Integreren. Differentiaal- en Integraalrekening deel 5. Nieuwe wiskunde tweede fase Profiel N&G en N&T Freudenthal instituut. O(x)

Transcriptie

1 Integreren Differentil- en Integrlrekening deel 5 O() Nieuwe wiskunde tweede fse Profiel N&G en N&T Freudenthl instituut

2 Differentil- en Integrlrekening (deel 5: Integreren) Project: Wiskunde voor de tweede fse Profiel: N&G en N&T Kls: vwo 5/6 Stt: Eerste herzien versie Ontwerp: Michiel Doormn, Dédé de Hn, André Hollemn & Mrtin Kindt Freudenthl instituut, septemer 997

3 Inhoud Voorf... Instp: epling vn zoutgehlte... Riemnnsom en oppervlkte...9 Primitieve functies...7 De techniek vn het integreren Inhoudserekeningen... 6 Gevrieerde toepssingen vn de integrlrekening... Tips ij de opgven...7 Antwoorden...9

4

5 Voorf In het oekje Som & Verschil, Afstnd & Snelheid (deel vn de Differentil- en Integrlrekening) ws er sprke vn twee rode drden, nmelijk: S D OPPERVLAKTE RAAKLIJN (fgelegde) AFSTAND (momentne) SNELHEID INTEGREREN DIFFERENTIËREN In de vervolgdeeltjes is de drd vn het differentiëren verder uitgesponnen. Drij he je een heleoel technische regels leren geruiken. Bovendien he je gezien dt de differentilrekening in uiteenlopende situties kn worden toegepst. Het wordt nu tijd om ook het integreren wt verder te verkennen. Drij gt het over het egrip integrl. Een integrl is ls het wre een continue som en zulke sommen treden op ij erekening vn energie, epling vn een zwrtepunt, erekening vn volume,... Integrlen lten zich soms ect erekenen en drij geruik je dn de techniek die je ij het differentiëren het geleerd, mr... in omgekeerde richting (nti-differentiëren). De meeste integrlen echter zijn niet ect te erekenen; vn zulke integrlen kun je met een computer of met de GR een endering in de gewenste nuwkeurigheid vinden. De kunst ij toepssingen is voorl het herkennen en het opstellen vn de juiste integrl.

6

7 Instp: epling vn zoutgehlte Dit inleidende hoofdstuk gt over het sommeren vn wrnemingsuitkomsten en over de grfische voorstelling vn sommen. Ook het gemiddelde vn een ntl wrnemingsuitkomsten speelt een rol. Bij een riviertje stt een chemische friek die een vergunning heeft om per week kg fvlzout in het riviertje te lozen. Men wil weten of de friek zich n de normen houdt. Hiertoe is stroomfwrts een volutomtisch meetsttion ij het riviertje gepltst. Met vste tussenpozen wordt een monster vn het rivierwter genomen en drvn wordt het zoutgehlte epld. Tegelijkertijd worden de wterhoogte en de stroomsnelheid vn het riviertje gemeten. De meetresultten worden verwerkt tot een getl dt ngeeft hoeveel kg zout het meetsttion in één dg psseert. Er wordt dn gedn lsof zoutconcentrtie, wterhoogte en stroomsnelheid de gehele dg constnt zouden lijven. Op deze wijze krijgt men een schtting vn de hoeveelheid zout (in kg/dg) die het meetsttion psseert. Anvnkelijk heeft men per dg één meting uitgevoerd, elke dg om. uur. De meetgegevens vn één week zijn uitgezet in de onderstnde grfiek. hoeveelheid zout (in kg/dg) tijd (in dgen) De grfiek is gemkt met ehulp vn de volgende tel: dg zout (kg/dg) G n of volgens de meetgegevens de friek deze week l of niet de norm heeft overschreden.. Kun je op grond vn deze gegevens een hrde conclusie trekken? c. Bereken de gemiddelde hoeveelheid zout die de friek per dg mg lozen in tientllen kg nuwkeurig.

8 Hieronder zie je vn drie opeenvolgende weken de grfiek. Met een stippellijn is het toegestne gemiddelde ngegeven. week week week. Hoeveel dgen vn week ws de zouthoeveelheid volgens de meetgegevens onder het gemiddelde? Voldeed de totle hoeveelheid zout n de norm?. Bentwoord eide vrgen ook voor week en week. eenheid en oppervlkte Bij grfieken zols deze, heen de eenheden op de ssen geheel verschillende etekenis. Kijk nr het eginstuk vn zo n weekgrfiek, wrij ook een ntl roosterlijnen zijn getekend. De eenheid op de horizontle s stelt dg voor en de eenheid op de verticle s 5 kg zout per dg. hoeveelheid zout (in kg/dg) 5 5 hokje 5 kg tijd (in dgen) De oppervlkte vn een roostercel is gelijk n lengte reedte. Houden we hierij rekening met de eenheden, dn krijg je: oppervlkte roostercel dg 5 kg/dg 5 kg. Eén roostercel stelt dus 5 kg zout voor. Om een indruk te krijgen vn de hoeveelheid zout die het meetpunt is gepsseerd, kun je dus gewoon cellen tellen en dit ntl vermenigvuldigen met 5 kg. Hoeveel kg zout is er volgens de grfiek gedurende de drie ngegeven dgen ongeveer lngs het meetpunt gestroomd? De schtting vn de totle hoeveelheid zout die in één week psseert, is geseerd op slechts één meting per dg. Als er snelle vernderingen in de zoutconcentrtie, de wterhoogte of in de stroomsnelheid zijn, is die schtting onnuwkeurig. In de tel zie je nu de meetresultten vn één week wrin op drie dgen twee keer is gemeten, om 6 uur en om 8 uur. dg zout (kg/dg)

9 . Reken n dt de friek volgens de voorgnde gegevens in die week onder de voorgeschreven kg is geleven.. Bij de tel hoort onderstnde grfiek. Er stt een roostercel ( eenheid vn oppervlkte) ij die 5 kg zout voorstelt. hoeveelheid zout (in kg/dg) kg tijd (in dgen) Geldt ook voor de derde dg: ntl kg oppervlkte 5? tip 5 Met ehulp vn onderstnde grfiek scht iemnd de gemiddelde hoeveelheid zout per dg op 6 kg. En omdt 7 6 concludeert hij dt de friek in die week teveel zout heeft geloosd.. Hoe kun je n de figuur zien dt zijn schtting te hoog is? 5. Geef zelf een etere schtting vn het gemiddelde. Heeft de 6 friek zich zo op het oog n 5 de voorschriften gehouden? 5 O Als de friek in één week teveel zout heeft geloosd, dn wordt een 5 oete opgelegd. De eigenr vn de friek vindt dt één keer per dg meten een schtting oplevert die te onnuwkeurig is om een oete op te seren. Drom wordt ij wijze vn proef gedurende één week ieder hlf uur een 5 5 meting verricht. De resultten worden weergegeven in de volgende grfiek Wrom is er nu geen stfgrfiek getekend, denk je?. Verdient de eigenr wel of geen oete? Verklr je ntwoord. 5

10 c. Gedurende deze week zijn er 6 metingen geweest. Noemen we het resultt vn de k-de meting Z(k) (in kg/dg), dn is de totle zouthoeveelheid TZ (in kg) die in deze week het meetpunt psseerde te erekenen met de formule: TZ Zk () Verklr deze formule. d. Geef een formule zols die hieroven voor het gevl dt er om het kwrtier een meting wordt verricht. Ook voor het gevl er vier keer per dg wordt gemeten met gelijke tussenpozen. 7 Een ndere mnier om de meetresultten vn één week weer te geven, zie je in de onderstnde grfiek. fwijking t.o.v. gemiddelde (kg/dg) 5 6 k 8 5 kg O tijd (dgen) -5 Je ziet dt er twee keer per dg is gemeten. Op de verticle s is nu de fwijking vn de gevonden meetwrde ten opzichte vn het toegestne dggemiddelde vn kg fgezet. Bij een meetwrde minder dn, is de fwijking negtief gerekend.. Heeft de friek in deze week de normen overtreden? Licht je ntwoord toe.. Het deel vn de tel met de eerste zes metingen stt hieronder. dg metingnummer 5 6 fwijking (kg/dg) Bereken de totle fwijking vn het gemiddelde voor de eerste drie dgen. Hoeveel kg zout is er die drie dgen in totl geloosd? c. Wrom kun je de totle fwijking ten opzichte vn de norm vn kg nu niet krijgen door de oppervlkten vn lle stven op te tellen? Hoe kun je de totle fwijking met ehulp vn deze oppervlkten wel erekenen? d. Lt nu TA de totle fwijking vn het toegestne gemiddelde zijn en A(k) de fwijking op de k-de dg. Klopt nu de formule TA Ak ()? -- k 6

11 Metingen vinden dikwijls met tussenpozen plts. Drom zie je drij dikwijls grfieken ls hieronder. stfgrfiek trpgrfiek polygoon De eerste twee grfieken zijn ijn hetzelfde; in de derde zijn eerst de meetresultten met een stip ngegeven en drn zijn de stippen vi lijnstukken veronden. Hoe groter het ntl meetpunten in een periode, des te nuwkeuriger is de schttingsmethode. Bij een toenemend ntl metingen worden stfgrfiek en trpgrfiek lguw onprktisch. Het polygoon gt dn lijken op een vloeiende grfiek zols ij functies. fwijking t.o.v. gemiddelde I III tijd Als je de vele stfjes er even ij denkt, dn kun je egrijpen dt de totle fwijking vn het gemiddelde weergegeven wordt door: opp. I - opp. II + opp. III In veel gevllen kn een eplde grootheid vrijwel continu (zonder tussenpozen) worden gemeten. Denk ijvooreeld n elektrische spnning, snelheid vn een uto, luchtdruk,... Is er n het meetpprt een schrijfeenheid gekoppeld, dn krijg je een vrijwel continue grfiek (zols hieroven). In veel gevllen speelt de oppervlkte tussen grfiek en horizontle s een elngrijke rol, net ls ij het eplen vn de zouthoeveelheid. In de volgende hoofdstukken wordt een ntl prolemen onderzocht wrij het niet over metingen gt, mr wrij de grfieken vi formules worden gegeven. Ook ij deze prolemen is de oppervlkte vn het geied tussen de grfiek en de horizontle s elngrijk. II 7

12 8

13 Riemnnsom en oppervlkte snelheid & fstnd In het oekje Som & Verschil, Afstnd & Snelheid (deel vn de Differentil- en Integrlrekening) he je gezien dt de oppervlkte onder een tijd, snelheid-grfiek de fgelegde fstnd voorstelt. In het ltste hoofdstuk vn dit oekje stt: v Dt t In de figuur zie je hoe de oppervlkte onder een tijd, snelheid-grfiek wordt enderd met een ovensom vn rechthoekige stroken. De reedte vn zo n rechthoekje correspondeert met een tijdsintervlletje, zeg met een duur vn Dt. De hoogte vn zo n rechthoekje correspondeert met de (hoogste) snelheid op dt intervlletje, zeg v m De oppervlkte vn zo n rechthoekige strook ( v m Dt) correspondeert met de in dt tijdsintervlletje fgelegde fstnd, ls... de snelheid constnt gelijk zou zijn n v m. De som vn lle oppervlkten geven nu een ovenschtting vn de fgelegde weg in het totle tijdsintervl. Die som noteren we glol zó: Þ Dt v m Op soortgelijke mnier kom je n een onderschtting: v min Þ Dt Zo krijg je een inklemming vn de fgelegde weg s: v min Þ Dt < s v < m Þ Dt Die inklemming kn supernuw gemkt worden door de strookreedte ( Dt) superklein te nemen. - Bij zo n superklein tijdsintervlletje (ijn een moment) enderen v m en v min elkr en zijn ze vrijwel gelijk n de momentne snelheid v op dt moment. Vndr dt we (glol) kunnen schrijven: v Þ Dt» s (voor kleine wrden vn Dt). Er is hierij sprke vn een voortschrijdend proces vn endering. De overgng vn zo n enderingsproces nr een ecte wrde is de kern vn de integrl- en differentilrekening. Leiniz edcht voor het ecte resultt deze nottie: vdt s Het eerste symool (de ouderwetse S) wordt het integrlteken genoemd. Het geeft n dt de som geseerd is op een oneindig fijne verdeling in oneindig dunne strookjes. Om dezelfde reden is Dt vervngen door dt de lengte vn een oneindig klein tijdsintervlletje. Neem n dt de eenheid op de horizontle s in ovenstnde grfiek sec voorstelt en de eenheid op de verticle s m/sec. Wt stelt de oppervlkte vn een roostercel dn voor? 9

14 Eveneens in deel he je gezien dt de oppervlkte onder de prool y, gerekend vnf het punt (, ) tot een punt (, ), gelijk is n eenderde vn de rechthoek die wordt egrensd door de lijnen,, y, y. y (). He je nog enig idee hoe dt resultt is gevonden? Zoek die fleiding eens op.. We vtten de grfiek nu op ls een snelheidsgrfiek: () v t () () t in sec v in m/sec t Welke formule hoort er nu ij de fgelegde fstnd ( s) in de tijd die verloopt vn tot t? c. Teken de snelheidsgrfiek over en geef met een horizontle lijn de gemiddelde snelheid n op het intervl [, t]. reid In de figuur op de volgende ldzijde zie je tweeml een veer getekend. In de figuur links is de veer niet gespnnen, de veer rechts is u m uitgerekt. Om de veer in deze uitgerekte toestnd te houden, moet een krcht F uitgeoefend worden. De enodigde krcht is groter nrmte de uitrekking u groter is: F is fhnkelijk vn u. Bij normle veren is F evenredig met de uitrekking u, dus F Cu. Dit vernd tussen krcht en uitrekking ij een veer stt ekend ls de wet vn Hooke. De constnte C wordt de veerconstnte genoemd en deze is fhnkelijk vn de soort veer. F (in Newton) F Cu u (in m)

15 Veronderstel dt je te mken het met een veer met C.5. Veronderstel ook dt de veer. m is uitgerekt. Welke krcht moet worden uitgeoefend om de veer in die stnd te houden? Om de veer een uitrekking u te geven, moet er reid verricht worden. Deze reid wordt ls het wre opgeslgen in de gespnnen veer en komt weer vrij ls de veer wordt losgelten. De in de gespnnen veer opgeslgen reid wordt wel de veerenergie genoemd. Als de krcht constnt zou zijn, kun je voor het erekenen vn de reid deze formule geruiken: reid krcht weg ofwel W F s. Een proleem is, dt de krcht verndert zodr s verndert! De vrg is nu: hoeveel reid W is nodig om de veer u cm uit te rekken. Drvoor ekijk je de grfiek vn F ls functie vn s. De wrde vn W kn ls volgt worden enderd: verdeel het u-intervl in superkleine deelintervllen (tussenpunten u,u, enzovoort) zodt F op zo n deelintervl ngenoeg ls constnt mg worden eschouwd; ereken ij elk deelintervl de ijehorende reid (in de figuur voorgesteld door de oppervlkte vn een rechthoekig strookje!) en tel de uitkomsten op. F (in Newton) F Cu u k u k+ u (in m) ij endering reid in deelintervl [u k, u k+ ] Deze situtie lijkt erg veel op het verhl in hoofdstuk vn Som & Verschil, Afstnd & Snelheid (Glileï en de vlwet). Je het dr gezien dt de som vn de oppervlkten vn de strookjes de (driehoekige) oppervlkte onder de grfiek vn F willekeurig dicht enderen.

16 De (ect) te verrichten reid W wordt in de voorgnde figuur voorgesteld door de oppervlkte onder de grfiek vn F. De reid W is een functie vn de uitrekking u. Uit de figuur (grfiek vn F) kun je een formule voor W ls functie vn u fleiden. Geef die formule (stel de veerconstnte C). 5 Bij de geruikelijke eenheden voor u (meter) en F (Newton) hoort de Joule ls eenheid vn reid. Hoe kun je Joule voorstellen in de grfiek op ldzijde? 6. Een veer met constnte.5 is. m uitgerekt. De uitrekking moet toenemen tot.7 m. Bereken de hoeveelheid reid die voor deze uitrekking nodig is.. Die reid kn worden voorgesteld door een oppervlkte onder de grfiek vn F. Teken die oppervlkte. Riemnnsom & integrl In de opgven en gt het om de epling vn een oppervlkte onder een grfiek ofwel de limiet vn een som. Zo n som heeft de gednte: f ( )D k wrij f een functie vn is, D de lengte vn een deelintervlletje vn een zeker -intervl en k een punt vn zo n deelintervl. Een som vn dit type wordt wel een Riemnnsom genoemd, nr de wiskundige Riemnn (86-866). Een preciezere nottie, in het gevl vn n deelintervlletjes, is: n k f ( k )D Als [, ] het edoelde -intervl is en ls f() op dt intervl, dn endert zo n Riemnnsom de oppervlkte onder de grfiek vn f op het intervl [, ]. De ecte oppervlkte is gelijk n de limiet vn de Riemnnsom ij oneperkte toenme vn n. Deze limiet wordt genoteerd ls integrl: f () d y yf() y yf() D n k f ( k )D f () d

17 7 In de situtie vn een eweging (zie opgve ) speelt de snelheid v de rol vn f en de tijd t de rol vn. Noemen we de grenzen vn een tijdsintervl nu t en t, dn krijgen we de integrl:. Mk een pltje vn het ijehorende geied onder de grfiek vn v in het gevl v(t) t en < t < t. Verklr uit dit pltje dt deze integrl gelijk is n: c. Wt is de etekenis vn deze uitkomst in termen vn de eweging? t t vt () dt 8 In de situtie vn opgve speelt de krcht F de rol vn f en de uitrekking u de rol vn.. Wt is nu de etekenis vn: u u Fu ()u d --t voor de uitrekking vn de veer?. Neem de veerconstnte C en druk de uitkomst vn deze integrl uit in C, u en u --t inhoud vn pirmide Als derde vooreeld vn Riemnnsom en integrl, ekijken we een inhoudserekening. Je weet wrschijnlijk wel dt de inhoud vn een pirmide gelijk is n --hg ; hierij stelt h de hoogte vn de pirmide voor en is G de oppervlkte vn het grondvlk. Die formule ws l ij de oude Grieken ekend; volgens Archimedes ws zij ontdekt door Democritos (c voor Chr.). Het ewijs voor de geldigheid vn de formule is niet eenvoudig. Een npk die ook l in de Oudheid werd toegepst, is geseerd op een endering vn de pirmide door middel vn een stpel dunne plkjes. Voor het gemk is hieronder een vierzijdige pirmide getekend, mr de tekst tot en met opgve is vn toepssing op lle soorten pirmides (dus met,, 5,... zijden). De plkjes heen dn de vorm vn een prism met,, 5,... zijden. Hoe dunner de plkjes, hoe eter de som vn de inhouden vn de plkjes de inhoud vn de pirmide endert!

18 tip 9 Stel de hoogte vn de pirmide h en de oppervlkte vn het grondvlk G. De prismplkjes (zeg n stuks) heen een hoogte D ( h/n) en de oppervlkte vn de odem vn zo n plk op een fstnd vn de top noemen we O(). G n dt de inhoud vn de pirmide wordt enderd door de Riemnnsom: Bij vergroting vn het ntl plkjes en de drmee geprd gnde verkleining vn de dikte, krijg je een steeds etere endering vn de inhoud vn de pirmide. De ecte inhoud wordt gegeven door de integrl: Deze integrl is ls het wre de som vn (de inhouden vn) oneindig veel oneindig dunne plkjes. Het gt er nu om de ovenstnde integrl te erekenen. Drvoor zoeken we een formule voor O ls functie vn.. Verklr de formule: O () h n k h O ( k )D O () d ----G ofwel O () G ---- h. Bedenk dt h en G constnten zijn. De grfiek vn O ls functie vn is dus een prool. Schets die grfiek en geef het geied n onder de grfiek dt correspondeert met ovenstnde integrl. c. Geruik de op ldzijde genoemde eigenschp vn de prool om die oppervlkte te erekenen en... je krijgt de formule voor de inhoud vn de pirmide. integrl op de GR Met de GR kun je integrlen erekenen. De uitkomst is dn meestl een endering vn de ecte wrde. De GR mkt ij de erekening geruik vn een vrint op Riemnnsommen, wr we hier niet verder op ingn. In Som & Verschil, Afstnd & Snelheid kun je vinden op welke mnieren je dit ij de TI-8/8 kunt doen. In deze opgve ps je de methode toe die geruikmkt vn het menu CALC.. Teken op de GR met venster [-, ] ij [, ] de grfiek vn y. Kies in het menu CALC de optie f () d. Neem Lower Limit X - en Upper Limit X (vi de pijltjestoetsen). N ENTER krijg je een endering vn de gevrgde integrl. c. Hd je de uitkomst kunnen voorspellen?. Teken op de GR (met hetzelfde venster ls in ) de grfiek vn y. Toets Zoom Squre in. Wt voor een kromme is de grfiek die je nu krijgt?. Neem weer Lower Limit X - en Upper Limit X en noteer het resultt. c. Ook in dit gevl kun je op grond vn meetkundige kennis zeggen wt de ecte wrde is en zo de gevonden endering verifiëren. Doe dt.

19 Smenvtting Riemnnsom Bij uiteenlopende prolemen speelt het erekenen vn een som vn de vorm: een elngrijke rol. n k f ( k ) D Hierij is een -intervl, zeg [, ], verdeeld in n deelintervlletjes, elk met lengte D. De wrden vn f op het k-de deelintervl worden enderd door f( k ). Hierij is k een getl uit dt intervlletje, ijvooreeld de linker- of rechtergrens drvn. Zo n som wordt een Riemnnsom vn f op het intervl [, ] genoemd. oppervlkte Als f() voor, dn geeft de Riemnnsom vn f op het intervl [, ] een endering vn het geied dt wordt egrensd door de grfiek vn f, de -s en de verticle lijnen en. y yf() y yf() D integrl Bij oneperkte verfijning vn de verdeling vn [, ], ndert de Riemnnsom tot de ecte wrde vn de oppervlkte vn het edoelde geied. Die limietwrde noemt men de integrl vn f op het intervl [, ]. Nottie: f () d 5

20 6

21 Primitieve functies We keren even terug nr het vooreeld dt gt over de eweging met de formule: vt () t De fgelegde fstnd op t seconden n het tijdstip noteren we ls s(t). De fgelegde fstnd gedurende het tijdsintervl [t, t ] is dn gelijk n: st ( ) st ( ) Die fgelegde weg kn worden voorgesteld door een oppervlkte onder de tijd, snelheidgrfiek: t v(t ) vt () dt t v(t ) fgelegde fstnd in [t, t ] t t Uit: t t t t t t t -- --t t t t volgt: t t dt --t --t t Drij is een eigenschp vn de prool geruikt die is fgeleid in hoofdstuk 9 vn het oekje Som & Verschil, Afstnd & Snelheid. De fleiding drvn ws geseerd op een Riemnnsom (l werd dt dr niet zo genoemd) en op een formule voor de som vn kwdrten. An het eind vn genoemd oekje is ook een tweede mnier genoemd. Omdt geldt: s'(t) v(t) en v(t) t, kun je vi nti-differentiëren een formule voor s(t) vinden. Welke formule vind je voor s(t)? En hoe volgt hieruit de wrde vn ovenstnde integrl? 7

22 De grfiek vn y verdeelt de rechthoek egrensd door de lijnen,, y en y in stukken met verhouding :. () y () Deze eigenschp kn worden ngetoond met ehulp vn een Riemnnsom en een formule voor de som vn derdemchten. (Zie weer hoofdstuk 9 vn Som & Verschil, Afstnd & Snelheid ). Beschouw een eweging met v(t) t.. Geruik ovengenoemde eigenschp om een uitdrukking in t en t te vinden voor: t t dt integrl ls toenme t. Lt zien dt je diezelfde uitdrukking ook kunt vinden door geruik te mken vn het feit: s'(t) v(t). In de vorige twee opgven he je gezien dt een integrl soms epld kn worden door nti-differentiëren. Dit idee gn we nu wt lgemener ekijken. Het komt hier op neer: Als je f () d wilt erekenen, en ls je een functie F weet met de eigenschp F' f, dn kun je de integrl erekenen zonder Riemnnsommen te geruiken. De wrde vn de integrl is dn nmelijk gelijk n de toenme vn F op het intervl [, ], ofwel gelijk n: F() F(). hoofdstelling Deze wetenswrdigheid stt ekend ls de hoofdstelling vn de differentil- en integrlrekening. Als je ij f n een snelheidsfunctie denkt, dn is de hoofdstelling duidelijk. Mr ook los vn de interprettie in termen vn snelheid en fgelegde weg, kn de hoofdstelling worden verklrd. An het eind vn dit hoofdstuk wordt die stelling eredeneerd. In de volgende opgven kun je ls het nodig is de hoofdstelling lvst geruiken. G n of de resultten vn de opgven 8 en vn het vorige hoofdstuk, in overeenstemming zijn met de hoofdstelling. 8

23 primitieve Teken de grfiek vn y en eschouw de oppervlkte vn het geied dt wordt ingesloten door deze grfiek, de -s en de lijn ( > ). Deze oppervlkte is gelijk n vn de oppervlkte vn de rechthoek met zijden -- lngs de -s, de y-s, de lijn y en de lijn. Verklr dit uit de oppervlkteeigenschp vn de prool en g n of dit klopt met de hoofdstelling. Een functie F met de eigenschp F' f, zou je een nti-gedifferentieerde (of nti-fgeleide) vn f kunnen noemen. In de Engelse tl spreekt men vn nti-derivtive. In Nederlndse oeken wordt meestl het woord primitieve functie geruikt. Soms spreekt men ook vn integrlfunctie. Zo geldt ijvooreeld dt de functie F gegeven door F() een primitieve functie (kortweg primitieve) of integrlfunctie is vn f gegeven door f(). 5 Merk op dt je wel kunt spreken vn de fgeleide vn een functie, mr niet vn de primitieve vn een functie. Als je vn een functie één primitieve weet, dn weet je er meteen oneindig veel meer. Verklr dt. 6 Je kunt de primitieve vn een functie vstleggen door een etr eis te stellen. Bijvooreeld de eis dt de grfiek door een gegeven punt moet gn. Zoek ij elk vn de volgende functies f de primitieve F wrvn de grfiek door de oorsprong gt. --. f () d. f () cos. f () e e. f () sin c. f () e + f. f () 7 Bereken met de hoofdstelling de volgende integrlen (geruik de primitieve functies die je in 6 gevonden het)... c. ln e d d e + d d. e. f. --p --p cos sin d d d 8 Bij opgve 6 moest de primitieve F voldoen n de voorwrde: F(). Stel nu dt er in plts hiervn ws geëist: F(). Wt zou er dn in de ntwoorden vn opgve 6 vernderen? En in de uitkomsten vn opgve 7? 9

24 Je het inmiddels wel gezien dt je ij een primitieve functie vn f een constnte kunt optellen om een ndere primitieve functie te vinden. Zo geldt ijvooreeld dt voor elke wrde vn c de functie F met F() een primitieve is vn de functie f met f () 5 Je kunt je nu fvrgen of je drmee lle primitieve functies vn f het. Met ndere woorden, of het zo is dt twee primitieve functies vn dezelfde functie f noodzkelijk een constnte verschillen. Dit is inderdd het gevl, mits... het domein vn de functie overeenkomt met een nietonderroken deel vn de -s! Ter toelichting de volgende opgve. 9 De functie f is voor gegeven door f () ---- Dit is een vooreeld vn een functie f wrvn het domein een onderreking heeft.. G n dt de functie F met F () -- een primitieve is vn f.. De functie F is ls volgt gedefinieerd: F () -- + voor -- + voor > < G n dt ook F een primitieve functie is vn f. c. Schets de grfieken vn F en F. Is het zo dt F en F een constnte verschillen? Vn een op een intervl I gedefinieerde functie kun je wél zeggen dt twee primitieves een constnte verschillen. Voor het ewijs hiervn geruiken we een regel die je in het oekje Techniek vn het differentiëren ent tegengekomen, nmelijk: c ls F' () voor iedere in het intervl I, dn is F constnt op I Veronderstel nu dt de functies F en F eide primitieve functies zijn vn de op een intervl I gedefinieerde functie f. Dt etekent dt voor ieder getl innen het intervl geldt: F '() f() F '() f() - F '() - F '() F () - F () c stelling Hieruit volgt : F () F () + c Als F en F primitieve functies zijn vn een op het intervl I gedefinieerde functie f, dn verschillen zij een constnte.

25 Vooreeld Gegeven de functie f door f() +. Deze functie is gedefinieerd voor lle reële getllen. De verzmeling primitieve functies vn f wordt eschreven door: Of in de nottie vn Leiniz: F() ( + ) d -- Beschrijf de verzmeling primitieven vn de functie f met:.. f () f () ( ) c c c. d. f () e f () e Bepl:.. d ( + ) d c. d. cos d cos( ) d de constnte speelt geen rol Een gevolg vn de stelling op de vorige ldzijde is dt het er, ij het erekenen vn een integrl met ehulp vn een primitieve functie, niet toe doet wélke primitieve je kiest. Immers: lt f een functie zijn gedefinieerd op [, ] en lten F en F* twee primitieve functies zijn vn f, dn geldt: F*() F() + c. Met ls gevolg: F*() - F*() (F() + c) - (F() + c) F() - F(). Teken op de GR met venster [, ] ij [, 5] de grfiek vn y. Bereken met de GR de integrl ---- d f () d c. G met ehulp vn de hoofdstelling n dt de GR in dit gevl de ecte uitkomst geeft. Bekijk de grfiek vn y sin op het intervl [, p] De horizontle lijn oven de -s geeft n wt de gemiddelde wrde vn sin op het intervl [, p] is. Dt etekent dt de oppervlkte tussen de grfiek vn y sin en de -s op het intervl [, p] gelijk is n de oppervlkte tussen die horizontle en de -s, eveneens op [, p]. Bereken het ecte gemiddelde vn sin op het intervl [, p].

26 Bereken het (ecte) gemiddelde vn:. op [, ] c op [, ]. op [, ] d. cos op [, --p] tip 5 Bekijk de grfiek vn f() ( - ) op het intervl [, ]. Toon n dt het gemiddelde vn f() op dit intervl gelijk is n Bereken:.. c. d d + d 7. Toon door een erekening n dt:. Hoe kun je deze regel verklren uit de grfiek vn y e? 8. Mk op de GR met venster [, ] ij [, ] de grfieken vn y () en y (). Toets vervolgens Zsqure in.. Het geied ingesloten door eide grfieken kun je schduwen. c. Toon n dt de oppervlkte vn het donker gemkte geied precies de helft is vn het vierknt met hoekpunten (, ), (, ), (, ) en (, ). 9 Het resultt vn opgve 8 kn worden gegenerliseerd. Stel n is een ntuurlijk getl groter dn en y () n en y () n. Lt vervolgens zien dt de oppervlkte vn het geied dt wordt ingesloten door n de grfieken vn y en y gelijk is n: n + d. e. f. + e e e d 5 6 e t dt e t dt e t dt Kies menu DRAW en drin de optie Shde. Zorg nu dt er Shde (Y, Y,, ) op je scherm komt en druk op ENTER.. Toon n: y () d en y n + () d n n +

27 In hoofdstuk he je gezien dt het verstndig kn zijn om de oppervlkte vn een geied tussen een grfiek en de -s negtief te rekenen ls de grfiek onder de -s ligt. De uitkomst vn de ijehorende integrl is dn utomtisch ook negtief. Als de grfiek op het integrtie-intervl [, ] fwisselend oven en onder de -s ligt, worden de positieve en de negtieve oppervlkten met elkr verrekend.. Bereken met de hoofdstelling chtereenvolgens: p sind p ; sind ;. De uitkomst vn de ltste twee integrlen hd je ook zonder erekening kunnen geven. Verklr. Teken de grfiek vn f() -. Bereken: f () d en p. Je kunt je voorstellen dt er tussen en precies één getl estt zodnig dt: Bereken dt getl. p sin d f () d f () d ewijs vn de hoofdstelling Je het nu in een ntl gevllen de hoofdstelling geruikt om integrlen te erekenen. Zols eloofd volgt er nog een ewijs vn die hoofdstelling. Drtoe ekijken we de volgende situtie. f is een functie wrvn de grfiek een niet-onderroken kromme lijn is; men zegt dn dt f een continue functie is. Neem n dt de verticle lijn door (, ) de grfiek snijdt; in het verdere verhl noemen we die lijn de strtlijn. Beschouw nu de oppervlkte vn het geied dt egrensd wordt door de strtlijn, de grfiek vn f, de -s en een verticle lijn rechts vn de strtlijn. Als de tweede verticle lijn de -s in (, ) snijdt, noemen we de oppervlkte vn het geied O(). strtlijn f O() O Op deze wijze is ij f een nieuwe functie O ( oppervlktefunctie ) gedefinieerd. We ewijzen nu dt deze functie een primitieve is vn f, ofwel dt geldt: O'() f().

28 Het komt er dus op n om te eredeneren dt: O ( + h) O () lim fi h h f () Lt h een klein positief getl zijn. Dn stelt O( + h) - O() de ngroeiing vn de oppervlkte voor ij een kleine verschuiving nr rechts vn de verticle lijn door (, ). Die ngroeiing is de oppervlkte vn een strook met reedte h. f min f m h h h f O() ngroeiing oppervlkte O + h De oppervlkte vn die strook kn worden ingeklemd tussen twee rechthoekige stroken, eentje met reedte h en hoogte de minimle wrde vn f op het intervl [, + h] en de tweede met reedte h en hoogte de mimle wrde vn f op dt intervl. We schrijven kortweg: h f min O ( + h) O () h f m Delen door h geeft: O ( + h) O () f min f h m Als h tot ndert, dn nderen f min en f m eide tot de wrde f(). Gevolg: het door f min en f m ingeklemde differentiequotiënt In schem: O ( + h) O() ndert ook tot f(). h h fi O ( + h) O () f min f h m ndert tot f() O'() In de figuur is een situtie gekozen wrij de wrde f() positief is. De redenering gt met een pr npssingen ook op ls dit niet zo is, mits oppervlkten onder de -s negtief worden gerekend. Ook ij een negtieve keuze vn h is de redenering vn krcht.. De functie O is dus een primitieve vn f. Welke wrde heeft die primitieve voor?. Lt F een willekeurige primitieve vn f zijn en stel >. Wrom volgt nu: F() - F() is gelijk n de oppervlkte tussen de grfiek vn f en de -s op het intervl [, ]? f()

29 Uit de hoofdstelling volgen nu direct twee eenvoudige eigenschppen vn de integrl. Die eigenschppen zijn: De eerste eigenschp zegt dt je een constnte fctor vn de te integreren functie, vóór de integrl kunt pltsen. De tweede eigenschp eweert dt de integrl vn de som vn twee functies, de som vn de integrlen vn die functies is. Het ewijs vn deze regels volgt onmiddellijk uit twee regels voor het differentiëren, nmelijk (cf)' cf' en (F + G)' F' + G'. Bewijs vn regel (). Volgens de hoofdstelling geldt: en () () De uitdrukkingen rechts vn het -teken zijn volgens de wetten vn de lger n elkr gelijk.. Bewijs zelf regel ().. G n dt een soortgelijke regel ls () ook voor het verschil vn twee functies geldt.. Mk op de GR met venster [, ] ij [, ] de grfieken vn y () + en y () De twee grfieken sluiten een vlkdeel in. De oppervlkte vn dit vlkdeel is gelijk n de integrl: Verklr dit. c. Bereken die oppervlkte. ( f () + g ()) d f () d cf() d ( f () + g ()) d c f() d f () d + g () d ( F () + G ()) ( F () + G () ) + g () d ( F() F ()) + ( G () G ()) ( ) d 5

30 Smenvtting primitieve constnte Een primitieve F vn functie f op een intervl I heeft de eigenschp dt voor iedere innen het intervl I geldt: F'() f(). Als F een primitieve functie is vn f, dn is de functie die een constnte c vn F verschilt, dt ook. Mr het is nog sterker: Twee verschillende primitieve functies vn dezelfde functie f op een intervl I verschillen een constnte. Primitieve functies kunnen worden geruikt om integrlen te erekenen. Drij geruik je: hoofdstelling ALS F een primitieve is vn f op het intervl [, ] DAN f () d F () F () drie regels Voor integrlen gelden de rekenregels: () () (') cf() d ( f () + g ()) d ( f ()-g() ) d c f() d f () d + f () d g () d g () d 6

31 De techniek vn het integreren puzzelen numeriek Voor het differentiëren he je een ntl lgemene regels geleerd wrmee je in principe vn elke functie die smengesteld is uit stndrdfuncties (zols mchtsfuncties, eponentiële functies, logritmische functies, goniometrische functies) de fgeleide kunt erekenen. Drvoor he je een ntl regels geleerd zols de productregel en de kettingregel. Het is dn wel de kunst om op het juiste moment de goede regels toe te pssen en ntuurlijk om geen rekenfouten te mken. Bij het integreren is dt veel minder eenvoudig. Je het in het vorige hoofdstuk wel gemerkt dt je f en toe een eetje moest puzzelen om een primitieve functie te vinden. Sommige typen functies heen hun eigen regels en trucs, die erg ingewikkeld kunnen zijn. De techniek vn het integreren is een vk prt. Er estn oeken wrin vn llerlei typen functies de primitieve vermeld stt, een soort encyclopedie voor het integreren. Mr... het is niet zo dt vn iedere functie uit het stndrdrepertoire een primitieve te vinden is die zelf ook weer smengesteld is uit stndrdfuncties. Bij het erekenen vn moeilijke integrlen geruikt men verschillende enderingstechnieken wrij de computer het rekenwerk op zich neemt. Men spreekt dn vn numerieke oplossingen. Je het gezien hoe je dt ijvooreeld op de TI 8 kunt doen vi het menu CALC. Een ndere mnier op de TI 8 is vi het menu MATH optie fnint. Die ltste mnier g je nu toepssen op een functie wrvn een primitieve lstig te vinden is, nmelijk: f () +. Toets in Y fnint( (+T ), T,, X). (T vi de ALPHA - toets). Dt etekent: integrl vn de functie ft () + t wrij t loopt vn tot. Ofwel: y () + t dt Mk een grfiek vn y op de GR.. y kun je opvtten ls de oppervlktefunctie ij f met strtlijn. Wt geeurt er met de grfiek vn y ls je een ndere strtlijn kiest? c. Bereken met fnint de wrde vn de integrl: d. Iemnd eweert: ij f() + hoort een primitieve F() --( + ) +, dus ij f() + vind ik F() --( + ) +. Wt klopt er niet en wrom? 5 + t dt 7

32 computerlger Er estn tegenwoordig computerprogrmm s die symolisch kunnen rekenen: zij kunnen hkjes uitwerken, veeltermen ontinden in fctoren, differentiëren en nog veel meer. Dergelijke progrmm s kunnen ij llerlei functies, indien mogelijk, een formule voor de primitieve geven. Zo n progrmm heet een computerlger-progrmm. Een ekend progrmm dt op vrijwel elke PC kn drien is DERIVE. Als je met DERIVE een primitieve lt vinden vn de functie uit opgve, komt er: Rechts vn het -teken stt de formule wrmee je een primitieve vn f () + kunt eschrijven. Je ziet: het resultt ligt zeker niet voor de hnd. Als je het niet vertrouwt, kun je het controleren door differentiëren. Een wt eenvoudiger vooreeld is dit:. Misschien zou je denken dt F() --sin een primitieve is vn G n dt dit niet juist is. Je gt nu zelf een primitieve vn f() sin opsporen. Dt is est te doen, ls je deze twee formules (zie het oekje Periodieke Bewegingen ) geruikt! cos t + sin t f () sin cos t sin t cost tip. Mk eerst de grfiek vn f () sin op de GR. Zij lijkt op een sinusoïde. Met welke mplitude en met welke periode? c. Dt de grfiek vn f inderdd een sinusoïde is, kun je ewijzen door ovenstnde twee formules hndig te comineren. Hoe? d. Als het goed is, he je nu een nieuwe formule voor f gevonden. Drmee kun je vrij eenvoudig een primitieve vinden. Welke primitieve functie krijg je dn? e. Jouw ntwoord verschilt vermoedelijk vn dt vn DERIVE. Lt zien dt dit verschil mr schijn is. Geruik ovenstnde formules ook om een primitieve te vinden vn f() cos.. De grfiek vn f () sincos is een sinusoïde. Controleer dit op de GR en lt dit vervolgens zien met ehulp vn een vn de formules uit Periodieke Bewegingen.. Geef een primitieve vn f. 8

33 Bij mchtsfuncties is het vinden vn een primitieve niet moeilijk. Voor mchten met een ntuurlijke eponent, geldt: functie f() enz. primitieve F() enz. In het lgemeen geldt: functie f() n primitieve F() n + n + Deze regel geldt ook voor geroken en voor negtieve eponenten, met uitzondering dn vn n -! 5. Mk een rijtje met functies en primitieven (zols oven) met n --, --, --, --.. Bereken de ecte wrde vn 6. Mk een rijtje met functies en primitieven (zols oven) met n -, -, -, -5.. Bereken de ecte wrde vn d d Zols gezegd geldt ovenstnde regel niet voor n -. In het oekje De techniek vn het differentiëren (lz. 6) ws er sprke vn de ontrekende schkel. Je het dr gezien dt de ntuurlijke logritme de leemte opvult. We heen: functie f() - primitieve F() ln 7. Als voorwrde ij deze regel geldt >. Wrom?. Bedenk een primitieve vn f met f() - voor <. 8. Bereken de oppervlkte onder de grfiek vn y -- op het intervl [, e].. Op het intervl [5, ] is de oppervlkte onder de grfiek vn y -- gelijk n. Bereken. 9

34 rol vn constnte 9 Lt F een primitieve zijn vn f In de nottie vn Leiniz (en met weglting vn de integrtie-constnte ): f () d F () Lt een constnte zijn. Druk uit in F, en (je mg de integrtie-constnte weglten):. f ( + ) d c. f ( ) d. ( f () + ) d d. f() d Bereken de ecte wrde vn: d d + c. d d ( ) d Het opsporen vn de formule voor een primitieve ij een gegeven functie komt neer op terugzoeken. Een mooi vooreeld drvn vind je in de volgende opgve. Gezocht een primitieve vn f () e Isel gokt op F() e Ntuurlijk controleert zij dit door te differentiëren. Hels... Mr niet getreurd; op grond vn deze fgeleide kn zij, n een correctie, een goede primitieve vinden. Doe hr dt n. Bepl:. e d. e d In het egin vn dit hoofdstuk is opgemerkt dt ij een functie die een comintie vn stndrdfuncties is, niet ltijd een primitieve te vinden is die eveneens in stndrdfuncties is uit te drukken. Een eroemd vooreeld drvn is de functie f met f () e

35 . Mk met venster [ 5, 5] ij [, ] de grfiek vn ltstgenoemde functie op de GR. Welke ijzonderheden merk je op?. Mk ook op de GR (zelfde venster) een grfiek vn de primitieve F vn deze functie die voldoet n F(-5) (de GR tekent nu heel erg trg!). c. Hoe kun je zeker weten dt de tweede grfiek een uigpunt heeft op de lijn? Proeer mr niet een gewone formule voor F te vinden. Als je het n DERIVE vrgt, komt er: normle kromme tip In het ntwoord is een nieuwe functie verwerkt: ERF. De fkorting stt voor Error Function. De functie f en zijn primitieve F spelen nmelijk een rol in de sttistiek en in de foutenrekening. De grfiek vn f is een zogenmde Gusskromme of normle kromme. De grfiek vn F lijkt een eetje op een S of, zo je wilt, op het integrlteken; zij wordt wel S-kromme of sigmoïde genoemd. He je even gedcht dt F() e een primitieve is vn f () e? De grfieken vn opgve helpen je uit deze droom.. Als je F correct differentieert, zie je trouwens ook dt dit niet klopt. G mr n.. Lt g de functie zijn met g () e Het lijkt nu dt je wél met ehulp vn stndrdfuncties een primitieve G vn g kunt eschrijven. Hoe? c. Teken op de GR met venster [-, ] ij [-, ] de grfiek vn g en vn een primitieve G vn g. Proeer de vorm vn de tweede grfiek uit de eerste te verklren.

36 Smenvtting rol vn constnte Als je een integrl wilt erekenen met ehulp vn de hoofdstelling vn de differentilen integrlrekening, zoek je een primitieve vn de te integreren functie. Het kn heel lstig zijn om zo n primitieve te vinden en vk is het zelfs onmogelijk om ij f (uitgedrukt in stndrdfuncties) een primitieve F te vinden die zelf ook in stndrdfuncties is uitgedrukt. Als het ij een functie f wel lukt om een primitieve in stndrdfuncties uit te drukken, dn lukt het ook ij de functies g gegeven door: g() f( + c), f() + c, f(c), cf(), met c ls constnte. Er geldt dn: functie g primitieve G met g() met G() f( + c) f() + c f(c) cf( ) F( + c) F() + c -- F(c) c cf( ) mchtsfuncties Vn functies vn het type f() n is een primitieve F gegeven door: functie f primitieve F met f() met F() n (n -) - ( > ) n + n + ln - ( < ) ln(-) eponentiële functies Vn functies vn het type f() ( >, ) is een primitieve F gegeven door: functie f primitieve F met f() met F() ( >, ) ln sin en cos Vn de goniometrische functies sinus en cosinus wordt een primitieve gegeven door: functie f primitieve F met f() met F() sin cos - cos sin

37 5 Inhoudserekeningen doorsnedefunctie In hoofdstuk he je gezien hoe met ehulp vn een integrl de formule voor de inhoud vn een pirmide kn worden gevonden. De npk drij ws: ender de inhoud door middel vn een serie dunne plkjes (in de vorm vn een prism); de odem vn zo n plkje is een horizontle doorsnede vn de pirmide. O() hoogtekrt Om de inhouden vn de plkjes te kunnen erekenen, moet je de oppervlkte vn die doorsneden weten; die oppervlkten vriëren met de hoogte en je kunt spreken vn een doorsnede-functie. De som vn de inhouden vn die plkjes is dn een Riemnnsom die pst ij de doorsnede-functie en dt leidt ten slotte tot een integrl. Deze strtegie eperkt zich niet tot de pirmide, mr is toepsr op llerlei ruimtelijke vormen. Zo kun je ijvooreeld uit de hoogtekrt vn een erg een schtting mken voor het volume vi de volgende procedure: ender de oppervlkte vn de geieden omsloten door de hoogtelijnen (vnf de voet vn de erg tot de top); vermenigvuldig die oppervlkten met het hoogteverschil tussen opvolgende hoogtelijnen, je krijgt dn de inhouden vn een serie plkken ; sommeer deze inhouden Je kunt je voorstellen dt de erekening vn het volume des te nuwkeuriger is nrmte een fijner net vn hoogtelijnen wordt geruikt. Deze methode met hoogtelijnen kn worden toegepst in de medische wetenschp. Door middel vn echogrfie wordt ijvooreeld een scn gemkt vn een inwendig ces. Uit een serie prllelle doorsneden kn dn een schtting vn het volume vn zo n ces worden gemkt. Zo n schtting kn worden geschreven ls: n k Oz ( k )Dz Hierin stelt O(z k ) de doorsnee-oppervlkte op hoogte z k voor, en Dz de fstnd tussen twee opvolgende doorsneden.

38 Regelmtige vormen heen regelmtige hoogtekrten. Hiernst zie je een hoogtekrt vn een kegel. De hoogte vn de kegel en de strl vn de grondcirkel zijn eide gelijk n.. Teken een zijnzicht vn de kegel (met drin de hoogtelijnen,,, ).. G n dt de oppervlkte vn de doorsnede op hoogte z gelijk is n p( z). c. De ecte inhoud vn de kegel is de limiet vn de Riemnnsom n k p( ) Dz. Welke integrl levert dit op? z k d. Lt nu met ehulp vn integrlrekening zien dt de inhoud gelijk is n p. -- e. Net ls ij een pirmide kun je de inhoud vn een kegel erekenen met de regel: inhoud -- hoogte oppervlkte grondvlk. Controleer nog even dt ovenstnde uitkomst drmee in overeenstemming is.. Mk een hoogtekrtje vn een hlve ol met strl en met doorsneden op hoogten,,,,. Geruik drij een zijnzicht. Wrin verschilt dit hoogtekrtje vn het hoogtekrtje vn een kegel?. Veronderstel nu dt je strl vn de hlve ol gelijk is n R. Lt zien dt de oppervlkte vn de doorsnede op hoogte z gelijk is n: p( R z ) c. Bewijs nu met ehulp vn een integrl dt de inhoud vn een hlve ol met strl R gelijk is n --pr Als je een prool wentelt om zijn symmetrie-s, ontstt een zogenmde proloïde. De proloïde wordt vnwege zijn meetkundige eigenschppen veelvuldig toegepst in de techniek. Schotelntennes en rdiotelescopen heen de vorm vn een proloïde. Mr drover meer in een vn de meetkundeoekjes. Op deze plts zijn we geïnteresseerd in de inhoud vn een proloïde. Stel je voor een ijscoupe of wijngls vn deze vorm. y-s y -s Als je het pootje en de voet vn het gls uiten eschouwing lt, kun je de vorm vn het gls lten ontstn door de grfiek vn y te wentelen om de y-s. p. Lt zien dt de oppervlkte vn de doorsnede op de hoogte y gelijk is n --y.. Stel de hoogte vn de proloïde gelijk n h. Druk de inhoud uit in en h. c. De proloïde pst precies in een cilinder met strl r en hoogte h. Lt zien dt de inhoud vn de proloïde gelijk is n de helft vn de cilinder.

39 tip Bekijk op de GR met venster [-, ] ij [, ] de grfiek vn y -. Lt door een erekening zien dt de inhoud vn de proloïde die ontstt door deze grfiek te wentelen om de y-s gelijk is n --p.. Als je de grfiek om de -s wentelt, ontstt een geheel ndere figuur. De inhoud vn die figuur is gelijk n de integrl: Verklr dit. py d p( ) d c. Lt door een erekening zien dt de inhoud vn het tweede omwentelingslichm meer dn keer zo groot is ls de inhoud vn het eerste. 5 Als de grfiek vn y sin wordt gewenteld om de -s ontstt een (oneindig lnge) prelketting.. Bereken met ehulp vn de GR de inhoud vn één prel.. Toon n dt die inhoud ect gelijk is n --p. inhoud vn omwentelingslichmen Hieronder zie je de grfiek vn een stijgende functie f op het -intervl [, ]. Het y-intervl dt ereikt wordt is [p, q]. Het chtereenvolgens wentelen vn de grfiek om de -s en om de y-s geeft in het lgemeen twee verschillende omwentelingslichmen, zeg L en L y Nu geldt: de oppervlkte vn een doorsnede loodrecht op de omwentelings-s vn L is gelijk n py de oppervlkte vn een doorsnede loodrecht op de omwentelings-s vn L y is gelijk n p Druit volgt: q p y f() y q p inhoud L py d inhoud L y q p p dy 5

40 tip 6 Beschouw het deel vn de grfiek vn y tussen de lijnen en.. Mk een schets vn de omwentelingslichmen L en L y die ontstn door deze kromme te wentelen respectievelijk om de -s en de y-s.. Bereken de inhoud vn L en vn L y 7 Het verhl op de vorige ldzijde over de inhoud vn omwentelingslichmen is ook geldig voor dlende functies. Bekijk de grfiek vn y ---- op het -intervl [, ]. L en L y zijn weer de omwentelingslichmen die je krijgt ls je deze kromme wentelt om respectievelijk de -s en de y-s. Bereken vn eide omwentelingslichmen de inhoud. 8 In het Oy-vlk ligt een cirkel met middelpunt (, ) en strl.. Als je deze cirkel wentelt om de -s krijg je een ol. Hoe groot is de ecte inhoud vn die ol? Als je de cirkel om de y-s wentelt, ontstt een ringvormige figuur (denk ijvooreeld n de innennd vn een fiets); in de wiskunde heet zoiets een torus. Het erekenen vn de inhoud vn de torus is lstig, omdt de kromme die gewenteld wordt, gesloten is. Een methode die werkt is om de inhoud te erekenen ls het verschil vn twee omwentelingslichmen: het ene (zeg R y ) dt ontstt ls je de rechterhelft vn de cirkel om de y-s wentelt, het ndere (L y ) dt eschreven wordt door de linkerhelft vn de cirkel. y-s y-s o L o R tip Een horizontle lijn op hoogte y tussen en snijdt de rechterhelft in een punt met -coördint R en de linkerhelft in een punt met -coördint L.. Verklr nu de formule: c. Verklr (meetkundig) dt geldt: inhoud torus p Rdy p Ldy R + y L y Om de erekening te vereenvoudigen, schrijven we het verschil vn de twee integrlen in ls één integrl: p ( R ) dy L p ( R + L ) ( R L ) dy d. Vul de resultten vn c in en ereken met de GR de inhoud vn de torus. 6

41 9 Nog een ndere npk voor het erekenen vn de torus is de volgende. We eperken ons eerst tot de ovenste helft vn de torus, dus we erekenen de inhoud vn het lichm dt ontstt door de ovenste helft vn de cirkel te wentelen om de y-s. Achterf hoef je dn lleen nog het resultt te verduelen om de torusinhoud te vinden. De methode is nu om de hlve torus op te vullen met cilinderwndjes : y o k 5 De inhoud vn zo n (hyperdun) cilinderwndje, dikte D, kn worden enderd door de inhoud vn een rechte plk. De plk die met het k-de wndje correspondeert, heeft de dikte D, de hoogte y k en de lengte p k Zo wordt de som vn n cilinderwndjes enderd door de Riemnnsom: k p k y k D De limiet hiervn is gelijk n de integrl: n 5 pyd en die moet dn gelijk zijn n de inhoud vn de hlve torus.. Verklr de enderingsformule p k y k D voor de inhoud vn het k-de cilinderwndje.. Om ovenstnde integrl te erekenen, moet y worden uitgedrukt in. Dt levert op: y ( ) Verklr deze formule. (Merk op: de formule geldt ook voor > ). c. Bereken de inhoud vn de hlve torus met ehulp vn de GR en ovenstnde integrl. G n of het resultt in overeenstemming is met wt je in 8d vond. Ten slotte nog een derde mnier om de inhoud vn een torus te vinden. Die is geseerd op een oude rekenregel die hier verder niet verklrd wordt. Het volume vn een omwentelingslichm is gelijk n het product vn de oppervlkte vn het roterende vlkdeel en de nlengte die het zwrtepunt vn dt vlkdeel ij die rottie flegt. Dit is de zogenmde regel vn Guldin (nr de Zwitsers-Oostenrijkse wiskundige Pul Guldin (577-6). 7

42 De regel vn Guldin kun je gemkkelijk toepssen ij een torus, omdt het zonneklr is dt het zwrtepunt vn het roterende vlkdeel in het middelpunt vn de cirkel moet liggen. Verklr nu dt de inhoud vn de torus uit de vorige opgven volgens Guldin gelijk moet zijn n 8p en vergelijk dit met het eerdere gevonden resultt. Vervng de roterende cirkel door een roterend vierknt. Lt in de uitgngspositie de hoekpunten vn het vierknt (5, ), (, ), (, ) en (5, ) zijn.. Bereken de ecte inhoud vn het omwentelingslichm volgens Guldin.. Je kunt deze inhoud ook erekenen door het verschil te nemen vn de inhouden vn twee cilinders. G n of dit hetzelfde resultt geeft. De inhoud vn een kegel wrvn de hoogte gelijk is n h en wrvn de grondcirkel de strl R heeft, is gelijk n --pr h. Bewijs deze formule met ehulp vn een integrl. h r Bovenstnde formule kun je ook egrijpen ls je de kegel opvt ls de limietfiguur vn een serie pirmides P n (n,, 5,...), wrvn de top smenvlt met de top vn de kegel, wrvn de hoogte gelijk is n h en wrvn het grondvlk een regelmtige n-hoek is met de hoekpunten op de grondcirkel. Als n oneperkt groot wordt, ndert de oppervlkte G n vn het grondvlk vn P n tot de oppervlkte vn de grondcirkel. Verklr nu opnieuw de formule voor de inhoud vn de kegel. Als je weet wr het zwrtepunt vn een driehoek ligt, kun je de inhoudsformule voor een kegel ook vinden met ehulp vn de regel vn Guldin. Het zwrtepunt vn een driehoek ligt op de zwrtepunt zwrtelijn uit de top (dt is de lijn vn de h () top nr het midden vn de sis) en wel zó dt het zwrtepunt die zwrtelijn verdeelt in stukken met verhouding :. () Lt nu zien dt de regel vn Guldin ovenstnde formule voor de inhoud vn een kegel r oplevert. 8

43 Smenvtting inhoud ls integrl Stel je voor een lichm dt ingeklemd is tussen twee horizontle vlkken, wrvn we er een ls grondvlk eschouwen. De fstnd tussen die vlkken is de hoogte (zeg h) vn het lichm. Als de doorsnede vn een horizontl vlk op hoogte ten opzichte vn het grondvlk gelijk is n O(), dn wordt de inhoud vn dt lichm gegeven door de integrl: h O () d omwentelingslichm Een omwentelingslichm ontstt door een stuk vn een rechte of kromme lijn in een Oy-vlk te wentelen (roteren) om een s in het Oy-vlk. Lt de roterende kromme een stijgende (of dlende) grfiek zijn, pssend ij de formule y f(). Stel [, ] en [p, q] zijn respectievelijk het -intervl en het y-intervl ij die grfiek. Als L en L y de omwentelingslichmen zijn die eschreven worden door de grfiek ij wenteling om respectievelijk de -s en de y-s, dn geldt: inhoud L py d inhoud L y p dy cilinder, kegel, ol Bovenstnde stellingen erusten op het idee dt de inhoud vn een cilinderchtig lichm gelijk is n de hoogte de oppervlkte vn het grondvlk. In het ijzonder geldt voor een cilinder wrvn het grondvlk een cirkel is met strl R en de hoogte h, de formule: inhoud cilinder pr h Voor een kegel wrvn het grondvlk een cirkel is met strl R en wrvn de hoogte h is, geldt dt de inhoud gelijk is n -- de hoogte de oppervlkte vn het grondvlk, ofwel: inhoud kegel --pr h De inhoud vn een ol met strl R wordt gegeven door de formule: inhoud ol --pr 9