Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 2. M. van der Pijl. Transfer Database

Transcriptie

1 Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database

2 ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: of via onze klantenservice (088) ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 0. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 6 Auteurswet j o het Besluit van augustus 98, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 060, 0 KB Hoofddorp ( Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 6 Auteurswet 9) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

3 Voorrangsregels. De eigenschappen van optellen en aftrekken. De eigenschappen van vermenigvuldigen en delen. Machten en wortels. Omkeerbewerkingen. Voorrangsregels 6 Eerstegraads vergelijkingen oplossen. Het oplossen van eerstegraads vergelijkingen met één onbekende. Snijpunt van twee lijnen. Het oplossen van eerstegraads vergelijkingen met twee onbekenden 6 Rechtevenredige verbanden. Rechtevenredige verbanden. Grafiek van een rechtevenredig verband. Aflezen van een grafiek van een rechtevenredig verband 9 Lineaire verbanden 7. Tekenen van grafieken 7. Richtingscoëfficiënt 0. Afleiden van een formule uit een grafiek. Afleiden van formule uit coordinaten Interpoleren en extrapoleren. Interpoleren. Extrapoleren

4

5 Voorrangsregels De eigenschappen van optellen en aftrekken We hebben al eens geleerd hoe we met positieve en negatieve getallen moeten optellen en aftrekken. We zetten de regels nog eens op een rij:. + + is hetzelfde als +. + is hetzelfde als. is hetzelfde als +. + is hetzelfde als Vb ( + ) = 6 + = 0. 6 ( ) = 6 + = ( + ) = 6 + = - 6 ( ) = 6 + =. 6 + ( ) = 6 =. 6 ( + ) = 6 = 6 + ( ) = 6 = 0 6 ( + ) = 6 = 0 Oefeningen Bereken: a 6 + ( ) = b ( ) + ( ) = c 8 + ( 6) =

6 Voorrangsregels d ( 0) = De eigenschappen van vermenigvuldigen en delen We hebben al eens geleerd hoe we met positieve en negatieve getallen moeten vermenigvuldigen en delen. We zetten de regels nog eens op een rij:. positief positief = positief. negatief negatief = positief. positief negatief = negatief. negatief positief = negatief Deze regels gelden ook als er in plaats van het -teken een -teken (gedeeld door) staat. Vb. Vermenigvuldigen Delen a. ( + 6) ( + ) = 6 = b. ( + 8) ( + ) = 8 = a. ( 6) ( ) = + ( 6 ) = b. ( 8) ( ) = + ( 8 ) = a. ( + 6) ( ) = ( 6 ) = b. ( + 8) ( ) = ( 8 ) = a. ( 6) ( + ) = ( 6 ) = b. ( 8) ( + ) = ( 8 ) = Oefeningen Bereken: a 6 ( 8) = b = c ( 7) =

7 Voorrangsregels d 8 7 = Machten en wortels Als we twee dezelfde getallen vermenigvuldigen, geewft dat dezelfde uitkomst als kwadrateren. Vermenigvuldigen Kwadrateren = = Tabel De notatie noemen we een macht. Een macht bestaat uit een grondtal en een exponent. In de macht is het grondtal en de exponent. Als we een getal herhaaldelijk vermenigvuldigen met zichzelf, noemen we dat machtsverheffen. Vermenigvuldigen Machtsverheffen = = ( ) = 6 = 6 Tabel Machten van positieve getallen hebben altijd een positieve uitkomst. Bij machtsverheffen van negatieve getallen geldt: oneven. negatief getal exponent = negatief getal even. negatief getal exponent = positief getal Oefeningen Bereken de volgende machten: a = b 9 7 =

8 Voorrangsregels c = d ( 7) = e ( 7) = f ( ) = Omkeerbewerkingen We weten dat aftrekken de omkeerbewerking is van optellen. Vb. Optellen Aftrekken + = 8 8 = of: 8 = Het omgekeerde (de omkeerbewerking) van vermenigvuldigen is delen. Vb. Vermenigvuldigen Delen = = of: = Worteltrekken is de omkeerbewerking van machtsverheffen. Voor de oppervlakte van een vierkant waarvan de lengte van de zijde is, geldt: Oppervlakte = = = 9 Als de oppervlakte bekend is, kunnen we door wortel te trekken de lengte van de zijde van een vierkant berekenen. Voor de zijde van een vierkant waarvan de oppervlakte 9 is, geldt: 9 =, omdat = 9 Omdat 9 de wortel is van het kwadraat van, ofwel van de tweede macht van, noemen we 9 een tweedemachtswortel. 9 betekent dus hetzelfde als 9. De uitkomst van een tweedemachtswortel is altijd een positief getal. Het argument van een tweedemachtswortel is ook altijd positief, omdat er geen enkel getal a te vinden is waarvoor geldt:

9 Voorrangsregels a = a a 0 Als de inhoud bekend is, kunnen we door de derdemachtswortel te trekken de lengte van de ribbe van een kubus berekenen. Voor de ribbe van een kubus met een inhoud van 6 geldt: 6 =, omdat = 6. Oefeningen Bereken: a 8 = b 6 = c 9 = d 9 = e + = f 6 9 = Bereken: a 8 = b =

10 6 Voorrangsregels c 6 = d 8 = e 6 = f = Voorrangsregels Bij de voorrangsregels hebben we te maken met gelijkwaardige bewerkingen, zoals vermenigvuldigen en delen. Andere gelijkwaardige bewerkingen zijn machtsverheffen en worteltrekken, en optellen en aftrekken. Gelijkwaardige bewerkingen voeren we altijd van links naar rechts uit. Die volgorde verandert als er iets tussen haakjes staat. We moeten dan eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat. De opgaven worden volgens de volgende stappen uitgerekend: Stap : we rekenen uit wat tussen haakjes staat. Ook binnen de haakjes gelden de voorrangsregels. Stap : machtsverheffen en worteltrekken doen we van links naar rechts. Stap : vermenigvuldigen en delen doen we van links naar rechts. Stap : optellen en aftrekken doen we van links naar rechts. Vb. Bereken: 0 7 ( 7 + ) = Oplossing 0 7 ( 7 + 8) = 0 7 =

11 Voorrangsregels 7 0 = 0 = 8 Op de rekenmachine tpen we dit als volgt in: + Oefeningen 6 Bereken: a = b 7 + ( ) + = c = d 9 ( + 8) 0 ( + ) = e 8 ( ) ( 6) = 7 Bereken: a = b ( 7 + ) ( 0 ) + 6 = c 7, 6 + (, + 7 9) ( 7) =

12 8 Voorrangsregels d, 6 + (, 9, 6 ) + 6 = e 7 + ( 0 ( 6 )) + 0 = 8 Bereken: a 9 ( 8 + ) = b 9 (( 8 + ) ) ( ) = c 6 ( + ) = d = Vb. 6 Bereken Oplossing = + = + = + = Op de rekenmachine tpen we dit als volgt in: + +

13 Voorrangsregels 9 Oefeningen 9 Bereken: a 8 + 8,, 0 + +, = b = c π 0, 00 0, 09 =

14 0 Voorrangsregels a 0 b c 7 d Antwoorden a 8 b c 9 d 66 a 0 b c. 6 d e 0 f 0 a 9 b c Geen uitkomst. d 7 e 7 f 6 a b c d e f 6a b 6 c d 80 e 6 7a 8, b 9, 6 c 7, 96 d 806, e 09, 9

15 Voorrangsregels 8a 8 b 0 c d 7 9a 8, 8 b 0, c, 7

16 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Het oplossen van eerstegraads vergelijkingen met één onbekende De vergelijking x = (eigenlijk staat er x = ) noemen we een eerstegraads of lineaire vergelijking. De onbekende x komt er namelijk tot de eerste macht in voor. Een eerstegraads vergelijking heeft altijd één oplossing. Vb. We lossen x in de vergelijking x = op door het getal aan de overkant van het = -teken () te delen door het getal dat naast de x staat ( ). Oplossing x = {delen door } x = = We kunnen bij vergelijkingen altijd de oplossing controleren door het antwoord voor de onbekende in te vullen: Controle: =, en dat klopt. Vb. Los op: x + 6 = 8 Oplossing x + 6 = 8 {6 naar de andere kant van het = -teken wordt 6 } x = 8 6 x = {delen door } x = =

17 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Oefeningen Los op: a x =, b x = c 0, x = 8 d 0 =, x Oefeningen Los op: a x = 8 b 0, x +, =, c x + = d x = 7 e 8 = 6x f = x

18 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Snijpunt van lijnen We kunnen het snijpunt van twee lijnen vaak aflezen uit de grafiek. Zie figuur. Soms is het snijpunt niet goed af te lezen. Willen we toch een nauwkeurige uitkomst hebben, dan kunnen we het snijpunt als volgt berekenen. Vb Figuur x! De vergelijkingen van de beide lijnen zijn: =, x +, en = x +,. We willen het snijpunt van en berekenen. Gegeven =, x +, en = x +,. Gevraagd De coördinaten van het snijpunt. Oplossing, x +, = x +, {eerst x naar de linkerkant verplaatsen, dit wordt dan x }, x + x +, =, {vervolgens, naar de rechterkant verplaatsen, dit wordt, }, x + x =,, {we kunnen nu gaan rekenen}, x =, {, }, x = = 0, 96, Nu 0, 96 invullen in =, x +, : =, 0, 96 +, =,. Snijpunt is ( 0,96,, ). We mogen x = 0,96 ook invullen in, we vinden dan ook =,.

19 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Oefeningen Teken de vergelijkingen in een diagram en bereken het snijpunt: a =, x + en = x + b = x + 7 en = x + c = x + en = x + 0

20 6 Eerstegraads vergelijkingen oplossen d = x en = x + e = x + en = x Het oplossen van eerstegraads vergelijkingen met twee onbekenden We hebben gezien hoe we één eerstegraads vergelijking met één onbekende oplossen. Bij één vergelijking met twee onbekenden hebben we oneindig veel oplossingen, zoals bij de vergelijking x + =. We kunnen immers bij elke willekeurige waarde van x de bijbehorende berekenen. Om één oplossing voor x en te krijgen hebben we twee bij elkaar horende vergelijkingen nodig, we spreken dan van een vergelijkingenstelsel. In plaats van x en kunnen we ook andere letters gebruiken. We bekijken nu twee vergelijkingen met twee onbekenden a en b. We nemen bijvoorbeeld: a + b = 6 a + b = 8

21 Eerstegraads vergelijkingen oplossen 7 We zetten een accolade voor deze vergelijkingen om aan te geven dat we met een stelsel te maken hebben. Dit stelsel is heel eenvoudig op te lossen. Als we beide vergelijkingen van elkaar aftrekken, valt b weg: a + b = 6 a + b = 8 a = a = = 0, Door vervolgens de gevonden waarde van a in te vullen in bijvoorbeeld de bovenste vergelijking volgt: 0, + b = 6 b = 6 + 0, = 6, b = 6,. We kunnen ook de waarde van a in de tweede vergelijking invullen: 0, + b = 8, + b = 8 b = 8, = 6, b = 6,. Meestal kunnen we bij een vergelijkingenstelsel niet direct aftrekken om een onbekende kwijt te raken, zoals bij: a + b = 8 a b = We mogen wel een vergelijking links en rechts met hetzelfde vermenigvuldigen. We gaan de bovenste vergelijking met en de onderste vergelijking met vermenigvuldigen. In beide vergelijkingen krijgen we dan de term 6a : a + b = 8 a b = Deze methode staat bekend als de schoorsteenmethode. Er volgt: 6a + 9b = 6a b = Nu raken we door aftrekking a kwijt en kunnen we b berekenen: 6a + 9b = 6a b = b = b = = Nu moeten we nog de waarde van a berekenen. Door de gevonden waarde van b in te vullen in bijvoorbeeld de bovenste vergelijking volgt: 6a + 9 = 6a + 8 = 6a = 6 a =.

22 8 Eerstegraads vergelijkingen oplossen We kunnen natuurlijk ook proberen om eerst b kwijt te raken: a + b = 8 a b = a + b = 8 9a b = + a = a = b = We merken op dat we in dit geval moeten optellen om b kwijt te raken. Tip Vb. Zet in de schoorsteen altijd positieve getallen om fouten bij het vermenigvuldigen met negatieve getallen te vermijden! Annette en Alie gaan naar een popfestival in de Arena. Gegeven In de pauze koopt Annette T-shirt en cd s. Zij is hiervoor e 80,- kwijt. Alie koopt T-shirts en cd, zij betaalt e 8,-. Gevraagd a. Stel voor elk een formule op. b. Bepaal hoeveel de T-shirts en de cd s elk per stuk kosten. Oplossing a. Annette: TS + CD = 80 Alie: TS + CD = 8 b. TS + CD = 80 TS + CD = 8 TS + CD = 60 TS + CD = 8 7 CD = 7 CD = = { CD = invullen in de bovenste vergelijking} TS + CD = 60 TS + = 60 TS = TS = TS = = 0 Een cd kost dus e,- en een T-shirt kost e 0,-.

23 Eerstegraads vergelijkingen oplossen 9 Vb. Los op u 6v = u + v = 0 Oplossing We zorgen ervoor dat de coëfficiënt van een onbekende in beide vergelijkingen even groot wordt. u 6v = u + v = 0 6 u 6v = 8u + 6v = u = 7 u = = 9 { u = invullen in bovenste vergelijking} 6 6v = 6v = = 6 v = = 6 Dus de oplossing is v = en u =. Oefeningen Marianne betaalt voor 0 schriften en één agenda e 7,-. Haar vriend Henk houdt niet zo van winkelen en koopt dezelfde agenda, maar neemt meteen schriften. De schriften en de agenda s zijn even duur. Henk betaalt totaal e,. a Stel de vergelijkingen op. b Bereken de prijs van een schrift en de prijs van de agenda.

24 0 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Het Nederlands elftal speelt in de voorronden voor het wereldkampioenschap een kwalificatiewedstrijd tegen Duitsland. Karel en Achmed gaan naar het stadion om de wedstrijd te bekijken. Vóór aanvang van de wedstrijd koopt Karel drie sjaaltjes en petjes, deze kosten samen e 8,0. Achmed koopt zeven sjaaltjes en vijf petjes, hij betaalt e 97,-. a Stel de vergelijkingen op. b Bereken de prijs van één petje en van één sjaaltje. 6 Tijdens het optrekken heeft een auto een eenparig versnelde beweging. Voor het berekenen van de snelheid v t van de auto na t seconden geldt de formule: vt = v0 + a t. Hierbij is v 0 de beginsnelheid en a de versnelling. a Na seconden is de snelheid m/s. Stel de vergelijking op voor deze situatie. b Na 8 seconden is de snelheid m/s. Stel ook deze vergelijking op. c Bereken de beginsnelheid v 0 en de versnelling a. 7 Los op: x + = 9 x =

25 Eerstegraads vergelijkingen oplossen 8 Los op: x + = x + = 9 9 Los op: a + b = 9 a b = 0 Los op: x + = 0 x + = 0 Los op: a b = a b a + b + = 7a b +

26 Eerstegraads vergelijkingen oplossen Antwoorden a x =, b x = 9 c x = 0 d x =, 6 a x = b x = c x = d x = e x =, 67 f x = a (,7) b (,,,) c ( 0,) d (,, 9,) e (, ) a 0S + A = 7 en S + A =, b schrift: e,7 ; agenda: e 9,0 a S + P = 8, 0 en 7S + P = 97, 00 b petje: e,0; sjaaltje: e 8,0 6a = v0 + a b = v0 + a 8 c v 0 = ; a =, 7 x = ; = 8 x = 9 ; = 9 a = ; b = 0 0 x = en = a = 0, en b = 0, 6

27 Rechtevenredige verbanden Rechtevenredige verbanden We spreken van een rechtevenredig verband als de formule de vorm heeft van = a x. De grafiek is dan een rechte lijn door de oorsprong( 0, 0 ). Grafiek van een rechtevenredig verband Om deze rechte lijn te kunnen tekenen gaan we gebruik maken van een tabel waarin we voor twee waarden van x de bijbehorende waarde van uitrekenen. Voor die twee waarden van x nemen we getallen die we makkelijk kunnen invullen zoals x = 0 en x = : x 0 Tabel Vb. Teken de grafiek van = x Oplossing Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een x-as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij twee x-waarden de waarde van rekenen. x 0 0 Tabel Of anders geschreven: ( 0, 0 ) en (, ). uit te

28 Rechtevenredige verbanden We noemen de waarden van x en de coördinaten van het punt. (, ) betekent in de x-richting naar rechts en in de -richting naar boven. (, ) betekent in de x-richting naar links en in de -richting naar beneden. We tekenen de twee punten in ons assenstelsel en trekken er een rechte lijn doorheen. Zie figuur x Figuur Oefeningen Teken de grafieken van: a = x

29 Rechtevenredige verbanden b = x c = x d =, x

30 6 Rechtevenredige verbanden e = x f = x In allerlei praktische situaties is vaak sprake van een rechtevenredig verband. In de volgende opdrachten gaan we een aantal praktijksituaties uitwerken. Vb. Mark gaat zijn kamer verven. Een blik bevat 7, dl muurverf. Hiermee kan hij, m verven. Bereken hoeveel m Mark kan verven met dl. Bereken hoeveel dl muurverf Mark nodig heeft om 0 m te verven. Bepaal in de volgende tabel de ontbrekende waarden: Oppervlakte, 0 Verf, 7, Tabel Teken de grafiek en bereken de helling met behulp van de formule: helling toename verticaal =. toename horizontaal

31 Rechtevenredige verbanden 7 Geef een formule voor het verband tussen de hoeveelheid verf en het aantal m wat hiermee geverfd kan worden. Uitwerking, 7, dl, m dl = m 7, m dl 0 m 0 = 0dl Oppervlakte 7,, 0 Verf, 7, 0 Tabel We tekenen de punten in ons assenstelsel en trekken er een rechte lijn doorheen. Zie figuur. verf oppervlakte - Figuur helling toename verticaal = = = toename horizontaal V verf = A muur

32 8 Rechtevenredige verbanden Oefeningen Mark wil andere vloerbedekking in zijn kamer en kiest voor parket. Dit parket moet gelijmd worden. De parketstroken zijn 0 cm bij 0 cm. Met een emmer van kg kan hij m lijmen. De afmetingen van zijn kamer zijn, m bij m. a Bereken hoeveel kilo lijm hij nodig heeft om m te plakken. b Hoeveel kilo heeft hij nodig voor, m? c Hoeveel m kan hij lijmen met een emmer van 7, kg? d Bereken hoeveel kilo hij nodig heeft voor 9m. e Bereken de oppervlakte van de kamer. f Hoeveel kg lijm heeft hij nodig voor de hele vloer? g Bereken de ontbrekende waarden in de volgende tabel: Oppervlakte, 0 Lijm 6 Tabel h Teken de grafiek en bereken de helling met behulp van: helling toename verticaal =. toename horizontaal i Geef een formule voor het verband tussen de hoeveelheid lijm en de oppervlakte van de vloer.

33 Rechtevenredige verbanden 9 Aflezen van een grafiek van een rechtevenredig verband Vb. In figuur is de grafiek getekend van het verband tussen de massa m en het volume V van een bepaalde soort baksteen. m (0 kg) Figuur V (m ) Bereken de helling van de grafiek. Geef de formule van de grafiek. Oplossing 8 kg rc = rc = =, 6 kg/m x m m =, 6 V

34 0 Rechtevenredige verbanden Oefeningen Een aantal rallcoureurs rijdt op een circuit met een lengte van 8km één ronde om de startvolgorde te bepalen voor de wedstrijd. In de grafiek van figuur is de rit van de snelste twee coureurs afgebeeld. We zien daar de afgelegde weg s in km als functie van de benodigde tijd t in sec. afgelegde weg (km) 8 6 A B 0 0 Figuur tijd (s) a Bereken de helling van beide grafieken. b Geef voor beide grafieken de formule.

35 Rechtevenredige verbanden Oefeningen In figuur is het verband weergegeven tussen het aantal geverfde vierkante meters en de gebruikte hoeveelheid verf. Een blik verf heeft een inhoud van 7, dl. oppervlakte (m ) Figuur verfgebruik (dl) a Hoeveel verf is er verbruikt na het schilderen van 6m? b Hoe groot is de oppervlakte die nog geschilderd kan worden als er nog, dl verf over is? c Stel de formule voor dit verband op. d Bereken met deze formule hoe groot de oppervlakte is die we kunnen verven met, dl verf.

36 Rechtevenredige verbanden Oefeningen Teken de grafiek en bepaal de formule van deze grafiek van de volgende tabel. x 0 0, 7, Tabel 6

37 Rechtevenredige verbanden Antwoorden a b Zie figuur Figuur 6 Zie figuur Figuur 7 x x

38 Rechtevenredige verbanden c Zie figuur Figuur 8 x d Zie figuur Figuur 9 x

39 Rechtevenredige verbanden e Zie figuur Figuur 0 x f Zie figuur Figuur x a, kg b, kg c 6m d, kg e, 8 m f 6kg g Zie tabel. Oppervlakte (m ), Lijm,, 7,,, Tabel 7

40 6 Rechtevenredige verbanden h Zie figuur. lijm (kg) Figuur 0 A (m ) 6 kg rc = rc = =, kg/m x, 8 m i m =, A lijm vloer a A: 0, 0km/s B: 0, 0 km/s b A: s = 0, 0 t B: s = 0, 0 t a ongeveer, 7dl b ongeveer, m c A =, Vverf d 8, 7m =, x

41 Lineaire verbanden Tekenen van grafieken We spreken van een lineair verband als de formule de vorm heeft van = a x + b. De grafiek is dan een rechte lijn door het punt ( 0, b ). We noemen een rechte lijn ook wel een eerstegraads grafiek omdat in de bijbehorende formule de variabele x tot de eerste macht voorkomt. = a x + b kunnen we ook noteren als f( x) = a x + b. Om een rechte lijn te kunnen tekenen, hebben we twee punten nodig. Daarom maken we gebruik van een tabel waarin we voor twee waarden voor x de bijbehorende waarde van uitrekenen. Voor die twee waarden voor x nemen we getallen die we makkelijk kunnen invullen, zoals x = 0 en x = : x 0 Tabel Vb. Teken de grafiek van = x +. Oplossing Eerst tekenen we een assenstelsel met een x-as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij twee x-waarden de waarde van uit te rekenen. Voor x = 0 geldt bijvoorbeeld = 0 + =. x 0 Tabel De plaats van de twee berekende punten kunnen we ook noteren als ( 0, ) en (, ). Deze notatie (x-coördinaat, -coördinaat) noemen we de coördinaten van de punten.

42 8 Lineaire verbanden We tekenen de twee punten in ons assenstelsel en trekken er een rechte lijn doorheen. x Figuur We hebben gezien dat we = a x + b ook kunnen schrijven als f( x) = a x + b. In het laatste voorbeeld hebben we gewerkt met = x +. Meestal laten we het vermenigvuldigingsteken weg en schrijven we de vergelijking als = x +. Deze vergelijking kunnen we ook als functie schrijven met als functievoorschrift f( x) = x +. Oefeningen Teken de grafieken van: a = x

43 Lineaire verbanden 9 b = x + c = x + d =, x e = x +,

44 0 Lineaire verbanden f = x Richtingscoëfficiënt De richtingscoëfficiënt rc zegt wat over de richting of steilheid van de rechte lijn. Vb. Bereken de richtingscoëfficiënt van de volgende rechte lijn. Zie figuur. Oplossing x - - x Figuur In bovenstaand diagram hebben we een willekeurige rechthoekige driehoek tegen de lijn geplakt om de richtingscoëfficiënt te bepalen: Deze richtingscoëfficiënt rc berekenen we vervolgens met de formule rc = x. Uit het diagram lezen we af: = en x = dus rc = =.

45 Lineaire verbanden Vb. Bereken de richtingscoëfficiënt van de volgende lijn. Zie figuur. Oplossing 7 6 x x Figuur In bovenstaand diagram hebben we weer een willekeurige rechthoekige driehoek tegen de lijn geplakt om de richtingscoëfficiënt te bepalen: Uit het diagram lezen we af: = en x = (driehoek links van de lijn) dus rc = rc x = =. Oefeningen Bereken de richtingscoëfficiënt van de volgende grafieken. a Zie figuur x

46 Lineaire verbanden b Zie figuur x c Zie figuur x Teken in één diagram de grafieken van: a = x b = x + c = x

47 Lineaire verbanden d Hoe zie je dat de lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben? Teken in één diagram de grafieken van: a = x b = x c = x d Hoe groot is de richtingscoëfficiënt van deze drie lijnen? Afleiden van een formule uit een grafiek We kunnen uit de grafiek van een verband de vergelijking afleiden. Als de grafiek een rechte lijn is, weten we dat de vergelijking de vorm = a x + b heeft. We bepalen de richtingscoëfficiënt waarmee we a weten. Vervolgens bepalen we de -coördinaat van het snijpunt met de -as en dat is b. Vb. Wat is de vergelijking van de volgende grafiek? Zie figuur. x - - Figuur x

48 Lineaire verbanden Oplossing Met een aangeplakte hulpdriehoek volgt dat rc = a =. Het snijpunt met de -as heeft de coördinaten( 0, ), dus b =. De vergelijking van de lijn is = x. In veel gevallen is het snijpunt met de -as niet precies af te lezen. In dat geval moeten we werken met twee punten waarvan de coördinaten wel goed af te lezen zijn. Zie oplossing. Oplossing We lezen uit de grafiek de coördinaten van twee punten af: (, ) en (, ). rc = a = x = = =, dus = x + b. Vervolgens gaan we b berekenen door de coördinaten van een punt op de lijn, bijvoorbeeld (, ), in te vullen in = x + b. Voor x = en = volgt: = + b = 6 + b b = De vergelijking van de lijn is dus = x. Opmerking: door de coördinaten van het andere punt (, ) in te vullen, vinden we natuurlijk ook b =. De vergelijking = x kunnen we ook als functie schrijven; dit wordt dan f( x) = x. Oefeningen Bepaal uit het volgende diagram de vergelijkingen van de drie grafieken a, b en c x

49 Lineaire verbanden Afleiden van formule uit coördinaten Als we de coördinaten van twee punten van een rechte lijn weten, kunnen we ook zonder de grafiek te tekenen de vergelijking bepalen. Vb. Bepaal de vergelijking van de lijn door de punten P (, 6 ) en Q(, 8 ). Oplossing: Van P naar Q betekent in de x-richting naar rechts (van naar ) dus x =. Van P naar Q betekent in de -richting omhoog (van 6 naar 8) dus =. De vergelijking heeft de vorm = a x + b. De richtingscoëfficiënt rc = a = a x = = 0,. Van de vergelijking = a x + b weten we nu a = 0,, dus = 0, x + b. We berekenen vervolgens b door een van de punten P en Q in te vullen in = 0, x + b. Als we hiervoor punt P (, 6 ) nemen, volgt met x = en = 6 : 6 = 0, + b 6 = 0, + b b = 6,. De vergelijking van de lijn is dus = 0, x + 6,. Oefeningen 6 Bepaal van de volgende grafieken de bijbehorende vergelijkingen. De grafieken gaan door de punten: a (, ) en (, 6) b (, ) en (, 7) c (, ) en (, 6) d (, ) en (, )

50 6 Lineaire verbanden e (,) en (, 6) f (, ) en (, )

51 Lineaire verbanden 7 Antwoorden a b c Zie figuur Zie figuur Zie figuur x x x

52 8 Lineaire verbanden d Zie figuur x e f Zie figuur Zie figuur x x

53 Lineaire verbanden 9 a rc = 0, b rc = c rc = a b Zie figuur Zie figuur x x

54 0 Lineaire verbanden c Zie figuur x d Ze lopen evenwijdig aan elkaar. a b Zie figuur Zie figuur x x

55 Lineaire verbanden c Zie figuur. x d De richtingscoëfficiënt =. a = x + b = x + c = x + 6 d = x 7 e = x + f = x

56 Interpoleren en extrapoleren Interpoleren Een verband tussen twee variabelen, bijvoorbeeld de x en de, kunnen we door een vergelijking of in een grafiek vastleggen. Een dergelijk verband tussen x en kunnen we ook in een tabel vastleggen. Zie tabel. x 0 0 Tabel Zo n tabel is bijvoorbeeld het resultaat van een aantal metingen. In een tabel kunnen we natuurlijk maar een beperkt aantal waarden vastleggen. We zien eenvoudig dat = voor x =. Als we echter de waarde van willen weten voor x =,, kunnen we dat niet direct uit de tabel aflezen. We kunnen hoogstens zeggen dat tussen 0 en moet liggen. Om een nauwkeuriger benadering voor te vinden moeten we interpoleren. We tekenen daarvoor de volgende deeltabel. Zie tabel. x, 0 Tabel We gaan er vervolgens van uit dat het verband tussen x en in het betreffende interval lineair is. Omdat dat in werkelijkheid meestal niet zo is, geeft een interpolatie vaak een benaderde waarde. Om voor x =, de bijbehorende te berekenen, gebruiken we de zogenaamde interpolatieformule: c a = b + ( e b) d a

57 Interpoleren en extrapoleren De waarden van a tot en met e bepalen we met behulp van de tabel. Zie tabel. a c d b e Tabel Vb. We bepalen door interpolatie de waarde van voor x =, : Oplossing Vergelijken van tabel en tabel levert de volgende waarden van a tot en met e : a =, b = 0, c =,, d = en e =. Deze waarden vullen we in de interpolatieformule in: c a = b + e b d a = +, ( ) 0 ( 0) = 0, Voor x =, berekenen we dus = 0,. We controleren of deze waarde inderdaad tussen 0 en ligt, en dat klopt. Oefeningen Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, 0 (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel. x,0 0 Tabel Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel. x, 0 Tabel

58 Interpoleren en extrapoleren Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, 6 (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel 6. x,6 0 Tabel 6 Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, 88 (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel 7. x,88 0 Tabel 7 Extrapoleren Natuurlijk kan x ook buiten de tabel vallen. We spreken dan van extrapoleren in plaats van interpoleren. Bepaling van a tot en met e gaat dan als volgt. Zie tabel 8. a d c b e Tabel 8 Na bepaling van de waarden van a tot en met e mogen we ook bij extrapolatie de bekende interpolatieformule invullen! Vb. We willen de bepalen voor x =, 78. Zie tabel 9. x,78 Tabel 9

59 Interpoleren en extrapoleren Oplossing Eerst bepalen we de waarden van a tot en met e : a =, b =, c =, 78, d = en e =. Invullen in de interpolatieformule: c a = b + e b d a = +, 78 ( ) ( ) =, 6 Oefeningen Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel 0. x, Tabel 0 6 Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, 6 (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel. x,6 Tabel 7 Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x =, (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel. x, Tabel

60 6 Interpoleren en extrapoleren 8 Bereken uit de volgende tabel de bijbehorende als x = 7, (geef de antwoorden in decimalen na de komma). Zie tabel. x 7, Tabel

61 Interpoleren en extrapoleren 7 Antwoorden 0,0 0, 8, 8, , 7 7 8, 0 8 0, 0

62