Experimentele mechanika : de modale analyse

Transcriptie

1 Experimentele mechanika : de modale analyse van Heck, J.G.A.M. Gepubliceerd: 01/01/1981 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted manuscript is the author s version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher s website. The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review. The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers. Link to publication Citation for published version (APA): van Heck, J. G. A. M. (1981). Experimentele mechanika : de modale analyse. (DCT rapporten; Vol ). Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven. General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal? Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Download date: 10. Jan. 2017

2 DE MODALE ANALYSE Experimentele mechanika na j aa r 1,981 WE Jos van Heck

3 c_. INHOUD 4 KLASSIEKE BESCHRIJVING VAN EEN DYNAMISCH MODEL... 8 DE MODALE ANALYSE. THEORIE EN MEETPRQCEDUWE...I2 3.1 Inleiding Beschrijving van een rekenmodel in het LAPLACE-domein... I2 3.3 Beschrijving van het rekenmodel in het frequentie-do.ein Qngedempte systemen Proportionele demping Het meten van de frequentie-respons Ana loog-di gi t aa l omzetting Aliasino-foutbronnen Afrondingsfouten in de ADC... = Signaal-lek Fouten di e ontstaan door het random gedrag Lineai r Spek trum Sx(f lp S y(f Auto-poldger Spektrum Gyx(f) GYy(f l m Cross-Power Spektrum... = Koherentie-funktie du'x(f) De Frequentie-respons Excitatie-technieken pseudo fan$om Periodic chirps Buur Random Periodiek Random Impact excitatie...~ Het meten van een frequentie-respons Het berekenen van de modale parameters Quadrature-fit Circle-fit Volledige fit Curve fit in het frequentie-domein Curve-fit in het ti jddomein (Rergeay,1980) Curve-fit in het tijd- en frequentie-domein.62 MAAP PROGRAMMA LITERATUUR.....

4 - 3- symbolenli jst CA,] B,,.,,,, CCI residumatrix bij pool pk Maxi ma le bandbreedte Dempingsmatrix c..i CHzl CNs/ m] E Ene rgi e f frequentie Af Oplossend vermogen in het frequentie-domein Cf3 Kracht-kolom-matrix G,, (f l,gyy(f 1 Auto-power Spektrum G, (f1 Cross-power Spektrum CH(p)lTransf er-funk tie matrix Hij (p1transf er-funk tie H(f 1 Frequentie-respons Hij (W 1 Frequentie respons hij (t 1 Impu 1s-respons IC11 j Ident i t ei t s-mat ri x Vektor ter Lengte 1 langs imaginaire as CKI CMI Stijf hei dsmat ri x Macsamat ri x m Residuele massa P Onafhankelijke variabele in Laplace-domein PK Pool nr. k in het Laplace domein S,(f),S,(f> Lineair Spektrum S!! Residuele flexibiliteit ij meetti jd t tijd A t tijd tussen bemonsteringen Cx3 verplaatcings-kolom-matrix (f) k oh e re n t i e -f u nk t i e &) dirac-funktie w hoeksnelheid ongedempte natuurii jke eigenfrequentie Qdk gedempte natuurlijke eigenfrequentie k%f eigentri Llingcvorm bij pool pk dempingcverhouding bij pooe pk ffk CNml CHzl CHzl CNI c..i c..i e..i c..i c..i c. -1 c..i c-i c-i CN/ml Ck g1 Ck g l cc 1 cc- 1 c..i Cm/Nl cs 1 cs 1 cs 1 Cm 1 c-7 c..i C l LS r cs- 1 c..i c-i

5 - 4-1 INLEIDING. Een grote klasse van problemen in de werktuigbouw wordt gevormd door het al dan niet optreden van trillingen. Sinds lange tijd is een bekende strategie op trillingsproblemen aan te pakken het gebruik van de zogenaamde "modale analyse", waaronder men het opsporen van eigenfrequenties en bijbehorende dempingen en tri llingsvormen verstond. De laatste tijd wordt de naam "modale analyse" vrijwel uitsluitend gebruikt om een experimentele techniek aan te duiden waarbij o.a. gebruik gemaakt wordt van digitale analyzers en komputers. De klasse van problemen waarin modale analyse inzicht kan krengen kan gekenschetst worden met: -Is mijn berekeningsmethode op basis van de elementenmethode wel juist? -Zijn er zwakke plekken i n deze kenstruktie aan te wijzen? -Zijn er bepaalde problemen misschien het gevolg van ongunstige dynamische ei genschappen? -Op welke plaatsen i n de konstruktie kan i k het beste beginnen met lawaaibestri jding? Voordat we beginnen met de theorie van de modale analyse te behandelen zullen we eerst de meetprocedure zeer summier bekijken om een indruk te geven van het hele proces. We gaan als volgt te werk: -Verdeel de struktuur in een aantal diskrete punten. I -Meet een kolom van de f requentie-respons matrix. D.W.Z. Een punt exciteren en van alle andere punten de verplaatsing,snelheid of versnelling registreren of de respons in een punt registreren en alle andere punten achtereenvolgens exciteren. -Bepaal uit de metingen de eigenfrequenties, dempingen en eigentri llingsvormen (rekenprogramma) -Geef uitgebreide uitvoermogeli jkheden, b.v. plots, tabellen, geanimeerde beelden.

6 - 5-

7 Frekweritie :

8 - 7-

9 - 8-2 KLASSIEKE BESCHRIJVING VAN EEN DYNAMISCH MODEL. We beschouwen een ongedempt systeem met bewegingsvegeli jkingen: C#l X<t>> + CKlCx (t)i = Cf (t>i (2.1 Aanstoten met een harmonische funktie Levert in de steady state: Met: C- d C M 1 + CKIICXI = CFI (2.21 f(t>i = CP3.exp(j.CL).t) Cx(t13 = X3.exp(j.W.t) Oplossen van het homogene deel Levert alleen interessante oplossingen bij de eigenwaarden: 1 CCKI- CMl - ~ 2CIllCX> = 0) (2.3) Deze eigenwaarden worden met de karakteristieke vergelijking berekend: i det(cckl- CM3 - G CI71) = O (2.4) D i t geeft een aantal eigenwaarden (k=l,..,n9 met bijbehorende eigenvektoren áw~ I= De eigenvektoren zijn op een konstante f ak tor na bepaa Id. De ei genvek toren (ook ei gent ri L l i ngsvormen, modes genoemd) worden opgeborgen in een matrix: cy3 = [Cur, IC 7v;I...clyn>3 A is we de eigenwaarde r- riet Gijbehsrende ei genven tor terugsubstitueren i n (2.2) krijgen we: -W~ClilC~> 9 C K l C ~, l = 03 T Voorvermeni gvu ldi gen met C I geeft: (2.5) Als we het Linker en het rechterlid transponeneren (scalars!) dan krijgen we, gebruikmakend van de symmetrie i n Clv13 en CK3: We schrijven (2.5) nog eens op voor mode s en vermenigvuldigen voor met c yt,f: -d:c T ~,-3CMl ~s I + C l&23ckl?& 3 = O (2.81 Als we (2.71 en (2.8) van elkaar aftrekken krijgen we: z T ( W, - W ~ ) C T ~ ~ C M I3 C= Y ~ O Als Ld,#lJ3, volgt hieruit met (2.7):

10 - 9- r=s ( T Als r=s dan zijn de scalars C?lr73CM7Cvs3 en Cvr>CKlCYTj3 niet gelijk aan nul, maar een positief getal: de modale inertia (2.101 de modale stijfheid CyK> wordt zo geschaald dat mk=l; we spreken dan van de genorma Liseerde modevorm. Met deze orthogonaliteitseigenschappen kunnen bewegi ngsverge li j k ingen a Ls vo lgt ontkoppelen: we de Me beschouwen elke vervormingsvektor Cx(t13 als een lineaire kombinatie van de modevormen. D i t Levert de volgende transformatie: Cx(t13=CV lcq(t13 I- Invu 1 Len en voorvermeni gvu Ldi gen met Cvl levert: (2.111 T?- Cv3CMlCv3<q (t13 + C~$CKIC~lCq (t13 = Cyltf (t13 (2.121 Ort hogona L i t e i t ei s t: (2.121 gaat nu over in een s et di iierent iaaiverge ti jkingen: -r [ml 6 (t13 + rkj Cq (t13 = CvlCf (t13 on t k oppe Lde (2.13a) Of voor mode k: T m 9 (t1 + kkq (t1 = Cvk 3Cf (t13 k (2.13b1

11 - 10- Y////////////////

12 - 11-

13 DE MODALE ANALYSE, THEORIE EN MEETPROCEDURE 3.I Inlei ding In dit hoofdstuk zal de meetprocedure voor de modale anlyse en de achterliggende theorie in hoofdlijnen worden besproken. in par. 3.2 wordt voor een dynamika-model een relatie gelegd tussen enerzijds een massa-, sti jf hei ds- en dempingsmat ri x en anderzijds de zogenaamde modale parameters. Vervolgens zullen i n par. 3.3 en 3.4 enkele opmerkingen geplaatst worden over de frequentie-respons en het meten van deze funktie met een digitale signal-analyzer. Tenslotte worden in par. 3.5 enkele algoritmen besproken om uitgaande van een aantal gemeten frequentie-responsies de modale parameters van de struktuur te bepalen. Met behulp van deze parameters zijn we i n staat een mechanische struktuur te vergelijken met een rekenmodel. 3.2 Beschri jvi ng van een rek enmode L i n het LAPLACE-domei n We gaan uit van de bewegingsvergeli jkingen voor een viskeus gedempt systeem met meerdere graden van vrijheid: de matrices [Ml, CCI en CKI zijn symmetrisch, terwijl CNI en CK3 bovendien semi-positief definiet zijn. bde bekijken het systeem in het Laplace domein. De transformatie i s lineair en geldt alieen voor Lineaire systznìen. In ket Laplace-dnmein beschrijven we het systeem met komplexe getallen. D i t domein bezit de aardige eigenschap dat een respons geschreven kan worden als het produkt van een term die van het ingangssignaal afhangt en een term die alleen systeem-afhankeli jk is. We krijgen dan: Hierin i s cx (p)> een kolommat rix met de Laplace-getransformeerde van de verplaatsingen en CF(pI3 de Laplace-getransformeerde van de krachten. P is de onafhankelijke Laplace-variabele. Verder zijn de beginwaarden k(o>>= x (O>>=cO> verondersteld. We kunnen schrijven: CB(p>3. X(p>3 = <F(p)> (3) met: ALS we CB(p13 = Cp2.CNl + p.cc1 + CKIJ het stelsel (3) op kunnen Lossen geldt: Hierin i s CH(p)3 de TRANSFER-FUNKTIE-MATRIX. bepaald worden met de regel van Cramer: CH(p)J kan

14 - 13- CH(p13 = CB(p)I-' = CD(p)l/detCB(p)l (4) CD(p)l is de geadjugeerde van CB(p)l met als recept: - Bepaal voor iedere term van CB(p)l de onderdeterminant - Vermenigvuldig de termen waarbij de som van de indices oneven is met de faktor Transponeer de aldus verkregen matrix Het nul stellen van de noemer in (4) Levert de karakteristieke vergelijking: (de verplaatsingen in (3) worden dan oneindig groot) detcb(p)l = O (5) (p) van CH(p)l is een quotient van twee polynomen in p: term Hij We bekijken verder alleen nog onderkritisch gedempte systemen. De wortels van de karakteristieke vergelijking zijn dan komplexe getallen en zij komen in gekonjugeerde paren voor. We kunnen dan voor (6) schrijven: Ret: co= konctante pk = wortei van Be karakteristieke vergelijhing cf pss! pk = komplex gekonjugeerde van pool p,. Partieel breukcp li tsen levert: Ofwel:

15

16 - 15- voor elke rij van CD(p&)I. Daar de transfer-funktie-matrix CH(p>l op een faktor detcb(p17 na gelijk is aan de geadjugeerde van CB(p)l (=CD(p>I) kunnen we de volgende belangrijke konklusie trekken: ELKE RIJ OF KOLOM VAM DE TRANSFER-FUNKTIE-MATRIX CH(p)l BEPAALT DE EIGENTRILLINGSVORMEN VAN HET SYSTEEM VOLKONEN. Uit (9) blijkt dat elke komponent Hij (PI van de transfer-funktie-matrix CH(p>l bepaald wordt door k sets van twee (komplexe) parameters: de pool Pk en het bij die pool behorende residu [Akl. De polen zijn voor alle transfer-funkties binnen CH(p)l geli jk, de residuen verschillen echter van komponent tot komponent. Samenvattend kunnen we k onk lude ren: > Het gedrag van een op viskeuze demping gebaseerd dynamika-rekenmodel wordt volledig beschreven door een in het Lap la Ce-domei n gedef i ni eerde t ransf er-f unk t i e-ma t ri x CH(p 11. > Elke komponent Hij (p) van CH(p)3 kunnen we schrijven als: v l / A > De eig ntrillingsvormen CVk> wo den volkomen bepaald doo 1 rij of 1 kolom van de transfer-funktie-matrix CH(p>J > CH(p)l kan beschreven worden met de zogenaamde modale parameters die voor elke eigentri llingsvorrn k bestaan uit een pool pk en een bi jbehorene residumatrix CA,].

17

18 - 16-

19 - 17-

20 Beschrijving van het rekenmodel in het frequentie-domein Als de beschrijving in het Laplace-domein bekend is kan de overgang naar het f requentie-domein eenvoudig uitgevoerd worden door p=j.,(d te substitueren, waarbij IA) de hoekfrequentie voorstelt.in figuur 1 kunnen we dit voorstellen als een doorsnijding van de grafiek met een vlak door de imaginaire as loodrecht op de reëele as. We zullen eerst de beschrijving van de frequentie-respons en de presentatie in het komplexe vlak bekijken, daarna worden enkele korte opmerkingen geplaatst over speciale gevallen zoals ongedempte systemen en proportioneel gedempt e sy stemen - Allereerst wordt vergelijking (9) omgewerkt. de residumatrix CAkl die gevuld is met de residuen i s op een konctante faktor i,k na gelijk aan CD(pk)l: We hebben in par. 1.2 gezien dat elke rij en elke kolom in 6D(pk)3 op een konstante na gelijk is aan de eigentrillingsvorm (yk 3. We kunnen CD(pk)l nu schrijven als het produkt van CT+> en zijn getransponeerde: T CA,l=c,,, CD(pK)l = c,,~.clar<?yk ><y, 3 (14) D i t levert ons met (9): C4,k en c 2,k k on s t ant Splitsen in reeele en imaginaire delen met: pl< =pk + j =% ac(i%.k]iwkr= ijk +j.vijk en overgaan van net iapiace-domein naar het door substitutie van p = j.@ levert: als algemene formule voor de frequentie-respons. We geven nog twee extra definities die aansluiten bij bekende klassieke begrippen: De ongedempte natuurlijke eigenfrequentie van mode k: En de dempingsverhouding

21 - 19- Alvorens de presentatie van de frequentie-respons in het komplexe vlak te bekijken, beschouwen we eerste de funktie: metpk en V' reëel en konstant. Deze funktie blijkt voor-íp< W <m een cirkel in het komplexe vlak te beschrijven met een mjddelpunt (-f/z$ro) en een straal vanj1/2/uvj. (zie figuur 2.1 fm /m -v.p W Re v -ci -*-$I $ Drawing assumes '1 pco u>o vto 'm t'. R. W* V - I U*rY - p" i(w - v) U-IV -(I+If&J*V) U*rV U-tV - p+ ilw -VI - ge ilw + v) De freq.respons figuur 2 in het komplexe vlak (n=l). De bijdrage van 1 mode k in vergelijking (19) bestaat uit twee funkties van het type (20) die alleen gebruikt worden voor O < c3 < Co. De cirkels worden vergroot met een faktor Jtuijk+vij,', en verdraaid over een hoek met een tangens van "ijk /'Jijk resp. -Vij1( 1 Uijk. De totale frequentie- respons wordt verkregen door voor elke tri Llingsvorm deze cirkelbogen op te tellen. In figuur 2 wordt een en ander verduidelijkt. Men

22 - 20- noemt de presentatie van de frequentie- respons in het komplexe vlak vaak een NYQUIST-DIAGRAM.

23

24 - 22- R '7 Re

25 - 23-

26 - 24-

27 - 25-

28 - 26-

29

30 i

31 - 29-

32 - 30-

33 We zullen nu vrij summier de frequentie respons en zijn presentatie in het komplexe vlak bekijken voor de speciale gevallen van ongedempte en proportioneel gedempte systemen Ongedempte systemen We bekijken het rekenmodel eerst in het Laplace-domein. Omdat bij ongedempte systemen de matrix CCI = CO7 in vergelijking (2) komen er in de matrices CB(p)I en CD(p)I alleen even machten van p voor. De polen uit de karakteristieke vergelijking zijn dan zuiver imaginair en komen voor i n komplex gekonjugeerde paren. De matrix CD(p)l bestaat dan ook uit zuiver reeele komponenten. Als we dus de residumatri ces CAhJ behorende bij de zuiver imaginaire polen gaan bepalen dan blijkt dat deze residumatrices uit zuiver imaginaire komponenten bestaan. Als we vanuit het Laplace-domein naar het f requentie-domein overgaan door p = j.w te substitueren krijgen we met pk=/iak+j.vk=j.lk (polen zijn zuiver imaginair): PK=,hk i- jd,, =j.gk voor vergeli jking (19): (residuen zuiver imag.) De f requenti e-respons wordt onei ndi g groot als 0 ge ti jk wordt aan LilK (de eigenfrequentie). In het komplexe vlak wordt de frequentie-respons weergegeven dooi. een Lijn over de reëele as van -90 naar go. ~ e z e presentatie i s niet zinvol en net is verstandiger naar andere presentaties (b.v. Bode-diagram) te kijken.

34 - 32-

35 - 33-

36 Proporti one Le demping. Een systeem noemt men proportioneel gedempt als de bewegingsvergeljkingen te ontkoppelen zijn met de eigenvektoren die gevonden zijn door het oplossen van het ongedempte systeem. Nodi ge en voldoende voorwaarden hiervoor zijn opgesteld door Caughly & O'Kelly (1965); een voldoende voorwaarde i s bijvoorbeeld dat de dempingsmatrix een Lineaire kombinatie is van de massa- en de stijfheidsmatrix. Een gevolg van proportionele demping is dat, hoewel de polen gewone komplexe getallen zijn, de residuen weer zuiver imaginair zijn: Pks-k +j Lk, i %. Voor de f requentie-respons volgt daarmee:.xj = j. '/..I, Y

37 I (221 In het Nyguict diagram worden de cirkels uit vergeljking (20) gedraaid over +Z/2 resp -12/2. Ze liggen dan symmetrisch om de imaginaire as.

38 - 36-

39 - 37- I - I

40 - 38-

41 - 39-

42 - 40- i

43 - 41- Samenvattend komen we tot de volgende opmerkingen over de beschrijving van het rekenmodel in het f requentie-domein: -De algemene formule voor de frequentie - respons luidt: (19) -De presentatie in het komplexe vlak kan als gek ons t ru ee rd worden: *voor elke tri llingsvorm twee cirkelbogen met I en middelpunt <-1/2 vergroten met fak (LA$; + VijZ,' *Cirkels draaien over de hoeken vo Lgt straal

44 Voor ongedempte systemen geldt: *De polen zijn zuiver imaginair *De residumatrices zijn zuiver imaginair *De uitdrukking voor de f requentie-respons wordt: i *De presentatie in het komplexe vlak is een lijn op de regele as. -Voor proportioneel gedempte systemen geldt: *De polen zijn normale komplexe getallen *De residumatrices zijn zuiver imaginair *De f requentie-respons is: *Bij de presentatie in het komplexe vlak wordt de f requentie-respons samengesteld uit een aantal cirkelbogen die symmetrisch zijn ten opzichte van de imaginaire as. 3.4 Het meten van de frequentie-respons. Wanneer we het dynamisch gedrag een konstruktie experimenteel willen bepalen is het handig als we kunnen beschikken over een meettechniek die metingen in het Laplace-domein mogelijk maakt. Daarmee kunnen we dan polen en de bijbehorende residumatrices opsporen, Helaas beschikken we niet over zo'n meettechniek en kunnen we slechts metingen verrichten in het frequentie-domein; d.w.z. we kunnen de Transfer-funktie aiieen meten voor zuiver imaginaire p-waarden, We hebben in de vorige paragraaf gezien dat dat ons de frequentie-respons Levert. Voor het meten van zosn f requentie-respons wordt tegenwoordig veel gebruik gemaakt van een digitale "signal analyzer", waarin de signalen gedigitaliseerd Morden en vervolgens naar het frequentie-domein getransformeerd worden door een mik ro-processor met een "Fast Fourier Transform:: aigoritme. in deze paragiaaf Wûi.den enke!.e aspekten van het meten met zo'n analyzer aangetipt. Voor verdere informatie wordt verwezen naar Allemang (1980a), Brown (1980a1, Vanhonacker (19801, Klosterman (19711, V. Loon (1974) en v.d. Staay (1979) Ana Loog-di gi t aa 1 omzet t i ng. Omdat de meetsignalen verwerkt moeten worden door een mikroprocessor, is het nodig om de analoge signalen aan te bieden i n een digitale vorm. Daartoe wordt na elke tijdsinterval van A t sekonde de waarde van de ingangssignalen gemeten en digitaal opgelagen totdat een totaal van N bemonsteringen genomen is. Volgens het theorema van Shannon gelden de volgende relaties (zie b. v. Bendat&Piersol (1971)):

45 De totale meettijd is: T = N.At (231 -De maximale breedte van de frequentieband waarbinnen de Fourier-getransformeerde m.b.v. N bemonsteringen met tijdsinterval At berekend kan worden is: (24) -Het frequentie-interval tussen de diskrete uitkomsten van de Fou ri e r-t rans f ormat i e i s : Af = 1/T (25) D i t heeft onder andere de volgende gevolgen: - W i l men de bandbreedte verkleinen,. dan wordt de meetti jd langer. -Om een tri llingsvorm goed te beschrijven i s het nodig over een groot oplossend vermogen in het frequentie-domein te beschikken. Omdat daar een Lange meettijd voor nodig is kan de beschrijving van het signaal in het tijddomein onnauwkeurig worden omdat de bemonsteringen met te grote tijdsintervallen plaats vinden. 'Dit kan met name bij impact-exci tatietechnieken problemen opleveren A l i acing-f ou tbronnen. indien we de ingangssignalen volgens de "Fast Fourier Transform" w i llen behandelen worden de resultaten beinvloed door eventuele signalen met een frequentie die buiten de ingestelde bandbreedte valt. Het verband tussen toegevoerde en gemeten frequentie is weergegeven in figuur 3.

46 - 44- figuur 3. A li acing Het i s dus beiangri jk om frequenties buiten de ingesteiaie bandbreedte te elimineren. Indien er gebruik gemaakt wordt van komplete analyzer-systemen zijn deze anti-aliasing filters reeds ingebouwd en hoeft men zich geen zorgen te maken over deze foutbron. Omdat er geen ideale afkap filters bestaan wordt er bij deze systemen vaak met een twee keer zo grote frequentie bemonsterd dan theoretisch noodzakeli jk is voor de gewenste bandbreedte Afrondingsfouten in de ADC Omdat het signaal van een analoge naar een digitale vorm wordt omgezet in de A-D konverter zullen er afrondingsfouten optreden die de meetresultaten nadelig beinvloeden. Het is dus belangrijk dat de analoge waarde na digitalisering door voldoende bits wordt weergegeven. (Bij 8 bits is de maximale afrondinasfout 0.4%) Afrondingsfouten kunnen belangrijke meetfouten veroorzaken indien de toegevoerde signalen een grote harmonische of statische komponent bevatten; het dynamische deel wordt dan met aanzienlijke afrondingsfouten beschreven. (zie figuur 4 1

47 - 45- figuur 4. Afrondingsfouten in de ADC Sìgnaaì-ìek Een van de meest voorkomende foutbronnen bij het meten van frequentie-responsies met digitale apparatuur is de zogenaamde "signaal-lek". Deze fout ontstaat omdat we niet in staat zijn de ingangssignalen gedurende sneìndìge tijd te observeren, zoals de Fourier transformatie voorschrijft. Als we het sinusvormige signaal uit figuur 5a willen analyseren, wordt dit signaal slechts gedurende een eindige tijd yeobcervzerd- Eft lünfien Es voorcte!!en d==r het signaa! gft figuur Sa te vermenigvuldigen met een rechthoekige funktie uit figuur 5b. Zo'n funktie wordt in dit verband vaak een "window function" genoemd. Het resu It aat van de vermenigvuldiging is weergegeven in figuur 5c.

48 - 46- figuur 5a. Te analyseren sinusvormig signaal. figuur 5b. Window function figuur 5c. Signaal dat in werkelijkheid geanalyseerd wordt. De vermenigvuldiging van het ingangssignaal met een window function heeft tot gevolg dat in het frequentie-domein de Fourier getransformeerden van het ingangssignaal en van de window function gekonvolueerd worden. (Het produkt van twee funkties in het tijddomein komt overeen met de konvolutie van de getransformeerden van deze funkties in het frequentiedomein; Hurty&Rubinstein (19641). Door deze konvolutie wordt het gemeten spektrum vervormd; een en ander is duidelijk te zien in figuur 6.

49 ~ figuur 6a. Fourier getransformeerde van signaal uit figuur Sa. Fourier getransformeerde van window funetiom uit figuur 5b. 3 Konvolutie van fig. 6a & 6b; het gemeten spektrum. (=Fourier getransformeerde van fig. 5c) Signaal-lek is een foutbron die theoretisch gezien niet te omzei Len is; men kan nu eenmaal niet gedurende een oneindige tijd meten. Er zijn echter wel mogelijkheden om de vervorming van het spektrum te beperken. bijvoorbeeld: -Zorg ervoor dat de signalen periodiek zijn met een periodetijd die gelijk is aan de meettijd T. D i t wordt

50 - 48- ook wel periodieke excitatie genoemd en heeft als effekt dat de spektraalli jnen van het spektrum p reci es samenvallen met de nu ldoorgangen van de Fou ri e r-get rans f or mee rde van de w i ndow-f unk ti e. Zie vergelijking (25) en figuur 7. -De meetti jd verlengenp d.w.z. het oplossend vermogen i n het f requentie-domein vergroten. -Gebruik maken van andere window functions in plaats van de rechthoekige funktie uit figuur 5b. Veel gebruikte window functions zijn: 2 Hanning: sin (7t t/t) Hamming: sin (7ttlT) Exponentieel: exp(-ott) Bij deze funkties zijn de toppen van de zijlobben veel minder hoog; de hoogste top wordt echter breder. (Verli es aan selek ti vi tei t. 1 Signaallek is vaak te herkennen aan een slechte koherentie (zie par 3.4.5) bij de resonantie-frequenties.

51 ~~ I ; i I I, ' figuur?a. De ingangssignalen zijn periodiek met de meettijd. EP onctaat geen signaal-lek.

52 - 50- figuur 7b. De ingangssignalen zijn niet periodiek met de meettijd. Er ontstaat signaal-lek Fouten die ontstaan door net random gedrag. De ingangssignalen zijn bijna altijd signalen met een random karakter; d.w.z. hun verloop kan niet voorspeld worden maar hangt af van een aantal min of meer t oeva 1 li ge omstandigheden. Zij dienen dan ook als zodanig behandeld te worden. Karakteristieken van een random proces kunnen we ook nooit precies bepaien tonder aiië mogeiijice veriopen van het proces in beschouwing te nemen. In de praktijk kunnen we dus alleen spreken van SCHATTER voor die karakteristieken; bij elke schatter hoort een BETROUWBAARHEIDSINTERVAL. De schatters worden bepaald uit observatie van een of meer random processen gedurende een eindig tijdsinterval. Door de processen langer te observeren worden de schatters neuwkeuriger bepaald en wordt het betrouwbaarheidsinterval kleiner, D i t is ook het geval indien de schatters een aantal keer bepaald worden (telkens uit een andere observatie van het random proces) en gemiddeld worden. We zullen nu enkele funkties bekijken die de random in- en uitgangssignalen van een lineair systeem in het frequentie-domein beschri jven en voor de modale analyse van belang zijn.

53 Lineair Spektrum Sx(f), Sy(f) Deze funkties worden berekend door het ingangssignaal x(t> en het uitgangssignaal y(t) van het systeem te Transformeren volgens Fourier: (26) Het is in de praktijk niet mogelijk om gedurende een oneindige tijd te meten. Het middelen van de schatters S,(f) en S,(f) wordt bemoeilijkt door het feit dat de fase afhankelijk is van het begintijdstip van de meting. D i t is de belangrijkste reden dat het lineair spektrum vrijwel nooit gebruikt wordt Auto-power Spektrum G,, (f), Gyy(f) Deze funktie worden vaak gebruikt om de frequentie-inhoud van een signaal te bestuderen. (Uit welke frequenties en in welke verhoudingen is mijn ingangssignaal opgebouwd?). De berekening gaat volgens: (27) Door het Lineair Spektrum met zijn komplex gekonjugeerde te vermenigvuldigen raakt de fase-informatie verloren terwiji de amplitude Snforrnatie van het lineair spektrun behoudenblijft. Het is nu wel mogelijk om schatters voor Gxxit) en Gy,iij te miaaeien. Ais er een schatter voor het Auto-power spektrurn bepaald is dan kan het betrouwbaarheidsinterval rond die schatter berekend worden Met: *G(f> = Auto-Power Spektrum *$(fl = schatter voor G(f) *n = aantal vrijheidsgraden van de y:-verdeling = 2*aant a 1 met i ngen. = Chi-square verdeling met k graden van vrijheid. *xi IR tabel 1 is een voorbeeld gegeven voor een 90 % bet rouwbaa rhei ds int erva L

54 - 52- Tabel 1,90% betrouwbaarheidsintervallen voor G(f) Bij de modale anlyse wordt het Auto-Power Spektrum vaak gebruikt om te kontroleren of all frequenties die gewenst zijn voldoende in het ingangssignaal vertegenwoordigd zijn Cross-Power Het Cross-Power Spektrum wordt berekend met: D i t spektrum wordt gebruikt om de relatie tussen twee signalen te bestuderen. De amplitude van Gyx(f) i s het produkt van de amplitudes van Sy(f) en S,(f), terwijl de fase het verschil is van de fasehoeken van Sy(f) en Sx(f). Het is dus mogelijk om te middelen indien er een duidelijk verband bestaat tussen in- en uitgangssignaal. (dan is het faseverschil konstant) D i t wordt in figuur 8 toegelicht in het komplexe vlak voor een bepaaide frequentie ff Betrouwbaarheidsintervallen worden weer be rek end met (28).

55 I I me tingen gemiddeld t figuur 8a fl' alle vermogen bij deze frequentie is in beide signalen van dezelfde bron afkomstig. metingen gemidde Id figuur ab Cross power voor frequentie fl' alle vermogen bij deze frequentie is voor beide signalen van een andere bron afkomstig, me tingen gemiddeld Figuur Q Cross-power bij freqi;entie f Een gedee I" van het vermogen in beide signalen is van dezelfde bron zflaomstig, een gedeelte ni Koherentie-funktie tyy (f). Uit figuur 8 blijkt dat we met het Cross-Power Spektrum G,(f) in staat zijn signaal-komponenten met een konstant faseverschil in x(t> en y(t) te scheiden van signaalkomponenten met een random faseverschi 1. (b. v. ruis, vreemde ingangssignalen enz.) Door het Cross-Power Spektrum te schalen tussen nul en één kunnen per frequentie ket percentage "koherent" signaal af lezen; we noemen de aldus verkregen funktie de koherentie-funktie. De kokerent ie-funk ti e * (f) wordt berekend met: YY" (30) De koherent i e-funk ti e bevat geen fase-informatie. I

56 - 54- Betrouwbaarheidsintervallen voor be rek end worden met: 5 schatters lux (f 1 kunnen (31 n = 2 * aantal middelingen zculr = z-waarde bij normale verdeling bij gegeven twee-zi jdige overschri jdingskans nv200r een ( O O % b e t r o u w b a a r h e i d c i n t e r va 1 r on d b/j#'). Deze f ormu le is uitgewerkt voor een betrouwbaarheidsinterval van 90% i n tabel 2. Tabel 2,90% betrouwbaarheidsintervallen voor dyy De Frequentie-respons H(.f). We hebben de frequentie-respons gedefinieerd door de transfer-funktie Hij die aan het komplexe getal p een komplex getal Hij (p) toevoegt, alleen te bekijken voor zuiver imaginaire waarden voor p <p=j.k), waarbij Cu reëel is). Er geldt volgens (3): Hij (p) = X(p)/F(p) (33) Dit komt met *p = j.w *X(j.W 1 4 Sx(f) = Fourier-getransformeerde van

57 - 55- uitgangssignaal; *F(j.W) 4 S,(f) = Fouri er-getransformeerde van ingangssignaal; overeen met: H(f> = S,(f) /S,(f 1 (34) Daar Sx(f) en S,(f) moeilijk voldoend nauwkeurig te meten zijn wordt de overdrachtcfunktie berekend met: Daar Gux(f) en G,,(f) wel goed gemeten kunnen worden is deze methode vee 1 nauwkeu ri ge r. Betrouwbaarheidsintervallen rond de schatter H(f) worden berekend volgens: A 2 r2(0 p-2) 2;n-x;H.T (36) Hierin is: S2(f) = 9e straal van een cirkel in het komplexe vlak rond H(f) waarin H(f) met een betrouwbaarheid van (1 - cy).ioox ligt. n = 2 * aantal middelingen. F 2;n-2 = F-verdeling met 2 en met n-2 vrijheidcgraden (f) Schatter voor de koherentie-funktie xy'x (f)?yx $,,,(f>. G,,(f> : schatters voor het Auto-Power Spektrum GXX (f) en GYy(f). Het is duidelijk dat als de gemeten koherentie-funktie geii jk is aan 1 de fout aoor het random gedrag van de signalen i n a<f> gelijk is aan 8. Samenvattend kunnen we de besproken funkties die de random signalen x(t) en y(t) en hun onderlinge relaties in het frequentie-domein beschrijven plaatsen zoals in figuur 9.

58 - 56- figuur 9. Systeemrelaties in het frequentie-domein Exci tat i e-techni eken. Om een frequentie-respons met een digitale signal-analyzer te meten moet de konstruktie in alle frequenties binnen de ingestelde bandbreedte aangestoten worden. Hiervoor bestaan een aantal technieken die nu kort besproken zullen worden met hun specifieke voor- en nadelen pseudo random. Er wordt een gewenst excitatiekracht-spektrum in de komputer berekend. Meestal bestaat dit uit een spektrum met een amplitude die voor alle frequenties gelijk is met een random fase; er bestaat echter ook de mogelijkheid te korrigeren voor bijvoorbeeld de bewegende massa van de excitator. Vervolgens wordt het berekende spektrum naar het tijdsdomein getransformeerd en naar de excitator omdat het signaai in het Z &' gevoerd. I requrril.i=dûïiìe5~ opgebouwd en daarna naar het ti jddomein getransformeerd is,is het krachtverloop periodiek met de meettijd. Het is nu mogeli jk signaal-lek te voorkomen door de konstruktie met het periodieke signaal aan te stoten en de metingen te beginnen als de inschakelverschi jnselen uitgestorven zijn. Een groot nadeel van deze methode i s dat door de periodieke excitatie eventuele Losse onderdelen van de konstruktje mee kunnen gaan tri llen. Deze tri Llingen zijn koherent met de excitatie en kunnen dus niet door middelen verwijderd worden.

59 Periodic chirps. Deze excitatievorm Lijkt veel op de pseudo random excitatie. Hierbij wordt het krachtverloop echter niet in het f req uent i e-domei n be rek end maa r e lekt roni s ch gerealiseerd door een sinus in de meettijd de frequentieband te laten doorlopen. De meetprocedure verloopt hetzelfde als bij de pseudo-random excitatie Puur Random. Hierbij wordt de struktuur aangestoten met een puur random signaal. (meestal "witte ruis") D i t signaal wordt vaak elektronisch opgewekt en is niet te beinvloeden. Omdat het signaal niet periodiek is ontstaat er signaal-lek die b.v. door een geschikte window function gereduceerd kan worden. Deze excitatievorm is vaak eenvoudig te realiseren en wordt daarom vaak toegepast Periodiek Random. De periodieke random excitatie kombineert de voordelen van pure random en pseudo-random excitatie. Er worden een aantal metingen gedaan met pseudo-random excitaite waarbij het gegenereerde krachtverloop telkens opnieuw in het f requentie-domein berekend wordt en dus ongekorreleerd is met de voorgaande metingen. Tenslotte warden de metingen gemi dde Id. Als enige nadelen gelden de omvangri jke installatie die nodig is en de tijdrovende meetprocedure Impact excitatie. Hierbij wordt de stuktuur geexcs'teerd d.m.v. een impulsvormige kracht die bijvoorbeeld verkregen kan worden door een klap net een hamer. De impulsvormige kracht is een benadering voor een delta-funktie die alle frequenties s'n gei5jke hoevselh2id bevat. D99r kurde 9f zacheknppen op de hamer te bevestigen kan het verloop van de kracht als funktie van de tijd beinvloed worden. De methode i s zeer snel. Als nadelen worden genoemd: -Door het hoge piekvermogen worden eerder niet lineaire verschijnselen i n de meting betrokken. -Bij kleine bandbreedtes wordt het pulssignaal door te weinig bemonsteri ngen beschreven.

60 Het meten van een frequentie-respons. Samenvattend kunnen we stellen dat a Is we een frequentie-respons willen meten we met de volgende aspekten rekening moeten houden: -Worden de signalen in het tijddomein door voldoende bemonsteri ngen beschreven? -Worden de resultaten in het frequentie-domein door voldoende spektraalli jnen beschreven? -Worden de frequenties buiten de ingestelde bandbreedte uitgefilterd? -Wordt er verstandig gebruik gemaakt van het bereik van de A-D konverter? -Worden er voldoende maatregelen getroffen om signaal-lek te voorkomen of te reduceren? -Is de koherentie-funktie bij de belangrijke frequenties bij benadering gelijk aan 1 zodat de random fout in de frequentie-respons naar nul gaat? -Heb ik de struktuur in alle frequenties goed aangestoten? 3.5 Het berekenen van de modale parameters. In par 3.2 is aangetoond dat een rekenmodel voor dynamika problemen met viskeuze demping beschreven kan worden met een in h et Lap la ce -domei n ge def i ni ee rde T rans f e r-f unk ti e mat ri x CH (p 13. Elke komponent Hij (PI van deze matrix kan beschreven worden door de vergelijking: Y A l W V r ike triliingsvorm K een pooi pk n een bijbehorende residumat ri x fak3 kennen i s het rekenmodel volledig beschreven. Helaas is het onmogelijk om deze parameters direkt te meten; bij experimenten kunnen we alleen informatie verkrijgen over het f requenticdomein. Daarom wordt vergelijking (9) omgewerkt naar de algemene formule voor de frequentie-respons: met: A ij,u =üijk +j.viju en pk =fl, +j.j, Het probleem is dus om voor elke trillingsvorm de 4 parameters Uijk /Vijk,p~/d~ te bepalen. D i t kunnen we bijvoorbeeld doen met kleinste kwadraten algoritmes. Omdat we in de praktijk slechts een bepaalde frequentieband in beschouwing nemen breiden we vergelijking (19) uit met twee extra termen: P -l/(m;j. LI'): Residuele massaterm voor de effekten van tri llingsvormen met een Lagere frequentie. Ss : residuele flexibiliteit voor effekten van tri llingsvormen met een frequentie die hoger is dan de ingestelde hoogste frequentie. We vergelijken de gemeten frequentie-respons nu met de volgende f ormu le:

61 - 59- De (4n+2> onbekende parameters kunnen worden bepaald door de zogenaamde "curve-fit" procedures. Er zullen enkele van de meest bekende procedures besproken worden waarbij de nadruk gelegd wordt op de veronderstellingen waarvan wordt uitgegaan Quadrature-fit. De volgende veronderstellingen worden gemaakt: -Rond een resonantie-piek is slechts een tri llingsvorm belangrijk, d.w.z. rond W=Vk i s de term in (371 veel groter dan de overige termen. -Het systeem is proporitoneel gedempt; d.w.z. U$" = O. (mie vergelijking (2211 Piet deze veronderstellingen wordt (371 vereenvoudigd tot: (381 rond tri llingsvorm m. De ongedempte natuuriijke elgenfrequentie do,- - 4 /Am-fdm volgt uit ket nul stellen van het reeele deel van (381. Vervolgens worcit cie demping berekend met: u, -a* prn = 2 (391 Hierin zijn cilf en L3, frequenties rond % waarbij Re(Hij (w;; = Irn(H;- / l a \ \ \ J \-"- Tenslotte wordt Wijb bepaald uit het imaginaire deel van de frequentie-respons bij &&,: "ijm (401 De quadrature-fit is de meest eenvoudige manier om de modale parameters te bepalen uit een gemeten serie frequentie-responsies- Het algortime i s zeer snel maar er kunnen ernstige fouten optreden indien de tri llingsvormen dicht bij elkaar liggen of niet-proportioneel gedempt zijn. Literatuur: H. van Brussel (19801, Klosterman (19711, Wan Loon (19741, Wergeay (19801 en van der Staay (19791.

62 C i r c le -f i t. Hierbij gaat men uit van: -De tri Llingsvormen beinvloeden elkaar nauwelijks, d.w.z. rond trillingsvorm m kan de totale bijdrage val alle andere modes voorgesteld worden door een komplexe konstante (RP + j.ip). -Het systeem is licht gedempt, d.w.z. rond de trillingsvorm m is de term te verwaarlozen t.o.v. Vergelijking (37) wordt vereenvoudigd tot: rond tri Llingsvorm m. vla% is dit een cirkel met een diameter van n een middelpunt (RP - Uijm (2.,h),1P - De 'ci rcle-fit verloopt als volgt: -Met aantal tri llingsvormen wordt afgeschat uit een f requentie-respons. -De gedempte natuurlijke eigenfrequenties zijn die frequenties waarbij de amplitude van H.,j (Lz) 1 een maximale waarde be reik t. -Met een kleinste kwadraten algoritme wordt een cirkel berekend door een aantal punten rond 4~ I -De demping,ak en het residu (UijKPVijk 1 worden berekend uit de plaats van het miaueipunt en de diameter van de ci rkel. Met deze methode kan niet-proportionele demping snel worden berekend; indien er echter veel ruis in de metingen aanwezig is kan het algoritme divergeren. Literatuur: Van Brussel (19801, Mergeay (19801, Van der Staay (1979) Volledige fit. Bij deze methode worden geen extra veronderstellingen gebruikt en wordt de volledige formule (37) in beschouwing genomen. Er bestaan momenteel drie werkwijzen: Curve fit in het frequentie-domein. Maak een beginschatting voor /cak en Vk i K=l...fl,Bepaal de residuen (Uijk,\ijk 1 en l/m';j en S!'- met behulp '.I van een lineair kleinste kwadraten algoritme -Bereken met de zojuist verkregen volledige set van (4n + 2) parameters als beginschatting de volledige set parameters met behulp van een niet-lineair kleinste

63 - 61- kwadraten methode algoritme. -Bepaal het gemiddelde van pk en Jk over allegemeten f requentie-responsies. -Bereken bij deze set van 2n parameters p k en 9% de residuen en de extra toegevoegde termen met een lineair kleinste kwadraten methode algoritme. Voor meer informatie: Van Loon (1974) Curve-fit in het ti jddomein (Mergeay (1980)) Hiervoor gebruiken we de invers Fourier-getransformeerde van formu Le (19): F - ' ( H i j (I% 1) = hij (t) met: vo Lgt : í 46) Effekten van tri Llingsvormen buiten de bes ch ouw de frequentieband C iaihp Gg i worden in rekening gebracht door twee extra trillingsvormen mee te nemen met yk=ua en d, = wg: Door een kleinste kwadraten aanpassing aan de gemeten i mpu 1s respons i e (of be rek end u it een gemeten f requentie-respons) kunnen de onbekende parameters bepaald worden.

64 Curve-fit in het tijd- en frequentie-domein. Bij deze methode wordt eerst een curve-fit in het tijddomein toegepast om de parameters PK en L?K te bepalen voor k=l,n. Daarna worden deze parameters in (37) ingevuld en een curve-fit in het f requentiedomein toegepast om de overige (2n+2> parameters te bepalen. Voor de laatste curve-fit kunnen we volstaan met een lineaire kleinste kwadraten algoritme. Lit e ratuu r: Piergeay (198O) -

65 MAAP PROGRAMMA Het programma MAAP (Modal Analysis Application Program), waarvan de oorspronkelijke versie is geschreven ~p de "University of Cincinnati", en waarin een aantal wijzigingen door WPT zijn aangebracht, biedt de modelijkheid om van een struktuur de eigen-trillingsvormen te analyseren. Voor men kan overgaan tot de metingen moet men van de struktuur die men wil meten vastleggen waar de meetpunten liggen. De situering van die punten moet dusdanig zijn dat men, door de punten met lijnen te verbinden, een goede indruk krijgt van de geometrie van de struktuur. Soms is het prettig de struktuur op te bouwen uit meerdere componenten (maximaal 10). Voor ieder van deze componenten heeft men dan een lokaal assenkruis waarbinnen men de coördinaten van de knooppunten opgeeft. Het is mogelijk deze coördinaten op te geven in rechthoekige (X,Y,Z) ofcylindrische (r, Q, z) grootheden. Van iedere component moet men in het GLOBALE assenkruis opgeven wat de verschuiving van de oorsprong (x, y, z) en de oriëntatie van de globale assen ten opzichte van het lokale assenkruis is. In Fig. 1. zijn een aantal voorbeelden gegeven. Het programma MAAP bestaat uit een aantal delen (monitoren) welke niet allemaal gelijktijdig in het geheugen van de HP 9825 geplaatst kunnen worden. De basis van het programma bestaat uit de MAIN-monitor. De werk-monitoren kunnen met behulp van de special-function toetsen aan de MAIN-monitor worden gekoppeld. Men kan altijd weer terugkeren naar de MAIN-monitor door de functie-toets van de werk-monitor nogmaals in te drukken., In Fig. 2. ziet men een afbeelding van de specialfunction toetsen. Een overzicht van de monitoren en de bijbehorende functies staan in Fig. 3. De globale volgorde van werken met MAAP treft U aan op pagina 4 en 5. In Tabel 1. zijn de belangrijkste vragen die U tegen kunt komen weer- gegeven.

66 - 64- Binnen de PLOT-monitor zijn een groot aantal functies aktief. In Tabel 2. kan men vinden voor welke gevallen de funktie-toetsen kunnen worden gebruikt. Tijdens het werken met MAAP zijn in het werk-geheugen een groot aan- tal gegevens aanwezig in de "current set-up". Wil men uit deze "current set-up" gegevens behouden dan moeten deze worden gesaved op de 9825 tape. Ook kan men de complete "current set-up" op de 9825 tape saven. Met de RECALL-monitor kan men gegevens welke aanwezig zijn op de 9825 tape naar het werkgeheugen halen. Men moet er aan denken dat gegevens welke men heeft ingebracht met de INPUT- of EDIT-monitor verloren gaan als de machine wordt afgezet. Men kan ze behouden door met de SAVE-monitor de betreffende files op de 9825 tape op te slaan. Fig. 4. geeft een indruk van de data die opgeslagen kunnen worden, en die welke beschikbaar zijn in de "current set-up". *Als appendix is een kontrole-lijst toegevoegd, aan de hand waarvan men de uitgevoerde metingen kan registreren, zodat op een later ijdstip de gegevens gemakkelijk ku en worden-teruggezocht.

67 - 65- IY GLOBAL assenkruis voor oriëntatie van componenten en voor Lokaal-assenkruis met coördinaten (l,l, 1) vieuw X ---- Rechthoekig (x,y,z) = Type 1 Cylindrisch (r,@,z) = Type O Voorbeelden van lokale-assenkruizen. Y 7 I /* X Definitie oriëntatie: pos. X-as = +1 pos. Y-as = +2 pos. Z-as = +3 Figuur 1. De gebruikte assenkruis-stelsels binnen MAAP.

68 - 66- Figuur 2. De Special-function toetsen voor MAAP. vieuw CLEAR components INPUT P set-up 5420 plot EDIT components undeformed PRINT coordinates deformed move e amplitue. O expand PLOT (blauw) 5420 PRINT SAVE RECALL ( zwart) b connectivity modal coefficients eigen values a label e animate (e kan gebruikt worden ti jdens anhatie) MA IN RESTART mass storage pick modal coeffi cients from tape MEASUREMENT (rood) mass storage pick modes from peaks Figuur 3. De monitoren met bijbehorende funkties.

69 M.A.A.P. programma Opstarten. Schakelaar achterop de analyzer op "adressable" zetten MAAP-cassette in de calculator en evt. data cassette in analyzer plaatsen. Analyzer aanzetten, pas daarna plotter en calculator aanzetten. "RESET" "Id O EXECUTE" "RUN" #i if no digital plotter ''CONTINUE I' #main monitor O000 Bij problemen: Analyzer: "RESET" of "O RESET" Calculator: 1 e "RESTART" 2. "stop RESTART continue" 3. "stop reset RESTART continue" Globale werkwijze. setup comp. coörd. conn. setup comp. coörd. conn. setup coörd. conn. comp. setup comp. coörd. conn - setup comp. coörd. conn. Naam voor identificatie, datum Definitie voor max 10 componenten van een een assenkruis: coördinaten oorsprong, richtingen assen en type. Voor elk punt moeten de coördinaten en componenten worden ingevoerd. Definitie van de wijze waarop in een plaatje de punten door lijnen aan elkaar worden verbonden. Er kunnen max 5 files worden ingevoerd. Uitprinten van de zojuist ingevoerde data op de kassarol uitprinten van de invoeïgegevens op het scherm van de anaiyzeï. Evt. corrigeren van invoerfouten. Na corrigeren weer uitprinten. i MAIN MONITOR setup Haalt alle gegevens die bij de laatste gesavede setup in het programmageheugen aanwezig waren weer op. vi euw Definitie gezichtspunt in het globale MAAP assenstelsel. 5 plot Laat onvervormde structuur op het scherm van de analyzer zien. (controle van de invoer) I

70 ms - st modal eigen Uitwissen van evt. aanwezige eigenfrequenties en bijbehorende dempingen en eigenvectoren. Schakelaar achterop analyzer op "talk" en maak oriëntatiemetingen, instellingen setup analyzer en instelling ladingsversterkers. Schakelaar achterop analyzer op "adressable", evt. O-reset. Maak meting voor mode identificatie. Zet imaginaire deel van de TRANSFER op het display. Zet cursor op gewenste mode en definiëer zo een aantal gewenste modes. Definities - random/impact excitatie - aantal zooms (max 5) met bijberende analyzerinstellingen (eerst de breedband, daarna zooms 1 - de mode die in programmageheugen geakkumuleerd wordt. Definitie van de plaats waar de gemeten data opgeslagen moeten worden tape=calculator; 5420 tape=analyzer Uitprinten van de meetinstellingen op kassarol. Start metingen. eigen modal und def anima.te amp modal Opslaan eigenfrequentie + dempingen Opslaan één mode (die in het programmageheugen) Plotten van de onvervormde structuur op de plotter. Plotten van de in het programmageheugen aanwezige mode op de plotter Animate op net analyserscherml doppen 171e-k 'PLr Veranderen van amplitude Verwijderen van de mode uit het programmageheugen. mass Definitie van de plaats op de cassette waar de te fitten waarden opgeslagen zijn -pick reen) (zie ms). Opdracht om een bepaalde mode te curve fitten. SAVE MONITOR (black), modal PRINT MONITOR (black), modal PLOT MONITOR und, def, ampl, animate CLEAR MONITOR (black), modal CURVE FIT MONITOR (green), mass,pick voor volgende mode. set Opslaan van de in het programma aanwezige informatie. (setup, comp' conn, coörd, eigen, modal voor één mode, view, label).

71 - 69- Belangrijke vragen naar invoer van MAAP. Funk t i e toe t L set comp coörd conn Vraag TEST ID (hoofsletters!) ; date; comp no. X, Y, 2, IX, IY, 12, T; point no. XI Y, 2, comp no; enter connectivily - k (K = index) O - ik wil een nieuwe k invoeren (correctiemogelijkheid) getal - invoeren van dat getal 2 getallen - invoeren van reeks getallen die met 1 opgehoogd worden edit sequence no. Ll, L2; getal: verwijderen van getal met die index of toevoegen van data vóór die index 2 getallen; vervangen van die range 1 to delete ins er t point conn vieuw peak - type,ns st connectivily file no.: (1 t/m 5 mogelijkheden) vieuwing direction X, Y, 2; peak mode no.; 1 for impact test no. of zoom ranges; zoom range, CF, BW, avgs; mode no; 1 to save on 9825 tape; 9825 start record (1-550) 1 to save on 5420 tape; 5420 start record (2-120) IMPACT TEST POINT; / move transducer to nextpoint; point no., direction; Tabel I.

72 - 70- Druk op PLT om de plot-monitor te activeren: plot monitor (blue) De volgende kleine blauwe letter funkties bepalen op welke wijze de ongedeforrneerde of gedeformeerde geometrie wordt geplot op de digitale plotters of op welke wijze de'geanimeerde struktuur wordt getoond op de 5420:, cmp vm def urid animate 5420plot amp Mv ex lbl ( d da d d a d dax d dax dax 1 hierin is: d een digitale-plot functie toets a een animatie functie toets en x een functie toets welke aktief is gedurende animatie Tabel 2. x e n comp. De "current set-up" of delen eruit kunnen verschillen van de data op de 9825 tape tengevolge van editing, hermeten etc. Fig. 4. Data structuur van MAAP.

73 ANkLk'Z ERL Set - up's gesaved op: Data gesaved op: - filter 1 selup(inkl, viei;, label) I I - S A v c ompon en t;s co o rdinakes connectivity (max 5) 1 modal (inax 20) e i gen

74 - 72- :.iass (metingen) 51120% Xolevante gegevens uitgeprint op kassarol - invoer - modal coef - eigeriva lues - print-out measureinen ts.

75 LITERATUUR R. Allemang F req u en cy R esp ons e con cep t s Seminar on modal analysis, Leuven 1980a R. Allemancg Overview of experimental modal analysis methods Seminar on modal analysis, Leuven 1980b J. Bendat, A. Piersol Random data, analysis and measurement procedures John Wiley 8 Sons inc D. Brown, G. Carbon, K. Ramsey Survey of excitation techniques applicable to the testing of automot i ve structures Society of automotive Engineers Comgress, Feb-March H. v. Brussel Modal analysis theory Seminar on modal analysis, Leuven 1980 T.K. Caughly, M.E.J. O'Kelly Classical modes in damped lineair dynamic systems J ourna L of App li ed Mechani cs, sept 1965,pp E. Doebelin Measurement systems, application and design McGraw-Hill Inc, 1975 W. HaLvorsen and B. Brown Impulse technique for structural f requency-response testing Sound and Vibration, november 1877, pp 8-25 W.C. Hurty, M.F. Rubinstein Dynamics of structures Prentice Hall Inc A.L. Klocterman ûn ine experimentai aetermination änc the use of modal representations of, dynami c characteristics D i ssert at i on Uni vers ity of C inci nnat i, 1971 P. Van Loon Modal Parameters of mechanical structures Dissertation kat holi eke Universiteit Leuvenp 1974 M. Nergeay Theoreti ca L back ground of curve-f i tting methods used by modal analysis Seminar on modal analysis, Leuven 1980 J. Peters, P1. Mergeay Dynamic analysis of machine tools using complex modal method Annals of the CIRP, Vol