Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 4. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx Björn Carreyn.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 4. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx Björn Carreyn."

Transcriptie

1 MTKUN leerweg Philip ogert ilip eeurik Mr Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze rik Willok jörn rreyn RToons ve Vnroye Proefeemplr

2 ooklsvolgtformuleren: '' '' 5 ) ijeenevenredigheidmgje elijkvormige driehoeken inderdddemiddelstetermen vnpltsverwisselen. pl r IndestellingvnThlesspreektmen vn deverhoudingvnevenwijdigelijnstukken. 1 gelijkvormige driehoeken Volgendetekeningmktduidelijkwromdit 1 efinities vind je op een Y rode htergrond, twee driehoeken zijn gelijkvormig ls en slehts ls hun overeenkomstige hoeken even groot P zijn en methodes stn in een X overeekomstige zijden dezelfde verhouding heen. ornje kder. woorden: nietopgtijniet-evenwijdigelijnstukken. in PQ P'Q' Δ ''' Δ XY wnt U) W e eroemd ( st ) e stelling igenshppen vind je op W W, U,V fe em XY X'Y' in symolen: PQ * en stelling vn Pythgors 1omdt XY PQ '' '' '' in woorden: k een groene htergrond. X Y P Q eshiedenis vn de wiskunde en herkomst In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn de vn X'Y' 1omdt X'Y' P'Q' en Vooreeld: shuine zijde gelijk n de som vnegrippen. de kwdrten vn de P'Q' In deze voorstelling zijn de zijden [] en [''] overeenkomstige rehthoekszijden. zijden, net ls [] en [''] en ook [] en ['']. We stimuleren het geruik Thles vn Milete (Turkije.6v.hr.-.55v.hr.) vn wiskundesoftwre in symolen: zols eoer. Thles vn Milete leefde vn (.) 6 tot ΔUW is rehthoekig in + W W V U We(.) noemen en, en, en overeenkomstige hoeken. 57 v.hr. n de kust vn Klein-zië, dt nu of: 5 + Turkije heet. Omdt hij hndelr in oliën ws, reisde n het einde vn elke prgrf vind je een eshvingen. Z Z Z smenvtting. : ( egeven: Δ rehthoekig in Z shlmodellen Z Z) We zeggen ook dt Δ ''' en Δkenmerk zijn vn elkr. Δ Δ ''' hij veel en mkte kennis We met ewijzen veel niet-uropese deze stelling: Ps op oudere leeftijd strtte hij de studie vn + Temet ewijzen: projetievoorstelling volgt: wetenshppen en filosofie. Hijewijs: zorgde voor een Uit de eerste opmerkingen: Pr oe Twee driehoeken zijn gelijkvormig ls de overeenkomstige zijden een evenredigheid eplen. mnier verhouding vn denken tussen en trhtte de wiskunde te verklren. - nieuwe de onstnte der egelijkvormigheidsftor hde o oovereenkomstige f d s t u k d r i e hzijden o e k s mnoemen e t i n g i nwe een hthoekige driehoek rofwordt gezegd dt hij in stt ws een zonsverduistering wrshijnlijk deze vn 585 v. kortweg ftor. te voorspellen, 5 Thles meende immers dt de oerstof wter uitsprk: lles is wter. + pitogrmmen - uit de definitie volgt dt ongruente driehoeken ook gelijkvormige driehoeken zijn. krijg je wter, ls duidelijkst fsevernderingen ondergt. ls ijs smelt T ONTHOUN + + de verhouding vn de overeenkomstige is dn 1. stoom. ezijden rieken geloofden ook dt ls je stoom verder verdunt, je lu ( + ) Overstnde hoeken die even groot zijn, TKNIS gelijkenige driehoeken die eve [] Prktishe fsprk: heen, een dimeter die de irkel in twee gelijke delen verdeelt, het o SHINIS Je kent de etekenis vn sinus, osinus en tngens (de goniometrishe wrden ) vn een sherpe hoek in omrehthoekige de overeenkomstige gelijkvormige driehoeken gemkkelijk terug te vinden, spreken we f een driehoek.zijden vnhet zijn lleml vooreelden vn eigenshppen die n Thles toeges RKNMHIN 6 ) Smenvtting sin V hoeken zodnig dt de hoekpunten vn de overeenkomstige hoeken in dezelfdevolgorde stn overstnde te noteren rehthoekszijde over de stelling vn Thles zijn er twijfels. eshiedkundigen heen g IT shuine zijde lgemeen: stelling ddwerkelijk vn Thles fkomstig is. '' '' '' nliggende ls: rehthoekszijde In symolen: os V Opmerking: vn de Mr hndig is die stelling wel. Hij erekende zo de hoogte pirm shuine W U en W V zijde,w n: U Δ Δ df V tn U Vd V U Uit de formule + ( met U 90 in Δ ) kunnen we fleiden ook de fstnd tussen twee shepen mee vinden. overstndeerrehthoekszijde '' '' '' nliggende rehthoekszijde esluit: L

3 mide te erekenen. Hij nm de uitdging n en werkte ls volgt. Op de lijn die het midden vn één vn de zijden met de shduw vn de top () vn de pir pltste hij een pltje [] zodt de shduw vn de top vn dit pltje preies smenv vn de top vn de pirmide. Hij mt de fstnden KL, M,, en erekende de Teken de twee gelijkvormige pl r driehoeken wrmee Thles gewerkt heeft. ereken de hoogte vn de V O OR WOOR L pirmide ls je weet dt KL 11 m M 96 m m K M en m ij sommige sis oefeningen vind je een of twee sterretjes. it duidt de moeilijkheidsgrd n. 6 egeven is een prllellogrm wrij m en m. e fstnd tuss 17 In is PQ // en P []; Q []. ereken PQ en ls P 6 m; P m en PQ + 15 m. fe em 7 18 htern in het oek vind je een trefwoordenregister en de oplossingen vn de oefeningen. Oppervlkte- en inhoudsprolemen. en foto heeft een lengte vn 1 m en een reedte vn 8 m. ls we deze foto op het en ruit met zijde 6 m heeft een oppervlkte vn 18 m². eze ruit is gelijkvormig me m. epl de oppervlkte vn deze ruit. 8 onstrutie vn een Pythgorsoom lk hoofdstuk eindigt met een vrdigheid. en prllellogrm met zijden 6 m en m heeft een oppervlkte vn 18 m² en is gelijkvormig1.1 venwijdige projetie (lz. 16) met een prllellogrm met een oppervlkte vn 8 m². hoofdstuk d ereken de zijden vn dit prllellogrm. [] [] - {} [] Je herinnert je misshienvnog de onstrutie vn een Pythgorsoom. Zo n oom krijg je door, vertrekkend kleinste kegel en het volume vn de kleinste kegel. d ereken vn een vierknt, een gelijkenige rehthoekige driehoek te onstrueren met depzijde vn het ls pshuine p pzijde p of Vgrootste kegel vierknt. Vervolgens onstrueer je een vierknt op elke rehthoekszijde vn de driehoek. Op de zijde vn het vierknt teken je opnieuw een gelijkenige, rehthoekige driehoek, en zo g je nog een tijdje door. T 1 d mi[] e figuur die je krijgt is eigenlijk een frtl. t is een meetkundige figuur wrin eenzelfde motief zih op 6m [] e [] een kleinere shl steeds herhlt. In gedhten kun je dt proes oneindig vk voortzetten. lk klein dn mi[] f erekening vn de tkje kn immers weer opgevt worden ls een stmmetje dt een omplete oom drgt. g H goniometrishe wrden Lten we vertrekken met zijde. ti-0 vn een vierknt, 5); os (0, ); pirmide (5', 1);" T 1 e hierop Vn de(regelmtige vooreeld:? zijde.is gegeven: wordt, H e gelijkenige driehoek die geouwd shuine 5, heeft 5), ls (, ), ( (0, ) e rehthoekszijde kunnen weii ls krijgen: 1 tikvolgt in: nd os pr 6 m en ITPI 15 m. + 10;het nd nd pr e 15 pirmide gesneden door 57;wordt 5; 6; H IJ vlk H 9 ) oniometrishe getllen en de R Pr oe Hier wordt uitgelegd hoe een grfishe rekenmhine je kn helpen. 19 ISN: Kon. i.: /011/017/187 estelnr.: NUR: P 9 zijden) gt enter pr vn de opstnde en evenwijdig loopt 16 6 ereken de inhoud vn eide delen ''' en de gelijkvormigheidsftor is d ls de omtrek vn gelijk is n 0 m, wt is dn de omtrek vn ''''? ruk: die Keure Oplossingen inzoomen tot 10 %, wt wordt dn de omtrek en de oppervlkte? n ls we uitzoomen 8 Ly-out en opmk: die Keure 7 m. ereken de fstnd tussen de zijden [] en []. 17 (0,8) m ls de oppervlkte vnoom is n 60m, wt is dn de oppervlkte vn ''' ls we onze wtgelijk lten groeien oto s: Shutterstok, fotostok die Keure, Niets uit deze uitgve mg verveelvoudigd en/of openr gemkt ti-8 We erekenen de nieuwe rehthoekszijde. vooreeld: sin 5' "?welke wijze uteurs. worden door middel vn druk, fotokopie, mirofilm of op + d n ook zonder voorfgnde shriftelijke toestemming vn demod uitgever. op Zorg ervoor dt de instelling 1. Stelling vn Thles (lz. 8) opyright y die Keure rugge No prt of this ook my e reprodued in ny form y print, (of grden) stt! dr photoprint, mirofilm or ny other mens without written permission 1 8 in: Verntwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, tik from the pulisher. 7 Kleine Pthoekeweg rugge - elgië sin ( 5 5 nl : nl 1: H.R. rugge lph5 ) ruk: 011 r komt opnieuw een tkje ij k , 6 8

4 eeld je even in wt de wereld zou zijn zonder meetkunde! Ingenieurs zouden niet kunnen erekenen hoeveel deze etonnen onstrutie kn drgen. e ouwheer zou mr gokken voor het nodige hout ij het pirmidevormige dk en hij zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen nodig zijn voor de lustrde. n jij, op je skiltten, zou niet weten hoelng je op de shns lijft en onder welke hoek je gelneerd wordt. In dit oek glijden we op een relistishe mnier doorheen de gelijkvormigheden en mken we kennis met de twee ekendste stellingen uit de wiskunde. Proefeemplr

5 Inhoud 1 Thles en gelijkvormigheden 1.1 venwijdige projetie > 8 1. Stelling vn Thles > 1 1. elijkvormigheden > 5 1. Smenhng ongruentie, gelijkvormigheid en trnsformties > 59 Vrdigheden: Kies een oplossingsmethode > 65 Stelling vn Pythgors.1 Metrishe etrekkingen in een rehthoekige driehoek > 68. Stelling vn Pythgors > 71 Vrdigheden: onstrutie vn een Pythgorsoom > 9 riehoeksmeting in een rehthoekige driehoek.1 oniometrishe wrden vn een driehoek > 96. ormules uit de goniometrie > 10 Vrdigheden: Toepssingen in de ruimte > 11 Oplossingen vn de oefeningen > 116 Trefwoordenregister > 11 Proefeemplr

6 e ultieme filmervring vind je niet in een gewone iosoop, mr wel in een IMX theter. it theter heeft een gigntish sherm en je kunt er ook nr -films gn kijken. Sommige IMX zlen zijn (hlf) olvormig. Hels moet je voor IMX nr onze uurlnden. e lihtsterkte vn de projetorlmp is zo groot, dt je de lmp vnuit het ISS (interntionl ruimtesttion) zou kunnen zien. oor de hitte die de lmp veroorzkt, moet ze ontinu met wter gekoeld worden. e sterkte is wtt, en per seonde stuurt de projetor 8 eeldjes nr het grote sherm. Proefeemplr

7 Thles en gelijkvormigheden 6 Omzetting reuken - kommgetllen > 1.1 venwijdige projetie 1 Inleiding > 8 eeld vn een punt > 9 eeld vn een lijnstuk > 10 eeld vn een rehte > 11 5 eeld vn een vlkke figuur > 1 6 Loodrehte projetie > 1 7 Lengte vn een lijnstuk evenwijdig n de -s of de y-s > 1 8 Loodrehte projetie op een vlk > 1 9 Smenvtting > Oefeningen > Stelling vn Thles 1 e stelling vn Thles > 1 ijzondere gevllen vn de stelling vn Thles > Thles in een driehoek > e omgekeerde stelling vn Thles > 5 Toepssingen op de stelling vn Thles > 5 6 Smenvtting > 7 7 Oefeningen > 8 1. elijkvormigheden 1 elijkvormige figuren > 5 Lengten erekenen in gelijkvormige vlkke figuren > 6 elijkvormige ruimtefiguren > 7 Omtrek, oppervlkte en inhoud vn gelijkvormige figuren > 8 5 elijkvormige driehoeken > 9 6 elijkvormigheidskenmerken vn driehoeken > 0 7 elijkvormige figuren epld door snijvlkken in een driedimensionle figuur > 8 Toepssingen vn gelijkvormigheden > 9 Middenprllel vn een driehoek > 6 10 igenshp vn het zwrtepunt vn een driehoek > 8 11 igenshp vn de deellijn in een driehoek > 9 1 elijkvormigheid en ongruentie > 50 1 Smenvtting > 51 1 Oefeningen > 5 1. Onderzoek smenhng tussen trnsformties, gelijkvormigheid, shl en ongruentie 1 Smenhng tussen spiegelingen en oördinten vn punten > 59 Smenhng tussen vershuivingen en oördinten vn punten > 61 Smenhng tussen puntspiegeling s O en oördinten vn punten > 6 Smenvtting > 6 5 Oefeningen > 6 Vrdigheden Kies een oplossingsmethode > 65 1 Proefeemplr

8 ) Inleiding venwijdige projetie Je mkte reeds kennis met een ntl trnsformties vn het vlk. ij een spiegeling, vershuiving, driing en puntspiegeling heeft elk element juist één eeld. Het zijn trnsformties vn het vlk die ovendien de grootte vn een hoek, de lengte, de oppervlkte en de vorm vn een figuur ehouden. eze drie vooreelden illustreren hoe je vn een voorwerp een eeld kn mken. e voorwerpen worden geprojeteerd. Telkens he je een ntl elementen nodig: een voorwerp dt geprojeteerd wordt, de rihting volgens welke je projeteert en Proefeemplr het vlk wrop je projeteert. Ook in de vlkke meetkunde kunnen we punten, rehten en vlkke figuren projeteren.

9 ) eeld vn een punt We eshouwen in het vlk twee snijdende rehten en en een punt X. We zoeken het eeld X vn X door X te projeteren op volgens. ls volgt te werk: Teken door X de rehte die evenwijdig is met. Zoek het snijpunt vn met en noem dit snijpunt X. We noemen de projeties en de projetierihting. Nottie: (X) X' p Lees: X is het eeld vn X door de evenwijdige projetie op volgens. Nog meer vooreelden: () ' p p p p () ' () ' () ' We stellen vst: p snijdt X Ç (X) X' XX' // en X' p Opmerkingen: snijdt X (X) X hoostuk 1 thls N lijkvormihn X X X lees: X is een element vn de rehte etekenis: X ligt op de rehte X X lees: X is geen element vn de rehte etekenis: X ligt niet op de rehte - lk punt X heeft steeds mr één eeld, wnt door X kn je mr één evenwijdige tekenen met die noodzkelijk snijdt omdt en ook elkr snijden. rom is een evenwijdige projetie een trnsformtie vn het vlk. - Shduwvorming is een mooi vooreeld vn evenwijdige projetie in de ruimte. Proefeemplr 9

10 10 ) eeld vn een lijnstuk Nu we punten kunnen projeteren, kunnen we ook lijnstukken en vlkke figuren projeteren. Om het eeld te zoeken vn een lijnstuk door evenwijdige projetie, volstt het om de uiterste punten vn het lijnstuk te projeteren. Onderzoeksopdrht 1: H H p ([H]) ['H'] ([]) p [''] ([]) p [''] ([]) p {'} Meet [] en ['']. Meet ook [] en ['']. Is [] ['']? Is [] ['']? ehoudt de evenwijdige projetie de lengte vn een lijnstuk? Onderzoeksopdrht : egeven: // I p ([]) [''] ([]) [''] p evrgd: Wt kun je esluiten over '' en ''? Vststelling: [] // en [] // We stellen vst dt in dit gevl de eelden vn [] en [] eveneens dezelfde lengte heen. Proefeemplr e evenwijdige projetie ehoudt de gelijkheid vn evenwijdige lijnstukken.

11 gevolg hoostuk thls N lijkvormihn ls evenwijdige rehten vn een snijlijn gelijke lijnstukken fsnijden, dn snijden ze ook gelijke lijnstukken f vn elke ndere snijlijn. '' '' '''' '''' ) eeld vn een rehte eshouw de projetie p en de (te projeteren) rehte d. We ondersheiden voor de ligging vn d twee gevllen. d d //\ In dit gevl is het eeld vn een rehte een rehte, nmelijk de projeties. p (d) d // In dit gevl geldt: p (d) {X} Proefeemplr X d 11

12 1 5 ) eeld vn een vlkke figuur Om het eeld vn een vlkke figuur te eplen, volstt het om de uiterste punten vn de figuur te projeteren. Onderzoeksopdrhten: Wt is het eeld vn Δ? Wt is het eeld vn de irkel? ewrt een evenwijdige projetie de vorm vn een figuur? ewrt een evenwijdige projetie de grootte vn een hoek? P S Q R U S Q T U ewrt een evenwijdige projetie de oppervlkte vn een figuur? Verklr. esluit: Het eeld vn een vlkke figuur is steeds een lijnstuk. 6 ) Loodrehte projetie e loodrehte projetie is de projetie wrij de projetierihting loodreht stt op de projeties. Nottie: p (Δ ) [''] p (PQRS) [S'Q'] p ( ) [''] p S S R P Q Q Proefeemplr (Δ ) [''] lees je ls: Het eeld vn Δ door de loodrehte projetie op de rehte is ['']. T O

13 y y hoostuk 1 thls N lijkvormihn 7 ) Lengte vn een lijnstuk evenwijdig n de -s of de y-s Vorig jr he je geleerd dt je punten kunt voorstellen met oördinten in een rtesins ssenstelsel. o() (6, ) omdt ( 5, ) (, ) - y (6, ) - het eerste oördintgetl de sis is vn de loodrehte projetie vn het punt op de -s. - het tweede oördintgetl de sis is vn de loodrehte projetie vn het punt op de y-s. Zo is ook o() (-5, ) en o() (-, -) Met ehulp vn oördinten kunnen we ook lengten vn lijnstukken eplen. We weten dt de loodrehte projetie de fstnd ewrt ls het lijnstuk evenwijdig is n de projeties. (1, ) (6, ) ( 1, ) ( 7, ) (, ) We kunnen de fstnden nu eplen. esluit: (, y ) '' '' -1 (-7) 5 '' y (, 5) -6 Proefeemplr ls // -s met o() (, y ) en o() (, y ) y y ls // y-s 1

14 1 8 ) Loodrehte projetie op een vlk ij de projetie op een vlk spreken we f dt we steeds loodreht projeteren. Het vlk wrop we projeteren noemen we het projetievlk. Zo is p α() '; p α() '; p α() ' ' is de loodrehte projetie vn op α ' is de loodrehte projetie vn op α ' is de loodrehte projetie vn op α α noemt met het projetievlk Op een vlk kunnen we niet enkel punten, lijnstukken, rehten, vlkke figuren projeteren, mr ook ruimtefiguren. Om een figuur loodreht te projeteren op een vlk, projeteren we elk punt vn de figuur loodreht op dit vlk. Vooreeld: Hieronder zie je de loodrehte projetie vn een kegel en een lk, wrvn het grondvlk telkens evenwijdig is met het projetievlk. T T H riekse letters In riekenlnd (en yprus) zie je ze nog steeds: riekse letters. Ze zijn met en worden soms in wiskunde geruikt om een hoek n te duiden. Ook een vlk (denk mr n het vlk p) krijgt meestl een rieks letter. lf H h èt N n nu T t tu èt Θ θ thèt Ξ ξ i Υ υ ypsilon Γ γ gmm I i iot O o omikron Φ φ phi d delt K k kpp P p pi Χ χ hi e epsilon L l lmd Ρ ρ rho Ψ ψ psi Z z zèt M m mu S s sigm Ω ω omeg Proefeemplr

15 9 ) Smenvtting hoostuk 1 thls N lijkvormihn Je kunt het eeld vn een figuur eplen door evenwijdige projetie op een projeties volgens een projetierihting. Nottie: H p () ' p (Δ) [''] p () [''] p ([H]) {'} Je weet dt een evenwijdige projetie de gelijkheid vn evenwijdige lijnstukken ehoudt. evolg: ls evenwijdige rehten vn een snijlijn gelijke lijnstukken fsnijden, dn snijden ze ook even lnge lijnstukken f vn elke ndere snijlijn Je weet dt ij de loodrehte projetie de projetierihting loodreht stt op de projeties. Nottie: S S R P p (Δ) [''] p (PQRS) [S'Q'] p ( ) [''] Je kunt vlkke figuren en ruimtefiguren loodreht projeteren op een vlk. Q Q O H L '' '' L '''' '''' Je kunt de lengte vn een lijnstuk [] eplen ls het lijnstuk evenwijdig is met de -s of de y-s. Proefeemplr ls // -s met o() (, y ) en o() (, y ) y y ls // y-s 15

16 16 10 ) Oefeningen 1 Projeteer de punten N,, L, en M op volgens (p ), mr ook op volgens (p ). e rehten,, en d eplen het prllellogrm. epl: p () p () p ([]) p ([]) p d () p d ([]) Teken het punt S ls gegeven is dt p (S) S' en p (S) S''. Vul in. p () p () p () p () S p () p () p () S N M L S S Proefeemplr p () d

17 5 epl de eelden vn de volgende figuren door p en p. hoostuk 1 door p door p door p d door p H thls N lijkvormihn 6 Indien X en Y de projetieeelden zijn vn X en Y, teken dn de projeties en de projetierihting in de volgende gevllen. X Y X' X X' Y Y' Y' d X Y' Proefeemplr X X' Y' O Y X' Y 17

18 18 7 egeven: rehten en evrgd: p 1 p X' p 1 (X) Y' p 1 (Y) Z' p 1 (Z) en p p X'' p (X) Y'' p (Y) Z'' p (Z) Teken de driehoek XYZ. 8 egeven zijn een prllellogrm en een rehte. epl een projetierihting zodt de evenwijdige projetie de vier hoekpunten op in vier vershillende punten feeldt; in drie vershillende punten feeldt; in twee vershillende punten feeldt. 9 egeven: zie figuur evrgd: Teken een lijnstuk [XY] zodt: d 10 egeven: Δ evrgd: XY X'Y' XY > X'Y' XY < X'Y' XY X'Y' en [XY] //\ [X'Y'] epl het eeld vn Δ door p en p. 11 egeven: Δ evrgd: epl p (), p () en p () Z' Proefeemplr Y' X" X' Z" X' Y" Y'

19 1 egeven: ' p () '' p () ' p () '' p () ' p () '' p () evrgd: Teken Δ 1 egevens: H d n is een kuus Vul in: hoostuk 1 e loodrehte projetie vn op het vlk is e loodrehte projetie vn [] op het vlk is e loodrehte projetie vn M op het vlk is d e loodrehte projetie vn M op het vlk is e e loodrehte projetie vn ΔH op het vlk H is f e loodrehte projetie vn ΔH op het vlk is g e loodrehte projetie vn ΔH op het vlk H is 1 epl de oördintgetllen vn,,,, en. M H thls N lijkvormihn Plts in het hieronder fgeeelde ssenstelsel de punten (, -1); H(-, 0); I( 1, -5 ) en J(0, - ) 1 1 y nottie: kuus/lk grondvlk d H n ovenvlk Proefeemplr 19

20 0 15 epl de lengte vn de getekende lijnstukken H 16 In een rtesins ssenstelsel zijn de punten en gegeven. epl telkens. o() o() (, 1) (, 7) (-, 1) (-, 0) (, -6) (, -6) d (5, - 1 ) (5, ) 5 17 Klr (K), Wrren (W), Slim (S) en Levi (L) ereiden zih voor op het voetltoernooi dt op het shoolfeest wordt georgniseerd. Triner Ilke (I) vindt smenspel heel elngrijk en drom oefenen ze op het oefenveld vn de shool y I L W y Proefeemplr ls Wrren de l reht op het doel shiet, wr moet de triner zih dn in het doel evinden om de l te kunnen vngen? epl de totle fstnd die de l flegt. K S I J

Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 5. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx m.m.v.

Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 5. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx m.m.v. MEETKUNE leerweg 5 hilip ogert Filip Geeurik Mr Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze Erik Willok m.m.v. jörn rreyn RToons ve Vnroye roefeemplr ook ls volgt formuleren: '' '' 5 ) ij een evenredigheid mg je Gelijkvormige

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze Eric Willockx. Wendy Luyckx Els Sas.

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze Eric Willockx. Wendy Luyckx Els Sas. Mrk De Feyter Filip Geeurickx Jn Thoelen Roger Vn Nieuwenhuyze Eric Willockx EWERkt voor het GO! onderwijs vn de Vlmse Gemeenschp door Wendy Luyckx Els Ss RTooNS Dve Vnroye Proefexemplr Leerwerkoek Trnsformties

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel M De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde de strl de dimeter een middelpuntshoek een middellijn O:... [XY]:... OS

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

MEETKUNDE. leerplan D. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx. M.m.v. Björn Carreyn.

MEETKUNDE. leerplan D. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx. M.m.v. Björn Carreyn. pl r Philip ogert Filip Geeurikx Mr Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze Erik Willokx Pr oe leerpln D fex em MEETKUNDE M.m.v. jörn rreyn rtoons Dve Vnroye ook ls volgt formuleren: D '' 'D' D 5 ) ij een evenredigheid

Nadere informatie

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen MEETKUNE sisegrippen M Een klslokl vol meetkunde M nzihten M sisegrippen vn de meetkunde 7 M4 Onderlinge ligging vn rehten 74 M5 Eigenshppen in vernd met evenwijdigheid en loodrehte stnd vn rehten in het

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Meetkunde 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M4 Spiegelingen herkennen en tekenen 200 M5 Eigenshppen vn de spiegeling 205 M6 Symmetrie 208 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 210 M8 Eigenshppen

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Meetkunde 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M4 Spiegelingen herkennen en tekenen 200 M5 Eigenshppen vn de spiegeling 205 M6 Symmetrie 208 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 210 M8 Eigenshppen

Nadere informatie

Basisbegrippen. Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. balk cilinder kubus

Basisbegrippen. Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. balk cilinder kubus sisegrippen Dit kun je l de enmingen vn vershillende soorten driehoeken en vierhoeken geruiken een kuus, een lk en een ilinder herkennen evenwijdige en snijdende rehten herkennen sherpe, stompe en rehte

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Beste leerling. De auteurs

Beste leerling. De auteurs Voor wie kopiëren wil: U vindt dit oek goed en wenst er kopieën vn te mken. edenk dn ook eens: dt zowel uitgever ls uteurs met de oprengst ervn hun kosten moeten dekken; dt kopiëren zonder toestemming

Nadere informatie

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders MEETKUNDE 5 Cirkels en ilinders M22 De irkel 254 M23 De ilinder 262 253 M22 De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde

Nadere informatie

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN Permnente kennis 3de trimester 4de jr Grooteden en eeneden BASISGROOTHEDEN Bsisgrooteid Symool Eeneid lengte l meter m mss m kilogrm kg tijd t seonde s elektrise stroom I mpère A AFGELEIDE GROOTHEDEN EN

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

Meetkunde 4 Congruentie

Meetkunde 4 Congruentie Meetkunde 4 ongruentie M0 ongruente figuren 6 M ongruente driehoeken 68 M ewijzen met ongruente driehoeken 76 M3 igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 85 M4 igenshp en onstrutie vn

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

MEETKUNDE 4 Driehoeken

MEETKUNDE 4 Driehoeken MEETKUNDE 4 Driehoeken M18 Driehoeken in de ruimte 38 M19 Driehoeken tekenen 4 M0 Merkwrdige lijnen in een 44 M1 Omtrek, oppervlkte en volume 47 37 M18 Driehoeken in de ruimte 738 E Vul n. In KLM zijn

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op

Nadere informatie

Krommen en oppervlakken in de ruimte

Krommen en oppervlakken in de ruimte (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt:

Nadere informatie

Breuken. Breuken. Wiskunde voor de brugklas. 1 De cd-roms van Wiskunde Interactief

Breuken. Breuken. Wiskunde voor de brugklas. 1 De cd-roms van Wiskunde Interactief De d-roms vn Wiskunde Intertief Breuk voor de Bsisshool het hoe wrom vn reuk verevoudig 8 4 4 optell 4 + 7 ftrekk 3 4 7 3 vermigvuldig 4 3 del 7 : 3 4 Breuk voor de Bsisshool,Vmo, Hvo/VWO Po het hoe wrom

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1 H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO 6 km : 0.000 = cm b b Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek VHB, de 00 vergrotingsfctor is 0 = 7. Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt ze 0 meter 7 in minuten. Dt is,8 km/u.. HOOGTE

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 180 M2 De pirmide, de kegel en de ol 18 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol 190 179 M1 1 Titel Ruimtelijke situties

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symbool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Blok 4 - Vaardigheden

Blok 4 - Vaardigheden Blok - Vrdigheden ldzijde 0 Dt geldt voor h, len m ; de grfieken zijn symmetrish in de y -s. Die zijn tegengesteld; ijvooreeld g( ) g () De grfiek is symmetrish in de oorsprong. funtie symmetrie in de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren

Hoofdstuk 11B - Meetkundig redeneren Voorkennis V-1a = 180 80 35 = 65 E = 360 90 90 10 = 78 J = 360 107 73 107 = 73 De tegenover elkaar liggende hoeken van deze vierhoek zijn gelijk, dus deze vierhoek is een parallellogram. V-a V-3a Figuur

Nadere informatie

MEETKUNDE 3 Vierhoeken

MEETKUNDE 3 Vierhoeken MEETKUNDE 3 Vierhoeken M11 Vierhoeken in de ruimte 8 M1 Vierhoeken tekenen 1 M13 Kuus en lk 14 M14 Metriek stelsel M15 Rehthoek en lk 3 M16 Vierknt en kuus 8 M17 Trpezium, prllellogrm en ruit 3 7 M111

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Voorkennis: wee soorten tekeningen ladzijde 254 V-1a d wee lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar nooit snijden, hoe ver je de lijnen ook doortrekt. In werkelijkheid

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Route F - Desert. kangoeroerat

Route F - Desert. kangoeroerat Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a Gelijkvormigheid ladzijde QR is een vergroting van dus de driehoeken en QR zijn gelijkvormig Q Vergrotingsfator: 7 e twee driehoeken zijn een vergroting van elkaar; alle zijden zijn dus met 7 7 7 dezelfde

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv ldzijde f () Er is geen symmetrie in een vertile lijn. Alle rklijnen heen een positief hellingsgetl. Wrshijnlijk (0, 0). d f () e - ICT - Rklijnen ldzijde Geruik dt d y om de hellingsgetllen vn de rklijnen

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

van basis tot Handleiding limiet Meetkunde

van basis tot Handleiding limiet Meetkunde Mrk De Feyter Filip Geeurickx Jn Thoelen Roger Vn Nieuwenhuyze ewerkt voor het gemeenschpsonderwijs door Wendy Luyckx o Roefs rtoons Dve Vnroye vn sis tot limiet Hndleiding Meetkunde 1 voorwoord ISN: 978

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek

Hoofdstuk 1. De cirkel. 1.1 Middellijn, koorde en apothema. 1.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek e irkel. iddellijn, koorde en apothema. iddelpuntshoek en omtrekshoek.3 Raaklijn aan een irkel.3. Raaklijn in een punt van een irkel.3. Raaklijnen uit een punt aan een irkel.4 Onderlinge ligging van twee

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan. 2 Verschuiven Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

De route van de Ocean start in de Bush. Volg de bordjes naar de Ocean. De vragen staan in chronologische volgorde.

De route van de Ocean start in de Bush. Volg de bordjes naar de Ocean. De vragen staan in chronologische volgorde. Route L - Oen 1 De route vn de Oen strt in de Bush. Volg de ordjes nr de Oen. De vrgen stn in hronologishe volgorde. Kwllen Dt er lngs de Nederlndse kust kwllen voorkomen, is lgemeen ekend. De oorkwl kun

Nadere informatie

Handleiding voor het maken van Papierarchitectuur, PA.

Handleiding voor het maken van Papierarchitectuur, PA. Hnleiing voor het mken vn Ppierrhitetuur, PA. Inleiing PA is het mken vn 3D ojeten uit een plt stuk ppier of krton. Eerst wort een ontwerp gemkt op ppier of krton. Door het snijen en vouwen vn het ontwerp

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie