Wiskundig Modelleren 1 Chemische Mengsels en Reacties. Anne Buijsrogge en Corine Laan

Transcriptie

1 Wiskundig Modelleren 1 Chemische Mengsels en Reacties Anne Buijsrogge en Corine Laan 23 oktober 2009

2 1 Vragen uit het lab Als je chemische mengsels wilt maken, kunnen daar een hoop vragen bij opkomen Hoe kan ik zo goedkoop mogelijk een stof met een bepaalde concentratie krijgen? Welke concentraties kan ik krijgen? Welke stoffen kunnen met elkaar reageren tot het gewenste eindproduct? Wat zijn dan de verhoudingen tussen de stoffen? Wij zijn door een chemicus benaderd om voor dit soort vragen een oplossing te vinden We zullen eerst de problemen waarmee de chemicus bij ons is gekomen beschrijven Daarna zullen we daar een algemeen model van maken Tot slot zullen we een antwoord geven op de specifieke vragen van de chemicus Het model kan ook gebruikt worden om problemen van gelijke aard op te lossen We hebben van alle vragen twee hoofdvragen gemaakt Hoe kan een bepaalde concentratie gemaakt worden uit de beschikbare oplossingen? Hoe kunnen stoffen met elkaar reageren? We hebben deze vragen in het verslag ook ook apart beantwoord 2 Wat is het probleem? Een chemicus heeft ons benaderd met een aantal vragen Ten eerste wil hij weten welke concentraties zoutzuur hij allemaal kan maken als hij beschikt over de concentraties 20%, 30% en 60% Vervolgens wil hij weten hoe een bepaalde concentratie gemaakt kan worden en wat dan de goedkoopste manier is De prijzen van de mengsels zijn respectievelijk e 2,-, e 4,- en e 9,- per 10 liter De oplossingen mogen niet worden gemengd met andere vloeistoffen om verontreiniging te voorkomen Dan rest hem nog de vraag of het goedkoper is om een oplossing van 50% zoutzuur te kopen voor e 8 per 10 liter of om zelf te mengen De chemicus wil tevens weten of hij Ca(OH) 2 (gebluste kalk) en KNO 2 (kaliumnitriet) zonder andere stoffen kan verkrijgen uit de beginstoffen H 2 O (water), CaO (ongebluste kalk), HNO 3 (salpeterzuur) en KNO 3 (kaliumnitraat) Hij vraagt zich af of het kan met CaO, KNO 3 en HNO 3 of met CaO, KNO3 en H 2 O Hij wil ook graag weten of KCl, ClO en H 2 O kunnen reageren tot HCl en KClO 3 en in welke verhouding Cu 2 S, H + en NO3 reageren tot CU 2+, NO, S 8 en H 2 O Als laatste wil hij weten in welke verhouding HCl en KClO 3 reageren tot KCl, Cl 2, ClO 2 en H 2 O en hoe de opbrengst Cl 2 en ClO 2 van de samenstelling van het beginmengsel afhangt In de volgende paragrafen zullen we een antwoord zoeken op al deze vragen 3 Hoe gaan we dat aanpakken? Om een antwoord te krijgen op alle vragen hebben we de problemen in twee delen opgesplitst (1) Welke concentraties kunnen we krijgen door 20%, 30% en 60% te mengen en hoe kan dat zo goedkoop mogelijk? En (2) Hoe kunnen we kijken in welke verhouding stoffen met elkaar moeten reageren om het gewenste eindproduct te krijgen? Laten we eerst kijken naar deel (1) We hebben drie verschillende concentraties van zoutzuur: 20%, 30% en 60% Deze kosten respectievelijk e 2,-, e 4,- en e 9,- per 10 liter Tabel 1: Kosten zoutzuur Concentratie Prijs 20% e 2,- 30% e 4,- 60% e 9,- De vraag is hoe we zo goedkoop mogelijk een oplossing zoutzuur van een bepaalde concentratie kunnen maken Eerst zullen we laten zien dat het goedkoper is 30% zoutzuur te mengen dan direct te kopen 30% zoutzuur kost e 4,- per 10 liter 1

3 Als er 30 liter van 20% zoutzuur met 10 liter van 60% zoutzuur wordt gemengt, ontstaat er een oplossing van 30% zoutzuur voor e 3,75 per 10 liter (( )/4) Omdat een oplossing zoutzuur met concentratie 30% dus altijd goedkoper gemaakt kan worden, zijn de concentraties van 20% en 60% voldoende om de goedkoopste oplossing te krijgen In het model zullen we dus alleen gebruik maken van 20% en 60% Een concentratie x kan gemaakt worden door 20% en 60% in de juiste verhouding te mengen We gebruiken de volgende sybolen: a is het aantal liter*10 met een concentratie van 20% zoutzuur, b is het aantal liter*10 met een concentratie van 60% zoutzuur, l is het totaal aantal liter*10, x is de gewenste concentratie zoutzuur in procenten/100, z is het aantal liter zoutzuur We kunnen uitrekenen hoeveel zoutzuur er in een mengsel van 20% en 60% zit: 02a + 06b = z (1) Het aantal liter zoutzuur in de gewenste oplossing met concentratie x wordt gegeven door: Uit (1) en (2) volgt: x l = z (2) 02a + 06b = x l Omdat je alleen de oplossingen van 20% en 60% mengt, geldt dat l gelijk is aan a + b Daaruit volgt: 02a + 06b a + b = x (3) Als x bekend is, kun je de verhouding van a en b berekenen Als we de verhouding van a en b hebben kunnen we ook de prijs per 10 liter uitrekenen We hebben laten zien dat elke combinatie met een oplossing van 30% zoutzuur duurder is, daarom is de combinatie van 20% en 60% ook meteen de goedkoopste Uit 3 volgt dan een formule voor de prijs, door de concentraties te vervangen door de prijzen (zie tabel 1) De formule voor de prijs/10liter wordt dan: prijs/10liter = 2a + 9b a + b (4) We hebben nu het model voor het eerste deel gemaakt Nu gaan we kijken naar deel (2) Elke stof die gegeven is bestaat uit een vast aantal elementen Om te kijken of de reactie plaats kan vinden, moeten we kijken of elementen uit het gewenste eindproduct gevormd kunnen worden uit een combinatie van de elementen van het beginproduct We kunnen de volgende vergelijking opstellen, hierbij zijn A de beginstoffen en B de eindproducten c i (i = 1m) en v j (j = 1n) zijn constanten: c 1 A 1 + c 2 A c m A m v 1 B 1 + v 2 B v k B n (5) Om te kijken of deze reactie kan plaatsvinden moet er gekeken worden of er constanten te vinden zijn waardoor deze vergelijking kloppend wordt Deze constanten kunnen niet gelijk zijn aan 0, omdat anders niet alle stoffen gebruikt of verkregen worden We hebben nu een model voor het tweede deel In de volgende sectie wordt de oplossing beschreven 4 Wiskundige uitwerking Nu we een model hebben gemaakt van de gestelde vragen, kunnen we dit verder gaan uitwerken We zullen de oplossingen weer onderverdelen in twee delen net als bij het wiskundige model Eerst 2

4 kijken we naar de oplossing van het eerste deel Om te kijken in welke verhouding we 20% en 60% moeten mengen, maken we gebruik van (3) De gewenste concentratie is x: dat is dus een constante waarde 02a + 06b = x a + b Om de verhouding van a en b te berekenen, moeten a en b allebei naar een kant gebracht worden Hieruit volgt de volgende formule: (x 0, 2)a = (0, 6 x)b (6) Door x in te vullen kan a : b uitgerekend worden Daarna moet er gezorgd worden dat a en b gehele getallen zijn, omdat je alleen per 10 liter kan inkopen Hiermee kan je uitrekenen wat de prijs van de oplossing is Nu gaan we verder met de oplossing van het tweede deel In het model is een vergelijking gemaakt die opgelost moet worden, zodat er gekeken kan worden of de reactie kan plaatsvinden Dit kan men bekijken door verschillende vergelijkingen op de stellen van alle elementen afzonderlijk Met behulp van een matrix zijn de vergelijkingen op te lossen De vergelijkingen worden als volgt opgesteld A en B zijn de stoffen, waarbij tussen haakjes wordt aangegeven om welk element het gaat (A 1 (1) is dus het eerste element van stof 1) Door c i en v j wordt aangegeven hoeveel elementen er zijn in de desbetreffende stof c 1 A 1 (1) + c 2 A 2 (1) + + c m A m (1) v 1 B 1 (1) + v 2 B 2 (1) + + v k B n (1) c 1 A 1 (2) + c 2 A 2 (2) + + c m A m (2) v 1 B 1 (2) + v 2 B 2 (2) + + v k B n (2) c 1 A 1 (k) + c 2 A 2 (k) + + c k A k (k) v 1 B 1 (k) + v 2 B 2 (k) + + v k B n (k) Als deze vergelijkingen een oplossing hebben, waarvoor geldt c i 0 en v j 0, dan kan de reactie plaatvinden c 1 A 1 (1) c m A m (1) v 1 B 1 (1) v k B n (1) c 1 A 1 (2) c m A m (2) v 1 B 1 (2) v k B n (2) c 1 A 1 (k) c m A m (k) v 1 B 1 (k) v k B n (k) De constanten kunnen gevonden worden door Mx=0 op te lossen (x = [c 1,, c 2, v 1,, v 2 ]) In de volgende paragraaf zullen we dit uitwerken met de vragen van de chemicus 5 Wat kunt u hier nou mee? Met het model dat we gemaakt hebben kunnen de vragen van de chemicus beantwoord worden De eerste vraag is: Welke concentraties kunnen er gemaakt worden door 20%, 30% en 60% te mengen? Met behulp van formule (x 0, 2)a = (0, 6 x)b kunnen we die vraag beantwoorden Als x kleiner wordt gekozen dan 0,2, dan wordt het linkerlid kleiner dan 0, en dat betekent dat je b negatief moet worden om de vergelijking kloppend te maken In de praktijk betekent dat dat je bijvoorbeeld -10 liter van 60% toe moet voegen Dit kan natuurlijk niet Hetzelfde geldt als x groter wordt gekozen dan 0,6 Dan wordt het rechterlid kleiner dan 0 en moet er een negatief aantal liter van 20% worden toegevoegd Omdat dat in de praktijk niet kan, kunnen alleen percentages tussen 20% en 60% gemaakt worden De chemicus wil een oplossing zoutzuur hebben met een concentratie van 50% Hij kan dat gewoon kopen voor e 8,- per 10 liter, maar hij vraagt zich af of het ook goedkoper kan door een mengsel te maken van 20%, 30% en 60% Die vraag kunnen we beantwoorden met behulp van onze gemaakte modellen In het model hebben we gezien dat we 30% niet mee hoeven te nemen 3

5 Er hoeft dus alleen gekeken te worden naar de verhouding van a en b met behulp van (6), waarbij we x = 0, 5 nemen, omdat we een oplossing willen krijgen van 50% zoutzuur [(0, 5 0, 2)a = (0, 6 0, 5)b] 0, 3a = 0, 1b Om de vergelijking kloppend te maken moet b 3 keer zo groot zijn als a Dus de verhouding van a:b is gelijk aan 1 : 3 Dat betekent dat de goedkoospste oplossing verkregen kan worden door 10 liter zoutzuur van 20% te mengen met 30 liter zoutzuur van 60% Maar is dit dan ook goedkoper dan e 8,-? Dat kunnen we berekenen met (4): prijs/10liter = 2a + 9b a + b = = 7, 25 e 7,25 is minder dan e 8,-, dus is het niet verstandig om 50% zoutzuur te kopen voor e 8,- per 10 liter, maar kan de chemicus het beter zelf mengen We gaan nu verder met het tweede model, waarmee we kunnen kijken of bepaalde reactievergelijkingen kunnen plaatsvinden We beginnen met de vraag of we Ca(OH) 2 (gebluste kalk) en KNO 2 (kaliumnitriet) kunnen vormen als we de beschikking hebben over KNO 3, CaO, H 2 O en HNO 3 De chemicus vraagt zich af of gebluste kalk en kaliumnitriet gevormd kunnen worden uit CaO, KNO 3 en HNO 3 Dit leidt tot de volgende reactievergelijking: c 1 KNO 3 + c 2 CaO + c 3 HNO 3 v 1 Ca(OH) 2 + v 2 KNO 2 Hiervan maken we een matrix om te kijken of de reactievergelijking kan plaatsvinden Deze matrix ziet er als volgt uit: Als we Mx=0 gaan oplossen krijgen we alleen de triviale oplossing Dit betekend dat alle x gelijk zijn aan 0, waardoor deze reactie niet kan plaatsvinden Vervolgens wil de chemicus nog weten of gebluste kalk en kaluimnitriet gevormd kunnen worden uit KNO 3, CaO en H 2 O Dit levert de volgende reactievergelijking op: c 1 KNO 3 + c 2 CaO + c 3 H 2 O v 1 Ca(OH) 2 + v 2 KNO 2 We maken een matrix om te kijken of de reactie kan plaatsvinden Deze ziet er als volgt uit: Als we Mx=0 gaan oplossen geeft dit x=[0,1,-1,1,0] Dit betekent dat de eindproducten niet gevormd kunnen worden uit deze beginproducten, omdat de vergelijking alleen maar klopt door van sommige stoffen niets te nemen We vragen ons af of gebluste kalk en kaliumnitriet uberhaupt wel gevormd kunnen worden uit de beginstoffen Dit leidt tot de volgende reactievergelijking: c 1 KNO 3 + c 2 CaO + c 3 H 2 O + HNO 3 v 1 Ca(OH) 2 + v 2 KNO 2 4

6 We maken weer een matrix om te kijken of de reactie kan plaatsvinden Deze ziet er als volgt uit: Als we Mx=0 gaan oplossen krijgen we x=[0,1,1,0,1,0] Dit betekent dat de eindproducten niet kunnen worden gevormd uit de stoffen die hij tot z n beschikking heeft, omdat de vergelijking alleen op te lossen is door van een stof niets te nemen Op dezelfde manier kunnen we de volgende vragen van de chemicus beantwoorden De volgende vraag van de chemicus is of KCl, ClO 2 en H 2 O kunnen reageren tot HCl en KClO 3 Dit levert de volgende reactievergelijking op: c 1 KCl + c 2 ClO 2 + c 3 H 2 O v 1 HCl + v 2 KClO 3 Door hier een matrix van te maken kunnen we kijken of de reactie kan plaatsvinden Deze matrix ziet er als volgt uit: Als we Mx=0 gaan oplossen geeft dit x=[5,6,3,6,5] Dit betekent dat deze reactie kan plaatsvinden Dan de vraag in welke verhouding Cu 2 S, H + en NO 3 reageren tot Cu2+, NO, S 8 en H 2 O De reactievergelijking ziet er als volgt uit: c 1 Cu 2 S + c 2 H + + c 3 NO 3 v 1Cu 2+ + v 2 NO + v 3 S 8 + v 4 H 2 O Door hier weer een matrix van te maken kunnen we kijken in welke verhouding de reactievergelijking plaatsvindt Dit levert de volgende matrix op: Als we Mx=0 gaan oplossen geeft dit x=[19,4,1,32,1,2,2] Dit betekent dat de verhouding als volgt is: Tabel 2: Verhoudingen Cu 2 S H + NO 3 Cu 2+ NO S 8 H 2 O De laatste vragen van de chemicus zijn in welke verhouding HCl en KClO 3 reageren tot KCl, Cl 2, ClO 2 en H 2 O en hoe de opbrengst van Cl 2 en ClO 2 van de samenstelling van het beginmengsel afhangt Dit gaan we weer op dezelfde manier oplossen De reactievergelijking ziet er als volgt uit: c 1 HCl + c 2 KClO 3 v 1 KCl + v 2 Cl 2 + v 3 ClO 2 + v 4 H 2 O 5

7 Door er een matrix van te maken kunnen we de verhouding tussen de verschillende stoffen bepalen De matrix ziet er als volgt uit: Als we Mx=0 gaan oplossen geeft dit x = [2v 4, 2 3 v v 4, 2 3 v v 4, 1 2 v 3 +v 4, v 3, v 4 ] Dit betekent dat de verhouding als volgt is: Tabel 3: Verhoudingen2 HCl KClO 3 KCl Cl 2 ClO 2 H 2 O 2 2 v v De opbrengst van Cl 2 en ClO 2 hangt af van de samenstelling van het beginmengsl en wel volgens de volgende formules Deze formules kunnen we opstellen aan de hand van tabel 3 De concentratie HCl hangt af van: Uit (7) volgt: De concentratie van KClO 3 hangt af van: Uit (8) en (9) volgt: Uit (8) en (10) volgt: [HCl] = 2v 4 (7) v 4 = 1 [HCl] (8) 2 [KClO 3 ] = 2 3 v v 4 (9) v 3 = 3 2 [KClO 3] 1 [HCl] (10) 4 [Cl 2 ] = 1 2 v 3 + v 4 = 3 4 [KClO 3] + 5 [HCl], (11) 8 We hebben nu alle vragen van de chemicus beantwoord 6 Samengevat [ClO 2 ] = v 3 = 3 2 [KClO 3] 1 [HCl] (12) 4 De chemicus heeft ons een hoop vragen verschillende gesteld Toch hebben we gezien dat we alle vragen met behulp van twee modellen kunnen beantwoorden De eerste vraag ging over het mengen van oplossingen met een verschillende concentratie zoutzuur Daarbij konden we gebruik maken van 20%, 30% en 60% zoutzuur voor respectievelijk e 2,- e 4,- en e 9,- per 10 liter Om te bepalen wat de goedkoopste manier was om een gewenste concentratie te krijgen, hebben we laten zien dat 30% niet meegerekend hoeft te worden Hierdoor is het model een stuk eenvoudiger geworden Met de beschikbare concentraties kun je door te mengen elke gewenste concentratie 6

8 tussen de 20% en de 60% krijgen Is het goedkoper om een concentratie van 50% te kopen voor e 8,- per liter? Een concentratie van 50% zoutzuur kan verkregen worden door 10 liter oplossing van 20% te mengen met 30 liter oplossing van 60%, dat kost e 7,25 per 10 liter Dit is dus goedkoper dan een oplossing van 50% zoutzuur direct te kopen Hierbij moet wel rekening gehouden worden gehouden dat het alleen goedkoper is als je 40 liter of meer nodig hebt Als je bijvoorbeeld 20 liter van 50% nodig hebt, wil je 5 liter van 20% mengen met 15 liter van 60% (want verhouding is 1:3) Omdat zoutzuur alleen per 10 liter gekocht kan worden, moet je dus toch 10 liter van 20% kopen en 20 liter van 60% Dit kost e 20,- en je hebt 5 liter van beide oplossingen over Je kunt ook 20 liter van 50% direct kopen Dit kost e 16,- en is dus in dit geval goedkoper De andere vragen hebben we geprobeerd te beantwoorden met het tweede deel van het model Hierbij wordt gekeken of de reactie plaats kan vinden en hoeveel van elke stof er dan nodig is of ontstaat We hebben gezien dat op geen enkele manier gebluste kalk (Ca(OH) 2 ) en kaliumnitriet (KNO 2 ) verkregen kan worden met een combinatie van de beginstoffen H 2 O, CaO, HNO 3 en KNO 3 Dat betekent dat als je Ca(OH) 2 en KNO 2 wilt hebben, je andere beginstoffen moet gebruiken HCl en KClO 3 kunnen wel gevormd worden uit KCl, ClO 2 en H 2 O Dat de stoffen CU 2+, NO, S 8 en H 2 O gevormd kunnen worden uit de beginstoffen Cu 2 S, H + en NO3, was al bekend De chemicus vroeg zich wel af in welke verhouding dat gebeurd Dat kan op de volgende manier: 19Cu 2 S + 4H + + 1NO 3 32Cu2+ + 1NO + 2S 8 + 2H 2 O, (c 1 Cu 2 S + c 2 H + + c 3 NO 3 v 1Cu 2+ + v 2 NO + v 3 S 8 + v 4 H 2 O) De reactie kan alleen in deze verhouding plaatsvinden(of een veelvoud hiervan) De laatste vraag van de chemicus was in welke verhouding HCl en KClO 3 reageren tot KCl, Cl 2, ClO 2 en H 2 O en hoe de opbrengst Cl 2 en ClO 2 van de samenstelling van het beginmengsel afhangt De verhoudingen zijn af te lezen in tabel 3 De opbrengst van Cl 2 en ClO 2 hangt op de volgende manier van de samenstelling van het beginmengsel af: [Cl 2 ] = 1 2 v 3 + v 4 = 3 4 [KClO 3] [HCl] [ClO 2 ] = v 3 = 3 2 [KClO 3] 1 4 [HCl] We hebben nu op alle vragen van de chemicus een antwoord gegeven Als er andere vragen van dezelfde soort zijn, kunnen die op deze manier opgelost worden Hopelijk kan ons model daarvoor een uitkomst bieden 7