Inhoud introductie. Introductie tot de cursus

Transcriptie

1 Inhoud introductie Introductie tot de cursus 1 Inleiding 7 2 Het cursusmateriaal 7 3 Structuur, symbolen en taalgebruik 8 4 Voorkennis 9 5 De cursus bestuderen 9 6 Studiebegeleiding 11 7 Het tentamen 12 6

2 Introductie tot de cursus 1 Inleiding Voor u ligt de cursus Discrete wiskunde B. Samen met de cursus Discrete wiskunde A vormt deze cursus een inleiding in de discrete wiskunde. We hopen dat u deze inleiding met veel plezier zult bestuderen. De discrete wiskunde omvat een groot aantal verschillende onderwerpen. Welke onderwerpen precies wel of niet tot de discrete wiskunde gerekend moeten worden, daarover bestaat geen eenstemmigheid onder wiskundigen, maar de belangrijkste onderdelen worden in deze inleiding behandeld. Samen met Continue wiskunde geeft deze inleiding een breed beeld van de wiskunde. De gekozen onderwerpen vormen een basis voor een verdere studie in de wiskunde of andere disciplines waar een zekere basiskennis wiskunde bekend wordt verondersteld. In deze introductie tot de cursus zetten we uiteen hoe het cursusmateriaal is samengesteld, hoe u de cursus kunt bestuderen en hoe u tentamen kunt doen. 2 Het cursusmateriaal Blokken Samenhang tussen de blokken en leereenheden Deze inleiding in de discrete wiskunde is gesplitst in twee cursussen Discrete wiskunde A en Discrete wiskunde B, die ieder afzonderlijk besteld en bestudeerd kunnen worden en waarover afzonderlijk tentamen kan worden gedaan. Hoewel het daarmee twee afzonderlijke cursussen zijn geworden, vormen de twee samen één inleiding in de discrete wiskunde. De reden van de splitsing is vooral van didactische aard: op dit inleidende niveau moet het tentamen niet over al te veel stof gaan. Deze inleiding in de discrete wiskunde bestaat uit 9 blokken, blokken 1 t/m 4 vormen cursus A, blokken 5 t/m 9 vormen cursus B. In ieder blok (uitgezonderd blokken 1 en 9) wordt een apart onderwerp behandeld uit de discrete wiskunde. Het eerste blok geeft een karakterisering van de discrete wiskunde en behandelt enige wiskundige basiskennis die nodig is in de overige blokken. De 7 volgende blokken vormen de hoofdmoot van de studiestof. Het laatste blok schetst de verbanden tussen de verschillende onderwerpen die in de cursus aan bod zijn gekomen. In Discrete Wiskunde B zijn de blokken 5 en 7 onafhankelijk van de rest van de cursus te bestuderen. Blok 6 bouwt voort op de kennis uit een groot aantal leereenheden van andere blokken. Om dit blok te kunnen bestuderen, moet u zeker eerst de blokken 3 en 4 gedaan hebben. Blok 8 veronderstelt voorkennis op het gebied van de logica (blok 4) en inductieve definities (leereenheid 8 uit blok 3). Leereenheid 25 in blok 9 grijpt terug op vele aspecten die in de hele cursus aan bod komen. Om deze leereenheid te kunnen bestuderen, moet u eerst alle andere blokken gedaan hebben. OUN 7

3 Discrete wiskunde B Blokken hebben zelfde structuur Casussen Leereenheden Intermezzo s Zelftoetsen Opgaveneenheid De blokken 2 t/m 8 zijn steeds volgens een zelfde structuur opgebouwd. Het eerste onderdeel van ieder blok is een casus, daarna volgen enkele leereenheden en als laatste volgt een opgaveneenheid. In de casussen komt u een probleem tegen dat te maken heeft met het onderwerp van het blok. Zonder eerst de theorie te bestuderen, wordt u uitgenodigd zelf wat te puzzelen en te proberen een oplossing voor dat probleem te vinden. Op die manier krijgt u een beter gevoel voor de problematiek waarvoor de theorie van het blok ontwikkeld is. Ook wordt u er door uitgedaagd zelf actief aan de gang te gaan, wat in het algemeen een voorwaarde is om succesvol wiskunde te kunnen bedrijven. Deze manier van behandelen van de stof wijkt nogal af van de traditionele manier waarin veelal eerst de theorie en daarna de toepassingen worden behandeld. Bij die traditionele manier wordt echter een belangrijk aspect van de wiskunde overgeslagen. Een probleem oplossen is vooral eerst eens wat proberen, er op verschillende manieren tegenaan kijken, varianten bestuderen en dergelijke. Een eventuele oplossing en zo mogelijk generalisaties kunnen daarna beter begrepen worden. De casussen vormen overigens geen leerstof van de cursus, dat wil zeggen: er worden op het tentamen geen vragen over gesteld. Wel wordt u ten zeerste aangeraden de casussen te bestuderen. Na de casus volgen in ieder blok een aantal leereenheden, waarin de eigenlijke leerstof van het blok wordt behandeld. Binnen een leereenheid wordt op een meer traditionele wijze de stof behandeld. Na een introductie en de leerdoelen volgen in een aantal paragrafen de verschillende onderwerpen, afgewisseld door voorbeelden, toepassingen en opgaven. Hoe u de leerstof kunt bestuderen, komt in een volgende paragraaf aan bod. In de cursus zijn vele intermezzo s opgenomen. Deze zijn herkenbaar aan een kleiner lettertype en zijn geen onderdeel van de tentamenstof. Zij dienen ter illustratie van de stof en geven allerhande toepassingen, interessante bijzonderheden of historische wetenswaardigheden. Een aantal van de intermezzo s heeft een titel. Deze intermezzo s met titel behandelen allemaal markante bijzonderheden uit de historie van de wiskunde en zijn geschreven door A.S. Haven. Iedere leereenheid wordt afgesloten met een zelftoets. Deze zelftoetsen bevatten opgaven, zoals die ook op het tentamen voor zouden kunnen komen. U kunt er dus zelf mee nagaan of u de stof voldoende beheerst. Ieder blok wordt afgesloten met een opgaveneenheid. Anders dan de opgaven in de leereenheden, die betrekking hebben op de direct daarvoor behandelde theorie of op de theorie van de leereenheid, hebben de opgaven in de opgaveneenheden betrekking op het hele blok. Op die manier krijgt u een beter inzicht in de verbanden tussen de verschillende onderwerpen en krijgt u bovendien extra oefenstof aangeboden. 3 Structuur, symbolen en taalgebruik De tekst in deze cursus is opgebouwd uit vele onderdelen. Een leereenheid bevat steeds een introductie, leerdoelen, de leerkern met de eigenlijke leerstof, een samenvatting en een zelftoets. De leerkern bevat naast de gewone lopende tekst ook een groot aantal andere onderdelen, zoals opgaven, stellingen, bewijzen en voorbeelden. Steeds is in de kantlijn aangegeven wanneer dergelijke onderdelen beginnen. Vaak hebben die onderdelen een nummer, zodat er makkelijk naar verwezen kan worden. Ook vrijstaande formules hebben soms in de rechterkantlijn een nummer, zodat er makkelijk naar kan worden terugverwezen. 8 OUN

4 Introductie tot de cursus «markeert einde voorbeeld markeert einde bewijs Begrippen in de kantlijn Wiskundesymbolen Wiskundetaal Van een aantal onderdelen is het wenselijk het einde duidelijk te markeren. Zo wordt het einde van een voorbeeld aangegeven met het teken «in de rechter kantlijn. Als voorbeelden in de loop van de tekst worden behandeld, dan wordt het einde niet afzonderlijk aangegeven. Ook het einde van een bewijs wordt met een symbool aangegeven, namelijk. Op plaatsen waar een nieuw begrip wordt behandeld of waar een begrip in een nieuwe context wordt behandeld, staat dit begrip ook in de meest linkse kantlijn. Dit vergemakkelijkt het opzoeken als u later nog eens de precieze betekenis na wilt lezen. Al deze begrippen zijn bovendien opgenomen in de registers, achterin de cursusboeken. In de wiskunde worden voorts een groot aantal symbolen gebruikt, zoals bijvoorbeeld en. Al deze symbolen hebben een precies vastgelegde betekenis, wat de wiskunde een eigen taal geeft. Een lijst van die symbolen met hun betekenis vindt u in de bijlage in het laatste deel. Er komen niet alleen bijzondere symbolen in de wiskunde voor, soms is ook het taalgebruik nogal speciaal. Zulke speciale uitdrukkingen hebben een eigen betekenis en worden gebruikt om zo nauwkeurig mogelijk aan te geven wat de bedoeling is. Met een uitdrukking als zij n een element van de natuurlijke getallen, wordt bedoeld dat er een verhandeling zal volgen over de natuurlijk getallen, uiteengezet aan de hand van een willekeurig element van die verzameling, dat voorlopig maar n genoemd wordt, maar waar in principe ieder natuurlijk getal voor ingevuld mag worden. Regelmatig zal van dergelijke speciale uitdrukkingen in de cursus gebruik worden gemaakt. Gaandeweg leert u vanzelf met deze formuleringen omgaan en maakt u zich daarmee de wiskundetaal eigen. 4 Voorkennis Wiskundevoorkennis op havo/vwo-niveau Bij twijfel: maak voorkennistoets. Om deze cursus met succes te kunnen bestuderen, moet u al enige voorkennis op het gebied van de wiskunde bezitten. Enerzijds gaat het om het beheersen van concrete wiskundige vaardigheden, zoals het oplossen van vergelijkingen, anderzijds gaat het om algemene vaardigheden zoals abstraheren en redeneren. Hebt u havo met wiskunde, vwo met wiskunde of een andere opleiding van vergelijkbaar niveau afgerond en is uw wiskundekennis nog redelijk paraat, dan kunt u ervan uitgaan dat uw voorkennis voldoende is om de blokken 5 en 7 van deze cursus te kunnen bestuderen. Voor de overige blokken geldt dat uw voorkennis overeen moet komen met de inhoud van de cursus Discrete Wiskunde A, met name op het gebied van de logica en de verzamelingenleer. Twijfelt u of uw voorkennis voldoende is, dan kunt u gebruik maken van de voorkennistoets die te vinden is op Op studienet vindt u ook een link naar deze voorkennistoets. Na het maken van deze toets krijgt u zo nodig advies hoe u uw voorkennis bij kunt spijkeren. 5 De cursus bestuderen Cursus bedoeld voor zelfstudie. Deze cursus is gemaakt voor zelfstudie. Dat wil zeggen dat het in principe mogelijk is deze cursus helemaal zelfstandig te bestuderen en dat u zich zonder hulp van anderen voor kunt bereiden op het tentamen. OUN 9

5 Discrete wiskunde B Om voor zelfstudie geschikt te zijn, zijn de teksten zeer uitgebreid en wordt aan veel details van de theorie aandacht besteed. In de kantlijn worden bovendien vaak studeeraanwijzingen gegeven, dat zijn korte opmerkingen die het belangrijkste uit de betreffende alinea aanstippen. U hebt al een aantal van dergelijke aanwijzingen gezien. Leerdoelen geven aan wat u moet weten en kunnen. Bij bekende onderwerpen direct zelftoets maken. Tijdens bestudering regelmatig opgaven maken. Aan het begin van iedere leereenheid zijn na de introductie steeds leerdoelen opgenomen. Deze beschrijven zo precies mogelijk wat u na het bestuderen van de leereenheid moet weten en kunnen. Bij een eerste lezing van die leerdoelen zult u veel onbekende begrippen zien, die gaat u immers nog leren. Maar tijdens de bestudering van de leereenheid kunt u steeds bij de leerdoelen lezen wat u met deze begrippen moet: hoeft u ze alleen maar te kennen, of moet u ze ook toe kunnen passen, bewijzen of gebruiken. Sommige onderwerpen van de cursus zullen u wellicht bekend voorkomen of hebt u in een ander verband al eens eerder bestudeerd. U kunt dan de betreffende leereenheden doorlezen en nagaan of alles u al bekend is. U kunt ook direct de zelftoetsopgaven aan het einde van de leereenheid maken en op die manier vaststellen of u de stof al dan niet beheerst of nog geheel of gedeeltelijk moet bestuderen. In het geval dat u de zelftoetsopgaven al goed kon maken, is het toch nog verstandig de leereenheid globaal door te nemen en aandacht te besteden aan definities, notaties en dergelijke. Die kunnen immers van boek tot boek nogal eens verschillen (binnen deze cursus is een en ander natuurlijk wel consistent). Tijdens de bestudering van de cursus komt u zeer frequent opgaven tegen, zowel tijdens de behandeling van de stof in de paragrafen, als aan het einde van de paragrafen en in de opgaveneenheden. De opgaven tussendoor zijn bedoeld om direct te oefenen met wat is behandeld en u zo in staat te stellen de stof beter op te nemen. Het is zeer aan te bevelen al die opgaven te maken op het moment dat u ze tegenkomt. De opgaven aan het einde van de paragraaf zijn bedoeld om verder te oefenen met de stof. Maak een aantal van die opgaven als u de paragraaf hebt bestudeerd en bewaar een paar van die opgaven voor als u zich voorbereidt op het tentamen. Hoewel u zeker niet alle opgaven bij een eerste bestudering van de stof hoeft te maken, is het niet verstandig alle opgaven over te slaan. Door het maken van opgaven zult u beter de mogelijkheden en onmogelijkheden van de wiskunde leren kennen en allerlei aspecten ontdekken die anders onopgemerkt zouden blijven. Wiskunde is wat dat betreft vooral een doe-vak. Naast de opgaven in de leerkern van iedere leereenheid vindt u ook opgaven in de zelftoets aan het einde van iedere leereenheid en in de opgaveneenheden aan het einde van ieder blok. Maak de zelftoetsopgaven nadat u een leereenheid hebt bestudeerd, om vast te stellen of u de stof op een voldoende niveau beheerst. Maak een aantal van de opgaven uit de opgaveneenheid als u een blok hebt bestudeerd, maar bewaar er ook een aantal als tentamenvoorbereiding. 10 OUN

6 Introductie tot de cursus Uitwerkingen achterin cursusboek Raadpleeg eventueel aanwijzingen Rekenmachine Aanvullend materiaal op studienet. Als u een opgave gemaakt hebt, kunt u nagaan of uw uitwerking goed is, door bij de uitwerkingen van de opgaven te kijken, die steeds achterin het cursusboek zijn opgenomen. Vaak zijn opgaven op verschillende manieren uit te werken, dus een afwijkende uitwerking wil nog niet zeggen dat de uwe fout is. Lukt het u niet een opgave te maken, of weet u niet hoe u het aan moet pakken, dan is bij veel opgaven een aanwijzing beschikbaar, een hint die u een stukje op weg helpt. Bij de opgaven die een aanwijzing hebben, is dat aangegeven bij het nummer, bijvoorbeeld OPGAVE 2.11 (Aanw). De aanwijzingen staan vóór de uitwerkingen achterin het cursusboek. Komt u ook daarmee niet verder, raadpleeg dan de uitwerking van de opgave, maar bestudeer die zorgvuldig, zodat u er baat bij hebt bij het maken van volgende opgaven. Soms is het handig om bij het maken van de opgaven een rekenmachine te gebruiken. Dit is natuurlijk toegestaan en ook op het tentamen mag een rekenmachine worden gebruikt. Op studienet vindt u aanvullend materiaal dat u kan helpen bij het bestuderen van de stof. Er zijn onder andere links naar applets waar u vaardigheden extra kunt oefenen. 6 Studiebegeleiding Begeleidings-- bijeenkomsten Telefonisch spreekuur Huiswerkopgaven Studienet Hoewel de cursus ontworpen is voor zelfstudie, kan het zijn dat u behoefte hebt aan begeleiding, eens over de stof wilt praten met collegastudenten en docenten. Het kan ook zijn dat u met een aantal problemen zit waar u zelf niet uitkomt. Door de Open Universiteit wordt daarvoor op een paar manieren begeleiding bij deze cursus aangeboden. U kunt daar desgewenst gebruik van maken. Het kan zijn dat er begeleidingsbijeenkomsten worden georganiseerd waarin u met een groep studenten en een studiebegeleider nader op de stof ingaat, gezamenlijke problemen behandelt, extra opgaven maakt, enzovoort. Daarnaast kunt u een beroep doen op uw studiebegeleider tijdens een wekelijks telefonisch spreekuur. Veelal kunnen eventuele problemen dan direct worden opgelost en, als dat niet lukt, kunt u afspraken maken hoe er dan wel uit te komen. Bij deze cursus kunt u ook huiswerkopgaven maken. Door deze opgezette tijden in te sturen, kunt u uw studie beter plannen en krijgt u een directe terugkoppeling op uw studieactiviteiten. Bij deze cursus hoort ook een site op Studienet. Daar vindt u actuele informatie en eventuele aanvullingen en een discussiegroep. Voor nadere informatie kunt u ook Modulair raadplegen of contact opnemen met het Studiecentrum. OUN 11

7 Discrete wiskunde B 7 Het tentamen Tentamenopgaven zoals in zelftoets en opgaveneenheden Uitwerkingen zoals in opgaveneenheden U kunt deze cursus afsluiten door deel te nemen aan het tentamen. Het tentamen wordt verschillende malen per jaar afgenomen. Raadpleeg voor de precieze data de Studienetsite, Modulair of vraag het na op het studiecentrum. De tentamenopgaven zijn van een zelfde niveau en stijl als de zelftoetsopgaven en de opgaven in de opgaveneenheden aan het eind van de blokken. U kunt die opgaven dan ook goed gebruiken als tentamenvoorbereiding. Alleen antwoorden op de opgaven van het tentamen zijn niet voldoende. Alle antwoorden moeten vergezeld gaan van een zorgvuldige uitwerking of toelichting. Alleen dan kunt u punten verdienen voor uw tentamencijfer. Uw uitwerkingen moeten een zelfde stijl en gedetailleerdheid hebben als de uitwerkingen van de opgaven in de opgaveneenheden. Het gebruik van een rekenmachine is op het tentamen toegestaan. Tot slot Het cursusteam vond het een enorme uitdaging om deze cursus zo goed mogelijk te maken. Enerzijds om een zo goed mogelijke keuze te maken van de wiskundige onderwerpen en de diepgang waarmee die worden behandeld, anderzijds om de onderwerpen zodanig te behandelen dat iedereen er zelfstandig mee uit de voeten kan. We hopen dan ook dat u de cursus met veel plezier zult bestuderen en met succes tentamen zult doen. Aan de totstandkoming van deze cursus hebben een groot aantal personen bijgedragen. Het cursusteam en de discipline- en programmaleider zijn uiteindelijk verantwoordelijk voor de inhoud, maar voor hun bijdragen in verschillende vorm willen we ook de volgende personen hartelijk danken: Henk Aarts, Hub Augustus, Enrico van Barneveld, Jan Beumers, Paul Bezembinder, Hanneke Bonekamp, Gosse Bouma, Arjan van Dijk, Hans van Ditmarsch, Cecile Dupont-Eyssen, Jan van Eijck, Edwin Freekenhorst, Irma van Gorkum-van Diepen, Ronald Gossieau, Jan te Hennepe, Soezie van den Heuvel, Marco Huysmans, Maria Kampermann, Kees van Rijsbergen, Huub Salden, Erik Tjong Kim Sang, Henk Schaake, Ben Steltman, Willy Vaes, Leendert van Wingerden. 12 OUN