Examen Meetkunde, 1ste bach ir wet Academiejaar , tweede examenperiode

Transcriptie

1 Examen Meetkunde, 1ste bach ir wet Academiejaar , tweede examenperiode Vraag 1 De doorsnijdingskromme C van de volgende twee oppervlakken: het omwentelingskegeloppervlak K met de Z-as als omwentelingsas en de rechte door O met richtingsgetallen (3, 0, 3) als beschrijvende; het vlak α met vergelijking 6x + 6y + 2z = 4. (i) Voorspel theoretisch welk type van kegelsnede de kromme C zal zijn. (ii) Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het beeld van C onder de orthogonale projectie op het XY -vlak en reduceer deze vergelijking tot standaardvorm; geef expliciet de gebruikte coördinatentransformatie. (iii) Gebruik deze coördinatentransformatie én de orthogonale projectie om een parametervoorstelling te bepalen van de originele kromme C. De doorsnijdingskromme C van de volgende twee oppervlakken: het omwentelingskegeloppervlak K met de Z-as als omwentelingsas en de rechte door O met richtingsgetallen (0, 3, 3) als beschrijvende; het vlak α met vergelijking 6x + 6y + 6z = 12. (i) Voorspel theoretisch welk type van kegelsnede de kromme C zal zijn. (ii) Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het beeld van C onder de orthogonale projectie op het XY -vlak en reduceer deze vergelijking tot standaardvorm; geef expliciet de gebruikte coördinatentransformatie. (iii) Gebruik deze coördinatentransformatie én de orthogonale projectie om een parametervoorstelling te bepalen van de originele kromme C. Gegeven Door rotatie van de cirkel met middelpunt (3, 2, 2) en straal 2, gelegen in het vlak met vergelijking 2x y + z = 2, omheen de rechte met parametervoorstelling (5 + t, 5 t, 3 3t) ontstaat een omwentelingsoppervlak (torus). Gevraagd

2 (i) Bepaal een opeenvolging van translaties en rotaties die ervoor zorgt dat de cirkel in het XZ-vlak komt te liggen, met middelpunt op de X-as en dat de gegeven rechte samenvalt met de Z-as; geef expliciet de transformatieformules. (ii) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling te bepalen van de torus en zijn beschrijvende cirkel. (iii) Bepaal tevens de cartesiaanse vergelijking van de torus. Gegeven Door rotatie van de cirkel met middelpunt (3, 1, 1) en straal 3, gelegen in het vlak met vergelijking 2x 3y +2z = 1, omheen de rechte met parametervoorstelling (9+t, 3 2t, 4 4t) ontstaat een omwentelingsoppervlak (torus). Gevraagd (i) Bepaal een opeenvolging van translaties en rotaties die ervoor zorgt dat de cirkel in het XZ-vlak komt te liggen, met middelpunt op de X-as en dat de gegeven rechte samenvalt met de Z-as; geef expliciet de transformatieformules. (ii) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling te bepalen van de torus en zijn beschrijvende cirkel. (iii) Bepaal tevens de cartesiaanse vergelijking van de torus. Vraag 2 Waar of vals? Motiveer uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur. 1. Elke vector waarvan de richtingshoeken voldoen aan β = γ en α = 2β is parallel met het Y Z-vlak. 2. Er bestaan oneindig veel 3 3 matrices A waarvoor voor elk natuurlijk getal k geldt dat A 2k 1 A = 0, waarbij 0 de nulmatrix voorstelt. 3. Het archimedisch lichaam dat overeenstemt met de voetbal heeft 32 zijvlakken, 60 hoekpunten en 90 ribben. 4. De kromme die ontstaat wanneer een cirkel met straal r N rolt zonder glijden aan de binnenkant van een cirkel met straal R N, R > r, heeft kgv(r,r) singuliere punten. r 5. De drie verkortingsfactoren λ, µ en ν van een axonometrie voldoen aan λ 2 + µ 2 + ν 2 = Als de matrix geassocieerd aan de kwadratische vorm van een kwadriek twee gelijke eigenwaarden heeft, dan is het een omwentelingskwadriek. 7. De wig van Wallis is een kwadratisch regeloppervlak.

3 1. Het beeld van een willekeurige vector v onder een orthogonale projectie kan steeds worden geschreven als v (u v)u, met u een eenheidsvector evenwijdig met de projectierichting. 2. Als A de 4 4-matrix is corresponderend met de orthogonale projectie op een vlak, dan zijn zowel A als A I nuldelers. 3. Een omwentelingsoppervlak gegenereerd door een gladde boog die de omwentelingsas niet snijdt, heeft geen singuliere punten. 4. Het platonisch lichaam opgebouwd met gelijkzijdige driehoeken die per vijf in een hoekpunt samenkomen, heeft 30 ribben en 12 hoekpunten.. 5. Indien voor een kwadriek met vergelijking F(x,y,z) = 0 het corresponderend stelsel {F x = 0,F y = 0,F z = 0} een oplossing heeft, dan heeft deze kwadriek een middelpunt. 6. Het oppervlak xy = z is een rechte conoïde. 7. Het beeld van een vector onder een militair perspectief is nooit korter dan de originele vector. 1. Onder een orthogonale projectie blijft een rechte hoek tussen twee niet-projecterende vectoren behouden zodra minstens één van beide evenwijdig is met het projectievlak. 2. Er bestaan oneindig veel 4 4 matrices A die voldoen aan A 5 + A 3 A 2 I = 0, waarbij I de eenheidsmatrix voorstelt en 0 de nulmatrix. 3. Het platonisch lichaam opgebouwd met regelmatige vijfhoeken die per drie in een hoekpunt samenkomen, heeft 30 ribben en 20 hoekpunten. 4. Voor elke waarde van α R\{0}, stelt [cos(αt), sin(αt), cos(t)], t R een gesloten kromme voor die gelegen is op een cilinderoppervlak. 5. Onder een axonometrie worden de brandpunten van een ellips afgebeeld op de brandpunten van de geprojecteerde ellips. 6. Een kwadriek met dubbele eigenwaarde gelijk aan 0 is hetzij reduciebel, hetzij een parabolische cilinder. 7. Bij het trapoppervlak zijn alle punten van de richtrechte singulier. 1. Opdat een rechte hoek tussen twee niet-projecterende vectoren behouden zou blijven onder een orthogonale projectie, dienen beide evenwijdig te zijn met het projectievlak. 2. Als A de 4 4-matrix is corresponderend met de orthogonale projectie op een rechte, dan zijn zowel A als A I nuldelers. 3. Een raaklijnenoppervlak heeft slechts singuliere punten als haar keerkromme er heeft.

4 4. Het platonisch lichaam dat correspondeert met de voetbal bestaat uit 12 regelmatige vijfhoeken en 20 regelmatige zeshoeken. 5. Voor elke waarde van α Q\{0}, stelt [cos(αt) cos(t), sin(αt) cos(t), sin(t)], t R een gesloten kromme voor die gelegen is op een sfeer. 6. Het oppervlak xy = z is een regeloppervlak met twee richtvlakken. 7. Het beeld van een vector onder een cavalière perspectief is steeds langer dan de originele vector. Vraag 3 Polynomiale B-splinebasisfuncties, recurrent gedefinieerd door: 1 als u i u < u i+1 N i,k (u) = u u i u i+k 1 u i N i,k 1 (u) + u i+k u u i+k u i+1 N i+1,k 1 (u) (k = 2, 3,...). (i) Toon aan dat elke open uniforme B-spline, met controlepunten P 0,...,P n, gaat door P 0 en door P n. (ii) Beschouw nu in het bijzonder de punten P 0 (1, 2), P 1 (2, 5), P 2 (5, 6) en P 3 (7, 1); stel expliciet de kubische open-uniforme B-spline op corresponderend met deze controlepunten en maak een schets. (iii) Welke andere naam draagt deze kromme? (iv) Bepaal de snijpunten van de kromme met de rechte y = 4. Uniforme B-spline basisfuncties, recursief gedefinieerd door met N i,k (u) = u i k 1 N i,k 1(u) + i + k u k 1 N i+1,k 1(u) (k = 2, 3,...), 1 als i u < i + 1 (i) Toon aan dat elke kwadratische uniforme B-spline met controlepunten P 0,...,P n gaat door de middens van de opeenvolgende lijnstukken P i P i+1, i = 0,...,n 1.

5 (ii) Beredeneer hoe men controlepunten kan kiezen zodanig dat de corresponderende kwadratische uniforme B-spline een gesloten kromme is die bovendien glad is in haar begin/eindpunt. (iii) Beschouw nu in het bijzonder P 0 (3, 0), P 1 (7, 3), P 2 (4, 7), P 3 (0, 4) en vul aan tot een stel controlepunten dat voldoet aan (ii); bepaal de corresponderende kwadratische uniforme B-spline expliciet. (iv) Bepaal de snijpunten van de gevonden B-spline met de rechte x = 5. Polynomiale B-splinebasisfuncties, recurrent gedefinieerd door: 1 als u i u < u i+1 N i,k (u) = u u i u i+k 1 u i N i,k 1 (u) + u i+k u u i+k u i+1 N i+1,k 1 (u) (k = 2, 3,...). (i) Toon aan dat elke open uniforme B-spline, met controlepunten P 0,...,P n, gaat door P 0 en door P n. (ii) Beschouw nu in het bijzonder de punten P 0 (1, 3), P 1 (2, 5), P 2 (5, 7) en P 3 (7, 2); stel expliciet de kubische open-uniforme B-spline op corresponderend met deze controlepunten en maak een schets. (iii) Welke andere naam draagt deze kromme? (iv) Bepaal de snijpunten van de kromme met de rechte y = 4. Uniforme B-spline basisfuncties, recursief gedefinieerd door met N i,k (u) = u i k 1 N i,k 1(u) + i + k u k 1 N i+1,k 1(u) (k = 2, 3,...), 1 als i u < i + 1 (i) Toon aan dat elke kwadratische uniforme B-spline met controlepunten P 0,...,P n gaat door de middens van de opeenvolgende lijnstukken P i P i+1, i = 0,...,n 1. (ii) Beredeneer hoe men controlepunten kan kiezen zodanig dat de corresponderende kwadratische uniforme B-spline een gesloten kromme is die bovendien glad is in haar begin/eindpunt. (iii) Beschouw nu in het bijzonder P 0 (0, 3), P 1 (4, 0), P 2 (1, 4), P 3 ( 3, 1) en vul aan tot een stel controlepunten dat voldoet aan (ii); bepaal de corresponderende kwadratische uniforme B-spline expliciet. (iv) Bepaal de snijpunten van de gevonden B-spline met de rechte x = 2.