PRACTICUM WISKUNDIG MODELLEREN I (150526)

Transcriptie

1 PRACTICUM WISKUNDIG MODELLEREN I (150526) studiejaar Docenten: J.C.W. van Ommeren (coördinator), J.B. Timmer, J.L. van den Berg en D. Lanser 1 Onderwijsorganisatie Het practicum loopt gedurende de blokken 1 tot en met 6. De eerste bijeenkomst is op dinsdag 17 september. Het practicum behandelt toepassingen van theorie uit de vakken Lineaire Algebra, Calculus I en Calculus II. Tevens kan in de praktijk worden gebracht wat bij Inleiding in het programmeren is geleerd door het gebruiken van MAPLE. Het gebruik van de dictaten behorende bij de bovengenoemde vakken is toegestaan en wordt zelfs aanbevolen tijdens het practicum. Bovendien kan gebruik worden gemaakt van het boek Maple, Wiskunde in Berekenbaar Perspectief. Er worden totaal negen practicumbijeenkomsten verzorgd van vier (aaneengesloten) uren: twee keer in het blok 1 (week 38 en 39), één keer in blok 2 (week 44), twee keer in blok 3 (week 49 en 2) en vier keer in het derde trimester (week 13, 14, 21 en 22). Tijdens deze bijeenkomsten worden opdrachten uitgereikt die ter plaatse worden bestudeerd en wordt in samenwerking met een medestudent gestart met het oplossen. De aanwezigheid op de bijeenkomsten is verplicht, immers daar kan men informatie van de begeleidende docent krijgen om verder te kunnen. Om het gebruik van Maple ook tijdens de practicumbijeenkomsten mogelijk te maken bestaat de mogelijkheid om de tweede helft van de bijeenkomst te verplaatsen naar de computerzaal in het TW-gebouw. Na de bijeenkomst moet het model nog nader uitgewerkt worden en moet het verslag worden gemaakt. Let er bij het plannen van je studie op dat dit uitwerken in de week volgend op de practicumbijeenkomst moet gebeuren. Dit alles kost, incl. bijeenkomst zo n 20 uur. 2 Doelstelling Het practicum is voornamelijk gericht op de ontwikkeling van twee vaardigheden: het ontwerpen van wiskundige modellen en schriftelijk rapporteren over een wiskundig onderzoek. Dit gebeurt aan de hand van een aantal min of meer concrete problemen. Paarsgewijs maken de studenten zelfstandig een analyse van de uitgereikte probleemstelling om vervolgens een bijbehorend wiskundig model op te stellen; daarna schrijft het paar een rapport met daarin de eigen uitwerking en de conclusie omtrent de oorspronkelijke probleemstelling. Kortom, de student voert alle werkzaamheden zelf uit, met dien verstande dat op ieder moment de hulp van de docent kan worden ingeroepen. De bijeenkomsten dienen gezien te worden als

2 de voorbereidingsfase van de thuis uit te voeren werkzaamheden aan de uitgereikte opdrachten. 3 Modelleren Bij de aangeboden opdrachten, maar ook bij problemen uit de praktijk, zal allereerst een model worden gemaakt dat de onderhavige processen beschrijft. De beschrijving gebeurt met behulp van wiskundige begrippen zoals formules, verzamelingen enz. De concrete vraagstelling moet dan binnen dit probleem geformuleerd kunnen worden. Een klein voorbeeld kan dit misschien verduidelijken: Vraag uit de praktijk: Hoeveel verf heb ik nodig om een wand van 4m bij 2,5m te schilderen als ik met een liter verf 8 m 2 kan schilderen? Model: De muur is een rechthoek R met breedte B meter en hoogte H meter. Per m 2 heb ik α liter verf nodig. De oplossing wordt: L = opp(r)α waarbij L de hoeveelheid benodigde verf is en opp(r) de oppervlakte van de rechthoek R. Analyse: (erg kort en flauw in dit geval) We weten dat opp(r)=bh dus de benodigde hoeveelheid verf is L = αbh. Conclusie: In de praktijk is α = 1/8, de breedte B = 4 en de hoogte H = 2, 5 dus is de benodigde hoeveelheid verf 4 2, 5/8 = 1, 25 liter. We zien in dit voorbeeld iets typisch. We schrijven het probleem op in een, op zich, veel algemenere vorm met B, H en α als grootheden. Het algemene model wordt geanalyseerd. De oplossing van het probleem is een formule waarbij de parameters nog niet ingevuld zijn; voor het praktijkprobleem moeten dan de echte getalswaarden worden ingevuld om de oplossing te vinden. In het algemeen maken we voor het praktijkprobleem dus een model met een aantal parameters die voor het aangeboden probleem getalsmatig bekend zijn (of bepaald kunnen worden). Dit algemene model wordt geanalyseerd. De oplossing van het probleem bestaat dan uit formules en/of algorithmen waarbij de parameters nog niet nader gespecificieerd zijn. Een voordeel van het zo lang mogelijk werken met parameters is dat een verandering van een parameter niet leidt tot het opnieuw moeten uitvoeren van de analyse; alleen moet de nieuwe getalswaarde van de parameter worden gebruikt om een oplossing te vinden van het praktijkprobleem. Verder kun je een gevoeligheidsanalyse uitvoeren: Wat gebeurt er als een parameter iets wijzigt, verandert dan de oplossing totaal of is er nauwelijks verschil (hoe gevoelig is de oplossing)? 4 Het verslag Na het modelleren en analyseren van het probleem moet natuurlijk aan de opdrachtgever duidelijk worden gemaakt wat de oplossing van zijn probleem is. Bij WM1 zal

3 deze rapportage gebeuren in de vorm van geschreven verslagen (later in de studie komt ook mondelinge rapportage aan bod). Zo n verslag bestaat uit verschillende onderdelen, elk met een eigen soort lezer. Het verslag zal bestaan uit een inleidend gedeelte dat in principe door iedereen gelezen kan worden; vervolgens een beschrijving van het probleem dat in in ieder geval voor de opdrachtgever zelf begrijpelijk moet zijn. Dan volgt een wiskundig gedeelte dat voor wiskundigen begrijpelijk moet zijn. Tot slot komt er een afsluitende gedeelte waarin de oplossing van het probleem wordt gegeven. Deze afsluiting moet, uiteraard, voor de opdrachtgever begrijpelijk zijn. Let er bij het schrijven van een hoofdstuk dus op voor wie dit hoofdstuk bestemd is (leg bijv. in het wiskundige gedeelte niet uit wat differentiëren is). Een veel uitgebreidere bespreking van het verslag komt in paragraaf 6 aan bod. 5 Beoordelingsprocedure in het algemeen Er moeten zes nader te bepalen opdrachten uitgewerkt en in verslagvorm ingeleverd worden (behorende bij de opdrachten die uitgereikt worden in week 38, week 44, week 49, week 2, week 13 en week 21). Er wordt één verslag per opdracht per tweetal studenten ingeleverd. Het verslag dient gemaakt te worden met Scientific Word/Workplace dan wel L A TEX. Het eerste verslag is een proefverslag. De eindbeoordeling van het gehele practicum wordt verkregen als het gemiddelde van de (voldoende) beoordelingen van de in totaal vijf (normale) verslagen. De beoordeling van het proefverslag kan het eindcijfer van het practicum alleen in positieve zin beïnvloeden. De beoordelingsprocedure van een afzonderlijk verslag is als volgt. Het verslag wordt bekeken, van commentaar voorzien en beoordeeld door de docent. Het tweetal studenten ontvangt het verslag binnen twee weken terug. Er volgt dan nog een nabespreking met de docent. Als de beoordeling onvoldoende is moet een tweede versie van het verslag worden gemaakt, veelal door de eerste versie aan te vullen met verbeteringen (gebaseerd op het commentaar van de docent). Ingeval de (uitzonderlijke) situatie ontstaat waarbij de tweede versie nog steeds met een onvoldoende wordt beoordeeld, dan is overleg tussen studenten en docent noodzakelijk. Van de eerste opdracht wordt ook een verslag gemaakt. Er moet eerst een proefversie gemaakt worden die bij de eerstvolgende bijeenkomst door andere tweetallen bekeken wordt. Daarna wordt de definitieve versie ingeleverd, die volgens dezelfde procedure als bij normale verslagen wordt afgehandeld. Dit verslag is het proefverslag. Bij het verslag van de tweede opdracht is de afhandeling eveneens aangepast: Na de nabespreking volgt eventueel een tweede ronde waarbij de studenten op grond van opmerkingen van de docent een aangepast verslag kunnen maken. Dit laatste verslag is het definitieve verslag over de tweede opdracht en wordt op de gebruikelijke wijze afgehandeld.

4 6 Beoordelingswijze van een afzonderlijk verslag De beoordeling van een verslag wordt gebaseerd op de organisatie en de presentatie van de diverse onderdelen. Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen de wiskundige en de niet-wiskundige onderdelen. Een wiskundig onderdeel bestaat uit de uitwerking van een wiskundig geformuleerd deelprobleem. De beoordeling ervan gebeurt op grond van de wiskundige correctheid, de presentatie van de uitwerking en de plaatsing van deze onderdelen in het gehele verslag. Het wordt aanbevolen om lange wiskundige onderdelen achterin het verslag te plaatsen (in de vorm van een bijlage). Er wordt verlangd dat de benodigde wiskundige formules, redeneringen en eventuele computer-uitvoer worden toegelicht met begeleidende tekst. De beoordeling van de niet-wiskundige onderdelen wordt gebaseerd op de organisatie en de presentatie van deze onderdelen. De niet-wiskundige onderdelen zijn de eigenlijke bouwstenen van een zorgvuldig en begrijpelijk verslag. In elk geval moet een verslag de volgende onderdelen bevatten (met enige aanwijzingen (geen verplichtingen) voor de presentatie): 1. Een inleiding in woorden De in de opdracht beschreven situatie wordt aangegeven in de inleiding. Het wordt aanbevolen de inleiding te schrijven in eigen woorden, dus zonder gebruik van wiskundige symbolen. Een kort overzicht van de opbouw van het verslag. 2. De probleemstelling in woorden Formuleer een duidelijke probleemstelling voorlopig in woorden. 3. De probleemstelling in formulevorm (het wiskundig model) Hier vermeldt u onder andere welke veronderstellingen u hebt gemaakt. Uiteindelijk mondt dit uit in een probleemstelling als bij een wiskundevraagstuk, bijvoorbeeld: Vind het maximum van de functie..., of: los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen op..., of: we zoeken nu een functie die aan de volgende eisen voldoet... Definieer hier de (wiskundige) begrippen die van belang zijn voor het hele verslag. Hierbij horen natuurlijk de begrippen/grootheden die gebruikt worden bij het opstellen van het wiskundige model. Begrippen die alleen bij de analyse van het wiskundige model worden gebruikt kunnen beter pas daar worden ingevoerd. Na de formulering van het model kunnen we in principe met wiskundige technieken aan de slag. Tijdens de analyse hoeft het niet nodig te zijn terug te grijpen op het oorspronkelijke probleem in woorden. Laat bijvoorbeeld N een aantal voorstellen, dan moet in het model ergens staan dat N een niet negatief geheel getal is (of natuurlijk N N ).

5 4. Een plan voor de aanpak van de bovengenoemde probleemstelling Verklaar de door u gekozen oplossingsroute stap voor stap, bijvoorbeeld door het aanduiden van de berekeningen van verscheidene grootheden in volgorde van opkomst. Als het nodig is, het plan illustreren met een schema. In de door u te maken verslagen bij WM1 kan het plan vaak als inleiding gebruikt worden bij het volgende onderdeel (punt 5). (Zie voorbeeld nr.1 in de appendix.) 5. Een uitwerking volgens het bovengenoemde plan Presenteer een stapsgewijze uitwerking die in overeenstemming is met de door u gekozen oplossingsroute. In het algemeen zal deze stapsgewijze uitwerking onder andere alle wiskundige onderdelen behelzen. Voer nieuwe wiskundige symbolen in voor ingewikkelde uitdrukkingen tijdens het rekenwerk. Gebruik Maple waar dat nuttig is; uw bijlagen mogen Maple-output bevatten (natuurlijk voorzien van commentaar). 6. Een conclusie omtrent de bovengenoemde probleemstelling, zowel in formulevorm als in woorden; in het bijzonder gaat het hierbij om de interpretatie van de uitkomsten van de wiskundige berekeningen in termen van het oorspronkelijke probleem Indien het mogelijk is, de verkregen conclusie toelichten met een of meer grafieken (Maple!) of tabellen. 7. Een evaluatie van de gehele opdracht Controleer de verkregen resultaten bij diverse onderdelen op allerlei manieren (qua grootte, eenheid, afhankelijkheid van de constant geachte grootheden, e.d.). Vermeld uw eigen opmerkingen omtrent de in de opdracht beschreven situatie en geef commentaar op de veronderstellingen die gemaakt moesten worden om tot een (analyseerbaar) model te komen. * Een inventarisatie(lijst) van relevante grootheden en betrekkingen De inventarisatie(lijst) kan ook op een andere plaats in het verslag worden opgenomen. Maak er wel een opmerking over in de inleiding. Geef een opsomming van belangrijke grootheden, zowel qua interpretatie als qua wiskundige notatie. Maak onderscheid tussen constante en variabele grootheden en vermeld tevens belangrijke eigenschappen van de grootheden (zoals eenheid, waardenbereik, e.d.; eventueel in tabelvorm). Onderlinge relaties toelichten in woorden alsmede in formulevorm (denk

6 aan fysische wetten, chemische behoudswetten, e.d.). Zie het voorbeeld nr. 2 in de appendix. De lijst van relevante grootheden dient gezien te worden als een geschikte informatiebron bij het lezen van het gehele verslag. Een opsomming van de gebruikte symbolen etc. houdt niet in dat ze daarmee voldoende ingevoerd zijn. Geef alsnog ergens anders in het verslag een precieze definitie of beschrijving. De aanwezigheid en zorgvuldigheid van elk van de acht bovengenoemde onderdelen bevorderen de leesbaarheid van het uiteindelijke verslag. Let wel: Tijdens de voorbereiding van het verslag zult u voortdurend heen en weer springen tussen de bovengenoemde onderdelen en soms zult u terugkeren naar het begin als blijkt dat u een doodlopende weg bent ingeslagen. In het uiteindelijke verslag is een goede organisatie van de verschillende onderdelen vereist. Het gaat daarbij niet om de avonturen die u hebt beleefd op de weg van probleemstelling naar oplossing maar om een heldere en logische presentatie van de uiteindelijk genomen route. Als een andere alternatieve route voor speciale gevallen beter is, kan dit natuurlijk ook vermeld worden in het verslag. Bedenk dat een verslag begrijpelijk moet zijn voor iemand die niet vertrouwd is met de onderhavige probleemstelling. Dit houdt onder andere in dat het verslag prettig leesbaar moet zijn, let er bijvoorbeeld op dat (elk deel van) het verslag eigenlijk uit een soort inleiding, hoofdmoot en conclusie moet bestaan. Beperk ook het gebruik van (puntgewijze) lijsten en verwerk de punten in een gewoon stuk tekst. Natuurlijk moet ook de wiskunde op een begrijpelijke manier gepresenteerd worden: leg formules indien mogelijk uit in gewone tekst, zet grote en/of belangrijke formules op een aparte regel (die je eventueel nummert) en houd je aan de wiskundige notaties/afspraken bijvoorbeeld om grootheden met maar één letter (eventueel met indeces) aan te duiden en dus niet, zoals bij programmeren, met een naam. Om het verslag doorzichtig te houden kunnen lange wiskundige afleidingen (of afleidingen die gepresenteerd worden met MAPLE uitvoer) beter in een appendix worden gegeven; het resultaat wordt wel in de hoofdtekst genoemd en voor de afleiding van het resultaat wordt naar de appendix verwezen. Een appendix is natuurlijk een deel van het verslag en moet dus bestaan uit een inleiding, hoofdtekst en conclusie. Vermeld bijvoorbeeld altijd in de inleiding van de appendix waar de appendix over gaat en waar er naar de appendix wordt verwezen. We hebben bij het modelleren al gezien dat we de oplossing vaak zullen vinden in de vorm van formules en/of algorithmen. We kunnen natuurlijk voor het specifieke geval de oplossing numeriek berekenen, maar dan doen we eigenlijk geen recht aan wat we gedaan hebben. Als het nuttig is, kun je bijvoorbeeld de formules die je hebt gevonden met grafieken of figuren verduidelijken. Dit kan de opdrachtgever inzicht geven in de gevoeligheid van de oplossing die gevonden is. Tenslotte: men wordt geacht het verslag met Scientific Word/Workplace of L A TEX te maken en het verslag op papier in te leveren!

7 Appendix In deze appendix geven we (eenvoudige) voorbeelden van enkele in de voorgaande paragraaf gegeven aanwijzingen VOORBEELD NR. 1: (deel)probleem. Beschrijving van het oplossingsplan voor een wiskundig Probleemstelling: Los op de vergelijking: z = z, met z C. Plan: De desbetreffende vergelijking in C uitschrijven door gebruik te maken van de kanonieke vorm voor het complexe getal z. Door onderscheid te maken tussen het reële en imaginaire deel van complexe getallen, ontstaan er twee vergelijkingen in R. De oplossingen van beide vergelijkingen in R leveren het reële en imaginaire deel van de complexe oplossingen van de desbetreffende vergelijking in C. VOORBEELD NR. 2: Beschrijving relevante grootheden en betrekkingen.(in een verslag over elektronische schakelingen) Geval 1: In dit verslag gebruiken we de volgende grootheden en betrekkingen uit de elektriciteitsleer: I stroomsterkte van een gelijkstroom in de draad (in ampère, I 0) R weerstand van de draad (in ohm, R > 0) V spanning (potentiaalverschil) in de draad (in volt, V 0) De electriciteitswet van Ohm luidt in formulevorm als volgt: I = V R In woorden: de stroomsterkte in de draad is recht evenredig met de aangelegde spanning in de draad en omgekeerd evenredig met de weerstand van de draad. Geval 2: Beschouw een gesloten stroomkring bestaande uit een in serie geschakelde weerstand, spoel en spanningsbron met een in de tijd variërende elektro motorische kracht. De stroomsterkte van de wisselstroom in de stroomkring is derhalve een functie van de tijd. Tabel van gebruikte grootheden; opzet van het wiskundig model.

8 grootheid betekenis aard eenheid waarde R weerstand constant ohm R > 0 L zelfinductie van de spoel constant henry L > 0 t tijd variabel seconde t 0 I(t) stroomsterkte van de wisselstroom functie ampère I(t) R V i (t) spanning op plaats i (i = 1, 2, 3) functie volt V i (t) R De tweede wet van Kirchhoff zegt dat de totale spanningsval in een gesloten stroomkring nul is. In ons geval wordt de afname van de spanning over de weerstand gegeven door de formule V 1 (t) V 2 (t) = R.I(t). Interpreteer deze relatie in woorden (zie boven). Op vergelijkbare wijze vindt men een uitdrukking voor V 2 (t) V 3 (t), en samen met V 3 (t) V 1 (t) = E(t), de door de spanningsbron geleverde EMK, levert toepassing van de tweede wet van Kirchhoff een uitdrukking (in dit geval een differentiaalvergelijking) waarin I(t) als onbekende functie moet worden opgelost als E(t), R en L gegeven zijn. In de evaluatie kan men ook nagaan op welke wijze de gevonden uitdrukking voor I(t) afhangt van R en L (grote R en kleine L of andersom) en van E(t). Tenslotte: Op woensdag 18 september het 5 e en 6 e uur is de PC zaal gereserveerd om met Scientific Workplace een begin te maken met het intypen van jullie verslag. Er is dan een begeleider aanwezig om de eerste vragen te beantwoorden.