2.3 Loodlijnen. 72 Meetkundige constructies

Transcriptie

1 72 Meetkundige constructies 2.3 Loodlijnen Je hebt geleerd dat een hoek bestaat uit twee halve lijnen (de benen van de hoek) die in hetzelfde punt beginnen (het hoekpunt). Als die twee lijnen in elkaars verlengde liggen dan is het net of het een hele rechte lijn is, met een punt erop. Je zult het niet geloven, maar zo een hoek is zo bijzonder dat er zelfs een naam voor is: een gestrekte hoek. Als je een gestrekte hoek in twee even grote delen deelt dan krijg je twee hoekendierechtzijn. Ziehetfiguurhieronder. Wezeggendatlijnl loodrecht staatoplijnk,ofookweldatdat l eenloodlijnisopk. Dewiskundigenotatie is l k. (Spreekuit: l loodrechtop k.) Jezietookdat k l. Ineentekeninggevenweeenrechtehoekaanzoalshierboven. Wegaannu eenloodlijnconstruerenop eenlijn lvanuit eenpunt A, dat nietoplijn l ligt. Wenoemendit: eenloodlijnneerlatenvanuit Aop l.

2 Loodlijnen 73 Bedenk dat een lijn oneindig lang is. Oneindig lang tekenen kan natuurlijk niet,maarweknietdesuggestiedatjelijnbegintofeindigtin Aofop l! Opgave11 Tekeneenlijnl enanietopl. Tekeneencirkelmetmiddelpunt A met een straal die iets groter is dan de afstand van A tot l. Deze cirkel snijdt l in de punten B en C. Construeer nu het midden van lijnstuk BC. (Weet je nog hoe dat ging? Zo nee, zoekhetopinjeschrift.) DelijndoorhetmiddenvanBCenA is de gevraagde loodlijn! De constructie van het neerlaten van een loodlijn vanuit A op l puntsgewijs: Teken l Tekeneenpunt Adatnietop l ligt. Teken (A,r)meteenrstraalwelkegroterisdandeafstandvanAtotl. Ditleverttweesnijpunten,BenC op. Construeer nu het midden van BC. DelijndoorhetmiddenvanBC isdegevraagdeloodlijndoor Aop l. Opgave12 Opgave 13 AlsAeenpuntopeenlijnl is,danzeggenwedatweeenloodlijn oprichten. a) Probeer zelf uit te vinden hoe deze constructie moet. b) Beschrijf je constructie puntsgewijs. a) Neem de figuur hieronder over(hoeft niet exact) en teken deloodlijnmvanuitaopdelijnl.richtdaarnadeloodlijn n opvanuitbop l. b) Wat voor bijzonders zie je aan de lijnen m en n? Kijk bij de bouwstenen van constructies in paragraaf 2.1 hoe je dit kunt noteren.

3 74 Meetkundige constructies Demiddelloodlijnvaneenlijnstuk AB isdeloodlijnop AB doorhetmidden van AB. Opgave 14 a) Teken een lijnstuk AB en de middelloodlijn van AB. Dat gaat het gemakkelijkst met de passer. Probeer zelf hoe dat kan. Gebruik twee cirkels, maar teken alleen(dun!) kleine stukjes van die cirkels. b) Doe hetzelfde nog eens voor een lijnstuk CD, dat tweemaal zo lang is als AB. Maakt het veel uit welke straal je neemt voor de cirkels? Hoe willekeurig kan de straal zijn? Omschrijf in je eigen woorden hoe je de straal moet kiezen. Opgave 15 Schrijf de constructie van de middelloodlijn van lijnstuk PQ puntsgewijs op. Opgave 16 a) Een driehoek heeft drie zijden en van die drie lijnstukken kan je de drie middelloodlijnen tekenen. Neem ABC en DEF hieronder over (hoeft niet exact, maar zorg dat ze niet gelijkbenig of gelijkzijdig zijn!) en construeer in beide driehoeken de middelloodlijnen van de zijden. b) Alsjehetgoedgedaanhebtzaljeziendatdedriemiddelloodlijnen van een driehoek steeds door één punt gaan. Datditaltijdzois,gaanwelaterbewijzen. Bij DEF ligt hetsnijpuntbuitendedriehoek!zeteenmbijhetsnijpunt van de middelloodlijnen. Zet nu je ijzeren passerpunt in M en teken vervolgens de cirkel die door de hoekpunten gaat. Doeditookvoordeanderedriehoek. Alsjehetgoed gedaan hebt, gaan deze cirkels door alle hoekpunten. Zo n cirkel heet de omgeschreven cirkel van de driehoek.

4 Loodlijnen 75 Eenhoogtelijnineendriehoekisdeloodlijnvanuiteenhoekpuntopdezijde tegenover dat hoekpunt. Opgave 17 a) Neem ABC uit de vorige opgave nog eens over (weer: niet gelijkbenig en niet gelijkzijdig!) en construeer nu de hoogtelijnen. Daarvoor laat je steeds een loodlijn neer vanuit een hoekpunt op de zijde die er tegenover ligt. Als je het goed doet zal je zien dat de drie hoogtelijnen van een driehoekookdooréénpuntgaan. Isdathetzelfdepuntals het snijpunt van de middelloodlijnen, of is het een ander punt? ZeteenS bijhetsnijpuntvandedriehoogtelijnen. b) Bij stomphoekige driehoeken, zoals DEF kun je ook de drie hoogtelijnen tekenen. Alleen moet je daarvoor DE en FE verlengen. Neem DEF uit de vorige opgave nog eens over, verleng DE (van D naar E, dus naar rechts) en verleng FE(naar onderen). Construeer nu de drie hoogtelijnen. ZeteenS bijhetsnijpuntvandedriehoogtelijnen. Eenzwaartelijnineendriehoekisdelijnvanuiteenhoekpuntnaarhetmidden van de zijde tegenover dat hoekpunt. Opgave18 a) Tekennunogeenkeer ABC en DEF engeefmetbehulp van passer en liniaal of met behulp van je geodriehoek het midden van de drie zijden aan. Teken vervolgens de lijnstukken die vanuit een hoekpunt van de driehoek naar het midden van de tegenoverliggende zijde gaan. Deze lijnen zijn de zwaartelijnen van de driehoek. Ook deze gaan door één punt: het zwaartepunt. Zet een Z bij dit punt. b) Waar zouden die namen zwaartelijn en zwaartepunt vandaan komen? Opgave 19 Je kunt loodlijnen ook gebruiken om evenwijdige lijnen te construeren. Een belangrijke constructie is: een lijn door een gegeven punt evenwijdig aan een gegeven lijn. Teken een lijn l en een punt A dat niet op l ligt. Construeer vervolgensdeloodlijn m vanuit Aop l. Richtdandeloodlijn k opmvanuithetpuntaop.dezelijnkisdegevraagdelijn!(opje geodriehoek heb je voor dit doel trouwens evenwijdige lijntjes

5 76 Meetkundige constructies zitten. Dat gaat eenvoudiger, maar... een geodriehoek hadden de Grieken nu eenmaal niet) Opgave20 Begin met een willekeurig punt A en een lijn l door A. Construeer nu de loodlijn m op l vanuit A. Neem een willekeurig puntbopmenrichtookdaareenloodlijnkopinb. Neemeen willekeurigpuntc opkenrichtdaarnuweereenloodlijnnop inc. Dezeloodlijnsnijdt l inhetpunt D. DevierhoekABCDdienuontstaanisheeteenrechthoek,want hij heeft vier rechte hoeken! Opgave 21 Een vierkant is een rechthoek waarvan de vier zijden even lang zijn. a) Teken een vierkant met passer en liniaal. Probeer een zo handig mogelijke constructie te vinden. b) Beschrijf je constructie puntsgewijs.