Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 4. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx Björn Carreyn.

Transcriptie

1 MTKUN leerweg Philip ogert ilip eeurik Mr Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze rik Willok jörn rreyn RToons ve Vnroye Proefeemplr

2 ooklsvolgtformuleren: '' '' 5 ) ijeenevenredigheidmgje elijkvormige driehoeken inderdddemiddelstetermen vnpltsverwisselen. pl r IndestellingvnThlesspreektmen vn deverhoudingvnevenwijdigelijnstukken. 1 gelijkvormige driehoeken Volgendetekeningmktduidelijkwromdit 1 efinities vind je op een Y rode htergrond, twee driehoeken zijn gelijkvormig ls en slehts ls hun overeenkomstige hoeken even groot P zijn en methodes stn in een X overeekomstige zijden dezelfde verhouding heen. ornje kder. woorden: nietopgtijniet-evenwijdigelijnstukken. in PQ P'Q' Δ ''' Δ XY wnt U) W e eroemd ( st ) e stelling igenshppen vind je op W W, U,V fe em XY X'Y' in symolen: PQ * en stelling vn Pythgors 1omdt XY PQ '' '' '' in woorden: k een groene htergrond. X Y P Q eshiedenis vn de wiskunde en herkomst In een rehthoekige driehoek is het kwdrt vn de vn X'Y' 1omdt X'Y' P'Q' en Vooreeld: shuine zijde gelijk n de som vnegrippen. de kwdrten vn de P'Q' In deze voorstelling zijn de zijden [] en [''] overeenkomstige rehthoekszijden. zijden, net ls [] en [''] en ook [] en ['']. We stimuleren het geruik Thles vn Milete (Turkije.6v.hr.-.55v.hr.) vn wiskundesoftwre in symolen: zols eoer. Thles vn Milete leefde vn (.) 6 tot ΔUW is rehthoekig in + W W V U We(.) noemen en, en, en overeenkomstige hoeken. 57 v.hr. n de kust vn Klein-zië, dt nu of: 5 + Turkije heet. Omdt hij hndelr in oliën ws, reisde n het einde vn elke prgrf vind je een eshvingen. Z Z Z smenvtting. : ( egeven: Δ rehthoekig in Z shlmodellen Z Z) We zeggen ook dt Δ ''' en Δkenmerk zijn vn elkr. Δ Δ ''' hij veel en mkte kennis We met ewijzen veel niet-uropese deze stelling: Ps op oudere leeftijd strtte hij de studie vn + Temet ewijzen: projetievoorstelling volgt: wetenshppen en filosofie. Hijewijs: zorgde voor een Uit de eerste opmerkingen: Pr oe Twee driehoeken zijn gelijkvormig ls de overeenkomstige zijden een evenredigheid eplen. mnier verhouding vn denken tussen en trhtte de wiskunde te verklren. - nieuwe de onstnte der egelijkvormigheidsftor hde o oovereenkomstige f d s t u k d r i e hzijden o e k s mnoemen e t i n g i nwe een hthoekige driehoek rofwordt gezegd dt hij in stt ws een zonsverduistering wrshijnlijk deze vn 585 v. kortweg ftor. te voorspellen, 5 Thles meende immers dt de oerstof wter uitsprk: lles is wter. + pitogrmmen - uit de definitie volgt dt ongruente driehoeken ook gelijkvormige driehoeken zijn. krijg je wter, ls duidelijkst fsevernderingen ondergt. ls ijs smelt T ONTHOUN + + de verhouding vn de overeenkomstige is dn 1. stoom. ezijden rieken geloofden ook dt ls je stoom verder verdunt, je lu ( + ) Overstnde hoeken die even groot zijn, TKNIS gelijkenige driehoeken die eve [] Prktishe fsprk: heen, een dimeter die de irkel in twee gelijke delen verdeelt, het o SHINIS Je kent de etekenis vn sinus, osinus en tngens (de goniometrishe wrden ) vn een sherpe hoek in omrehthoekige de overeenkomstige gelijkvormige driehoeken gemkkelijk terug te vinden, spreken we f een driehoek.zijden vnhet zijn lleml vooreelden vn eigenshppen die n Thles toeges RKNMHIN 6 ) Smenvtting sin V hoeken zodnig dt de hoekpunten vn de overeenkomstige hoeken in dezelfdevolgorde stn overstnde te noteren rehthoekszijde over de stelling vn Thles zijn er twijfels. eshiedkundigen heen g IT shuine zijde lgemeen: stelling ddwerkelijk vn Thles fkomstig is. '' '' '' nliggende ls: rehthoekszijde In symolen: os V Opmerking: vn de Mr hndig is die stelling wel. Hij erekende zo de hoogte pirm shuine W U en W V zijde,w n: U Δ Δ df V tn U Vd V U Uit de formule + ( met U 90 in Δ ) kunnen we fleiden ook de fstnd tussen twee shepen mee vinden. overstndeerrehthoekszijde '' '' '' nliggende rehthoekszijde esluit: L

3 mide te erekenen. Hij nm de uitdging n en werkte ls volgt. Op de lijn die het midden vn één vn de zijden met de shduw vn de top () vn de pir pltste hij een pltje [] zodt de shduw vn de top vn dit pltje preies smenv vn de top vn de pirmide. Hij mt de fstnden KL, M,, en erekende de Teken de twee gelijkvormige pl r driehoeken wrmee Thles gewerkt heeft. ereken de hoogte vn de V O OR WOOR L pirmide ls je weet dt KL 11 m M 96 m m K M en m ij sommige sis oefeningen vind je een of twee sterretjes. it duidt de moeilijkheidsgrd n. 6 egeven is een prllellogrm wrij m en m. e fstnd tuss 17 In is PQ // en P []; Q []. ereken PQ en ls P 6 m; P m en PQ + 15 m. fe em 7 18 htern in het oek vind je een trefwoordenregister en de oplossingen vn de oefeningen. Oppervlkte- en inhoudsprolemen. en foto heeft een lengte vn 1 m en een reedte vn 8 m. ls we deze foto op het en ruit met zijde 6 m heeft een oppervlkte vn 18 m². eze ruit is gelijkvormig me m. epl de oppervlkte vn deze ruit. 8 onstrutie vn een Pythgorsoom lk hoofdstuk eindigt met een vrdigheid. en prllellogrm met zijden 6 m en m heeft een oppervlkte vn 18 m² en is gelijkvormig1.1 venwijdige projetie (lz. 16) met een prllellogrm met een oppervlkte vn 8 m². hoofdstuk d ereken de zijden vn dit prllellogrm. [] [] - {} [] Je herinnert je misshienvnog de onstrutie vn een Pythgorsoom. Zo n oom krijg je door, vertrekkend kleinste kegel en het volume vn de kleinste kegel. d ereken vn een vierknt, een gelijkenige rehthoekige driehoek te onstrueren met depzijde vn het ls pshuine p pzijde p of Vgrootste kegel vierknt. Vervolgens onstrueer je een vierknt op elke rehthoekszijde vn de driehoek. Op de zijde vn het vierknt teken je opnieuw een gelijkenige, rehthoekige driehoek, en zo g je nog een tijdje door. T 1 d mi[] e figuur die je krijgt is eigenlijk een frtl. t is een meetkundige figuur wrin eenzelfde motief zih op 6m [] e [] een kleinere shl steeds herhlt. In gedhten kun je dt proes oneindig vk voortzetten. lk klein dn mi[] f erekening vn de tkje kn immers weer opgevt worden ls een stmmetje dt een omplete oom drgt. g H goniometrishe wrden Lten we vertrekken met zijde. ti-0 vn een vierknt, 5); os (0, ); pirmide (5', 1);" T 1 e hierop Vn de(regelmtige vooreeld:? zijde.is gegeven: wordt, H e gelijkenige driehoek die geouwd shuine 5, heeft 5), ls (, ), ( (0, ) e rehthoekszijde kunnen weii ls krijgen: 1 tikvolgt in: nd os pr 6 m en ITPI 15 m. + 10;het nd nd pr e 15 pirmide gesneden door 57;wordt 5; 6; H IJ vlk H 9 ) oniometrishe getllen en de R Pr oe Hier wordt uitgelegd hoe een grfishe rekenmhine je kn helpen. 19 ISN: Kon. i.: /011/017/187 estelnr.: NUR: P 9 zijden) gt enter pr vn de opstnde en evenwijdig loopt 16 6 ereken de inhoud vn eide delen ''' en de gelijkvormigheidsftor is d ls de omtrek vn gelijk is n 0 m, wt is dn de omtrek vn ''''? ruk: die Keure Oplossingen inzoomen tot 10 %, wt wordt dn de omtrek en de oppervlkte? n ls we uitzoomen 8 Ly-out en opmk: die Keure 7 m. ereken de fstnd tussen de zijden [] en []. 17 (0,8) m ls de oppervlkte vnoom is n 60m, wt is dn de oppervlkte vn ''' ls we onze wtgelijk lten groeien oto s: Shutterstok, fotostok die Keure, Niets uit deze uitgve mg verveelvoudigd en/of openr gemkt ti-8 We erekenen de nieuwe rehthoekszijde. vooreeld: sin 5' "?welke wijze uteurs. worden door middel vn druk, fotokopie, mirofilm of op + d n ook zonder voorfgnde shriftelijke toestemming vn demod uitgever. op Zorg ervoor dt de instelling 1. Stelling vn Thles (lz. 8) opyright y die Keure rugge No prt of this ook my e reprodued in ny form y print, (of grden) stt! dr photoprint, mirofilm or ny other mens without written permission 1 8 in: Verntwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, tik from the pulisher. 7 Kleine Pthoekeweg rugge - elgië sin ( 5 5 nl : nl 1: H.R. rugge lph5 ) ruk: 011 r komt opnieuw een tkje ij k , 6 8

4 eeld je even in wt de wereld zou zijn zonder meetkunde! Ingenieurs zouden niet kunnen erekenen hoeveel deze etonnen onstrutie kn drgen. e ouwheer zou mr gokken voor het nodige hout ij het pirmidevormige dk en hij zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen nodig zijn voor de lustrde. n jij, op je skiltten, zou niet weten hoelng je op de shns lijft en onder welke hoek je gelneerd wordt. In dit oek glijden we op een relistishe mnier doorheen de gelijkvormigheden en mken we kennis met de twee ekendste stellingen uit de wiskunde. Proefeemplr

5 Inhoud 1 Thles en gelijkvormigheden 1.1 venwijdige projetie > 8 1. Stelling vn Thles > 1 1. elijkvormigheden > 5 1. Smenhng ongruentie, gelijkvormigheid en trnsformties > 59 Vrdigheden: Kies een oplossingsmethode > 65 Stelling vn Pythgors.1 Metrishe etrekkingen in een rehthoekige driehoek > 68. Stelling vn Pythgors > 71 Vrdigheden: onstrutie vn een Pythgorsoom > 9 riehoeksmeting in een rehthoekige driehoek.1 oniometrishe wrden vn een driehoek > 96. ormules uit de goniometrie > 10 Vrdigheden: Toepssingen in de ruimte > 11 Oplossingen vn de oefeningen > 116 Trefwoordenregister > 11 Proefeemplr

6 e ultieme filmervring vind je niet in een gewone iosoop, mr wel in een IMX theter. it theter heeft een gigntish sherm en je kunt er ook nr -films gn kijken. Sommige IMX zlen zijn (hlf) olvormig. Hels moet je voor IMX nr onze uurlnden. e lihtsterkte vn de projetorlmp is zo groot, dt je de lmp vnuit het ISS (interntionl ruimtesttion) zou kunnen zien. oor de hitte die de lmp veroorzkt, moet ze ontinu met wter gekoeld worden. e sterkte is wtt, en per seonde stuurt de projetor 8 eeldjes nr het grote sherm. Proefeemplr

7 Thles en gelijkvormigheden 6 Omzetting reuken - kommgetllen > 1.1 venwijdige projetie 1 Inleiding > 8 eeld vn een punt > 9 eeld vn een lijnstuk > 10 eeld vn een rehte > 11 5 eeld vn een vlkke figuur > 1 6 Loodrehte projetie > 1 7 Lengte vn een lijnstuk evenwijdig n de -s of de y-s > 1 8 Loodrehte projetie op een vlk > 1 9 Smenvtting > Oefeningen > Stelling vn Thles 1 e stelling vn Thles > 1 ijzondere gevllen vn de stelling vn Thles > Thles in een driehoek > e omgekeerde stelling vn Thles > 5 Toepssingen op de stelling vn Thles > 5 6 Smenvtting > 7 7 Oefeningen > 8 1. elijkvormigheden 1 elijkvormige figuren > 5 Lengten erekenen in gelijkvormige vlkke figuren > 6 elijkvormige ruimtefiguren > 7 Omtrek, oppervlkte en inhoud vn gelijkvormige figuren > 8 5 elijkvormige driehoeken > 9 6 elijkvormigheidskenmerken vn driehoeken > 0 7 elijkvormige figuren epld door snijvlkken in een driedimensionle figuur > 8 Toepssingen vn gelijkvormigheden > 9 Middenprllel vn een driehoek > 6 10 igenshp vn het zwrtepunt vn een driehoek > 8 11 igenshp vn de deellijn in een driehoek > 9 1 elijkvormigheid en ongruentie > 50 1 Smenvtting > 51 1 Oefeningen > 5 1. Onderzoek smenhng tussen trnsformties, gelijkvormigheid, shl en ongruentie 1 Smenhng tussen spiegelingen en oördinten vn punten > 59 Smenhng tussen vershuivingen en oördinten vn punten > 61 Smenhng tussen puntspiegeling s O en oördinten vn punten > 6 Smenvtting > 6 5 Oefeningen > 6 Vrdigheden Kies een oplossingsmethode > 65 1 Proefeemplr

8 ) Inleiding venwijdige projetie Je mkte reeds kennis met een ntl trnsformties vn het vlk. ij een spiegeling, vershuiving, driing en puntspiegeling heeft elk element juist één eeld. Het zijn trnsformties vn het vlk die ovendien de grootte vn een hoek, de lengte, de oppervlkte en de vorm vn een figuur ehouden. eze drie vooreelden illustreren hoe je vn een voorwerp een eeld kn mken. e voorwerpen worden geprojeteerd. Telkens he je een ntl elementen nodig: een voorwerp dt geprojeteerd wordt, de rihting volgens welke je projeteert en Proefeemplr het vlk wrop je projeteert. Ook in de vlkke meetkunde kunnen we punten, rehten en vlkke figuren projeteren.

9 ) eeld vn een punt We eshouwen in het vlk twee snijdende rehten en en een punt X. We zoeken het eeld X vn X door X te projeteren op volgens. ls volgt te werk: Teken door X de rehte die evenwijdig is met. Zoek het snijpunt vn met en noem dit snijpunt X. We noemen de projeties en de projetierihting. Nottie: (X) X' p Lees: X is het eeld vn X door de evenwijdige projetie op volgens. Nog meer vooreelden: () ' p p p p () ' () ' () ' We stellen vst: p snijdt X Ç (X) X' XX' // en X' p Opmerkingen: snijdt X (X) X hoostuk 1 thls N lijkvormihn X X X lees: X is een element vn de rehte etekenis: X ligt op de rehte X X lees: X is geen element vn de rehte etekenis: X ligt niet op de rehte - lk punt X heeft steeds mr één eeld, wnt door X kn je mr één evenwijdige tekenen met die noodzkelijk snijdt omdt en ook elkr snijden. rom is een evenwijdige projetie een trnsformtie vn het vlk. - Shduwvorming is een mooi vooreeld vn evenwijdige projetie in de ruimte. Proefeemplr 9

10 10 ) eeld vn een lijnstuk Nu we punten kunnen projeteren, kunnen we ook lijnstukken en vlkke figuren projeteren. Om het eeld te zoeken vn een lijnstuk door evenwijdige projetie, volstt het om de uiterste punten vn het lijnstuk te projeteren. Onderzoeksopdrht 1: H H p ([H]) ['H'] ([]) p [''] ([]) p [''] ([]) p {'} Meet [] en ['']. Meet ook [] en ['']. Is [] ['']? Is [] ['']? ehoudt de evenwijdige projetie de lengte vn een lijnstuk? Onderzoeksopdrht : egeven: // I p ([]) [''] ([]) [''] p evrgd: Wt kun je esluiten over '' en ''? Vststelling: [] // en [] // We stellen vst dt in dit gevl de eelden vn [] en [] eveneens dezelfde lengte heen. Proefeemplr e evenwijdige projetie ehoudt de gelijkheid vn evenwijdige lijnstukken.

11 gevolg hoostuk thls N lijkvormihn ls evenwijdige rehten vn een snijlijn gelijke lijnstukken fsnijden, dn snijden ze ook gelijke lijnstukken f vn elke ndere snijlijn. '' '' '''' '''' ) eeld vn een rehte eshouw de projetie p en de (te projeteren) rehte d. We ondersheiden voor de ligging vn d twee gevllen. d d //\ In dit gevl is het eeld vn een rehte een rehte, nmelijk de projeties. p (d) d // In dit gevl geldt: p (d) {X} Proefeemplr X d 11

12 1 5 ) eeld vn een vlkke figuur Om het eeld vn een vlkke figuur te eplen, volstt het om de uiterste punten vn de figuur te projeteren. Onderzoeksopdrhten: Wt is het eeld vn Δ? Wt is het eeld vn de irkel? ewrt een evenwijdige projetie de vorm vn een figuur? ewrt een evenwijdige projetie de grootte vn een hoek? P S Q R U S Q T U ewrt een evenwijdige projetie de oppervlkte vn een figuur? Verklr. esluit: Het eeld vn een vlkke figuur is steeds een lijnstuk. 6 ) Loodrehte projetie e loodrehte projetie is de projetie wrij de projetierihting loodreht stt op de projeties. Nottie: p (Δ ) [''] p (PQRS) [S'Q'] p ( ) [''] p S S R P Q Q Proefeemplr (Δ ) [''] lees je ls: Het eeld vn Δ door de loodrehte projetie op de rehte is ['']. T O

13 y y hoostuk 1 thls N lijkvormihn 7 ) Lengte vn een lijnstuk evenwijdig n de -s of de y-s Vorig jr he je geleerd dt je punten kunt voorstellen met oördinten in een rtesins ssenstelsel. o() (6, ) omdt ( 5, ) (, ) - y (6, ) - het eerste oördintgetl de sis is vn de loodrehte projetie vn het punt op de -s. - het tweede oördintgetl de sis is vn de loodrehte projetie vn het punt op de y-s. Zo is ook o() (-5, ) en o() (-, -) Met ehulp vn oördinten kunnen we ook lengten vn lijnstukken eplen. We weten dt de loodrehte projetie de fstnd ewrt ls het lijnstuk evenwijdig is n de projeties. (1, ) (6, ) ( 1, ) ( 7, ) (, ) We kunnen de fstnden nu eplen. esluit: (, y ) '' '' -1 (-7) 5 '' y (, 5) -6 Proefeemplr ls // -s met o() (, y ) en o() (, y ) y y ls // y-s 1

14 1 8 ) Loodrehte projetie op een vlk ij de projetie op een vlk spreken we f dt we steeds loodreht projeteren. Het vlk wrop we projeteren noemen we het projetievlk. Zo is p α() '; p α() '; p α() ' ' is de loodrehte projetie vn op α ' is de loodrehte projetie vn op α ' is de loodrehte projetie vn op α α noemt met het projetievlk Op een vlk kunnen we niet enkel punten, lijnstukken, rehten, vlkke figuren projeteren, mr ook ruimtefiguren. Om een figuur loodreht te projeteren op een vlk, projeteren we elk punt vn de figuur loodreht op dit vlk. Vooreeld: Hieronder zie je de loodrehte projetie vn een kegel en een lk, wrvn het grondvlk telkens evenwijdig is met het projetievlk. T T H riekse letters In riekenlnd (en yprus) zie je ze nog steeds: riekse letters. Ze zijn met en worden soms in wiskunde geruikt om een hoek n te duiden. Ook een vlk (denk mr n het vlk p) krijgt meestl een rieks letter. lf H h èt N n nu T t tu èt Θ θ thèt Ξ ξ i Υ υ ypsilon Γ γ gmm I i iot O o omikron Φ φ phi d delt K k kpp P p pi Χ χ hi e epsilon L l lmd Ρ ρ rho Ψ ψ psi Z z zèt M m mu S s sigm Ω ω omeg Proefeemplr

15 9 ) Smenvtting hoostuk 1 thls N lijkvormihn Je kunt het eeld vn een figuur eplen door evenwijdige projetie op een projeties volgens een projetierihting. Nottie: H p () ' p (Δ) [''] p () [''] p ([H]) {'} Je weet dt een evenwijdige projetie de gelijkheid vn evenwijdige lijnstukken ehoudt. evolg: ls evenwijdige rehten vn een snijlijn gelijke lijnstukken fsnijden, dn snijden ze ook even lnge lijnstukken f vn elke ndere snijlijn Je weet dt ij de loodrehte projetie de projetierihting loodreht stt op de projeties. Nottie: S S R P p (Δ) [''] p (PQRS) [S'Q'] p ( ) [''] Je kunt vlkke figuren en ruimtefiguren loodreht projeteren op een vlk. Q Q O H L '' '' L '''' '''' Je kunt de lengte vn een lijnstuk [] eplen ls het lijnstuk evenwijdig is met de -s of de y-s. Proefeemplr ls // -s met o() (, y ) en o() (, y ) y y ls // y-s 15

16 16 10 ) Oefeningen 1 Projeteer de punten N,, L, en M op volgens (p ), mr ook op volgens (p ). e rehten,, en d eplen het prllellogrm. epl: p () p () p ([]) p ([]) p d () p d ([]) Teken het punt S ls gegeven is dt p (S) S' en p (S) S''. Vul in. p () p () p () p () S p () p () p () S N M L S S Proefeemplr p () d

17 5 epl de eelden vn de volgende figuren door p en p. hoostuk 1 door p door p door p d door p H thls N lijkvormihn 6 Indien X en Y de projetieeelden zijn vn X en Y, teken dn de projeties en de projetierihting in de volgende gevllen. X Y X' X X' Y Y' Y' d X Y' Proefeemplr X X' Y' O Y X' Y 17

18 18 7 egeven: rehten en evrgd: p 1 p X' p 1 (X) Y' p 1 (Y) Z' p 1 (Z) en p p X'' p (X) Y'' p (Y) Z'' p (Z) Teken de driehoek XYZ. 8 egeven zijn een prllellogrm en een rehte. epl een projetierihting zodt de evenwijdige projetie de vier hoekpunten op in vier vershillende punten feeldt; in drie vershillende punten feeldt; in twee vershillende punten feeldt. 9 egeven: zie figuur evrgd: Teken een lijnstuk [XY] zodt: d 10 egeven: Δ evrgd: XY X'Y' XY > X'Y' XY < X'Y' XY X'Y' en [XY] //\ [X'Y'] epl het eeld vn Δ door p en p. 11 egeven: Δ evrgd: epl p (), p () en p () Z' Proefeemplr Y' X" X' Z" X' Y" Y'

19 1 egeven: ' p () '' p () ' p () '' p () ' p () '' p () evrgd: Teken Δ 1 egevens: H d n is een kuus Vul in: hoostuk 1 e loodrehte projetie vn op het vlk is e loodrehte projetie vn [] op het vlk is e loodrehte projetie vn M op het vlk is d e loodrehte projetie vn M op het vlk is e e loodrehte projetie vn ΔH op het vlk H is f e loodrehte projetie vn ΔH op het vlk is g e loodrehte projetie vn ΔH op het vlk H is 1 epl de oördintgetllen vn,,,, en. M H thls N lijkvormihn Plts in het hieronder fgeeelde ssenstelsel de punten (, -1); H(-, 0); I( 1, -5 ) en J(0, - ) 1 1 y nottie: kuus/lk grondvlk d H n ovenvlk Proefeemplr 19

20 0 15 epl de lengte vn de getekende lijnstukken H 16 In een rtesins ssenstelsel zijn de punten en gegeven. epl telkens. o() o() (, 1) (, 7) (-, 1) (-, 0) (, -6) (, -6) d (5, - 1 ) (5, ) 5 17 Klr (K), Wrren (W), Slim (S) en Levi (L) ereiden zih voor op het voetltoernooi dt op het shoolfeest wordt georgniseerd. Triner Ilke (I) vindt smenspel heel elngrijk en drom oefenen ze op het oefenveld vn de shool y I L W y Proefeemplr ls Wrren de l reht op het doel shiet, wr moet de triner zih dn in het doel evinden om de l te kunnen vngen? epl de totle fstnd die de l flegt. K S I J