Deeltjes en velden. symmetrieën in de deeltjesfysica. door. Prof.dr Johannes F.J. van den Brand

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Deeltjes en velden. symmetrieën in de deeltjesfysica. door. Prof.dr Johannes F.J. van den Brand"

Transcriptie

1 Deeltjes en velden symmetrieën in de deeltjesfysica door Prof.dr Johannes F.J. van den Brand Afdeling Natuurkunde en Sterrenkunde Faculteit der Exacte Wetenschappen Vrije Universiteit, Amsterdam en Nationaal instituut voor subatomaire fysica Nikhef, Amsterdam

2

3 INHOUDSOPGAVE 1 Inhoudsopgave 1 Lagrange en Hamilton formalisme Lagrange formalisme Hamilton formalisme Lagrangiaan van de Speciale Relativiteitstheorie Klassieke velden Relativistische klassieke velden Lagrange-dichtheid voor een reëel Higgs veld Hamiltoniaanse formulering van de klassieke veldentheorie Intermezzo: de quantummechanische harmonische oscilator 13 4 Relativistische quantumvelden Het Klein-Gordon veld Het elektromagnetische veld Het geladen scalaire veld Afleiding van de Klein-Gordon vergelijking Oplossingen van de Klein-Gordon vergelijking Problematische interpretatie Behouden grootheden en het Noether Theorema Bewijs van het Noether Theorema Voorbeeld: behoud van impuls en energie IJkinvariantie: het bestaan van fotonen Globale ijkinvariantie van het Klein-Gordon veld Lokale ijkinvariantie van het Klein-Gordon veld Betekenis van A µ : het Maxwell veld Minimale substitutie Het complexe Klein-Gordonveld en haar interacties De Higgs-Lagrangiaan Spontane Symmetriebreking Het Higgs-mechanisme

4 1 LAGRANGE EN HAMILTON FORMALISME 2 1 Lagrange en Hamilton formalisme In de klassieke mechanica zijn we geïnteresseerd in hoe de coördinaten van objecten veranderen in de tijd. Hierbij kan het gaan om de posities van een verzameling puntdeeltjes, maar ook bijvoorbeeld over de hoek die een slinger maakt ten opzichte van de verticale richting. We gebruiken dus een verzameling gegeneraliseerde coördinaten om de beweging als functie van de tijd te beschrijven. Als we N deeltjes die in drie dimensies bewegen beschouwen, dan kunnen we de posities beschrijven met gegeneraliseerde coördinaten q i i = 1, 2,.., N. We kiezen bijvoorbeeld of {q i } = {r i }, 1 {q i } = {r i, ϕ i, θ i }. 2 Voor elk van de gegeneraliseerde coördinaten, definiëren we de gegeneraliseerde snelheden door q i dq i dt. 3 We kunnen nu het fundamentele dynamisch probleem van de klassieke mechanica definiëren als Gegeven {q i, q i } op een tijdstip t = t 0, wat is dan het verloop van het proces in de tijd? 1.1 Lagrange formalisme In de studieboeken over de klassieke mechanica wordt getoond dat de oplossing wordt gegeven door het principe van Hamilton: Er is een grootheid L die we de "Lagrangiaan" noemen, zodanig dat de integraal die we de "actie" noemen S = t1 t 0 Lq i, q i, tdt 4 een extreme waarde aanneemt als het systeem beweegt van {q i t 0 } tot {q i t 1 }. Het pad dat het systeem volgt langs deze extreme oplossing noemen we het "klassieke pad" q cl i t. Laten we eens bekijken hoe het principe van Hamilton ons de bewegingsvergelijkingen van het systeem geeft. We verstoren het klassieke pad in de actie-integraal met een kleine bijdrage δq i t zie Fig. 1, zadat geldt q i t = q cl i t + δq it. Figuur 1: Variatie van het pad dat door een systeem wordt gevolgd ten opzichte van het klassieke pad. Merk op dat we eisen dat de eindpunten vastliggen.

5 1 LAGRANGE EN HAMILTON FORMALISME 3 Volgens Hamiltons principe komt het klassieke pad overeen met een extreme waarde in de actie, en dus geldt dat δs = 0, t1 δs = δq i + δ q i dt = 0. 5 q i q i i 0 Merk op dat δ q i = d dt δq i. We voeren nu partiële integratie uit, en gebruiken δq i = 0 voor de eindpunten. Dit levert t1 δs = d δq i dt = 0. 6 q i dt q i i 0 Dit dient te gelden voor elke willekeurige keuze van de variatie δq i t, en dat is enkel mogelijk als de integrand gelijk is aan nul. We vinden dus d = 0. 7 q i dt q i Bovenstaande vergelijkingen staan bekend als de Euler-Lagrange vergelijkingen en stellen de bewegingsvergelijkingen van het systeem voor. Omdat we te maken hebben met een systeem van tweede-orde differentiaalvergelijkingen, worden de oplossingen gespecificeerd door zowel {q i } als { q i } te geven op tijdstip t 0 dat willekeurig gekozen kan worden. We hebben het fundamentele probleem van de klassieke mechanica nu gereduceerd tot het probleem van het vinden van de Lagrangiaan en het oplossen van de Euler-Lagrange vergelijkingen. Als een eenvoudig voorbeeld bekijken we een enkel deeltje met massa m dat beweegt in een potentiaal V q. In dit geval wordt de Lagrangiaan gegeven door L = 1 2 m q2 V q. 8 Merk op dat de algemene regel is dat geldt L T V, met T de kinetische en V de potentiële energie. De Euler-Lagrange vergelijking geeft nu V q m q = F, 9 q en dit herkennen we als de tweede wet van Newton F is de kracht. 1.2 Hamilton formalisme We hebben nu de coördinaten en snelheden in het Langrange formalisme van de klassieke mechanica besproken. Soms gebruiken we echter de formulering met een Hamiltoniaan en dan hebben we coördinaten en impulsen nodig. We beginnen daarom met de definitie van de impulsen die toegevoegd kanoniek zijn aan {q i t 0 }. Er geldt p i q, q q i. 10 We nemen aan dat deze uitdrukking inverteerbaar is, zodat we de q i kunnen uitdrukken in termen van q i en p i. We stellen nu de Hamiltoniaan op door H i p i q i L q, q p, q. 11 Vervolgens berekenen we hoe H verandert als we een kleine verandering aanbrengen in de coördinaten en impulsen. Er geldt [ dh = q i + q j p j ] [ dp i + q ] j p j dq i. 12 p i q j q i q i q j

6 1 LAGRANGE EN HAMILTON FORMALISME 4 De twee uitdrukkingen tussen ronde haken zijn geijk aan nul vanwege vergelijking 10, en als we bovenstaande uitdrukking vergelijken met de algemene relatie dan vinden we dh = H p i dp i + H q i dq i, 13 q i = H p i, en q i = H q i. 14 Echter volgens vergelijkingen 7 en 10, kunnen we / q i vervangen door ṗ i en vinden we de Euler-Lagrange vergelijkingen in de Hamiltoniaanse formulering, q i = H p i, en ṗ i = H q i. 15 Laten we nu even terug gaan naar ons eenvoudig voorbeeld. We hadden en dat geeft en dus q = p/m. Dan is L = 1 2 m q2 V q, 16 p = q = m q, 17 H = p q L = p2 + V q = T + V. 18 2m De Euler-Lagrange vergelijkingen kunnen we schrijven als q = H p = p, en ṗ = H m q = V q = F. 19 Hiermee vinden we weer dat m q = F. 1.3 Lagrangiaan van de Speciale Relativiteitstheorie Na deze inleiding in het formalisme van Lagrange, kan teruggekeerd worden naar de speciale relativiteitstheorie, en gepoogd worden de mechanica van Newton uit te breiden naar een versie die overeenkomt met het Principe van Relativiteit. De Lagrangiaanse methode leent zich hier uitstekend voor. Allereerst zullen we een vrij deeltje beschouwen, oftewel een deeltje met massa m dat beweegt zonder beinvloed te worden door een kracht. De Lagrangiaan voor zo n deeltje bestaat dan alleen uit een kinetische term, L = K. 20 In de pre-relativistische mechanica wordt de kinetische energie gegeven door K = 1 2 m v2. Deze uitdrukking kunnen we echter niet overnemen naar de Relativiteitstheorie. Immers, het Principe van Relativiteit eist dat de natuurwetten zodanig geformuleerd moeten zijn dat zij niet van vorm veranderen wanneer naar een ander inertiaalstelsel wordt getransformeerd. Dit betekent dat de gezochte Lagrangiaan invariant moet zijn onder transformaties tussen inertiaalstelsels, en daar voldoet bovenstaande uitdrukking zeker niet aan. Echter, met enige aanpassing is het eenvoudig een vorm te vinden die erg lijkt op de oude uitdrukking, maar wel degelijk invariant is. Hiervoor schrijven we eerst de oude uitdrukking uit als L = K = 1 2 mdxi dt dx i dt, 21

7 1 LAGRANGE EN HAMILTON FORMALISME 5 waar de Einstein sommatieconventie gebruikt is: dx i dx i = dx 2 + dy 2 + dz 2. Wat de invariantie van deze uitdrukking in de weg staat zijn twee dingen: allereerst zijn de dx s inertiaalstelselafhankelijk; ten tweede zijn de dt s dat eveneens. We hadden immers al gezien dat waarnemers in verschillende inertiaalsystemen, verschillende afstanden en tijdsduren meten. Deze uitdrukking kan daarom nooit voldoen aan het Principe van Relativiteit. Echter, wanneer we dx i dx i vervangen door η µν dx µ dx ν staat in de teller nu precies het lijnelement ds 2, waarvan bekend is dat dit invariant is. Op dezelfde manier ligt een uitbreiding van de twee dt s ook voor de hand: vervang dtdt door dτ 2, zodat ook dit nu invariant is geworden. Een natuurlijke suggestie voor een relativistische Lagrangiaan voor een vrij deeltje is dan L = 1 2 mη dx µ dx ν µν dτ dτ. 22 Deze overwegingen zijn natuurlijk geen bewijs voor de geldigheid van deze uitdrukking: het is een aanname. Er zijn ook andere Lagrangianen denkbaar die voldoen aan het Principe van Relativiteit. Echter, deze uitdrukking is de meest simpele, en bovendien zal blijken dat de bewegingswettem die hieruit volgen, reduceren tot de oude vertrouwde bewegingswetten van Newton wanneer ze toegepast worden in situaties waarbij snelheden veel lager zijn dan de lichtsnelheid. Uiteindelijk zal het echter aan experiment zijn om aan te tonen of de gevonden wetmatigheden waar zijn. Tot nu toe wijzen alle experimenten uit dat dit inderdaad het geval is. De actie S behorend bij deze Lagrangiaan wordt verkregen door de Lagrangiaan te integreren over de tijd. Ook hier moet het Principe van Relativiteit in acht worden genomen: de uitdrukking moet worden geintegreerd over de eigentijd dτ in tegenstelling tot over de waarnemerafhankelijke tijd t om zo de invariantie van de actie te waarborgen. De actie wordt dan dus S = t2 t 1 { 1 2 mη dx µ µν dτ dx ν } dτ. 23 dτ Om de bewegingswet voor het deeltje af te leiden, dient het Principe van Extreme Actie weer te worden toegepast: er moet gezocht worden naar het pad x µ τ dat de waarde van deze integraal minimaal of maximaal maakt. De Euler-Lagrange vergelijkingen voor deze situatie hebben de vorm 1 x α = d dτ. 24 dx α dτ Merk op dat dit vier vergelijkingen zijn: voor elk van de vier coordinaten van het pad x µ t is er een vergelijking die moet worden opgelost. Wanneer de relativistische Lagrangiaan wordt ingevuld en beide zijden van de Euler-Lagrange vergelijkingen worden uitgerekend, wordt gevonden dat een vrij relativistisch deeltje een pad x µ τ volgt waarvan de componenten voldoen aan de vergelijkingen m d2 x µ = dτ 2 Dit lijkt sprekend op de wet van Newton voor een vrij deeltje, met twee subtiele verschillen. Ten eerste doet de wet van Newton uitspraken over de drie plaatscoordinaten van het deeltje, waar deze nieuwe uitdrukking ook uitspraak doet over de tijd. Deze laatste stelt dat m dt2 = 0, 26 dτ 2 1 Dit is een generalisatie van Eq.X. Het bewijs van deze stelling is niet veel moeilijker dan dat van Eq.X, maar wordt voor het moment overgeslagen.

8 1 LAGRANGE EN HAMILTON FORMALISME 6 waaruit volgt dat dt dτ gelijk is aan een constante. Dat is niet verrassend: we hadden immers al gezien dat de tijd τ zoals gemeten door een waarnemer die het deeltje stil ziet staan, een andere is dan de tijd t gemeten door een waarnemer die het deeltje ziet bewegen. Dit was precies het tijddilatatie effect, en de waarde van deze constante laat zich dan ook aflezen als de Lorentz-factor γ. Het tweede verschil met de wet van Newton is het feit dat er hier afgeleiden worden genomen naar de eigentijd τ, waar in Newtons theorie afgeleiden werden genomen naar de tijd t. Dit maakt van deze nieuwe afgeleide een soort bastaard-object : de gemeten afstanden x worden genomen zoals gemeten door een willekeurige waarnemer ten opzichte van wie het deeltje beweegt, waar de tijd gemeten wordt door de waarnemer die stilstaat ten opzichte van het bewegende deeltje. Dit object wordt de 4-snelheid u µ t genoemd; de eigenschappen ervan zullen we later bestuderen. De 4-snelheid kunnen we omschrijven naar een meer natuurlijker object te weten: afstand en tijd gemeten door een en dezelfde waarnemer. Dit kunnen we doen door ons te beseffen dat de verlopen tijd gemeten door het deeltje, en die door een andere waarnemer, met elkaar gerelateerd zijn via de formule van tijd-dilatatie: dτ = γ 1 dt. Op deze manier is de gevonden wet uit te drukken als mγ 2 d x2 = dt2 De wet van Newton kan nu gezien worden als een speciaal geval van deze nieuwe wet. Als we aannemen dat het deeltje veel langzamer beweegt dan het licht ten opzichte van de waarnemer in wiens tijdsduur en afstand we nu alles hebben uitgedrukt oftewel we nemen aan dat v << c, dan kan Eq. benaderd worden door mγ 2 d x2 dt 2 m 1 d x 2 v 2 dt 2 c v 2 d x 2 m 1 + c dt 2 m d x2 = 0, 28 dt2 waar gebruik is gemaakt van de wiskundige regel 1 + x m 1 + mx, welke geldt als x << 1. Dit is precies de wet van Newton! Zo is nu aangetoond dat de wet van Newton slechts een speciaal geval is van een meer algemene bewegingswet, Eq.1.3! Dit geeft ons vertrouwen dat onze keuze voor de Lagrangiaan waarschijnlijk de juiste was: hij voldoet aan het Principe van Relativiteit, en geeft ons bovendien onze oude vertrouwde bewegingswetten terug. Met dit vertrouwen in het achterhoofd kunnen we nu verder gaan met het afleiden van wetten betreffende de energie en impuls. Zoals besproken in de vorige sectie, volgt een impuls uit een gegeven Lagrangiaan via de regel Eq.??. Toegepast op de relativistische Lagrangiaan levert dit op voor de impuls van het vrije deeltje p α = dxα dτ = m dxν dτ η αν, 29 en na beide kanten te contraheren met de inverse η µα van de Minkowksi-metriek wordt dit p µ = m dxµ dτ = mu µ. 30 Wederom lijkt dit erg op de impuls zoals bekend uit de mechanica van Newton: een massa vermenigvuldigd met een snelheid. Echter, de snelheid is hier nu de 4-snelheid, en deze nieuwe

9 1 LAGRANGE EN HAMILTON FORMALISME 7 impuls wordt dan ook de 4-impuls genoemd. Vergeleken met de uitdrukking voor de Newtoniaanse variant, p = m dx dt, gaan weer twee verschillen op: ten eerste is er een nul-component aanwezig, en ten tweede is het weer een bastaard-object : afgelegde afstand gemeten door een willekeurige waarnemer, en tijdsduur gemeten door een waarnemer die stilstaat ten opzichte van het deeltje. Het tweede verschil kunnen we weer een plaats geven door de relatie tussen eigentijd en tijd te gebruiken. Dit levert p α = mγ dxα dt, 31 en via dezelfde benaderingsmethode als eerder volgt direct dat de i-component hiervan reduceert tot de impuls zoals bekend uit de mechanica van Newton, wanneer het deeltje maar veel langzamer beweegt dan het licht. De i-componenten van dit object worden daarom opgevat als de relativistische uitdrukkingen van de impuls. Wat de nul-component betreft, deze moet nog een interpretatie krijgen. Deze component is p 0 = γmc. 32 Via een dimensie-analyse is meteen te zien dat het de dimensie van een energie gedeeld door een snelheid heeft, en dit wekt de suggestie dat p 0 c opgevat kan worden als de energie van het vrije deeltje. De vraag dringt zich dan al snel op: op welke manier is deze uitdrukking gerelateerd aan de Newtoniaanse uitdrukking voor de energie van een vrij deeltje, K = 1 2 mv2? Ook hier biedt de benadering van lage snelheden uitkomst. Er geldt: p 0 c = mc v 2 c mc v 2 2 c = mc 2 + K, 33 waar de uitdrukking voor de Newtoniaanse energie K van een vrij deeltje is ingevuld. Hier is nu gevolgd dat, in de benadering van lage snelheden, de nul-component maal c van de relativistische impuls reduceert tot de Newtoniaanse energie plus een extra term. Afgezien van deze constante term, is de nul-component maal c bij lage snelheden inderdaad gelijk aan de energie van het deeltje zoals voorspeld door de Newtoniaanse mechanica. Het ligt dan ook voor de hand om aan te nemen dat we p 0 c ook bij hoge snelheden mogen opvatten als de energie van het deeltje. Wat de constante term betreft kan de vraag worden gesteld hoe fysisch interessant deze is. Immers, in de natuurkunde kennen alleen energie verschillen een meetbare betekenis 2, en dus zal elke extra constante term toegevoegd aan de energie van een systeem uit de berekening vallen wanneer een energieverschil opgeschreven wordt. Toch heeft de constante term m hier wel degelijk een fysische betekenis: het is namelijk niet zomaar een willekeurige constante, het is een constante die een eigenschap van het deeltje bevat de massa! Deze energie is ook aanwezig wanneer het deeltje geen bewegingsenergie heeft voor een gegeven waarnemer, K = 0; we spreken dan ook over rust-energie, en deze is gelijk aan E = mc Dit is wellicht de meest bekende formule uit de natuurkunde. Hij zegt dat elke massa een energie met zich meedraagt gelijk aan deze massa maal c 2, en dat dit energie is die zich niet laat wegtransformeren door naar een ander inertiaalstelsel te gaan. Het is daarom een fundamentele hoeveelheid energie voor een gegeven massa m: voor alle waarnemers geldt dat een massa op zijn minst deze hoeveelheid energie met zich meedraagt. 2 Denk bijvoorbeeld aan de relatie tussen een kracht F in x-richting en de potentiele energie V : F = dv dx, oftewel een meetbare grootheid is uitgedrukt als een verschil in energie.

10 2 KLASSIEKE VELDEN 8 2 Klassieke velden We beschouwen snaar met lengte l die beschreven kan worden als een verzameling van N massapunten die met veren aan elkaar verbonden zijn, zoals geschetst in figuur 1. De massapunten bewegen in de verticale richting en we definiëren voor de verticale uitwijking van massa m i de variable ϕ i. We leiden nu een uitdrukking af voor de Lagrangiaan van dit systeem. We nemen aan dat de massapunten enkel verticaal kunnen bewegen en verwaarlozen horizontale beweging. We noemen ϕ i de verticale uitwijking van massapunt i. Merk op dat x enkel een label is voor de positie van het massapunt, terwijl ϕ i de relevante coördinaten voorstellen dat zijn de dynamische vrijheidsgraden die in de Lagrangiaan verschijnen. De afstand tussen naburige massapunten noemen we x en er geldt l = N x. Later nemen we de limiet dat x 0. De massa van de snaar is m en de massadichtheid is ρ = m/l. Elk massapunt heeft een massa m i = m/n = ρ x en we nemen voor het gemak dus aan dat alle massapunten een gelijke massa hebben. De kinetische energie van beweging in de ϕ-richting verticaal vinden we door sommeren en bedraagt T = 1 m i ϕ 2 i = ρ ϕ 2 i x. 35 i i De potentiële energie hangt af van de vertical afstand tussen naburige massapunten ϕ i+1 ϕ i. Als de twee naburige punten dezelfde vertical afstand hebben, dan is de veer niet uitgerekt en is de kracht nul. Volgens de wet van Hooke is de kracht gelijk aan het product van rek en veerconstante. Merk op dat wanneer we een veer door tweeën delen, dan wordt de veer stugger en neemt de veerconstante met een factor twee toe. Stel dat de veer met lengte l een veerconstante k = κ/l heeft. Indien we deze veer in N = l/ x delen splitsen, dan wordt de veerconstante κ i van elke kleine veer gegeven door κ i = kn = κ/ x. Verder kiezen we alle veerconstanten even groot. De potentiële energie vinden we dan door alle potentiële energieën van naburige paren te sommeren, U = 1 2 κ ϕ i+1 ϕ i x i Hiermee kunnen we de Lagrangiaan schrijven als L = 1 2 ρ i ϕ 2 i x 1 2 κ i ϕ i+1 ϕ i x In de limiet dat we een oneindig aantal massapunten nemen, verkrijgen we een wiskundig model voor een veld ϕ dat bestaat tussen de eindpunten x 1 en x 2. Als volgende stap leiden we een uitdrukking af voor de Lagrangiaan van dit systeem. wwe werken in dat geval met massadichtheid ρ. Merk verder op dat een kortere veer een grotere veerconstante heeft.

11 2 KLASSIEKE VELDEN 9 We kunnen van een som over een eindig aantal punten N overgaan naar een continue integraal, door de definitie van een integraal te gebruiken. Er geldt F x i x F xdx. 38 lim x 0 Als we dat toepassen op de kinetische energie, vinden we i T = 1 2 ρ i ϕ 2 i x 1 2 ρ ϕ t 2 dx. 39 We zien nu dat x gebruikt wordt om de vrijheidsgraad ϕ te labelen. De positie in de ruimte x is zelf niet de vrijheidsgraad die in de Lagrangiaan voorkomt. Een veldentheorie is een theorie waarvan de velden de vrijheidsgraden zijn en de ruimte vullen. De velden mogen ook van de tijd afhangen. Op elk punt x in de ruimte is er een dergelijke vrijheidsgraad ϕx, t. We hebben te maken met een oneindig aantal vrijheidsgraden. Ons voorbeeld laat zien hoe een veldentheorie uit de klassieke mechanica afgeleid kan worden. We kunnen nu abstraheren en ϕ zien als een veld in de ruimte. Dit veld kan een kinetische energie ϕ/ t hebben. We stellen ons dit niet voor als een beweging in de ruimte, maar in de veldruimte. Als we naar de potentiële energie U kijken, dan zien we dat elk veld ϕ i twee keer voorkomt in de sommatie. Om de sommatie te kunnen schrijven als een integraal zie vergelijking 38, vermenigvuldigen we met en delen we U door x. Dit levert U = 1 2 κ i ϕ i+1 ϕ i 2 x = 1 2 κ i ϕi+1 ϕ 2 i x. 40 x We herkennen de definitie van de afgeleide lim x 0 ϕ i+1 ϕ i / x = ϕ/ x in de factor tussen haakjes, terwijl we de som kunnen schrijven als een integraal. Hiermee vinden we U = 1 ϕ 2 2 κ dx. 41 x We kunnen de Lagrangiaan nu schrijven als de volgende integraal, L = T U = 1 [ ϕ 2 ] ϕ 2 ρ κ dx t x De integrand noemen we de Lagrangiaandichtheid en hiervoor geldt L Ldx L = 1 ϕ 2 2 ρ 1 ϕ 2 t 2 κ 43 x en we zien dat de uitdrukking eerste orde afgeleiden van het veld ϕ naar plaats en tijd bevat. De bewegingsvergelijking volgt uit de Euler-Lagrange vergelijkingen. De Euler-Lagrange vergelijkingen kunnen geschreven worden als d = dt ϕ ϕ Voor het educatieve aspect gaan we weer terug naar de discrete Lagrangiaan gegeven door uitdrukking 37. Hiermee vinden we = ρ x ϕ d = ρ x ϕ i. 45 ϕ i dt ϕ i

12 2 KLASSIEKE VELDEN 10 Evenzo geldt Invullen in de Euler-Lagrange vergelijkingen levert ϕ i = ϕ i = κ x [ϕ i+1 ϕ i ϕ i ϕ i 1 ]. 46 c2 x 2 [ϕ i+1 ϕ i ϕ i ϕ i 1 ] = c2 x [ ϕi+1 ϕ i x ϕ ] i ϕ i x Hierbij gebruiken we c 2 κ ρ. We nemen nu weer de limiet x 0 en herkennen de definitie van de tweede afgeleide. Merk op dat de afgeleiden ϕ i+1 ϕ i x en ϕ i ϕ i 1 x op twee posities berekend moeten worden die een afstand x van elkaar liggen. Dit levert ϕ = c 2 2 ϕ x 2 2 ϕ t 2 c2 2 ϕ = x2 Bovenstaande bewegingsvergelijking is een golfvergelijking, waarbij de snelheid van de golf gegeven wordt door c, die bepaald wordt door de materiaaleigenschappen van de snaar. Het is mogelijk om de eenheden zodanig te kiezen dat c = 1 kies de lengte-eenheid gelijk aan de door de golf afgelegde weg in een tijd van 1 seconde. Dat levert de vergelijking 2 ϕ t 2 2 ϕ = x2 We zien dat er een relatief tekenverschil optreedt tussen tijd- en plaatscoördinaten. Verder bevat de bewegingsvergelijking afgeleiden van de tweede orde. Tenslotte geven we nog een verantwoording voor onze keuze van de potentiële energie. Hiertoe beschouwen we de posities van twee massapunten in onderstaande figuur. In het geval dat beide massapunten een gelijke uitwijking ϕ i = ϕ i+1 hebben, is de lengte van de veer gelijk aan x. In het geval dat ϕ i ϕ i+1, wordt de lengte van de veer x 2 + ϕ i+1 ϕ i 2. De energie opgeslagen in de veer is evenredig aan x 2 + ϕ i+1 ϕ i 2. Merk op dat de bijdrage x 2 slechts een getal is en niet afhangt van ϕ. Als we al deze getallen voor N veren optellen, dan is dit gewoon een constante waarde die bij de potentiële energie wordt opgeteld en die daarom geen invloed kan hebben op de beweging van het systeem. De actie S is een getal dat we vinden door de Lagrangiaan over de tijd te integreren tussen beginen eindtoestand. Er geldt teind teind [ teind 1 ϕ 2 ] ϕ 2 S = L dt = L dxdt = ρ κ dxdt 50 t begin t begin t begin 2 t x We zien dat de actie een integraal is van de Lagrangiaandichtheid over ruimtetijd.

13 2 KLASSIEKE VELDEN Relativistische klassieke velden We beschouwen weer een systeem van N deeltjes die in één dimensie bewegen. De deeltjes zijn aan elkaar verbonden met massaloze veren met veerconstante k. De deeltjes zijn een afstand a van elkaar gescheiden in de evenwichtstoestand. We noemen ϕ i de verplaatsing van de evenwichtspositie van deeltje i. De Lagrangiaan is in dat geval L = T i V i = 1 [ m ϕ 2 2 i kϕ i+1 ϕ i 2] 51 i i = a [ ] 1 m ϕi+1 ϕ 2 i 2 a ϕ2 i ka = al i, 52 a i i met L i de Langragiaandichtheid Lagrangiaan per lengte-eenheid bijgedragen door deeltje i. We nemen nu de continuümlimiet, i x, i dx, ϕ i ϕx, ϕ i+1 ϕ i /a ϕ/ x, m/a ρ massadichtheid, en ka κ Youngs modulus. De continuüm Lagrangiaan kunnen we dan schrijven als L = [ 1 ρ ϕ 2 κ 2 ] ϕ 2 dx. 53 x We kunnen de actie nu schrijven als [ S = Ldt = L ϕ, ϕ, ϕ ] dx dt, 54 x met als Lagrangiaandichtheid L ϕ, ϕ, ϕ = 1 x 2 [ ρ ϕ 2 κ ] ϕ x In dit voorbeeld is ϕx, t het verplaatsingsveld. Een veld is een functie van ruimte en tijd en bevat een oneindig aantal vrijheidsgraden. Om een veld volledig te specificeren dienen we haar waarde te geven op elk punt in de ruimte en op elk tijdstip. We kunnen onze één-dimensionaal voorbeeld uitbreiden naar drie dimensies. Dit levert [ ] S = Ldt = L ϕ, ϕ, ϕ dx dt, 56 en dat leidt tot de volgende Euler-Lagrange vergelijkingen 3 k=1 x k ϕ/ x k + t ϕ/ t ϕ = Merk op dat we bovenstaande vergelijking kunnen schrijven in een relativistisch invariante vorm als [ ] x µ ϕ/ x µ = ϕ Deze vergelijking is Lorentz-invariant als L een scalaire dichtheid is dat betekent dat L x µ = L x µ.

14 2 KLASSIEKE VELDEN Lagrange-dichtheid voor een reëel Higgs veld Als het eerste realistische voorbeeld beschouwen we een reëel veld ϕx dit kan bijvoorbeeld het Higgs-veld zijn. De eenvoudigste niet-triviale Lagrange-dichtheid wordt gegeven door L = 1 2 [ µ ϕ µ ϕ µ 2 ϕ 2]. 59 De bewegingsvergelijking volgt uit de Euler-Lagrange vergelijkingen, µ µ ϕ + µ 2 ϕ = 0 + µ 2 ϕ = 0, 60 en we herkennen hier de relativistische golfvergelijking die we eerder zijn tegengekomen, de Klein-Gordon vergelijking. 2.3 Hamiltoniaanse formulering van de klassieke veldentheorie Er is ook een Hamiltoniaanse formulering van de klassieke veldentheorie. Hierbij correspondeert er met de gegeneraliseerde coördinaat ϕ r, t op elk ruimtetijd punt t, r een kanonieke impuls π r, t gedefinieerd door π r, t = = ϕ r, t. 61 ϕ r, t De Hamilton-dichtheid wordt nu H = π φ L = 1 2 [ π 2 + ϕ 2 + µ 2 ϕ 2]. 62 Als we deze dichtheid over de hele ruimte integreren, vinden we de Hamiltoniaan, H = V Hd3 r, die de totale energie van het veld weergeeft.

15 3 INTERMEZZO: DE QUANTUMMECHANISCHE HARMONISCHE OSCILATOR 13 3 Intermezzo: de quantummechanische harmonische oscilator Het gebruik van operatoren is nuttig voor de oplossing van het probleem van de harmonische oscillator. Deze methode zal ook nuttig blijken als we het elektromagnetische veld maar ook andere velden willen quantiseren. We schrijven de Hamiltoniaan van de één-dimensionale harmonische oscillator als H = p2 2m mω2 x 2, 63 en merken op dat dit lijkt op het kwadraat van een operator. We kunnen het herschrijven door gebruik te maken van operator a mω a 2 x + i p 64 2m ω en de hermitisch geconjugeerd a, waarvoor geldt We berekenen ω a a mω a 2 x i p. 65 2m ω a a = mω 2 x2 + a a = mω 2 x2 + p2 2m ω + i xp px, 2 p2 2m ω i [p, x], 2 = p2 2m mω2 x ω, 66 en vinden dan H = ω a a We gebruiken de commutatoren van a, a en H op het probleem op te lossen. Er geldt [ a, a ] = mω 1 i i i [x, x] + [p, p] [x, p] + [p, x] = 2 2m ω [x, p] + [p, x] = i [p, x] = We kunnen de andere commutatoren eenvoudig uitrekenen door H in termen van a en a te gebruiken, en vinden [ ] [ ] [ [H, a] = ω a a, a = a, a = ωa, en H, a ] = ωa. 69 We kunnen de commutatoren gebruiken om de energieën van de harmonische oscillator te bepalen. We passen [H, a] toe op energie-eigenfunctie u n. [H, a] u n = ωau n Hau n ahu n = ωau n H au n E n au n = ωau n H au n = E n ω au n. 70 Deze vergelijking toont dat au n een eigenfunctie is van H met eigenwaarde E n ω. We zien dat de operator a de energie verlaagt met ω. We noemen het daarom ook wel een annihilatieoperator.

16 3 INTERMEZZO: DE QUANTUMMECHANISCHE HARMONISCHE OSCILATOR 14 Vervolgens passen we [ H, a ] toe op energie-eigenfunctie u n. [ H, a ] u n = ωa u n Ha u n a Hu n = ωa u n H a u n E n a u n = ωa u n H a u n = E n + ω a u n. 71 Nu is a u n een eigenfunctie van H met eigenwaarde E n + ω. We zien dat de operator a de energie verhoogt met ω. We noemen het daarom ook wel een creatie-operator. We kunnen de energie niet blijven verlagen, omdat de energie van de harmonische oscillator niet lager dan nul kan worden. Er dient dus te gelden dat au 0 = We kunnen de energie van de grondtoestand eenvoudig uitrekenen en vinden Hu 0 = ω a a + 1 u 0 = ωu De energie van de grondtoestand is E 0 = 1 2 ω. In het algemeen hebben de toestanden de energie E = n + 1 ω Het is interessant dat we ook een zogenaamde "number operator" N op kunnen vinden. Er geldt H = a a + 1 ω = N op + 1 ω, en dus N op = a a en deze operator geeft het aantal quanta met energie ω.

17 4 RELATIVISTISCHE QUANTUMVELDEN 15 4 Relativistische quantumvelden De scalaire klassieke veldentheorie beschrijft trillingen en velden van scalaire grootheden in een medium, bijvoorbeeld trillingen geluidsgolven in een kristal. In het vervolg gaan we kijken naar de beschrijving van gequantiseerde scalaire vibraties bijvoorbeeld fononen in een kristal. 4.1 Het Klein-Gordon veld Toen we een puntdeeltje quantiseerden in de quantummechanica, hebben we de gegeneraliseerde coördinaten q dat zijn in het meest eenvoudige geval de cartesische coördinaten x i en impulsen p i behandeld als operatoren. Zij voldoen aan de quantummechanische commutatierelaties [x i, p j ] = i δ ij, 76 en de golffunctie Ψ is een weergave van de toestandvector waarop deze operatoren werken. De Klein-Gordon vergelijking is een golfvergelijking en heeft vlakke-golf oplossingen. We kunnen ons voorstellen dat ons systeem is opgesloten in een grote doos met volume V, en dat we periodieke randvoorwaarden opleggen later nemen we dan natuurlijk de limiet V. We kunnen het reële scalaire veld ϕ op tijdstip t dan schrijven in termen van vlakke golven als ϕ r, t = k 1 2V ω [a k e iωtk r + a k eiωtk r], 77 waar we 1/ 2V ω gebruiken als een handige normalisatie. Als we bovenstaande vergelijking invullen in de Klein-Gordon vergelijking, dan vinden we dat ω = ωk = µ 2 + k 2, hetgeen de energie beschrijft van een relativistisch deeltje met massa µ en impuls k. We kunnen de factoren in de exponenten dus schrijven als kx k µ x µ met k 0 = ω. Het Klein-Gordon veld hebben we beschreven als een som van onafhankelijke componenten die allemaal aan een golfvergelijking voldoen. Ze voeren allemaal een harmonische beweging uit. Het is dan ook natuurlijk om elke mode op dezelfde manier te quantiseren, zoals we dat ook bij de harmonische oscillator hebben gedaan. Door vergelijking 77 in te vullen in vergelijking 62 voor de Hamiltoniaanse dichtheid, en vervolgens over het hele volume te integreren, vinden we H = k ωka k a k, 78 waar we tijdelijk de factor hebben toegevoegd om te laten zien dat deze uitdrukking gelijkenis vertoont met uitdrukking 67 voor de energie van een quantummechanische harmonische oscillator. Inderdaad, als we a k en a k a k interpreteren als annihilatie en creatie-operatoren, die voldoen aan de commutatie-relaties [ ] a k, a k = δ kk, 79 dan voldoen ϕ en π aan de commutatie-relaties 76. We gebruiken bovenstaande relaties en berekenen weer de Hamiltoniaan. Dit levert H = ωk a k a k k Meestal kunnen we de constante bijdrage van de sommatie over de nul-modes dat zijn de termen ω verwaarlozen. Er zijn echter gevallen, waarbij we dat niet mogen doen. 1 2

18 4 RELATIVISTISCHE QUANTUMVELDEN 16 We kunnen nu het hele wiskundige apparaat van de quantummechanische harmonische oscillator gebruiken. We definiëren de grondtoestand als de toestand die door alle a k geannihileerd wordt; dus als a k 0 >= 0 81 voor alle k. Een genormaliseerde toestand met n k excitaties in de mode k wordt gegeven door n k >= [a k] n k 0 >. 82 nk! Omdat H een som is van niet-wisselwerkende harmonische oscillatoren, zijn de eigentoestanden het directe product..., n ki,..., n kj,... >= Π ki n ki >. 83 De enorme Hilbertruimte die wordt opgespannen door al deze basistoestanden wordt de Fockruimte genoemd. Om te komen tot een fysische interpretatie, merken we op dat bovenstaande toestanden voldoen aan H..., n ki,..., n kj,... >= n k ɛk..., n ki,..., n kj,... >, 84 k met ɛk = ωk. We kunnen toestand 83 interpreteren als een toestand met veel deeltjes, elk met een massa m, waarbij n k1 deeltjes een impuls k 1 hebben, n k2 deeltjes een impuls k 2, etc. Dit is ook de reden dat de operatoren a k en a k creatie en annihilatie operatoren genoemd worden: wanneer a k werkt op de vacuümtoestand, dan wordt er een deeltje met golfgetal k gecreëerd. Met dit formalisme zijn we in staat om processen te beschrijven waarbij deeltjes met bepaalde impulsen worden gecreëerd of geannihileerd, bijvoorbeeld botsingsprocessen. 4.2 Het elektromagnetische veld De methode die we gebruikt hebben om het reële scalaire veld te quantiseren is heel algemeen. We kunnen het met kleine aanpassingen gebruiken om het elektromagnetische veld A µ r, t te quantiseren. We beschrijven het veld van de klassieke viervector potentiaal in de zogenaamde stralingsijk, waarvoor geldt k A = 0, A 0 = 0. Het veld bevat slechts twee fysische vrijheidsgraden voor een gegeven viervector k µ. We voeren polarisatievectoren ɛ µ 1,2 in, die loodrecht op elkaar staan en op de voorplantingsrichting k. De Fourierexpansie van A µ kan dus worden geschreven als A µ r, t = 1 [ ɛ µ i a i,ke iωtk r + ɛ µ i a eiωtk r] i,k, 85 2V ω i=1,2 k We stellen vervolgens dat de Fouriercoëfficiënten annihilatie en creatie-operatoren worden, die voldoen aan [ ] a i,k, a j,k = δ kk δ ij. 86 De fysische interpretatie is dat a i,k een foton creëert met polarisatie vector ɛµ 1 en golfvector k. De Fock toestanden kunnen op dezelfde manier worden opgebouwd als we gedaan hebben voor het scalaire veld. 4.3 Het geladen scalaire veld Het blijkt dat we elektrisch geladen deeltjes niet met reële scalaire velden kunnen beschrijven. Om dat te doen hebben we een complex scalair veld nodig. De berekeningen gaan op dezelfde manier. Een geschikte klassiek Lagrangiaandichtheid wordt gegeven door L = [ µ ϕ µ ϕ µ 2 ϕ 2]. 87

19 4 RELATIVISTISCHE QUANTUMVELDEN 17 Als we ϕ en ϕ als onafhankelijke velden behandelen, dan vinden we de Euler-Lagrange vergelijkingen + µ 2 ϕx en + µ 2 ϕ x. 88 De Fourierexpansie moet nu een niet-hermitisch veld beschrijven en neemt de vorm aan van ϕ x = k 1 2V ω [a k e ikx + b k eikx], 89 en van de kanonieke commutatierelaties voor de klassieke velden ϕ en ϕ kan men afleiden dat [ ] [ ] a k, a k = b k, b k = δ kk. 90 Het blijkt dus dat we twee soorten "deeltjes" hebben, met dezelfde massa µ, die gecreëerd worden door a en b. Als we deze a-deeltjes en b-deeltjes koppelen aan de elektromagnetische wisselwerking, dan blijken ze tegenovergestelde elektrische lading te hebben. Dit formalisme kan dus omgaan met deeltjes en antideeltjes. 4.4 Afleiding van de Klein-Gordon vergelijking In het voorgaande hebben we gezien dat we een klassieke bewegingsvergelijking kunnen veranderen in een quantummechanische versie door de grootheden E en p te vervangen door afgeleides, en wel via de regel p i, E i In het geval van de klassieke energievergelijking, E = p 2 2m, leverde deze handeling de Schrödingervergelijking op. De prijs die we hiervoor moesten betalen, is dat de energie en de impuls niet meer gegeven worden als getallen, maar als operatoren, werkend op een nieuw object, de Schrödinger golffunctie ψ. Deze nieuwe interpretatie leidde, inter alia, tot het moeten verlaten van het idee dat energie en impuls gegeven worden door vaste waarden in een gegeven systeem. In plaats daarvan was de golffunctie Ψ nu een wiskundig object geworden waar, met behulp van eigenwaardevergelijkingen en het construct Ψ 2 = Ψ Ψ, ten beste een kansverdeling berekend kan worden die het gedrag van een quantummechanisch deeltje beschrijft. De Schrodingervergelijking bleek uiterst succesvol in het voorspellen van het gedrag van eenvoudige quantummechanische systemen: het waterstofatoom en de chemische bindingen van atomen kunnen, tot op zekere hoogte, met goede nauwkeurigheid worden verklaard door het oplossen van de betreffende Schrodingervergelijking. Echter, het feit dat de vergelijking is gebaseerd op de klassieke relatie tussen impuls en energie maakt dat de quantummechanica niet in staat is om ook in rekening te nemen dat deeltjes met hoge snelheid kunnen bewegen. Om zulke effecten in rekening te nemen moet de speciale relativiteitstheorie worden ingebouwd in het raamwerk van de quantummechanica. De meest voor de hand liggende methode daartoe is door niet de klassieke relatie tussen energie en impuls te nemen als startpunt van de afleiding van een quantummechanische vergelijking, maar de relativistische energievergelijking, die al was afgeleid in een eerder Hoofdstuk en in het volgende Hoofdstuk nog eens herleid zal worden, met behulp van het formalisme van Lagrange, E 2 = p 2 + m Deze kan worden geschreven als E 2 + p 2 + m 2 = 0. 93

20 4 RELATIVISTISCHE QUANTUMVELDEN 18 Als we hierin de quantummechanische operatoren van Eq.91 introduceren en het geheel laten werken op een functie φ, vinden we daarvoor de differentiaalvergelijking m 2 φt, x = 0, 94 of, als contractie geschreven via = µ µ 2 hierin wordt 2 de l Ambertiaan genoemd, vinden we 2 + m 2 φt, x = Deze vergelijking heet de Klein-Gordon vergelijking, en de oplossing φ heet de Klein-Gordon golffunctie, of het Klein-Gordon veld. Beide spelen een hoofdrol in de relativistische quantummechanica. Hiermee zijn we erin geslaagd om een quantummechanische vergelijking te vinden die voldoet aan de regels van de speciale relativiteitstheorie. Dit is nog eens expliciet te zien omdat elke term in de Klein-Gordonvergelijking een scalar is: 2 is immers een contractie van twee 4-vectoren, en m is een invariant. De vraag dringt zich vervolgens op wat de fysische betekenis is van de oplossing φ. Het ligt voor de hand te denken dat het, net als de oplossing ψt, x van de Schrodingervergelijking, een maat is voor de kans dat er een deeltje wordt gevonden op positie x en op tijdstip t. We zullen echter later zien dat dit niet het geval is. Om dit expliciet te maken, is het eerst nodig om de algemene oplossing van de Klein-Gordonvergelijking te vinden. 4.5 Oplossingen van de Klein-Gordon vergelijking De Klein-Gordon vergelijking dicteert dat een som van tweede afgeleides van de oplossing φ naar de tijd- en ruimtecöordinaten gelijk moet zijn aan m 2 maal de oplossing zelf. Dit suggereert dat de oplossing de vorm aan zal nemen van een e-macht. Het feit dat de tijd-en ruimteafgeleiden een relatief minteken kennen geeft aan dat de tijd-en ruimteafhankelijkheden in de exponent van de e-macht eveneens een onderling relatief minteken hebben. Het ligt dan ook voor de hand om de exponent te schrijven als een contractie van x µ met een andere 4-vector, en een natuurlijke keuze is voor deze de energie-impuls vector p µ te nemen. We proberen dan ook dat de oplossing φt, x gegeven wordt door φt, x = up e ±ipµxµ, 96 waarin up een, tot zover, onbekende scalaire functie is. Wanneer deze aanname wordt ingevuld in de Klein-Gordon vergelijking wordt gevonden 2 + m 2 φ = up E 2 + p 2 + m 2 e ±ipµxµ = 0, 97 waaruit volgt dat er zou moeten gelden dat E 2 = p 2 + m 2, wil Eq.96 een oplossing zijn. Hier is, uiteraard, altijd aan voldaan, en wel voor elke keuze van de scalaire functie up, en voor elk van de twee mogelijke waarden van het ± in de exponent. Hiermee hebben we aangetoond dat de Klein-Gordon vergelijking twee oplossingen kent, die elk voldoen aan de klassieke relativistische energievergelijking. Het is eenvoudig om in te zien dat deze oplossingen geen veelvoud van elkaar zijn, en daarom lineair onafhankelijk. De algemene oplossing van de Klein-Gordon vergelijking is een lineaire combinatie van deze twee oplossingen: φt, x = up e ipµxµ + vp e ipµxµ. 98

21 4 RELATIVISTISCHE QUANTUMVELDEN Problematische interpretatie Nu de oplossingen van de Klein-Gordon vergelijking bekend zijn, kan de vraag worden gesteld wat de oplossingen betekenen: wat is de fysische interpretatie van het Klein-Gordonveld φ? In de niet-relativistische quantummechanica had de Schrödinger-golffunctie de betekenis van een kansdichtheid, wat betekent dat het kwadraat ψt, x 2 = ψ t, x ψt, x de kans geeft dat het beschreven deeltje zich op tijdstip t op de positie x bevindt. Het ligt daarom voor de hand om aan te nemen dat een soortgelijke interpretatie van de Klein-Gordon golffunctie ook zal gelden in de relativistische quantummechanica. Deze gedachte wordt kracht bijgezet door het feit dat de Klein-Gordongolffunctie φ over zal moeten gaan in de Schrodingergolffunctie ψ, wanneer we de klassieke, niet-relativistische limiet nemen. We zouden daarom kunnen postuleren dat de kansdichtheid van het Klein-Gordonveld gegeven wordt door de uitdrukking φ 2 = φ φ. We lopen dan echter tegen twee fundamentele problemen aan. Ten eerste kan de uitdrukking φ φ negatief worden, zoals blijkt wanneer we de algemene oplossing Eq.98 invullen: φ φ = u pe ipµxµ + v pe ipµxµ up e ipµxµ + vp e ipµxµ = up 2 + vp 2 + 2u pvp e 2ipµxµ + c.c. = up 2 + vp 2 2 Cp cos2p µ x µ, 99 waarin voor notationeel gemak is geschreven Cp = ReupRevp+ImupImvp. Deze uitdrukking kan inderdaad, bij bepaalde keuzes voor de constanten up en vp, negatief worden. Dat diskwalificeert φ φ als een kansdichtheid. Ten tweede is deze uitdrukking niet in lijn met de essentie van de speciale relativiteitstheorie. In die theorie geldt immers dat tijd-en ruimtecomponenten van een 4-vector aan elkaar gerelateerd moeten zijn via Lorentz-transformaties. De ruimtecomponenten j van de kansdichtheid waren in het geval van de Schrodingergolffunctie Ψ gegeven door j = i Ψ Ψ Ψ Ψ, 100 2m en het is duidelijk dat onze aanname voor de relativistische kansdichtheid niet in dezelfde 4-vector thuishoort als de ruimtelijke componenten. Dit laatste probleem zou kunnen worden opgelost door de kansdichtheid opnieuw te definieren, en wel volgens een definitie van dezelfde vorm als die van j: ρ i 2m φ 0φ φ 0 φ. 101 Helaas blijkt ook dan weer dat deze uitdrukking negatief kan worden, hetgeen direkt volgt door de algemene oplossing Eq.98 in te vullen: i 2m φ 0φ φ 0 φ = E up e ipµxµ + vp e ipµxµ u p e ipµxµ v p e ipµxµ 2m c.c. = E up 2 up v p e 2ipµxµ + vp u p e 2ipµxµ vp 2 2m c.c. = E up 2 vp 2, 102 2m wat, inderdaad, negatief kan worden voor bepaalde keuzes van de constanten up en vp. Bovendien zou deze keuze voor de kansdichtheid ons afdwingen dat het Klein-Gordonveld louter

22 4 RELATIVISTISCHE QUANTUMVELDEN 20 complex mag zijn, omdat reële uitkomsten van de Klein-Gordonvergelijking een ρ van nul opleveren. Al met al voldoet dus ook de uitdrukking Eq.101 niet als kansdichtheid van het Klein- Gordonveld. We staan nu voor een keuze: verlaten we oude interpretatie van de golffunctie φ door op zoek te gaan naar een nieuwe fysische betekenis va deze grootheid, of zullen we proberen φ te blijven zien als een maat voor de kansdichtheid maar passen we de onderliggende relativistische quantummechanica aan die ons de golffunctie oplevert? De pioniers van de quantumtheorie kozen voor de laatste aanpak, en hoopten de Klein-Gordonvergelijking te vervangen door een andere relativistische quantummechanische golfvergelijking, die, zo was de hoop, wel degelijk toestaat dat de oplossing een maat is voor de kansdichtheid. Deze aanpak leidde tot een nieuwe vergelijking, genaamd de Dirac vergelijking, die we niet zullen behandelen in dit college. De Dirac-vergelijking is, zo zal blijken, uiterst succesvol in het beschrijven van fermionen en leidt tot allerlei wonderlijke en diepzinnige voorspellingen over de aard van materie waaronder de beroemdste het bestaan van antideeltjes is. Helaas staat ook de oplossing van Dirac-vergelijking, net als die van de Klein-Gordonvergelijking, niet onze oude interpretatie van kansdichtheden toe. Dit betekent dat we, geen andere keus hebben dan alsnog een geheel nieuwe fysische interpretatie te bedenken voor de betekenis van de oplossingen van beide vergelijkingen. Dit kan met de quantumveldentheorie. We zullen dan, met behulp van die nieuwe fysische interpretatie, zien dat de oplossingen van zowel de Klein-Gordon vergelijking als de Dirac-vergelijking een uiterst succesvolle beschrijving geven van de fysica van de kleinste deeltjes.

23 5 BEHOUDEN GROOTHEDEN EN HET NOETHER THEOREMA 21 5 Behouden grootheden en het Noether Theorema Nu de regels voor het beschrijven van velden bekend zijn, kunnen we onze eerdere inzichten over het Klein-Gordon veld in dit nieuwe formalisme uitdrukken. Hiertoe introduceren we de Lagrangiaan L = µ φ µ φ m 2 φ voor het Klein-Gordon veld φ. Dat deze Lagrangiaan inderdaad de bekende bewegingsvergelijking voor quantumvelden oplevert zullen we nu demonstreren voor de Klein-Gordon Lagrangiaan. Hiertoe vullen we de bovenstaande Lagrangiaan in de Euler-Lagrange vergelijking Φ = µ µ Φ 104 in, en werken we beide zijden uit. Het is direct duidelijk dat de afgeleides van de rechterzijde alleen zal werken op de eerste term van de Klein-Gordon Lagrangiaan. De rechterzijde van de Euler-Lagrange vergelijking geeft de uitdrukking µ µ φ η αβ α φ β φ = µ η µβ β φ = η µβ µ β φ = 2 φ. 105 De linkerzijde van de Euler-Lagrange vergelijking werkt alleen op de tweede term van de Klein- Gordon Lagrangiaan, en geeft 12 φ m2 φ 2 = m 2 φ. 106 De beide zijdes aan elkaar gelijkgesteld geeft ons dan inderdaad de Klein-Gordon vergelijking 2 + m 2 φ = Het is interessant om op te merken dat als we de gevonden bewegingsvergelijking terug substitueren in de Lagrangiaan, we vinden dat die gelijk is aan nul. Dit geldt dan ook voor de actie S. De extreme waarde van de actie is blijkbaar nul. Zoals bekend is er een aantal grootheden die tijdens fysische processen niet van waarde en richting, in het geval van vectoren zullen veranderen in de tijd. Zulke grootheden worden behouden genoemd. Bekende behouden grootheden uit de klassieke mechanica zijn energie E, impuls p, en impulsmoment L van een verzameling deeltjes die met elkaar in interactie zijn. Een specifiek voorbeeld is de beweging van de planeten rond de zon: ondanks het feit dat de positie, snelheid, en afstand tot de zon van elke planeet op zijn baan rond de zon op elk moment anders is, wordt zijn energie op elk moment in de baan door hetzelfde getalletje gegeven. In hetzelfde voorbeeld geldt dit ook voor het impulsmoment. Het bestaan van behouden grootheden levert vaak enorm rekenkundig voordeel op bij het oplossen van de bewegingsvergelijkingen, omdat we in staat zijn een heel deel van de mogelijke oplossingen uit te sluiten. Immers, alleen die oplossingen die de behouden grootheden inderdaad constant houden, zijn toegestaan. Ook maakt het gebruik van behouden grootheden het mogelijk om conclusies te trekken over het beschouwde proces zonder ook maar de bewegingsvergelijkingen te hoeven oplossen. Zo kan de omlooptijd van een planeet om de zon worden uitgedrukt als functie van de afstand tot de zon 3, zonder daarbij de details van de omloopbaan te kennen. Ook in andere takken van de klassieke natuurkunde zijn er behouden grootheden bekend. Een voorbeeld uit de klassieke elektrodynamica is de elektrische lading van deeltjes, en voorbeelden 3 De uitkomst is de zogenaamde Derde Wet van Kepler.

24 5 BEHOUDEN GROOTHEDEN EN HET NOETHER THEOREMA 22 uit de deeltjesfysica zijn in de eerdere hoofdstukken van dit dictaat geïntroduceerd: leptongetal, baryongetal, kleurlading, en, in het geval dat de zwakke interactie wordt genegeerd, vreemdheid. Een vraag die dan gesteld kan worden is de volgende: wat is de oorsprong van een gegeven behouden grootheid? In het geval van de klassieke mechanica kunnen het behoud van mechanische energie, impuls en impulsmoment rigoreus worden bewezen met behulp van de Wetten van Newton, maar veelal wordt het bestaan van behouden grootheden gepostuleerd, en dan meestal naar aanleiding van experimentele gegevens. Het formalisme van Lagrange stelt ons echter in staat om te bewijzen dat er behouden grootheden bestaan, en door welke uitdrukkingen ze worden gegeven. Het blijkt dat het bestaan van behouden grootheden een diepe connectie kent met de zogenaamde symmetrieen van een fysisch systeem. Dit uiterst belangrijke feit staat bekend als het Theorema van Noether, en kan als volgt worden geformuleerd: Voor elke symmetrie van de Lagrangiaan van een fysisch systeem kent dit systeem een hiermee corresponderende behouden grootheid. In wat volgt zullen we het Noether Theorema bewijzen en de consequenties ervan voor de deeltjesfysica onderzoeken. 5.1 Bewijs van het Noether Theorema Hiertoe beschouwen we een Lagrangiaan L van een quantummechanisch systeem. We zullen bewust geen uitspraken doen over de vorm van de Lagrangiaan, zodat onze conclusies zo algemeen mogelijk zullen zijn. Het enige dat we zullen aannemen is dat de Lagrangiaan een functie is van een gegeven quantumveld Φx, en van de tijdruimteafgeleides, µ Φx, van het veld. Dus L = L Φ, µ Φ. 108 Deze aanname is erg algemeen, en wordt hieraan wordt voldaan door de Lagrangianen van het Klein-Gordon veld en het Dirac veld. We zullen vervolgens een verstoring δφ op het veld aanbrengen, Φ Φ + δφ. 109 In tegenstelling tot eerder zullen we deze keer niet aannemen dat de verstoring δφ nul is op de rand van het volume. Fysisch betekent dit simpelweg dat de eindwaarden van Φ niet meer vastliggen: we doen geen uitspraak meer over begin of eindtoestand van het beschouwde fysische proces. Ten gevolge van de verstoring van het veld zal de Lagrangiaan van het systeem ook veranderen, L L L + δl, 110 met een hoeveelheid δl waarvan de precieze details afhangen van de oorspronkelijke Lagrangiaan en van de aard van de verstoring δφ. Voor bepaalde verstoringen δφ, echter, zal de nieuwe Lagrangiaan L er uitzien als L = L + α F α, 111 voor een bepaalde set functies F α Φ. Als de verandering δφ van het veld deze verandering van de Lagrangiaan tot gevolg heeft, noemen we de operatie Φ Φ + δφ een symmetrieoperatie van de Lagrangiaan. De reden voor deze naam is simpelweg dat de oorspronkelijke Lagrangiaan, L, en de nieuwe, L, dezelfde actie S tot gevolg hebben. Immers, als we vergelijking 111 integreren over de ruimtetijd vinden we de actie S = {L + α F α } d 4 x. 112

Relativistische quantummechanica

Relativistische quantummechanica Chapter 6 Relativistische quantummechanica 6. De Klein-Gordon vergelijking 6.. Afleiding van de Klein-Gordon vergelijking In het voorgaande hebben we gezien dat we een klassieke bewegingsvergelijking kunnen

Nadere informatie

Chapter 7. Het formalisme van Lagrange. 7.1 Het Principe van Extreme Actie

Chapter 7. Het formalisme van Lagrange. 7.1 Het Principe van Extreme Actie Chapter 7 Het formalisme van Lagrange 7.1 Het Principe van Extreme Actie De bewegingswetten van Newton zijn algemeen bekend. De bekendste is waarschijnlijk dat deeltjes zich in een rechte lijn en met constante

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

nieuw deeltje deeltje 1 deeltje 2 deeltje 2 tijd

nieuw deeltje deeltje 1 deeltje 2 deeltje 2 tijd Samenvatting Inleiding De kern Een atoom bestaat uit een kern en aan de kern gebonden elektronen, die om de kern cirkelen. Dat de elektronen aan de kern gebonden zijn, komt doordat er een kracht werkt

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

Higgs-deeltje. Peter Renaud Heideheeren. Inhoud

Higgs-deeltje. Peter Renaud Heideheeren. Inhoud Higgs-deeltje Peter Renaud Heideheeren Inhoud 1. Onze fysische werkelijkheid 2. Newton Einstein - Bohr 3. Kwantumveldentheorie 4. Higgs-deeltjes en Higgs-veld 3 oktober 2012 Heideheeren 2 1 Plato De dingen

Nadere informatie

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005 Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule

Nadere informatie

QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX. Naam: Klas: Datum:

QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX. Naam: Klas: Datum: DE EPR-PARADOX QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX Naam: Klas: Datum: DE EPR-PARADOX DE EPR-PARADOX EEN GEDACHTE-EXPERIMENT Volgens de wetten van de quantummechanica kunnen bepaalde deeltjes spontaan vervallen.

Nadere informatie

versie 21 februari 2013 Quantumtheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam LION Universiteit Leiden

versie 21 februari 2013 Quantumtheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam LION Universiteit Leiden versie 21 februari 2013 Quantumtheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam en LION Universiteit Leiden c 1 Deeltje-golf dualisme Een vlakke golf wordt gekenmerkt door een golflengte λ en een periode T, of

Nadere informatie

Schrödinger vergelijking. Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013

Schrödinger vergelijking. Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013 Schrödinger vergelijking Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013 Inhoud presentatie Algemene opmerkingen Aannemelijk maken van de vergelijking Oplossingen van de vergelijking De situatie rond

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden

Nadere informatie

Het ongrijpbare Higgs-deeltje gegrepen

Het ongrijpbare Higgs-deeltje gegrepen Het Standaardmodel Het ongrijpbare Higgs-deeltje gegrepen Lezing 13 februari 2015 - Koksijde Christian Rulmonde Er zijn 18 elementaire deeltjes waaruit de materie is opgebouwd. Ook de deeltjes die de natuurkrachten

Nadere informatie

De energie van het vacuüm

De energie van het vacuüm Universiteit van Amsterdam ITFA, Institute for Theoretical Physics Bachelorscriptie voor natuur- /sterrenkunde Begeleider: Jan Pieter van der Schaar De energie van het vacuüm Andries van der Leden

Nadere informatie

De Broglie. N.G. Schultheiss

De Broglie. N.G. Schultheiss De Broglie N.G. Schultheiss Inleiding Deze module volgt op de module Detecteren en gaat vooraf aan de module Fluorescentie. In deze module wordt de kleur van het geabsorbeerd of geëmitteerd licht gekoppeld

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Relativiteit Als je aan relativiteit denkt, dan denk je waarschijnlijk als eerste aan Albert Einstein. En dat is dan ook de bedenker van de relativiteitstheorie.

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding:

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding: 1 Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. 23-09-2015 -------------------------------------------- ( j.eitjes@upcmail.nl) Een korte inleiding: Is Ruimte zoiets als Leegte, een

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal.

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal. -09-5 Bijlage voor Stabiel Heelal. --------------------------------------- In deze bijlage wordt onderzocht hoe in mijn visie materie, ruimte en energie zich tot elkaar verhouden. Op zichzelf was de fascinatie

Nadere informatie

Einstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet!

Einstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet! Einstein (6) n de voorafgaande artikelen hebben we het gehad over tijdsdilatatie en Lorenzcontractie (tijd en lengte zijn niet absoluut maar hangen af van de snelheid tussen waarnemer en waargenomene).

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

De Dirac vergelijking

De Dirac vergelijking De Dirac vergelijking Alexander Sevrin 1 Inleiding Deze nota s geven een korte inleiding tot de Dirac vergelijking en haar eigenschappen. Kennis van de Dirac vergelijking is onontbeerlijk bij de studie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Uitwerking Tentamen Quantumfysica van 15 april 010. 1. (a) De ket α is een vector in de Hilbertruimte H, en de bra β een co-variante vector

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Relativiteit. Relativistische Mechanica 1

Relativiteit. Relativistische Mechanica 1 Relativiteit University Physics Hoofdstuk 37 Relativistische Mechanica 1 Relativiteit beweging voorwerp in 2 verschillende inertiaal stelsels l relateren Galileo Galileïsche transformatie 2 Transformatie

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Kwantummechanica en Cellulaire Automaten: De CA Interpretatie

Kwantummechanica en Cellulaire Automaten: De CA Interpretatie Spinoza Institute, Center for Extreme Matter and Emergent Phenomena, Science Faculty, Utrecht University, Leuvenlaan 4, POBox 80.195, 3808TD, Utrecht Gerard t Hooft Kwantummechanica en Cellulaire Automaten:

Nadere informatie

Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema

Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema Opgave Zonnestelsel 005/006: 7 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming 7. Het viriaal theorema Het viriaal theorema is van groot belang binnen de sterrenkunde: bij stervorming, planeetvorming

Nadere informatie

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen:

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen: 60 Hoofdstuk 8 Modulaties en golfpakketten Met een lopende harmonische golf kan geen informatie overgebracht worden. Teneinde toch een boodschap te versturen met behulp van een harmonische golf dient deze

Nadere informatie

The Entangled Universe B. Mosk

The Entangled Universe B. Mosk The Entangled Universe B. Mosk THE ENTANGLED UNIVERSE Context In het begin van de 20 ste eeuw veranderden twee fundamenteel nieuwe concepten in de natuurkunde ons begrip van het universum. De eerste revolutie

Nadere informatie

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,

Nadere informatie

Analytische Mechanica

Analytische Mechanica Analytische Mechanica Universiteit Antwerpen - 2de bachelor fysica Christophe De Beule - Bart Partoens Academiejaar 2013-2014 Inhoudsopgave I. Analytische mechanica 1 1. Lagrangiaanse mechanica 2 1.1.

Nadere informatie

Kernenergie, hoofdstuk 3. Gideon Koekoek

Kernenergie, hoofdstuk 3. Gideon Koekoek Kernenergie, hoofdstuk 3 Gideon Koekoek Chapter 1 De Thermodynamica 1.1 Inleiding In de thermodynamica houden we ons bezig met het bestuderen van fysische systemen die macroscopisch volledig beschreven

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 10 oktober 2013. jo@nikhef.nl

Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 10 oktober 2013. jo@nikhef.nl Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 10 oktober 2013 jo@nikhef.nl Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 0620 539 484 / 020 592

Nadere informatie

Samenvatting. Klassieke! deeltjes. Bosonen

Samenvatting. Klassieke! deeltjes. Bosonen Samenvatting Dit proefschrift gaat over kwantummaterie, oftewel de collectieve gedragingen van een veelheid aan kwantumdeeltjes. In een stukje metaal of legering zitten circa 10 26 atomen die zich meestal

Nadere informatie

Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten

Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten P. Termonia vakgroep wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, UGent Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.1/35 Inhoud 1. conventies: notatie 2. luchtdeeltjes

Nadere informatie

Schriftelijk examen 2e Ba Biologie Fysica: elektromagnetisme 2011-2012

Schriftelijk examen 2e Ba Biologie Fysica: elektromagnetisme 2011-2012 - Biologie Schriftelijk examen 2e Ba Biologie 2011-2012 Naam en studierichting: Aantal afgegeven bladen, deze opgaven niet meegerekend: Gebruik voor elke nieuwe vraag een nieuw blad. Zet op elk blad de

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl

Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Speciale rela*viteit Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Albert Einstein (1879 1955) Einstein s grensverleggende papers (1905): De speciale

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Vraag 1. Toestandssom De toestandssom van een systeem is in het algemeen gegeven door de volgende uitdrukking: Z(T, V, N) = e E i/k B T. i a. Hoe is de

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

De wiskunde van de beeldherkenning

De wiskunde van de beeldherkenning De wiskunde van de beeldherkenning Op zoek naar wat er niet verandert! In het kader van: (Bij) de Faculteit Wiskunde en Informatica van de TU/e op bezoek c Faculteit Wiskunde en Informatica, TU/e Inhoudsopgave

Nadere informatie

7. Hoofdstuk 7 : De Elektronenstructuur van Atomen

7. Hoofdstuk 7 : De Elektronenstructuur van Atomen 7. Hoofdstuk 7 : De Elektronenstructuur van Atomen 7.1. Licht: van golf naar deeltje Frequentie (n) is het aantal golven dat per seconde passeert door een bepaald punt (Hz = 1 cyclus/s). Snelheid: v =

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1

Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1 Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1 5 november 2015 Patrick Baesjou Vraag 1 [17]: a. Voor de veerconstante moeten we de hoekfrequentie ω weten. Die wordt gegeven door: ω = 2π f ( = 62.8 s 1 ) Vervolgens

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

De golfvergelijking van Schrödinger

De golfvergelijking van Schrödinger De golfvergelijking van Schrödinger De golfvergelijking van Schrödinger beschrijft het gedrag van het elektron in het atoom. De oplossing van die vergelijking? i bevat informatie over de energie in de

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Fluorescentie. dr. Th. W. Kool, N.G. Schultheiss

Fluorescentie. dr. Th. W. Kool, N.G. Schultheiss 1 Fluorescentie dr. Th. W. Kool, N.G. Schultheiss 1 Inleiding Deze module volgt op de module de Broglie. Het detecteren van kosmische straling in onze ski-boxen geschiedt met behulp van het organische

Nadere informatie

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 2de bachelor burgerlijk ingenieur en bio-ingenieur 14 januari 2008, academiejaar 07-08 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/3) vraag 2 (/5) vraag 3 (/5)

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen 5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen.

MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. voorraadmodel: voorraadkosten personeelsplanningmodel: salariskosten machineonderhoudsmodel: reparatiekosten

Nadere informatie

Analyse: vraagstuk van Kepler

Analyse: vraagstuk van Kepler Analyse: vraagstuk van Kepler Deel : Afleiden tweede wet (wet der perken) Redelijk simpel. Uit de bewegingsvergelijking volgt dat =. Dit impliceert dat = =. Als je weet dat de tangentiële component van

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Zwaartekrachtsgolven. Johan Konter, Niels Pannevis, Sander Kupers. 24 juni 2006. Zwaartekrachtsgolven. Johan Konter, Niels Pannevis, Sander Kupers

Zwaartekrachtsgolven. Johan Konter, Niels Pannevis, Sander Kupers. 24 juni 2006. Zwaartekrachtsgolven. Johan Konter, Niels Pannevis, Sander Kupers 24 juni 2006 Inleiding 1805 Laplace 1916 Einstein 1950 Bondi 1993 Nobelprijs: Hulse & Taylor voor meten aan PSR 1916+13. Figuur: De golvende ruimte Concept van Ruimtetijd gebogen door massa Eindige lichtsnelheid

Nadere informatie

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave.

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Q1-1 Twee problemen uit de Mechanica (10 punten) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Deel A. De verborgen schijf (3.5 punten) We beschouwen een

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2 Inhoudsopgave 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel 2 1 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel I Figuur 1: Schematische voorstelling van een deel van een axon Elk

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica

1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica 1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica 1. Impuls van een π + meson Opgave: Een π + heeft een kinetische energie van 200 MeV. Bereken de impuls in MeV/c. Antwoord: Een π + meson heeft een massa

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde

Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde Albert Einstein en Euclides Geboren te Ulm op 14 maart 1879 Als kind geinteresseerd in Wiskunde en wetenschappen:magneten,electromotoren, wiskundige

Nadere informatie

Uitwerkingen toets emv

Uitwerkingen toets emv Uitwerkingen toets emv 24 april 2012 1 (a) Bij aanwezigheid van een statische ladingsverdeling ρ(r) wordt het elektrische veld bepaald door E = 1 ρ(r ) 4π r 2 ˆrˆrˆr dτ, V waarin V het volume van de ladingsverdeling,

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide

Nadere informatie

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven 1 Formulering van het probleem

Nadere informatie

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss 1 Deeltjes in Airshowers N.G. Shultheiss 1 Inleiding Deze module volgt op de module Krahten in het standaardmodel. Deze module probeert een beeld te geven van het ontstaan van airshowers (in de atmosfeer)

Nadere informatie

0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99

0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99 COHORTE MODELLEN Markov ketens worden vaak gebruikt bij de bestudering van een groep van personen of objecten. We spreken dan meestal over Cohorte modellen. Een voorbeeld van zo n situatie is het personeelsplanning

Nadere informatie

VERENIGDE DEELTJESINTERACTIES

VERENIGDE DEELTJESINTERACTIES VERENIGDE DEELTJESINTERACTIES Alle verschijnselen om ons heen en in het heelal kunnen uitgelegd worden met vier basiskrachten: gravitatie, elektromagnetisme, sterke en zwakke wisselwerking. Op het eerste

Nadere informatie

college 2: partiële integratie

college 2: partiële integratie 39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:

Nadere informatie

Thermodynamica rol in de moderne fysica Jo van den Brand HOVO: 13 november 2014

Thermodynamica rol in de moderne fysica Jo van den Brand HOVO: 13 november 2014 Thermodynamica rol in de moderne fysica Jo van den Brand HOVO: 13 november 2014 jo@nikhef.nl Kosmologie Algemene relativiteitstheorie Kosmologie en Big Bang Roodverschuiving Thermodynamica Fase-overgangen

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie