integralen het geval kan zijn). Als we in dergelijke gevallen toch uitspraken willen doen over oplossingen, zullen we eerst moeten weten dat deze oplossingen bestaan. 23

24 Open Universiteit Continue wiskunde 2 De volgende vraag hangt hiermee samen: als een differentiaalvergelijking oplossingen heeft, hoeveel oplossingen zijn er dan? De plaatjes uit de vorige paragraaf geven de indruk dat er oneindig veel oplossingen zijn, maar dat door één bepaald punt steeds hoogstens één oplossing gaat. Met name in toepassingen zijn we vaak geïnteresseerd in oplossingen van een differentiaalvergelijking die door één bepaald punt gaan. Denk maar aan voorbeeld uit de introductie over de afkoelende koffie. Een oplossing zou moeten voldoen aan de voorwaarde T(0) = 80. En in het geval van het pekelvat eisen we dat (0) = 0. Beginwaardeprobleem Een eersteordedifferentiaalvergelijking ' = f(x, ) samen met de beginvoorwaarde (x 0 ) = 0 noemen we een beginwaardeprobleem. We zullen ons in deze paragraaf met de volgende twee vragen bezighouden: Heeft elk beginwaardeprobleem een oplossing? 2 Is de oplossing van een beginwaardeprobleem uniek? Misschien ziet u zelf al dat het antwoord op de eerste vraag nee is. Een tegenvoorbeeld is de eerste differentiaalvergelijking uit paragraaf 25.2: ' = x/ met beginvoorwaarde (0) = 0. Omdat de richtingsveldfunctie niet in (0, 0) gedefinieerd is, kan er ook geen oplossing door dit punt gaan. We zullen dus minstens moeten eisen dat de beginwaarden (x 0, 0 ) tot het domein van f behoren. Deze eis is echter niet voldoende. Een voorbeeld van een beginwaardeprobleem waarbij de beginwaarden wel tot het domein van f behoren, is het volgende probleem. '(x) = f(x) (0) = 0 met f( x)= 0 voor x irrationaal voor x rationaal We hebben hier te maken met een richtingsveldfunctie die alleen van x afhangt. De oplossing van dit probleem zou een primitieve van f moeten zijn. In opgave 7.6 van blok 5 uit Continue wiskunde is echter aangetoond dat deze functie niet integreerbaar is, en daaruit volgt dat de differentiaalvergelijking ook geen oplossingen heeft. Om zeker te zijn van het bestaan van oplossingen, zullen we dus ook voorwaarden aan de richtingsveldfunctie f op moeten leggen. Ook het antwoord op de tweede vraag: is de oplossing van een beginwaardeprobleem uniek, is ontkennend. We zullen dit laten zien aan de hand van een voorbeeld waarbij door één punt meer oplossingen gaan. In figuur 25.5 is het richtingsveld van de differentiaalvergelijking ' = 3 2 getekend. We zoeken oplossingen die voldoen aan de beginvoorwaarde (0) = 0. 24

25 Leereenheid 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden x FIGUUR 25.5 Richtingsveld bij de differentiaalvergelijking ' = 3 2 Uit het richtingsveld valt één oplossing direct af te lezen: de constante oplossing (x) = 0. Vullen we deze oplossing in, dan zien we dat zij voldoet. Een tweede oplossing die door invullen eenvoudig is te controleren, is de functie (x) = ( 3 x)3. Beide oplossingen zijn getekend in figuur (x) = 0 x (x) = ( x) 3 3 FIGUUR 25.6 Richtingsveld bij ' = 3 2 met de oplossingen (x) = 0 en (x) = ( 3 x)3 Dit beginwaardeprobleem heeft dus minstens twee oplossingen. We zullen nu laten zien dat er meer oplossingen zijn, zelfs oneindig veel! Daarbij maken we gebruik van de volgende oplossingen van de differentiaalvergelijking: (x) = ( 3 x + c)3, zie figuur In opgave 25.8 vragen we u om aan te tonen dat deze functies inderdaad oplossingen zijn. 25

26 Open Universiteit Continue wiskunde 2 x FIGUUR 25.7 Richtingsveld bij ' = 3 2 met oplossingen (x) = ( 3 x + c)3 We kunnen nu nieuwe oplossingen van het beginwaardeprobleem maken door bestaande oplossingen aan elkaar te plakken, bijvoorbeeld als volgt (zie figuur 25.8): ( x ) 3 voor x 3 3 x ( ) = 0 voor 3< x < 3 ( x + ) 3 voor x 3 3 x FIGUUR 25.8 De oplossing (x) = ( 3 x )3 voor x 3, (x) = ( 3 x + )3 voor x 3, (x) = 0 voor 3 < x < 3 De waarden voor de constante c (c = voor de linkertak en c = voor de rechtertak) zijn zo gekozen dat continu is in x = 3 en x = 3. Om aan te tonen dat deze functie inderdaad een oplossing is, hoeven we alleen nog maar na te gaan dat in x = 3 en x = 3 aan de differentiaalvergelijking is voldaan. De afgeleide in 3 berekenen we door afzonderlijk linker- en rechterafgeleide te bepalen. Beide zijn gelijk aan 0 en omdat ook (3) = 0, is in dit punt aan de differentiaalvergelijking ' = 3 2 voldaan. Hetzelfde geldt in x = 3, zodat de hiervoor gedefinieerde functie inderdaad een 26

27 Leereenheid 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden oplossing van het beginwaardeprobleem is. De keuze van de punten waar we functies knipten en plakten, was echter willekeurig. We kunnen elke negatieve tak van een oplossing (x) = ( 3 x + c)3 combineren met een stuk -as en een positieve tak van een andere oplossing (x) = ( 3 x + c')3 met c' < c. Hiermee hebben we ook de tweede vraag beantwoord: niet elk beginwaardeprobleem heeft een unieke oplossing. Het is niet zo verwonderlijk dat het beginwaardeprobleem uit het eerste voorbeeld geen oplossingen had, omdat de richtingsveldfunctie zich in dit geval wel heel erg wild gedroeg. In blok 5 hebt u gezien dat continue functies in ieder geval een primitieve hebben. Iets dergelijks geldt hier: als de richtingsveldfunctie continu is op een omgeving van de beginwaarden, dan heeft het beginwaardeprobleem ten minste één oplossing. Voor eenduidigheid is continuïteit van de richtingsveldfunctie niet voldoende, zoals blijkt uit het tweede voorbeeld. De volgende stelling geeft voorwaarden waaronder een beginwaardeprobleem precies één oplossing heeft. Het bewijs van deze stelling maakt gebruik van begrippen en technieken die buiten deze cursus vallen. We laten het daarom achterwege. Dat betekent ook dat we u hier niet uit kunnen leggen waarom nu juist de in de stelling gegeven voorwaarden voldoende zijn. Wel zullen we in leereenheid 26 voor een bepaalde klasse van problemen de existentie en eenduidigheid van oplossingen aantonen. STELLING 25. Existentie en eenduidigheid Als de functie f die gedefinieerd is op de rechthoek D = a, b c, d, aan de volgende twee voorwaarden voldoet: f is continu op D f is op D partieel differentieerbaar naar en de partiële afgeleide f is continu op D dan heeft het beginwaardeprobleem ' = f(x, ), (x 0 ) = 0 voor (x 0, 0 ) D precies één oplossing (x) = g(x) waarbij het domein van g bevat is in a, b. Opmerkingen De stelling geeft voorwaarden die een unieke oplossing garanderen. Dat betekent dat er ook richtingsveldfuncties kunnen zijn die niet aan de voorwaarden voldoen, maar waarbij het beginwaardeprobleem toch een unieke oplossing heeft. Het is mogelijk dat de oplossing niet op het hele domein a, b gedefinieerd is. U zult daar in leereenheid 26 voorbeelden van zien. De functie f hoeft niet partieel differentieerbaar te zijn naar x. Een belangrijk gevolg van de stelling over existentie en eenduidigheid is dat op een gebied D waar f voldoet aan de voorwaarden uit de stelling, het niet mogelijk is dat twee oplossingen van ' = f(x, ) elkaar snijden, raken of in een punt samenkomen; ook kan op dit gebied een oplossing niet splitsen. De situaties getekend in figuur 25.9 zijn dus niet mogelijk. 27

28 Open Universiteit Continue wiskunde 2 g h g h x x g g h h x x FIGUUR 25.9 Oplossingen van ' = f(x, ) kunnen niet snijden, raken, samenkomen of splitsen als f voldoet aan de voorwaarden van stelling 25.. De nu volgende redenering laat zien waarom oplossingen elkaar niet kunnen snijden. Stel namelijk dat f op D voldoet aan de voorwaarden van stelling 25. en dat g en h oplossingen zijn van ' = f(x, ) die elkaar binnen D snijden. Noem dit snijpunt (x 0, 0 ). Zie figuur g 0 h x 0 x FIGUUR 25.0 Twee snijdende oplossingen? Dan zijn g en h twee verschillende oplossingen van het beginwaardeprobleem ' = f(x, ), (x 0 ) = 0. Volgens stelling 25. heeft dit beginwaardeprobleem echter precies één oplossing, dus de veronderstelling dat de oplossingen g en h elkaar op D kunnen snijden, is niet juist. Met een vergelijkbare redenering is aan te tonen dat oplossingen ook niet kunnen samenkomen of splitsen als aan de voorwaarden van stelling 25. is voldaan. OPGAVE 25.8 a Toon aan dat de functies (x) = ( 3 x + c)3 oplossingen zijn van de differentiaalvergelijking ' = 3 2. b Geef drie verschillende oplossingen van het beginwaardeprobleem ' = 3 2, ( 5) = 0. 28

29 Leereenheid 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden OPGAVE 25.9 Leg uit waarom twee oplossingen van ' = f(x, ) op een gebied D waarop f voldoet aan de voorwaarden van stelling 25., niet in een punt samen kunnen komen (de derde situatie in figuur 25.9) DE METHODE VAN EULER Tot nu toe hebben we het richtingsveld gebruikt voor kwalitatief onderzoek naar oplossingen van differentiaalvergelijkingen. Als we u bijvoorbeeld vroegen om een oplossing in het richtingsveld te schetsen, dan was dit om globaal inzicht te verkrijgen in het verloop van oplossingen. Richtingsvelden zijn echter ook heel goed bruikbaar om oplossingen te benaderen. Het principe van de methode van Euler wijkt eigenlijk niet zoveel af van wat u doet als u een oplossing schetst. Het idee is eenvoudig. Stel dat het beginwaardeprobleem ' = f(x, ) gegeven is met beginvoorwaarde (x 0 ) = 0, en dat we weten (bijvoorbeeld door de stelling over existentie en eenduidigheid) dat dit probleem een oplossing heeft. Het lijnelement door (x 0, 0 ) is een stukje van de raaklijn aan deze oplossing. We kunnen de oplossing op een klein interval [x 0, x 0 + h] benaderen door deze raaklijn. Dit geeft een benadering van de functiewaarde in x = x 0 + h. We herhalen dit proces: het lijnelement door (x, ) geeft ons een benadering van de oplossing op het interval [x, x + h], enzovoorts. Op deze manier vinden we een oplossing die is opgebouwd uit een aantal kleine lijnstukjes, zie figuur 25.. (x 2, 2 ) (x 3, 3 ) (x 0, 0 ) (x, ) (x 4, 4 ) h x FIGUUR 25. Een richtingsveld met daarin een Euler-benadering VOORBEELD Gegeven is het beginwaardeprobleem ' = x/, () = 2. We kennen in dit geval de oplossing al: (x) = 5 x 2. De reden dat we toch dit voorbeeld gekozen hebben, is dat u nu de benadering met het exacte antwoord kunt vergelijken. Vóór we de methode van Euler toepassen, merken we op dat de richtingsveldfunctie niet gedefinieerd is voor = 0. We zullen punten waar geldt = 0, dus moeten vermijden. De afstand h die tussen twee opeenvolgende benaderingen zit, noemen we ook wel de stapgrootte. We kiezen om te beginnen h = 0,5. De richtingscoëffiënt van het lijnelement in (, 2) is 0,5. Omdat we stapgrootte 0,5 gekozen hebben, heeft het volgende punt van onze benadering x-coördinaat x =,5. De benadering van de functiewaarde die de methode Euler in dit punt geeft, is gelijk aan 2 + h ( 0,5) =,75. U vindt de benadering in figuur

30 Open Universiteit Continue wiskunde 2 Meer algemeen vinden we, gegeven de benadering (x n, n ), de benadering in het volgende punt door: Formule voor Euler-benadering x n+ = x n + h n+ = n + h f'(x n, n ) In dit voorbeeld geldt f'(,5,,75) = 0,875 en dus volgt x 2 = 2 en 2 =,75 + 0,5 ( 0,875),32. In de tabel vindt u de tot nu toe berekende waarden van x en ; ter vergelijking staat in de rechterkolom de exacte waarde van de oplossing 5 x 2. In figuur 25.2 zijn de benadering en de oplossing uitgezet. x,0 2,0 2,0,5,75,66 2,0,32,0 2 5 x (x 0, 0 ) (x, ) (x 2, 2 ) x FIGUUR 25.2 Benadering en oplossing van het beginwaardeprobleem ' = x/, () = 2 met stapgrootte h = 0,5 Zowel in de figuur als in de tabel ziet u dat de benadering niet erg op de exacte oplossing lijkt. Het is te verwachten dat de benadering beter zal zijn wanneer we de stapgrootte h kleiner nemen. In figuur 25.3 vindt u de resultaten voor h = 0,. x 5 2 x (x 0, 0 ),0 2,0 2,0,,950,947,2,894,887,3,83,89,4,755,744,5,675,658,6,585,562,7,484,453,8,369,326,9,238,79 2,0,084,0 (x 0, 0 ) x FIGUUR 25.3 Benadering en oplossing van het beginwaardeprobleem ' = x/, () = 2 met stapgrootte h = 0, 30

31 Leereenheid 25 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden U ziet dat deze benadering een stuk beter is. Wat opvalt, is dat gemaakte fouten elkaar versterken: de benadering is in de buurt van x =,0 goed, maar wordt in de buurt van x = 2,0 steeds slechter. «In dit voorbeeld was de exacte oplossing bekend, en dus ook de gemaakte fout. In de praktijk worden numerieke methoden gebruikt als de exacte oplossing juist onbekend is, en kunnen we benaderingen alleen op hun waarde schatten als we over methoden beschikken om de afwijking van de benadering ten opzichte van de oplossing te schatten. In blok 0 wordt hier dieper op ingegaan. OPGAVE 25.0 Gegeven is het beginwaardeprobleem ' = 3 2, ( 0) =. Benader de oplossing van dit probleem op het interval [0, 3] met de methode van Euler, met stapgrootte h = en h = 0,5. Teken uw benaderingen in een grafiek en vergelijk ze met de exacte oplossing. (De differentiaalvergelijking ' = 3 2 heeft oplossingen van de vorm (x) = ( 3 x + c)3, zie paragraaf 25.3.). S A M E N V A T T I N G Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin een variabele x, een onbekende functie (x) en afgeleiden van deze functie kunnen voorkomen. Een oplossing van een differentiaalvergelijking is een functie die op een interval (het domein van de oplossing) aan de differentiaalvergelijking voldoet. Als (n) de hoogste afgeleide is die in de differentiaalvergelijking voorkomt, dan is de orde van deze differentiaalvergelijking gelijk aan n. Een expliciet gegeven eersteordedifferentiaalvergelijking is van de vorm ' = f(x, ). Voegen we aan deze differentiaalvergelijking een beginwaarde (x 0 ) = 0 toe, dan spreken we van een beginwaardeprobleem. De stelling over existentie en eenduidigheid garandeert dat onder bepaalde voorwaarden voor f zo n beginwaardeprobleem precies één oplossing heeft. Een lijnelement bij een differentiaalvergelijking ' = f(x, ) is een lijnstukje door een punt (x, ) met richtingscoëfficiënt f(x, ). De verzameling van alle lijnelementen bij ' = f(x, ) heet het richtingsveld van deze differentiaalvergelijking. In het richtingsveld vormen punten met dezelfde richting de isoclinen. Het richtingsveld is basis voor de benaderingsmethode van Euler. Volgens deze methode worden benaderingen van oplossingen geconstrueerd door steeds stapjes in de richting van het lijnelement te maken. 3