Redactioneel. Uitwiskeling 29/1 winter

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Redactioneel. Uitwiskeling 29/1 winter 2013 1"

Transcriptie

1 Redactioneel Het begin van de maand september werd ontsierd door een hevige aanval op het Vlaamse wiskundeonderwijs, dat leerlingen niet langer zou boeien en kwalitatief ondermaats zou zijn, omdat de handboeken onduidelijk en chaotisch zouden zijn. De abstracte vorming zou ook tekort schieten. Ongeveer vijfentwintig jaar geleden studeerde ik uit de 6e Wetenschappelijke A af. Ik had dat jaar 9u wiskunde. Het klopt dat het abstractieniveau in de les toen hoger lag dan nu. Maar het klopt niet dat leerlingen toen nog gepassioneerd waren, omdat de boeken en bijbehorende lessen minder chaotisch en onduidelijk waren. Het tegendeel is waar. Ik was wellicht een van de weinigen die geboeid kon zijn door de abstracte leerstof, wat me onbegrip bij mijn klasgenoten opleverde. Velen waren helemaal niet geïnteresseerd en verschillenden wisten zelfs nauwelijks waarover het ging, noch op een toets en al helemaal niet in de les. De moderne wiskunde aan het werk: een dolenthousiaste leerkracht en een meerderheid van leerlingen die ondergaat wat slechts een handvol van hun klasgenoten verstaat. Dat was niet alleen zo in de Wetenschappelijke A of Latijn-Wiskunde, die toen nog 8u wiskunde had. Ook in de richtingen met minder uren wiskunde werd gegaapt en gegeeuwd bij het ondergaan van topologie, lineaire algebra of verzamelingenleer. Elk jaar studeerden duizenden en duizenden leerlingen af die hun hele leven zouden kunnen zeggen: Ik heb nooit begrepen waarover het ging en ik heb het ook nooit nog ergens voor nodig gehad. Er waren er andere. Ik was een van hen. Die leerlingen die voldoende wiskundig getalenteerd waren om die abstracte wiskunde te kunnen begrijpen en appreciëren, gingen voor licentiaat wiskunde of burgerlijk ingenieur. Wij waren het enthousiaste publiek waarmee de professoren aan die faculteiten toen in contact kwamen. Ik vrees dat verschillende onder hen tot op vandaag verkeerdelijk denken dat iedereen toen zo enthousiast over wiskunde was en zo degelijk gevormd. In werkelijkheid echter stelden leerkrachten toen meer en meer vast dat het experiment van de moderne wiskunde, ondanks enkele successen, niet de vruchten afwierp die men had gehoopt. Een te grote groep leerlingen werd niet bereikt. Zij waren in de les niet wiskundig aan het redeneren. Ook thuis niet. Ze overleefden. De type-opdrachten uit de les en de vanbuiten geleerde bewijzen zorgden voor een tien op twintig. Werden veel bewijzen gevraagd, dan waren de punten beter, al wisten sommigen amper wat ze aan het opschrijven waren. De vraag die men zich ging stellen, was: weegt de winst voor een sterke topgroep op tegen de overkill voor de meerderheid van de leerlingen? De leerplannen werden daarom aangepast, in de hoop meer leerlingen mee te laten redeneren, zij het dan misschien op een iets lager, maar meer toegankelijk niveau van abstractie. De doelstellingen waren nobel en betekenden voor veel leerlingen een grote vooruitgang. Die nieuwe aanpak beïnvloedde helaas ook het niveau van de sterkste leerlingen en sindsdien is geen jaar voorbij gegaan zonder dat een of andere prof of docent een jammerende brief naar de krant stuurde om de algehele teloorgang van het wiskundeonderwijs te betreuren. Altijd met een snel gevonden schuldige, al verandert die van seizoen tot seizoen. De ene keer was het de leerkracht, dan weer waren het de leerplannen en dit jaar waren de handboeken aan de beurt. Benieuwd wat het wordt in september Het enige wat deze klagers er telkens mee bereiken, is het vervreemden van wat eigenlijk hun bondgenoten zouden moeten zijn: de leerkrachten, leerplanmakers en handboekenschrijvers. Want zij zijn het, wij zijn het dus, lezer, die het Uitwiskeling 29/1 winter

2 Redactioneel kwalitatief onderwijs vandaag en morgen moeten realiseren. Ik ben ervan overtuigd dat ons huidig wiskundeonderwijs heel wat kwaliteiten heeft, al voldoet het niet aan de rigoureuze standaard van veel docenten uit het hoger onderwijs. Meer leerlingen dan vroeger komen aan wiskundig redeneren toe tijdens de les of op een toets en maken kennis met domeinen van de wiskunde die wij, vijfentwintig jaar geleden, niet kenden. Ze kunnen niet meer overleven door bewijzen vanbuiten te leren, maar moeten zich oefenen in het oplossen van heel diverse problemen, wat ook voor de gemiddelde leerling meer inzicht vereist dan in mijn tijd het geval was. De wiskunde in het secundair is dan wel minder formeel en abstract geworden, en persoonlijk mis ik dat wel, maar meer leerlingen kunnen vandaag de rol van wiskunde in onze maatschappij appreciëren en weten dat het geen nutteloze discipline is. Met twee op drie leerlingen die, in het aso, graag wiskunde doen (Klasse, 2010), is er van het vermeende verdwijnen van de gepassioneerdheid bij de leerlingen geen sprake. Wat de aanvallende briefschrijvers wel moeten beseffen, is dat ons onderwijs maar kwalitatief kan blijven indien ook bij de leerkrachten de gepassioneerdheid levendig gehouden wordt. Dat bereik je niet door via opinierubrieken het hele wiskundeonderwijs ondermaats te noemen en leerkrachten een slecht gevoel over hun beroep en hun praktijk te geven. Je bereikt het door met alle betrokkenen een gesprek aan te gaan, door naar antwoorden te zoeken voor bepaalde problemen, door creatief in te spelen op bestaande noden en potentiële oplossingen. Na meer dan tien jaar contraproductieve kritiek begint dit inzicht gelukkig te groeien binnen het hoger onderwijs en worden daar stilaan inspanningen geleverd om extra materiaal aan te bieden, op maat van sterke leerlingen uit het secundair onderwijs. We kunnen dergelijke positieve bijdragen alleen maar toejuichen en hopen dat onze sterkste leerlingen vaker met de schoonheid van de abstractere wiskunde in contact kunnen komen, zonder dat hun minder sterke leeftijdsgenoten het plezier bij de huidige aanpak ontnomen wordt. Pedro, namens de redactie Bron 2 Uitwiskeling 29/1 winter 2013

3 Spinnenweb Tekeningen op de speelplaats Hilde Eggermont Het begon met een mail met een foto van een Chinees leger met legomannetjes (zie drawar.com/d/3d-chalk-terracotta-lego-army/). Het zou toch mooi zijn als we ook zo iets konden doen op de open deur. We zochten met de wiskundecollega s al een hele tijd naar iets voor op de open deur. Dat iets moest de aandacht trekken van leerlingen en bezoekers en te maken hebben met ons vak. We begonnen te dromen van grote kleurrijke street-arttekeningen op onze grijze speelplaats Een kleine proeftekening van een kubus overtuigde mij van de haalbaarheid van het project. Het resultaat zou niet zo spectaculair worden als dat van het Chinese legomannetjesleger. Als we het ontwerp beperkt hielden en rekening hielden met onze beperkte artistieke kwaliteiten, dan moest het wel lukken. Het was opvallend hoeveel echter de tekening werd als je er een ander element aan toevoegde. In het geval van de proefkubus waren dit twee (even grote) Playmobil-mannetjes: eentje op de kubus en eentje ernaast. Hierdoor vergrootte de 3D-ervaring vanuit het juiste oogpunt aanzienlijk. Met niet veel meer voorbereiding dan dit trokken we naar de klas. De klas was in dit geval de groep 8-uursleerlingen van het vijfde en het zesde jaar. Het principe is heel eenvoudig. Je maakt een centrale projectie van een object. De positie van het oog bepaalt hoe vervormd het object er in de projectie uitziet. Bij een sterke vervorming spreekt men van een anamorfose. Hoe sterker de vervorming, hoe groter het wauw -gevoel als je de tekening vanuit het juiste oogpunt bekijkt. De analytische uitwerking van deze projectie is een eenvoudige oefening op ruimtemeetkunde. Omdat we de computer willen inschakelen werken we analytisch. We zoeken een algemene formule om zo veel mogelijk vrijheid te hebben bij de praktische uitwerking. Het enige dat we vastleggen is het projectievlak. Dit is immers het horizontale vlak van de speelplaats. We nemen hiervoor het vlak z = 0. Stel dat het punt O(x 0, y 0, z 0 ) het oog is en P(x 1, y 1, z 1 ) het punt dat we projecteren. Uitwiskeling 29/1 winter

4 Spinnenweb Figuur 1 De projectie P van P is het snijpunt van de rechte OP met het projectievlak z = 0. De parametervergelijkingen van de rechte OP zijn x = x 0 + k (x 1 x 0 ) y = y 0 + k (y 1 y 0 ) z = z 0 + k (z 1 z 0 ) Om het snijpunt met z = 0 te vinden stellen we 0 = z 0 + k (z 1 z 0 ). Bijgevolg is k = z 0 z 1 z 0. Invullen en uitrekenen geeft x = x 0z 1 x 1 z 0 z 1 z 0 y = y 0z 1 y 1 z 0 z 1 z 0 z = 0 Met deze formules is het mogelijk om de projectie van de punten te berekenen. Deze formules zijn eenvoudig in bv. GeoGebra in te brengen. De berekende punten kunnen dan meteen ook getekend worden. Figuur 2 4 Uitwiskeling 29/1 winter 2013

5 Spinnenweb Hier stootten we op een groot probleem. Hoe verkrijgen we de coördinaten van de punten van het object dat we willen projecteren? Bij de proeftekening van de kubus was het nog goed te doen om de 8 hoekpunten zelf te voorzien van coördinaten, maar hoe moet dat bij grotere objecten met veel meer hoekpunten? Dit probleem was nog niet van de baan op het moment dat de leerlingen aan het werk gingen om hun ontwerp te maken. Drie groepjes leerlingen gingen aan het werk. Ze bekeken nog andere tekeningen op het internet. Met de zoekterm street art bij Google Afbeeldingen vind je heel wat materiaal. De ene groep besliste een zetel te maken, de tweede een wenteltrap en de derde flatgebouwen die uit een stoeptegel komen. Tijdens de eerste bijeenkomst werd er vooral met potlood en papier gewerkt. Maar onze leerlingen zijn kinderen van hun tijd en tegen de volgende week, werkten ze met Google SketchUp. Dat gaf mooie ontwerpen, maar de vraag bleef hoe we aan de coördinaten van de punten van het object konden geraken. Eén van onze leerlingen nam deze uitdaging ter harte en schreef een programma om de coördinaten van de punten uit het Google SketchUp-bestand te halen. Deze informatie werd opgeslagen in een Excel-file. De punten konden nu naar hartenlust getransformeerd worden! Het volgende probleem dook op: hoe weten we welke punten verbonden moeten worden? Deze informatie zat ook opgeslagen in Google SketchUp, maar de open deur naderde met rasse schreden en er was geen tijd meer om hiernaar op zoek te gaan. Dit probleem hebben we met gerichte trial and error opgelost. In de week van de open deur hadden twee van de drie groepen een mini-versie van hun tekening op papier. De ene groep heeft dan de avond voor de open deur haar werk met stoepkrijt op de speelplaats gezet en de tweede groep heeft dat tijdens de open deur live gedaan. De derde groep is uiteindelijk maar geraakt tot aan een mini-versie die ook op de open deur te bewonderen was in een kijkdoos. Figuur 3 Uitwiskeling 29/1 winter

6 Spinnenweb Tijdnood tijdens de lessen wiskunde Noortje Damen Als beginnende leerkracht ervaarde ik vaak een tijdsdruk tijdens de lessen wiskunde. Ik had voortdurend schrik dat ik de voorziene leerstof niet volledig kon behandelen. Hierdoor werd het moeilijk om nog ten volle te genieten van het lesgeven en hield ik een slecht gevoel over bij het uitproberen van werkvormen die meer tijd in beslag namen. Timemanagement in de klas Ik ben daarom op zoek gegaan naar een manier om met een beter gebruik van tijd, een beter timemanagement, de ervaren stress te verlichten. Veel lectuur over het timemanagement in de klassituatie is er echter niet beschikbaar. Daarom besloot ik de inzichten en technieken uit het bedrijfsleven te analyseren en indien mogelijk te vertalen naar het klasleven. Hieruit kwamen enkele belangrijke tips voort. (1) Plan de dag van morgen, liefst aan het eind van de dag. Deze tip wordt door mezelf, en ik veronderstel ook door de meeste andere leerkrachten, al langer toegepast. Elke avond maak ik de lesvoorbereidingen voor de volgende dag. Ik neem agenda en cursus bij de hand en maak een planning. Dit creëert rust, maar kan tevens ook de nodige onrust met zich meebrengen wanneer de vooropgestelde doelen niet bereikt worden. Het leek me daarom beter om ook te plannen op langere termijn, waardoor er een richtlijn ontstond waar lichtjes van mocht afgeweken worden. Omdat ik slechts enkele maanden vervanging deed, heb ik me beperkt tot een planning per hoofdstuk. Toch viel al snel op dat dit schema meer rust bood. Het was niet erg om tijdens een les een achterstand op te bouwen, daar die op een ander moment nog kon weggewerkt worden. Wanneer daarentegen een les vlotter verliep dan verwacht, ontstond er meer ruimte om werkvormen in te zetten die meer tijd vereisten. Hierdoor zag ik ook de waarde in van een goede jaarplanning en het belang om deze planning met aandacht op te stellen en ze te gebruiken als werkinstrument. Duidelijke maar flexibele doelen creëerden meer zekerheid en rust tijdens het lesgeven en boden me de kans om in te spelen op de noden van de klas om zo tot fundamenteel leren te komen. In enkele klassen stootte ik echter op een obstakel dat deze persoonlijke planning in de weg stond: klasoverschrijdende remediëringslessen, waar leerlingen van parallelklassen bijles kregen over het onderwerp dat die week behandeld werd. Men veronderstelde dat de leerstof die de parallelleerkrachten behandelden ongeveer gelijk liep, wat voor mij haast onmogelijk was en een druk op me legde. Daarom besloot ik deze verwachtingen naast me neer te leggen om zo de bijkomende tijdsdruk te vermijden. Hierdoor werd meer differentiatie verwacht van de remediëringsleerkracht, maar kon ik zelf creatiever omspringen met mijn eigen planning. De essentie van remediëring zit immers in het afstemmen op de reële noden, niet enkel in het herhalen van de leerstof. (2) Plan essentiële, niet-urgente taken op de rustige momenten. Niet ieders bioritme is hetzelfde. Toch kunnen er over het algemeen enkele conclusies worden getrokken, die ook voor een leerkracht mogelijk interessant zijn. Het einde van de ochtend is het beste voor denkwerk, zoals opdrachten die een sterk beroep doen op uw denkvermogen. Wie rond 7 uur opstaat, heeft tussen 11 uur en 13 uur de meest productieve uren. Na dertien uur belandt het lichaam in een soort dip. Ook op school valt het op dat leerlingen s morgens meestal beter geconcentreerd zijn dan tijdens het laatste lesuur. Ik besloot daarom deze eenvoudige tip toe te passen in de klas: moeilijkere theoretische hoofdstukken werden in de voormiddag gepland, inoefenen en spelenderwijs werken werd voorbehouden voor de minder productieve uren. Theorielessen verliepen hierdoor wat vlotter, oefensessies verliepen rustiger en zorgden minder dan vroeger voor een tijdsdruk. Hoewel al snel duidelijk werd dat het niet altijd mogelijk was de lessen op deze manier te organiseren, heb ik de voordelen van deze planning ervaren en heb ik ook in de mate van het mogelijke rekening leren houden met de beperkingen. (3) Handel papier in één keer af en doe gelijksoortige taken na elkaar. Deze tip lijkt vanzelfsprekend. Ik paste hem langer toe. In het begin van elke les werd de praktische schikking afgehandeld: agenda 6 Uitwiskeling 29/1 winter 2013

7 Spinnenweb invullen, afwezigheden opnemen, toetsen uitdelen, taken ophalen, Toch nam deze werkwijze naar mijn mening nog te veel tijd in beslag. Ik ging na of het niet vlotter kon. Zo viel me op dat het inzamelen en uitdelen van toetsen of taken elke les té lang duurde en bovendien verwarring schepte. De leerlingen en ikzelf vergaten regelmatig wanneer een toets moest teruggegeven of opgehaald worden. Door deze actie te vervangen door een vaste afspraak op maandagmorgen en dit steeds in de agenda te noteren, bezorgde ik zowel de leerlingen als mezelf minder tijdverlies en kopzorgen. Timemanagement is alomvattend en zit zowel in de kleine details als in grote gehelen. Hoewel de tips uit het bedrijfsleven niet zomaar konden worden overgeplaatst naar de klas, zijn er voor mij wel enkele interessante inzichten uit voortgekomen. Zo bleek flexibiliteit erg belangrijk: flexibel zijn naar hoeveelheid oefeningen (afgestemd op de noden van de leerlingen), naar lesinhouden (rekening houdend met het moment van de dag) en naar planning (door te werken met een goede jaarplanning) bood meer rust voor mezelf als leerkracht. Bovendien ben ik tot de conclusie gekomen dat efficiënt werken zich niet beperkt tot het toepassen van vooropgestelde regels. Tips helpen, maar moeten steeds afgesteld worden op maat van de klas. Het is daarom goed om kritisch te zijn voor de tips die worden aangereikt. Klasgroepgebonden strategieën Dit kritisch denken deed me inzien dat de methodes uit het handboek, en ook degene die worden gestimuleerd vanuit de leerplannen, niet altijd de beste zijn. Zo merkte ik tijdens een les bewerkingen met veeltermen die werd aangebracht aan de hand van een voorbeeld uit het dagelijkse leven, dat leerlingen het moeilijk hadden om de realistische voorstelling om te vormen naar een abstracte weergave. Wanneer ik daarentegen bij het aanbrengen van deze leerstof vertrok vanuit een concrete voorstelling in letters en symbolen, bleek dit veel duidelijker voor de leerlingen. Eenvoudigere getallenleer aanbrengen aan de hand van realistische voorbeelden lukte daarentegen wel goed, terwijl de meer complexe theorie beter begrepen werd door de leerlingen wanneer aangebracht met letters en symbolen. Tot slot is er nog een laatste opvallende vraag die me is bijgebleven in verband met het timemanagement: Waarom doen we de dingen die we doen op de manier waarop we ze doen?. Het is een vraag waar we vaak niet eens meer bij stilstaan. Sommige gewoontes zijn zo ingeburgerd dat we niet weten hoe er van af te stappen. Dit wil echter niet zeggen dat wat we doen goed is en hetzelfde moet blijven. Zo kwam ik in contact met de studiewijzer, een werkinstrument dat door collega s in parallelklassen reeds gebruikt werd bij de behandeling van bepaalde hoofdstukken. Het doel van dit hulpmiddel was duidelijk: de leerlingen iets aanbieden dat helpt om gemakkelijker zelfstandig te werken. In de studiewijzer staan de leerstofonderdelen duidelijk opgelijst met de bijbehorende te studeren theorie en opgegeven oefeningen, inclusief pagina's in het leer- of werkboek. De tips helpen de leerlingen om de opdrachten tot een goed einde te brengen. Hoewel het instrument op zich interessant was en goed was opgesteld, leek het niet erg innovatief. In vele cursussen wordt tegenwoordig al gebruik gemaakt van een studiewijzer om zelfstandig werken te bevorderen. De manier waarop de studiewijzer gehanteerd werd, was daarentegen wél totaal nieuw voor mij. De leerlingen werden verondersteld de theorie thuis te leren zonder enige begeleiding van de leerkracht. Hier stond ik oorspronkelijk nogal kritisch tegenover en ik vroeg me af of dit niet te moeilijk was voor de leerlingen. Het betreffende hoofdstuk, de ruimtefiguren, sprak de leerlingen erg aan. Bovendien werd de leerstof zeer concreet voorgesteld in de leerboeken, wat de Figuur 1 Uitwiskeling 29/1 winter

8 Spinnenweb kans op slagen deed toenemen. Ik besloot de studiewijzer te gebruiken en open te staan voor het nieuwe. De resultaten bliezen me omver. Leerlingen slaagden er goed in de theorie thuis te leren en die naar voren te brengen in de klas. Wanneer ik vroeg wie de leerstof wilde uitleggen aan de hand van het beschikbare didactische materiaal, vielen de leerlingen bijna letterlijk van hun stoel van enthousiasme. Het aanbrengen van de theorie verliep op een uitdagende, creatieve manier en er ontstond meer tijd voor persoonlijke begeleiding. Wie tijdens het maken van de oefeningen nood had aan extra uitleg, werd geholpen door zijn buur of de leerkracht en kon gebruik maken van het aanschouwelijk materiaal dat voorhanden was. Leerlingen die daarentegen vlot de oefeningen afhandelden, konden de meer uitdagende extra toepassingen maken. Het leek een reddingsmiddel waar ik al zo lang op wachtte: een instrument en werkwijze die me toeliet om alle doelen te bereiken zonder in tijdsnood te geraken. De meerwaarde van dit instrument lag in de grote hoeveelheid zelfstandig werk. Ik merkte dat zelfstandig werken rustgevend kon zijn voor de leerkracht en leerlingen. Door in te zetten op zelfstandig werk, ondervond ik hoe ik tijd kon besparen zonder toe te geven aan de vooropgestelde doelen. Maar een instrument mag je niet zomaar overnemen in een andere klas. Afhankelijk van de beginsituatie zet je in wat je denkt dat het beste is. Omdat de beginsituatie van de klassen waar ik vervanging deed erg varieerde, was het onmogelijk de studiewijzer overal op dezelfde manier te gebruiken. Uit ervaring bleek dat zelfstandig kunnen werken een eerste vereiste was om dit instrument toe te passen. Toen ik de studiewijzer hanteerde in een klas waar deze competentie niet op punt stond, merkte ik dat het instrument niet tot zijn recht kwam. Wat in de ene klas een succes bleek, was tot mislukken gedoemd in de andere. Hier was het beter geweest een andere manier te zoeken om het zelfstandig werk te bevorderen. In klas 1B koos ik daarom voor een PowerPointpresentatie die tijdens de les werd geprojecteerd en de opgegeven opdrachten toonde. Deze leerlingen hadden minder ervaring met zelfstandig werken, maar door de verschillende opdrachten te beperken en de te volgen stappen te projecteren op het bord, konden ook zij gestructureerd zelfstandig werken. Door op verschillende niveaus het zelfstandig werken toe te passen heb ik zowel het nut als de moeilijkheid ervan ingezien. Omdat niet elke klas over deze competentie beschikte en ook de beginsituatie vaak erg verschilde, was ik genoodzaakt de werkvorm steeds aan te passen. Toch werd ik door de studiewijzer overtuigd van de positieve invloed die vernieuwing kan hebben. Tijd is relatief Tijdens het lesgeven schrik hebben om uitgebreide werkvormen te gebruiken, je afvragen of de voorziene leerstof wel kan behandeld worden binnen de beperkte tijd, je onrust delen met collega s als ik hierop terugkijk zie ik de triestheid ervan in. Door een goede planning te maken, lesinhouden en aanbreng af te stemmen op de klas en het moment van de dag, kon ik flexibel zijn en beter omgaan met de factor tijd. Zo leerde ik dat goed omgaan met tijd is tijd besparen zonder in te leveren op kwaliteit. We moeten afstappen van de uitdrukking: hier heb ik geen tijd voor, maar zoeken naar een manier om alle factoren van het timemanagement te laten samenkomen tot één geheel: rekening houdend met de beperkte tijd de vooropgestelde doelen bereiken. De tijd blijft hetzelfde, hoe we ermee omspringen is wat telt. Want besef wel: tijd is relatief. 8 Uitwiskeling 29/1 winter 2013

9 Spinnenweb Ontmoeting van twee cilinders Michel Roelens De aanleiding Onze ICT-coördinator sprak mij aan met een praktisch probleem. Normaal gebeurt dit andersom, maar het ging ook niet om een computerprobleem. Uit zijn kachel komt een verticale cilindervormige schouwpijp, die overgaat in een tweede cilindervormige pijp, die een hoek van 135 maakt met de eerste buis. Deze tweede cilinder verdwijnt dan in het plafond. Ik begreep dat hij een bekleding wou maken voor deze buizen en dat hij wou weten wat de juiste vorm was die hij moest uitsnijden. Ik vond het wel een beetje een vreemde vraag; die bekleding moet wel erg goed tegen de warmte kunnen... Ik zette mezelf wiskundig aan het werk. De vlakke ontwikkeling van een schuin afgesneden cilinder is begrensd door één periode van een sinusgrafiek. Dat wist ik. Het bewijs verscheen onlangs nog in de werktekst De kop van de mouw in het Uitwiskeling-nummer over wiskunde en breien (Eggermont, Hautekiet & Van den Broeck, 2012). Ik beredeneerde wat de juiste voorschriften van de sinusgrafieken voor zijn vlak ontwikkelde kachelbuizen moesten zijn, ik drukte op schaal af met GeoGebra en bracht hem de volgende ochtend, voldaan over mijn oplossing, zijn verkleinde buizen, zowel in vlakke versie als opgerold tot cilinders. Tot mijn ontgoocheling had ik zijn vraag niet goed begrepen: niet de buizen wou hij bekleden, maar het stuk plafond rond de schuine buis. Hij moest dus enkel een ellips hebben. Op een foto, die ik nadien van hem kreeg met het oog op dit artikeltje, zag ik zelfs dat de schuine pijp in het plafond opnieuw overgaat in een derde, verticale, buis die grotendeels binnen het plafond zit. Figuur 1 De opgave Dit misverstand levert inspiratie op voor een originele en uitdagende oefening over goniometrische functies voor leerlingen van het vijfde jaar met zes uur wiskunde per week. We veronderstellen dat de leerlingen vooraf in de klas hebben bewezen dat de vlakke ontwikkeling van een schuin afgesneden cilinder begrensd is door een periode van een sinusgrafiek, bv. met de reeds aangehaalde werktekst uit Wiskunde en breien. begin werktekst Buizen met een hoek van 135 Voor schouwpijpen, afvoerbuizen, waterleidingen... zijn soms cilindervormige buizen nodig die een bepaalde hoek vormen. Maak een papieren schaalmodel van twee buizen (stukken cilinder) die in elkaar overgaan. De onderste buis staat verticaal. De hoek tussen deze cilinders is 135. De bovenste buis is bovenaan horizontaal afgesneden. De omtrek van de cilinders is 63 cm. De langste lengte van het schuine stuk is 40 cm. Voor alle duidelijkheid zie je hieronder een tweeaanzicht (vooraanzicht, bovenaanzicht). Uitwiskeling 29/1 winter

10 Spinnenweb Je weet: de vlakke ontwikkeling van een schuin afgesneden cilinder is begrensd door één periode van een sinusgrafiek. Je kunt hier zelf een aantal keuzes maken: de schaal, waar komt de naad van de cilinders (anders gezegd: waar laat je één periode beginnen en eindigen), de plaats van de grafieken in het assenstelsel. Gebruik GeoGebra om de grafieken die de vlakke ontwikkeling van de buizen afbakenen te tekenen en af te drukken. Geef twee versies af: de vlakke ontwikkelingen en de uitgeknipte en aaneengeplakte cilinders. einde werktekst Hieronder bespreek ik mijn oplossing. Uiteraard verkrijgen leerlingen andere voorschriften als ze andere keuzes maken voor de schaal, de periode, de plaats in het assenstelsel... Als de opgave hierboven voor je leerlingen te open (en te moeilijk) is, kun je deelvraagjes toevoegen. Het onderste stuk Ik heb de ware afmetingen in GeoGebra ingevoerd, en uitgezoomd zodat de schaal van de afdruk 1:5 werd. De cilinder heb ik (in gedachten) opengesneden bij het laagste punt van de bovenrand. De y-as heb ik in het midden geplaatst, dus bij het hoogste punt. Dit betekent dat ik een voorschrift van de vorm y = a cos bx + d zoek. Uiteraard gaat het ook met een horizontaal verschoven sinusgrafiek, wat de leerlingen misschien eerder gaan doen naar analogie met eerder gemaakte oefeningen. De waarde van d, als we de onderrand van de ontwikkeling op de x-as plaatsen, is 40. De periode is gelijk aan de omtrek van de cilinder, dus 63. Dit geeft b = 2 π 63. Nu nog de amplitude a. Het vlak waar beide cilinderstukken samenkomen, vormt een hoek van 22,5 met de grond. Om tegen elkaar te passen, moeten beide cilinders immers even schuin afgesneden zijn, zodat hun vlakke doorsneden (ellipsen) kunnen samenvallen. Dit geeft voor de amplitude: a = r tan 22,5, met r = 63 2π de straal van de cilinder (zie figuur 2). Goniometrische formulevirtuozen kunnen aantonen dat tan 22,5 = 2 1, maar omdat weinig (eufemisme voor geen?) leerlingen dit zullen opmerken, werk ik hier verder met tan 22,5. Figuur 2 10 Uitwiskeling 29/1 winter 2013

11 Spinnenweb Figuur 3 Hiermee is het voorschrift van de bovenrand van de ontwikkeling van de onderste cilinder gevonden: y = 63 2 πx tan 22,5 cos 2π met x. In GeoGebra kun je van deze 2 functie één periode tekenen door de volgende instructie in te geven: functie[ 63 2 πx 63 tan 22,5 cos + 40,, 63 ]. 2π Als afwerking heb ik ook de verticale randen bijgetekend (zie figuur 3). Een oplossing: het bovenste stuk De naad nemen we in het verlengde van de naad van het onderste stuk. We zoeken dus weer een formule van de vorm y = a cos bx + d. De onderste rand plaatsen we zo dat de x-as de evenwichtslijn vormt. Dit betekent: d = 0. De periode is dezelfde als bij de vorige functie. Ook de amplitude is dezelfde, want beide cilinders worden even schuin afgesneden om op elkaar te passen. In plaats van een maximum in het midden, hebben we nu een minimum in het midden nodig; we moeten dus een minteken toevoegen bij de amplitude. Dit geeft: met 63 2 y = 63 2π tan cos 2 πx x. Nu nog de bovenrand. De 2 periode, en dus ook de waarde van b, is dezelfde als bij de twee vorige functies. De amplitude is nu gelijk aan de straal van de cilinder (zie figuur 4), dus a = 63 2π. Figuur 4 De verticale verschuiving d is de afstand, gemeten in de richting van de as van deze cilinder, tussen beide evenwichtslijnen. Met figuur 4 vind je Uitwiskeling 29/1 winter

12 Spinnenweb Figuur 5 d = π 2π tan 22,5. Hiermee hebben we het voorschrift van de bovenste rand van de ontwikkeling van de bovenste buis: y = 63 2 πx 63 cos π 63 2π + 63 tan 22,5 2π met x. 2 2 De vlakke ontwikkeling in GeoGebra zie je op figuur 5. In figuur 6 zie je de proef op de som: de uitgeknipte en geplakte cilindertjes. Figuur 6 Bronnen H. Eggermont, G. Hautekiet, L. Van den Broeck (2012), Wiskunde en breien, Uitwiskeling 28/1, p De werktekst De kop van de mouw staat op p Uitwiskeling 29/1 winter 2013

13 Spinnenweb Formules maken in Word 2007/2010 Gerd Hautekiet De meeste wiskundeleerkrachten kunnen ondertussen goed overweg met de vergelijkingseditor Microsoft Vergelijking 3.0, al dan niet aangevuld met Mathtype. Maar bij de laatste versies van Microsoft Office zijn er belangrijke wijzigingen, waaronder een nieuwe formule-editor, die nauwer samenwerkt met de andere mogelijkheden van Word en PowerPoint. Bovendien kun je op de website van Microsoft een gratis invoegtoepassing vinden, Microsoft Wiskundehulp, waarmee symbolische berekeningen binnen Word mogelijk zijn. Ik wil hieronder heel kort ingaan op enkele praktisch bruikbare tips. Ik geef geen volledig overzicht, eerder een snelcursus voor beginners. Hieronder bij de bronnen vind je verwijzingen naar meer uitgebreide online-handleidingen. Regelmatig gebruik en proberen is de enige manier om het echt vlot onder de knie te krijgen. Ook in Uitwiskeling zullen we vanaf nu deze nieuwe formule-editor gebruiken. Cambria Math is het lettertype van de nieuwe formule-editor. Dit lettertype kun je niet eenvoudigweg wijzigen. Vandaar dat we ook voor de rest van ons tijdschrift zijn overgestapt op het bijbehorende lettertype Cambria. Invoegen van een vergelijking kan via het menu Invoegen, π Vergelijking: of sneller door de combinatie van de alt-toets met =. Je verkrijgt dan een vak om je formule in te typen: Je krijgt meteen ook een nieuwe menubalk (zie figuur 1), met drie of vier dialoogvensters, naar gelang je Wiskundehulp al of niet gedownload hebt. Als je een bestaande formule wilt wijzigen, moet je op het pijltje rechts onderaan klikken. Als je buiten het veld klikt, verlaat je de formuleeditor. Je kunt van een tekst achteraf snel een formule maken door die tekst te markeren en dan <alt>= te typen. Ik geef een kort overzicht van de verschillende dialoogvensters om snel aan de slag te kunnen. Extra Met de optie abc Normale tekst kun je gewone tekst typen in de vergelijkingseditor. Dit is erg handig om spaties en kleine bindteksten te typen. Door Vergelijking te kiezen, krijg je een lijstje met een aantal veelgebruikte vergelijkingen. Als je zelf een vergelijking invoert, kun je die ook opslaan als nieuwe vergelijking. Symbolen In dit tabblad (zie figuur 2) vind je de relationele en wiskundige symbolen. Met de schuifbalk rechts kun je er meer zien, al of niet onderverdeeld in categorieën: elementaire wiskunde, Griekse letters, letterachtige symbolen, operators, pijlen, ontkende relaties, schrifttypen en geometrie. Figuur 1 Figuur 2 Uitwiskeling 29/1 winter

14 Spinnenweb Figuur 3 Structuren Onder elk onderdeel van deze werkbalk (zie figuur 3) zit weer een ander palet verborgen, dat je verkrijgt door erop te klikken. Nuttig om weten: i.p.v. de knoppen te gebruiken voor breuken, machtsverheffing kun je deze ook snel intypen in de formule-editor. Door bijvoorbeeld in een vergelijking 1/x <spatie> te typen krijg je automatisch een deftige breuk. Zo ook voor a^2, haakjes die vanzelf de juiste afmeting aannemen Ook handig: je kunt verschillende formules die onder elkaar staan, uitlijnen op het gelijkheidsteken door die formules te selecteren en dan op de rechtermuisknop te klikken. Er verschijnt dan een menu waar je uitlijnen op = kunt kiezen. het afleiden van een goniometrische functie lukt bijvoorbeeld niet. 4(x + 2) (x 3) 4 x 2 4 x 24 Wiskunde Het is mogelijk om tijdens het schrijven in Word bepaalde symbolische berekeningen aan dit programma over te laten. Zoals hiervoor al vermeld, moet je hiervoor de invoegtoepassing Microsoft Wiskundehulp gedownload hebben. Dit levert een extra dialoogvenster Wiskunde in het Word-menu. Voor het uitwerken, ontbinden, afleiden en integreren van veeltermen en rationale vormen werkt dit goed. Ook een grafiek kun je laten tekenen en invoegen in je document. Voor goniometrische functies voldoet het niet altijd, Bronnen Uitwiskeling 29/1 winter 2013

15 Onder de loep Algebra oefenen met inzicht Johan Deprez Regi Op de Beeck Inhoud 1. Inleiding 2. Rekenregels moeten functioneel zijn 3. Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig 4. Van abstract terug naar concreet 5. Vergelijkingen interpreteren met grafieken 6. Loskomen van standaardoplossingsmethoden 7. Globaal kijken naar uitdrukkingen 8. Algebra inzetten om patronen te beschrijven 9. Variatie in de vraagstelling 10. Omkeervragen 11. Slimme rijtjes 12. Niet te snel en niet teveel verkorten 13. Spaarzaam zijn met formules 14. Niet alleen successen maar ook mislukkingen 15. Tot slot 1. Inleiding 1.1. De peiling wiskunde tweede graad aso als aanleiding De resultaten van de peiling Sinds 2002 laat de Vlaamse overheid peilingsonderzoeken uitvoeren in het onderwijs. Dit zijn grootschalige onderzoeken die nagaan in welke mate de leerlingen de eindtermen behalen. In mei 2012 werden de resultaten van de peiling wiskunde in de tweede graad aso bekend gemaakt. In tabel 1 (van Nijlen, 2012) vind je het percentage leerlingen dat de eindtermen beheerst, per onderwerp en volgens de studierichting. Je merkt dat de prestaties van de leerlingen sterk variëren volgens de studierichting: leerlingen uit Wetenschappen en Klassieke talen scoren in het algemeen redelijk goed, maar de resultaten van leerlingen uit Humane wetenschappen zijn alarmerend. Er zijn ook grote verschillen naargelang het onderwerp. Voor een aantal domeinen zijn de resultaten goed of redelijk. Voor twee domeinen zijn de resultaten echter duidelijk beneden de verwachting. Slechts de helft van de leerlingen heeft de eindtermen over getallenleer en algebra onder de knie. De resultaten voor dit onderwerp zijn weliswaar eerder goed voor de studierichting Klassieke talen en redelijk voor Wetenschappen, maar ze zijn ronduit dramatisch voor Humane wetenschappen, waar er nauwelijks leerlingen zijn die deze eindtermen halen. Voor functies van de eerste en tweede graad haalt minder dan de helft van de leerlingen de eindtermen. Ook hier is er een erg slecht resultaat voor Humane wetenschappen. Bovendien stellen nu ook de resultaten voor de studierichtingen Klassieke talen en Wetenschappen enigszins teleur. Inzoomen op algebra en functies van de eerste en tweede graad Bij het onderwerp getallenleer en algebra gaat het onder andere over de rekenregels voor machten en vierkantswortels, ontbinden in factoren, oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden van de eerste en tweede graad en oplossen van 2 2-stelsels. Uitwiskeling 29/1 winter

16 Onder de loep klassieke talen sport humane onderwerp TOTAAL economie wetenschappen wetenschappen getallenleer en algebra 51% 27% 10% 78% 56% 72% reële functies 75% 68% 32% 91% 88% 85% functies van de 1 ste en 2 de graad 42% 25% 8% 66% 30% 69% problemen oplossen met algebra en 64% 52% 30% 81% 62% 73% functies vlakke meetkunde 63% 40% 34% 84% 45% 74% driehoeksmeting 58% 40% 16% 81% 58% 71% ruimtemeetkunde 56% 36% 23% 77% 43% 78% statistiek 76% 70% 56% 87% 69% 80% Tabel 1 Het onderwerp functies van de eerste en tweede graad sluit daar (met uitzondering van één eindterm over differentiequotiënt) nauw bij aan, maar dan bekeken door een functionele bril. Bij veel toetsopgaven was wat extra inzicht nodig. Het gaat dan bijvoorbeeld over het grafisch interpreteren van de oplossingen van vergelijkingen en ongelijkheden en het opstellen van de vergelijking van een eerstegraadsfunctie op basis van een grafiek of tabel. Bij beide onderwerpen moet je in eerste instantie denken aan kale opgaven. Het oplossen van problemen is immers ondergebracht bij een ander domein, namelijk problemen oplossen met algebra en functies (dat overigens beter scoort). Enkele voorbeeldopgaven Hieronder vind je een voorbeeldopgave over de rekenregels van machten (van Nijlen, 2012). Bij elk antwoordalternatief is aangegeven hoeveel leerlingen dat alternatief kozen. We zien dat een kwart van de leerlingen niet kan weerstaan aan de verleiding om de grondtallen te vermenigvuldigen. Opgaven met letters worden iets beter opgelost omdat die verleiding daar niet optreedt. Als de grondtallen ingewikkelder zijn (bijvoorbeeld met een wortel erin), lossen minder leerlingen de opgave goed op. In de volgende voorbeeldopgave gaat het over het oplossen van een ongelijkheid van de tweede graad. Hoewel het een erg braaf exemplaar is (reeds in de standaardvorm, eenvoudige coëfficiënten en wortels), zijn de resultaten bedroevend (zeker als je bedenkt dat je al 25% goede antwoorden mag verwachten op basis van puur gokken). Natuurlijk is het niet allemaal kommer en kwel. Vergelijkingen geven betere resultaten dan ongelijkheden en ongelijkheden van de eerste graad worden beter opgelost dan die van de tweede graad. Van de peiling naar deze loep We kunnen de slechte resultaten voor deze twee onderwerpen niet toeschrijven aan een te hoge moeilijkheidsgraad van de afgenomen toetsen. Integendeel, de twee voorbeelden laten zien dat de toetsopgaven juist gebaseerd zijn op een eerder voorzichtige interpretatie van de eindtermen. Leerkrachten gaven in de bijgevoegde vragenlijst aan dat ze deze twee onderwerpen belangrijk vinden en dat ze er veel tijd aan besteden in de lessen. Daar moeten we de oorzaak dus ook niet zoeken. We denken zelf aan een geheel van diverse oorzaken. Om de grote problemen bij Humane wetenschappen op te lossen, zal het nodig zijn om actie te ondernemen op meerdere terreinen. Zo vragen we ons af of een deel van de oplossing niet gezocht moet worden in een betere (en minder vrijblijvende?) oriëntering na de eerste graad, in het teruggaan naar een groter onderscheid tussen sterke en minder sterke wiskunde in de tweede graad aso met een dubbele set eindtermen, in maatregelen die leerlingen aanzetten om harder te werken voor wiskunde 16 Uitwiskeling 29/1 winter 2013

17 Onder de loep Dat zijn echter allemaal sleutels die we als leerkrachten niet zelf in handen hebben. Waar we zelf wél werk van kunnen maken, is het verder verbeteren van onze didactische aanpak op het vlak van algebra. Het is daarover dat deze loep gaat Algebradidactiek optimaliseren Rekenvaardigheid én inzicht We zijn niet de enige regio in de wereld die problemen vaststelt op het vlak van algebra. Integendeel, het lijkt wel alsof er geen landen zonder algebraproblemen bestaan. Als je het in internationaal perspectief bekijkt, zijn er eerder aanwijzingen dat het bij ons al bij al nog redelijk goed gaat. Klachten over gebrekkige algebraïsche vaardigheden van de leerlingen zijn trouwens ook van alle tijden. De moeilijkheden van leerlingen met algebra zijn al heel lang goed gedocumenteerd in de wetenschappelijke literatuur over wiskundedidactiek. Het is dus allerminst een nieuw gegeven. Dat is natuurlijk geen excuus om ons zomaar hierbij neer te leggen. Per slot van rekening merken we dat de doelen die we zelf gesteld hebben niet bereikt worden. Wel leert het wijdverspreide en blijvende karakter van de moeilijkheden dat we ons moeten hoeden voor al te simpele oplossingen. Het wondermiddel om ervoor te zorgen dat leerlingen perfect presteren voor algebra lijkt vooralsnog niet uitgevonden te zijn Als er iets duidelijk is uit wetenschappelijk onderzoek i.v.m. algebradidactiek, dan is het wel dat we niet uitsluitend mogen inzetten op het inoefenen van een aantal basisvaardigheden. Kieran (2007) schrijft in dat verband: [S]tudies over several decades ha[ve] shown that an exclusively skills-based approach to the teaching of algebra did not lead to skilled performance among algebra students [ ]. Nor, according to the ample number of studies of the late 1970s and 1980s, ha[ve] such approaches led to students being able to interpret adequately the various ways in which letters are used in algebra [ ], or the structural features of algebraic expressions [ ], or equivalence constraints on equations and equation solving [ ]. (p. 707) We kennen het zelf ook wel uit onze eigen ervaring. Het leidt bijvoorbeeld tot leerlingen die een vergelijking als (x 2)(x 3) = 5(x 2) oplossen door eerst de haakjes uit te werken. Of die bij het zien van een kwadratische uitdrukking in een pavloviaanse reactie meteen een discriminant berekenen, ook als die helemaal niet nodig is. Of nog: leerlingen die machteloos staan als ze vaststellen dat ze een formule vergeten zijn. We mogen daarom niet uitsluitend inzetten op veelvuldig oefenen, maar moeten integendeel aansturen op een goede combinatie van rekenvaardigheid en inzicht in wat er moet gebeuren. Niet alleen leren met inzicht maar ook oefenen met inzicht In de loep van Uitwiskeling 24/1 (winter 2008) over algebra met applets hebben we al uitgebreid met voorbeelden geïllustreerd hoe je bij het aanbrengen van de leerstof inzicht in algebra kunt ontwikkelen. Het ging in die loep bijvoorbeeld over het introduceren van letters om te veralgemenen, meetkundig voorstellen van bewerkingen en leren oplossen van tweedegraadsvergelijkingen. Het is zeker de moeite waard om deze loep terug ter hand te nemen. Nu willen we ons vooral toespitsen op een ander onderdeel van het leerproces, namelijk het inoefenen van wat geleerd is. Natuurlijk moet je na het aanbrengen van een techniek een zekere tijd reserveren voor het leren gebruiken ervan in directe toepassingen en het is ook belangrijk dat leerlingen voelen dat ze de techniek onder de knie hebben. Daarna moet je verstandig oefenen door ervoor te zorgen dat je bij het oefenen een beroep blijft doen op inzicht. We geven in deze loep heel wat voorbeelden van wat dit oefenen met inzicht zoal kan inhouden. We hebben ons gebaseerd op onze eigen ervaringen, maar vonden ook heel wat inspiratie in een artikel over oefenen in algebra van de hand van Martin Kindt (2006) en in het hoofdstuk over algebra in een pas verschenen handboek wiskundedidactiek (Drijvers & Kop, 2012). Wat je in deze loep vindt De peiling die de aanleiding was voor deze loep ging over de tweede graad aso. De voorbeelden en ideeën uit deze loep zijn echter ook van toepassing in andere contexten: de eerste graad, tweede graad kso en tso en algebra-achtige onderwerpen in de derde graad (zoals het berekenen van afgeleiden, het oplossen van exponentiële vergelijkingen ). Uitwiskeling 29/1 winter

18 Onder de loep De loep is een menukaart geworden met veel kleine gerechtjes. De paragrafen zijn kort, maar het zijn er veel. Elke paragraaf werkt één gedachte uit of laat één manier zien om op een verstandige manier met algebra te oefenen. Sommige daarvan ken je misschien al en enkele andere spreken je misschien minder aan, maar we zijn ervan overtuigd dat je op onze menukaart ook een aantal gerechtjes zult vinden die je in je klaspraktijk zal verwerken! 2. Rekenregels moeten functioneel zijn Algebra bevat vele rekenregels en eigenschappen die leerlingen moeten kennen opdat ze succesvol kunnen rekenen, vergelijkingen kunnen oplossen, uitdrukkingen kunnen vereenvoudigen... Maar zo n rekenregel is niet in elke situatie per se functioneel, bijvoorbeeld omdat je de opgave soms eenvoudiger op een andere manier kunt oplossen. We vermelden twee voorbeelden om dit te illustreren. De distributieve eigenschap speelt een belangrijke rol in de algebra van de eerste graad. Zo moet je bij een som of verschil met letters of met wortels deze eigenschap wel gebruiken om tot een resultaat te komen: 4(2x + 3y) = 4 2x 4 3y = 8x 12y 3a 2a + 7a = ( )a = 8a = (5 11) 2 = 6 2 Ook als de opgave louter uit gewone getallen bestaat, kan distributiviteit soms zinvol toegepast worden, zoals bijvoorbeeld in 8 89 = 8 (90 1) = = = 712. Vaak is het toepassen van distributiviteit echter juist niet efficiënt: 10 (5 + 4) = = = 90 versus 10 (5 + 4) = 10 9 = 90. We moeten dus voorkomen dat leerlingen bij het zien van haakjes automatisch die haakjes willen wegwerken via distributiviteit. Hiervoor is het belangrijk om zinvolle voorbeelden te kiezen zowel bij het aanbrengen van de eigenschap als bij het inoefenen ervan. Het laatste voorbeeld kan wel zinvol zijn als leerlingen in een latere fase twijfelen aan de rekenregel en die willen testen door getallen in te vullen, maar dan werk je best met kleinere getallen, zoals: 2 (3 + 4). In paragraaf 4 komt dit aspect opnieuw aan bod. In sommige handboeken vind je de rekenregel a + c = ad+bc. Deze regel is natuurlijk niet b d bd foutief, maar in de praktijk ga je zo niet te werk. Je past niet de formule toe, maar gebruikt een algoritme: je vereenvoudigt eerst de afzonderlijke breuken en maakt ze dan gelijknamig door het kleinste gemene veelvoud van de noemers te nemen. In vele gevallen is die overigens zelfs niet gelijk aan bd. Het heeft dan ook weinig zin om deze regel te vermelden. 3. Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig We leiden dit aspect in met een mooi citaat van Tall en Thomas (1991): There is a stage in the curriculum when the introduction of algebra may make simple things hard, but not teaching algebra will soon render it impossible to make hard things simple. (p. 128) Leerlingen kunnen in de basisschool al heel wat problemen oplossen zonder gebruik te maken van algebraïsche uitdrukkingen. In het secundair onderwijs worden (eenvoudige) vraagstukken aangepakt via het opstellen en oplossen van een vergelijking. We zouden meer zorg moeten besteden aan het maken van deze overgang, waarbij we beide methoden met elkaar verbinden. De oplossingsmethoden uit de basisschool zijn niet minderwaardig aan die uit het secundair. Eenvoudige problemen kun je vaak op beide manieren oplossen en dan is de algebraloze manier meestal efficiënter. Moeilijkere problemen kun je daarentegen beter met algebra oplossen. Door dit expliciet te laten zien, zet je het nut en de kracht van de algebraïsche oplossingsmethode in de verf. De volgende werktekst illustreert dit. We gaan ervan uit dat het werken met een onbekende en een vergelijking vooraf al aangebracht is. Omdat er in de vraagstelling ook aandacht is voor andere methoden, kunnen de leerlingen zelf vergelijken en de meerwaarde ontdekken van de formele aanpak. 18 Uitwiskeling 29/1 winter 2013

19 Onder de loep begin werktekst Problemen oplossen via een onbekende en een vergelijking De som van 9 en het dubbele van een getal is 87. Bereken dit getal. 1. Los dit probleem op door een onbekende te kiezen, hiermee een vergelijking op te stellen en deze op te lossen. 2. Je kunt het probleem ook oplossen zonder gebruik te maken van een vergelijking. Hoe? Antwoord: als je van 87 het getal 9 aftrekt en het resultaat deelt door 2, krijg je het gevraagde resultaat. Als je een getal deelt door 3 en daar dan 2 bij optelt, verkrijg je Los ook dit probleem op zonder een vergelijking op te stellen. Antwoord: als je van 1 het getal 2 aftrekt en het resultaat vermenigvuldigt met 3, krijg je het gevraagde resultaat. Lies en Hans krijgen een geschenkbon van 400 voor een citytrip naar Barcelona. Het vervoer kost 130 en voor de hotelkamer wordt 90 per nacht aangerekend. Hoeveel nachten kunnen ze in het hotel verblijven? 4. Los dit nieuwe probleem op twee verschillende manieren op, een keer zonder vergelijking en een keer met vergelijking. Bij laagwaterstand steekt een paal voor een derde boven het water uit. Bij hoogwaterstand is het water 50 cm gestegen ten opzichte van de laagwaterstand en steekt de paal voor slechts een vijfde boven het water uit. Bepaal de lengte van de paal. 5. Kun je dit probleem oplossen zonder een vergelijking op te stellen? Zo ja, doe dit en vergelijk je resultaat met het antwoord op vraag 6. Zo nee, ga dadelijk naar vraag Bereken de lengte van de paal met behulp van een vergelijking. Antwoord: 2 x + 50 = 4 x of 1 x 50 = 1 x naargelang je verwijst naar het deel onder water of het deel boven water, met x = lengte van de paal. Los de volgende problemen op. Kies zelf of je dat met of zonder vergelijking doet. 7. Wielrenner Bram volgt een strikt trainingsschema. De eerste dag fietst hij een opgelegde afstand en vanaf dan moet hij elke dag 3 km meer fietsen. Na vijf dagen heeft hij in totaal al 150 km gefietst. Welke afstand fietste Bram de eerste dag? 8. De som van drie opeenvolgende gehele getallen is 27. Geef het kleinste getal. Uitwiskeling 29/1 winter

20 Onder de loep 9. Een motorrijder had in totaal twee uren nodig om 187,5 km af te leggen. Op de autosnelweg reed hij met een gemiddelde snelheid van 110 km/h en in de bebouwde kom haalde hij gemiddeld 45 km/h. Hoeveel tijd reed hij respectievelijk op de autosnelweg en in de bebouwde kom? 10. Maarten heeft vandaag 42 km meer gereden dan het dubbel van het aantal kilometer dat hij gisteren aflegde. Gisteren en vandaag reed hij in totaal 222 km. Hoeveel km reed hij gisteren? einde werktekst De eenvoudige problemen uit de werktekst kunnen zonder vergelijking opgelost worden via de omkeermethode : vertrek vanuit het resultaat en voer de omgekeerde bewerkingen in de aangepaste volgorde uit. Via de vragen 1 en 2 kun je aantonen dat bij het oplossen van de vergelijking net dezelfde stappen toegepast worden als bij de omkeermethode. Bij de moeilijkere voorbeelden uit de werktekst lijkt het opstellen en oplossen van een eerstegraadsvergelijking echter de meest efficiënte methode. Laat leerlingen dus zeker de meerwaarde ontdekken van deze formele aanpak, vooraleer je reeksen eerstegraadsvergelijkingen laat oplossen. Ook nadat leerlingen ingewijd zijn in het werken met onbekenden en vergelijkingen, is het goed om hen te blijven herinneren aan het nut van het algebraïsch werken. Een goede afwisseling tussen 'droge' vergelijkingen en vraagstukken oefent zowel de algebraïsche vaardigheid als het inzicht. Leerlingen mogen bij eenvoudige opgaven natuurlijk ook de omkeermethode gebruiken. Ze moeten reflexen ontwikkelen om de meest efficiënte strategie toe te passen, ook al is dat niet de methode die net in de les aan bod kwam. Het is echter mogelijk dat leerlingen zelfs bij eenvoudige voorbeelden met een vergelijking willen werken, omdat deze aanpak hen een houvast geeft. Overigens geldt flexibiliteit ook binnen de algebraïsche oplossingsmethoden zelf. Het probleem in vraag 9 kun je oplossen met één onbekende en één vergelijking, waardoor het in de eerste graad al aan bod kan komen. Zodra je hebt leren werken met 2 2-stelsels kun je het ook met twee onbekenden en twee vergelijkingen oplossen. 4. Van abstract terug naar concreet Niet iedereen onthoudt en redeneert op dezelfde manier. De ene onthoudt een formule best in symbolen, een andere heeft meer aan de formulering in woorden. Nog anderen zijn eerder grafisch ingesteld: een beeld zegt voor hen zoveel meer dan woorden. Sommige leerlingen herinneren sprekende voorbeelden, anderen zullen bij twijfel een formule narekenen. Door aandacht te hebben voor deze verschillende voorstellingsvormen helpen we onze leerlingen om inzicht op te bouwen. Je moet dat uiteraard doen bij het aanbrengen van de leerstof, maar het is even belangrijk om er later naar terug te grijpen, bijvoorbeeld op momenten dat leerlingen nog fouten maken. Algebra mag dan wel als wezenlijk kenmerk hebben dat het concrete dingen abstract maakt, toch is het zo dat wie problemen heeft met algebra, vaak een oplossing vindt in de omgekeerde weg: maak het abstracte opnieuw concreet. We illustreren dit met een aantal voorbeelden. Zien Bij het oplossen van een eerstegraadsvergelijking moet je vaak de distributieve eigenschap gebruiken (haakjes uitwerken), wat eenvoudig meetkundig geïllustreerd wordt via de oppervlakte van rechthoeken. 3(x + 2) = 3x + 6 Dezelfde meetkundige voorstelling kan ook gebruikt worden om de formule voor het kwadraat van een éénterm, een tweeterm en eventueel ook een drieterm te visualiseren (zie figuur 1). Ook aan de derdemacht van een tweeterm kun je een meetkundige interpretatie geven (zie figuur 2). Je kunt leerlingen van de bovenstaande voorbeelden een memofiche of poster laten maken. Op die manier visualiseer je eigenschappen en formules op twee verschillende manieren (meetkundige illustratie en formule in symbolen). Zo vergroot je ook de kans dat minstens één aanpak een plaats in het geheugen krijgt. Natuurlijk kun je hiernaar ook verwijzen als leerlingen de 20 Uitwiskeling 29/1 winter 2013

ixüä xá zxxç à }w wééü â àx {ttáàxç

ixüä xá zxxç à }w wééü â àx {ttáàxç ixüä xá zxxç à }w wééü â àx {ttáàxç Wiskundeleerkrachten onder druk Dit artikel wordt geschreven ter afronding van de opleiding Bachelor in het secundair onderwijs aan de Katholieke Hogeschool Limburg.

Nadere informatie

Wiskunde en ICT 1. Met het lettertype wiskunde.ttf kan je onderstaande wiskundige symbolen invoegen.

Wiskunde en ICT 1. Met het lettertype wiskunde.ttf kan je onderstaande wiskundige symbolen invoegen. Vergelijkingseditor 2010 Wiskunde Module 1a Wiskunde en ICT 1 WISKUNDE EN ICT Tijdens de lessen wiskunde op deze hogeschool met de laptop moet je ook voor wiskunde de laptop zinvol gebruiken. Dat dit niet

Nadere informatie

PERSBERICHT Peiling wiskunde in de tweede graad algemeen secundair onderwijs

PERSBERICHT Peiling wiskunde in de tweede graad algemeen secundair onderwijs PERSBERICHT Peiling wiskunde in de tweede graad algemeen secundair onderwijs een onderzoek in opdracht van Pascal Smet, Vlaams minister van Onderwijs, Jeugd, Gelijke Kansen en Brussel Contactgegevens -

Nadere informatie

Vergelijkingseditor 2007

Vergelijkingseditor 2007 Vergelijkingseditor 2007 Wiskunde Module 1a Wiskunde en ICT 1 WISKUNDE EN ICT Tijdens de lessen wiskunde op deze hogeschool met de laptop moet je ook voor wiskunde de laptop zinvol gebruiken. Dat dit niet

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

De 10 e editie havo-vwo OB

De 10 e editie havo-vwo OB De 10 e editie havo-vwo OB Presentatie havo/vwo onderbouw 10 e editie 1 HAVO/VWO 1 VWO 2 HAVO 2 HAVO/VWO 2 VWO De delen 10 e editie onderbouw 3 HAVO deel 1 3 HAVO deel 2 3 VWO deel 1 3 VWO deel 2 Presentatie

Nadere informatie

Onder de loep. Algebra oefenen met inzicht. 1. Inleiding. Inhoud. 1.1. De peiling wiskunde tweede graad aso als aanleiding

Onder de loep. Algebra oefenen met inzicht. 1. Inleiding. Inhoud. 1.1. De peiling wiskunde tweede graad aso als aanleiding Algebra oefenen met inzicht Johan Deprez Regi Op de Beeck Inhoud 1. Inleiding 2. Rekenregels moeten functioneel zijn 3. Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig 4. Van abstract terug naar concreet 5. Vergelijkingen

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie

Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht

Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht Wiskunde als inspiratie voor een zoektocht INLEIDING Een aantal jaar geleden leerde ik een nieuw spel kennen: geocaching. Dit is in feite een zoektocht waarbij je gebruik maakt van GPS-coördinaten. Op

Nadere informatie

VERGELIJKINGSEDITOREN

VERGELIJKINGSEDITOREN VERGELIJKINGSEDITOREN De vergelijkingseditor van Word 2007 en Word 2010 Om wiskunde symbolen, tekst in te voegen kan je beroep doen op de in Word ingebouwde vergelijkingseditor. Daarvoor: selecteer het

Nadere informatie

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2 handleiding haakjes inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de opzet van haakjes 3 bespreking per paragraaf 5 rekenen trek-af-van tegengestelde tweetermen merkwaardige producten tijdpad 6 materialen voor een klassengesprek

Nadere informatie

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Toelichtingen: Wat op de volgende bladzijden volgt is een werktekst met antwoorden rond het zoeken van rechthoekige driehoeken

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

WISKUNDE EN ICT. 1 Wiskundige symbolen N, R, 2 Symbolen

WISKUNDE EN ICT. 1 Wiskundige symbolen N, R, 2 Symbolen Vergelijkingseditor 2003 Module 1a en ICT 1 WISKUNDE EN ICT Tijdens de lessen wiskunde op deze hogeschool met de laptop moet je ook voor wiskunde de laptop zinvol gebruiken. Dat dit niet zo evident is,

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en):

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en): Wiskunde, LTP leerjaar 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 26 De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100 1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder

Nadere informatie

Tussendoelen in MathPlus

Tussendoelen in MathPlus MALMBERG UITGEVERIJ B.V. Tussendoelen in MathPlus Versie 1 Inhoud Tussendoelen onderbouw in MathPlus... 2 Tabel tussendoelen... 2 1HVG... 7 Domein Rekenen... 7 Domein Meten en tekenen... 9 Domein Grafieken

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

Vergelijkingen met één onbekende

Vergelijkingen met één onbekende - 89 - Hoofdstuk 3: ergelijkingen met één onbekende Opgave boek pag 67 nr. 5: Los op in R a. 3 ( + ) 4 7.................. {... }... proef : 1 e lid :... e lid :... b. ( 3 ) + 7 5 ( )........................

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Microsoft Excel is een rekenprogramma. Je kan het echter ook heel goed gebruiken voor het maken van overzichten, grafieken, planningen, lijsten en scenario's.

Nadere informatie

Getallen 1 is een computerprogramma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip).

Getallen 1 is een computerprogramma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip). Getallen 1 Getallen 1 is een computerprogramma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip). Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 1 Getallen 1 is geschikt voor groep 7 en 8 van de basisschool

Nadere informatie

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN?

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? Voor de GETALLENLEER worden concreet volgende doelstellingen nagestreefd: Begripsvorming

Nadere informatie

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Hoofdstuk 1 Rekenen Hoofdstuk 2 Lineaire verbanden Hoofdstuk 3 Vlakke meetkunde Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Hoofdstuk 5 Statistiek Hoofdstuk 6 Ruimtemeetkunde Hoofdstuk

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

ICT-implementatieplan 1e graad - wiskunde

ICT-implementatieplan 1e graad - wiskunde ICT-implementatieplan 1e graad - wiskunde 1) Het gebruik van rekenmachine a) Visie correct gebruik van de rekenmachine Tijdens de lessen wiskunde willen we het gebruik van de rekenmachine correct aanleren:

Nadere informatie

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14 Statistiek met Excel Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Schoolexamen Wiskunde VWO: Statistiek met grote datasets... 5 Uibreidingsopdrachten vwo 5... 6 Schoolexamen

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Tekenen. Het zijn natuurlijk de extra tools die het tekenen op een digitaal bord heel krachtig maken:

Tekenen. Het zijn natuurlijk de extra tools die het tekenen op een digitaal bord heel krachtig maken: 1 Inleiding In deze korte sessie kan je kennismaken met een aantal mogelijkheden die een digitaal bord biedt in lessen wiskunde. Het is niet de bedoeling om alle toeters en bellen van digitale borden te

Nadere informatie

20 De leerling leert alleen en in samenwerking met anderen in praktische situaties wiskunde te herkennen en te gebruiken om problemen op te lossen

20 De leerling leert alleen en in samenwerking met anderen in praktische situaties wiskunde te herkennen en te gebruiken om problemen op te lossen Onderwerp: Kwadraten en Wortels H1 19 De leerling leert passende wiskundetaal te gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan anderen, en leert de wiskundetaal van anderen te begrijpen.

Nadere informatie

Dossieropdracht 3. Analyse 1 - Didactiek

Dossieropdracht 3. Analyse 1 - Didactiek Dossieropdracht 3 Analyse 1 - Didactiek Naam: Thomas Sluyter Nummer: 1018808 Jaar / Klas: 1e jaar Docent Wiskunde, deeltijd Datum: 22 november, 2007 Samenvatting Het realistische wiskundeonderwijs heeft

Nadere informatie

Beheersen de leerlingen uit de 2de graad aso de eindtermen wiskunde? Resultaten van de peiling van mei 2011. Situering. kennismaking.

Beheersen de leerlingen uit de 2de graad aso de eindtermen wiskunde? Resultaten van de peiling van mei 2011. Situering. kennismaking. kennismaking Beheersen de leerlingen uit de 2de graad aso de eindtermen wiskunde? Resultaten van de peiling van mei 2011. Johan Deprez Dag van de wiskunde, Kortrijk 17&24/11/12 mijn achtergrond: vakdidacticus

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

Rekenen met de procentenstrook

Rekenen met de procentenstrook Rekenen met de procentenstrook Volgens Bartjens Frans van Galen en Dolly van Eerde Kinderen weten aan het eind van de basisschool heus wel wat procenten zijn: een percentage geeft aan om hoeveel honderdsten

Nadere informatie

Inhoud. Inleiding... 9

Inhoud. Inleiding... 9 Inhoud Inleiding.............................................................. 9 Hoofdstuk 1: Rekenen met getallen en letters............................ 15 De symbolen ontcijferen..................................

Nadere informatie

Onderwijsbehoeften: - Korte instructie - Afhankelijk van de resultaten Test jezelf toevoegen Toepassing en Verdieping

Onderwijsbehoeften: - Korte instructie - Afhankelijk van de resultaten Test jezelf toevoegen Toepassing en Verdieping Verdiepend Basisarrange ment Naam leerlingen Groep BBL 1 Wiskunde Leertijd; 5 keer per week 45 minuten werken aan de basisdoelen. - 5 keer per week 45 minuten basisdoelen toepassen in verdiepende contexten.

Nadere informatie

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Dr Didier Deses KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com Inleiding Wat omvat ICT in de wiskunde? Rekenmachine Wetenschappelijk Grafisch Symbolisch

Nadere informatie

Kwalitatieve prestatieverschillen in de peiling wiskunde tweede graad algemeen secundair onderwijs Daniël Van Nijlen, Hanne Damen en Rianne Janssen

Kwalitatieve prestatieverschillen in de peiling wiskunde tweede graad algemeen secundair onderwijs Daniël Van Nijlen, Hanne Damen en Rianne Janssen Kwalitatieve prestatieverschillen in de peiling wiskunde tweede graad algemeen secundair onderwijs Daniël Van Nijlen, Hanne Damen en Rianne Janssen Inhoud Inleiding Theoretisch kader Methode Resultaten

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

GETAL& RUIMTE. Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007

GETAL& RUIMTE. Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007 Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007 Havo A deel 1 begint met het niet-examenonderwerp Statistiek (was hoofdstuk 4). Al snel wordt de grafische rekenmachine ingezet en ook bij de andere

Nadere informatie

Getallen 1 is een programma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip).

Getallen 1 is een programma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip). Getallen 1 Getallen 1 is een programma voor het aanleren van de basis rekenvaardigheden (getalbegrip). Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 1 Getallen 1 is geschikt voor groep 7 en 8 van de basisschool

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Dat akelige rekenen. Mario M. Montessori. Een herdruk uit AMI Communications AMI 1960 Gepubliceerd met toestemming; als eerbetoon aan Kit Steenberghe

Dat akelige rekenen. Mario M. Montessori. Een herdruk uit AMI Communications AMI 1960 Gepubliceerd met toestemming; als eerbetoon aan Kit Steenberghe Dat akelige rekenen Mario M. Montessori Een herdruk uit AMI Communications AMI 1960 Gepubliceerd met toestemming; als eerbetoon aan Kit Steenberghe Is rekenen eigenlijk wel zo akelig? Lees dit eens. Het

Nadere informatie

Instructies zijn niet alleen visueel, maar ook auditief, met hoogkwalitatief ingesproken geluid (geen computerstem).

Instructies zijn niet alleen visueel, maar ook auditief, met hoogkwalitatief ingesproken geluid (geen computerstem). Getallen 3 Doelgroep Getallen 3 is bedoeld voor leerlingen in klas 3-5 van de havo, klas 3-6 van het vwo en in mbo 3&4. Het programma is bijzonder geschikt voor groepen waarin niveauverschillen bestaan.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Docent: Monica Wijers Groep 1. Conny van der Spoel Melek Abaydogan Shirley Slamet

Docent: Monica Wijers Groep 1. Conny van der Spoel Melek Abaydogan Shirley Slamet Docent: Monica Wijers Groep 1 Conny van der Spoel Melek Abaydogan Shirley Slamet Inhoudsopgave Inleiding... 2 Probleemstelling... 3 Onderzoek... 4 Wijze van Aanpak... 4 Verwerking... 5 Conclusie... 6 Bijlagen:

Nadere informatie

3 Pythagoras 90. 4 Statistiek 128

3 Pythagoras 90. 4 Statistiek 128 2BK1 2KGT1 Voorkennis 1 Meetkunde 6 1 Vlakke figuren 8 1.1 Namen van vlakke figuren 10 1.2 Driehoeken 15 1.3 Driehoeken tekenen 19 1.4 Vierhoeken 24 1.5 Hoeken berekenen in een vierhoek 30 1.6 Gemengde

Nadere informatie

Deel 7: PowerPoint. Presentaties gemakkelijker maken

Deel 7: PowerPoint. Presentaties gemakkelijker maken Deel 7: PowerPoint Presentaties gemakkelijker maken De mogelijkheden van PowerPoint als ondersteunend middel voor een gedifferentieerde begeleiding van leerlingen met beperkingen. CNO Universiteit Antwerpen

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

attitudes zelfstandig leren kennis vaardigheden

attitudes zelfstandig leren kennis vaardigheden zelfstandig leren Leren leren is veel meer dan leren studeren, veel meer dan sneller lijstjes blokken of betere schema s maken. Zelfstandig leren houdt in: informatie kunnen verwerven, verwerken en toepassen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Deel 1: PowerPoint Basis

Deel 1: PowerPoint Basis Deel 1: PowerPoint Basis De mogelijkheden van PowerPoint als ondersteunend middel voor een gedifferentieerde begeleiding van leerlingen met beperkingen. CNO Universiteit Antwerpen 1 Deel 1 PowerPoint Basis

Nadere informatie

3. Bouwsteen 3: Evalueren en bijsturen van de persoonlijke leerkrachtstijl

3. Bouwsteen 3: Evalueren en bijsturen van de persoonlijke leerkrachtstijl 3. Bouwsteen 3: Evalueren en bijsturen van de persoonlijke leerkrachtstijl Jo Voets, orthopedagoog, gedragstherapeut en pedagogisch directeur van het Centrum Bethanië (Genk), is al jarenlang een groot

Nadere informatie

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk)

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk) Breuken in de breuk update juli 2013 WISNET-HBO De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

MathType 6 Wiskunde Module 1a Greet Verhelst

MathType 6 Wiskunde Module 1a Greet Verhelst MathType 6 Wiskunde Module 1a Wiskunde en ICT 1 WISKUNDE EN ICT Tijdens de lessen wiskunde op deze hogeschool met de laptop moet je ook voor wiskunde de laptop zinvol gebruiken. Dat dit niet zo evident

Nadere informatie

WETENSCHAPPELIJK TEKENEN

WETENSCHAPPELIJK TEKENEN WETENSCHAPPELIJK TEKENEN TWEEDE GRAAD TSO TECHNIEK-WETENSCHAPPEN COMPLEMENTAIR LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS VVKSO BRUSSEL (Vervangt leerplan D/1998/0279/021A vanaf 1 september 2013) Vlaams Verbond van

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Inhoud. Introductie tot de cursus

Inhoud. Introductie tot de cursus Inhoud Introductie tot de cursus 1 Inleiding 7 2 Voorkennis 7 3 Het cursusmateriaal 7 4 Structuur, symbolen en taalgebruik 8 5 De cursus bestuderen 9 6 Studiebegeleiding 10 7 Huiswerkopgaven 10 8 Het tentamen

Nadere informatie

HET SPINNENWEB. Een vierde verdeler. Luc Van den Broeck. Eén leverancier

HET SPINNENWEB. Een vierde verdeler. Luc Van den Broeck. Eén leverancier HET SPINNENWEB Een vierde verdeler Luc Van den Broeck En hoe zit het nu wanneer er vier verdelers op mijn shortlist staan?, heb je wellicht gedacht na het lezen van het spinnenwebartikel over het kiezen

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Biljarten op een ellips. Lab kist voor 3-4 vwo

Biljarten op een ellips. Lab kist voor 3-4 vwo Biljarten op een ellips Lab kist voor 3-4 vwo Dit lespakket behoort bij het ellipsvormige biljart van de ITS Academy. Ontwerp: Pauline Vos, in opdracht van Its Academy Juni 2011 Leerdoelen: - kennismaken

Nadere informatie

31 Rekenonderwijs: traditioneel of realistisch. 1 Inleiding

31 Rekenonderwijs: traditioneel of realistisch. 1 Inleiding DC 31 Rekenonderwijs: traditioneel of realistisch 1 Inleiding Het rekenonderwijs is in de laatste vijfentwintig jaar veranderd. De traditionele methode is aan de kant geschoven en het realistisch rekenen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE. Deliverable 3.2. Hans Cuypers en Henk van der Kooij

Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE. Deliverable 3.2. Hans Cuypers en Henk van der Kooij Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE Deliverable 3.2 Hans Cuypers en Henk van der Kooij Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de VWO-WISKUNDE de onderwerpen vaststellen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Verwerkingsopdrachten bijhet hoofdstuk Mondelinge opdrachten geven Doelstelling 3.

Verwerkingsopdrachten bijhet hoofdstuk Mondelinge opdrachten geven Doelstelling 3. Verwerkingsopdrachten bijhet hoofdstuk Mondelinge opdrachten geven Doelstelling 3. 1 OPDRACHT 1 Bekijk hetvolgende lijstje mondelinge opdrachten. Probeer elke opdracht te analyseren: welke soort opdracht

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

In een verzorgd document horen opsommingen en nummeringen keurig netjes onder

In een verzorgd document horen opsommingen en nummeringen keurig netjes onder Alles op een rijtje! Microsoft Word door: H.M. v.d. Hoef In een verzorgd document horen opsommingen en nummeringen keurig netjes onder elkaar te staan, of het nu gaat om streepjes, punten, blokjes of om

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

Profilering derde graad

Profilering derde graad De leerling heeft in de 1ste en de 2de graad, de gelegenheid gehad zijn/haar interesses te ontdekken en heeft misschien al enig idee ontwikkeld over toekomstige werk- of studieplannen. Vaardigheden, inzet,

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012

VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012 VWO finales versie 1 28 oktober 2012 1 1 inleiding De finale van de VWO en de meeste internationale olympiades bestaan uit het bewijzen van vragen. Dit is iets wat men niet meer leert op school en waarbij

Nadere informatie