Statistische Intelligentie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Statistische Intelligentie"

Transcriptie

1 Statistische Intelligentie De samenhang ontdekken Exploratie van bivariaat cijfermateriaal Deel 1. Correlatie b. Sofie Bogaerts Herman Callaert

2 Dankwoord Een bijzonder woord van dank gaat naar de leden van de stuurgroep Marc Aerts, Liesbeth Bruckers, Saskia Litière en Veerle Vandersmissen. Hun opmerkingen, suggesties en kritische kanttekeningen hebben een positieve bijdrage geleverd bij het ontwerpen van deze tekst. 2004, L. U. C. Diepenbeek (België), Statistische Intelligentie Depotnummer: D/2004/2451/31 Niets in deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke andere wijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Het is toegestaan aan leerkrachten om deze tekst te reproduceren voor gebruik in de klas. Hierbij dient steeds het project Statistische Intelligentie en de namen van de auteurs te worden vermeld

3 Inhoud Hoofdstuk 1: grafisch voorstellen van de samenhang tussen bivariate continue gegevens Bivariate continue gegevens De puntenwolk...2 Hoofdstuk 2: lineaire samenhang tussen bivariate continue gegevens Ellipsvormige puntenwolken Bespreken van de lineaire samenhang De zin en de sterkte van de lineaire samenhang De typische rechte...15 Hoofdstuk 3: de lineaire samenhang meten De puntenwolk in een gestandaardiseerd assenstelsel De correlatiecoëfficiënt...22 Hoofdstuk 4: toepassingen Bestaat er een lineair verband tussen de lengte van een vrouw en de lengte van haar partner? Het effect van alcoholisme op de sterkte van de spieren Een onderzoek op de werkvloer Zelf op speurtocht...40

4 Hoofdstuk 1: grafisch voorstellen van de samenhang tussen bivariate continue gegevens 1.1 Bivariate continue gegevens In de beschrijvende statistiek onderzocht je telkens één welbepaalde veranderlijke: het geboortegewicht van kinderen, de leeftijd van de 42 presidenten van de VS, het aantal studieboeken van 20 leerlingen, enz. Je gebruikte aangepaste grafische voorstellingen, zoals bijvoorbeeld een histogram, en berekende de bijhorende centrum- en spreidingsmaten. Maar stel nu dat je wilt onderzoeken of er een samenhang bestaat tussen twee veranderlijken. Is er een samenhang tussen het gewicht van een auto en zijn verbruik? Bestaat er een samenhang tussen de punten die een leerling behaalt op wiskunde en de punten die deze leerling behaalt op Frans? Om dit te onderzoeken zijn onze vroegere technieken uit de beschrijvende statistiek niet meer voldoende, vermits je deze veranderlijken samen wilt bestuderen. Om een antwoord te vinden op de bovenstaande vragen heb je voor elk element uit je dataset de waarden nodig van de twee veranderlijken. Men zegt dan dat je bivariate gegevens bestudeert. Bivariate gegevens kunnen in verschillende combinaties voorkomen wat hun soort betreft. Maar eerst herhalen we kort de soorten gegevens: Categorische gegevens: gegevens die zijn opgedeeld in categorieën. Binnen de categorische gegevens maken we de volgende onderverdeling: categorische gegevens zonder ordening (nominale categorische gegevens) en categorische gegevens met ordening (ordinale categorische gegevens) Discrete numerieke gegevens: gegevens die aantallen weergeven. Continue numerieke gegevens: gegevens die alle mogelijke waarden tussen bepaalde grenzen kunnen aannemen. Oefening 1 Zoek voor elk soort gegeven een voorbeeld. Centrum voor Statistiek 1

5 Je kan bivariate gegevens hebben waarbij beide veranderlijken categorisch zijn, of waarbij beide veranderlijken continu zijn. En natuurlijk is er ook een mengeling mogelijk waarbij de ene veranderlijke categorisch is, en de andere continu. In deze tekst concentreren we ons enkel op koppels van veranderlijken waarbij de beide veranderlijken continu zijn. We spreken dan van bivariate continue gegevens. Bij bivariate continue gegevens zijn beide veranderlijken continu. Voorbeelden Voorbeelden van bivariate continue gegevens zijn: - lengte van de vader en lengte van de zoon - het gewicht van een auto en zijn remafstand - de lengte en de breedte van een bloemblaadje - enz 1.2 De puntenwolk Voorbeeld In de onderstaande tabel vind je het gewicht en het voetoppervlak van 20 Zuid-Afrikaanse slakken. Bestaat er tussen deze continue veranderlijken enige samenhang? Gewicht (in kg) Voetoppervlak (in mm²) Gewicht (in kg) Voetoppervlak (in mm²) Als je deze gegevens grafisch wilt voorstellen, dan zie je dat je per slak twee opmetingen hebt: het gewicht en het voetoppervlak. Je kan dit noteren als een koppel (x,y). (x, y) = (gewicht, voetopperv lak) Centrum voor Statistiek 2

6 Je hebt zo n koppel voor elk van die 20 slakken. Om te zeggen over welke slak het gaat voegen we een index toe: (x,y ) = (gewicht 1 (x,y ) = (gewicht 2 (x,y ) = (gewicht i (x 1 2 i 20 i 1 2,y 20 de ste de ) = (gewicht 20 slak, voetoppervlak 1 slak, voetoppervlak 2 slak, voetoppervlak i ste de ste de slak) slak) slak) slak, voetoppervlak 20 ste slak) Grafisch bepaalt elk koppel een punt in het vlak. Als je voor deze 20 slakken de bijhorende punten uitzet op een xy-diagram, dan krijg je een puntenwolk. Zo een puntenwolk is de klassieke manier om bivariate continue gegevens grafisch voor te stellen. In plaats van een puntenwolk spreekt men ook wel eens van een spreidingsdiagram Voetoppervlak C ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 C1 Gewicht Uit deze puntenwolk kan je aflezen dat, over het algemeen, slakken met een hoger gewicht, ook een groter voetoppervlak hebben. Oefening 2 Kan je al de punten terugvinden op de puntenwolk? Als je het aantal bolletjes op de grafiek telt, dan tel je er maar 19 terwijl we toch 20 koppels van gegevens hadden. Hoe verklaar je dit? Centrum voor Statistiek 3

7 Oefening 3 De onderstaande grafiek stelt een puntenwolk voor. Construeer de bijhorende dataset uit deze puntenwolk, als je weet dat elk punt slechts één koppel voorstelt. 4 x y 3 y x Teken nu zelf de puntenwolk voor de onderstaande hypothetische dataset. x y y x Oefening 4 Ronald Reagan won de Amerikaanse presidentsverkiezingen in 1980 en daarna weer in Onderstaande puntenwolk laat de samenhang zien tussen het percentage algemene stemmen dat bij de verkiezingen in 1980 en 1984 behaald werd door de Democratische kandidaat voor het presidentschap. Elk punt van de puntenwolk representeert één enkele staat van de Verenigde Staten. Centrum voor Statistiek 4

8 Percentage stemmen in Percentage stemmen in 1980 Welk punt komt overeen met de staat met het laagste percentage democratische stemmen in 1980? Heeft deze staat ook het laagste percentage democratische stemmen in 1984? Welk punt komt overeen met de staat met het hoogste percentage democratische stemmen in 1980? Heeft deze staat ook het hoogste percentage democratische stemmen in 1984? Duid de volgende staten aan op de puntenwolk: Staat Percentage 1980 Percentage 1984 Alaska Georgia Welk van de volgende uitspraken is waar (bekeken als een globale trend ): - Hoe hoger het percentage democratische stemmen in 1980, hoe lager het percentage democratische stemmen in Hoe hoger het percentage democratische stemmen in 1980, hoe hoger het percentage democratische stemmen in 1984 Centrum voor Statistiek 5

9 Oefening 5 (tekenen van een puntenwolk met de TI-83Plus) Bij een keuring van de militaire dienst werden 10 jongens aan een medisch onderzoek onderworpen. Van elke jongen werd de lengte (in cm) en zijn schoenmaat gemeten. Lengte Schoenmaat Teken de puntenwolk met behulp van je grafische rekentoestel. Hiervoor ga je als volgt te werk: - Plaats de lengtes van de jongens in de lijst L1 en de bijhorende schoenmaten in L2. - Druk op <2nd><STATPLOT> en definieer je plot. Kies het eerste type grafiek. - Druk op <ZOOM> 9: ZoomStat voor een aangepast assenstelsel. De puntenwolk verschijnt op je scherm. We vatten alles nog eens samen: We stellen de continue bivariate gegevens voor door koppels (x,y). Om aan te geven over welk koppel het juist gaat, geven we een index mee: (x,y ) i i = (x coördinaat i de gegeven, y coördinaat i de gegeven ) We stellen onze bivariate gegevens grafisch voor m.b.v een puntenwolk of spreidingsdiagram. Centrum voor Statistiek 6

10 Hoofdstuk 2: lineaire samenhang tussen bivariate continue gegevens 2.1 Ellipsvormige puntenwolken Een belangrijk kenmerk bij puntenwolken is de globale vorm. Op basis hiervan kan je een onderscheid maken tussen twee soorten puntenwolken: puntenwolken waarbij de globale vorm ruwweg ellipsvormig is, en andere. Voorbeelden De globale vorm van deze puntenwolk is duidelijk ellipsvormig. De grote meerderheid van de punten valt binnen een ellips, zonder een verder uitgesproken patroon. Deze puntenwolk geeft een heel andere indruk dan de vorige. De globale vorm is niet meer ellipsvormig, maar lijkt meer op een parabool. Centrum voor Statistiek 7

11 Oefening 6 Welke van de onderstaande puntenwolken heeft als globale vorm een ellipsvorm? (a) (b) (c) (d) Wanneer de globale vorm van de puntenwolk ellipsvormig is, dan wijst dit op een lineaire samenhang tussen de twee veranderlijken. In een volgende stap gaan we op zoek naar de sterkte en de zin van deze lineaire samenhang. 2.2 Bespreken van de lineaire samenhang Je zag daarnet dat een ellipsvormige puntenwolk wijst op een lineaire samenhang tussen de twee veranderlijken. Wanneer er een lineaire samenhang is tussen twee veranderlijken, dan kan je dit ook grafisch weergeven door middel van een rechte met een welbepaalde vergelijking. De rechte die de ellipsvormige puntenwolk het beste samenvat noemen we de typische rechte. Centrum voor Statistiek 8

12 De verspreiding van de punten rond die rechte kan van geval tot geval nogal verschillen. De studie van de verspreiding van de punten rond een typische rechte krijgt de naam van studie van de lineaire samenhang. In deze paragraaf leer je eigenschappen over de sterkte en de zin van de lineaire samenhang tussen de twee veranderlijken afleiden uit de puntenwolk en de bijhorende typische rechte. Als afsluiter stellen we de vergelijking van de typische rechte op De zin en de sterkte van de lineaire samenhang We bekijken eerst de zin van de lineaire samenhang. Hier onderscheid je twee gevallen: positief lineaire samenhang en negatief lineaire samenhang. We voeren beide begrippen in aan de hand van enkele voorbeelden. Voorbeeld We hernemen opnieuw ons voorbeeld van de Zuid-Afrikaanse slakken. Je had de volgende puntenwolk: 40 Voetoppervlak C ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Gewicht C1 0,6 0,7 0,8 0,9 Als je de globale vorm van de puntenwolk bekijkt, dan zie je dat je de puntenwolk kan omschrijven m.b.v een smalle ellips. We hebben dus een ellipsvormige puntenwolk. Doorloop je de puntenwolk van links naar rechts, dan zie je dat als het gewicht van de slak toeneemt, ook het voetoppervlak toeneemt. We spreken dan van een positief lineaire samenhang. We spreken van een positief lineaire samenhang tussen twee veranderlijken, indien de ellipsvormige puntenwolk van links onder naar rechts boven gaat. Grote (kleine) waarden van de ene veranderlijke komen overeen met grote (kleine) waarden van de andere veranderlijke. Centrum voor Statistiek 9

13 Voorbeeld Een studie over de cognitieve ontwikkeling van jonge kinderen registreerde voor ieder van 19 kinderen de leeftijd (in maanden) waarop het eerste woord werd gesproken en de score van de Gesell Aanpassingstoets die veel later werd afgenomen. De puntenwolk ziet er als volgt uit: score leeftijd Als je de globale vorm van de puntenwolk bekijkt, dan zie je dat je ook hier een ellipsvorm hebt. Doorloop je de puntenwolk van links naar rechts, dan zie je dat hoe ouder het kind is wanneer het zijn eerste woord zegt, hoe lager de score op de Gesell Aanpassingstoets. We spreken dan van een negatief lineaire samenhang. We spreken van een negatief lineaire samenhang tussen twee veranderlijken, indien de ellipsvormige puntenwolk van links boven naar rechts onder gaat. Kleine (grote) waarden van de ene veranderlijke komen overeen met grote (kleine) waarden van de andere veranderlijke. Centrum voor Statistiek 10

14 Oefening 7 Geef van de onderstaande puntenwolken de zin van de samenhang. Leg ook in woorden de betekenis van deze samenhang uit. Lengte kinderen (in centimeter) Leeftijd kinderen (in maanden) Snelheid van de stofwisseling Tijd nodig om een nieuwe tekstverwerker onder de knie te krijgen (in uren) Vetloos lichaamsgewicht Typsnelheid (in woorden per minuut) Je weet nu al welke zin de samenhang tussen je twee veranderlijken kan hebben, de vraag die nu nog rest is hoe sterk deze samenhang is. Om een Centrum voor Statistiek 11

15 idee te hebben van de sterkte van de lineaire samenhang, kan je kijken naar de manier waarop de punten van je puntenwolk als groep aansluiten bij de typische rechte. Hoe je deze typische recht vindt, leer je in de volgende paragraaf. Voorbeeld We bekijken opnieuw onze puntenwolk van het gewicht en het voetoppervlak van de Zuid-Afrikaanse slakken. In de puntenwolk is ook de typische rechte getekend. Voetoppervlak Gewicht Op de puntenwolk zie je dat de punten sterk aansluiten bij de typische rechte. In dit geval spreken we van een sterke (positief) lineaire samenhang. Voorbeeld We bekijken opnieuw de studie van de cognitieve ontwikkeling van jonge kinderen. Op de volgende bladzijde vind je de puntenwolk en de bijhorende typisch rechte. Centrum voor Statistiek 12

16 Score Leeftijd Vergelijk je dit voorbeeld met het vorige, dan zie je hier duidelijk dat de punten van de puntenwolk minder dicht bij de typische rechte aansluiten. Er zit wat meer spreiding op. In dit geval spreken we van een matige (negatief) lineaire samenhang. Voorbeeld De onderstaande puntenwolk geeft de samenhang weer tussen de lengtes van twee partners. Lengte van de man Lengte van de vrouw Bij deze puntenwolk liggen de punten ver uit elkaar. We spreken dan van een zwakke lineaire samenhang. Centrum voor Statistiek 13

17 Voor de sterkte van de lineaire samenhang kunnen we ruwweg drie categorieën onderscheiden: Als de punten van de puntenwolk sterk bij de typische rechte aansluiten, dan is de lineaire samenhang sterk. Wanneer er wat meer spreiding aanwezig is, dan is de lineaire samenhang matig. Wanneer de punten ver uit elkaar liggen, dan is de lineaire samenhang zwak. Oefening 8 Aan de puntenwolken van oefening 7 zijn nu ook de typische rechten toegevoegd. Bespreek de sterkte van de samenhang. Lengte kinderen (in centimeter).... Leeftijd kinderen (in maanden) Snelheid van de stofwisseling Vetloze lichaamsgewicht Centrum voor Statistiek 14

18 Tijd nodig om een nieuwe tekstverwerker onder de knie te krijgen (in uren) Typsnelheid (in woorden per minuut) De typische rechte Wanneer je de samenhang tussen twee continue veranderlijken grafisch wilt voorstellen, dan doe je dit met een puntenwolk. Je bestudeert dan eerst de globale vorm van de puntenwolk. Is die ellipsvormig, dan weet je dat er een lineaire samenhang bestaat waarvan je de zin en de sterkte kan bepalen. We kunnen dit lineair verband ook grafisch weergeven door middel van een rechte. De rechte die de ellipsvormige puntenwolk het beste samenvat noemen we de typische rechte, en wordt beschreven door de volgende vergelijking: bij postief bij negatief y - y lineaire samenhang : s y - y lineaire samenhang : s y y x x = of s x x x = s x y = s s y x s of y = s (x x) + y y x (x x) + y Voorbeeld Gewicht Voetoppervlak Gewicht Voetoppervlak (in kg) (in mm²) (in kg) (in mm²) Centrum voor Statistiek 15

19 Voor het gewicht (x) en het voetoppervlak (y) van de slakken vind je de volgende gegevens: x = 0.25 en s y = en s x = 0.27 y = Je weet al dat er een positieve samenhang is tussen beide veranderlijken. De y - y x - x vergelijking van de typische rechte = wordt dus s y s x y x = wat ook kan geschreven worden als: Oefening y = (x 0.25) Onderstaande tabel geeft voor de 20 grootste banken van de V.S de totale activa (in miljarden dollars) en de netto inkomsten (in miljoenen dollars) van het jaar Activa Inkomsten Activa Inkomsten Geef de gegevens in op je rekentoestel. In de lijst L1 zet je de activa, en in de lijst L2 de inkomsten. Teken de puntenwolk met behulp van je grafisch rekentoestel. Beschrijf de globale vorm van de puntenwolk. Wat kan je hieruit reeds afleiden? Centrum voor Statistiek 16

20 Bepaal de vergelijking van de typische rechte. Teken daarna deze rechte door je puntenwolk. Wat kan je nu zeggen over de samenhang tussen de activa en de netto inkomsten van deze banken in Is de samenhang sterk of zwak? Oefening 10 De spiermassa van een persoon neemt af met zijn leeftijd. Om deze samenhang te onderzoeken bij vrouwen, selecteerde een voedingsdeskundige 16 vrouwen en bepaalde hun spiermassa. De gegevens zijn samengevat in de onderstaande tabel: Leeftijd Spiermassa Leeftijd Spiermassa Geef de gegevens in op je rekentoestel en teken de puntenwolk. Bespreek de globale vorm van de puntenwolk. Bepaal vervolgens de vergelijking van de typische rechte en teken deze rechte door je puntenwolk. Wat kan je nu zeggen over de samenhang tussen de leeftijd van de vrouw en haar spiermassa? Centrum voor Statistiek 17

21 Hoofdstuk 3: de lineaire samenhang meten 3.1 De puntenwolk in een gestandaardiseerd assenstelsel In het vorig hoofdstuk heb je geleerd hoe je aan de hand van een puntenwolk een uitspraak kan doen over de samenhang tussen twee veranderlijken. Nu gaan we op zoek naar een getal dat deze samenhang in cijfers uitdrukt. Hiervoor moeten we echter eerst met een nieuwe meetlat leren meten. Voorbeeld Bekijken we opnieuw ons voorbeeld van de Zuid-Afrikaanse slakken. Gewicht Voetoppervlak Gewicht Voetoppervlak (in kg) (in mm²) (in kg) (in mm²) Voor het gewicht (x) en het voetoppervlak (y) van onze slakken had je de volgende kengetallen gevonden: x = 0.25 en s y = en s x = 0.27 y = Bij de x-waarden meet je de afstand tussen een waarde x i en het gemiddelde x in standaardafwijkingen. Zo kan je zeggen dat x 1 ongeveer 1.44 s x van x verwijderd is, want: x1 x = = s x Voor de y-waarden kan je op dezelfde manier te werk gaan: y 1 is ongeveer 1.29 s y van y verwijderd want: y1 y = = s y Centrum voor Statistiek 18

22 Vanaf nu kijk je niet meer naar de oorspronkelijke gegevens, maar vervang je elk getal door een gestandaardiseerd getal dat zegt hoe ver het oorspronkelijke getal verwijderd is van het gemiddelde, en in welke richting. Hiervoor gebruik je als meeteenheid de standaardafwijking, en houd je ook rekening met het teken. Doe dit nu voor alle koppels (x i,y i ) en op die manier worden al deze koppels getransformeerd naar koppel van de vorm: xi x yi y (, ) s s x Met deze transformatie stappen we over op een nieuw assenstelsel. De verticale as verschuift naar de rechte x= x en de horizontale as naar de rechte y= y.de oorsprong van je nieuwe assenstelsel ligt dus in het punt ( x, y ) en de eenheden op de nieuwe x-as en y-as komen overeen met de standaardafwijkingen van de oorspronkelijke variabelen. Op de onderstaande figuur zie je in stippellijn hoe bij het voorbeeld van de slakken het nieuwe assenstelsel eruit zal zien. y voetoppervlak ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 gewicht 0,6 0,7 0,8 0,9 Centrum voor Statistiek 19

23 Oefening 11 Onderstaande tabel geeft voor de 20 grootste banken van de V.S de totale activa (in miljarden dollars) en de netto inkomsten (in miljoenen dollars) van het jaar Activa (x) Inkomsten (y) xi x s x yi y s y Zet de gegevens om in gestandaardiseerde gegevens, en teken opnieuw het spreidingsdiagram op je grafisch rekentoestel. Geef de vergelijking voor de typische rechte in op je rekentoestel, en laat deze rechte bijtekenen op je puntenwolk. Wat zie je? Met welke rechte valt de typische rechte samen? Centrum voor Statistiek 20

24 Vul de onderstaande eigenschap verder aan: Wanneer de samenhang.. is, dan valt bij een gestandaardiseerde puntenwolk de typische rechte samen met Het nieuwe assenstelsel verdeelt het vlak in vier delen of kwadranten. Het eerste kwadrant vind je rechtsboven, het tweede linksboven, het derde linksonder en het vierde rechtsonder. Wat kan je zeggen over de verdeling van de punten over de vier kwadranten? In welk kwadrant liggen het meeste punten? Waar het minste? Oefening 12 In de onderstaande tabel staat het dagelijks koffie- en theegebruik van 10 huishoudens, uitgedrukt in deciliter. Koffie (x) Thee (y) xi x s x yi y s y Zet de gegevens om in gestandaardiseerde gegevens, en teken het spreidingsdiagram op je grafisch rekentoestel. Geef de vergelijking voor de typische rechte in op je rekentoestel, en laat deze rechte bijtekenen op je puntenwolk. Wat zie je? Met welke rechte valt de typische rechte samen? Centrum voor Statistiek 21

25 Vul nu de onderstaande eigenschap verder aan: Wanneer de samenhang.. is, dan valt bij een gestandaardiseerde puntenwolk de typische rechte samen met Wat kan je zeggen over de verdeling van de punten over de vier kwadranten? In welk kwadrant liggen de meeste punten? Waar de minste? 3.2 De correlatiecoëfficiënt Als je de onderstaande twee puntenwolken bekijkt, dan zie je dat er in beide gevallen een positieve samenhang is, maar dat bij de linkse figuur de samenhang sterker is dan bij de rechtse figuur. Om de sterkte van de lineaire samenhang uit te drukken in een getal, gebruiken we de correlatiecoëfficiënt. In het volgende voorbeeld leer je hoe je dit getal berekent. Voetoppervlak Lengte van de man Gewicht Lengte van van de de vrouw Centrum voor Statistiek 22

26 Voorbeeld We werken nog steeds met de gegevens van de Zuid-Afrikaanse slakken. In een eerste stap zet je de gegevens om in gestandaardiseerde gegevens. Daarna bereken je voor elk punt het product van zijn gestandaardiseerde coördinaten. Gewicht (in kg) Voetoppervlak (in mm²) xi x s x yi y s y xi x yi y ( )x( ) s s x y Uit deze producten kan je al heel wat informatie over je puntenwolk halen: Is een product positief, dan weet je dat dit afkomstig is van een punt dat twee coördinaten met hetzelfde teken heeft. Dit punt ligt dus in het eerste of het derde kwadrant. Heb je overwegend positieve producten, dan liggen dus de meeste punten in het eerste of het derde kwadrant. Is een product negatief, dan weet je dat dit afkomstig is van een punt dat twee coördinaten met verschillend teken heeft. Dit punt ligt dus in het tweede of het vierde kwadrant. Heb je overwegend negatieve producten, dan liggen dus de meeste punten in het tweede of het vierde kwadrant. Bij dit voorbeeld zijn de meeste producten positief wat wil zeggen dat de grote meerderheid van de punten in het eerste of het derde kwadrant ligt. (Voor controle kan je altijd eens terugkijken naar de puntenwolk op blz 21) Centrum voor Statistiek 23

27 De correlatiecoëfficiënt (genoteerd met de letter r) is nu gelijk aan de som van al deze producten, gedeeld door het aantal gegevens min één. In symbolen: n 1 xi x yi y r = ( ) ( ) n 1 s s i = 1 x y Bij onze slakken vind je dan een correlatiecoëfficiënt r = De correlatiecoëfficiënt voor bivariate gegevens, bereken je als volgt: r = 1 n 1 n i = 1 xi x yi y ( ) ( ) s s x y Wat zegt dit getal nu over de sterkte en de zin van de samenhang tussen de twee veranderlijken? De correlatiecoëfficiënt heeft de volgende eigenschappen: - de correlatiecoëfficiënt is een eenheidsloos getal - de correlatiecoëfficiënt ligt altijd tussen 1 en +1 - de correlatiecoëfficiënt is positief wanneer de zin van de lineaire samenhang positief is, en negatief wanneer de zin van de lineaire samenhang negatief is - bij een perfect positieve lineaire samenhang is de correlatiecoëfficiënt gelijk aan +1 - bij een perfect negatieve lineaire samenhang is de correlatiecoëfficiënt gelijk aan 1 - een correlatiecoëfficiënt die gelijk is aan nul wijst op het ontbreken van een lineaire samenhang - de correlatiecoëfficiënt is symmetrisch: de lineaire samenhang tussen y en x is dezelfde als de lineaire samenhang tussen x en y. Bij het voorbeeld van de slakken vond je een correlatiecoëfficiënt van Dit wil zeggen dat er een sterke positieve samenhang bestaat tussen het gewicht van een slak en zijn voetoppervlak. Centrum voor Statistiek 24

28 Je kan de eigenschappen van de correlatiecoëfficiënt samenvatten in de volgende figuur: negatief lineaire samenhang positief lineaire samenhang perfect sterk matig zwak geen zwak matig sterk perfect Oefening 13 Aan 24 koppels werd gevraagd wat hun leeftijd was toen ze met elkaar trouwden. Bereken de correlatiecoëfficiënt en teken de gestandaardiseerde puntenwolk. Wat kan je besluiten over de samenhang tussen de leeftijd van de man en de leeftijd van de vrouw op hun huwelijksdag? Leeftijd man Leeftijd vrouw xi x s x yi y s y xi x yi y ( )x( ) s s x y Centrum voor Statistiek 25

29 . Je kan de correlatiecoëfficiënt ook rechtstreeks met je grafisch rekentoestel berekenen. Hiervoor ga je als volgt te werk: - Sla de oorspronkelijke gegevens op in 2 lijsten (bijvoorbeeld in L1 de leeftijd van de man en in L2 de leeftijd van de vrouw) - Druk op <STAT> en kies voor CALC: 4 LinReg(ax+b) - Vervolledig het commando door achter LinReg(ax+b) de twee lijsten te typen waarin je de gegevens hebt opgeslagen. - Druk op ENTER. Je vindt de correlatiecoëfficiënt op de laatste regel. Opmerking: indien je als laatste regel op je scherm r² hebt staan in plaats van r, dan wil dit zeggen dat de instructie DiagnosticOn niet geactiveerd is op je rekentoestel. Dit doe je als volgt: - Druk op <2nd> <CATALOG> - Ga met het pijltje tot bij DiagnosticOn en druk op ENTER. Je komt dan terug bij het beginscherm. - Druk op ENTER om te activeren. Oefening 14 Surf naar de website en klik daar op de link naar het lesmateriaal. Bij de teksten over correlatie vind je het programma ScatSim. Download dit op je grafisch rekentoestel. Het programma simuleert willekeurige puntenwolken van 20 gegevens, en berekent de bijhorende correlatiecoëfficiënt. Centrum voor Statistiek 26

30 Teken nu met behulp van dit programma 10 willekeurige puntenwolken, raad hun correlatiecoëfficiënt, en vergelijk daarna met de echte waarde. Wat kan je besluiten? Gok Werkelijke waarde Oefening 15 Beschouw vier fictieve datasets, elk bestaande uit vier koppels van gegevens. Dataset 1 Dataset 2 Dataset 3 Dataset 4 x y x y x y x y Los nu ZONDER rekenmachine de volgende vragen op. Welke dataset heeft duidelijk een positieve correlatiecoëfficiënt? Waarom? Welke dataset heeft duidelijk een negatieve correlatiecoëfficiënt? Waarom? Centrum voor Statistiek 27

31 Oefening 16 (eigenschappen van de correlatiecoëfficiënt) We bekijken opnieuw een fictieve dataset. x y Geef de dataset in op je rekentoestel, en bereken de correlatiecoëfficiënt. Vermenigvuldig alle x-waarden met twee, en bereken opnieuw de correlatiecoëfficiënt. Wat zie je? Tel nu bij de x-waarden overal 5 op, en bereken opnieuw de correlatiecoëfficiënt. Wat zie je? Vermenigvuldig alle x-waarden met -10, en bereken opnieuw de correlatiecoëfficiënt. Wat zie je? Vervolledig nu de volgende eigenschap: De absolute waarde van de correlatiecoëfficiënt.. Kan je ook dezelfde eigenschap voor de y-waardes afleiden? Onderzoek dit m.b.v de gegeven dataset. Centrum voor Statistiek 28

32 Intermezzo: het belang van standaardiseren Rechtstreeks op een figuur schatten hoe sterk de lineaire samenhang is, is niet zo eenvoudig. Daarom bepalen we naast de (gestandaardiseerde) puntenwolk ook de correlatiecoëfficiënt. Maar waarom een gestandaardiseerde puntenwolk? We verduidelijken dit aan de hand van de volgende oefening. Oefening 17 Is er een samenhang te ontdekken tussen de lengte en de breedte van bloemblaadjes, en verschilt deze samenhang naargelang het soort bloem? Om dit na te gaan deed men het volgende experiment. Van 4 verschillende bloemsoorten werden heel veel bloembladeren verzameld, en die werden bewaard in vier verschillende dozen. Aan vier leerlingen, Seppe, Kato, Robbe, en Lotte werd gevraagd om één welbepaalde doos uit te kiezen, en uit die doos lukraak 20 bloemblaadjes te nemen. Zij moesten dan met gestandaardiseerde meetapparatuur nauwkeurig de lengte en de breedte van elk blaadje bepalen en in een tabel opschrijven. Op die manier bekwamen zij elk 20 koppels van getallen (x i,y i ), waarbij x i = breedte van het i-de bloemblad, en y i = lengte van het i-de bloemblad. Lotte Robbe Kato Seppe x i y i x i y i x i y i x i y i Om hun resultaten te vergelijken besluiten Seppe, Kato, Robbe en Lotte de vier puntenwolken op eenzelfde schaalverdeling te tekenen. Op die manier kunnen ze de grafieken op elkaar leggen en vergelijken. Centrum voor Statistiek 29

33 Teken de puntenwolken op je grafisch rekentoestel, maar gebruik telkens de volgende vensterinstellingen: Xmin=0, Xmax=45, Xscl=5,Ymin=0,Ymax=45 en Yscl=5. Welke puntenwolk hoort nu bij wie? Centrum voor Statistiek 30

34 Vergelijk nu deze puntenwolken met elkaar. Welke samenhang hebben Robbe, Lotte, Kato en Seppe volgens deze puntenwolken gevonden? Bereken nu voor ieder de bijhorende correlatiecoëfficiënt. Wat kan je nu besluiten over de samenhang tussen de lengte en de breedte van een bloemblaadje bij de vier leerlingen? Had je dit verwacht? Teken op je rekentoestel de vier puntenwolken opnieuw, maar nu op een gestandaardiseerde manier. Wat zie je nu? Wat kan je hieruit besluiten? Vanaf nu heb je alle middelen om de lineaire samenhang tussen bivariate continue gegevens te onderzoeken. Je hebt geleerd om de bivariate gegevens grafisch voor te stellen in een puntenwolk. Is deze puntenwolk ellipsvormig, dan weet je al dat er een lineaire samenhang zal zijn, en kan je op zoek gaan naar de zin en de sterkte van deze samenhang. Na het tekenen van de puntenwolk, bereken je de correlatiecoëfficiënt. Deze drukt in een getal uit hoe sterk de samenhang is. Wil je van meerdere bivariate datasets de samenhang vergelijken, dan teken je best de puntenwolken van de gestandaardiseerde gegevens. Deze transformaties hebben immers geen invloed op de correlatiecoëfficiënt, maar maken het wel eenvoudiger om de datasets te vergelijken. In het volgende hoofdstuk vind je een aantal opdrachten waarin je alles van de vorige hoofdstukken toepast. Centrum voor Statistiek 31

35 Hoofdstuk 4: toepassingen 4.1 Bestaat er een lineair verband tussen de lengte van een vrouw en de lengte van haar partner? Via een algemene werd binnen het Centrum voor Statistiek van het Limburgs Universitair Centrum de vraag gelanceerd om de lengte van zichzelf en zijn of haar partner door te mailen. Indien mogelijk mocht ook de lengte van de ouders of van de broers of zussen en hun partners doorg d worden. In totaal werd van 44 koppels de lengte verzameld. In de onderstaande dataset vind je van deze 44 koppels de lengte van de vrouw en de lengte van de man. Klopt het dat vrouwen vooral vallen op mannen die groter zijn? Of bestaat er helemaal geen samenhang tussen de lengte van de vrouw en de lengte van de man? Lengte vrouw (in m) Lengte man (in m) Lengte vrouw (in m) Lengte man (in m) Geef de gegevens in op je grafisch rekentoestel. De lengte van de vrouwen plaats je in de lijst L1, en de overeenkomstige lengte van de mannen in L2. Teken de puntenwolk. Wat plaats je op de x-as en wat op de y-as? Centrum voor Statistiek 32

36 De puntenwolk die op je rekenmachine verschijnt, ziet er als volgt uit: Lengte van de man (in m) Lengte van de vrouw (in m) Voor meerdimensionale gegevens is de studie van uitschieters ingewikkeld. Voor de eenvoud kijken we in deze tekst enkel naar uitschieters bij de afzonderlijke veranderlijken. In de puntenwolk van ons voorbeeld vallen de twee punten bovenaan onmiddellijk op. Deze stellen twee koppels voor, waarbij de man een lengte heeft boven de 2 meter. Twee mannen van de 44 hebben dus een lengte boven de 2 meter. Je kan jezelf nu afvragen of dit representatief is voor de populatie van alle mannen. Indien de lengtes van deze mannen uitschieters zijn, dan zullen deze een invloed hebben op de verdere analyse van onze bivariate gegevens. Je onderzoekt daarom eerste de lengte van de vrouwen en van de mannen afzonderlijk op eventuele uitschieters. Hiervoor teken je voor beide een boxplot. Met behulp van je grafisch rekentoestel kan je een boxplot tekenen waarbij de uitschieters als aparte punten worden aangegeven. Teken de boxplot van de lengtes van de 44 vrouwen en onderzoek waar er eventueel uitschieters zitten. Teken eveneens de boxplot van de lengtes van de 44 mannen en onderzoek ook hier of er eventueel uitschieters zijn. Centrum voor Statistiek 33

37 Zoek op in je dataset met welke koppels de eventuele uitschieters overeenkomen, en duid deze punten aan op de puntenwolk. Eventuele uitschieters in onze dataset vereisen een aparte studie. Laat de uitschieters nu weg uit je gegevens, en teken opnieuw de puntenwolk. Bespreek de vorm van de verkregen puntenwolk. Is er een lineair verband merkbaar tussen de lengte van een vrouw een haar partner? Zo ja, leid dan eveneens de vergelijking van de typische rechte af. Teken de puntenwolk en de bijhorende typische rechte in een gestandaardiseerd assenstelsel en bereken de correlatiecoëfficiënt. Wat kan je nu besluiten over de samenhang tussen de lengte van een vrouw en haar partner. Op je rekenmachine kan je de lijsten gegevens eenvoudig omzetten naar lijsten gestandaardiseerde gegevens door de volgende commando s: (L1 mean(l1))/stddev(l1) -> L1 (L2 mean(l2))/stddev(l2) -> L2 Centrum voor Statistiek 34

38 Spreek met een aantal klassen af dat iedereen de lengte van zijn mama en papa meebrengt. Zorg ervoor dat je een dataset krijgt met de lengtes van 50 verschillende koppels (man en vrouw). Schrijf deze gegevens neer in de onderstaande tabel: Lengte vrouw (in m) Lengte man (in m) Lengte vrouw (in m) Lengte man (in m) Los nu al de vragen van deze opdracht opnieuw op, maar nu met de gegevens die jullie zelf verzameld hebben. Vergelijk op het einde de twee gestandaardiseerde puntenwolken en de correlatiecoëfficiënten. Denk je dat de correlatie terug dezelfde zal zijn? Waarom wel of niet? (Tip: wanneer mag je de eigenschappen van een steekproef veralgemenen? Aan welke voorwaarde moest er dan voldaan zijn? ) Centrum voor Statistiek 35

39 4.2 Het effect van alcoholisme op de sterkte van de spieren Een overdadig gebruik van alcohol heeft invloed op de sterkte van de spieren. In een onderzoek uit 1989 werd van 50 mannelijke patiënten met een alcoholprobleem de sterkte van de deltoid spier (situeert zich in de schouder) in de niet dominante arm gemeten. De patiënten dronken vooral bier, wijn en brandy. Hun dagelijkse hoeveelheid alcohol varieerde van 118 tot 350g, met een gemiddelde van 243g gedurende een periode van gemiddeld 16 jaar. De 50 patiënten werden willekeurig geselecteerd en van elke patiënt werd de spiersterkte (in kg) en de totale dosis alcohol die ze gedurende hun leven geconsumeerd hadden (in kg per kg lichaamsgewicht), opgemeten. Je vindt de gegevens terug in de volgende tabel. Persoon Hoeveelheid alcohol (in kg per kg lichaamsgewicht) Sterkte van de spier Persoon Hoeveelheid alcohol (in kg per kg lichaamsgewicht) Sterkte van de spier (in kg) (in kg) Stel de gegevens voor door een puntenwolk. Bestaat er een lineair verband tussen de hoeveelheid geconsumeerde alcohol en de sterkte van de spier? Zo ja, leid de vergelijking van de typische rechte af. Centrum voor Statistiek 36

40 Teken de puntenwolk en de bijhorende typische rechte in een gestandaardiseerd assenstelsel en bereken de correlatiecoëfficiënt. Welk besluit kan je trekken over de samenhang tussen de hoeveelheid geconsumeerde alcohol en de sterkte van de deltoid spier? Centrum voor Statistiek 37

41 4.3 Een onderzoek op de werkvloer In een bedrijf onderzocht men of er een samenhang bestaat tussen de leeftijd van de werknemer en het aantal uren dat hij/zij werkt per week. In totaal namen 22 mannen en 17 vrouwen deel aan het onderzoek. Geslacht Gewerkte Leeftijd Geslacht Gewerkte Leeftijd uren uren Man Man Man Man Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Onderzoek de dataset op eventuele uitschieters. Indien er uitschieters zijn, dan laat je deze voor de rest van de oefening weg uit je dataset. Geef de gegevens in op je grafisch rekentoestel en teken de puntenwolk. Zorg ervoor dat je eventuele uitschieters weglaat! Centrum voor Statistiek 38

42 Wat plaats je op de x-as en wat op de y-as? Je hoeft hier nog geen onderscheid te maken tussen de mannen en de vrouwen. Bespreek de vorm van de verkregen puntenwolk. Is er een lineair verband merkbaar tussen het aantal gewerkte uren en de leeftijd van de werknemers? Zo ja, leidt dan eveneens de vergelijking van de typische rechte af. Teken de puntenwolk en de bijhorende typische rechte in een gestandaardiseerd assenstelsel en bereken de correlatiecoëfficiënt. Wat kan je nu besluiten over de samenhang tussen het aantal gewerkte uren per week en de leeftijd van de werknemers? Teken nu opnieuw de gestandaardiseerde puntenwolk, maar nu voor de jongens en de meisjes apart. Bereken eveneens de bijhorende correlatiecoëfficiënt. Bespreek de gevonden resultaten. Centrum voor Statistiek 39

43 4.4 Zelf op speurtocht Maak groepjes van drie of vier personen. Kies één onderwerp, en los stapsgewijs de onderstaande opdrachten op. Vat je conclusies samen in een kort eindrapport van maximaal 3 bladzijdes. Geef per groep één verslag af aan de leerkracht. Onderwerp 1: had Da Vinci gelijk? Volgens Da Vinci is de lengte van een volwassen persoon gelijk aan de spanwijdte van zijn/haar volledig uitgestrekte armen. Onderwerp 2: tijdens de turnles Loop zo snel mogelijk 10 meter, en tel onmiddellijk gedurende één minuut je hartslag. Wacht 30 seconden en tel dan opnieuw gedurende één minuut je hartslag. Welke samenhang vind je? Onderwerp 3: zakgeld Is er een samenhang tussen de hoeveelheid zakgeld dat je maandelijks (of wekelijks) krijgt, en het budget dat je spendeert aan je GSM? De opdrachten: Verzamel voor het gekozen onderwerp 30 gegevens bij verschillende bronnen en schrijf de gegevens neer in een tabel. - Teken de puntenwolk en bespreek de vorm. Welk soort lineair verband bestaat er tussen de gekozen veranderlijken? Bepaal eveneens de vergelijking van de typische rechte. - Teken de gestandaardiseerde puntenwolk en bereken de correlatiecoëfficiënt. Welke samenhang bestaat er tussen de gekozen veranderlijken? Is deze samenhang positief of negatief? Sterk of zwak? Centrum voor Statistiek 40

Statistische Intelligentie

Statistische Intelligentie Statistische Intelligentie De samenhang ontdekken Exploratie van bivariaat cijfermateriaal Deel 1. Correlatie a. Herman Callaert Dankwoord Een bijzonder woord van dank gaat naar de leden van de stuurgroep

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

Beschrijvende statistiek

Beschrijvende statistiek Duur 45 minuten Overzicht Tijdens deze lesactiviteit leer je op welke manier centrum- en spreidingsmaten je helpen bij de interpretatie van statistische gegevens. Je leert ook dat grafische voorstellingen

Nadere informatie

Je kunt al: -de centrummaten en spreidingsmaten gebruiken -een spreidingsdiagram gebruiken als grafische weergave van twee variabelen

Je kunt al: -de centrummaten en spreidingsmaten gebruiken -een spreidingsdiagram gebruiken als grafische weergave van twee variabelen Lesbrief: Correlatie en Regressie Leerlingmateriaal Je leert nu: -een correlatiecoëfficient gebruiken als maat voor het statistische verband tussen beide variabelen -een regressielijn te tekenen die een

Nadere informatie

Statistische Intelligentie

Statistische Intelligentie Statistische Intelligentie De samenhang ontdekken Exploratie van bivariaat cijfermateriaal Deel 2. Kruistabellen b. Sofie Bogaerts Herman Callaert 2004, L. U. C. Diepenbeek (België), Statistische Intelligentie

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: 5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van

Nadere informatie

2.1.4 Oefenen. d. Je ziet hier twee weegschalen. Wat is het verschil tussen beide als het gaat om het aflezen van een gewicht?

2.1.4 Oefenen. d. Je ziet hier twee weegschalen. Wat is het verschil tussen beide als het gaat om het aflezen van een gewicht? 2.1.4 Oefenen Opgave 9 Bekijk de genoemde dataset GEGEVENS154LEERLINGEN. a. Hoe lang is het grootste meisje? En de grootste jongen? b. Welke lengtes komen het meeste voor? c. Is het berekenen van gemiddelden

Nadere informatie

Kerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven HAVO kan niet korter

Kerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven HAVO kan niet korter Voorbereidende opgaven HAVO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

DEEL II DOEN! - Praktische opdracht statistiek WA- 4HAVO

DEEL II DOEN! - Praktische opdracht statistiek WA- 4HAVO DEEL II DOEN! - Praktische opdracht statistiek WA- 4HAVO Leerlingmateriaal 1. Doel van de praktische opdracht Het doel van deze praktische opdracht is om de theorie uit je boek te verbinden met de data

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

2 Data en datasets verwerken

2 Data en datasets verwerken Domein Statistiek en kansrekening havo A 2 Data en datasets verwerken 1 Data presenteren 1.4 Oefenen In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs 1.4 Oefenen Opgave 9 Bekijk de genoemde dataset

Nadere informatie

Stoeien met Statistiek

Stoeien met Statistiek Stoeien met Statistiek Havo 4: Statistiek op grote datasets 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Docentenhandleiding... 5 Inleiding voor leerlingen... 6 Opdracht 1... 7 Opdracht 2... 8 Opdracht 3...

Nadere informatie

Standaardisatie en z-scores

Standaardisatie en z-scores Prof. dr. Herman Callaert Inhoudstafel 1 Standaardisatie bij concreet cijfermateriaal... 1 1.1 Een eerste voorbeeld: de punten van Pol... 1 1.1.1 De ruwe score... 1 1.1.2 Vergelijken met het klasgemiddelde...

Nadere informatie

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen....

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... HAVO 4 wiskunde A Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... 1. rekenregels en verhoudingen Ik kan breuken vermenigvuldigen en delen. Ik ken de rekenregel breuk Ik kan

Nadere informatie

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd 2007-2008 Modeloplossing Opmerking vooraf: Deze modeloplossing is een heel volledig antwoord op de gestelde vragen. Om de maximumscore op een vraag

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: 5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van

Nadere informatie

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte. Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en

Nadere informatie

Werkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram

Werkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram Werkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram Probeer zeker de opdrachten 1, 4 en 6 te maken. 1. In de tabel hieronder vind je gegevens over de borstomtrek van 5732

Nadere informatie

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf HAVO 4 wiskunde A Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf 1. rekenregels en verhoudingen Ik kan breuken vermenigvuldigen en delen. Ik ken

Nadere informatie

Niet de hoogte, wel de oppervlakte. Aandachtspunten bij. - statistische technieken voor een continue veranderlijke

Niet de hoogte, wel de oppervlakte. Aandachtspunten bij. - statistische technieken voor een continue veranderlijke Niet de hoogte, wel de oppervlakte Prof. dr. Herman Callaert Aandachtspunten bij - statistische technieken voor een continue veranderlijke - de interpretatie van een histogram - de normale dichtheidsfunctie

Nadere informatie

3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5-3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 3 = -15 Voorbeeld 4: -5 3 9 2

Nadere informatie

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14 Statistiek met Excel Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Schoolexamen Wiskunde VWO: Statistiek met grote datasets... 5 Uibreidingsopdrachten vwo 5... 6 Schoolexamen

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Frequentieverdelingen

Paragraaf 5.1 : Frequentieverdelingen Hoofdstuk 5 Beschrijvende statistiek (V4 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 5.1 : verdelingen Les 1 Allerlei diagrammen = { Hoe vaak iets voorkomt } Relatief = { In procenten } Absoluut = { Echte getallen

Nadere informatie

Statistische variabelen. formuleblad

Statistische variabelen. formuleblad Statistische variabelen formuleblad 0. voorkennis Soorten variabelen Discreet of continu Bij kwantitatieve gegevens gaat het om meetbare gegeven, zoals temperatuur, snelheid of gewicht. Bij een discrete

Nadere informatie

Grafieken. 10-13 jaar. Rekenles over het maken van grafieken. Rekenen. 60 minuten. Weerstation, data, grafieken

Grafieken. 10-13 jaar. Rekenles over het maken van grafieken. Rekenen. 60 minuten. Weerstation, data, grafieken Grafieken Rekenles over het maken van grafieken 10-13 jaar Rekenen Weerstation, data, grafieken 60 minuten Op het digitale schoolbord bekijkt de leerkracht met de klas verschillende grafieken over het

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

TIP 10: ANALYSE VAN DE CIJFERS

TIP 10: ANALYSE VAN DE CIJFERS TOETSTIP 10 oktober 2011 Bepaling wat en waarom je wilt meten Toetsopzet Materiaal Betrouw- baarheid Beoordeling Interpretatie resultaten TIP 10: ANALYSE VAN DE CIJFERS Wie les geeft, botst automatisch

Nadere informatie

Examenopgaven VMBO-GL en TL 2004

Examenopgaven VMBO-GL en TL 2004 Examenopgaven VMBO-GL en TL 2004 tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30 15.30 uur WISKUNDE CSE GL EN TL WISKUNDE VBO-MAVO-D Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

EURO. waarde dikte in mm 0,01 1,67 0,02 1,67 0,05 1,67 0,10 1,93 0,20 2,14 0,50 2,36 1,00 2,33 2,00 2,10

EURO. waarde dikte in mm 0,01 1,67 0,02 1,67 0,05 1,67 0,10 1,93 0,20 2,14 0,50 2,36 1,00 2,33 2,00 2,10 EURO Vanaf 1 januari 2002 werden de munten en bankbiljetten van twaalf Europese landen vervangen door munten en bankbiljetten in euro. In de tabel hieronder staan muntstukken met de bijbehorende diktes

Nadere informatie

De eerste stappen met de TI-Nspire 2.1 voor de derde graad

De eerste stappen met de TI-Nspire 2.1 voor de derde graad De eerste stappen met TI-Nspire 2.1 voor de derde graad. Technisch Instituut Heilig Hart, Hasselt Inleiding Ik gebruik al twee jaar de TI-Nspire CAS in de derde graad TSO in de klassen 6TIW( 8 uur wiskunde)

Nadere informatie

1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 2 1

1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 2 1 D..2. OEFENINGENREEKS 2 OEFENING Gegevens over de regenval (in cm) in South Bend (Indiana) over een periode van 30 jaar. Klasse K K f F f. 00 F. 00 n n 2,3 2, 3,7 3,7 3,4 3, 4 4,29 7,8 4, 4, 4 9 4,29 32,4,,

Nadere informatie

8. Analyseren van samenhang tussen categorische variabelen

8. Analyseren van samenhang tussen categorische variabelen 8. Analyseren van samenhang tussen categorische variabelen Er bestaat een samenhang tussen twee variabelen als de verdeling van de respons (afhankelijke) variabele verandert op het moment dat de waarde

Nadere informatie

Rekenen met de normale verdeling (met behulp van grafisch rekentoestel)

Rekenen met de normale verdeling (met behulp van grafisch rekentoestel) Rekenen met de normale verdeling (met behulp van grafisch rekentoestel) In 1947 werd in opdracht van N.V. Magazijn De Bijenkorf een statistisch onderzoek verricht naar de lichaamsafmetingen van de Nederlandse

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Formules grafieken en tabellen

Formules grafieken en tabellen Formules grafieken en tabellen Formules invoeren Met kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met C. Krijg je niet een scherm waarop Y, Y,... te zien zijn kies dan bij eerst

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Regressie: exploratieve methoden. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Regressie: exploratieve methoden. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS : exploratieve methoden Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg Inhoudstafel DEEL 1. De ideeën achter

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

2 Data en datasets verwerken

2 Data en datasets verwerken Domein Statistiek en kansrekening havo A 2 Data en datasets verwerken 3 Frequentieverdelingen typeren 3.6 Geïntegreerd oefenen In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs 3 Frequentieverdelingen

Nadere informatie

Experiment: massadichtheid

Experiment: massadichtheid Inleiding In deze workshop willen we aan de hand van een praktijkvoorbeeld voor de lessen fysica in het derde jaar aangeven hoe de TI-83 plus een handig hulpmiddel kan zijn bij het verwerken van meetresultaten.

Nadere informatie

A. Week 1: Introductie in de statistiek.

A. Week 1: Introductie in de statistiek. A. Week 1: Introductie in de statistiek. Populatie en steekproef. In dit vak leren we de basis van de statistiek. In de statistiek probeert men erachter te komen hoe we de populatie het beste kunnen observeren.

Nadere informatie

Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013 dr. Brenda Casteleyn dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2 1. Theorie Met spreiding willen we in één getal uitdrukken hoe verspreid de gegevens zijn: in hoeveel

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Werkblad Cabri Jr. Punten en coördinaten

Werkblad Cabri Jr. Punten en coördinaten Werkblad Cabri Jr. Punten en coördinaten Doel Onderzoeken van het coördinatenstelsel. Constructies 1. Tonen van de coördinaatsassen en construeren van een punt in het eerste kwadrant 1. Druk op [GRAPH]

Nadere informatie

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden. 1 Formules gebruiken Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Werken met formules Formules gebruiken Inleiding Verkennen Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

Factor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet vermenigvuldigen om een nieuwe hoeveelheid te krijgen.

Factor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet vermenigvuldigen om een nieuwe hoeveelheid te krijgen. Samenvatting door een scholier 1569 woorden 23 juni 2017 5,8 6 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Moderne wiskunde Wiskunde H1 t/m H5 Hoofdstuk 1 Factor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

2.3 Frequentieverdelingen typeren

2.3 Frequentieverdelingen typeren 2.3 Frequentieverdelingen typeren 2.3.1 Introductie Kijkend naar een datarepresentatie valt meestal al snel op hoe de verdeling van de tellingen/frequenties over de verschillende waarden eruitziet. Zitten

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 2. Donderdag 13 September 2012

Statistiek voor A.I. College 2. Donderdag 13 September 2012 Statistiek voor A.I. College 2 Donderdag 13 September 2012 1 / 42 1 Beschrijvende statistiek 2 / 42 Extrapolatie 3 / 42 Verkiezingen 2012 4 / 42 Verkiezingen 2012 5 / 42 1 Beschrijvende statistiek Vandaag:

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:

Nadere informatie

2 Data en datasets verwerken

2 Data en datasets verwerken Domein Statistiek en kansrekening havo A 2 Data en datasets verwerken 4 Twee groepen vergelijken 4.4 Oefenen In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs 4.4 Oefenen Voorbeeld Bekijk de dataset

Nadere informatie

Lesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)

Lesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG) Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem

Nadere informatie

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een

Nadere informatie

De normale verdeling

De normale verdeling De normale verdeling Les 2 De klokvorm en de normale verdeling (Deze les sluit aan bij paragraaf 8 en 9 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode) De grafische rekenmachine Vooraf

Nadere informatie

Werkbladen 3 Terugzoeken

Werkbladen 3 Terugzoeken Werkbladen Terugzoeken We keren nu de vraag om. Bij een gegeven percentage (oppervlakte zoeken we de bijbehorende grenswaarde(n. Als voorbeeld zoeken we hoe groot een Nederlandse vrouw anno 97 moest zijn

Nadere informatie

Functiewaarden en toppen

Functiewaarden en toppen Functiewaarden en toppen Formules invoeren Met [Y=] kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met [CLEAR]. Krijg je niet een scherm waarop Y1, Y2,... te zien zijn, kies dan bij

Nadere informatie

GEGEVENS154LEERLINGEN

GEGEVENS154LEERLINGEN 2.4.4 Oefenen Voorbeeld Bekijk de dataset GEGEVENS154LEERLINGEN nog een keer. Je wilt nagaan of leerlingen die wiskunde B kiezen beter waren in wiskunde in de onderbouw dan leerlingen die wiskunde A kiezen.

Nadere informatie

LOPUC. Een manier om problemen aan te pakken

LOPUC. Een manier om problemen aan te pakken LOPUC Een manier om problemen aan te pakken LOPUC Lees de opgave goed, zodat je precies weet wat er gevraagd wordt. Zoek naar grootheden en eenheden. Schrijf de gegevens die je nodig denkt te hebben overzichtelijk

Nadere informatie

Opgaven over correlatie

Opgaven over correlatie Opgaven over correlatie Polio en Frisdrank Deze tabel is het resultaat van het jarenlang verzamelen van data over hoeveel gevallen van polio in een bepaalde periode geregistreerd werden en hoeveel frisdrank

Nadere informatie

Stoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )

Stoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( ) Voorbereidende opgaven VWO Stoomcursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan

Nadere informatie

Opdrachten Toeval Opdrachten Toeval Opdracht 1.1 (Bestaat toeval) Opdracht 1.2(toeval in de natuur)

Opdrachten Toeval Opdrachten Toeval Opdracht 1.1 (Bestaat toeval) Opdracht 1.2(toeval in de natuur) Opdrachten Toeval 1 1 Opdrachten Toeval Opdracht 1.1 (Bestaat toeval) a) Bestaat toeval volgens jou? b) Wat is toeval volgens jou? c) Vraag aan je ouders of zij in hun leven ooit iets heel onwaarschijnlijks

Nadere informatie

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN

INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN INLEIDING FUNCTIES 1. COÖRDINATEN...1 2. FUNCTIES...2 3. ARGUMENT EN BEELD...3 4. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...4 5. DE FUNCTIEWAARDETABEL...5 6. DE GRAFIEK...6 7. FUNCTIES HERKENNEN...7 8. OPLOSSINGEN...9

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 18 Oktober 1 / 1 2 Statistiek Vandaag: Centrale Limietstelling Correlatie Regressie 2 / 1 Centrale Limietstelling 3 / 1 Centrale Limietstelling St. (Centrale

Nadere informatie

Algebra leren met deti-89

Algebra leren met deti-89 Algebra leren met deti-89 Werkgroep T 3 -symposium Leuven 24-25 augustus 2001 Doel Reflecteren op het leren van algebra in een computeralgebra-omgeving, en in het bijzonder op het omgaan met variabelen

Nadere informatie

6.0 Voorkennis [1] Algemeen: u n = u n-1 + u n-2 met u 0 = 1 en u 1 = 1. Bereken de 12 de term van deze rij

6.0 Voorkennis [1] Algemeen: u n = u n-1 + u n-2 met u 0 = 1 en u 1 = 1. Bereken de 12 de term van deze rij 6.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1: Gegeven is de getallenrij 1, 1, 2, 3, 5, 8, Dit is de rij van Fibonacci. Elke term is de som van de twee voorafgaande termen. Algemeen: u n = u n-1 + u n-2 met u 0 = 1 en

Nadere informatie

lengte aantal sportende broers/zussen

lengte aantal sportende broers/zussen Oefening 1 Alvorens opgenomen te worden in een speciaal begeleidingsprogramma s voor jonge talentvolle lopers, worden jonge atleten eerst onderworpen aan een aantal vragenlijsten en onderzoeken. Uit het

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Populatiemodellen en normaal verdeelde populaties 3. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg 1. Een

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8

Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8 Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8 Samenvatting door N. 1410 woorden 6 januari 2013 5,4 13 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte 7.1 toenamediagrammen Interval

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 30 mei 13.30 16.30 uur 20 01 Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen; het examen bestaat uit 19

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Overzicht statistiek 5N4p

Overzicht statistiek 5N4p Overzicht statistiek 5N4p EEB2 GGHM2012 Inhoud 1 Frequenties, absoluut en relatief... 3 1.1 Frequentietabel... 3 1.2 Absolute en relatieve frequentie... 3 1.3 Cumulatieve frequentie... 4 2 Centrum en spreiding...

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal zijn 88 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

Met de voetjes aan elkaar gebonden

Met de voetjes aan elkaar gebonden Met de voetjes aan elkaar gebonden Frauke en Freya zijn dikke vriendinnen en gaan elke zondag trouw naar de jeugdbeweging. Eén van de spelletjes van vandaag trekt onze aandacht. De vriendinnen worden aan

Nadere informatie

Inleiding tot de meettheorie

Inleiding tot de meettheorie Inleiding tot de meettheorie Meten is het toekennen van cijfers aan voorwerpen. Koeien Koeien in een kudde, studenten in een auditorium, mensen met een bepaalde stoornis, leerlingen met meer dan 15 in

Nadere informatie

Vermogen snelheid van de NXT

Vermogen snelheid van de NXT Vermogen snelheid van de NXT Inleiding In deze meting gaan we op zoek naar een duidelijk verband tussen de vermogens die je kunt instellen op de LEGO NXT en de snelheid van het standaardwagentje uit het

Nadere informatie

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e.

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e. Tips: Maak de volgende opgaven het liefst voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, werk hem dan uit tot waar je kunt en ga verder met de volgende

Nadere informatie

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 1. a. Teken in één assenstelsel de grafieken bij de formules y = 4x - 3 en y = 7 - x b. Bereken de coördinaten van het snijpunt c. Teken in hetzelfde assenstelsel de

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 havo 2001-I

Eindexamen wiskunde B1 havo 2001-I Jus d orange Een restaurant van een warenhuis bestelt een grote partij perssinaasappels voor de bereiding van verse jus d orange. De sinaasappels worden aangevoerd in volle dozen van 50 stuks. foto De

Nadere informatie

DOEN! - Praktische Opdracht Statistiek 4 Havo Wiskunde A

DOEN! - Praktische Opdracht Statistiek 4 Havo Wiskunde A DOEN! - Praktische Opdracht Statistiek 4 Havo Wiskunde A Docentenhandleiding 1. Voorwoord Doel van de praktische opdracht bij het hoofdstuk over statistiek 1 : Het doel van de praktische opdracht (PO)

Nadere informatie

waarde 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,50 1,00 2,00

waarde 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,50 1,00 2,00 EURO Vanaf 1 januari 2002 werden de munten en bankbiljetten van twaalf Europese landen vervangen door munten en bankbiljetten in euro. In de tabel hieronder staan de waarden van de euromunten aangegeven.

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879

Nadere informatie

Examencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter

Examencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan

Nadere informatie

De eerste functie bevindt zich op de toets en is in het wit aangegeven.

De eerste functie bevindt zich op de toets en is in het wit aangegeven. DEEL 1 : HANDLEIDING 1. KENNISMAKING MET DE TI-83 1.1 De toetsen De toetsen van de TI-83 kunnen ingedeeld worden in een viertal groepen : de grafische toetsen de edit-toetsen de geavanceerde functietoetsen

Nadere informatie

De grafische rekenmachine en de afgeleide

De grafische rekenmachine en de afgeleide Auteur Laatst gewijzigd Licentie Webadres Jan de Geus 11 January 2011 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/27841 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.

Nadere informatie

GEOGEBRAINSTITUUT. VlAANDEREN

GEOGEBRAINSTITUUT. VlAANDEREN GEOGEBRAINSTITUUT VlAANDEREN Statistiek met GeoGebra Roger Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde HUB, lerarenopleiding Auteur VBTL, Die Keure Pedagogisch begeleider wiskunde VLP roger.van.nieuwenhuyze@skynet.be

Nadere informatie

2. In de klassen 2A en 2B is een proefwerk gemaakt. Je ziet de resultaten in de frequentietabel. 2A 2B

2. In de klassen 2A en 2B is een proefwerk gemaakt. Je ziet de resultaten in de frequentietabel. 2A 2B 1. (a) Bereken het gemiddelde salaris van de werknemers in de tabel hiernaast. (b) Bereken ook het mediale salaris. (c) Hoe groot is het modale salaris hier? salaris in euro s aantal werknemers 15000 1

Nadere informatie