VWO Wiskunde D Discrete dynamische modellen

Transcriptie

1 VWO Wiskude D Discrete dyamische modelle

2 Ihoud 1 Voorbeelde va dyamische systeme 1 2 Rije 6 3 Iteratie 16 4 Limiete berekee 20 5 Gemegde opgave 35 Atwoorde 46 Bij opgave gemarkeerd met dit symbool hoort ee computerprogramma G27 Bij opgave gemarkeerd met dit symbool hoort ee werkblad Opgave of passages gemarkeerd met dit symbool kue worde overgeslage Experimetele uitgave 2015 voor wiskude D vwo 4, 40 slu Colofo 2015 Stichtig De Wageigse Methode Auteurs Leo va de Broek, To Geurtz, Maris va Haadel, Dolf va de Hombergh, Peter Kop, Hek Reulig, Daa va Smaale Illustraties Homepage Wilso Desig Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd e/of opebaar gemaakt worde door middel va druk, fotokopie, microfilm of op welke adere wijze ook, zoder voorafgaade toestemmig va de houder va het copyright.

3 1 Voorbeelde va dyamisch systeme Hieroder staa vier voorbeelde va dyamische systeme, met de verschillede factore die ee rol spele. 1. Stromig i ee havemod. - eb- e vloedbewegig - vaarbewegige va schepe - aavoer water uit ee rivier - wid 2. Het weer - luchtverplaatsige (de luchtdruksituatie i de omgevig) - temperatuur - luchtvochtigheid - geografische omstadighede (bijv. ope water) - bewolkig 3. Prijsotwikkelig (va bijvoorbeeld bezie) - productie va olie - politieke spaige - milieuoverwegige - seizoesivloede 4. Griepepidemie - agressiviteit va het griepvirus - voorzorgsmaatregele (ietig) - het weer - immuiteit - verspreidigsselheid (besmettelijkheid ) 1 Zoek og ekele voorbeelde va dyamische systeme. Kies de voorbeelde uit verschillede vak- e toepassigsgebiede. Noem bij elk voorbeeld de vooraamste factore die ee rol spele. Ee dyamisch systeem otwikkelt zich i de loop va de tijd. Er spele verschillede variabele ee rol. Die variabele beïvloede elkaar: als ee erva veradert, veradere de adere ook. De praktijk is complex. Daarom zulle we de werkelijkheid vaak vereevoudige. Je moet altijd kritisch blijve of de gedae vereevoudige mi of meer veratwoord zij e het model de werkelijkheid og wel redelijk beschrijft. We gaa u eerst ekele dyamische systeme voor ee paar stappe doorrekee. Voorbeelde va dyamische modelle 1

4 2 Rupse e vliders Vliders legge eiere. Daar kome rupse uit. Als de rups volgroeid is, gaat hij verpoppe. Na verloop va tijd kruipt er ee vlider uit de pop. Da is de cyclus rod. Oderweg ka er ee heleboel mis gaa. Zo zij de rupse ee smakelijk hapje voor vogels. E vliders zij (vooral als ze et uit de pop zij gekome) erg kwetsbaar. Er zij wel soorte vliders, waarva er zo' 2000 i Nederlad voorkome. Hoe lag de verschillede fase va de cyclus dure, hagt sterk af va de soort. E ook de leefgewoote e overlevigskase i deze fase. Bekede vliders i Nederlad zij het koolwitje, de dagpauwoogvlider e de koigiepage. De koigiepage is ee grote dagvlider. Hij vliegt i Nederlad va mei tot oktober. Hij is geel met ee zwarte tekeig. De rups is groe met zwarte bade. Het aatal rupse i ee jaar hagt af va het aatal vliders i het jaar daarvoor. E het aatal vliders hagt af va het aatal rupse i het jaar daarvoor. We volge de populatie rupse e vliders. Stel dat elke vlider ee jaar later 2 rupse veroorzaakt e dat elke rups met kas 0,6 ee vlider wordt. I ee zeker jaar, het jaar 0, ware er 1000 vliders e 3000 rupse. Ee jaar later, het jaar 1, zij er 2000 rupse e 1800 vliders. a. Hoeveel vliders e rupse zij er de volgede twee jare. Zet je uitkomste i ee tabel zoals hieraast. v is het aatal vliders i het jaar, r is het aatal rupse i het jaar ( = 0, 1, 2, 3, ). Bovestaade aaame kue we zo opschrijve: v 0 = 1000, r 0 = 3000, r = 2 v 1 ( = 1, 2, 3, ), v = 0,6 r 1 ( = 1, 2, 3,...). b. Ga dat a. N.B. De derde regel is ee samevattig va oeidig veel regels: r 1 = 2 v 0, r 2 = 2 v 1, r 3 = 2 v 2, r 4 = 2 v 3, ez. Hierbove is achtereevolges r 1, v 1, r 2, v 2, r 3 e v 3 uitgereked. Hoe de populatie rupse e vliders zich verder zal otwikkele i de loop der jare is iet ee-twee-drie te zegge. Zulle ze uitsterve, zal de populatie explodere, zal de populatie zich stabilisere (zo ja, op welke aatalle)? Dit is ee oderwerp va oze studie. E als de kas 0,6 wordt vervage door 0,5, hoe zal de vlider-rups-toekomst er da uitzie? 2 3 Discrete dyamische modelle

5 3 Medicijspiegel De bijsluiter over het gebruik va ee medicij vertelt het volgede. Elke dag verdwijt 25% va het medicij uit het lichaam door uitscheidig. Neem dagelijks 1500 mg va het medicij i. We gaa erva uit dat de patiët vóór dag 1 og iets va het medicij i het lichaam heeft. Op dag 1 eemt hij voor het eerst, geheel volges de regels va de bijsluiter, 1500 mg i. E dat zo elke dag. a. Hoeveel mg medicij heeft de patiët i zij lichaam op dag 2, dag 3 e dag 4, metee adat hij zij dagelijkse dosis heeft igeome? m is het aatal milligram medicij i het lichaam, a de iame va de dagelijkse dosis op dag ( = 1, 2, 3, ). We kue het voorgaade da zo opschrijve: m 1 = 1500, m = 0,75 m ( = 2, 3, 4, ) b. Ga dat a. Ook u is iet omiddellijk duidelijk hoe de medicijspiegel zich zal otwikkele i de loop der dage. E hoe zal dat gaa als we de vaste iame va 1500 mg veradere? E als de gegeve 25% iet helemaal juist blijkt te zij? 4 Ratte Ee rattevrouwtje werpt gemiddeld elke veertig dage ee est. Zo' est heeft gemiddeld zes joge, waarva er drie vrouwtje zij. De joge rattevrouwtjes zij de eerste tijd og iet vruchtbaar. Na tachtig dage werpt ee rattevrouwtje voor het eerst ee est va zes joge. We begie met éé rattepaar, dus met 1 rattevrouwtje. Na 40 dage zij er da = 4 vrouwtjes, waaroder er maar 1 vruchtbaar is. Na 80 dage zij er = 7 rattevrouwtjes, waaroder er = 4 vruchtbare zij. a. Bereke hoeveel rattevrouwtjes er zij a 120 dage. Hoeveel vruchtbare vrouwtjes zij daarbij? Ook a 160 dage. Het aatal vruchtbare rattevrouwtjes a periodes va 40 dage oeme we r. Da late de bovestaade aaame zich vertale als volgt: Voorbeelde va dyamische modelle 3

6 b. Vul i: r 0 = 1, r 1 = 1, Leg uit dat r = r 1 + ( = 2, 3, 4,...). Duidelijk is dat het aatal ratte explodeert. Maar hoeveel er a 800 dage zij, is iet zo sel duidelijk. E hoe zal het aatal otwikkele als we de vruchtbaarheid va de rattevrouwtjes wete terug te brege tot va 3 tot 1,5? Wat is ee discreet dyamisch model? Je hebt u drie voorbeelde gezie va zogeaamde discrete dyamische modelle. Waarom dyamisch? De toestad op ee bepaald momet hagt af va éé of meer toestade daarvoor. Bij opgave 1: als er vorig jaar 1000 vliders e 3000 rupse zij, zij er dit jaar 1800 vliders e 2000 rupse. Bij opgave 2: als er gistere 1500 gram medicij i het lichaam was, is er vadaag 2625 gram. Bij opgave 3: als er vorige periode 7 rattevrouwtjes ware e twee periodes gelede 4, da zij er u 19. Waarom discreet? Je bekijkt de toestad iet doorloped maar om gezette tijde. I de voorbeelde was dat om het jaar, om de dag of om ee periode va 40 dage. Wat er tussetijds gebeurt, is obeked; i elk geval iteresseert os dat iet. Waarom model? De werkelijkheid sterk vereevoudigd. Feitelijk werk je met gemiddelde waarde e omstadighede die iet (te veel) moge veradere. Hierbij laat je allerlei praktische storige buite beschouwig. Bij opgave 2: Je eemt oder adere aa dat de overlevigskase elk jaar hetzelfde blijve. 5 a. Welke aaame maak je bij opgave 3? b. E bij opgave 4? I ee dyamisch model is steeds hetzelfde hoe de toestad op ee bepaald momet afhagt va de vorige toestad(e). Je past dus steeds weer dezelfde maier va berekee toe. Die maier is gegeve door ee formule of ee berekeigswijze. Die formule of berekeigswijze veradert dus iet i de loop va de tijd. 4 3 Discrete dyamische modelle

7 De aatalle vliders i de opvolgede jare (opgave 2) vorme ee rij getalle: 1000, 18000, 1200, 2160, 1440,. De aatalle mg medicij i de opvolgede dage (opgave 3) vorme ee rij: 1500, 2625, 3468,8, 4101,6, 4576,2,. De aatalle rattevrouwtjes i de opvolgede periodes va 40 dage (opgave 4) vorme ee rij: 1, 1, 4, 7, 19, 40, 97,. I de volgede paragraaf gaa we os bezighoude met rije. Het is duidelijk dat, om bij ee model de rij va aatalle i de opvolgede stappe te berekee, ee computer hadig is. I de drie voorbeelde werd de ieuwe situatie steeds op dezelfde maier bereked uit de vorige of de vorige twee. E ee computer ka sel e foutloos eezelfde berekeig heel vaak herhale. Ook de GR ka dat prima. Voorbeelde va dyamische modelle 5

8 23 2 Rije 6 Spare Aeke spaart met de regelmaat va de kaleder. Op 1 jauari 2000 had zij 235. Elke week weet ze daar 23 euro aa toe te voege. Het gespaarde bedrag a weke oeme we b. a. Leg b uit 235dat 0 = b b,1,2, = + = b. Leg uit dat b = ( = 0, 1, 2,...). c. Na hoeveel weke is Aeke de 1000-euro-gres gepasseerd? 0,... De formule i opgave 6a zegt hoe je - als je de de term ket - de +1 ste term kut berekee. Als je bijvoorbeeld b 12 wilt berekee, zul je eerst b 11 moete uitrekee; daarvoor moet je eerst b 10 uitrekee. Ezovoort. Omdat je de startwaarde b 0 ket, ku je dus i twaalf stappe b 12 uitrekee. We oeme de twee regels tezame ee recursieve formule. De formule i opgave 6b zegt hoe je direct de term bij ee gegeve ragummer kut berekee. We oeme dit ee directe formule. 7 Pakketje Iemad heeft ee groot stuk papier 5 keer dubbelgevouwe. Zodoede is er ee aardig dik pakketje otstaa. a. Hoeveel lage is het pakketje dik? Het aatal lage dat het pakketje a keer dubbelvouwe dik is, oeme we a ( = 0, 1, 2, 3,...). b. Geef ee recursieve formule voor a. Vergeet iet ook de startwaarde te geve. c. Geef ee directe formule voor a. I de opgave 6 e 7 is er sprake va ee rij getalle. Soms begie we bij 0 te telle, soms bij 1. Ee rij is (meestal) oeidig lag. Er zij twee maiere om zo' rij vast te legge: direct e recursief. I beide gevalle ku je de rij i de GR ivoere. Bij de rij va opgave 6 gaat dat als volgt. 6 3 Discrete dyamische modelle

9 MODE, Seq, ENTER (zo zet je de GR i de rij-mode) De directe formule op de GR Y =, Mi = 0, (de rij begit met de ulde term) u() = Bij u(mi) hoef je iets i te voere. De recursieve formule op de GR Y =, Mi = 0 u() = u( 1)+ 23 ( vid je oder de kop X,T,θ,) u(mi) = 235 Met TABLE krijg je ee tabel va de rij. Als je bijvoorbeeld u 27 wilt wete, ku je met de cursorpijl door de tabel lope tot de plaats = 27. Maar dat ka ook seller; ga aar het scherm (met quit) e toets i: u(27) ENTER. 8 Hodebelastig I Nijmege was de gemeetelijke hodebelastig i 2007 als volgt. Voor de eerste hod moest de eigeaar 88 betale; voor elke volgede hod 132. H is de belastig voor hode (i euro's). Hierbij is ee positief geheel getal. a. Ee Nijmegeaar had i 2007 zeve hode. Hoeveel moest hij aa hodebelastig betale? b. Stel ee directe formule op voor H. c. Vul i: H 8 = H 7 +. d. Stel ee recursieve formule op voor H. 9 Verdue I ee bak zit 7 liter water, met daari 320 gram zout opgelost. We voere de volgede verduig uit: Voeg 1 liter water toe aa de bak; roer goed; schep er 1 liter water uit, zodat er weer 7 liter overblijft. We voere deze verduig bij herhalig uit. a. Hoeveel gram zout is er og over i de bak als je twee keer de verduig hebt uitgevoerd? b. Geef ee recursieve formule voor het aatal gram g zout dat a verduige i de bak over is. ( is ee positief geheel getal.) c. Maak ee tabel op de GR. d. Geef ee directe formule voor g. e. Na hoeveel verduige is er mider da 10 gram zout i de bak over? Rije 7

10 10 Samegestelde iterest Bij de meeste spaarbake wordt de rete jaarlijks bereked. Als je de rete iet opeemt, wordt die bij het tegoed bijgeschreve e levert hij het jaar daarop dus ook rete op. Me spreekt da va samegestelde iterest. Stel dat je 4% rete otvagt per jaar. I 2000 had je jaar later is dit kapitaal aagegroeid tot K euro. a. Hoe ku je K 4 (dat is het kapitaal a 4 jaar) berekee als je K 3 ket? b. Geef ee recursieve formule voor K ( = 0, 1, 2, 3,...). c. Maak ee tabel voor K op de GR. d. Na hoeveel jaar wordt de euro-gres overschrede? e. Leg uit dat K 3 = ,04 3. f. Geef ee directe formule voor K. g. Bereke K 8 K 7. h. Wat is de betekeis va het verschil K 8 K 7? 11 Halve competities Vier ploege spele ee halve competitie, dat wil zegge dat elke ploeg éé keer tege elk va de drie adere ploege speelt. a. Hoeveel wedstrijde worde er i totaal gespeeld? Je kut uittelle dat bij ee halve competitie va tie ploege er i totaal 45 wedstrijde worde gespeeld. b. Weet je u ook het totaal aatal wedstrijde i ee halve competitie va elf ploege? ploege spele ee halve competitie. ( is ee positief geheel getal.) c is het aatal wedstrijde dat i totaal gespeeld wordt. c. Hoe ku je c +1 uitrekee als je c weet? d. Geef ee recursieve formule voor c. e. Maak ee tabel voor c op de GR. Je weet u dat c 7 = c ; c 6 = c ; c 5 = c ; c 4 = c ; c 3 = c ; c 2 = 1. c 7 is dus de som va de eerste zes positieve getalle. Die ku je uitrekee met de truc va Gauss. Dat gaat zo: c 7 = c 7 = c 7 = f. Maak deze berekeig va c 7 af. g. Maak et zo' berekeig va c 11. h. Welke directe formule vid je op deze maier voor c? 8 3 Discrete dyamische modelle

11 12 We kijke og ees aar de medicijspiegel va opgave 3. Het aatal milligram medicij i het lichaam, a de iame va de dagelijkse dosis op dag is m ( = 1, 2, 3, ) We hebbe m 1500 de volgede recursieve betrekkig: 1 = m 0, 75 m,3,4 1. = + = a. Maak ee tabel op de GR. Hoeveel mg zit er i het lichaam, omiddellijk a de iame op dag 20? b. Oderzoek op de GR wat het aatal milligram op de duur ogeveer is (dat wil zegge a ee groot aatal dage) , De rij va Fiboacci Fiboaccikoije gaa ooit dood. Vaaf zij tweede levesjaar werpt ee fiboaccikoij éé jog per jaar (maetjes e vrouwtjes kee de fiboacci's iet). I het (begi va het) jaar 0 is er 1 fiboaccikoij. a. Leg uit dat er i het (begi va) jaar 1 og steeds 1 koij is e dat i het (begi va) jaar 2 er 2 koije zij. b. Maak ee tabel va het aatal koije i het begi va de jare: Het aatal koije i het begi va jaar oeme we u(). c. Leg uit dat geldt: u() = u( 1) + u( 2) voor alle getalle 2. Ee recursieve u formule voor deze rij is: = u = u u u,3,4 = + = Merk op dat je, om ee volgede term te berekee, de twee vorige moet optelle. Vadaar dat er ook twee begiwaarde gegeve zij. d. Voer deze recursieve formule i op je GR. Kies Mi = 0. Achter u(mi) moet je u ivoere: {1,1}. Je vertelt hiermee dat u(1) =1 e u(0) = 1. e. Maak ee tabel va de rij op je GR. Vaaf welk jaar zij er voor het eerst meer da 100 koije? f. Bepaal hoeveel koije er i het jaar 40 zij , Rije 9

12 )De vraag hoeveel koije er zulle zij a 12 jaar, komt voor i het boek Liber Abaci. Dat boek verschee i 1202, geschreve door Leoardo va Pisa, die ook wel Fiboacci (= zoo va Boacci) werd geoemd. Het boek heeft veel bijgedrage aa de verspreidig va het tietallig stelsel i West Europa. Mede door dit boek is de wiskude a de Middeleeuwe tot bloei gekome. Het is iet zo eevoudig ee directe formule voor de rij va Fiboaci op te stelle. 14 We bekijke u de rij u met de recursieve formule = u =. u u u,3,4, = + = )a. Voer deze rij i op je GR. Achter u(mi) moet je ivoere: {1,2} (eerst u(1) opgeve e daara u(0)). Maak op je GR ee tabel va deze rij. Bepaal u(20). b. Voer bij v() de rij va machte va 2 i. Dus v() = 2 Vergelijk de rije u() e v() i de tabel. Wat valt je op? c. Leg uit dat geldt: (-1) = 1 als is eve e (-1) = -1 als is oeve. Geef ee directe formule voor u(). (1)1(2)0( 2()2(2)1(Bij de rije i opgave 12 e 13 moest je twee begiwaarde kee om de rij vast te legge. 15 We kijke og ees aar de rattepopulatie va opgave 4. Het aatal ratte a periodes va 40 dage is r ( = 0, 1, 2, ). We hadde de volgede recursieve betrekkig: r0 = 1 r1 = 1. r = r 1 + 3r 2 ( = 2, 3, 4,...) a. Maak ee tabel op de GR. Hoeveel ratte zij er a 400 dage? b. Zoek op de tabel waeer er meer da 1 miljoe ratte zij. I opgave 2 hage de aatalle rupse e de aatalle vliders va elkaar af. Je hebt dus te make met twee rije die aa elkaar gekoppeld zij. Om de otwikkelig va de aatalle rupse e vliders te kue volge, moete beide rije tegelijk op de GR worde igevoerd Discrete dyamische modelle

13 Zet de GR met MODE i de stad Seq (regel 4). Voer de rije i bij Y=. Gebruik i dit geval de rij u voor de vliders e de rij v voor de rupse: u() = 0.6 v( 1) e v() = 2 u( 1). Kies Mi, i dit geval 0. Vul bij u(mi) e v(mi) de begiwaarde i, i dit geval 1000 e TBLSET Kies bij TblStart de eerste waarde va die je wilt hebbe. I dit geval 0. Kies bij Tbl met hoeveel je wilt late toeeme. I dit geval 1. Met TABLE maakt je ee tabel voor u e v. 16 Voer de rije i op de GR. Hoeveel rupse e vliders zij er i jaar 18? 17 Gemiddelde Aeke zit i de brugklas. Elke week krijgt ze ee overhorig Egels. De eerste keer had ze og iet door hoe het werkte e haalde ze prompt ee 1. Ze heeft zich daardoor iet uit het veld late slaa; alle volgede overhorige scoorde Aeke ee 10. Na elke ieuwe overhorig bereket ze het gemiddelde va alle overhorige tot da toe. a. Bereke het gemiddelde dat Aeke heeft a 2 overhorige. E a 3, a 4 e a 5 overhorige. b. Geef ee directe formule voor g, het gemiddelde a overhorige. c. Maak ee tabel op de GR. d. Na hoeveel overhorige komt het gemiddelde bove de 9,6? Theorie I de voorgaade opgave heb je allerlei soorte rije otmoet: rekekudige rije, dat zij rije met costat verschil tusse de opvolgede terme, meetkudige rije, dat zij rije met ee costate verhoudig (rede) tusse de opvolgede terme, kwadratische rije, dat is ee rij va het type: a = a + b + c 2 ( = 0, 1, 2,...). E er zij atuurlijk ook og rije die iet oder ee va deze types valle. 18 Zeg bij de opgave 6 t/m 11va welk type de rij is. Rije 11

14 19 Ee zekere rekekudige rij u heeft begiterm 5 (dat is u 0 ) e costat verschil 3. a. Schrijf de eerste zes terme op. b. Bereke u 20. c. Geef ee directe formule voor deze rij. 20 Ee zekere meetkudige rij u heeft begiterm 5 (dat is u 0 ) e costate rede 3. a. Schrijf de eerste zes terme op. b. Bereke u 20. c. Geef ee directe formule voor deze rij. 21 Ee zekere kwadratische rij heeft directe formule: u = a + b + c 2 ( = 0, 1, 2,...). De eerste drie terme va de rij zij beked: u 0 =5, u 1 = 8 e u 2 = 9. a. Bereke a, b e c. b. Bereke u Gegeve is ee rekekudige rij. De eerste term is u 1 = 100 e de egede term is u 9 = 144. a. Hoe groot is het costate verschil tusse de opvolgede terme? b. Wat is de gemiddelde waarde va de ege terme? c. Wat is dus de som va de ege terme: u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 + u 6 + u 7 + u 8 + u 9 23 a. Gegeve is ee rekekudige rij. De 1 ste term is 5 e de 66 ste term is 203. Bereke de som va de 1 ste tot e met de 66 ste term. b. Gegeve is ee rekekudige rij. De 1 ste term is a e de term is b. Geef ee formule (uitgedrukt i, a e b) voor de som va de 1 ste tot e met de de term. Gegeve is ee rekekudige rij u ( =1, 2, 3,...). Da is de som va de 1 ste t/m de de term: 1 (u 1 + u ). 2 I woorde: het gemiddelde va de terme is (eerste + laatste) : 2 ; dat moet je og vermeigvuldige met het aatal terme Discrete dyamische modelle

15 24 Bereke met deze formule: a b Ga va elk va de volgede rije a dat ze rekekudig zij. Wat is het costate verschil? Wat is de som va de eerste terme? ( = 1, 2, 3,...). a. a = 4 ( = 1, 2, 3,...). b. b = 4 ( = 1, 2, 3,...). c. c = ( = 1, 2, 3,...). d. d = ( = 1, 2, 3,...). 26 Gegeve is de rij u = (-1) ( = 0, 1, 2, 3, ). a. Omschrijf i woorde hoe deze rij eruit ziet. b. Ga a dat u ee meetkudige rij is. Met welke rede? c. s is u 0 + u u. Bepaal s 100 e s Hieraast is ee balk verdeeld i twee helfte. De rechter helft is weer verdeeld i twee helfte, ezovoort. a. Leg aa de had va de oderste balk uit dat = b. Ku je u ook omiddellijk uitrekee wat de uitkomst is va ? c. Ga a dat de rij ee meetkudige rij is. Met welke rede? De som va de eerste +1 terme va ee meetkudige rij geldt, mits de rede a 1 is: a 0 + a 1 + a a 1 = a 1 (a+1 1). 28 Cotroleer deze formule voor de rije i de opgave 26c, 27a e 27b. 29 De formule laat zich algemee (voor alle a 1) als volgt bewijze: (a 1) ( a 0 + a a 1 + a ) = a a. Laat door de haakjes uit te werke zie dat dit juist is. b. Hoe volgt u de juistheid va de formule? Rije 13

16 30 De uitkomst va de som 1 + 0,1 + 0,01 + 0, , ku je waarschijlijk zo geve. Gebruik ook de formule om de uitkomst te bepale. Klopt die met jouw uitkomst? 31 Bereke met de formule de somme: a b c We bekijke de meetkudige rij u 0, u 1, u 2,... met directe formule u = 5 ( 3 1) ( = 0, 1, 2,...). a. Geef ee formule voor de som u 0 + u 1 + u u. Schrijf je atwoord i de vorm a b + c b. Als willekeurig groot wordt, adert de som tot ee zekere ietwaarde. Welke ietwaarde? c. Bepaal voor welke waarde va de som mider da 10-6 va die ietwaarde verschilt. Va ee discreet dyamisch proces ku je ee tijdgrafiek make. Horizotaal zet je de tijd uit, dat is dus wat door "" wordt aagegeve. Op de GR teke je ee tijdgrafiek als volgt. Zet de GR met MODE i de stad Seq (regel 4) e de stad Dot (regel 5) Voer de rij i met Y = Stel met WINDOW ee geschikt widow i. Teke met GRAPH de tijdgrafiek. De stad Dot zorgt ervoor dat je ee stippegrafiek krijgt. 33 a. Maak ee stippegrafiek bij opgave 3. Het voordeel va ee grafiek is dat je i éé oogopslag ziet hoe het globale verloop va het proces is. b. Is er sprake va toeemede/afemede stijgig /dalig? Kies uit de vier mogelijkhede. 34 a. Maak ee stippegrafiek bij opgave 4. b. Va welk va de vier type is deze groei? 35 a. Maak ee stippegrafiek bij opgave 2. Als je beide rije i éé keer teket, zie je het verloop iet meer goed Discrete dyamische modelle

17 b. Los dit probleem op door de rij v (tijdelijk) uit te schakele. Dat doe je door bij Y = met de cursor op het =-teke te gaa staa e op ENTER te drukke. Va welk va de vier type is deze groei? c. Ee adere oplossig is om de opvolgede stippe toch maar te verbide. Doe dat via MODE Coected (regel 5). Rije 15

18 3 Iteratie 36 Leeglopede ballo Gasballoe verlieze lagzaam hu draaggas. Ee zekere ballo heeft aa het eid va ee dag 5% mider draaggas da i het begi va die dag. Aa het begi va elke dag wordt de hoeveelheid draaggas gemete. a. Hoeveel keer zo groot wordt de hoeveelheid draaggas i éé dag? De hoeveelheid draaggas i het begi va dag oeme we d ( = 0, 1, 2,...). Neem d 0 = 100. b. Stel ee directe formule op voor d ( = 0, 1, 2,...). c. Teke de tijdgrafiek va de hoeveelheid draaggas. d. Oderzoek op welke dag het verlies voor het eerst mider da 1 bedraagt. 37 Recyclig Voor de fabricage va papier wordt i Nederlad 60% oud papier gebruikt. Het oude papier wordt gemegd met ieuw papier, wat de vezels worde bij recyclig steeds mider bruikbaar. Als er ee vel papier gemaakt wordt, mag je er dus va uitgaa dat 60% erva al eerder gebruikt is, e 40% ieuw papier is. a. Ga a dat het percetage dat precies twee keer gebruikt is, gelijk is aa 14,4. Het percetage va ee vel papier dat precies keer gebruikt is, oeme we p ( = 0, 1, 2,...). b. Druk p uit i p 1 ( = 1, 2, 3,...). c. Stel ee directe formule op voor p ( = 0, 1, 2,...). Vraagstukke als opgave 1 e 2 heb je al vaker gezie. Het zij (eevoudige) voorbeelde zij va discrete dyamische modelle. De discrete dyamische modelle i opgave 1 e 2 hebbe ee zelfde structuur: de volgede waarde vid je door de huidige waarde met ee vast getal te vermeigvuldige. Met adere woorde: waarde MAAL g ieuwe waarde. E dit herhaalt zich steeds:... u 2 MAAL g u 1 MAAL g u MAAL g u Discrete dyamische modelle

19 38 Wat is de costate factor g bij a. het draaggas va opgave 36? b. het percetage da keer gebruikt is bij opgave 37? Bij discrete dyamische modelle zoals i opgave 1 e 2 is het gemakkelijk ee directe formule te make, dat is ee formule waarbij de waarde op tijdstip direct wordt uitgedrukt i. Vawege hu directe formules spreekt me wel va expoetiële verbade. 39 Vliders e rupse We kijke og ees aar opgave 2 va paragraaf 1. v is het aatal vliders i het jaar, r is het aatal rupse i het jaar ( = 0, 1, 2, 3, ). v 0 = 1000, R 0 = 3000, r = 2 V 1, v = 0,6 r 1 ( = 1, 2, 3,...). a. Leid af dat v = 1,2 v 2 e dat r = 1,2 r 2. b. Leg uit dat v 100 = ,2 50. Welke directe formule geldt voor v als eve is? c. Welke directe formule geldt voor v als oeve is? d. Dezelfde opdrachte voor r. 40 Behage Ee rechthoekige kamer va 7 bij 5 meter e 2,5 meter hoogte wordt elk jaar opieuw behage. Me haalt het oude behag er iet af, maakt plakt het ieuwe er gewoo overhee. Het behag is 1,2 mm dik. De oppervlakte va het behag dat me odig heeft, wordt elk jaar kleier. Het aatal i m 2 behag dat odig is i het de jaar oeme we b ( = 1, 2, 3,...). a. Leg uit dat b = b 1 0,06 ( = 2, 3, 4,...). b. Geef ee directe formule voor b, ( = 1, 2, 3,...). De discrete dyamische modelle i de opgave 40 zij og eevoudiger da de expoetiële modelle. Vawege hu directe formules spreekt me hier va lieaire modelle. De discrete dyamische modelle i opgave 40 heeft de volgede structuur: de volgede waarde vid je door bij de huidige waarde met ee vast getal v op te telle. Met adere woorde: waarde PLUS v ieuwe waarde. E dit herhaalt zich steeds:... u 2 PLUS v u 1 PLUS v u PLUS v u Iteratie 17

20 We gaa u og ees formulere wat we oder ee discreet dyamisch model verstaa. Wat is ee discreet dyamisch model? Bij ee discreet dyamisch model is er sprake va ee vaste fuctie F. de volgede waarde vid je door de fuctie F op de huidige waarde toe te passe. Met adere woorde: waarde F ieuwe waarde. E dit herhaalt zich steeds:... u 2 F u 1 F u F u +1 F u F heet iteratiefuctie. Iteratie beteket: herhalig. Opmerkig Bij opgave 2 is de zaak igewikkelder omdat er da sprake is va twee variabele: het aatal vliders e het aatal rupse. Ook opgave 4 - Ratte wijkt af. Daar grijpt de fuctie F iet allee terug op de directe voorgager i de rij, maar ook op de toestad daarvoor. 41 Geef formule voor F(x) i de opgave 36 e 37 e 40. Je kut voor F i pricipe elke fuctie eme, allee is dat meestal iet zivol. We bekijke ee paar voorbeelde. 42 Neem voor F de fuctie WORTEL. Dus: u = F(u 1 ) = u 1 ( = 0, 1, 2,...). a. Neem u 0 = 20 e maak ee tabel voor de rij u op de GR. Om te wete te kome hoe groot u 100 is hoef je iet de hele tabel vaaf = 0 door te lope. Tik i het gewoe scherm va de GR u(100) i e druk op ENTER. b. Hoe groot is u 100? De waarde u kome steeds dichter bij ee zekere greswaarde, de zogeaamde iet. c. Welk getal is de iet? d. Oderzoek wat de iet is bij adere startwaarde u Discrete dyamische modelle

21 43 Neem voor F de kettig u PLUS 2 2 WORTEL. Dus: u = F(u 1 ) = ( = 0, 1, 2,...). 1 + a. Neem u 0 = 20 e maak ee tabel voor de rij u op de GR. b. Hoe groot is u 100? c. Welk getal is de iet va de rij? d. Oderzoek wat de iet is bij adere startwaarde u Neem F(x) = x(4 x). Dus: u = F(u 1 ) = u 1 (4 u 1 ) ( = 0, 1, 2,...). a. Neem u 0 = 1 e maak ee tabel voor de rij u op de GR. Hoe groot is u 100? b. Neem u 0 = 2 e maak ee tabel voor de rij u op de GR. Hoe groot is u 100? 1 c. Neem u 0 = 1 e maak ee tabel voor de rij u 2 op de GR. Het gedrag va de rij is u chaotisch. Hoe groot is u 100? Bij de startwaarde 1 e 2 is het gedrag va de rij sel 1 super-regelmatig. Bij startwaarde 1 is het gedrag va 2 de rij ogal chaotisch. Hoe is het gedrag va de rij als je iets va de startwaarde 1 e 2 afwijkt? d. Neem u 0 = 0,01 e u 0 = 1,99. Wordt de rij regelmatig? Heeft hij ee iet dek je? Iteratie 19

22 4 Limiete berekee Voorbeeld Gegeve is de rij u = 1 ( = 0, 1, 2, 3, ). + Uitgeschreve: 0, 1, B, H, K, M,. Als we de rij verder e verder opschrijve, blijkt dat: de getalle i de rij willekeurig dicht bij 1 kome, ofwel de verschille va de getalle met 1 willekeurig klei worde, ofwel de getalle tot 1 adere. We zegge: de iet va de rij u (als adert tot oeidig) is 1. Ook: de rij covergeert aar 1. We schrijve: = 1. Algemee Gegeve ee rij u e ee getal L. De iet va u is L beteket dat de getalle u adere tot L (als adert tot oeidig). We zegge ook wel dat de rij u covergeert aar L. We otere: = L. Als er ee getal is waar aar toe de getalle i de rij adere, da heet de rij coverget. Va Dale: iet: gres, greswaarde coverget: i ee put samekomed Voorbeeld 2 Gegeve is de rij v = + 1 ( = 0, 1, 2, 3, ). Uitgeschreve: 0, 1 2, 12, 23, 34, 45, 56, 67,. Als we de rij verder e verder opschrijve, blijkt dat de getalle i de rij willekeurig groot worde. We zegge: We schrijve: de rij v adert tot oeidig (als adert tot oeidig). =. De rij v is dus iet coverget. Je kut u zelf wel bedeke wat beteket: = Discrete dyamische modelle

23 45 Bepaal of de volgede rije coverget zij. Zo ja, geef de iet. Zo ee, is da het symbool of va toepassig? Het is mogelijk dat gee va drieë het geval is. a. u = 100 0,1 b. u = 100 0,9 c. u = (-1) 3 d. u = e. u = l( ) f. u = g. u = si 10 2π h. u =! i. u = 10 j. u = (-2) Wiskudige begrippe moete heel precies vastgelegd worde. Zo ook het begrip "iet". Maar dat is gee eevoudige zaak. Wij dake de modere exacte defiitie aa de Frasma Cauchy. Deze defiitie luidt als volgt. We zegge dat de rij u iet L heeft als geldt: bij elk (klei positief) verschil a is er ee ragummer, zo dat vaaf dat ragummer voor alle terme i de rij geldt: L a u L+a. Augusti-Louis Cauchy Voor de rij uit het eerste voorbeeld is L=1, wat: kies a = 0,1; er geldt 0,9 u 1,1 voor alle 10, kies a = 0,01; er geldt 0,99 u 1,01 voor alle 100, kies a = 0,001; er geldt 0,999 u 1,001 voor alle 1000, ezovoort. We zegge dat de rij u iet heeft als geldt: bij elk (groot) getal A is er ee ragummer, zo dat vaaf dat ragummer voor alle terme i de rij geldt: u A. Voor de rij uit het tweede voorbeeld is de iet, wat: kies A = 10; er geldt v 10 voor alle 10, kies A = 100; er geldt v 100 voor alle 100, kies A = 1000; er geldt v 1000 voor alle 1000, ezovoort. Limiete berekee 21

24 46 De pute A e B ligge verticaal 3 va elkaar af e horizotaal 4. We make trappe tusse A e B va trede ( = 1, 2, 3, ). Hieraast staa de voorbeelde voor = 5 e = 20. De legte va de traplij met trede oeme we u. Aeke redeeert: De traplij gaat steeds meer op het lijstuk AB lijke. De legte va AB bereke ik met de stellig va Pythagoras: = 5. Dus: u = 5. Wat dek je va Aekes redeerig? Bekijk de rij u =! ( = 0, 1, 2, 3, ). Aeke redeeert: De tellers zij 1, 10, 100, 1000, 10000, e de oemers zij 1, 1, 2, 6, 24,. De tellers eme veel seller toe da de oemers. Dus u =. Wat dek je va Aekes redeerig? 48 Bekijk de rij u = 100 si 6,3 ( = 0, 1, 2, 3, ). Aeke redeeert: Ik maak ee tabel: 0, 1,681, 3,362, 5,042, 6,721, 8,397, 10,072,. Ik zie dat de getalle lieair toeeme (de kleie afwijkige kome door afrode). Dus u =. Wat dek je va Aekes redeerig? Bekijk de rij u = ( = 1, 2, 3, ). Aeke redeeert: ku je schrijve als Elk va deze terme adert tot 0 als aar oeidig gaat. Dus u = 0. Wat dek je va Aekes redeerig? 50 Bekijk de rij u = si a ( = 1, 2, 3, ). a. Aeke redeeert: gaat aar oeidig; wordt vermeigvuldigd met si a e si a is groter da 0. Dus u =. Wat dek je va Aekes redeerig? 22 3 Discrete dyamische modelle

25 b. Belida redeeert: a gaat aar 0, dus si a gaat ook aar 0. Dus u = 0. Wat dek je va Belida's redeerig? 51 Bekijk de rij u = (1 + a) ( = 1, 2, 3, ). a. Aeke redeeert als volgt: gaat aar oeidig; 1+ a is groter da 1, zo' getal gaat aar oeidig als aar oeidig gaat. Dus u =. Wat dek je va Aekes redeerig? b. Belida redeeert als volgt: gaat aar oeidig; 1+ a adert tot 1, voor elke is 1 = 1. Dus u = 1. Wat dek je va Belida's redeerig? De redeerige i de opgave 46 t/m 51 ware allemaal fout. Misschie dat zo' redeerig soms wel ees het goede atwoord oplevert, maar dat is da toeval. De vraag is atuurlijk: wat zij wel goede redeerige. Met adere woorde: hoe ku je wel rekee met iete. Daarover gaat de rest va deze paragraaf. Als α > 0, da α = ; als α < 0, da α = Als g > 1, da g = ; als 0 < g < 1, da g = Juist of ojuist 1 u e v zij twee rije. We bekijke zes bewerige. Zeg va elk va de bewerige of zij juist is. Als zij ojuist is, geef da ee voorbeeld waaruit dat blijkt. a. Als u = -3 e v = 5, da (u + v ) = 2. Limiete berekee 23

26 b. Als 0,6. c. Als d. Als e. Als f. Als u = -3 e u = -3, da u = -3, da u = 0, da u =, da v = 5, da u 2 = 9. 1 u = u =. 1 u = 0. (u : v ) = - 53 Juist of ojuist 2 u e v zij twee covergete rije. Zeg va elk va de volgede vier bewerige of zij juist is. Als zij ojuist is, geef da ee voorbeeld waaruit dat blijkt. a. Als u < 10 voor elke, dat u < 10. b. Als u 10 voor elke, da u 10. c. Als u < v voor elke, da u < v. d. Als u v voor elke, da u v. Rekeregels voor iete Gegeve zij twee covergete rije u e v. Da is ook de rij c u coverget e (c u ) = c u (voor elk getal c), is ook de rij u +v coverget e (u +v ) = u + v, is ook de rij u v coverget e (u v ) = u v, is ook de rij u v coverget e (u v ) = u v. 54 Gegeve zij twee rije u e v. De rij v is coverget; de rij u iet. Gegeve is dat u =. Doe - et als hierbove - uitsprake over de volgede vier rije: c u, u +v, u v, u v (oderscheid de gevalle c > 0 e c < 0) Discrete dyamische modelle

27 55 Bereke de volgede iete. ( ) ( ) ( ) (4 0, ,1 ) ((3) + 5 ( 2 ) ) (4 + 5 ( 1 ) ) 2 ((3) + 5 (1) ) (4 + 5 ( 2 ) ) Iteressater wordt het als we het quotiët va twee rije gaa bekijke. 56 u e v zij twee rije. Wat weet je va va de volgede gevalle? a. Als u = -3 e v = 5. b. Als u = 0 e v = 5. c. Als u = -3 e v = 0. d. Als u = 0 e v = 0. e. Als u = e v = 5. f. Als u = -3 e v =. g. Als u = e v =. (u : v ) i elk Ee probleem doet zich voor als je twee rije door elkaar deelt die beide aar oeidig gaa. Voorbeelde = = = = =, wat de teller adert tot oeidig e de oemer tot = =, wat de teller gaat aar oeidig e de oemer aar 1. I alledrie de voorbeelde paste we dezelfde "truc" toe: deel teller e oemer door ee geschikt getal. Limiete berekee 25

28 57 Bereke de volgede iete π , , Ee ader probleem doet zich voor als je twee rije va elkaar aftrekt die beide aar oeidig gaa. Voorbeelde ( 3 2 ) = 2 ( 1) =, wat beide factore gaa aar oeidig. ( ) = 2 ((11) 100) =, wat beide factore gaa aar oeidig. 58 Bepaal de volgede iete. ((2) (1) ) (1,1 0,9 ) (1,1 1,2 ) (10 π 2 ) Webgrafieke zij goed te gebruike om izicht te krijge i de otwikkelig va ee discreet dyamisch proces. Hoe dat gaat, zie we i het vervolg va deze paragraaf Discrete dyamische modelle

29 * 59 Medicijspiegel We bekijke de opgave over de medicijspiegel va paragraaf 1. Elke dag verdwijt 25% va het medicij uit het lichaam door uitscheidig. De patiët eemt dagelijks 1500 mg va het medicij i. m is het aatal milligram medicij i het lichaam, a de iame va de dagelijkse dosis op dag ( = 1, 2, 3, ). Dus m 1 = Er geldt: m = F(m 1 ), waarbij F(x) = 0,75 x Hieroder is de grafiek va de fuctie F e de lij y = x geteked. a. Ga a dat i het diagram hierbove het proces m 1 m 2 m 3 m 4 i beeld gebracht wordt. Op de verticale as lees je de medicijspiegel m 1, m 2, m 3 e m 4 af. b. Het diagram staat ook op het werkblad. Teke daari ook de pijle om m 5 e m 6 te vide. I het diagram ku je zie dat de medicijspiegel op de duur auwelijks og veradert. De medicijspiegel heeft ee iet. c. Lees uit het diagram af hoe groot die iet ogeveer is. d. Stel ee vergelijkig op om deze iet te berekee e los de vergelijkig op. Limiete berekee 27

30 De ietwaarde va de medicijspiegel oemt wel het verzadigigsiveau. Het diagram op de vorige bladzijde oeme we ee webgrafiek. De fuctie F die m 1 omreket i m is de iteratiefuctie. De fuctie F reket bij de vorige medicijspiegel de ieuwe uit. Ee dag later is dit de oude medicijspiegel geworde. Door opieuw F toe te passe krijg je de ieuwe, ezovoort. * 60 Leeglopede ballo I opgave 36 hebbe we de hoeveelheid draaggas i ee ballo bekeke. Elke dag vermidert de hoeveelheid draaggas met 5%. De hoeveelheid draaggas i het begi va dag oeme we D ( = 0, 1, 2,...). Er geldt: D = F(D 1 ), waarbij F(x) = 0,95x. a. Teke de grafiek va F op het werkblad. b. Neem D 0 = 100 e teke vier stappe va de webgrafiek. c. Wat is de iet va D? I opgave 59 is het werke met ee webgrafiek vruchtbaar: je ziet hoe hoog de medicijspiegel op de duur wordt. I opgave 60 is het resultaat dat je met ee webgrafiek boekt iet spectaculair: dat de ballo op de duur ageoeg helemaal leeg zal zij is zoder webgrafiek ook wel duidelijk. 61 Medicijspiegel We gaa verder met opgave 59. Hoe sel medicij weer uit het lichaam verdwijt, hagt oder adere af va de leverfuctie. Bij ee zeker persoo wordt per dag iet 25% va het medicij afgebroke i het lichaam, maar 20%. Als er elke dag 1500 mg medicij wordt toegedied, zal de hoeveelheid medicij i het lichaam bij deze persoo op de duur ook ageoeg costat worde, maar het verzadigigsiveau zal hoger ligge, da i opgave 59. a. Lees dit verzadigigsiveau af uit ee webgrafiek. Bepaal die waarde ook door ee vergelijkig op te losse. Het medicij werkt optimaal als de ietwaarde iet 7500 maar 6000 mg bedraagt. b. Hoeveel medicij moet er per dag worde toegedied om verzadigigsiveau 6000 mg te krijge als er per dag 20% i het lichaam wordt afgebroke? 28 3 Discrete dyamische modelle

31 c. Hoeveel moet de medicatie zij bij ee patiët waarbij per dag 30% wordt afgebroke om op de duur ee medicijspiegel va 6000 mg te krijge? Webgrafiek op de GR Kies i het MODE-meu: Seq Kies i het FORMAT-meu: Web Voer de rij met begiwaarde i bij Y = Kies ee geschikt WINDOW Teke de grafiek met GRAPH Toets u TRACE e voor elke stap va de webgrafiek toets je. Als voorbeeld eme we de webgrafiek bij opgave 59: medicijspiegel. Kies i Y = : Mi = 1 u() =.75 u( 1) u(mi) = 1500 Kies i WINDOW: Mi = 1 ; MAX = 20 ; PlotStart = 1 ; PlotStep = 1 ; Xmi = 0 ; Xmax = 8000 ; Xscl = 1000 ; Ymi = 0 ; Ymax = 8000 ; Yscl = Kies i TABLE SETUP: TblStart = 1 ; Tbl = 1. Teke de webgrafiek met GRAPH. Gebruik vervolges TRACE e de pijltjestoets. Op iteret ku je met webgrafieke experimetere. Ga aar Er is ee selle maier om op de GR herhaald dezelfde fuctie f toe te passe. Bij de fuctie va opgave 59 gaat die als volgt: 0 ENTER *ANS ENTER ENTER, ENTER, ENTER, 62 Voer dit uit. Ook met de iteratiefucties va opgave 60. Limiete berekee 29

32 63 Bepaal op de GR de evetuele iete va de volgede rije. 2 u a. u 0 = 6, u +1 = 2 + ( = 0, 1, 2, 3, ) b. u 0 = 6, u +1 = u ( = 0, 1, 2, 3, ) 2 1 c. u 0 = 6, u +1 = + u ( = 0, 1, 2, 3, ) Stellig Laat y = f(x) de iteratiefuctie zij va ee rij u. Als f cotiu (*) is, e de rij u is coverget, zeg aar iet L, da geldt: f(l) = L. (*) Dat f cotiu is wil zegge dat f gee "sproge" maakt. Als u willekeurig dicht bij L komt, komt f(u ) ook willekeurig dicht bij f(l). 64 Cotroleer de stellig voor de rije i opgave 63a e c. 65 De stellig stelt je i staat evetuele iete exact te berekee door ee vergelijkig op te losse. Doe dat voor de volgede rije. De begiwaarde va de rije wordt iet vermeld. 6 u a. u +1 = ( = 0, 1, 2, 3, ) b. u +1 = 21u 3 1 ( = 0, 1, 2, 3, ) c. u +1 = 1u + u ( = 0, 1, 2, 3, ) 1 1 d. u +1 = + u ( = 0, 1, 2, 3, ) 66 Pas op. De stellig zegt iet dat de rij covergeert. Hij zegt allee wat de mogelijke ietwaarde zij, idie de iet bestaat. Neem voor elk va de rije i opgave 65 de begiwaarde u 0 = 6. Bij welke va deze rije was de oplossig va de vergelijkig f(x) = x toch iet de iet? Als je ee iteratiefuctie hebt e ee begiwaarde, ku je i ee webgrafiek zie wat de evetuele iet is: het is ee va de dekpute va f, dwz. Ee getal x waarvoor geldt: f(x) = x Discrete dyamische modelle

33 * 67 Bekijk de iteratiefuctie f(x) = x 2. Op de x-as is ee begiwaarde u 0 gekoze. a. Costrueer op het werkblad auwkeurig het webdiagram. Geef de plaatse va u 1 t/m u 7 aa op de x-as. b. Als je u 0 ee beetje verplaatst, houd je dezelfde iet. Probeer ee begiwaarde te vide zodat de rij aar het adere dekput covergeert. c. Bereke beide dekpute. u 0 68 Maak op de GR ee webdiagram bij de volgede rije. Wat is de iet? 2 u a. u 0 = 6, u +1 = + ( = 0, 1, 2, 3, ) b. u 0 = 6, u +1 = 21u 3 1 ( = 0, 1, 2, 3, ) c. u 0 = 6, u +1 = 1u + u ( = 0, 1, 2, 3, ) 1 1 d. u 0 = 6, u +1 = + u ( = 0, 1, 2, 3, ) 1 u 2 e. u 0 = 1, u +1 = -u + ( = 0, 1, 2, 3, ) f. u 0 = -1, u +1 = 2 u 2 ( = 0, 1, 2, 3, ) Er zij vier soorte webdiagramme: covergete spirale divergete spirale covergete trappe divergete trappe Va Dale: diverget: uit ee put otspriged, steeds verder uiteewijked. Bijzodere aadacht verdiee ook de "radgevalle"; e ook de periodieke rije. Limiete berekee 31

34 We eme ee lieaire iteratiefuctie: f(x) = ax+b. Het dekput oeme we d; dus f(d) = d. We oderscheide vier gevalle: 69 Het hagt iet va de begiwaarde af welk type webdiagram je krijgt. a. Oderzoek i elk va deze vier gevalle wat voor type webdiagram je krijgt. b. Waar hagt het keelijk va af of je ee covergete/divergetie spiraal/trap als webdiagram krijgt? c. Hoe zit het als de richtigscoëfficiët va de grafiek va de iteratiefuctie (a dus) gelijk is aa 1 of -1? 70 I het oderstaade plaatje is de iteratiefuctie lieair: zij grafiek heeft vergelijkig y = ax + b. Er is éé stap gezet va het webdiagram: va u aar u Discrete dyamische modelle

35 We lette erop hoe ver u e u +1 va het dekput d afligge. Die afstade zij u d e u +1 d. Leg aa de had va het plaatje uit dat u +1 d = a u d. De absolute waarde-strepe staa er omdat je i het algemee iet weet of u e u +1 liks of rechts va d ligge e je wilt de afstade positief hebbe. Dak zij de absolute w aarde-strepe geldt u +1 d = a u d ook als we met ee va de adere drie type webdiagramme te make hebbe. We formulere het resultaat: Laat de rij u gegeve zij door u +1 = f(u ) ( = 0, 1, 2, ), waarbij de iteratiefuctie f lieair is: f(x) = ax+b. Als a 1 is er éé dekput; oem dat d. Da geldt: u +1 d = a u d ( = 0, 1, 2, ). 71 Gegeve u 5 is de rij 0 = u 3 0 u,1,2 1 + = = a. Wat is de iteratiefuctie? Wat is het dekput d? b. Hoe groot zij: u 0 d, u 1 d e u 2 d? c. Bewijs dat u d = 3 0,5 ( = 0, 1, 2, ). d. Vaaf welke geldt: u verschilt mider da 0,00001 va de iet? 5, 0, Gegeve u 5 is de rij 0 = u 3 1 u,1,2 1 + = + = a. Wat is de iteratiefuctie? Wat is het dekput d? b. Hoe groot zij: u 0 d, u 1 d e u 2 d? c. Bewijs dat u d = 1,5 ( = 0, 1, 2, ). d. Vaaf welke geldt: u verschilt meer da va de iet? 5, 0 73 Gegeve u 5 is de rij 0 = u u,1,2 1 + = = a. Wat is de iteratiefuctie? Wat is het dekput d? b. Hoe groot zij: u 0 d, u 1 d e u 2 d? c. Welke bijzoderheid heeft de rij u? 3 0,...,... Limiete berekee 33

36 Besprekig I het bovestaade was de iteratiefuctie f lieair. I dat geval ku je omiddellijk zegge welk type webdiagram je krijgt. E je weet hoe sel de rij covergeert of divergeert. De afstad tot het dekput wordt amelijk elke stap a keer zo groot. De afstade tot het dekput u 0 d, u 1 d, u 2 d, u 3 d, vorme dus ee meetkudige rij, met begiterm u 0 d e rede a. De covergetie/divergetie gaat dus expoetieel sel. Theorie Als de iteratiefuctie iet lieair is, is het allemaal lastiger. We moete het ee e ader voorzichtig formulere. Laat de rij u gegeve zij door u +1 = f(u ) ( = 0, 1, 2, ). Laat d ee dekput zij va de fuctie f. Als we wete dat de rij u geheel ligt i ee zeker iterval I, e f(x) f(d) c x d voor alle x i I, da geldt: u +1 d c u d ( = 0, 1, 2, ) e dus: u d c u 0 d ( = 0, 1, 2, ). Als c < 1, covergeert de rij expoetieel sel aar d. I de buurt va ee dekput is de iteratiefuctie ageoeg lieair (zoom maar i!) e eemt de hellig va de grafiek i het dekput - dat is f '(d) - de rol va de richtigscoëfficiët a i het lieaire geval over. Als f differetieerbaar is i d (dwz. f '(d) bestaat), da ku je aa de waarde va f '(d) zie of d iet ka zij va de rij. Namelijk: 1) Als f '(d) < 1 e ee va de terme u komt "dicht geoeg" bij d, da covergeert de rij aar d. 2) Als f '(d) > 1 da ka d allee iet zij va de rij als ee der terme u toevallig precies gelijk is aa d. 74 Gegeve is voor elke getal p de rij u0 = p u + = 2 1 u ( = 0,1, 2,...) De iteratiefuctie is f(x) = x 2. a. Er zij twee begiwaarde p waarbij 1 de iet va de rij is. Welke? b. Ga met ee webdiagram a wat de iet is als -1 < p < 1. c. Hoe zit het als p > 1 e als p < -1? 34 3 Discrete dyamische modelle

37 5 Gemegde opgave 75 Uitlee Als i ee bibliotheek ee boek auwelijks wordt uitgeleed, zal me het iet lager wille houde. Als ee boek heel vaak wordt uitgeleed, zal het sel verslijte, e moet het door ee ieuw exemplaar worde vervage. Bibliotheke houde da ook va elk boek bij hoe vaak het wordt uitgeleed. Om daarmee te kue schatte hoe vaak het i de komede jare zal worde uitgeleed, is ee wiskudig model otwikkeld. u is het aatal keer dat ee boek wordt uitgeleed i het jaar Bij beaderig geldt: u +1 = 0,2 + 0,6 u ( = 0, 1, 2, ). Opmerkig: u +1 is de verwachtigswaarde va het aatal keer dat ee boek wordt uitgeleed i jaar , als het u keer werd uitgeleed i jaar Stel dat ee boek i 2000 vijf keer werd uitgeleed. a. Hoe vaak zal het da volges het model worde uitgeleed i 2001, 2002 e 2003? Op de duur zal het aatal keer dat ee boek wordt uitgeleed iet meer zo veel veradere. Het aatal keer stabiliseert zich op ee zekere waarde. b. Bereke de ietwaarde va de rij u. c Doe dat ook voor ee boek dat i het jaar 2001 drie keer werd uitgeleed. Naar ee idee va het exame wiskude A 1996, eerste tijdvak 76 Epidemie I ee dorp va iwoers heerst ee epidemie. Op ee gegeve momet zij er 500 mese ziek. We bekijke de situatie i het dorp vaaf dat momet om de week. Z is het aatal zieke a weke, V is het aatal vatbare mese a weke, dat zij de mese die iet (og) ziek zij, maar wel ziek kue worde. I is het aatal immue mese a weke, dat zij de mese die ziek geweest zij e daardoor iet meer ziek kue worde. Zoals gezegd begie we met 500 zieke. Er zij og gee immue, dus de adere dorpelige zij vatbaar: Z 0 = 500, V 0 = 9500, I 0 = 0. Gemegde opgave 35

38 We volge de otwikkelig va de epidemie i het dorp. Zieke steke vatbare aa e zieke worde immuu. We werke met het volgede model: 20% va de zieke steekt elke week éé vatbare aa, 30% va de zieke is ee week later gezod (e dus immuu), alle immue blijve immuu. a. Bereke het aatal zieke, het aatal vatbare e het aatal gezode mese i het dorp a 1 week. Ook a 2 weke. Hoe zal de ziekte zich i het dorp otwikkele? Zulle op de duur alle mese i het dorp immuu worde? De ziekte zal uitsterve, maar zulle er vatbare overblijve? Dat zij moeilijke vrage, waar je iet zo maar het atwoord op weet. b. Heb je eig idee wat de situatie a bijvoorbeeld 100 weke zal zij? Het model laat zich beschrijve met de volgede recursieve Z 0 9, formules: Z 1 V = V 0 2, Z 1 1 I = I 0 3, Z 1 1 = + c. Leg deze formules uit. d. Voer de formules i i je GR: voer Z i bij u(), V bij v() e I bij w(). Neem Mi = 0 e u(mi) = 500, v(mi) = 9500 e w(mi) = 0. Maak ee tabel. Als je Z, V e I tegelijk i beeld wilt brege, heb je ee driedimesioaal diagram odig. Als we tevrede zij met allee de otwikkelige va Z e I, kue we volstaa met ee tweedimesioaal diagram. e. Maak dat voor = 0, 1,..., 6. f. Bepaal op de GR hoeveel zieke, vatbare e immue er zij a 10 weke. Na 100 weke is de epidemie ageoeg uitgewoed. g. Bereke met de GR hoeveel dorpelige er i totaal ziek zij geweest. Opmerkig De praktijk werkt iet zo mooi als ee model als i de vorige opgave. Het model geldt hoogstes voor ee paar weke. Toch ka het zivol zij om met zulke modelle te rekee. Misschie zou je aders wel gedacht hebbe dat op de duur alle mese i het dorp ziek zoude worde. Dat is duidelijk iet het geval Discrete dyamische modelle

39 77 Griep op katoor Op ee katoor werke 1000 mese. Iederee heeft regelmatig cotact met iederee. Op ee zekere dag heeft ee deel va het persoeel griep. Hierdoor zulle ook adere op katoor aagestoke worde. I het begi groeit het aatal mese dat aagestoke wordt sel. Na ee paar dage, als bija iederee griep heeft (gehad), groeit het aatal dat aagestoke wordt veel mider: er zij iet meer zoveel mese die og aagestoke kue worde. We gaa uit va de volgede veroderstellige. Va de ee kat is het aatal mese dat op ee bepaalde dag griep krijgt, everedig met het aatal dat al griep heeft: als er twee keer zoveel besmettigshaarde zij, da worde er ook twee keer zoveel mese aagestoke. Va de adere kat is het aatal mese dat op ee bepaalde dag griep krijgt, everedig met het aatal dat og gee griep heeft: als er twee keer zoveel mese og gee griep hebbe, da kue er ook twee keer zoveel aagestoke te worde. A is het aatal mese dat op het eid va dag griep heeft. Het aatal mese dat op dag griep krijgt, is A A 1. Dit aatal wordt ook wel met A geoteerd. Bovestaade veroderstellige leide tot de volgede formule: A = c A 1 (1000 A 1 ), voor ee of ader getal c. Hieri is: A is het aatal mese dat griep krijgt tijdes de e dag. A 1 is het aatal mese dat griep heeft op het eid va dag A 1 is het aatal mese dat og gee griep heeft i het begi va dag. a. Neem A 10aa: 0 = A 0, A A,1,2 1 1 = = Laat zie dat: A = 1,7A 1 0,0007(A 1 ) 2. b. Wat is de iteratiefuctie F? c. Teke de webgrafiek op de GR. d. Bepaal de ietwaarde va de rij A door het sijput (0,0) va de lij y = x met de grafiek va de fuctie F te berekee. Dit is het verzadigigsiveau dat de rij A op de duur bereikt. e. Maak op de GR ee stippegrafiek va de rij A ,... Gemegde opgave 37

40 I a Aheb 10je de recursieve formule geschreve als 0 = A 17, A 0, A 2,1,2 1 1 = = I het begi is A og klei, de term 0,0007(A 1 ) 2 speelt da auwelijks ee rol, dus A 1,7 A 1. f. Welk soort groei hoort bij de formule A = 1,7 A 1? Hoe groter de groep wordt die griep heeft (gehad), hoe zwaarder de term 0,0007 (A 1 ) 2 gaat wege: de groei wordt geremd.,... Ee bacteriekoloie groeit oder ideale omstadighede expoetieel. Waeer ze i laboratoriumomstadighede op bijvoorbeeld ee petri-schaal gekweekt wordt, ka de groei iet ogebreideld doorgaa: er otstaat voedsel- e/of ruimtegebrek. De groei wordt geremd. Me spreekt da va geremde of logistische groei. 78 Va ee koloie gistcelle wordt de groei bijgehoude. Elk uur wordt de hoeveelheid gist gemete. I de tabel hieraast vid je de meetwaarde. meetwaarde greswaarde = uur tijd Ee model dat deze meetwaarde goed beadert, wordt gegeve door de recursieve betrekkig: A = 1,5 A 1 0,001 (A 1 ) 2 e A 0 = 10. a. Maak ee stippegrafiek bij de rij A e vergelijk de meetwaarde met de waarde va het model. De vraag is atuurlijk hoe je aa de formule va het model komt Discrete dyamische modelle