Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening. Annemarie Baars Auke Mollema

Transcriptie

1 Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening Annemarie Baars Auke Mollema Geschiedenis van de Wiskunde WISB

2 Inhoudsopgave 1. Inleiding Werkmethode Christiaan Huygens Opkomst van de waarschijnlijkheidsrekening Over Van Rekeningh in Spelen van Geluck Vandaag de dag Van Rekeningh in Spelen van Geluck de voorstellen Vergelijking Invoeren op het VWO Conclusie; Huygens op het VWO? Referentielijst

3 1. Inleiding We gaan terug naar de 17 e eeuw. Kooplieden en kaartspelende lieden vroegen zich toentertijd af of er enige wetmatigheid te vinden was in spelletjes waarbij geluk om een hoekje kwam kijken. Één van de wiskundigen die er in de 17 e eeuw mee bezig ging was Christiaan Huygens. Met zijn Van Rekeningh in Spelen van Geluck zette hij de beginselen van de kansrekening op papier. Kan dit boek vandaag de dag nog gebruikt worden op het VWO? En wat heeft Christiaan Huygens voor invloed gehad op het huidige VWO-onderwijs? In het bijzonder zullen wij gedeelten uit een gesprek geven die wij gehad hebben met een huidige VWO-scholier. Dit hebben we gedaan om een betere kijk te kunnen geven op het nut van ons essay. 1.1 Werkmethode Voor dit essay hebben we uiteraard het vertaalde boek van Christiaan Huygens, Van Rekeningh in Spelen van Geluck [3], gebruikt. Deze vertaling is ook toegelicht door Wim Kleijne. De toelichting die Kleijne geeft hebben we ook gebruikt voor de algemene informatie over het boek. Alle citaten die in dit essay staan komen, tenzij anders vermeld, uit dit boek. Het zijn citaten uit Huygens werk of de vertaling hiervan. Dit boek is de lopende draad door dit essay. Voor de biografie van Huygens hebben we informatie gehaald uit het Dictionary of Scientific Biography Volume VI [1]. Het boek Geschiedenis van de kansrekening en statistiek [2] geschreven door J.H. van der Vlis hebben we gebruikt om een algemene indruk te krijgen over de ontwikkeling van de kansrekening in de 17 e -eeuw. De informatie over het huidige VWO-onderwijs hebben we gehaald van de website digischool.nl [4] Deze link kregen we van een wiskunde docent op de middelbare school omdat dit een betrouwbare site is voor het examenprogramma. In het essay verwijzen we aan het eind van een paragraaf naar de gebruikte bronnen en we wijken niet af van de gebruikte literatuur. Bij de behandeling van de voorstellen sluiten we bijna elke alinea af met eigen inzicht. Vooral de paragrafen: Vergelijking, Invoegen op het VWO en Huygens op het VWO bevatten voornamelijk eigen opvattingen. De eindverantwoordelijkheid van dit essay ligt bij ons beide. 2

4 2. Christiaan Huygens Christiaan Huygens kan beschouwd worden als een van de grote wetenschappers uit de 17 e eeuw. Hij werd geboren op 14 april 1629 en had het geluk om te behoren tot een vooraanstaande en rijke familie, opleiding en cultuur stonden hoog in het vaandel. Huygens vader Constantijn zorgde ervoor dat zijn kinderen een goede opleiding kregen, zo werden ze onderwezen in muziek, Latijn, Frans, Grieks, logica, wiskunde, mechanica en geografie. Van 1645 tot 1647 studeerde Huygens wiskunde en rechten in Leiden. Afbeelding 1 [5] Bij Frans van Schooten jr. bestudeerde hij niet alleen de klassieke wiskunde maar ook de nieuwe, zoals methodes van Descartes, Viète en Fermat. Hierna heeft hij nog een periode gestudeerd aan het Collegium Arausiacum in Breda. Na zijn studie koos hij niet het leven van een diplomaat, zoals gewoonte was in zijn omgeving. Financiële ondersteuning van zijn vader zorgde ervoor dat hij zijn leven aan de wetenschap kon wijden. Huygens interesses waren heel breed. In de jaren na zijn studie hield hij zicht bezig met wiskunde, sterrenkunde en optica. Huygens heeft vele publicaties op zijn naam staan over uiteenlopende onderwerpen. Zijn ontwerp voor een slingeruurwerk en de bijbehorende wetten waren een grote bijdrage aan de natuurkunde. Verder heeft hij de maan van Saturnus ontdekt met een zelfgemaakte telescoop. Van 1655 tot 1675 heeft Huygens lange perioden in Parijs gewoond, afgewisseld met perioden waar hij weer in Den Haag terug was. In Parijs kwam hij in contact met andere wiskundige die zich interesseerden in wat wij nu kansrekening zouden noemen. Dit inspireerde hem tot het schrijven van Van Rekeningh in Spelen van Geluck. In deze periode richtte Huygens ook, samen met anderen, de Académie Royale des Sciences (de Franse Koninklijke Academie van Wetenschappen) op. Van dit instituut bleef hij vijftien jaar secretaris. Huygens gezondheid was niet de beste. In de laatste twintig jaar van zijn leven was hij soms voor langere tijd terug in Den Haag vanwege zijn slechte gezondheid. In 1694 werd hij weer ziek maar dit keer [1] [2] herstelde hij niet. Huygens overleed op 8 juli

5 3. Opkomst van de waarschijnlijkheidsrekening In de zeventiende eeuw begon de belangstelling voor waarschijnlijkheidsrekening onder de wiskundigen te groeien. Al voor Huygens zich verdiepte in dit onderwerp werd dit rond 1654 al bestudeerd door Pierre Fermat en Blaise Pascal. De aanleiding tot deze ontwikkelingen was heel simpel; gokken. Kaart- en dobbelspelen leidden tot vragen die van groot belang waren voor de ontbloeiing van de waarschijnlijkheidsrekening. Antoine Gombauld, beter bekend als Chevalier de Méré, was een Franse schrijver en ook een groot liefhebber van gokken. Hij kwam in contact met Blaise Pascal en legde deze twee problemen voor. Het eerste probleem betrof een dobbelspel. Bekend was al dat in vier worpen met één dobbelsteen de kans om een zes te gooien iets meer dan 50 procent was (op een moderne manier uitgedrukt). Maar wat als er met twee dobbelstenen gegooid wordt? De Méré dacht: Met één dobbelstenen zijn er zes mogelijkheden en er zijn vier worpen nodig om meer dan 50 procent kans te hebben op een zes. Speelt men met twee dobbelstenen dan zijn er 36 mogelijkheden, dit is zes keer zoveel, dus zijn er 6x4 = 24 worpen nodig om meer dan 50 procent kans te hebben op een worp van dubbel zes. Uit ervaring bleek dit echter niet te kloppen, De Méré vroeg Pascal waarom dit zo was. Het tweede probleem ging over hoe de inzet het beste verdeeld kon worden als een spel voortijdig gestopt werd. Dit werd ook wel het problème des partis genoemd. Over deze en anderen vragen correspondeerden [2] [3] Pascal en Fermat. 3.1 Over Van Rekeningh in Spelen van Geluck Het was de correspondentie van Pascal en Fermat die Huygens, tijdens zijn verblijf in Parijs, aanspoorde om zich ook te verdiepen in deze vragen. Onbekend is in hoeverre Huygens informatie heeft overgenomen van Pascal en Fermat en wat hij zelf heeft bedacht. Huygens zelf beweert in een brief aan Frans van Schooten jr. dat hij alles zelf onderzocht heeft zoals te lezen is in het citaat op de volgende bladzijde. Maar het is niet onwaarschijnlijk dat hij het een en ander heeft opgepikt tijdens zijn verblijf in Parijs. 4

6 ...Voorts is te weeten, dat al over eenighen tijdt, sommige van de Vermaertste Wiskonstenaers van geheel Vranckrijck met deze soorte van Rekeningh zijn bezigh geweest, op dat niemandt hier in, de eer van de eerste Inventie die de myne niet en is, my toe en schrijve. Doch zy luyden, ofze wel zich onder malkanderen met veele zwaere questien ter proeve stelden, zoo hebbenze nochtans elck zijn maniere van uytvinding bedeckt gehouden. Zoo dat ick van noode gehad heb, alles van vooren aen zelfs te onderzoecken en te doorgronden... ([3], blz. 15/16) [citaat uit de brief aan F. Van Schooten, uit Van Rekeningh in Spelen van Geluck] Zijn werk Van Rekeningh in Spelen van Geluck was al snel klaar, in 1956 was het af. Voor het werk gepubliceerd werd in 1657 werd het eerst door Frans van Schooten jr. vertaald in het Latijn, dit was immers de taal van de wetenschap in die tijd. Het werd gepubliceerd als deel van Exercitationum mathematicorum libri quinque (Vijf boeken met wiskundige oefeningen) van Frans van Schooten. Dit werk werd drie jaar later ook in het Nederlands uitgegeven en daarin stond de oorspronkelijke tekst van Huygens. Dit was tevens de eerste Nederlandse tekst over kansrekening. In Van Rekeningh in Spelen van Geluck behandelt Huygens, na een korte inleiding, veertien zogenaamde voorstellen. Deze voorstellen worden bewezen door Huygens en we zullen hier later nog op terug komen. Als laatst laat hij de lezer achter met vijf onopgeloste vraagstukken. In zijn brief aan Van Schooten zegt hij hier het volgende over:...u zal vinden dat ick in t eynde van dit Tracteat noch eenige van die questien bygevoegt hebbe, achterlaetende nochtans de werckingh; eensdeels om dat ick te veel moeyte te gemoet zagh, indien ick alles nae behooren wilde afdoen; ten anderen om dat yj raetzaem dacht, iets overigh te laeten, t welck onze Lezers (zoo der eenige zijn zullen) mochte dienen tot oeffening en tijdt-verdrijf. ([3], blz. 16) [citaat uit de brief aan F. Van Schooten, uit Van Rekeningh in Spelen van Geluck] 5

7 4. Vandaag de dag Nu gaan we kijken naar het huidige VWO-onderwijs. Daarin is sinds 2007 aanzienlijk wat veranderd. Voorheen was het wiskunde A1(2) en wiskunde B1(2), vandaag de dag bevat het VWO vier verschillende soorten wiskunde. De zogenaamde Wiskunde A, B, C en D. In het programma van wiskunde A staat vermeld dat de kandidaat een toevalsexperiment moet kunnen vertalen in een kansmodel, de begrippen onafhankelijke gebeurtenissen en voorwaardelijke kansen moeten gehanteerd kunnen worden. Ten tweede moet de kandidaat kansen berekenen op basis van een kansexperiment, symmetrie en combinatoriek. In de combinatoriek worden eindige verzamelingen van objecten bestudeerd, die aan bepaalde eigenschappen voldoen. Ten derde moet de kandidaat bij discrete toevalsvariabelen kansen berekenen met behulp van de somregel, complementregel en productregel. Tenslotte moet het begrip onafhankelijkheid worden gehanteerd en van een discrete toevalsvariabele de verwachtingswaarde kunnen worden berekend. Ook moet de kandidaat overweg kunnen met de normale verdeling en onder andere de standaardafwijking. Maar zo diep gaat (de vertaalde) Van Rekeningh in Spelen van Geluck niet. Het programma van wiskunde B bevat geen kansrekening meer. Combinatoriek, kans, normale verdeling en toetsen zijn daar niet meer onderdeel van het lesprogramma. De kansrekening binnen de wiskunde C die ons interesseert, verschilt niet met de kansrekening binnen wiskunde A. Dezelfde onderwerpen worden besproken en getoetst. In het programma van wiskunde D wordt heel uitgebreid de kansrekening besproken. Opvallend is dat in dit programma gesproken wordt over permutaties en combinaties. Huygens noemt die twee begrippen niet in zijn boek, maar die wel gebruikt kunnen worden om de enige voorstellen (die aan het eind van zijn boek worden genoemd) op te lossen. [4] 6

8 5. Van Rekeningh in Spelen van Geluck de voorstellen Christiaan Huygens behandelt in zijn boek gedeelten van de kansrekening. Als het ware was de publicatie van Van Rekeningh in Spelen van Geluck de markering van het begin van de waarschijnlijkheidsrekening. Opvallend daarin is dat hij in zijn boek alles uitlegt door middel van voorbeelden, deze voorbeelden zijn beschreven in zogenoemde voorstellen. Deze voorstellen zijn niet de voor ons bekende stellingen, want bij een stelling denken wij aan een uitspraak in algemene bewoordingen, die een algemeen bewijs vereist. Huygens had niet de mogelijkheid om een bewijs te leveren omdat hij alles moest redeneren met zijn eigen verstand en niet de beschikking had over axioma s vanuit de kansrekening. Huygens begint zijn voorstellen met een korte inleiding. Daarin vertelt hij dat ondanks dat de uitkomsten van de kansspelen bepaald worden door toeval, de kans die iemand heeft om te winnen toch vastgesteld kan worden. De eerste drie voorstellen bevatten een antwoord op de vraag hoeveel je op een bepaald spel in zou kunnen zetten zodat het een eerlijk spel is. Zo vertelt voorstel 1: Als ik gelijke kans heb op a of b, dan is mij dit (a+b)/2 waard. ([3], blz. 20) De formulering in de voorstellen die Huygens gebruikt sluit aan de ene kant aan op het dagelijkse taalgebruik maar aan de andere kant verwachten wij vandaag de dag andere woorden. Het lijkt namelijk dat de kans gelijkgesteld wordt aan een geldbedrag. Huygens drukt zich uit met de vraag wat een kans waard is of wat een speler waard is om te spelen. Onder voorstel 1 legt Huygens het voorstel uit en geeft daarna een bewijs : Want als ik (a+b)/2 heb dan kan ik dat tegen een ander inzetten die ook (a+b)/2 zal inzetten en afspreken dat degene die het spel wint aan de ander a zal geven. Waardoor ik gelijke kans zal hebben om a te krijgen, te weten als ik verlies, of b als ik win; want in dit geval krijg ik de inzet a+b, waarvan ik a aan mijn tegenspeler geef.([3], blz. 20) Verder komt hij aan de term (a+b)/2 door een spel te schetsen met twee spelers, deze spelers zetten beide x in. De winnaar geeft aan de verliezer een bedrag a, dus de winnaar wint 2x-a. Stel 2x-a=b. Dan heb ik evenveel kans op b als op 2x-a. Daaruit volgt dat de waarde van mijn kans (a+b)/2 is. We hebben voorstel 1 voorgelegd aan een leerling uit VWO 6. Zij antwoordde: Op zich is dat best logisch maar wat leuk dat het van een andere kant wordt benaderd! 7

9 Na even doorvragen bleek dat vrijwel alle vragen vandaag de dag beginnen met: hoe groot is de kans dat. Terwijl bij voorstel 1 eigenlijk uitgerekend wordt wat je voor een spel zou geven om het te kunnen spelen. Voorstel 2 is een uitbereiding van voorstel 1 alleen nu wordt het spel gespeeld met 3 personen. Voorstel 3 is daar weer een uitbereiding op. Zo vertelt voorstel 3: Als ik p kansen heb om a te krijgen, en q kansen om b te krijgen en als ik ervan uitga dat iedere kans even gemakkelijk kan optreden, dan is mij dit (pa+qb)/(p+q) waard. ([3], blz. 22) Hierin zie je een nadere generalisatie van de afgelopen twee voorstellen. De tekst die Huygens erbij zet is onduidelijk. Het is van belang om zijn denkwijze en beredeneerwijze onder de knie te krijgen want de volgende voorstellen zijn gebouwd op de eerste drie. De overige gecompliceerde situaties zal Huygens reduceren tot eenvoudigere gevallen. Voorstel 4: Stel dat ik tegen een ander om drie gewonnen spelen speel, dat ik al 2 spelen heb gewonnen en de ander maar een. Als wij niet zouden willen doorspelen maar als wij wat ingezet is op een rechtmatige wijze zouden willen verdelen, dan zou ik willen weten hoeveel van de inzet mij zou toekomen. ([3], blz. 24) In de uitleg van dit probleem gebruikt Huygens een generalisatie van het probleem, een opsomming van alle mogelijkheden en past hij voorstel 1 toe. Voor de voorstellen 5 tot en met 9 gebruikt Huygens dezelfde werkwijze. Iedere keer past hij na de opsomming van de mogelijkheden voorstel 1,2 of 3 toe. De voorstellen verschillen van elkaar in het aantal spelers die ontbreken en die meespelen. Wanneer we kijken naar de manier van bewijzen en de aanpak van een probleem, past dit prima in het programma van het voorbereidend wetenschappelijk onderwijs. Al wordt er wel enige voorkennis van je vereist dat behandeld wordt in de klassen 4 en 5. Tussen voorstel 9 en 10 worden de dobbelstenen er even uitgelicht. Daarbij staan vragen als hoeveel worpen men kan accepteren om met een dobbelsteen minstens één zes te gooien. Daarin wil je als speler het liefst een kans groter dan 50 procent, een typische opgave voor kansrekening in klas 4. Deze kennis wordt gebruikt in de voorstellen vanaf 10. Daar komen we namelijk bij het doel van het boek: het kunnen voorspellen of een bepaald dobbelspel voordelig is. Voorstel 10 vertelt dan ook: Gezocht wordt het aantal worpen dat men kan nemen om met een dobbelsteen minstens één 6 te werpen. ([3], blz. 32) Wim Kleijne verwoordt het als volgt: Wat is het kleinste aantal keren dat men met een dobbelsteen moet gooien 8

10 zodat de kans op minstens één zes groter is dan de kans dat men helemaal geen zes gooit. ([3], blz. 43) Ook deze vraag sluit prima aan op de kennis van het VWO. Het is een vraag die je eerst moet opsplitsen in standaardvragen die een VWO-scholier weer op kan lossen. Voorstel 11 behandeld een gokprobleem die veel mensen toentertijd bezig heeft gehouden: hoeveel moet je wedden dat je binnen vierentwintig worpen twee zessen gooit? Het voorstel luidt: Te vinden het aantal worpen dat men kan nemen om met twee stenen twee zessen te werpen([3], blz. 34). Na enig rekenen komt Huygens tot de conclusie dat je voor 24 worpen je nog net iets te kort komt en vanaf 25 worpen het in je eigen voordeel is. Hij komt tot deze conclusie door steeds het voorgaande te gebruiken in het volgende. Huygens leidt hier eigenlijk een recurrente betrekking af. Wij zouden zeggen: w(n+1)=(5/6).w(n)+(1/6).a voor de waarde w(n) van de spelsituatie waarin men in één keer minstens een zes moet werpen. Een recurrente betrekking of ook wel een recursieformule genoemd, zit nog steeds in het wiskundepakket. Maar er wordt niet van de kandidaat gevraagd om deze ook toe te passen op de kansrekening. Voor de oplossing van voorstel 12, Gevraagd wordt hoe veel stenen men kan nemen om 2 zessen te werpen([3], blz. 36), wordt weer gebruikt gemaakt van een belangrijk wiskundig principe: probeer het probleem terug te brengen tot een makkelijker, al opgelost, probleem. Tot nu toe zijn de voorstellen een leer voor iedere VWO-scholier. Meestal moet het voorgaande gebruikt worden om het volgende vraagstuk op te lossen. Tenslotte voorstel 13 en 14, beide voorstellen lijken de problemen waarnaar Huygens toegewerkt heeft in z n boek. Hij wilde weten wat hij het beste kon doen bij een gokspelletje in de praktijk. Zo lost hij op: Ik speel tegen een ander met 2 stenen door slechts een worp te gooien, onder de voorwaarde dat ik zal winnen als er 7 ogen boven komen, maar de ander zal winnen, als er 10 ogen boven komen; in ieder ander geval zullen wij de inzet gelijk verdelen. Gevraagd wordt, welk deel van de inzet aan ieder van ons toekomt. ([3], blz. 36,38) Voorstel 14 is een uitbreiding op voorstel 13, nu gooien de deelnemers om de beurt een dobbelsteen en niet achter elkaar. Bij de oplossing van deze vraagstukken valt hij weer terug op het tweede en derde voorstel. 9

11 Wel verwacht Huygens dat de lezer bij deze voorstellen extra meedenkt. Onze VWO- 6 scholiere slikte een keer en zei toen: Geen idee hoe ik dit aan zou moeten pakken, waarom maakt hij de spelletjes niet gewoon af! Dan kan ik de kansen wel geven!. Huygens eindigt zijn boek met enige voorstellen. Vijf vraagstukken met bij drie van de 5 een antwoord zonder verdere uitleg. Voorstel 5 vertelt het volgende: A en B hebben elk 12 penningen en spelen met 3 dobbelstenen onder deze voorwaarde: als er 11 ogen geworpen worden, dan moet A een penning aan B geven; als er 14 ogen geworpen worden, dan moet B een penning aan A geven; diegene zal het spel winnen, die het eerst alle penningen zal hebben gekregen ([3], blz. 40). Dit probleem is aanleiding geweest tot een uitwisseling van oplosmethode door verschillende wiskundigen. Bijvoorbeeld geeft Bernoulli in Ars Conjectandi uit 1713 een volledige oplossing van het probleem. Opvallend is dat Huygens tot het antwoord A : B = : komt. Van de overige toegevoegde voorstellen hebben een aantal tot felle discussies geleidt en dat heeft ook gezorgd voor verschillende oplosmethoden. Een VWO-scholier zou zeker drie van de vijf problemen op kunnen lossen. De overige twee (een daarvan is hierboven vermeldt) zouden voor wat meer moeite kunnen zorgen. Onze scholiere herkent in twee van de vijf voorstellen het vaasmodel zoals zij die ook heeft geleerd. Zo staat er in het tweede voorstel: Drie spelers A,B en C spelen met 12 schijven, waarvan er 4 wit zijn en 8 zwart, onder de voorwaarde, dat diegene van hen die blindelings eerst een witte schijf gekozen zal hebben winnen zal, en dat A de eerste schijf zal nemen, B de tweede, en dan C, en dan weer A, en zo vervolgens om de beurt. De vraag is in welke verhouding hun kansen tot elkaar staan. En het vierde voorstel: We hebben zoals hiervoor 12 schijven genomen, 4 wit en 8 zwart; A wedt tegen B dat hij blindelings 7 schijven daaruit zal nemen waardonder er 3 witten zullen zijn. Gevraagd in welke verhouding de kans van A staat tot die van B. ([3], blz. 40) 10

12 6. Vergelijking Na alle voorstellen stuk voor stuk doorgenomen te hebben kunnen we nu de vergelijking beginnen. Allereerst heb je kennis over kansrekening nodig om Van Rekeningh in Spelen van Geluck te begrijpen. De onderwerpen die besproken worden zijn tot op zeker hoogte dezelfde als op het VWO behandeld worden. Een verschil daarin is wel dat in Huygens boek vraagstukken staan over als een (gok)spelletje eerder wordt afgebroken. Een hele andere invalshoek voor een huidige VWO-er. Om deze kansen uit te rekenen gebruikt Huygens dezelfde methode als een VWO-er zonder rekenmachine. Opvallend daarin is de manier van Huygens om daadwerkelijk tot die eindberekening te komen. Door elke keer de vraag te herleiden tot één van de drie beginvoorstellen. 7. Invoeren op het VWO Voordat we conclusies gaan trekken over het wel of niet toevoegen van onderdelen uit Van Rekeningh in Spelen van Geluck aan de VWO-lesstof, vermelden wij nog een gedeelte van de inleiding van het vertaalde en toegelichte Van Rekeningh in Spelen van Geluck door Wim Kleijne. Hij vermeldt daar: De tekst is ongetwijfeld geschikt om ook bestudeerd te worden door bijvoorbeeld leerlingen van het voorbereidend wetenschappelijk onderwijs (VWO). Met name in het zogenoemde studiehuis van de bovenbouw van het VWO wordt een beroep gedaan op het zelfstandig studeren van leerlingen. Deze tekst van Christiaan Huygens lijkt hiervoor geschikt te zijn. ([3], blz. 7) Dit meenemend zijn wij van mening dat Van Rekeningh in Spelen van Geluck inderdaad aansluit op het VWO-onderwijs. Iets concreter kijken, vertelt ons dat de eerste drie voorstellen voor een VWO-er prima te begrijpen zijn en deze zijn ook onderdeel van de normale lesstof. Nadat een probleem herleidt is tot de drie basisproblemen zijn de voorstellen van Huygens ook goed op te lossen door onze scholiere. Het herleiden is echter het grote struikelblok. Een VWO-er moet daar meer van weten voordat hij of zij daadwerkelijk Huygens oplossing onder de knie kan krijgen, er moet veel mee geoefend worden. Wanneer we kijken naar de interesse van onze VWO-scholiere, viel een andere vraagstelling erg in de smaak. Zij vond het interessant om ook eens kansen te berekenen halverwege een spel in plaats van de standaard vragen als: Hoe groot is de kans dat de zestiende knikker een blauwe is? 11

13 8. Conclusie; Huygens op het VWO? Van Rekeningh in Spelen van Geluck, een boekje van Christiaan Huygens bevat een aantal voorstellen over gokspelletjes. Het huidige wiskunde onderwijs op het VWO heeft met sommige vraagstukken te maken gehad maar vele ook niet. Gokken is dan ook niet de bezigheid die men de leerlingen mee wil geven. Maar ballen uit een vaas trekken is nou ook weer het andere uiterste. Gezocht moet worden naar een middenweg. Daarin past Van Rekeningh in Spelen van Geluck prima tussen Huygens manier van denken en doen zou menig VWO-scholier een stap verder helpen. Nadeel daarvan is wel dat het tijd vergt om de oplossingen van Huygens onder de knie te krijgen, tijd die meestal niet beschikbaar is. Verrassende vragen die je halverwege een spelletje kan stellen en ook kan oplossen vallen zeker in de smaak bij de huidige VWO-er. Voor het nieuwe Wiskunde D is dit boekje absoluut een aanrader doordat het ook prima als zelfstudie gebruikt kan worden. Voor de Wiskunde A en C, die ongeveer hetzelfde programma hebben binnen de kansrekening, zal het boekje een te hoog niveau hebben. Maar een andere soort vragen zou meer in de lesstof betrokken moeten worden, bekijk een spelletje eens halverwege in plaats van aan het eind! Huygens zou prima bij kunnen dragen aan de kansrekening vandaag de dag. Al zal hij wel zijn oplossingen moeten uitleggen en toelichten om echt zijn vruchten achter te laten. 12

14 9. Referentielijst [1] Bos, H.J.M., Dictionary of Scientific Biography Volume VI. (blz. 597) Charles Scribner s sons, New York. [2] Vlis, J.H. van der, Geschiedenis van kansrekening en statistiek. Uitgeverij Pandata, Rijswijk. [3] Kleijne, W Toelichting op Van Rekeningh in Spelen van Geluck. Epsilon Uitgaven, Utrecht. [4] Digischool, Examenprogramma s , [5] Entoen, De canon van Nederland , 13