2016 I - Wiskunde C 2016 I - Wiskunde C (pilot) 2016 II - Wiskunde C 2016 II - Wiskunde C (pilot) 2015 I - Wiskunde C 2015 I - Wiskunde C (pilot)

Transcriptie

1 MEER DAN 20 JAAR ERVARING i.s.m. Universiteit Leiden Wiskunde C VWO Examenbundel

2 Inhoudsopgave 2016 I - Wiskunde C Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2016 I - Wiskunde C (pilot) Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2016 II - Wiskunde C Opgaven 2016 II - Wiskunde C (pilot) Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2015 I - Wiskunde C Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2015 I - Wiskunde C (pilot) Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2015 II - Wiskunde C Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2015 II - Wiskunde C (pilot) Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2014 I - Wiskunde C Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2014 I - Wiskunde C (pilot) Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2014 II - Wiskunde C Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2014 II - Wiskunde C (pilot) Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2013 I - Wiskunde C Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2013 I - Wiskunde C (pilot) Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2013 II - Wiskunde C Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2013 II - Wiskunde C (pilot) Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2012 I - Wiskunde C Opgaven Pagina: 1

3 Bijlage uitwerkbijlage 2012 I - Wiskunde C (pilot) Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2012 II - Wiskunde C Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2012 II - Wiskunde C (pilot) Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2011 I - Wiskunde C Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2011 II - Wiskunde C Opgaven Bijlage uitwerkbijlage 2010 I - Wiskunde C Opgaven Bijlage bijlage 2010 II - Wiskunde C Opgaven Pagina: 2

4 Examen VWO 2016 tijdvak 1 woensdag 18 mei uur wiskunde C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1026-a-16-1-o Pagina: 3

5 OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E( X Y) E( X) E( Y) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: 2 2 ( X Y) ( X) ( Y) n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X: ES ( ) nex ( ) ( S) n ( X) ( X ) E( X) E( X) ( X ) n Binomiale verdeling Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: n k n k P( X k) p (1 p) k met k = 0, 1, 2, 3,, n Verwachting: EX ( ) np Standaardafwijking: σ( X) n p (1 p) Normale verdeling Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en standaardafwijking σ geldt: X g Z is standaard-normaal verdeeld en P( X g) P( Z ) Logaritmen regel voorwaarde g g g log a logb log ab g>0, g 1, a>0, b>0 g g g a log a logb log g>0, g 1, a>0, b>0 b log a p log a g>0, g 1, a>0 g p g g p log a log a g>0, g 1, a>0, p>0, p 1 p log g VW-1026-a-16-1-o 2 / 13 lees verder Pagina: 4

6 VW-1026-a-16-1-o 3 / 13 lees verder Pagina: 5

7 Aalscholvers en vis In het IJsselmeergebied leven veel aalscholvers. Deze vogels voeden zich met vis. Zij zijn daarom een concurrent voor de visserij in het IJsselmeergebied. In de periode is uitgebreid onderzoek gedaan naar de visconsumptie van aalscholvers. Hiervoor werden braakballen van aalscholvers geanalyseerd. Eén keer per dag braakt een foto aalscholver een bal uit met alle onverteerbare resten van de vissen die hij die dag gegeten heeft. In zo'n braakbal zitten onder andere otolieten (gehoorsteentjes) van verschillende vissoorten (zie foto). Deze worden gesorteerd op vissoort en de lengtes worden gemeten. Met behulp van formules kan men dan de lengte en het gewicht berekenen van de vissen waarvan ze afkomstig zijn. Zo wordt vastgesteld wat de aalscholver die dag gegeten heeft. In tabel 1 staan de gebruikte formules voor twee belangrijke vissoorten die op het menu staan van de aalscholver. tabel 1 vissoort formule voor de lengte formule voor het gewicht baars L 14,73 31,11 O log( G) 5,605 3,273 log( L) pos L 11,31 22,14 O log( G) 5,607 3,335 log( L) In deze formules is O de gemeten otolietlengte in mm, L de lengte van de vis in mm en G het gewicht van de vis in gram. De lengtes van de otolieten van baarzen die in de braakballen werden aangetroffen, varieerden van 1,0 tot en met 9,5 mm. 2p 1 Bereken de kleinste en de grootste lengte van de baarzen die de aalscholvers uit het onderzoek hebben gegeten en rond je antwoorden af op mm. VW-1026-a-16-1-o 4 / 13 lees verder Pagina: 6

8 In een braakbal wordt een otoliet van een pos aangetroffen. Deze otoliet heeft een lengte van 3,4 mm. 4p 2 Bereken het gewicht van deze pos. Geef je antwoord in gram in één decimaal nauwkeurig. De visstand in het IJsselmeer Om te onderzoeken hoeveel vis er in het IJsselmeer aanwezig is, wordt op verschillende tijden en plaatsen met een sleepnet gevist dat tussen twee boten is bevestigd. Doordat de boten een vaarsnelheid van slechts 5 km per uur hebben, kan een deel van de vis ontsnappen door snel weg te zwemmen. Hoe sneller de vissoort is, hoe kleiner het percentage van de vis van die soort dat gevangen wordt. Hiervoor maakt men een wiskundig model. In tabel 2 staat informatie hierover. tabel 2 verhouding x viszwemsnelheid t.o.v. vaarsnelheid boten (5 km/u) percentage p gevangen vis t.o.v. aanwezige vis 0, In de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat als de vissoort half zo snel (x = 0,5) is als de boten er 95% wordt gevangen. Van een vissoort die vier keer zo snel (x = 4) is als de boten wordt slechts 5% gevangen. Om voor alle zwemsnelheden het percentage dat gevangen wordt te berekenen, x stelt men een exponentiële formule op van de vorm: p b g. Hierin is p het percentage gevangen vis en x de verhouding van de snelheid van de vissoort ten opzichte van de vaarsnelheid van de boten (5 km per uur) en b en g constanten. 4p 3 Bereken de waarde van b en g in deze formule op basis van de gegevens in tabel 2 voor x 1 en x 4. In werkelijkheid gebruikten de onderzoekers de volgende formule: p 128,5 0,437 x Voor x 0 is deze formule niet realistisch, omdat er dan volgens de formule 128,5% van de aanwezige vis gevangen wordt. 4p 4 Bereken tot welke viszwemsnelheid in km per uur de formule in elk geval niet realistisch kan zijn. De viszwemsnelheid bij het onderzoek werd bepaald op basis van de soort en de lengte van de vis. Een bepaalde vissoort van 18 cm lang heeft een zwemsnelheid van 0,66 meter per seconde. 3p 5 Bereken hoeveel procent van de werkelijk aanwezige hoeveelheid van deze vissoort volgens de formule van de onderzoekers gevangen werd. VW-1026-a-16-1-o 5 / 13 lees verder Pagina: 7

9 Sociale psychologie Psychologen denken dat een man door een gesprek met een mooie vrouw zo afgeleid kan zijn dat daardoor zijn denk- en leerprestaties na het gesprek tijdelijk verminderen. De afdeling sociale psychologie van de Radboud Universiteit Nijmegen onderzocht dit verschijnsel in ). Deze opgave gaat over enkele experimenten die daarbij werden gebruikt. Eerste experiment: de 2-back-taak In het eerste experiment moest een aantal mannelijke proefpersonen een test op de computer doen. Deze test was een zogenoemde 2-back-taak: op het scherm verschijnt met tussenpozen steeds een willekeurig gekozen letter van het alfabet. De proefpersoon moet deze letter onthouden en vergelijken met de letter twee stappen later. Als de letters hetzelfde zijn, moet hij de linkertoets indrukken, anders de rechtertoets. Zie het voorbeeld in tabel 1. tabel 1 letter T B N D W D A P P Q F Q.. toets: li=links; re=rechts.... re re re li re re re re re li.. De proefpersoon moet voor een 2-back-taak 200 keer een toets indrukken. 4p 6 Bereken de kans dat de proefpersoon in dat geval meer dan 10 keer de linkertoets moet indrukken. Na deze test hadden de (mannelijke) proefpersonen een kort gesprek met een mannelijke onderzoeker of een vrouwelijke onderzoeker. Hierna moesten ze opnieuw een 2-back-taak doen. Nu werd er niet gekeken naar het aantal goede antwoorden maar naar de reactietijd bij de goede antwoorden. De (mannelijke) proefpersonen die een gesprek hadden gehad met een vrouw scoorden op deze test aanzienlijk minder goed dan degenen die met een man gesproken hadden. In tabel 2 zie je voor beide groepen de resultaten van deze laatste test. tabel 2 gesprek met reactietijd van mannen in milliseconde gemiddelde standaardafwijking vrouw man noot 1 Het hier genoemde onderzoek had alleen betrekking op heteroseksuelen. VW-1026-a-16-1-o 6 / 13 lees verder Pagina: 8

10 We veronderstellen dat de reactietijden van beide groepen normaal verdeeld zijn. 3p 7 Bereken de kans dat een willekeurig gekozen man uit de groep die een gesprek had met een vrouw beter scoorde dan het gemiddelde van de groep die een gesprek had met een man. Tweede experiment In een tweede experiment was een groep van 112 proefpersonen betrokken, bestaande uit 54 mannelijke en 58 vrouwelijke willekeurig gekozen studenten. Voor dit experiment werden tweetallen gevormd. Veronderstel dat van deze personen er steeds willekeurig twee aan elkaar gekoppeld werden, zonder erop te letten of de persoon een man of vrouw is. 5p 8 Bereken de kans dat de eerste twee tweetallen die zo gevormd werden allebei uit een man en een vrouw bestonden. Rond je antwoord af op vier decimalen. De proefpersonen van elk tweetal moesten met elkaar een gesprek van 5 minuten voeren. Na dit gesprek moesten ze individueel een test doen. Ook hier werd gekeken naar de gemiddelde reactietijd bij de goede antwoorden. Op grond van eerder onderzoek mogen we aannemen dat de reactietijd van mannen in het algemeen na zo'n gesprek normaal verdeeld is met een gemiddelde van 594 milliseconde en een standaardafwijking van 53 milliseconde. Zoals al eerder vermeld, vermoeden psychologen dat mannen die een gesprek met een vrouw gevoerd hebben, gemiddeld een langere reactietijd hebben. De 22 mannen in dit onderzoek die een gesprek met een vrouw gevoerd hadden, bleken een gemiddelde reactietijd van 631 milliseconde te hebben. 4p 9 Bereken, uitgaande van de genoemde normale verdeling, de kans dat de gemiddelde reactietijd van een groep van 22 willekeurig gekozen mannen 631 milliseconde of meer is. VW-1026-a-16-1-o 7 / 13 lees verder Pagina: 9

11 Fietsen en energie De formules voor het basisenergieverbruik, de energie die iemand per dag nodig heeft voor alle activiteiten van een lichaam in rust, zoals hartwerking, ademhaling, enzovoort, staan in tabel 1. In deze formules is B het basisenergieverbruik in kcal (kilocalorieën) per dag en G het lichaamsgewicht van de persoon in kg. tabel 1 basisenergieverbruik leeftijdsgroep formule jaar (jongvolwassen) B 15,3G jaar (ouder) B 11,6G 879 Er gelden verschillende formules voor jongvolwassen en voor oudere personen. We vragen ons af welke van deze twee groepen het laagste basisenergieverbruik heeft. Dit hangt volgens de formules in tabel 1 af van het lichaamsgewicht van een persoon. 4p 10 Onderzoek bij welke lichaamsgewichten tussen 40 en 120 kg de jongvolwassenen een lager basisenergieverbruik hebben dan de ouderen. Als iemand sport, is de totale energie die hij of zij nodig heeft groter dan het basisenergieverbruik. De formule voor de totale energie T per dag is T 1, 3 B S. Hierbij is B het basisenergieverbruik per dag en S het energieverbruik voor het sporten per dag zoals fietsen, zwemmen en hardlopen. In tabel 2 staat het energieverbruik in kcal per kg lichaamsgewicht per uur bij fietsen bij een aantal snelheden. Neem aan dat het energieverbruik tussen de aangegeven snelheden in lineair verloopt. tabel 2 energieverbruik bij fietsen snelheid (km/uur) energieverbruik (kcal/kg/uur) Frits is 58 jaar en weegt 70 kg. Hij doet mee aan de fietselfstedentocht in Friesland, een tocht waarbij op één dag 240 km gefietst wordt. We nemen aan dat hij de hele tocht rijdt met een snelheid van 25 km/uur. 4p 11 Bereken het totale energieverbruik van Frits op deze dag. VW-1026-a-16-1-o 8 / 13 lees verder Pagina: 10

12 In tabel 2 zie je dat voor een fietser het extra energieverbruik per uur toeneemt bij toenemende snelheid. Koen fietst met een snelheid van 20 km per uur. Hij weegt 57 kg. Hij wil zijn snelheid zo veel verhogen dat hij 200 kcal per uur meer gaat verbruiken. 4p 12 Bereken met welke snelheid Koen moet gaan fietsen om dit te bereiken. Geef je antwoord in gehele km/u. Bij een hogere snelheid wordt per uur een grotere afstand afgelegd. Je kunt voor elke snelheid die in tabel 2 vermeld wordt, het energieverbruik per kg lichaamsgewicht bij het fietsen per afgelegde kilometer berekenen. Alex beweert dat dit voor elke snelheid gelijk is. Bert zegt dat dit hoger is bij hogere snelheden en Carolien beweert dat dit lager is bij hogere snelheden. Eén van deze drie personen heeft gelijk. 4p 13 Onderzoek met behulp van tabel 2 wie van de drie gelijk heeft. Bij een duatlon wordt er gefietst en hardgelopen 1). Er zijn verschillende afstanden mogelijk voor de twee onderdelen. Zo bestaat de Powermanduatlon uit 60 km fietsen en 20 km hardlopen. De Zwitserse duatlon echter, gaat over 150 km fietsen en 40 km hardlopen. Je zou een duatlon kunnen samenstellen waarbij voor elk onderdeel het energieverbruik voor het sporten even groot is. We gaan daarbij uit van een atleet die met een dusdanige snelheid hardloopt, dat zijn energieverbruik 1 kcal per afgelegde kilometer is. De atleet fietst met een snelheid waarbij hij 0,4 kcal per km verbruikt. De genoemde waarden voor het energieverbruik gelden steeds per kg lichaamsgewicht. 5p 14 Bereken de afstanden voor het fietsen en het hardlopen in een duatlon van in totaal 21 km waarbij het energieverbruik van deze atleet voor elk onderdeel steeds even groot is. noot 1 Het hardlopen bij een duatlon wordt verdeeld in een stuk voor en een stuk na het fietsen maar dat is voor deze opgave niet van belang. VW-1026-a-16-1-o 9 / 13 lees verder Pagina: 11

13 Panelen van Panhuysen In figuur 1 zie je (een bewerking van) een paneel van een kunstwerk van Paul Panhuysen. Het vierkante paneel is opgebouwd uit 9 bij 9 vakjes, in totaal 81. figuur 1 figuur 2 Voor de vulling van de vakjes heeft Panhuysen gebruikgemaakt van negen verschillende vormen. In figuur 2 zie je welke negen vormen gebruikt zijn: acht stukken van een vierkant met afgeronde hoeken en een leeg vakje in het midden. Op elke rij van figuur 1 komt elk van deze negen vormen precies één keer voor. 3p 15 Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn om negen verschillende vormen op één rij te zetten. VW-1026-a-16-1-o 10 / 13 lees verder Pagina: 12

14 De kunstenaar heeft niet alleen negen verschillende vormen gebruikt, maar ook negen verschillende kleuren. De vormen kunnen dus in negen verschillende kleuren voorkomen. Bij een leeg vakje is geen kleur te zien. 3p 16 Bereken hoeveel zichtbaar verschillende mogelijkheden er zijn voor het eerste vakje linksboven van een paneel. De kunstenaar heeft zichzelf de volgende beperkingen opgelegd: in een rij en in een kolom mag niet twee keer dezelfde vorm voorkomen. Hetzelfde geldt voor de kleuren. Panhuysen heeft een handige manier gebruikt om de 81 vakjes op die manier te vullen: door middel van sudoku's. In figuur 3 zie je een voorbeeld van een sudoku. figuur In een sudoku worden de cijfers 1 tot en met 9 gebruikt en elk cijfer komt in elke rij en in elke kolom precies één keer voor 1). Panhuysen nummerde de kleuren als volgt: 1 = donkerrood, 2 = lichtrood, 3 = oranje, 4 = geel, 5 = groen, 6 = lichtblauw, 7 = donkerblauw, 8 = crème en 9 = zwart. De volgorde van de kleuren op het paneel van figuur 1 liet hij corresponderen met die in de sudoku van figuur 3. Voor de vormen gebruikte hij dezelfde procedure. 3p 17 Onderzoek of hij voor de volgorde van de vormen van figuur 1 ook de sudoku van figuur 3 heeft gebruikt. Het totale kunstwerk van Panhuysen bestaat uit een serie van acht verschillende panelen van elk 81 vakjes. Al die panelen zijn door middel van sudoku's opgebouwd. In de figuur op de uitwerkbijlage zie je een ander paneel uit de serie van Panhuysen. In een aantal vakjes is met een cijfer de kleur aangegeven. Het vakje rechtsonder is afgedekt met een grijs vakje. 3p 18 Teken de juiste vorm in het afgedekte vakje en geef aan welke kleur die vorm heeft. Licht je antwoord toe. noot 1 Ook in de negen blokken van 3 bij 3 waarin de sudoku verdeeld kan worden, komen de cijfers 1 tot en met 9 één keer voor, maar dat is voor deze opgave niet van belang. VW-1026-a-16-1-o 11 / 13 lees verder Pagina: 13

15 Craps Craps is een bekend Amerikaans casinospel. De speler, de shooter genoemd, gooit met twee zuivere dobbelstenen. Is bij de eerste worp de som van de ogen 7 of 11, dan heeft hij gewonnen. Is de som 2, 3 of 12, dan heeft de bank gewonnen. Bij alle andere worpen (met som 4, 5, 6, 8, 9 of 10) gaat het spel nog verder. In het vervolg van de opgave wordt met een worp van 2, 3, 4 enzovoorts steeds bedoeld een worp met twee dobbelstenen waarbij de som van het aantal ogen gelijk is aan 2, 3, 4 enzovoorts. foto De kans dat de shooter na één worp gewonnen heeft, is twee keer zo groot als de kans dat hij na één worp verloren heeft. 4p 19 Laat dat met een berekening zien. Als de eerste worp gelijk is aan 4, 5, 6, 8, 9 of 10, dan gooit de shooter opnieuw. Hij gooit de dobbelstenen dan net zo lang tot hij hetzelfde aantal ogen als in zijn eerste worp gooit of 7. In het eerste geval wint hij, in het tweede geval wint de bank. Zie het schema in de figuur. figuur Na 1e worp (van 4, 5, 6, 8, 9 of 10) zelfde als 1e worp: shooter wint worp van 7: bank wint niet hetzelfde als 1e worp én geen 7: doorgaan met gooien zelfde als 1e worp: shooter wint worp van 7: bank wint niet hetzelfde als 1e worp én geen 7: doorgaan met gooien enzovoort VW-1026-a-16-1-o 12 / 13 lees verder Pagina: 14

16 We rekenen het door voor het geval waarin de eerste worp een 4 is. De shooter wint als hij weer 4 werpt en de bank wint als de shooter 7 werpt. Als hij iets anders werpt dan 4 of 7, moet hij opnieuw gooien en is de situatie precies hetzelfde als vóór de worp. Dat levert de volgende vergelijking op: p P(4) P(geen 4 en geen 7) p Hierbij is p de kans dat de shooter na een eerste worp van 4 alsnog wint. P(4) is de kans dat hij in een beurt som 4 werpt en P(geen 4 en geen 7) is de kans dat hij in een beurt geen 4 en ook geen 7 werpt. 4p 20 Bereken P(4) en P(geen 4 en geen 7) en bereken met behulp daarvan de kans p. De shooter kan bij een eerste worp van 4 winnen maar ook bij andere eerste worpen. Men kan berekenen dat de totale kans dat de shooter wint bij dit spel gelijk is aan De shooter betaalt voor elk spelletje 10 aan de bank: de inzet. Als de shooter wint, betaalt de bank 20 uit aan de shooter. Als de shooter verliest, krijgt hij niets uitbetaald. Zie de tabel. tabel winst voor de bank kans p 21 Bereken de verwachtingswaarde van de winst voor de bank bij één spelletje. Rond je antwoord af op centen. einde VW-1026-a-16-1-o 13 / 13 lees verder Pagina: 15

17 wiskunde C VWO uitwerkbijlage Naam kandidaat Kandidaatnummer 18 figuur ? 7 6 8? = donkerrood 6 = lichtblauw 2 = lichtrood 7 = donkerblauw 3 = oranje 8 = crème 4 = geel 9 = zwart 5 = groen? = leeg middenvakje dat bij een van de 9 kleuren hoort VERGEET NIET DEZE UITWERKBIJLAGE IN TE LEVEREN VW-1026-a-16-1-u einde Pagina: 16

18 Examen VWO 2016 tijdvak 1 woensdag 18 mei uur wiskunde C (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1026-f-16-1-o Pagina: 17

19 VW-1026-f-16-1-o 2 / 12 lees verder Pagina: 18

20 De visstand in het IJsselmeer Om te onderzoeken hoeveel vis er in het IJsselmeer aanwezig is, wordt op verschillende tijden en plaatsen met een sleepnet gevist dat tussen twee boten is bevestigd. Doordat de boten een vaarsnelheid van slechts 5 km per uur hebben, kan een deel van de vis ontsnappen door snel weg te zwemmen. Hoe sneller de vissoort is, hoe kleiner het percentage van de vis van die soort dat gevangen wordt. Hiervoor maakt men een wiskundig model. In de tabel staat informatie hierover. tabel verhouding x viszwemsnelheid t.o.v. vaarsnelheid boten (5 km/u) percentage p gevangen vis t.o.v. aanwezige vis 0, In de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat als de vissoort half zo snel (x = 0,5) is als de boten er 95% wordt gevangen. Van een vissoort die vier keer zo snel (x = 4) is als de boten wordt slechts 5% gevangen. Om voor alle zwemsnelheden het percentage dat gevangen wordt te berekenen, x stelt men een exponentiële formule op van de vorm: p = b g. Hierin is p het percentage gevangen vis en x de verhouding van de snelheid van de vissoort ten opzichte van de vaarsnelheid van de boten (5 km per uur) en b en g constanten. 4p 1 Bereken de waarde van b en g in deze formule op basis van de gegevens in tabel 2 voor x = 1 en x = 4. In werkelijkheid gebruikten de onderzoekers de volgende formule: p = 128,5 0,437 x Voor x = 0 is deze formule niet realistisch, omdat er dan volgens de formule 128,5% van de aanwezige vis gevangen wordt. 4p 2 Bereken tot welke viszwemsnelheid in km per uur de formule in elk geval niet realistisch kan zijn. De viszwemsnelheid bij het onderzoek werd bepaald op basis van de soort en de lengte van de vis. Een bepaalde vissoort van 18 cm lang heeft een zwemsnelheid van 0,66 meter per seconde. 3p 3 Bereken hoeveel procent van de werkelijk aanwezige hoeveelheid van deze vissoort volgens de formule van de onderzoekers gevangen werd. VW-1026-f-16-1-o 3 / 12 lees verder Pagina: 19

21 Fietsen en energie De formules voor het basisenergieverbruik, de energie die iemand per dag nodig heeft voor alle activiteiten van een lichaam in rust, zoals hartwerking, ademhaling, enzovoort, staan in tabel 1. In deze formules is B het basisenergieverbruik in kcal (kilocalorieën) per dag en G het lichaamsgewicht van de persoon in kg. tabel 1 basisenergieverbruik leeftijdsgroep formule jaar (jongvolwassen) B = 15,3G jaar (ouder) B = 11,6G+ 879 Er gelden verschillende formules voor jongvolwassen en voor oudere personen. We vragen ons af welke van deze twee groepen het laagste basisenergieverbruik heeft. Dit hangt volgens de formules in tabel 1 af van het lichaamsgewicht van een persoon. 4p 4 Onderzoek bij welke lichaamsgewichten tussen 40 en 120 kg de jongvolwassenen een lager basisenergieverbruik hebben dan de ouderen. Als iemand sport, is de totale energie die hij of zij nodig heeft groter dan het basisenergieverbruik. De formule voor de totale energie T per dag is T = 1, 3 B+ S. Hierbij is B het basisenergieverbruik per dag en S het energieverbruik voor het sporten per dag zoals fietsen, zwemmen en hardlopen. In tabel 2 staat het energieverbruik in kcal per kg lichaamsgewicht per uur bij fietsen bij een aantal snelheden. Neem aan dat het energieverbruik tussen de aangegeven snelheden in lineair verloopt. tabel 2 energieverbruik bij fietsen snelheid (km/uur) energieverbruik (kcal/kg/uur) Frits is 58 jaar en weegt 70 kg. Hij doet mee aan de fietselfstedentocht in Friesland, een tocht waarbij op één dag 240 km gefietst wordt. We nemen aan dat hij de hele tocht rijdt met een snelheid van 25 km/uur. 4p 5 Bereken het totale energieverbruik van Frits op deze dag. VW-1026-f-16-1-o 4 / 12 lees verder Pagina: 20

22 Bij een hogere snelheid wordt per uur een grotere afstand afgelegd. Je kunt voor elke snelheid die in tabel 2 vermeld wordt, het energieverbruik per kg lichaamsgewicht bij het fietsen per afgelegde kilometer berekenen. Alex beweert dat dit voor elke snelheid gelijk is. Bert zegt dat dit hoger is bij hogere snelheden en Carolien beweert dat dit lager is bij hogere snelheden. Eén van deze drie personen heeft gelijk. 4p 6 Onderzoek met behulp van tabel 2 wie van de drie gelijk heeft. Bij een duatlon wordt er gefietst en hardgelopen 1). Er zijn verschillende afstanden mogelijk voor de twee onderdelen. Zo bestaat de Powermanduatlon uit 60 km fietsen en 20 km hardlopen. De Zwitserse duatlon echter, gaat over 150 km fietsen en 40 km hardlopen. Je zou een duatlon kunnen samenstellen waarbij voor elk onderdeel het energieverbruik voor het sporten even groot is. We gaan daarbij uit van een atleet die met een dusdanige snelheid hardloopt, dat zijn energieverbruik 1 kcal per afgelegde kilometer is. De atleet fietst met een snelheid waarbij hij 0,4 kcal per km verbruikt. De genoemde waarden voor het energieverbruik gelden steeds per kg lichaamsgewicht. 5p 7 Bereken de afstanden voor het fietsen en het hardlopen in een duatlon van in totaal 21 km waarbij het energieverbruik van deze atleet voor elk onderdeel steeds even groot is. noot 1 Het hardlopen bij een duatlon wordt verdeeld in een stuk voor en een stuk na het fietsen maar dat is voor deze opgave niet van belang. VW-1026-f-16-1-o 5 / 12 lees verder Pagina: 21

23 Panelen van Panhuysen In figuur 1 zie je (een bewerking van) een paneel van een kunstwerk van Paul Panhuysen. Het vierkante paneel is opgebouwd uit 9 bij 9 vakjes, in totaal 81. figuur 1 figuur 2 Voor de vulling van de vakjes heeft Panhuysen gebruikgemaakt van negen verschillende vormen. In figuur 2 zie je welke negen vormen gebruikt zijn: acht stukken van een vierkant met afgeronde hoeken en een leeg vlakje in het midden. Op elke rij van figuur 1 komt elk van deze negen vormen precies één keer voor. 3p 8 Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn om negen verschillende vormen op één rij te zetten. VW-1026-f-16-1-o 6 / 12 lees verder Pagina: 22

24 De kunstenaar heeft niet alleen negen verschillende vormen gebruikt, maar ook negen verschillende kleuren. De vormen kunnen dus in negen verschillende kleuren voorkomen. Bij een leeg vakje is geen kleur te zien. 3p 9 Bereken hoeveel zichtbaar verschillende mogelijkheden er zijn voor het eerste vakje linksboven van een paneel. De kunstenaar heeft zichzelf de volgende beperkingen opgelegd: in een rij en in een kolom mag niet twee keer dezelfde vorm voorkomen. Hetzelfde geldt voor de kleuren. Panhuysen heeft een handige manier gebruikt om de 81 vakjes op die manier te vullen: door middel van sudoku's. In figuur 3 zie je een voorbeeld van een sudoku. figuur In een sudoku worden de cijfers 1 tot en met 9 gebruikt en elk cijfer komt in elke rij en elke kolom precies één keer voor 1). Panhuysen nummerde de kleuren als volgt: 1 = donkerrood, 2 = lichtrood, 3 = oranje, 4 = geel, 5 = groen, 6 = lichtblauw, 7 = donkerblauw, 8 = crème en 9 = zwart. De volgorde van de kleuren op het paneel van figuur 1 liet hij corresponderen met die in de sudoku van figuur 3. Voor de vormen gebruikte hij dezelfde procedure. 3p 10 Onderzoek of hij voor de volgorde van de vormen van figuur 1 ook de sudoku van figuur 3 heeft gebruikt. noot 1 Ook in de negen blokken van 3 bij 3 waarin de sudoku verdeeld kan worden, komen de cijfers 1 tot en met 9 één keer voor, maar dat is voor de vragen 10 en 11 niet van belang. VW-1026-f-16-1-o 7 / 12 lees verder Pagina: 23

25 Het totale kunstwerk van Panhuysen bestaat uit een serie van acht verschillende panelen van elk 81 vakjes. Al die panelen zijn door middel van sudoku's opgebouwd. In de figuur op de uitwerkbijlage zie je een ander paneel uit de serie van Panhuysen. In een aantal vakjes is met een cijfer de kleur aangegeven. Het vakje rechtsonder is afgedekt met een grijs vakje. 3p 11 Teken de juiste vorm in het afgedekte vakje en geef aan welke kleur die vorm heeft. Licht je antwoord toe. Een sudoku kun je in negen blokken verdelen van elk 3 bij 3 vakjes. Zie figuur 3. Ook in elk van die blokken komt elk getal precies één keer voor. In de kleuren en de vormen op de panelen van Panhuysen is dat ook terug te zien. Op een paneel komt weinig symmetrie voor, maar het is wél mogelijk om een blok van 3 bij 3 vakjes symmetrisch te vullen, bijvoorbeeld als je alleen naar de vormen kijkt. Je kunt zo'n blok zo vullen met de negen verschillende vormen dat er een symmetrische figuur ontstaat. Zie figuur 4. figuur 4 Figuur 4 is één mogelijkheid, maar er zijn nog andere mogelijkheden om een symmetrische figuur te krijgen. 4p 12 Teken op de uitwerkbijlage twee van die mogelijkheden en noteer waarom deze blokken symmetrisch zijn. VW-1026-f-16-1-o 8 / 12 lees verder Pagina: 24

26 Weekendje Winterberg Op een toeristische website van de Duitse regio Sauerland staat de volgende tekst: We hebben een huisje in Winterberg in het Sauerland. Als we geen verplichtingen hebben, gaan we daar - als er sneeuw ligt of als er mooi weer wordt voorspeld - in het weekend naar toe. De tekst bestaat, afgezien van de eerste zin, uit vier uitspraken die samen een logische redenering vormen. De uitspraken zijn: A We hebben verplichtingen; B Er ligt sneeuw in Winterberg; C Er wordt voor Winterberg mooi weer voorspeld; D We gaan in het weekend naar ons huisje in Winterberg. 3p 13 Schrijf de logische redenering uit de tekst met behulp van de letters A, B, C en D en de logische symbolen. Bekijk de volgende zin: Als we in het weekend niet naar Winterberg gaan, dan hebben we verplichtingen of er ligt geen sneeuw en er wordt geen mooi weer voorspeld. Deze zin is op verschillende manieren te schrijven: D ( A B) C of D A ( B C) 4p 14 Onderzoek welke van beide manieren in overeenstemming is met de tekst op de website. Licht je antwoord toe. VW-1026-f-16-1-o 9 / 12 lees verder Pagina: 25

27 Plantenbak In het Belgische Samrée staan de plantenbakken van de foto. De plantenbakken zijn naast elkaar gezet met een aflopende hoogte. foto De vorm van de plantenbakken is een prisma met een regelmatig achthoekig grondvlak. De zijden van de achthoek zijn 60 cm. In de figuur is het vierkant PQRS dat er precies omheen past, getekend. Om de oppervlakte van het achthoekige grondvlak ABCDEFGH te berekenen, is het handig om de lengte PB in de gelijkbenige driehoek PBA te gebruiken. Deze lengte is 42,4 cm. De houten plankjes zijn 20 cm hoog. De dikte van de bodem en van de houten plankjes mag je hier verwaarlozen. figuur S G F R H E A D P 42, 4 B C Q Een hovenier komt met zijn vrachtwagen met 3 m 3 potgrond om de plantenbakken te vullen. 5p 15 Bereken of 3 m 3 voldoende is voor de drie plantenbakken. Op de uitwerkbijlage moet het achthoekige grondvlak ABCDEFGH (zie de figuur) van de plantenbak in perspectief getekend worden. De zijden AB, BC en het vierkant PQRS zijn al getekend. 6p 16 Maak de perspectieftekening af op de uitwerkbijlage. VW-1026-f-16-1-o 10 / 12 lees verder Pagina: 26

28 Wereldbevolking Op dit moment leven er op aarde ruim 7 miljard mensen. De groei van de wereldbevolking wordt regelmatig onderzocht. In 1650 waren er ongeveer 500 miljoen mensen op aarde en in 1850 ongeveer 1,3 miljard. In de periode steeg de wereldbevolking tot 6,4 miljard. We nemen aan dat de wereldbevolking tussen 1650 en 1850 lineair gegroeid is. Als we veronderstellen dat deze lineaire groei zich voort had gezet tot het jaar 2000, dan zouden we voor dat jaar slechts op een klein percentage van het werkelijke aantal van 6,4 miljard mensen uitkomen. 3p 17 Bereken dit percentage. De tabel geeft een overzicht van de wereldbevolking in miljoenen mensen. tabel jaar bevolking in miljoenen Uit de gegevens van de tabel blijkt dat de wereldbevolking in de periode niet lineair toegenomen is. 3p 18 Bereken de gemiddelde verandering per jaar in de perioden , en en toon hiermee aan, dat er geen sprake is van een lineaire groei. 3p 19 Onderzoek met behulp van de gegevens in de tabel, of de wereldbevolking gedurende de gehele periode exponentieel gegroeid kan zijn. Men veronderstelt dat in de toekomst de groei van de wereldbevolking zal afnemen. Iemand heeft een recursief model opgesteld voor de ontwikkeling van de wereldbevolking: ( ) 2 Nt ( + 1) = 1,02 Nt ( ) 0,0015 Nt ( ) met N (0) = 7,3 Hierin is t de tijd in jaren, waarbij t = 0 overeenkomt met 31 december in het jaar 2015, en N de wereldbevolking in miljarden. 4p 20 Onderzoek in welk jaar de wereldbevolking volgens dit model voor het eerst meer dan 7,6 miljard zal zijn. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina. VW-1026-f-16-1-o 11 / 12 lees verder Pagina: 27

29 De ontwikkeling van de wereldbevolking kan ook met een directe formule worden gegeven. Een formule die in de buurt komt van het model dat beschreven is door het recursieve model, is: 13,33 Dt () = 1 + 0,826 0,98 t Hierin is t de tijd in jaren, waarbij t = 0 overeenkomt met het jaar 2015, en D de wereldbevolking in miljarden. Volgens dit model nadert de wereldbevolking op den duur een grenswaarde. 3p 21 Beredeneer aan de hand van de formule, hoe groot deze grenswaarde is. einde VW-1026-f-16-1-o 12 / 12 lees verder Pagina: 28

30 wiskunde C VWO (pilot) uitwerkbijlage Naam kandidaat Kandidaatnummer 11 figuur ? 7 6 8? = donkerrood 6 = lichtblauw 2 = lichtrood 7 = donkerblauw 3 = oranje 8 = crème 4 = geel 9 = zwart 5 = groen? = leeg middenvakje dat bij een van de 9 kleuren hoort VW-1026-f-16-1-u 1 / 3 lees verder Pagina: 29

31 12 VW-1026-f-16-1-u 2 / 3 lees verder Pagina: 30

32 16 S R A P B C Q VERGEET NIET DEZE UITWERKBIJLAGE IN TE LEVEREN einde VW-1026-f-16-1-u 3 / 3 lees verder Pagina: 31

33 Examen VWO 2016 tijdvak 2 woensdag 22 juni 13:30-16:30 uur wiskunde C Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1026-a-16-2-o Pagina: 32

34 OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: EX ( + Y) = EX ( ) + EY ( ) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: 2 2 σ ( X + Y) = σ ( X) +σ ( Y) n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X: ES ( ) = nex ( ) σ ( S) = n σ ( X) σ( X ) E( X) = E( X) σ ( X ) = n Binomiale verdeling Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: n k n k P( X = k) = p (1 p) k met k = 0, 1, 2, 3,, n Verwachting: EX ( ) = np Standaardafwijking: σ ( X) = n p (1 p) Normale verdeling Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en standaardafwijking σ geldt: X μ g μ Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g) = P( Z < ) σ σ Logaritmen regel voorwaarde log a+ logb= log ab g>0, g 1, a>0, b>0 g g g g g g a log a logb= log g>0, g 1, a>0, b>0 b log a = p log a g>0, g 1, a>0 g p g g p log a log a = g>0, g 1, a>0, p>0, p 1 p log g VW-1026-a-16-2-o 2 / 13 lees verder Pagina: 33

35 Vlinders De zomer van 2013 was een topzomer voor vlinders. Toch gaat het aantal vlinders in Nederland volgens de Vlinderstichting langzaam achteruit. In dagblad Trouw stond in augustus 2013 de grafiek van figuur 1. figuur 1 aantal (x1000) Gemiddeld aantal vlinders per drie beste zomerweken Trend In figuur 1 is te zien dat het gemiddeld aantal vlinders in de drie beste zomerweken (dit zijn de drie weken met de meeste vlinders) een dalende trend vertoont. Deze trend wordt weergegeven door de gestippelde lijn. In figuur 1 is te zien dat 1995 zowel als 2013 goede vlinderjaren waren. 4p 1 Onderzoek of in 1995 het gemiddeld aantal vlinders in de drie beste zomerweken in procenten meer verschilde van het door de trendlijn voorspelde aantal dan in p 2 Stel een formule op voor de trendlijn van figuur 1 met t in jaren en t = 0 in Bereken daarmee in welk jaar er volgens deze trendlijn voor het eerst minder dan gemiddeld vlinders in de drie beste zomerweken zullen zijn. VW-1026-a-16-2-o 3 / 13 lees verder Pagina: 34

36 Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) publiceert regelmatig gegevens over de stand van zaken van de natuur in Nederland. In figuur 2 zie je een diagram waarin de mate van bedreiging is aangegeven van vlindersoorten in Uitgangspunt daarbij is het jaar Men beperkt zich daarbij tot soorten die in 1950 voorkwamen. Er is onderscheid gemaakt tussen soorten dagvlinders en soorten nachtvlinders. Je kunt in figuur 2 bijvoorbeeld aflezen dat 24% van het totale aantal soorten dagvlinders sinds 1950 uit Nederland verdwenen is. figuur 2 bedreiging van vlindersoorten in 2010 dagvlinders nachtvlinders % Legenda: ten opzichte van 1950 verdwenen ernstig bedreigd bedreigd kwetsbaar gevoelig niet-bedreigd Hieronder staan twee mogelijke conclusies: I Er zijn in 2010 meer niet-bedreigde soorten bij de nachtvlinders dan bij de dagvlinders. II Het percentage ernstig bedreigde, bedreigde en kwetsbare soorten samen is in 2010 bij de dagvlinders groter dan bij de nachtvlinders. 3p 3 Geef van elk van de twee bovenstaande conclusies aan of deze volgt uit figuur 2. Licht je antwoorden toe. VW-1026-a-16-2-o 4 / 13 lees verder Pagina: 35

37 Om de bedreiging van soorten dagvlinders in Nederland te meten, gebruikt het CBS de volgende rekenmethode: De totale bedreiging is de som van de volgende categorieën. Hierbij krijgen die categorieën de volgende gewichten: verdwenen = 5, ernstig bedreigd = 4, bedreigd = 3, kwetsbaar = 2 en gevoelig = 1. De niet-bedreigde soorten krijgen gewicht 0. In de tabel staat voor 1995 en 2006 de onderverdeling in de genoemde categorieën voor de soorten dagvlinders die in Nederland in 1950 voorkwamen. tabel aantal dagvlindersoorten verdwe- ernstig kwetsbaar gevoe- nietjaar nen bedreigd bedreigd lig bedreigd totaal Voor soorten dagvlinders in 1995 resulteert de berekening van het CBS in een totale bedreiging van p 4 Bereken met hoeveel procent de totale bedreiging voor soorten dagvlinders in 2006 is toegenomen ten opzichte van De overheid wil dat de totale bedreiging teruggedrongen wordt. Men streeft ernaar dat voor dagvlinders de totale bedreiging 20% lager wordt dan in p 5 Geef een mogelijke verdeling waarbij afgerond de totale bedreiging 20% lager is dan in 1995 van de 71 dagvlindersoorten over de zes categorieën van de tabel. Ga er daarbij van uit dat het aantal verdwenen soorten gelijk gebleven is. VW-1026-a-16-2-o 5 / 13 lees verder Pagina: 36

38 Buisfolie Een bedrijf produceert plastic verpakkingsmateriaal. Men maakt er onder andere buisfolie. Buisfolie wordt verwerkt tot plastic zakken. Bij de productie van de buisfoliezakken moet de breedte binnen nauwe grenzen blijven. De streefwaarde is 715 mm. Om het risico te beperken dat de zakken te smal zijn, wordt de gemiddelde breedte ingesteld op 715,6 mm. Neem aan dat de breedte normaal verdeeld is met σ = 0,5 mm. Bij de productie van buisfoliezakken voor een bepaalde afnemer is vastgelegd dat het tolerantiegebied het gebied is waar de breedte van de zakken maximaal 1 mm van de streefwaarde van 715 mm afwijkt. 3p 6 Bereken het percentage van de partij zakken dat buiten dit tolerantiegebied ligt. Men vindt het productieproces voor een andere afnemer van buisfoliezakken acceptabel als hoogstens 2,5% van de zakken breder is dan 716 mm. Hiervoor moet de standaardafwijking wel veranderen. Het is mogelijk de machine zo in te stellen dat de gemiddelde breedte niet verandert maar de standaardafwijking wel. 2p 7 Beredeneer of de standaardafwijking dan kleiner of groter dan 0,5 moet zijn. De bedrijfsleiding streeft naar een weekproductie van kg buisfolie. Voorafgaand aan de productie van het jaar 2013 beweerden de technici dat voor elke gewone werkweek de kans 75% was dat die weekproductie van kg of meer gerealiseerd kon worden. Voor de volgende vraag gaan we ervan uit dat die technici gelijk hebben. 4p 8 Bereken de kans dat een productie van kg of meer in minstens 21 van de 48 gewone werkweken niet gehaald wordt. Bij het bedrijf komt het verzoek binnen om een spoedorder te verwerken van kg buisfolie. Deze bestelling moet binnen een week geleverd worden. Op basis van eerdere gegevens gaat de leiding ervan uit dat het gewicht in kg van de buisfolie die per week geproduceerd wordt normaal verdeeld is met μ = en σ = p 9 Toon hiermee aan dat de kans dat het bedrijf de weekproductie van kg niet haalt ongeveer 9,9% is. VW-1026-a-16-2-o 6 / 13 lees verder Pagina: 37

39 Er bestaat dus een kans van 9,9% dat het bedrijf de weekproductie niet haalt. Het bedrijf kan zodoende met 90,1% zekerheid de spoedorder uitvoeren. Voor die spoedorder van kg buisfolie wordt een prijs van 2,15 per kg gerekend als deze binnen die week geleverd wordt. Als dit echter niet lukt dan haakt de klant af en kan het bedrijf een boete van ,- verwachten. De partij buisfolie kan dan nog wel te zijner tijd afgemaakt worden en aan een andere klant worden verkocht voor 0,50 per kg. Het is nu de taak van het management om de risico s af te wegen en een keuze te maken of men deze spoedorder al dan niet zal accepteren. 4p 10 Bereken de verwachtingswaarde van de opbrengst voor het bedrijf als men deze spoedorder accepteert. VW-1026-a-16-2-o 7 / 13 lees verder Pagina: 38

40 Prille groei Gemiddeld duurt een zwangerschap bij de mens 38 weken. Een ongeboren kind van 8 weken of ouder wordt een foetus genoemd. In tabel 1 staat het (gemiddelde) lichaamsgewicht G in gram van een foetus bij een leeftijd van t weken. tabel 1 Leeftijd t in weken Lichaamsgewicht G in gram 8 4, In deze opgave willen we onderzoeken welk model er bij tabel 1 zou kunnen passen. Het eerste model dat we bekijken is dat van exponentiële groei: G t = b a met a en b constanten. Veronderstel dat de groei tussen week 8 en week 10 inderdaad exponentieel verloopt. 3p 11 Bereken met hoeveel procent per week het gewicht van de foetus dan toeneemt in die periode. Exponentiële groei is echter geen goed model voor de groei van de foetus in de gehele periode van 8 tot 38 weken. Dit kun je afleiden uit de tabel. 3p 12 Laat dat met een berekening zien. VW-1026-a-16-2-o 8 / 13 lees verder Pagina: 39

41 Om een beter model voor de groei van de foetus te maken, berekenen we de logaritmes van de getallen in tabel 1. We bekijken dus de waarden van M = log ( G) ten opzichte van L= log ( t). Zie tabel 2 en de bijbehorende punten in de figuur. tabel 2 L= log( t) M = log( G) 0,90 0,67 1,00 1,32 1,18 2,20 1,30 2,68 1,40 3,00 1,48 3,23 1,54 3,43 1,58 3,54 figuur 4,0 M 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 L De punten in de figuur liggen bij benadering op een bergparabool. Deze parabool is in de figuur getekend. Bij deze parabool hoort de volgende formule: M = 7, ,305 L 2,892 L Het gewicht van een foetus van 30 weken kan met deze formule worden berekend: bij t = 30 hoort L = log(30) 1,48. Met de formule kun je de waarde van M en daarna de bijbehorende waarde van G berekenen. Die waarde wijkt af van de waarde volgens tabel 1. 3p 13 Bereken hoeveel deze afwijking bedraagt. Als de parabool van de figuur de groei goed beschrijft, dan zou de grafiek moeten stijgen gedurende de hele zwangerschap. 4p 14 Bereken de waarde van t waar de grafiek van M weer gaat dalen en leg uit dat dit voor het model geen bezwaar is. 2 VW-1026-a-16-2-o 9 / 13 lees verder Pagina: 40

42 Halli Galli Halli Galli is een kaartspel. Bij het spel worden 56 kaarten gebruikt waarop vruchten afgebeeld zijn. Er zijn vier soorten vruchten: banaan, aardbei, citroen en pruim. Er zijn veertien bananenkaarten met diverse aantallen bananen. Die zie je in de tabel. De andere drie soorten vruchten hebben dezelfde verdeling van kaarten. tabel kaart met 1 banaan 2 bananen 3 bananen 4 bananen 5 bananen aantal kaarten In deze opgave wordt het spel gespeeld met twee spelers, A en B. Het spel kaarten wordt goed geschud. Vervolgens krijgt eerst speler A 28 kaarten. Daarna krijgt speler B de overige kaarten. 3p 15 Bereken de kans dat de eerste vier kaarten van speler A allemaal bananenkaarten zijn. In werkelijkheid ziet de speler zijn kaarten niet: de speler legt ze dicht (dat wil zeggen: met de afbeelding naar beneden) voor zich neer op een stapel. Het spel gaat dan als volgt: beide spelers pakken tegelijk de bovenste kaart van hun dichte stapel en leggen die op hun open stapel. Zie foto. foto In het midden staat een bel. Zodra er van een vruchtensoort precies 5 vruchten op de twee open kaarten samen zichtbaar zijn, slaat iedere speler zo snel mogelijk op de bel. Zie bijvoorbeeld de situatie op de foto. Of er dan ook nog andere vruchten met andere aantallen te zien zijn, is daarbij niet van belang. Dus ook bij, bijvoorbeeld, het zichtbaar zijn van een kaart met 5 citroenen en een andere kaart met 2 pruimen moet er op de bel geslagen worden. De speler die het eerst op de bel slaat, krijgt de open stapel van zijn tegenstander. Deze legt hij met de afbeelding naar beneden onder zijn eigen dichte stapel. Het doel van het spel is om zo alle kaarten te winnen. VW-1026-a-16-2-o 10 / 13 lees verder Pagina: 41

43 Bij het begin van het spel heeft iedere speler een dichte stapel van 28 kaarten voor zich. Beide spelers draaien hun eerste kaart om. Omdat de kaarten willekeurig verdeeld zijn, mag je voor het berekenen van de kansen uitgaan van één goed geschudde stapel van 56 kaarten waarvan je de twee bovenste omdraait. Je ziet dan een aantal vruchten. 5p 16 Bereken de kans dat daar precies 5 pruimen bij zijn. Heel soms gebeurt het dat speler A een kaart met 5 citroenen boven op zijn eigen stapel legt en speler B een kaart met 5 aardbeien. En het gebeurt ook wel eens precies andersom. 3p 17 Bereken op hoeveel manieren er in totaal 10 vruchten tegelijk zichtbaar kunnen zijn tijdens het spel. A en B spelen dit spel vaker en het is opgevallen dat speler A vaak net wat trager reageert dan speler B. Neem aan dat speler A steeds een kans van 0,4 heeft om als eerste op de bel te drukken. 4p 18 Bereken de kans dat als er in een spelletje 20 keer op de bel gedrukt wordt, speler A hierbij hoogstens 6 keer de eerste is. VW-1026-a-16-2-o 11 / 13 lees verder Pagina: 42

44 Lampen Sinds enkele jaren is de handel in gloeilampen verboden. Het is de bedoeling dat iedereen overstapt op spaarlampen of LED-lampen. In deze opgave houden we ons met gloei-, spaar- en LED-lampen bezig. Spaarlampen bestaan al sinds 1982, maar hebben nooit de populariteit van de gloeilamp kunnen bedreigen. Toch is een gloeilamp op de lange termijn een stuk minder voordelig dan een spaarlamp: de levensduur van een gloeilamp is veel korter dan die van een spaarlamp én een gloeilamp gebruikt vijf keer zoveel energie als een spaarlamp om dezelfde lichtsterkte te produceren. Het energieverbruik per tijdseenheid van lampen (het wattage) wordt uitgedrukt in watt (W). Er geldt dus dat een gloeilamp een vijf keer zo hoog wattage heeft als een spaarlamp die evenveel licht geeft. Zie ook de tabel. tabel vergelijking gloei- en spaarlamp van dezelfde lichtsterkte levensduur wattage aanschafprijs gloeilamp 1300 uur 75 W 0,50 spaarlamp 7800 uur 15 W 6,50 De prijs van elektriciteit is 0,23 per kwh (kilowattuur). Dat wil zeggen dat het gebruik van 1 kw (= 1000 W) gedurende 1 uur 0,23 kost. Bijvoorbeeld: een lamp met een wattage van 100 W die drie uur brandt, zal ,23 0,07aan elektriciteit kosten De gebruikskosten van lampen bestaan uit de aanschafkosten en de kosten om ze te laten branden. Een spaarlamp van 15 watt zal tijdens zijn gehele levensduur van 7800 uur een stuk goedkoper zijn dan het gebruik van meerdere gloeilampen met dezelfde lichtsterkte die samen 7800 branduren hebben. 5p 19 Bereken hoeveel goedkoper de spaarlamp is. Geef je antwoord in centen nauwkeurig. Stella heeft een spaarlamp gekocht van 12 W. Deze lamp kostte 8,40. Een gloeilamp van 60 W, dus met dezelfde lichtsterkte, kost 0,60. De spaarlamp is al goedkoper bij een aantal branduren dat kleiner is dan de levensduur van één gloeilamp met dezelfde lichtsterkte. 4p 20 Onderzoek na hoeveel branduren de gebruikskosten van de spaarlamp lager zijn dan die van één gloeilamp. VW-1026-a-16-2-o 12 / 13 lees verder Pagina: 43

45 De laatste jaren is de LED-lamp steeds populairder aan het worden. Deze lampen zijn nóg zuiniger dan spaarlampen en gaan bovendien nog veel langer mee. In de grafiek is het verband getekend tussen het wattage van gloeilampen en het wattage van LED-lampen met dezelfde lichtsterkte. grafiek Wattage LED-lamp (W) 4,8 4,4 4 3,6 3,2 2,8 2,4 2 1,6 1,2 0,8 0, Wattage gloeilamp (W) Het is duidelijk dat een LED-lamp een veel lager wattage heeft dan een gloeilamp die dezelfde hoeveelheid licht geeft. Het verschil is zo groot dat je kunt inzien dat een LED-lamp een lager wattage heeft dan een spaarlamp die dezelfde hoeveelheid licht geeft. 4p 21 Bereken hoeveel procent meer wattage een spaarlamp nodig heeft, vergeleken met een LED-lamp die dezelfde hoeveelheid licht geeft. einde VW-1026-a-16-2-o 13 / 13 lees verder Pagina: 44