We vertrekken van zeer eenvoudige figuren bv. een vierkant en gaat ze nu vervormen.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "We vertrekken van zeer eenvoudige figuren bv. een vierkant en gaat ze nu vervormen."

Transcriptie

1 Zelf tekeningen maken in de stijl van Escher Dag van de wiskunde Peter Raedschelders O-L-VR-PL Kruibeke België website: home.scarlet.be/~praedsch We vertrekken van zeer eenvoudige figuren bv. een vierkant en gaat ze nu vervormen. Als we dit vierkant vervormen door er ergens een driehoekje bij te plaatsen, dan moeten we dit doen bij alle vierkanten want we willen steeds dezelfde figuren hebben. Als we dat driehoekje bovenlinks plaatsen bij een vierkant betekent dit automatisch dat we bovenrechts een instulping krijgen bij het vierkant dat ernaast ligt. Onze vierkant ziet er nu reeds zo uit: Als we nu iets gelijkaardig doen aan de bovenkant, krijgen we het volgende : 1

2 Nu moeten we deze tegel nog opvullen zodanig dat we een herkenbare figuur krijgen. Het eenvoudigste is om de tegel die we gemaakt hebben rond te draaien om te kijken of de vorm ons misschien doet denken aan een dier of iets anders. Dit was een eenvoudig voorbeeld waarbij we driehoekje plaatsten maar u mag natuurlijk eender welke vorm gebruiken. Het is echt niet nodig om driehoekje te gebruiken om de vierkanten te vervormen, men kan totaal willekeurige vormen nemen. We zijn begonnen met een badkamervloer met vierkanten, maar er bestaan ook badkamervloeren met rechthoeken. Als we verschillende vierkantjes samennemen dan hebben we een rechthoek. Dit hebben we gebruikt voor het maken van de schildpadden We zetten ergens een driehoekje bv op het vierkantje dat bovenaan links is. Dat doen we opnieuw voor alle vierkanten en dan hebben we weer een andere tegel. 2

3 We kunnen een rij van de rechthoekjes een beetje verschuiven, opnieuw driehoekje of een andere figuur erop plaatsen en dan blijkt dat we een andere tegel krijgen. Alle pijlen wijzen in dezelfde richting. Dit betekent dat de rechthoeken allemaal in dezelfde richting liggen, maar we kunnen ook één rij in één richting leggen en de volgende rij in de omgekeerde richting leggen. Steeds opnieuw plaatsen we de driehoeken en maken een tegel. Hier is wel iets speciaal gebeurt, de driehoeken worden hier opgedeeld, dat is helemaal niet erg. We kunnen dus ander tegels maken door richtingen aan te geven en dat gaan we nu eens toepassen terug op onze vierkanten. 3

4 Daarnet zijn we gestart van vierkantjes. En stilzwijgend hebben we aangenomen dat alle vierkantjes dezelfde richting hadden. De richting kunnen we op de vierkanten aanduiden met een pijltje. We hebben daarnet dus verondersteld dat alle pijltjes in dezelfde richting wezen. Eigenlijk is het woord richting niet volledig juist want we kunnen deze vierkanten ook spiegelen en dan wijzen de pijltjes nog steeds in dezelfde richting nl. naar boven maar ze komen nu van rechts. We spreken dus eigenlijk beter van een oriëntatie van de vierkanten. We kunnen de vierkanten met hun pijltjes niet enkel spiegelen we kunnen ze ook draaien en zo krijgen we 8 verschillende oriëntaties van vierkanten We kunnen nu vierkanten gebruiken met verschillende oriëntaties, waarbij we er enkel rekening moeten mee houden dat de punt van de pijltjes nu steeds de bovenkant van de vierkanten aanduiden. Want we weten door de pijltjes dat de bovenkant van een vierkant, doordat sommige vierkanten gedraaid zijn, nu wel eens links of rechts of aan de onderkant van onze tekening zouden kunnen liggen. 4

5 We hebben het iets vereenvoudigd en we gebruiken in dit voorbeeld wel vierkanten die we gedraaid hebben maar we hebben ze niet gespiegeld. Aan de bovenkant of top van ieder vierkant tekenen we een soort gebogen lijn. De bovenkant wordt steeds aangegeven door de punt van de pijl. Dit doen we voor de negen vierkanten. Als dat klaar is tekenen we aan de onderkant van ieder vierkant, en dat wordt aangegeven door de onderkant van de pijltje ook dezelfde gebogen lijn, maar we hebben de gebogen lijn nu omgedraaid. Als we de pijlen weglaten krijgen we dit: Nu moeten we deze figuren opvullen met een dier of iets anders. Bv Een kikker past er in, nog een klein beetje aangepast zodat de kikker een mooie vorm krijgt. Laten we nu even terug gaan naar het begin: we nemen terug een hoop vierkanten. En we gaan deze een nader bekijken. Zo een hoop vierkanten kunnen we beschouwen als een rooster, een reeks horizontale en verticale lijnen. Als we zo een rooster van lijnen gaan construeren dan beginnen we met 1 horizontale lijn 5

6 en 1 verticale lijn, en vervolgens trekken we op een regelmatige afstand de andere lijnen. We zijn dus begonnen met twee lijnen. Maar verplicht ons te beginnen met slechts 2 lijnen. We zouden even goed een rooster kunnen tekenen als we beginnen met 4 lijnen. We trekken niet enkel de twee lijnen maar ook nog 2 diagonalen. Nu vullen we de rooster niet met rechte lijnen, maar met krommen. Men kan hiervoor bv hyperbolen gebruiken. (openvouwen van de rechte rooster tot een gebogen rooster). We krijgen nu een rooster met vierkanten maar deze vierkanten zijn vervormd. In het centrum zijn ze erg vervormd maar als we ons verder verwijderen van het centrum dan lijken de vierkanten meer op echte vierkanten. Net zoals in ons eerste rooster staat er links en rechts van elk vierkant opnieuw een vierkant, boven en onder elk vierkant staat er weer een vierkant. Dit betekent dat we onze methode van vervormingen die we daarnet hebben uitgelegd ook nu weer kunnen toepassen. We kunnen een groep van vierkanten opnieuw vervormen tot bv schildpadden. En dan krijgen we volgende figuur: 6

7 Eenmaal we dit hebben kunnen we weer een stapje verder gaan en we kunnen ook een rooster maken met 5 assen: Opnieuw maken we een rooster met gebogen lijnen. En vullen heel het rooster met bv. vissen. Tot nu toe hebben we figuren getekend die zeer plat waren. Maar we kunnen ook de rooster gebruiken om meer 3-dimensionele figuren te tekenen. We kunnen op een rooster bv een huisje tekenen, door de lijnen van het huis te trekken op de lijnen van het rooster, schuine lijnen van het huisje kunnen we tekenen door verschillende punten van het rooster te verbinden. Als we een rooster nemen met gebogen lijnen dan zal het huisje ook vervormd zijn, de muren zullen gebogen lijken. Op het eerste zicht kunnen we hiermee weinig beginnen maar als we verder huisje tekenen dan opstaat er een eigenaardige stad. Men kan in deze stad rondwandelen waarbij we bv beginnen aan de waterput onderaan en onze wandeling beëindigen aan de waterput bovenaan. De stad is 7

8 volledig symmetrisch ten opzichte van het middelpunt. Eigenlijk staat de stad er tweemaal op. Natuurlijk kunnen we dat ook toepassen op de tweede rooster met gebogen lijnen, de rooster met de 5 assen. Omdat de stad die toen ontstond zo complex in elkaar geweven zat hebben we besloten om een 3-dimensionale structuur te tekenen waarvan we enkel de vloer tekenden, op deze vloer kronkelen 5 slangen die in elkaars staart bijten. Alhoewel we op de tekening muren kunnen onderscheiden, hebben we die niet bewust getekend, ze ontstonden automatisch van zodra we de vloer tekenden. We hebben u dus laten zien dat als u een nieuw rooster gemaakt hebt dat u dan twee tekeningen kan maken, namelijk een platte vlakverdeling en een merkwaardige 3-dimensionale wereld. Tot nu toe hebben we ons bezig gehouden met vierkanten, het wordt dus nu de hoogste tijd om andere figuren eens uit te proberen, en we beginnen weer zeer eenvoudig. Met regelmatige zeshoeken kunnen we ook een soort rooster maken en hierop hetzelfde gekende principe toe passen. Driehoekjes of een andere figuur plaatsen en zo de zeshoeken vervormen. Voor een eerste oefening is het best aan te nemen dat alle zeshoekje dezelfde richting of oriëntatie hebben. Nadien kunnen we aannemen dat we verschillende oriëntaties geven aan de zeshoeken. 8

9 We hebben hier gekozen voor oriëntaties zonder spiegelingen, dit betekent dat we de zeshoeken 6 verschillende richtingen kunnen geven, met spiegelingen zou dit aantal op 12 komen. We moeten eerlijkheidshalve wel vermelden dat zeker niet alle combinaties van oriëntaties tot goede resultaten leidt, zeer dikwijls blokkeert het systeem en moet u opnieuw beginnen. Maar soms lukt het met een vrij willekeurige combinatie. Toen we deze combinatie uitprobeerden hadden we zeer veel geluk, het systeem blokkeerde niet, dat zal u dadelijk zien, maar het resultaat was zeer bijzonder: de tegel die ontstond heeft vele merkwaardige eigenschappen. Maar laten we eerste de tegel maken. We kennen de oriëntaties van de zeshoeken, dus we kennen de bovenkant van elk zeshoek,namelijk aangegeven door de punt van de pijlen. Aan de bovenkant van de zeshoeken knippen we een klein driehoekje uit. Van zelfsprekend kan men andere vormen gebruiken dan driehoekjes. Zoals steeds herhalen we dit bij alle zeshoeken want we willen dat op het einde alle vervormde zeshoeken dezelfde vorm hebben. Door dit te doen verandert de vorm van de centrale zeshoek in hoge mate. We knippen niet enkel een driehoekje weg, er komen automatisch ook twee driehoekje bij. Maar als de centrale zeshoek deze vervorming moet ondergaan dan moeten de andere zeshoeken dezelfde vervorming krijgen want we willen dat de allemaal dezelfde vorm hebben. Dus passen we de vervorming toe op de rest. Nu blijkt dat door dit te doen de zes zijden van de centrale zeshoek worden vervormd. Als we alle pijlen en oorspronkelijke lijnen wegdoen hebben we onze tegel gevonden en nu moeten we enkele nog een figuur zoeken die er ongeveer inpast. Dat bleek een vereenvoudigd eendje te zijn. 9

10 Als we dat eendje dan nog eens 540 keer met de hand getekend hebben en ingekleurd hebben krijgen we de prent eendjes. Deze tegel kan men nog iets veranderen tot een soort van troeteldiertje en dan ontstaat deze figuur. Tot dus ver vierkanten en zeshoeken, we gaan verder en we proberen het eens met vijfhoeken. Maar nu stuiten we op een ernstig probleem: we kunnen een vlak vol leggen met driehoeken, vierkanten of zeshoeken. Maar met de rest dus ook het regelmatige vijfhoeken lukt het niet. Het enige wat we kunnen doen met regelmatige vijfhoeken is die op een zodanig manier te schikken dat de tussenruimten tussen de vijfhoeken steeds dezelfde vorm hebben. Een voorbeeld van zo een schikking is de volgende, maar er bestaan er nog veel meer. 10

11 We willen tegels maken die dezelfde vorm hebben, maar hier hebben we twee figuren, namelijk de vijfhoeken en de tussenruimten. De oplossing voor dit probleem is vrij simpel. Neem 1 vijfhoek en 1 tussenruimte en voeg die samen tot 1 figuur en zoek vervolgens bv een dier dat in de samengevoegde vorm past. Bv vissen. We moeten onmiddellijk toegeven dat dat ons niet volledig is gelukt want er zitten gaten tussen de vissen die we dan zwart hebben gekleurd zodat u ze niet zou zien. De vijfhoek in het midden geeft nu een ander probleem, in de buurt van deze vijfhoek was er geen tussenruimte meer vrij om een vis te vormen. Maar we hebben geluk, de vijftig vissen vormen ongeveer een grote vijfhoek en centraal moeten we een vijfhoek nog opvullen, dus lag de oplossing voor de hand, we tekenden opnieuw 50 kleinere vissen in het centrale gat. Helaas bleek nu weer dat binnen deze 50 kleinere vissen er opnieuw een vijfhoekig klein gaatje was dat niet opgevuld was, dus moeten we opnieuw nog veel kleinere visjes tekenen en zo kunnen we oneindig lang doorgaan. 11

12 Een tweede oplossing laat ik u zien in volgende prent, we hebben hetzelfde geprobeerd met regelmatige zevenhoeken, en ook hier krijgen we gaten tussen de zevenhoeken die we niet kunnen opvullen. In tegenstelling tot voorgaande prent hebben we hier de zevenhoeken opgevuld met een figuur nl Chinese vissers en de tussenruimten opgevuld met witte krabben. Dit is een vlakverdeling met twee soorten tegels en verder is hier nog iets nieuws de Chinese visser worden steeds kleiner en kleiner. Zoiets noemen we een tekening met een limiet. Dat is de volgende stap. We gaan nu tekening maken waarbij we niet heel het vlak moeten voltekenen want dat is zeer vermoeiend, we gaan nu tekeningen maken die vanzelf stoppen. We zijn gestart met schildpadden, dus laten we verder gaan met schildpadden, dat is gemakkelijk want die tekening hadden we al. De schildpadden waren opgebouwd uit vervormde rechthoeken dus tekenen we eerst rechthoeken die steeds kleiner worden, de methode is nog steeds dezelfde als een rechthoek ergens een vervorming krijgt krijgen de ander rechthoeken die ook, in dit geval wordt de vervorming natuurlijk ook steeds kleiner en kleiner. Voor de rest is het net hetzelfde als steeds. 12

13 We hebben de schildpadden een beetje moeten aanpassen, maar nu hebben we wel een tekening die toch al stopt, we moeten nu nog maar de helft van het blad voltekenen. We kunnen trachten het nog beter te doen, want een half blad voltekenen is nog steeds zeer vermoeiend, dus proberen we eens of we iets kunnen doen met een vierkant dat we opdelen in twee gelijke driehoeken. Op deze grote driehoeken kunnen we nu kleiner driehoeken van dezelfde vorm zetten. En als we dat eenmaal kunnen, kunnen we proberen of we dit niet kunnen herhalen. We krijgen dat een vrij ingewikkelde figuur maar als we zo blijven verder doen, dan komt er ooit wel een eind aan en inderdaad de driehoeken blijken nu binnen ons blad papier te blijven 13

14 We vervormen de driehoeken tot zeehonden en vullen heel de figuur op. Let wel, deze figuur een soort achthoek is vanzelf ontstaan. We waren blij dat we niet meer heel het blad moesten voltekenen maar onze blijdschap was van korte duur toen we beseften dat we nu nog veel meer zeehondjes moesten tekenen want ze worden wel oneindig klein, maar hun aantal wordt wel oneindig groot.. Een ander voorbeeld van driehoeken die steeds kleiner worden is volgende figuur. U ziet dat u gewoon uw fantasie moet laten werken en wat spelen met eenvoudige wiskundige vormen om tot een nieuwe basisfiguur te komen. De driehoeken worden ook steeds kleiner, nu is de limiet, de plaats waar de kleinste vormen aanwezig zijn, niet de rand maar zit de limiet centraal in de tekening. Het eeuwige probleem is iets te vinden dat zo vriendelijk is om in deze driehoeken te passen. Enkele jaren geleden was mijn dochter dol op dinosaurussen, dus keek ik in een van haar boeken met tekeningen van dino s en zag dat een stegosaurus ongeveer de vorm had van een driehoek. Na wat zoeken bleek dat deze dieren perfect geschikt waren om als opvulling te dienen. Probleem hier was dat de tekening steeds een grote driehoek als vorm had en dat is natuurlijk niet zo mooi voor een prent dus vulde ik de rest op met het landschap waarin deze dieren leefden in het Krijttijdperk dat ik ook vond in haar boek. 14

15 Volgende is een zeer eenvoudige vlakverdeling die plots toch een 3- dimensionaal beeld geeft. We nemen 54 regelmatige driehoeken en vullen die op met enkel een hoop goedgekozen lijnen. Het resultaat is een eigenaardige wereld met een eigenaardig perspectief. De wormvormige wezens hebben we er later bijgevoegd om wat meer diepte te krijgen. In de volgende tekening maken we een onmogelijke figuur: we starten met twee vierkanten die evenwijdig van elkaar liggen en die verbonden zijn door een tunnel. Als we de tekening doorknippen en wat vervormen kunnen we de twee vierkanten laten samen vloeien tot 1 groot vlak. Vervolgens tekenen we op dit vlak een stad. 15

16 Als we een koepel zouden bouwen over deze stad dan heeft het geheel de eigenschappen van een fles van Klein. In een tovervierkant met getallen hebben de rijen, de kolommen en de diagonalen dezelfde som. In een semi-tovervierkant hebben enkel de rijen en de kolommen dezelfde som. We kunnen vlakvullingen maken die deze eigenschappen dicht benaderen. In onderstaande prent hebben de 8 verschillende orientaties van de duif een verschillende kleur gegeven.in elke rij en in elke kolom komt elke orientatie eenmaal en slechts eenmaal voor. Voor de diagonalen geldt niet niet. De eigenschappen van deze prent komen die sterk overeen met een semitovervierkant of met een Sudoku-puzzel. 16

Zelf leren Escher-tekeningen maken en andere leuke dingen voor in uw wiskundeles Peter Raedschelders

Zelf leren Escher-tekeningen maken en andere leuke dingen voor in uw wiskundeles Peter Raedschelders Dag van de wiskunde 2011 Zelf leren Escher-tekeningen maken en andere leuke dingen voor in uw wiskundeles Peter Raedschelders O-L-VR-PL-15-1 9150 Kruibeke België peter.raedschelders@scarlet.be website:

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Regelmatige vlakvullingen

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Regelmatige vlakvullingen Escher in Het Paleis Wiskundepakket Regelmatige vlakvullingen Regelmatige vlakvullingen Een regelmatige vlakvulling is een manier om een vlak te vullen doormiddel van een zich steeds herhalend patroon.

Nadere informatie

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET...

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET... In dit artikel laten we zien hoe je een kubus, een rombendodecaëder en een afgeknotte octaëder kunt omvormen tot een. Om de constructie zelf uit te voeren, heb je de bouwtekeningen nodig die bij dit artikel

Nadere informatie

START WISKUNDE-ESTAFETTE 2008 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500.

START WISKUNDE-ESTAFETTE 2008 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500. START WISKUNDE-ESTAFETTE 2008 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500. Estafette-opgave 1 (30 punten, rest 470 punten) Uitgeveegd In de cirkeltjes heeft iemand de

Nadere informatie

Fractals als vlakverdeling

Fractals als vlakverdeling Wiskunde & Onderwijs 38ste jaargang (2012) Fractals als vlakverdeling Peter Raedschelders Als men aan een wiskundige vraagt om aan een fractal te denken, dan is de kans vrij groot dat men zich een Mandelbrot-set,

Nadere informatie

SketchUp L. 2.1 2D tekenen

SketchUp L. 2.1 2D tekenen 2.1 2D tekenen Inmiddels kunnen we ons zelf bewegen in SketchUp. De volgende stap is dat we wel iets in SketchUp moeten hebben om ons rond te bewegen. We moeten dus iets gaan tekenen. Voordat je ook maar

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

Prijsvraag Pythagoras Aad van de Wetering, Driebruggen

Prijsvraag Pythagoras Aad van de Wetering, Driebruggen Prijsvraag Pythagoras 2016-2017 Aad van de Wetering, Driebruggen Pythagons Inleiding In september 2016 schreef Pythagoras een prijsvraag uit over pythagons, figuren bestaande uit een vierkant en twee halve

Nadere informatie

Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn. Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993

Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn. Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993 Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993 De tentoonstelling Ruimte en Reliëf in Kasteel Groeneveld te Baarn, waar Popke

Nadere informatie

Bedoeling: Doelen: Leerplandoelen wiskunde (VVKBaO):

Bedoeling: Doelen: Leerplandoelen wiskunde (VVKBaO): Bedoeling: De leerlingen leren M.C. Escher en zijn werken kennen. Ze ontdekken ook wat regelmatige vlakvulling is en maken kennis met de drie soorten symmetrie die Escher in zijn werken gebruikt. Na het

Nadere informatie

4,7. Praktische-opdracht door een scholier 3588 woorden 2 juni keer beoordeeld

4,7. Praktische-opdracht door een scholier 3588 woorden 2 juni keer beoordeeld Praktische-opdracht door een scholier 3588 woorden 2 juni 2008 4,7 52 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding In dit werkstuk gaan wij de wiskundige opbouw en vlakverdeling van een aantal van Escher s kunstwerken

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

K 1 Symmetrische figuren

K 1 Symmetrische figuren K Symmetrische figuren * Spiegel Plaats de spiegel zó, dat je twee gelijke figuren ziet. Plaats de spiegel nu zó op het plaatje, dat je dezelfde figuur precies éénmaal ziet. Lukt dat bij alle plaatjes?

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Perspectief

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Perspectief Escher in Het Paleis Wiskundepakket Perspectief Perspectief We leven in een driedimensionale wereld. Deze wereld nemen we echter waar door projecties op tweedimensionale vlakken of gebogen vlakken. In

Nadere informatie

3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3.

3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3. 1. Als je vervangt door 3 in de uitdrukking + + 6 = + + +, dan verkrijg je: 3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

Nadere informatie

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke

Nadere informatie

Basisbegrippen 3D-tekenen.

Basisbegrippen 3D-tekenen. Basisbegrippen 3D-tekenen. Vroeger was het begrip 3D-tekenen onbestaande en tekende men gewoon in perspectief wanneer er een dieptezicht nodig was. Normaal werd er enkel in 2D getekend, dus enkel de aanzichten.

Nadere informatie

Dag van de Wiskunde Pygram O.D.M 1

Dag van de Wiskunde Pygram O.D.M 1 Elk jaar schrijft het wiskundetijdschrift Pythagoras een wedstrijd uit. De puzzel van vorig schooljaar was gebaseerd op tangram. Matthijs Coster bedacht een variant: pygram. We hadden de eerste trimester

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

TEKENEN. beeldende vorming. Vlakvullingen. hoofdstuk 13: vlakvulling

TEKENEN. beeldende vorming. Vlakvullingen. hoofdstuk 13: vlakvulling Vlakvullingen Tekeningen zoals hierboven heb je vast weleens eerder gezien, bijvoorbeeld op één van de posters in de wiskundelokalen. Het is het werk van Escher.Je kent hem misschien ook wel van de onmogelijke

Nadere informatie

Slangennest Wiskunde B-dag 2018

Slangennest Wiskunde B-dag 2018 Slangennest Wiskunde B-dag 2018 2 Basisopgaven Opgave 1: Cirkeldekens (a) Het kleinste geschikte cirkelvormige dekentje heeft een diameter van 15 cm. (b) Slangen die voldoende om de kop heen krullen passen

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen.

Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Jakob Steiner (Utzenstorf (kanton Bern), 18 maart 1796 - Bern, 1 april 1863) was een Zwitsers wiskundige. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste

Nadere informatie

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

AFSTANDEN IN PERSPECTIEF

AFSTANDEN IN PERSPECTIEF ESECTIEFTEKENEN AFLEVEING 2 In de eerste aflevering over perspectieftekenen, afgelopen november in ythagoras, hebben we het tekenen van evenwijdige lijnen geïntroduceerd. In deze aflevering denken we na

Nadere informatie

1. C De derde zijde moet meer dan 5-2=3 zijn en minder dan 5+2=7 (anders heb je geen driehoek).

1. C De derde zijde moet meer dan 5-2=3 zijn en minder dan 5+2=7 (anders heb je geen driehoek). Uitwerkingen wizprof 08. C De derde zijde moet meer dan 5-=3 zijn en minder dan 5+=7 (anders heb je geen driehoek).. C De rode ringen zitten in elkaar, de groene liggen onder de rode ringen en zijn er

Nadere informatie

Werkstuk Wiskunde Magische Vierkanten

Werkstuk Wiskunde Magische Vierkanten Werkstuk Wiskunde Magische Vierkanten Werkstuk door een scholier 1258 woorden 9 maart 2005 5,8 144 keer beoordeeld Vak Wiskunde De Chinezen waren de eerste die met magische vierkanten gingen werken. Volgens

Nadere informatie

Sudoku s. Annelies Veen Noud Aldenhoven

Sudoku s. Annelies Veen Noud Aldenhoven Sudoku s Annelies Veen Noud Aldenhoven Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Het plaatje op de voorkant is een erg bijzondere puzzel, een soort sudoku. Sudoku s zijn puzzeltjes met hun eigen

Nadere informatie

Fractale dimensie. Eline Sommereyns 6wwIi nr.9

Fractale dimensie. Eline Sommereyns 6wwIi nr.9 Fractale dimensie Eline Sommereyns 6wwIi nr.9 Inhoudstabel Inleiding... 3 Gehele dimensie... 4 Begrip dimensie... 4 Lengte, breedte, hoogte... 4 Tijd-ruimte... 4 Fractale dimensie... 5 Fractalen... 5 Wat?...

Nadere informatie

jaar Wiskundetoernooi Estafette n = 2016

jaar Wiskundetoernooi Estafette n = 2016 992 993 2000 994 999 995 997 998 996 200 2002 2003 204 205 206 202 203 2004 20 200 2005 2009 2007 2006 2008 jaar Wiskundetoernooi Estafette 206 Opgave 206 is een driehoeksgetal: er bestaat een geheel getal

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 1997-1998: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit meerkeuzevragen Het quoteringsssteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Morenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen

Morenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Morenaments Ornamenten met symmetrie Fien Aelter, Liesje Knaepen en Kristien Vanhuyse, studenten SLO wiskunde KU Leuven Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Dit werklad is een voorbereiding

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

vogel en kikker in origami

vogel en kikker in origami Aantal personen Individueel of per twee Per twee: Sterkere taalleerder kan de minder sterke taalleerder helpen Taalniveau Reproducerend taalniveau Niveau Verschillende niveaus mogelijk (makkelijkere of

Nadere informatie

Toelichting op de werkwijzer

Toelichting op de werkwijzer Toelichting op de werkwijzer NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen, Quintijn Puite De opgaven voor de training komen uit het boekje De Nederlandse Wiskunde Olympiade 100 opgaven met hints,

Nadere informatie

werkschrift passen en meten

werkschrift passen en meten werkschrift passen en meten 1 vierhoeken 2 De vijf in één - puzzel 7 Een puzzel De serie spiegelsymmetrische figuren is volgens een bepaald systeem opgebouwd. Teken de volgende figuren in de reeks. 8 Een

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 86 Verdieping Regelmatige figuren 1a e figuur heeft 12 hoekpunten. lke hoek is 150. Ja, ze zijn allemaal 150. d e zijden zijn 2,5 m. e Ja, ze zijn allemaal even lang. 2a en regelmatige driehoek is een

Nadere informatie

Kraak de Eschercode met GeoGebra Chris Cambré

Kraak de Eschercode met GeoGebra Chris Cambré Kraak de Eschercode met GeoGebra Chris Cambré Het Alhambra als inspiratie Escher bezoekt twee maal het Alhambra. Wat inspireert hem? De schetsende toerist In 1922 rondt Maurits Escher zijn opleiding tot

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk

Nadere informatie

Informatica: C# WPO 4

Informatica: C# WPO 4 Informatica: C# WPO 4 1. Inhoud For-loop, debuggen, inleiding tot graphics 2. Oefeningen Demo 1: Geometrische figuren Demo 2: Teken een 10 bij 10 rooster Demo 3: Debug oplossingen demo s 1 en 2 A: Flowerpower

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Aan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier!

Aan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier! Noteer hier eventueel je naam: Aan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier! Wiskunde leuk? Reken maar! wwwwiskundekangoeroebe c Vlaamse Wiskunde Olympiade

Nadere informatie

Onmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde

Onmogelijke figuren. Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre. Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Onmogelijke figuren Geschreven door Judith Floor en Vivike Lapoutre Herzien door Dieuwke van Wijk en Amarins van de Voorde Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Je hebt vast wel eens een stripboek

Nadere informatie

5,7. Profielwerkstuk door een scholier 2227 woorden 8 april keer beoordeeld. Wie was Pythagoras?

5,7. Profielwerkstuk door een scholier 2227 woorden 8 april keer beoordeeld. Wie was Pythagoras? Profielwerkstuk door een scholier 2227 woorden 8 april 2005 5,7 186 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wie was Pythagoras? Pythagoras was een Griekse wijsgeer die rond 575 voor Christus leefde. Zijn vader was

Nadere informatie

100 JAAR M.C. ESCHER

100 JAAR M.C. ESCHER Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis redaktieadres: Nieuwstraat 6 3743 BL Baarn jaargang 10 nummer 2 mei 1996 100 JAAR M.C. ESCHER In 1998 is het honderd jaar geleden dat de Nederlandse graficus

Nadere informatie

FAYA LOBI WEDSTRIJD 2014

FAYA LOBI WEDSTRIJD 2014 1. betekent: het aantal elementen van de verzameling Van twee verzamelingen en is gegeven: en. en Voor en geldt: en en en en 2. en. De verzameling heeft elementen. 3. Zie onderstaande beweringen ( is een

Nadere informatie

Kangoeroe de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd

Kangoeroe de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd Kangoeroe de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd Aan alle Wallaroes en hun leerkrachten: veel succes en, nog belangrijker, veel plezier! reken denk puzzel Kangoeroe.org Vlaamse Wiskunde Olympiade

Nadere informatie

Vlakvullingen of Tessellations

Vlakvullingen of Tessellations Vlakvullingen of Tessellations Een les voor de bovenbouw van de basisschool en de eerste klassen van het voortgezet onderwijs over vlakvullingen Samenvatting van de voorbereiding Deze lessen gaan over

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies

Nadere informatie

11 Junior Wiskunde Olympiade 2001-2002: tweede ronde

11 Junior Wiskunde Olympiade 2001-2002: tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 200-2002: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Kangoeroe. Wallabie de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd

Kangoeroe. Wallabie de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd Kangoeroe de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd Aan alle Wallabies en hun leerkrachten: veel succes en, nog belangrijker, veel plezier! 10 Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Juist antwoord Geen antwoord

Nadere informatie

Deel 1: PowerPoint Basis

Deel 1: PowerPoint Basis Deel 1: PowerPoint Basis De mogelijkheden van PowerPoint als ondersteunend middel voor een gedifferentieerde begeleiding van leerlingen met beperkingen. CNO Universiteit Antwerpen 1 Deel 1 PowerPoint Basis

Nadere informatie

Rekenen met Tegels. 1 Inleiding. 2 Patronen. Hendrik Jan Hoogeboom Leiden May 20, 2007

Rekenen met Tegels. 1 Inleiding. 2 Patronen. Hendrik Jan Hoogeboom Leiden May 20, 2007 Rekenen met Tegels Hendrik Jan Hoogeboom Leiden May, 7 Dit zijn geannoteerde overhead transparanten voor een praatje over betegelingen, en de patronen die we kunnen leggen. Maar vooral ook hoe we kunnen

Nadere informatie

Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak)

Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak) OEFENING: TEKENEN IN SYMMETRIE MET BEIDE HANDEN GELIJKTIJDIG Op bord (verticaal) Op groot blad papier (verticaal of op plat vlak) L R L R Ik zie het anders OEFENING: SYMMETRIE L R Oefeningen voor kinderen

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde

Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Florine Meijer, Wisknutsels Inleiding Creativiteit en wiskunde, gaat dat samen? Kan je wiskunde doen en tegelijk knippen en plakken, of haken, breien en borduren?

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde 3 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Antwoorden Vorm en Ruimte herhaling. Verhoudingen

Antwoorden Vorm en Ruimte herhaling. Verhoudingen Antwoorden Vorm en Ruimte herhaling Verhoudingen 1. a. Tegenover elke 4 eenheden A staan 5 eenheden B en omgekeerd. b. 125 ; 80 c. A bevat 800 exemplaren, B bevat 1000 exemplaren. d. x ; y 2. a. 3 : 2

Nadere informatie

Sterrenwerk. Rekenen. voor 9-11 jaar. combineren en visualiseren 2

Sterrenwerk. Rekenen. voor 9-11 jaar. combineren en visualiseren 2 Sterrenwerk Rekenen voor 9-11 jaar combineren en visualiseren 2 2 Hexomino s 1 Die dekselse figuren van zes! Deze figuren bestaan uit zes vierkanten die elkaar met ten minste een zijde raken. Ze heten

Nadere informatie

Out of Bounds. deels buiten kader of 3 D foto effect. Even deze uiteenzetting van hierboven verduidelijken met enkele voorbeelden:

Out of Bounds. deels buiten kader of 3 D foto effect. Even deze uiteenzetting van hierboven verduidelijken met enkele voorbeelden: Out of Bounds deels buiten kader of 3 D foto effect. Een Out of Bounds (verder in de les omschreven als OOB), is eigenlijk van gewone foto een soort van 3 D uitzicht proberen te geven door gebruik te maken

Nadere informatie

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels Samenvatting Deze samenvatting is voor iedereen die graag wil weten waar mijn proefschrift over gaat, maar de wiskundige notatie in de andere hoofdstukken wat te veel van het goede vindt. Ga er even voor

Nadere informatie

1. INLEIDING... 3 2. PERSPECTIEVEN... 4 3. PROJECTIEMETHODEN... 8 4. AANZICHTEN TEKENEN... 10 5. PERSPECTIEF TEKENEN... 14 6. BRONVERMELDING...

1. INLEIDING... 3 2. PERSPECTIEVEN... 4 3. PROJECTIEMETHODEN... 8 4. AANZICHTEN TEKENEN... 10 5. PERSPECTIEF TEKENEN... 14 6. BRONVERMELDING... 1. INLEIDING... 3 2. PERSPECTIEVEN... 4 3. PROJECTIEMETHODEN... 8 4. AANZICHTEN TEKENEN... 10 5. PERSPECTIEF TEKENEN... 14 6. BRONVERMELDING... 22 Leerplandoelstellingen Perspectieftekenen 9. De afgewerkte

Nadere informatie

Leest hij eerst de eerste kolom van boven naar beneden, dan de tweede enzovoorts, dan hoor je

Leest hij eerst de eerste kolom van boven naar beneden, dan de tweede enzovoorts, dan hoor je Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal vier vierkantjes schrijft iemand letters. In iedere rij en in iedere kolom komt zo één A, één B en één C, zodat

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600.

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal

Nadere informatie

5. De basis. Ocad 11 De basis Een eerste tekening - Jos Bylemans

5. De basis. Ocad 11 De basis Een eerste tekening - Jos Bylemans 5. De basis In de menukeuze klikken we op view en op de keuze 4X, we kunnen hetzelfde doen door de shift in te drukken en dan op toets F9 te klikken. We klikken het symbool 502.000 aan (een verharde weg).

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs

rekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna

Nadere informatie

Compositie op basis van geometrische vormen

Compositie op basis van geometrische vormen Om goed heen en weer te kunnen springen tussen dia en afbeeldingen moet je dit bestand openen met Acrobat Reader. Voor het bekijken van de voorbeelden klik je op de blauwe link. Om terug te keren naar

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Tekenen in Excel-Word-PowerPoint

Hoofdstuk 1: Tekenen in Excel-Word-PowerPoint Hoofdstuk 1: Tekenen in Excel-Word-PowerPoint Excel, Word en PowerPoint hebben een tekenmodule. Voor de illustraties van een lesplan of kijkwijzer kan dit zeker volstaan. De tekeningen verzwaren het bestand

Nadere informatie

de Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw

de Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw SAMENSTELLING: H. de Leuw 1. VEELHOEKEN. Een veelvlak is een lichaam dat wordt begrensd door vlakke veelhoeken. Zo zijn balken en piramides wel veelvlakken, maar cilinders en bollen niet. Een veelhoek

Nadere informatie

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden Antwoorden 1. De tabel met bevolkingsaantallen is niet moeilijk te begrijpen. We zullen gebruik maken van de bevolkingsaantallen volgens geslacht en leeftijdsklassen van 1 jaar (de cijfers die in het midden

Nadere informatie

Cursus KeyCreator. Oefening 13: Audiocassette

Cursus KeyCreator. Oefening 13: Audiocassette Cursus KeyCreator Oefening 13: Audiocassette Tekenen van een audiocassette Men dient hiervoor verschillende functies te gebruiken: - Tekenen van rechthoeken, lijnen en cirkels. - Trimmen, dubbeltrimmen

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Oneindigheid

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Oneindigheid Escher in Het Paleis Wiskundepakket Oneindigheid Oneindigheid Wiskundigen hebben weinig moeite met het begrip oneindigheid. Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel getallen, een lijn is oneindig lang en oneindig

Nadere informatie

Kangoeroe. Wallaroe thema. de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd. Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Kangoeroe. Wallaroe thema. de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd. Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Kangoeroe de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Bewerkingen. Welk getal komt op de plaats van het vraagteken in de verdubbelingsslang? 4 8 6? 64 A 4 B 8 C 6 0 bron:

Nadere informatie

Kegelsneden. Figuur 1 Figuur 2 PYTHAGORAS FEBRUARI 2015

Kegelsneden. Figuur 1 Figuur 2 PYTHAGORAS FEBRUARI 2015 Kegelsneden Aflevering 1 Ellipsen, parabolen en hyperbolen zijn mooie figuren die in de natuur voorkomen. Denk maar aan een steen die door de lucht vliegt, of een komeet die om de zon beweegt. In de techniek

Nadere informatie

12 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

12 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde . (D)

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde . (D) Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: tweede ronde 9 is gelijk aan (A) 3 (B) 3 (C) 9 (D) 3 9 (E) 2 Het kwadraat van 3+ + 3 is gelijk aan (A) 2 (B) 6 (C) 0 (D) 2 2 (E) 4 3 Welk van volgende figuren is het

Nadere informatie

Titel Een vlakvulling maken (optioneel) Voorbereiding Een basisfiguur voor een vlakvulling

Titel Een vlakvulling maken (optioneel) Voorbereiding Een basisfiguur voor een vlakvulling Titel Een vlakvulling maken (optioneel) Groep/niveau 5/6/7 Leerstofaspecten Ontwikkelen van het begrip oppervlakte. Begrip ontwikkelen van het behoud van oppervlakte (conservatie) wanneer een figuur wordt

Nadere informatie

Les 6 Tegeltjes leggen

Les 6 Tegeltjes leggen Les 6 Tegeltjes leggen Kern In deze les maken en onderzoeken de leerlingen patronen vanuit één eenvoudige basistegel. De focus ligt op kenmerken van (regelmatige) patronen, zoals vormen van herhaling,

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 990-99: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten Per

Nadere informatie

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.smart.be www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl

Nadere informatie

4. Getekende objecten bewerken

4. Getekende objecten bewerken 4. Getekende objecten bewerken In het vorige hoofdstuk hebben we het gereedschap voor het tekenwerk bekeken, maar als er iets fout gaat dan moeten we dat ook kunnen verbeteren, dit doen met de verschillende

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per

Nadere informatie

Basis Figuren. De basis figuren zijn een aantal wiskundige figuren die je al in de wiskunde lessen hebt gekregen.

Basis Figuren. De basis figuren zijn een aantal wiskundige figuren die je al in de wiskunde lessen hebt gekregen. Inleiding Met de hulp van de schildpad kunnen verschillende figuren getekend worden. Van zeer eenvoudig tot zeer complex. Vaak kunnen de figuren op verschillende manieren getekend worden. De ene manier

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-0: eerste ronde. e uitdrukking a b 4 is gelijk aan () ab () ab () ab 6 () ab 8 (E) ab 6. e uitdrukking (a b) is gelijk aan () a b () (b a) () a + b ab () a + b + ab (E) (a

Nadere informatie

Workshop DisWis, De Start 13/06/2007 Bladzijde 1 van 7. Sudoku. Sudoku

Workshop DisWis, De Start 13/06/2007 Bladzijde 1 van 7. Sudoku. Sudoku DisWis DisWis is een lessenserie discrete wiskunde die De Praktijk vorig jaar in samenwerking met prof.dr. Alexander Schrijver heeft opgezet. Gedurende vier weken komt een wiskundestudent twee blokuren

Nadere informatie

Schaduwopgaven Verhoudingen

Schaduwopgaven Verhoudingen Schaduwopgaven Verhoudingen bij 5 Een vierkant wordt verknipt in zeven driehoeken, zoals hiernaast. Het grijze driehoekje gooien we weg. Wat is de verhouding van de oppervlakte van de andere zes? na 10

Nadere informatie

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016 In het juninummer zagen we hoe we met behulp van de piramidemethode en invarianten ruimtelijke figuren binnenstebuiten kunnen keren. Aan de invarianten stelden we voorwaarden, zoals dat alle vlakken zoveel

Nadere informatie

VORMTEKENEN VIJFDE KLAS

VORMTEKENEN VIJFDE KLAS VORMTEKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen GRIEKSE MEANDERS 01: voorbereidende oefening: een golfbeweging gespiegeld. Dit is een voortzetting op spiegeloefeningen uit de eerste, tweede en derde klas. Neem een

Nadere informatie

OPLOSSINGEN. Koala Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OPLOSSINGEN. Koala Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw OPLOSSINGEN Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Juist antwoord Geen antwoord Fout antwoord Wedstrijdduur Rekentoestel 5 punten 1 punt punten 5 minuten niet toegelaten 1. Correct antwoord: C We kleuren alle

Nadere informatie

OPLOSSINGEN. Springmuis Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OPLOSSINGEN. Springmuis Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw OPLOSSINGEN Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Juist antwoord Geen antwoord Fout antwoord Wedstrijdduur Rekentoestel 5 punten 1 punt punten 5 minuten niet toegelaten 1. Correct antwoord: A WeberekenendeeerstebewerkingdieLéonmoetdoen:

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde 1 Op de figuur stellen de getallen de grootte van de hoeken voor De waarde van x in graden is gelijk aan 2x 90 x 24 (A) 22 (B) 1 (C) (D) 8 (E) 57 2 Welke

Nadere informatie

Cursus paint. Om Paint te openen klikken we op de knop "Start" in de taakbalk. We kiezen "Alle programma's" - "Bureau- Accessoires" - "Paint".

Cursus paint. Om Paint te openen klikken we op de knop Start in de taakbalk. We kiezen Alle programma's - Bureau- Accessoires - Paint. Cursus paint Om Paint te openen klikken we op de knop "Start" in de taakbalk. We kiezen "Alle programma's" - "Bureau- Accessoires" - "Paint". Titelbalk: hier staat de naam v.d. tekening/foto. Menubalk:

Nadere informatie

Spiegelen en symmetrie

Spiegelen en symmetrie Spiegelen en symmetrie Bedoeling: De leerlingen komen doormiddel van verschillende activiteiten te weten wat spiegelen (en spiegelas) en symmetrie is. Doelen: De leerlingen kunnen - in eigen woorden verwoorden

Nadere informatie

Kangoeroewedstrijd editie Wallaroe: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Kangoeroewedstrijd editie Wallaroe: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw . en fles bevat ongeveer liter. In een regenton is er plaats voor ongeveer 00 liter, dus die is te groot. In een glas gaat ongeveer 00 milliliter, dus dat is te klein. en eetlepel is nog kleiner en er

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 4.4.1 Basis Lijnen en hoeken 1 Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit: 4 3 2 1 l k -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 n m -4 - Hieruit volgt: a Lijn k en

Nadere informatie