Wiskunde met een telrol. Adriaan Herremans

Transcriptie

1 Wiskunde met een telrol Adrin Herremns 0

2 Hoe vouw je met een telrol?? Je mkt vouwlijnen op een lnge strook ppier (= de telrol) Begin met een willekeurige vouwlijn Er zijn dn twee soorten vouw-ewegingen: nr Oven (O) en nr Eneden (E) 1

3 E: nr eneden Je vouwt de ovenste rnd lngs de ltst gemkte vouwlijn, door de telrol (= rechterknt vn de strook) nr eneden te vouwen: zo krijg je een nieuwe vouwlijn. c c 2

4 O: nr oven Je vouwt de onderste rnd lngs de ltst gemkte vouwlijn, door de telrol nr oven te vouwen: zo krijg je een nieuwe vouwlijn. c c c 3

5 Besluit: de vouwlijnen op de strook, komen er door herhling vn E 2 O 1, dwz. twee keer nr eneden gevolgd door één keer nr oven te vouwen. Welke figuren kn ik nu vouwen? Wr zit de symmetrie? 4

6 Hoe figuren vouwen? Vouw lngs de meest linkse lijn c, de telrol nr eneden c Vouw dn verder (dri door) lngs tot ovenn terug de punten zichtr liggen Blijft dit herhlen, steeds strtend vn de volgende (voor de RODE letter-stroken) c 5

7 Andere figuur Vouw eerst lngs de meest linkse lijn c c Vouw dn verder lngs c Blijft dit herhlen, steeds strtend vn de volgende (voor de BLAUWE letter-stroken) 6

8 Bekijk de rnd (= de uitenknt) vn je gevouwen figuur. Wt stel je vst? Resultt? Figuur 1 (rode letters) Figuur 2 (luwe letters) 7

9 Definitie Stel ggd(,n)=1, met 2<n. Als je elk hoekpunt vn een regelmtige n-hoek verindt met zijn -volgende hoekpunt, dn krijg je een regelmtige vorm. We noemen deze een (n/)-hoek. V. een regelmtige n-hoek, is een (n/1)- hoek. 8

10 Alle (7/)-hoeken 9

11 Berekening vn de hoeken (n/1)-hoek? De uitenhoek vn een (n/1)-hoek is 2π/n De uitenhoek vn een (n/)-hoek is 2π/n 10

12 Wrom een 7-hoek? Stel dt ij toevl de eerste gevouwen hoek in gelijk ws n 2π/7, dus 2π/7 π/7 π/7 3π/7 2π/7 3π/7 3π/7 π/7 c 11

13 Wrom een 7-hoek? Stel dt je egint met een ndere hoek: 2π/7 + e (e mg negtief zijn) 2π/7+e π/7+e/2 3π/7-e/4 2π/7+e/8 π/7+e/2 π/7+e/2 3π/7- e/4 3π/7-e/4 c Bij elke vouw wordt de fout e gehlveerd exponentiële convergentie 12

14 Historische noot Een zevenhoek is niet construeerr, dwz is niet exct te tekenen met psser en linil. (Guss-Wntzel) Een regelmtige n-hoek is construeerr ls en slechts ls n vn de vorm 2 k f 1 f 2 f l is, wrij de f i verschillende Fermt priemgetllen zijn. Fermt priemgetllen zijn vn de form F m =2 2m +1. De eerste zijn dus 3, 5, 17, 257, Voor m>4 is er nog geen enkel Fermt priemgetl gevonden. Het vermoeden luidt dt F m enkel priem is voor m<5. 13

15 Anlyse nmk vouwlijnen Veronderstelling: we wensen (n/)-hoek te vouwen met, n oneven en onderling ondeelr. Bij elke nieuwe vouwlijn, hlveer je de hoek. Je lijft eenzelfde vouweweging (E of O) doen totdt je een oneven ntl keer π/n het gevouwen, dn wissel je. 14

16 Een vouwsymool Schrijf volgend symool uit. De regels zijn 1. lle i zijn oneven 2. 1 = 3. n- i = 2 i.i+1 4. m+1 = 1 = n m m Vooreeld: (7/1)-hoek 7-1 = 6 = = 4 = Bovenste lijn vertelt je welke hoeken je krijgt Onderste lijn: zegt hoe je moet vouwen 15

17 Nog een vooreeld Een (11/3)-hoek 11-3 = = = Hoe moet je nu vouwen? E 3 O 1 E 1 O 3 E 1 O 1 Ps dn en je weer heleml rond + en je n dezelfde knt vn de telrol nelnd 16

18 Opmerking - oefening Het is niet zo dt steeds lle (n/)-hoeken voor een vste n met dezelfde gevouwen strook te mken zijn... Oefeningetje. Bereken hoeveel verschillende stroken je nodig het voor lle (31/)-hoeken. Welke kn je met eenzelfde strook ppier vouwen?

19 Even n of? Als even is, zeg 2 k met oneven. Dn vind je in de gevouwen strook voor een (n/ )-hoek ook de juiste hoek voor het vouwen vn een (n/)-hoek. Als n even is, zeg 2 k n, dn vouw je eerst de strook voor een (n /)-hoek. De hoek πn / kn je dn k keer in twee delen, en zo krijg je de juiste hoek. 18

20 En verder Je kn ij een gegeven gevouwen strook proeren ngn welke veelhoeken je er mee kn vouwen. Dus gegeven lle i, zoek dn n en lle i. Ook het vouwsymool evt nog getltheoretische eigenschppen. Zo kn er v uit worden fgeleid dt 641 een deler is vn F 5 en wt het quotiënt is. Je kn ook 3D-figuren mken met stroken ppier. Zo volstn 5 stroken vn 11 driehoeken (en hndigheid) om een regelmtig 20-vlk in elkr te knutselen. 19

21 En verder... Eigenlijk is de vouwprocedure een mnier om het rtionl getl n/ te enderen. Zo kn je ijvooreeld exponentieel snel eender welke gegeven hoek in zeven gelijke delen vouwen met de procedure E 2 O 1. 20

22 Flexgon Flexiele veelhoeken (Artur Stone 1939) Voor de meeste eenvoudige met drie kleuren he je nood n een strook met 10 gelijkzijdige driehoeken. Dit kn eenvoudig door de vouweweging E 1 O 1 (en dus zonder geodriehoek)

23 Kleurenschem s Roos - Geel Geel - Groen Groen - Roos Bluw - Groen Roos - Bluw Ornje - Bluw Groen - Ornje Rood - Roos Bluw - Rood 22

24 Bewegingen Je kn proeren het resultt vn het flexen te eschrijven. Per flp kn je spreken over een rottie rond een s. Kijkend nr het resultt, kn je zeggen dt de flppen 120 drien ten opzichte vn elkr. 23

25 Opmerkingen Nood n zorgvuldig en precies werken: v. ndchtig lezen vn de vouwprocedure (chtern deze presenttie vind je een vooreeld vn instructies voor een flexgon met 3 kleuren). Er zijn flexgons zols getoond met 3, 4, 5, 6, 7 verschillende kleuren mogelijk. Ook ndere vormen dn driehoeken zijn mogelijk Mogelijkheid om persoonlijke toets te geven met foto s, tekeningen 24

26 Didctische conclusies Wiskunde ls verklring vn een zichtr fenomeen wt men l doende ervrt. Vritie in leerstof: convergentie, Z-hoeken,... Vritie in opdrchten Vritie in niveu Kns tot verzen (en uitdgen) vn leerlingen Kns tot persoonlijke toets Vkoverschrijdende mogelijkheden Eenvoudig en goedkoop didctisch mteril Kns tot verdere zelfontdekking 25

27 Referenties 1. Hilton P., Holton D., Pedersen J., Mthemticl Reflections: In Room with Mny Mirrors, Springer-Verlg, New York 1998, 351p. 2. Hilton P., Holton D., Pedersen J., Mthemticl Vists: From Room with Mny Windows, Springer-Verlg, New York 2002, 358p. 3. Hilton P., Pedersen J., Wlser H., The fces of the trihexflexgon, Mthemtics Mgzine vol. 70, Octoer 1997, p Polster B., Vritions on Theme in Pper Folding, Americn Mthemticl Monthly nr. 111, Jnury 2004, p Pook L., Flexgons Inside Out, Cmridge University Press 2003, 182p. 6. Tekulve A., Understnding Polygons nd Polyhedrons Using Flexgons, The Montn Mthemtics Enthusist, vol. 1, nr. 1, 2004, p

28 Vouwprocedure flexgon 1. Neem een strip vn 10 neenhngende gelijkzijdige driehoekjes. Nummer de driehoekjes zols ngegeven op onderstnde figuur. Let wel op de oriënttie: zorg dt driehoek 1 de punt nr eneden heeft. Op de chterzijde vn driehoek 1, he je driehoek 11, enz Zorg ervoor dt lle vouwlijnen lngs eide zijden zijn gevouwen, zodt ze heel flexiel zijn. 3. Begin met driehoekjes 1-10 zols op de ovenste figuur, driehoek 1 nr eneden gericht. Vouw dn driehoeken 1-3 onder de driehoeken 4-10 zols op linkse figuur. 4. Vouw nu driehoeken 7-10 ovenop driehoek 6 zols op ovenstnde rechtse figuur. 5. Opgelet!! Plts nu driehoek 11 ovenop driehoek 19, zols op onderstnde tekening links. Vouw dn driehoekje 20 zodt hij ovenop driehoek 11 komt te liggen zols op de rechtse figuur. 6. Plk nu driehoekjes 11 en 20 op elkr met lijm. Je kn dit ook met plknd doen.

29 7. Controleer even of de chterknt vn je flexgon er uitziet zols op onderstnde figuur. 8. Hoe kn je nu flexen? Kies twee driehoekjes nst elkr en nijp die smen ( pinch op de tekening). Duw nu in het midden vn de ndere 4 driehoekjes ( push op de tekening) zodt die een soort windmolen vormen. Als je in egin twee goede driehoekjes het gekozen, dn zl je zien dt het midden zich een eetje opent. Als je deze opent, dn komen de verorgen driehoeken nr uiten. (Als je flexgon niet opent in het midden, dn proeer je nog eens met twee ndere driehoekjes vn in het egin). 9. Prolemen ij het flexen omdt je niet nuwkeurig het gevouwen? Het kn dt je flexgon in het egin wt tegenwringt. De gemkkelijkste mnier is om een heel klein stukje vn de hoekjes er f te snijden zols op onderstnde figuur. Dn krijg je iets meer ruimte. 10. Eventueel kn je er een gezichtje op tekenen. Doe dit est wel eerst in potlood. Begrijp jij wrom sommige mnnetjes droevig zijn en n het flexen kunnen lchen? Je kn nu nog gekleurd ppier geruiken om op je flexgon te plkken. Het eenvoudigste is om een ntl driehoekjes uit te knippen die net kleiner zijn dn de driehoekjes vn je flexgon. Dn kn je die er lter gemkkelijk opplkken.

30 Afsluitende opmerkingen Bovenstnde twee ldzijden met vouwprocedure is ps vn toepssing wnneer je effectief een strook met gelijkzijdige driehoeken het. Het eenvoudigste om dit te verwezenlijken is om te eginnen met een willekeurige vouw en dn een 15tl keer fwisselend nr eneden en nr oven te vouwen (zie eginslides). Dn kunnen de leerlingen zien dt de driehoeken vn willekeurig nr gelijkzijdig convergeren (en kn je zorgen dt ze dit ook kunnen verklren). Zo leren ze vi deze leuke dingen toch ook wiskundig redeneren. Als je dn de eerste vijf driehoeken lt wegknippen (dt zijn de minst gelijkzijdige), is de strook met de ltste 10 driehoeken een goede strt om je flexgon te vouwen. Voor een flexgon met 6 kleuren, moet je strten met een strook vn 19 gelijkzijdige driehoeken. Dt kn nloog ls hieroven. Hoe je dn moet vouwen vind je zeker op het internet. Voor de geïnteresseerden in flexgons met vierknten, is een wepgin met duidelijke instructies. Veel vouwplezier!