124 7 Trillingen en golven In deze paragraaf bestuderen we bewegingen die zich steeds herhalen. Een bol aan een veer Trek een bol aan een veer omlaag

Transcriptie

1 7 Trillingen en golven Deze leerling heeft een kaarsvlam voor een luidspreker gezet en stelt een toon van 15 Hz in. Hoe zal de vlam reageren?

2 124 7 Trillingen en golven In deze paragraaf bestuderen we bewegingen die zich steeds herhalen. Een bol aan een veer Trek een bol aan een veer omlaag en laat hem zonder beginsnelheid los. De beweging die ontstaat en die zich steeds herhaalt, noemen we een periodieke beweging. Een paar afspraken: In de omkeerpunten P en R hangt de bal even stil. De snelheid is daar dus nul. Van P naar Q versnelt de bal. Als de bal door de evenwichtsstand Q gaat, is de snelheid maximaal. Van Q naar R remt de bal weer af. De evenwichtsstand is de stand van de slinger voordat je hem omlaag trok. Een periodieke beweging om een evenwichtsstand heet een trilling. De afstand van het midden van de bal tot de evenwichtsstand heet de uitwijking u. De maximale uitwijking van de trillende bol heet de amplitude A. A u A De bol voert een gedempte trilling uit, want door de luchtweerstand neemt de amplitude af. Uiteindelijk zal de bol weer tot rust komen in de evenwichtsstand. De tijd voor op-én-neer (R P R) is de trillingstijd of periode T van de bol. Proef 1 Een dansende bol Met een ultrasone afstandsensor meet je de u(t)-grafiek van een gewicht van 100 g dat danst aan een veer: 7.1 Trillingen Met een gewicht van 200 g aan dezelfde veer krijg je een u(t)-grafiek met een langere periode T: Tot slot laten we nog 100 g dansen aan een slappere veer: Conclusies bij een bol aan een veer: De u(t)-grafiek is sinusvormig. Hoe groter m, hoe groter T. Hoe stugger de veer, hoe kleiner T. De wet van Hooke Stalen veren voldoen aan de wet van Hooke F = C u (p. 108). Hierin is C de helling (rc) van de rechte lijn in de F(u)-grafiek. C geeft aan hoe stug de veer is. Voor een elastiek geldt deze wet niet, want de F(u)- grafiek is geen rechte lijn (p. 103). Omdat de terugdrijvende veerkracht Fv en de uitwijking u tegengestelde vectoren zijn, schrijven we de wet van Hooke ook wel zo: F v C u

3 Proef 2 De terugdrijvende kracht Een slee op een luchtkussenbaan kan wrijvingsloos tussen twee veren bewegen. In de evenwichtsstand is de som van de krachten op de slee nul. Tegen elke andere stand verzetten de veren zich; er ontstaat een terugdrijvende kracht F v in de richting van de evenwichtsstand. Als we de slee naar links trekken en loslaten, gaat hij een trilling uitvoeren. In de omkeerpunten (als u maximaal is) is ook de terugdrijvende kracht maximaal. Eén van de veren is dan maximaal ingedrukt en de ander maximaal uitgerekt. De veren werken samen om de slee weer in de evenwichtsstand te brengen. links midden rechts u max 0 max v 0 max 0 F max 0 max De periode van een verend systeem Carrosserie en wielen van een auto zijn verend verbonden. Daardoor voel je een (gedempte) trilling als de auto over een hobbel rijdt. Als er veel mensen in de auto zitten, is de trillingstijd groter dan wanneer je er alleen in rijdt. Bij een stug geveerde auto is de trillingstijd juist klein. 7.1 Trillingen 125 Bij ieder verend systeem blijkt te gelden: I Een grote massa m zorgt voor een lange periode T. II Een grote veerconstante C zorgt voor een korte periode T. Vergelijk dit eens met de vraag van p. 39: Met wat voor formule kun je het verband tussen kracht F, massa m en versnelling a beschrijven? Daar bleek a = F/m de goede formule te zijn. Hier gaat het anders. Om een 2 zo grote T te krijgen, moet je een 4 zo grote m gebruiken en voor een 2 zo kleine T moet de veer 4 zo stug zijn. De goede formule blijkt te zijn: m T 2 massa-veer systeem C Deze formule is in de 17 e eeuw door Huygens afgeleid. Voorbeeld Een bol aan een veer Je hangt een bol van 200 gram aan een veer met een veerconstante van 12 N/m. a Hoeveel cm is de veer uitgerekt als de bol niet beweegt? b Bereken de frequentie waarmee de bol kan dansen. Plan van aanpak Je hebt deze drie formules tot je beschikking: 1 Fv C u, T 2π m en f C T Oplossing a In de evenwichtsstand is F z = F v, mg = Cu We gebruiken bij dit soort proeven g = 10 m/s 2. mg 0,20010 u 0,17 m = 17 cm C 12 b Invullen in de formule voor T levert: 0,200 1 T 2π 0,81s f 1,2 Hz 12 0,81

4 126 7 Trillingen en golven Proef 3 Massa s aan een veer Bepaal bij verschillende massa s m de periode T (je meet natuurlijk 10T). Voordat je van deze metingen een grafiek maakt, schrijf je de formule wat anders op. Kwadrateer links en rechts en zet m apart: 2 T 2 m T 4 m C C m (kg) 10T (s) T (s) T 2 (s 2 ) 0,050 5,31 0,531 0,28 0, Als je van deze metingen een T(m)-grafiek maakt in Excel of zoals hier in Coach, ontstaat een kromme grafiek van de wortelfunctie: De kromme grafiek kun je in Excel rechtbuigen als je een T 2 (m)-grafiek maakt. Je kunt ook zelf een T 2 (m)-grafiek maken (zie p. 218): De helling a van de rechte lijn y = ax is gelijk aan 4π 2 /C. Hiermee bereken je de waarde van C. Proef 4 Een dobber Als je een dobber onder water drukt, voel je een tegenkracht die groter wordt als je dieper komt. Omgekeerd: als je hem uit het water tilt, voel je hem steeds zwaarder worden. Bij een verzwaarde reageerbuis blijken kracht en uitwijking evenredig met elkaar te zijn. Net als bij een veer geldt dus F = C u zodat we gebruik mogen maken van: T 2π m C Laat je zo n buis van 25 g in het water op en neer dansen, dan vind je: 3T = 2,3 s. Dus T = 0,77 s. Als je de buis aan een krachtmeter uit het water tilt, is er 0,12 N nodig voor 6,5 cm. Voor C geldt dus: 0,12 N C F 2 1,8 N/m u 6,5 10 m Met m = kg vind je via de formule T = 0,73 s. Dit scheelt maar 5% met de experimentele waarde. Harmonische trillingen Trillingen met een sinusvormige u(t)-grafiek zoals een slinger en een bol aan een veer worden harmonisch genoemd. Harmonische trillingen vinden we bij verzwaarde veren, stemvorken, trillende snaren,... In de praktijk zijn zulke trillingen vaak gedempt. Harmonische trillingen voldoen altijd aan de wet van Hooke. Het omgekeerde is ook waar: als de wet van Hooke geldt, is de trilling harmonisch. Bij elastiek is de F(u)-grafiek een kromme lijn. Een bol die aan elastiek trilt, heeft dus geen sinusvormige u(t)-grafiek. Bij een harmonische trilling geldt: Fv C u wet van Hooke De u(t)-grafiek is sinusvormig.

5 De sinusvormige u(t)-grafiek Wiskundig gezien loopt y = sinα op de y-as tussen 1 en +1 terwijl horizontaal oploopt van 0 tot 2π radialen (of van 0º tot 360º). Natuurkundig gezien zet je verticaal de uitwijking u uit en horizontaal de tijd t. Daarbij varieert u tussen A en +A terwijl t oploopt van 0 tot T. Als het kan, zorgen we ervoor dat de tijd start als de uitwijking vanuit nul positief wordt; u = A sinα. Het verband tussen α en t vind je met: t T dus t T Voorbeeld Het verband tussen α en t Een trilling start op t = 0 s door de evenwichtsstand omhoog T = 0,86 s en A = 5,0 cm. a Bereken het eerste tijdstip na de start waarop u = 1,5 cm. b Hoe groot is u op t = 0,60 s? Oplossing a 1,5 = 5,0 sinα 1,5 sin 0,3 17,5 5,0 Bij 360º hoort 0,86 s t 17,5 0,86 0,04 s 360 b Nu moet je eerst α berekenen: 0, ,86 u = 5,0 sin251º = 4,7 cm 7.1 Trillingen 127 Tip Een sinus tekenen Je kunt snel een goede sinus tekenen als je het volgende bedenkt: een sinus bestaat uit vier gelijkvormige stukken; is bij 0, 180º en 360º vrijwel recht; heeft bij 90º en 270º een horizontale raaklijn; heeft bij 30º en 150º de waarde 0,5A heeft bij 210º en 330º de waarde 0,5A Verdeel de periode in 12 stukjes van 30º. Bepaal de posities van de top en het dal en de posities waar u = ±0,5A. Je hebt dan genoeg punten om de grafiek te tekenen. Snelheid bepalen in de u(t)-grafiek Waar de raaklijn aan de u(t)-grafiek horizontaal loopt, is de snelheid nul en waar de raaklijn steil loopt, is de snelheid groot. Onder de u(t)-grafiek is het tekenverloop van de snelheid geschetst. Vervolgens is met de helling van de raaklijnen de v(t)-grafiek getekend. Je herkent in de figuur voor de v(t)-grafiek een cosinus.

6 128 7 Trillingen en golven Eigenfrequenties Als je een voorwerp aanstoot, gaat het trillen met een of meer heel speciale frequenties. Zulke vaste frequenties heten eigenfrequenties. De laagste noemen we de grondfrequentie. Als je een stemvork aanslaat, geeft hij één toon. Maar als je een forse tik geeft, hoor je ook boventonen. Als je zacht op een fluit blaast hoor je de grondtoon, bij hard blazen hoor je boventonen. Een fietsbel geeft altijd één speciale klank. Als je op je duim slaat, zijn de frequenties waarmee je stembanden de klank AU vormen, altijd dezelfde. Resonantie Als twee voorwerpen dezelfde eigenfrequenties hebben, kunnen ze elkaars trillingsenergie goed overnemen. Dit verschijnsel heet resonantie (letterlijk: meeklinken). Zet twee gelijke stemvorken een eind uit elkaar en laat tegen de linker een pingpongballetje steunen. Door de rechter aan te slaan, kun je op afstand het balletje in beweging brengen. Als je aan een van de stemvorken een gewichtje vastmaakt, lukt de proef niet meer omdat hun tonen dan niet gelijk zijn. Door resonanties kunnen gebouwen gaan trillen door langsrijdend verkeer en soms gaan bij bepaalde snelheden loszittende schroefjes in een auto rammelen. Je zou zo de indruk kunnen krijgen dat resonantie altijd een vervelend verschijnsel is. Er kan echter ook nuttig gebruik van worden gemaakt. Een pacemaker laat het hart trillen in het goede ritme. Een arts onderzoekt een patiënt door te kloppen en te luisteren naar resonanties in holtes. Zo kan hij wat te weten komen over de grootte van hart en longen. Proef 5 Allerlei resonanties Bij de volgende proeven treedt resonantie op: Twee bollen Trek de linkerbol omlaag en laat los. Als we de lengte van het touwtje rechts goed hebben gekozen, stopt de linker bol en gaat de rechter met dezelfde frequentie zwaaien. Enige tijd later hangt de rechter stil en danst de linker weer. De slinger van Wilberforce Als je voor de twee kleine gewichtjes de goede plaats hebt gevonden, krijg je om beurten een dansende en een draaiende beweging. Ook hier zijn de trillingstijden gelijk. Dansen en zwaaien Als je bij deze proef het touwtje de goede lengte geeft, gaat de bol om beurten dansen en zwaaien. De zwaaitijd is echter het dubbele van de danstijd.

7 1 Is de draaiing van de aarde om zijn as: a 1 een periodieke beweging? a 2 een trilling? b Bereken de frequentie van die draaiing in Hz. - Is het schommelen van een boot op de golven: c 1 een periodieke beweging? c 2 een trilling? 2 a Bepaal de trilllingstijden bij de drie u(t)-grafieken van Proef 1. Gebruik daarbij zoveel mogelijk periodes. b Bereken de C van de twee veren. - Bepaal in de eerste grafiek: c 1 u op t = 0 s; c 2 A op t = 0 s (pas op!). 3 Aan een trillende liniaal is een viltstift vastgemaakt die schrijft op de draaitafel van een oude pick-up. Het toerental is 45 per minuut. a Neemt de amplitude af tijdens het trillen? b En de frequentie? c 1 Hoelang duurt één rondje van de pick-up? c 2 Meet de hoek α. c 3 Bereken de draaitijd die bij α hoort. d Bereken de frequentie waarmee de liniaal trilde. 7.1 Trillingen 129 Opgaven Je tilt een bol aan een veer een eind op en laat hem los op t = 0 s. - Na hoeveel trillingstijden is de bol voor de tweede keer op z n laagste punt? 5 Een bol met massa m trilt met T = 1,2 s aan een veer met C = 15 N/m. a Bereken m. b Hoe groot wordt T als je vier van die bollen aan deze veer laat trillen? Niet rekenen! 6 De u(t)-grafiek hoort bij deze trillende slee. - Op welke tijdstippen a 1 is de slee in een omkeerpunt; a 2 gaat hij door de evenwichtsstand? b Arceer de tijdvakken waarin hij naar rechts beweegt. c Hoe kun je aan de grafiek zien dat de beweging harmonisch is? 7 We laten een bol aluminium aan een veer trillen en aan net zo n veer een even grote bol lood. - Hoe verhouden zich hun: a massa s; b trillingstijden?

8 130 7 Trillingen en golven In deze paragraaf passen we de theorie van trillingen toe op geluid. Lopende golven Als je het begin van een touw aan het trillen brengt, ontstaat in het touw een golf. Daardoor doet even later de rest van het touw ook mee. Door praten of zingen breng je lucht in trilling. Korte tijd later worden de trommelvliezen van anderen in de buurt aan het trillen gebracht. Hoe verder ze weg staan, hoe later het geluid bij hen aankomt. Als je een steen in het water gooit, begint na enige tijd een blad op het water te bewegen. Hoe verder een seismograaf van een aardbeving verwijderd is, hoe later hij begint te registreren. Net als bij het touw is er sprake van een golf die de energie vanuit de bron naar andere punten transporteert zodat die ook gaan trillen. Licht is ook een golf! De lichtsnelheid is heel groot ( km/s) en daarom lijkt het net alsof lichtgolven geen tijd nodig hebben om zich te verplaatsen. In tegenstelling tot geluid heeft een lichtgolf geen tussenstof nodig om zich te verplaatsen. Doordat er in de ruimte geen moleculen zijn, is het is daar doodstil en is een laserstraal onzichtbaar. Op een sportveld kun je goed merken dat het transport van geluid tijd kost. Als er vier luidsprekers zijn, hoor je een bericht vier keer. Tenzij je op de middenstip staat. 7.2 Lopende golven en geluid Proef 6 Bepalen van de geluidssnelheid Plaats twee microfoons een eind uit elkaar (hier Δx = 1,20 m) en sluit ze aan op Coach. Klap in je handen en lees uit de grafieken het tijdverschil Δt af waarmee het geluid bij de microfoons aankomt. Uit v = Δx/Δt volgt de snelheid van het geluid. Lopende golven in een koord Golven in een koord en geluidsgolven heten lopende golven. Ze lopen van een bron naar een waarnemer. Je ziet hier een koord op achtereenvolgende momenten. Op t = 0 begon de bron met een beweging omhoog. De op-en-neer gaande beweging van de bron veroorzaakt golfbergen en golfdalen in het koord. De voorkant van de golf noemen we de kop.

9 Bij een lopende golf in een horizontaal koord schuift het patroon in horizontale richting op. Ieder punt van het koord trilt verticaal. Als de bron harmonisch trilt, zijn de golven in het koord sinusvormig. De golflengte In de laatste figuur heeft de bron één complete trilling uitgevoerd in de tijd T. De afstand die daarbij hoort, heet de golflengte, λ (labda, de Griekse letter l). Het patroon verplaatst zich naar rechts met de golfsnelheid v. Uit afstand = snelheid tijd volgt λ = vt. λ = v T of λ = v/f 7.2 Lopende golven en geluid 131 golflengte Bij een lopende golf doen alle punten achtereenvolgens precies hetzelfde als de bron (afgezien van demping). Maar ieder punt begint op zijn eigen tijdstip te trillen. Hoe dichter een punt bij de bron ligt, hoe eerder het de bron gaat imiteren. Een punt dat op afstand λ van de bron ligt, begint op t = T te trillen; een ander punt dat bijvoorbeeld op 1,37λ van de bron ligt, begint op t = 1,37T. Het is daarom handig om lengtes in λ en tijden in T uit te drukken in plaats van in meter en in seconde. Voorbeeld Een lopende golf Je ziet hier de foto van een golf die in een koord op weg is naar rechts. De bron is op t = 0 begonnen. De stippellijn geeft aan hoe de foto er korte tijd later uit zou zien. a Hoe is de bron begonnen, omhoog of omlaag? b Druk de afstand tussen de bron en de kop uit in λ. c Wijs het punt P aan dat op t = 0,5T begon met trillen. d Wijs het punt Q aan dat bij het maken van de foto al 0,75T aan het trillen is. Oplossing a De bron is omhoog begonnen. Dat zie je aan de kop, want die staat op het punt de bron te imiteren. Je hebt de stippellijn nodig om deze conclusie te kunnen trekken. b De afstand tussen bron en kop is 2,25λ. c Het punt P ligt op 0,5λ van de bron. d Om Q te vinden moet je vanaf de kop terug naar de bron; Q is al 0,75T in touw en ligt dus op 0,75λ van de kop. In de pas en uit de pas Als twee punten in een koord één golflengte van elkaar verwijderd zijn, gaat het ene punt één trillingstijd eerder trillen dan het andere. In het voorbeeld hierboven is dat het geval voor de punten P en Q. Punt P is precies één periode eerder begonnen met trillen dan punt Q. Die punten lopen dus in de pas. De afstand tussen de bron en punt Q is gelijk aan 1,5λ. Het tijdsverschil tussen de bron en punt Q is 1,5T. De bron en punt Q lopen dus uit de pas..

10 132 7 Trillingen en golven Transversale golven Bij een lopende golf in een koord trilt ieder punt loodrecht op de voortplantingsrichting. Zulke golven noemen we transversaal. Lichtgolven zijn net als golven in een koord transversaal. Een wave in een stadion plant zich horizontaal voort, terwijl iedere toeschouwer verticaal beweegt. Ook hier zie je een transversale golf: Longitudinale golven Er is nog een tweede trillingsmogelijkheid voor een golf. Daarbij valt de trillingsrichting samen met de voortplantingsrichting van de golf. Deze golven noemen we longitudinaal, of ook wel verdichtings- en verdunningsgolven. Geluid is hier een voorbeeld van. Lucht kun je niet transversaal in beweging brengen omdat lucht geen samenhang vertoont. Longitudinale golven kunnen in iedere stof voorkomen. Automobilisten trekken pas op als ze hun voorganger zien bewegen. De rij auto s rekt daardoor wat uit. Bij een stoplicht verdicht de rij zich weer. Je kunt hier ook van een longitudinale golf spreken. Proef 7 Golven in een slinky Met een soepele lange veer kun je beide soorten golven laten zien. Breng je de veer transversaal aan het trillen, dan zie je een patroon van bergen en dalen dat opschuift. Stoot je het uiteinde in de lengterichting aan, dan ontstaat een longitudinale golf. Proef 8 Golven in een metalen staaf Tik je met een hamer tegen een opgehangen metalen staaf (1), dan hoor je een toon dankzij longitudinale golven. Als je een pingpongbal bij het uiteinde brengt, dan schiet die weg. Tik je dwars op de staaf (2), dan reageert het balletje nauwelijks omdat de golven dan transversaal zijn.

11 Geluid Geluid is een longitudinale golf. Je trommelvlies gaat heen en weer dankzij verdichtingen en verdunningen van de lucht. Tot een jaar of twintig kun je frequenties waarnemen tussen ruwweg 16 Hz en Hz. Een hoge frequentie betekent een hoge toon. De geluidssterkte van een toon is groter als de amplitude groter is. De geluidssnelheid in lucht is ongeveer 340 m/s. Dat is ruim tien keer zo snel als een sneltrein. Toch is zo n grote snelheid nog wel met eenvoudige middelen te meten. Je kunt bijvoorbeeld een geluid maken en tegelijk een lichtflits geven. De lichtflits zie je meteen, maar voor het geluid heb je een meetbare tijd nodig. Zo hebben Moll en Van Beek in 1823 twee kanonnen op bijna 18 km van elkaar afgevuurd en de tijd opgenomen tussen flits en knal (zo n 52 s). Door de tijden te middelen schakelden ze de invloed van de wind uit. In vaste stoffen en vloeistoffen vind je hogere waarden voor de geluidssnelheid dan in gassen. In metalen is de geluidssnelheid zo n 5 km/s. Ook is de temperatuur van belang. Zie Binas. De geluidssnelheid hangt niet af van de frequentie. Dat wil zeggen, als je meer dan één toon uitzendt, dan komen die allemaal tegelijk bij de ontvanger. Gelukkig maar, want anders zouden we elkaar niet kunnen verstaan. Als een geluidsgolf van het ene medium (tussenstof) in het andere komt, verandert de frequentie niet maar de golflengte wel. Als je het alarm van een waterdicht horloge onder water laat afgaan, is de toon zowel onder als boven water even hoog. De golflengte is onder water echter 4,5 keer zo groot doordat de geluidssnelheid daar 4,5 keer zo groot is. 7.2 Lopende golven en geluid 133 Proef 9 Links of rechts? Welk tijdsverschil kunnen onze hersenen nog onderscheiden? Deze vraag is met een simpel proefje te onderzoeken. Houd een slang achter je hoofd en laat een ander vlak naast het midden op de slang tikken. Waarschijnlijk kun je tot op 0,5 cm nog bepalen of dat links of rechts gebeurt. Met de geluidssnelheid uit Binas kun je vervolgens het tijdsverschil berekenen. Uitleg De bewegende vlam Met de vlam voor de speaker toon je aan dat geluid een longitudinale golf is. De vlam beweegt mee op de longitudinale geluidsgolven en niet op en neer. Met deze airzooka kun je dat ook demonstreren: op 10 m afstand blaas je een kaars uit of laat je iemand schrikken. Als je de plastic zak laat terugschieten, ontstaat een ringvormige drukgolf (een torus) die zichzelf in stand houdt. Zelfs als het gat vierkant is, krijg je zo n torus. Als je eerst rook in de toeter verzamelt, kun je de ringvormige golf zichtbaar maken.

12 134 7 Trillingen en golven Geluiden registreren Het elektrische signaal van een microfoon kun je zichtbaar maken met een computer of met een oscilloscoop. De a (440 Hz) van een stemvork blijkt een sinusvormige u(t)-grafiek te hebben: Met een goede toongenerator en een luidspreker kunnen we ook zuivere tonen maken. Bij een hogere frequentie horen we een hogere toon en bij een grotere amplitude horen we de toon luider. Als we geluidsapparatuur testen met een toongenerator, weten we meestal ook hoe die muziek zal weergeven. De toonhoogte is hoger bij hogere frequentie. De luidheid is groter bij grotere amplitude. Meten met een oscilloscoop Bij een oscilloscoop schrijft een lichtstip op het scherm. Als de spanning toeneemt, gaat de stip omhoog. De gevoeligheid wordt opgegeven in volt per schaaldeel. Op de linker foto zie je alleen dát de stip heeft bewogen maar niet hóe. Op de rechter foto ging de stip tegelijk ook naar rechts en zie je hoe de stip op en neer is gegaan. Meer naar rechts op het scherm betekent later in de tijd. Bij deze foto was de tijdbasis ingesteld op 500 μs per schaaldeel. Het scherm is tien schaaldelen breed, de stip heeft dus 5 ms nodig om de rechterkant van het scherm te bereiken. Proef 10 Een trillende stemvork stil zetten Met een stroboscoop zet je de schaduw van een trillende stemvork stil: f stemvork = f stroboscoop. Dankzij de speld kun je beter scherp stellen. Proef 11 Een zingende zaag We registreren het geluid van een trillend zaagblad met een microfoon en een computer. Tijdens de proef horen we de toon niet van hoogte veranderen maar wel zwakker worden. De toppen blijken evenver van elkaar te zitten maar wel lager te worden. Voorbeeld ECG s - Hoeveel slagen maken het hart van een grijze walvis en van een mens per minuut? Oplossing Bij de walvis kun je maar twee periodes aflezen, bij de mens negen: 2T walvis = 6,0 s 20 slagen per minuut 9T mens = 6,6 s 82 slagen per minuut

13 Beweging plus beweging geeft rust Golven kunnen elkaar versterken of uitdoven. Dat kunnen we aantonen door drie veren op de grond aan elkaar te knopen. Als de wegen AP en BP even lang zijn, zullen de golven tegelijk in P aankomen, zodat P gaat trillen met dubbele amplitude. Maar stel dat BP een halve golflengte korter is dan AP: AP BP = 0,5λ Bij een weglengteverschil van 0,5λ hoort een tijdverschil van 0,5T. Als de golf uit A bij P aankomt en P naar links wil laten gaan, is de golf uit B daar al bezig en duwt P juist naar rechts. Het gevolg is dat P niet uitwijkt en vanaf dat moment niet meer trilt. Geluid plus geluid geeft stilte Met geluidsgolven lukt het ook. Als twee golven elk dezelfde trilling naar je oor brengen, zullen beide proberen je trommelvlies te laten bewegen. Als beide golven in de pas lopen. beweegt het trommelvlies heftiger dan bij één toon. Maar als de golven precies uit de pas lopen, zal de ene trilling je trommelvlies wil indrukken, terwijl de andere het juist wil uitrekken. Gevolg: je hoort niets. Daar wordt gebruik van gemaakt om geluidshinder te verminderen, namelijk met behulp van antilawaai. (Lees) 7.2 Lopende golven en geluid 135 Proef 12 Stiltes bij een stemvork Als je een stemvork bij je oor om zijn steel draait, valt het geluid tijdens één rondje vier keer weg. Als de benen naar buiten bewegen, ontstaat in de lucht buiten de stemvork overdruk (verdichtingen in de richtingen 1) en in het centrum onderdruk (verdunningen in de richtingen 2). In richting 1 en richting 2 hoor je de stemvork dus goed. Tussen 1 en 2 in, op de stippellijnen, werken de twee golven elkaar tegen. In die richtingen valt het geluid dus weg. Proef 13 Een stil zaagblad Houd een zaagblad naast je oor en geef er een tik tegen zodat het een toon geeft. Er één positie waarbij je het geluid van het blad niet hoort. De voorkant en de achterkant trillen tegen elkaar in, zodat hun geluidsgolven precies uit de pas lopen. Ze doven elkaar dus uit als ze tegelijk bij het oor aankomen.

14 136 7 Trillingen en golven Bronnen trillen harmonisch tenzij anders gegeven 8 In de buurt van Muiderberg staat in het bos een halfronde muur uit de 18 e eeuw. De muur blijkt een prachtige echo te leveren. Je roept: Hoe was de Aardman toen je met hem was getrouwd? Het antwoord Oud! hoor je na 0,25 s. a Op welke afstand sta je van de muur? b Hoor je in de winter de echo iets eerder of iets later? 9 Iemand slaat op een spoorrail. Op 150 m afstand lig je met één oor op de rail. a Waarom hoor je de klap twee keer? b Hoeveel tijd zit daar tussen? Hij slaat scheef van boven op het eind van de rail. c Hoeveel keer hoor je dat nu? 10 In een sciencefiction film die zich in de ruimte afspeelt, ontploft een kunstmaan op 1 km afstand. a Is dit te horen? b Hoeveel tijd verstrijkt er tussen het zien van de flits en het horen van de klap als er radiocontact met de kunstmaan is? 11 a Zoek de geluidssnelheid op in ijzer, in water van 0 ºC en in lucht van 0 ºC. b Bereken λ in deze stoffen als f = 500 Hz. Opgaven Bij een concert sta je 50 m van de luidsprekers. Je luistert ook op je ipod naar de radiouitzending via een satelliet op km hoogte. a Waarom is dat geen gehoor? b Welk signaal wint? c Hoeveel seconden scheelt dat? 13 Deze registratie is gemaakt van de toon van een kermisfluitje. a Bepaal de periode. b Bepaal de frequentie. 14 Puzzling Quarters noemde Martin Gardner deze variatie op Proef 8. Je drukt de middelste munt met je duim stevig op de tafel. Als je de rechter munt hard tegen de middelste slaat, springt de linker munt opzij. a Is de schokgolf door de middelste munt longitudinaal of transversaal? De munten bestaan hoofdzakelijk uit koper; hun diameter is 26 mm. b Bereken na hoeveel milliseconde de linker munt wegschiet.

15 7.3 Staande golven en muziekinstrumenten Staande golven en muziekinstrumenten Als je een draad of een kralenketting de goede spanning geeft, kun je daarin met een triller in een staande golf opwekken. Staande golven Als we de spanning in de kralenketting een beetje aanpassen, zwiept hij op sommige plaatsen ver uit de evenwichtsstand.die plaatsen noemen we de buiken van de staande golf. Op andere plaatsen staat het touw stil. Dit zijn de knopen. Het uiteinde waar de ketting vastzit, wordt in ieder geval een knoop. Meestal is de amplitude van de triller zo klein, dat we dit beginpunt ook als een knoop mogen opvatten. Om de snelle beweging te onderzoeken, gebruiken we een stroboscoop. Op deze foto zie je een deel van een trillend kralensnoer drie keer. Let op de twee knopen aan weerskanten van de buik. We kunnen de stroboscoop ook zó afstellen, dat het snoer heel langzaam alle verschillende standen lijkt te doorlopen. De trillende kralen blijken uitsluitend verticaal te bewegen. Zo nu en dan is het snoer helemaal recht. De lengte van een complete sinus noemen we weer één golflengte λ. In de figuur zie je: De afstand tussen twee knopen of twee buiken is ½λ. De afstand van knoop tot buik is ¼λ. Staande geluidsgolven Met longitudinale geluidsgolven kunnen ook staande golven gemaakt worden zelfs in een open buis. Deze trompetspeler heeft het uiteinde van zijn instrument voor het goede doel even in zeepsop gehouden. Aan zijn muziek is niets bijzonders te horen; blijkbaar blaast hij geen lucht door de buis, maar brengt hij de lucht binnenin in trilling. In een snelheidsknoop (kortweg knoop) beweegt de lucht niet. Aan weerskanten beweegt de lucht naar de knoop toe of er vanaf. Daardoor varieert de luchtdruk in de knopen. In een (snelheids)buik is de druk daarentegen constant. We kunnen deze effecten zichtbaar maken met gasvlammetjes of met kurkpoeder in een glazen buis. Ook hier is de afstand tussen twee knopen of twee buiken ½λ. De afstand van knoop tot buik is ¼λ.

16 138 7 Trillingen en golven Proef 14 Knopen zoeken in een open buis Houd een microfoontje precies in het midden van een lange pvc-buis. Een luidspreker maakt daarin het signaal van een toongenerator hoorbaar. De microfoon is verbonden met een oscilloscoop. De laagste frequentie waarbij je een sterk signaal op de oscilloscoop krijgt, is de grondtoon van de buis. De trillende luchtkolom is dan ½λ lang. Doordat de buis open is, heb je in het midden een knoop en aan de uiteinden buiken. Twee kanten open: ½λ past een geheel aantal keer op de lengte l. In een knoop registreert de microfoon een sterk wisselende druk. De lucht stroomt er van weerskanten naar toe (hoge druk) en even later weer vandaan (lage druk). Als je ½λ berekent met f en v zul je merken dat de buiken iets buiten de buis liggen. Muziekinstrumenten Muziekinstrumenten kunnen grofweg in drie groepen worden ingedeeld: snaarinstrumenten (gitaar, viool, piano...), blaasinstrumenten (fluit, saxofoon, orgel...) en slagwerk (drum, xylofoon, gamelan...). Van de eerste twee groepen behandelen we de basisprincipes, maar je moet wel bedenken dat de formules die we hier afleiden in de praktijk alleen als vuistregels bruikbaar zijn. Snaarinstrumenten De snaar van een instrument zit aan twee kanten vast en heeft dus aan elk einde een knoop. Bij een staande golf past een geheel aantal halve golflengten op de lengte l van de snaar. Bij de meest eenvoudige trilling hoort de grondtoon f 0 ; bij de andere spreken we van boventonen. De frequenties waarmee een snaar trilt nadat hij is aangeslagen of aangestreken, heten weer de eigenfrequenties ; zo gaat een snaar resoneren als we in zijn buurt zo n eigenfrequentie ten gehore brengen. ½λ past een geheel aantal keer op de lengte l. Blaasinstrumenten Na enig oefenen zal het je lukken aan een stuk elektriciteitsbuis die aan één kant dicht is, een toon te ontlokken als je er over blaast. Hoe langer de buis, hoe lager de toon. Je kunt zo een panfluit maken.

17 Proef 15 Een resonerende luchtkolom We houden een stemvork van 440 Hz boven een lang glas dat we langzaam met water vullen. De luchtkolom resoneert twee keer. De twee waterhoogten liggen ½ uit elkaar. Ga zelf na dat dit 39 cm moet opleveren bij 440 Hz. Welke lengte hoort bij een toon? Een van de buisjes van de panfluit moet een toon geven van 523 Hz (c). Zijn lengte moet dan ruim 16 cm zijn. Ga maar na: de trillende luchtkolom heeft aan de dichte kant een knoop en aan de open kant een buik, zodat hij ¼λ lang is. Bij 523 Hz vind je met v = 343 m/s, λ = vt en f = 1/T een golflengte van 65,6 cm. De luchtkolom moet dus 16,4 cm zijn. Als je erg hard op zo n fluit blaast, dan kun je de eerste boventoon krijgen die drie keer zo hoog is. Dezelfde buis is nu ¾λ lang: Eén kant open: ¼λ past een oneven aantal keer op de lengte l. Bij blaasinstrumenten wordt de lucht op allerlei manieren in trilling gebracht. Bij een hobo blaas je tegen een riet, bij een fluit tegen een scherpe rand en bij een trompet breng je de lucht met je lippen tegen een mondstuk in trilling. 7.3 Staande golven en muziekinstrumenten 139 De luchtkolom in het instrument kiest uit de aangeboden trillingen zijn eigenfrequentie.voor de meeste blaasinstrumenten zijn deze tekeningen slechts bij benadering bruikbaar omdat de plaatsen van de gaten en de vorm van de buis invloed hebben op de toonhoogte. Bovendien heeft de temperatuur van de lucht invloed op de geluidssnelheid (zie tabel 15A) en dus op de toon van een instrument. Proef 16 Een zingende buis Rijke plaatste op een kwart van een glazen buis een metalen rooster en verhitte dat, met als gevolg dat de grondtoon van de buis zeker een halve minuut luid te horen was. In Lees staat de verklaring. Sommige goochelaars gebruiken dit effect want je hoort de toon alleen als je de buis verticaal houdt. Proef 17 Een resonantie-orgel Deze open buizen selecteren hun eigenfrequenties uit de ruis op de gang net als het geruis in een schelp. Door er met je oor langs te gaan, hoor je Boer daar ligt een kip in t water.

18 140 7 Trillingen en golven 15 Je gehoorgang is ongeveer 2,5 cm lang en op te vatten als een halfgesloten klankkast. Er is dus een toon die je erg goed hoort, ook al klinkt die zacht. a Bereken die resonantiefrequentie. Von Békésy onderzocht het gehoor van een pas gestorven olifant. De gehoorgang was 2 dm lang. Olifanten horen geluiden tussen 14 Hz en Hz. b Welke toon hoort een olifant het best? 16 Als we de microfoon verschuiven tussen luidspreker en scherm, gaat het lampje zo nu en dan fel branden. a Verklaar dit. b Hoe ver liggen twee posities uit elkaar waarbij het lampje brandt? 17 De vijfde snaar (de A) op een klassieke gitaar is 65 cm lang en heeft een grondtoon van 110 Hz. a Hoeveel λ zit er tussen de twee knopen? b En tussen de buik en een knoop? Om de gitaar te stemmen gebruik je een stemvork van 440 Hz. Je moet dan op de vijfde snaar een zogenaamde flageolettoon spelen die even hoog klinkt als de stemvork. c Bereken λ van de flageolettoon. 18 Een aluminium staaf van 1,00 m wordt losjes in het midden vastgehouden en aangestreken met wat hars aan de vingers. a Zoek de geluidssnelheid in aluminium op. b Welke (snerpende) toon hoor je? c Leg uit of je bij een even lange (en dikke) koperen staaf een hogere of lagere toon zal horen. Opgaven Je slaat op het einde van een koker van 1,00 m. a Welke toon hoor je? b Hoe verandert die toon als je de andere kant onder water doopt? Een didgeridoo geeft een toon van 110 Hz. Bij het mondstuk heeft de luchtkolom een buik. Bij de opening aan de andere kant bevindt de buik zich 4 cm buiten de buis. c Hoe lang is het instrument? 20 De vier cilinders in een auto vuren ieder één keer per twee omwentelingen van de motor. De uitlaat is 3,0 m lang en op te vatten als aan beide kanten open. In het hete gas daarin is de snelheid van geluid 400 m/s. Je geeft voorzichtig gas tot het geluid in de uitlaat aanzwelt. a Hoe heet dat verschijnsel? b 1 Teken de buiken en knopen in de uitlaat in dat geval. b 2 Bereken de golflengte van de geluidsgolf in de uitlaat. c Bereken het toerental van de motor. 21 Je hebt ergens gelezen dat mollen een hekel hebben aan hoge tonen en dat je om ze te verjagen een wijnfles zonder bodem in een mollengang moet zetten. De wind, blazend over de hals van de fles, zou de rest doen. a Welke toon verwacht je bij een fles van 30 cm? b Beredeneer of een bierflesje van 20 cm beter zal werken.

19 We bespreken op deze pagina s de volgende begrippen: radiogolf, draaggolf, AM, FM, digitale codering, bemonsteringsfrequentie, bandbreedte, data transfer rate en kanaalscheiding. Telecommunicatie Een radiogolf is, net als zichtbaar licht, een elektromagnetische golf. Het verschil is de veel lagere frequentie. In tabel 19B van Binas kun je de frequenties van radiogolven zoals HF en VHF in het algemeen overzicht van het elektromagnetisch spectrum terugvinden. Communicatie tussen onderzeeboten gebeurt met frequenties van 30 Hz tot 300 Hz. Het spectrum van de radioastronomie is nog veel breder: 30 MHz tot 700 GHz. Radio 1 zendt vanuit Lopik uit op 98,9 MHz. De golflengte bereken je met λ = c/f. Hierin is c de lichtsnelheid. Ga na: de λ van 300 GHz is 1 mm lang en de λ van Radio 1 is 3 m. De λ van 30 Hz is onder water 7, km lang, want c is in water 1,33 keer zo klein als in vacuum. Moduleren Laagfrequentie audiosignalen kunnen als elektromagnetische golven naar een ontvanger worden verzonden, maar ze worden in de atmosfeer zeer snel gedempt. Nog belangrijker is, dat zulke zenders elkaar zouden storen doordat ze vergelijkbare signalen uitzenden. Daarom worden de laagfrequente signalen van de microfoon eerst aan een hoogfrequente draaggolf toegevoegd die goed tegen de ionosfeer weerkaatst. Dit meesurfen heet moduleren. Het wordt gedaan door de amplitude (AM) of de frequentie (FM) van de draaggolf te variëren. Het gemoduleerde signaal wordt naar een antenne geleid en verzonden als elektromagnetische golf. De antenne van de ontvanger pikt die golf weer op en filtert de audio eruit. Na versterking hoor je het geluid uit de luidsprekers. Amplitudemodulatie (AM) Bij AM wordt de amplitude van de draaggolf bepaald door de waarde van het audiosignaal. Met Coach kun je dat nabootsen. Het model staat op de site. 7.4 Informatieoverdracht Informatieoverdracht Hier zie je onder elkaar het audiosignaal (met de frequentie f a ), de draaggolf (met frequentie f d ), en de AM-modulatie. In dit model is f a = 0,35 khz en f d = 5 khz; in werkelijkheid is f d minstens 1000 keer zo groot als f a. Een versterker zou hierbij als uitgangssignaal nul geven. Daarom moet eerst het negatieve gedeelte met een diode worden tegengehouden. Versterker en luidspreker (en onze oren!) kunnen de zeer snelle wisselingen van de draaggolf niet volgen. Wat overblijft is de omhullende het audiosignaal. Frequentiemodulatie (FM) Bij FM wordt de frequentie van de draaggolf bepaald door de waarde van het audiosignaal. Als die waarde positief is, wordt de frequentie van de draaggolf hoger. Als de waarde negatief is, wordt de frequentie lager. Ook dat is met Coach na te bootsen. Het uitfilteren van het audiosignaal bij FM is een ingewikkeld verhaal. Dat zou hier te ver voeren.

20 142 7 Trillingen en golven Kanaalscheiding bij zenders Als we in Coach met signaalanalyse nagaan welke frequenties er in de signalen van AM (links) en FM (rechts) zitten, krijgen we deze plaatjes. Je ziet dat er zich naast f d = 5 khz nog meer frequenties bevinden, de zijbanden. Bij FM meer dan bij AM. Bij AM is zo n zijband net zo breed als f a ; hier dus ook 0,35 khz. Bij FM zijn de regels voor de breedte van de zijbanden veel ingewikkelder. De zijbanden van verschillende zenders mogen elkaar niet overlappen, want anders hoor je ze door elkaar. Daarom wordt aan zogenaamde kanaalscheiding gedaan. Er is afgesproken dat de zenders in hetzelfde frequentiegebied, zich 25 khz uit elkaar moeten bevinden. Dat geldt bijvoorbeeld voor de marifoonkanalen van de scheepvaart in de VHF-band ( MHz). Je kunt hier dus maximaal 240 zenders in kwijt. Reken maar na. Storingsgevoeligheid AM is erg gevoelig voor stoorsignalen, bijvoorbeeld voor het elektromagnetische veld van een vonk of een bliksemflits. De amplitude van de gemoduleerde draaggolf is dan verminkt en daardoor hoor je gekraak door de uitzending heen. Bij FM wordt de frequentie niet beïnvloed door de bliksemflits. Signalen digitaliseren Bij een radioverbinding wordt geluid (audio) eerst door een microfoon omgezet in een continu elektrisch signaal. Bij een digitaal systeem wordt het signaal daarna in een vast tempo bemonsterd, in goed Nederlands : gesampled. Een waarde van het signaal wordt dan omgezet in bits. Een bit kan 0 of 1 zijn. Als je nul, een, twee, drie, enz. vingers opsteekt, schrijf je dat binair als 0000, 0001, 0010, 0011,... Een bekende grap is: Er zijn 10 soorten mensen: zij die binair kunnen tellen en zij die dat niet kunnen. Zet je 8 bits op een rij, dan heb je een byte (by eight) afgekort met B. Met 8 bits kun een signaal dat varieert tussen 0 en 5,0 V in 2 8 = 256 aparte (discrete) stapjes verdelen. Het aantal keer per seconde dat de grootte van het signaal gemeten wordt, heet de bemonsteringsfrequentie f b. De f b van een muziek-cd is 44,1 khz en van de audio op een dvd 192 khz. Het tempo waarin de bits van het gedigitaliseerde signaal naar de ontvanger worden verzonden is de data transfer rate in MB/s. Dus in miljoen Bytes per seconde. Misschien heb je wel eens met blue tooth een foto of een lied van de ene telefoon naar de andere gestuurd. Een bestand van 1,5 MB versturen met 0,7 MB/s duurt 2,1 s.

21 22 Op het IJ van Amsterdam gebruikt de havendienst het marifoonkanaal 14 met een radiofrequentie van 156,700 MHz. a 1 Ga met Binas na of dit HF of VHF is. a 2 Bereken de golflengte; let op de significante cijfers. b Wordt met 156,700 MHz de frequentie van de audiogolf of de frequentie van de draaggolf bedoeld? Leg uit. c Waarom heeft FM nauwelijks last van onweer en AM juist wel? 23 Een gezond 16-jarig oor kan tonen horen tussen de 20 Hz en 17 khz. a Hoe groot is de bandbreedte? Voor spraak is de bandbreedte 7,5 khz. De laagste toon je kan maken is 200 Hz. b Wat is de hoogste toon? De vaste telefoonaansluiting heeft een bandbreedte van 3 khz. Dat is genoeg om elkaar te verstaan. Voor luisteren naar muziek is de telefoon niet geschikt. c Wat zal de reden zijn? In het frequentiegebied van MHz liggen drie tv-kanalen. d Bereken de bandbreedte die elk kanaal heeft. 24 Tegenwoordig wordt wereldwijd op een paar uitzonderingen na FM uitgezonden met draaggolffrequenties van 87,30 MHz tot 108,00 MHz. Er wordt steeds één zijband van 0,30 MHz gebruikt bovenop de frequentie van de draaggolf. De FM-band was vroeger onderverdeeld in kanaalnummers (op een oude radio kun je ze nog zien staan). Dus kanaal 1 op 87,30 MHz, kanaal 2 op 87,60 MHz, enz. Radio 1 zendt uit op kanaal 40. a Leg uit dat er 70 kanalen op de FM-band passen. b 1 Op welke frequentie zit Radio 1? b 2 Bereken de golflengte van Radio Informatieoverdracht 143 Opgaven a Wat betekenen de afkortingen AM en FM? Zowel bij AM als FM zijn er zijbanden. b Waar is de zijband groter, bij AM of bij FM? c 1 Kun je twee AM-zenders door elkaar ontvangen? c 2 En hoe zit dat bij FM? 26 Bij telecommunicatie spelen deze onder andere deze vier begrippen een rol: draaggolf, AM, FM en kanaalscheiding. a Zit er informatie in de draaggolf? Bij het radiocontact met een satelliet vindt kanaalscheiding plaats. De satelliet ontvangt een draaggolf met f = 2,11 GHz. De frequentie van het signaal terug naar aarde is een factor 1,086 groter en heeft een bandbreedte van 40 MHz. b Leg met een berekening uit dat op deze manier slechte ontvangst vanwege interferentie tussen de heen en weer gaande signalen wordt voorkomen. 27 Hieronder staan drie signalen. a Welke vorm van modulatie is hier toegepast? - Welk signaal b 1 is het audiosignaal; b 2 hoort bij de draaggolf? c Neemt de frequentie van de draaggolf toe of af als de uitwijking van het audiosignaal negatief is? Licht je antwoord toe.

22 144 7 Trillingen en golven 28 Je doet bij een veer deze metingen (lengtes in cm en massa s in gram): a Hoe groot is m? b Hoe groot is l? c Hoe verhouden zich de frequenties f 1 en f 4? 29 De massa van deze auto is 980 kg en hij is geveerd met C = 1, N/m. a Met welke eigenfrequentie kan deze auto trillen? Als de auto over de drempels rijdt, is er een snelheid waarbij hij heftig op-en-neer gaat bewegen (resoneren). b Bereken die snelheid. 30 Gebruik Excel bij deze opgave. Met een veer zijn deze twee series metingen gedaan: F (N) u (cm) m (g) 10T (s) 0,50 2,6 60 3,72 1,00 4, ,87 1,50 7, ,21 2,00 10, ,59 2,50 12, ,30 a 1 Maak een F(u)-grafiek. a 2 Bepaal C met behulp van de trendlijn. b 1 Maak een T 2 (m)-grafiek. b 2 Bij welke meting is duidelijk wat misgegaan? c 1 Toon aan dat de helling van de T 2 (m)-grafiek gelijk is aan 4π 2 /C. c 2 Bepaal C met de helling van deze grafiek. Opgaven hoofdstuk 7 31 Vier personen, samen 250 kg, stappen in een auto van 1000 kg. De veerconstante is 5, N/m. a Hoeveel is de auto gezakt als hij is uitgetrild? b Met welke trillingstijd trilde de auto? De vier stapten tegelijk in. De schokdempers zijn niet best, want pas 3 s later trilde de auto niet meer. c Schets de u(t)-grafiek voor deze 3 s. 32 Bij benadering geldt hier T = 2 R. - Hoe vaak passeert deze skateboarder het onderste punt in 10 s? 33 Een loopplank van 13 kg heeft een veerconstante van 8000 N/m. a Met welke frequentie gaat de plank trillen als je hem optilt en weer laat vallen? b Schat het tempo waarmee jij op het midden van de plank moet dansen om hem in resonantie te krijgen. 34 Een atoom ( kg) in een vaste stof trilt met een amplitude van m en een frequentie van Hz. a Schets zijn u(t)-grafiek. b Bereken de veerconstante. c Bereken de grootste kracht die het atoom van zijn buren ondervindt. 35 Een astronaute bepaalt haar massa met een verende stoel; C = 800 N/m. De lege stoel trilt met 1 Hz; met astronaute erin is f = 0,5 Hz. a Bereken de massa van de stoel; b en van de astronaute.

23 36 Met een oscilloscoop is twee keer de toon van één van deze stemvorken opgenomen (f in Hz): c1-256; e1-320; g1-384; a1-440; c Links stond de tijdbasis ingesteld op 1 ms per schaaldeel. a Hoeveel tijd hd de stip nodig om de rechterkant van het scherm te bereiken? b Hoe stond de tijdbasis rechts ingesteld? c 1 Bepaal T en bereken f. c 2 Om welke stemvork ging het? 37 Huygens heeft geprobeerd een secondeslinger te maken: van uiterst links naar uiterst rechts zou 1 s moeten duren. Hij paste daarbij de formule toe die hij voor de slingertijd had afgeleid (één keer van links naar rechts): T slinger π g a Hoe lang was die slinger? b Bereken hoeveel % het getal π en 9,81 van elkaar afwijken. c Verklaar hiermee zijn benaderingsformule: T = l. 38 Een niet-sinusvormige watergolf nadert met 0,80 m/s de dobbers van twee vissers. Deze liggen op 3,0 m van elkaar in het verlengde van de golf. a Gaan deze dobbers harmonisch trillen? De dobbers gaan met een frequentie van 2,0 Hz op en neer. b Hoeveel seconde na het bereiken van de eerste dobber is de golf bij de tweede aangekomen? c 1 Bereken λ. c 2 Druk de afstand tussen de dobbers uit in λ. c 3 Gaan ze in de pas of uit de pas trillen? Opgaven hoofdstuk Een harmonisch trillend blokje heeft op een zeker moment een uitwijking van 5,0 cm boven de evenwichtsstand. De maximale uitwijking van 10,0 cm wordt 2,0 s later bereikt. a Leg aan je buurvrouw/man uit waarom T niet 16 s is. b Bereken T. c Bereken u van het blokje 5,0 s na het passeren van de top. 40 Een gewicht danst aan een veer die vastzit aan een krachtsensor. Tijdens het dansen registreert een ultrasone afstandsensor de uitwijking. De blauwe lijn in de F(u)-grafiek is de fit van de metingen a Bepaal C van de fit. Als je aan de gebruikte veer 100 g hangt, rekt hij 15,5 cm uit. b 1 Bereken hiermee C. b 2 Hoeveel % wijken deze waarden af? 41 Op een luchtkussenbaan veert een glijder van 150 gram tussen twee identieke veren met C 1 en C 2. Er geldt: C totaal = C 1 + C 2. a In welke richting staat de netto kracht op de glijder op dit moment? b 1 Bereken C totaal als je meet: 10T = 7,0 s. b 2 Hoe groot is dus C 1?

24 146 7 Trillingen en golven 42 Je laat een steentje van een balkon vallen en ziet het 3,00 s later op de grond vallen. a Hoe hoog is het balkon? Je laat een steentje in een waterput vallen en hoort even later de plons. b Welke tijd zou je meten bij een put die 90,0 m diep is? 43 We schijnen met een stroboscoop op een zonnecel. Het signaal versterken we en het geluid vangen we op met twee microfoons. a Bepaal de frequentie van de stroboscoop. b Bepaal de geluidssnelheid. 44 Met een motortje laten we een kralensnoer ronddraaien. a Druk de lengte van het snoer uit in de golflengte. De snelheid v van de golf is evenredig met de wortel uit de spankracht in het snoer F s : v ~ F s b Verklaar waarom de golflengte bovenin groter is dan onderin. c Schets het snoer bij de op één na laagste eigenfrequentie. 45 Voor de golfsnelheid in een snaar geldt: F v s m/ Hierin is F s de spankracht in de snaar; m de massa en l de lengte van de snaar. a Verklaar waarom pianosnaren voor lage tonen extra omwikkeld zijn. De d-snaar van een viool heeft een grondtoon van 294 Hz; het trillende deel is 32,5 cm lang; m/l = 1, kg/m. b Bereken de spankracht in de snaar. Op deze snaar wordt een toon van 360 Hz gespeeld zodat de lucht in een beschuitbus zonder deksel resoneert. De buik van de luchtkolom bevindt zich 2,0 cm boven de opening. c Bereken de hoogte van de beschuitbus. d Bereken tot hoever de snaar is ingekort. 46 Laënnec gebruikte een rechte buis als stethoscoop. De resonantiefrequenties van die buis zijn in deze grafiek af te lezen. a Leg uit dat de huid van de patiënt en het trommelvlies van de arts hier als knoop functioneren. b Hoeveel λ s passen er bij 2000 Hz op de lengte van de buis? c Bereken de lengte van de buis.