Aspekten van tweedimensionale transnortberekeningen voor oppervlaktewater door middel van passieve deeltjessimulatie. G.C. van Dam Nota FA 8504

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Aspekten van tweedimensionale transnortberekeningen voor oppervlaktewater door middel van passieve deeltjessimulatie. G.C. van Dam Nota FA 8504"

Transcriptie

1 Aspekten van tweedimensionale transnortberekeningen voor oppervlaktewater door middel van passieve deeltjessimulatie G.C. van Dam Nota FA 8504

2 - 3 - I N H O U D Blz. I 1. InLeiding 2. Random-verplaatsingen 3. Kunstmatige snelheidsvelden 4. Kombinatie van kunstmatige velden met berekende 5. Driedimensionale aspekten 6. Artefakten door middeling van snelheden in ruimte en tijd 7. Technische bijzonderheden 8. Literatuur Figuren

3 Inleiding De beperking tot twee dimensies betreft in dit geval de horizontale richtingen (2 DH); 2 DV-modellen blijven buiten beschouwing. voor de praktische ('geografische") toepassingen wordt uitgegaan van 2DH-waterbewegingsmodellen. De daarvan afkomstige snelheidsvelden zijn wel in tweedimensionale vorm gegeven, maar ze dragen toch het stempel van een derde dimensie: van wateediepteverschillen; dit zijn in het niet-stationaire geval ook de veranderingen van de waterdiepte met de tijd. mor deze snelheidsvelden en de bijbehorende dieptevelden als uitgangspunt te nemen zijn de 2DH-deeltjesmodellen in dezelfde zin feitelijk driedimensionaal als de 2DH-waterbewegingsmodellen waarvan wordt uitgegaan. In een aantal nevenstudies wordt zuiver tweedimensionaal gewerkt, zoals bij de bestudering van analytisch geformuleerde velden en tweedimensionale random walk-studies, c.q. kombinaties van beide. Brengt men dergelijke zuiver tweedimensionale velden of mechanismen in ongewi j- zigde tweedimensionale vorm over naar het transportmodel, dan ontstaan fouten, die veelal niet te verwaarlozen zijn (paragraaf 5). Eerst iets over de aanvullende velden en andere suppletiemethoden. I 2. Random-verplaatsingen Het meest bekende middel om berekende snelheidsvelden te suppleren is wel het gebruik van random-verplaatsingen. De gelijkwaardigheid met gradiënt-diffusie van de gewone, per stap (gemiddeld) konstante verplaatsing (random in richting), bij voldoend aantal deeltjes, stappen enz., is bekend. Einatein7 gaf in 1905 een bewijs voor het 1D-geval; de gevallen voor meer dimensies volgen hier in feite uit als men zich realiseert dat men de random-verplaatsingen opgebouwd mag denken uit onafhankelijke komponenten in de koördinaatrichtingen. Maier-Reimerg konstateerde dat dit mechanisme in zijn simulaties met snelheidsvelden uit ZDH-getijmodellen VOOK de Noordzee, niet toereikend was. In de meeste gevallen groeiden zijn deeltjeswolken (uit momentlozingen) in "diameter" ongeveer met t%, dus in feite net als wanneer het snelheidsveld afwezig of homogeen was geweest. Slechts in enkele gevallen was de exponent van t iets hoger. Hij loste dit op door de lengte van zijn random-stappen bij een momentlozing met diameter nul met ta te laten groeien (t gerekend vanaf het moment van lozing). Op deze wijze kon Maier-Reimer goede overeenstemming verkrijgen met experimenten, zoals die van Joseph, Sendner en Weidemanna, 11. Dat hij geen behoefte had aan verdere verfijningen, komt doordat zijn wolken niet of nauwelijks groter werden dan de maas van het rooster waarop het waterbewegingsmodel de snelheden berekende en toeleverde. In figuur 1 ziet men een voorbeeld waarin de wolkjes waaruit de desbetreffende kontinue lozing is opgebouwd zelfs klein blijven ten opzichte van de roostermaas. Dezelfde figuur laat meteen een aantrekkelijkheid van het deeltjes-koncept zien: het snelheidsveld in het beschouwde gebied is weliswaar praktisch homogeen, maar tegelijkertijd sterk tijdsafhankelijk en deze tijdsafhankelijkheid roept een gedetailleerde subgridstruktuur op, z6nder dat men hiervoor eerst een lokaal deelmodel

4 hoeft in te nesten met enkele honderden malen zoveel roosterpunten binnen eenzelfde oppervlakte. Doordat Maier-Reimer zich tot kleinschalige numerieke experimenten beperkte, bleek niet dat de inhomogeniteiten van het gegeven snelheidsveld steeds meer tot de totale verspreiding bijdragen naarmate het diffunderende systeem groter is. Daar het in de toepassingen bij de Rijkswaterstaat zeer duidelijk de bedoeling is de schaal van één of twee maas-lengten royaal te passeren, moet met het genoemde effekt rekening gehouden worden. Voor de wijze waarop dit gerealiseerd is in de modellen waarin met random-verplaatsingen wordt gewerkt, wordt verwezen naar lit. 3 (N.B. de beschouwing aldaar is strikt tweedimensionaal). Hoewel de lijn van Maier-Reimer dus wel is opgepakt en "verlengd",werd tegelijkertijd het onbevredigende ervan beseft. Door de random-verplaatsingen van de tijd te laten afhangen, kennen we de deeltjes een geheugen toe. Fysisch is het koncept dus ongerijmd. Men kan zich misschien voorstellen of wensen dat dit niet tot (merkbaar) onjuiste resultaten behoeft te leiden, maar werkelijk korrekt kan het model toch nooit zijn. Vooral bij kontinue lozing, waarbij elk deeltje volgens dit koncept een andere leeftijd heeft en de verschillende leeftijdsgroepen zich ook met elkaar kunnen vermengen, vraagt men zich af hoever men kan gaan. In de praktijk zal het vaak meevallen, als gevolg van het afremmen en vervolgens tot stilstand komen van het aangroeien van de random-stap, beschreven in lit. 3. De fysische ongerijmdheid van het koncept heeft het zoeken naar alternatieven gestimuleerd. op deze wijze ontstond de interesse VOOK analytisch geformuleerde kunstmatige snelheidsvelden. 3. Kunstmatige snelheidsvelden In figuur 2 ziet men een aanschouwelijke voorstelling van het eenvoudigst denkbare tweedimensionale stationaire "wervelveld" (zie de formules). Aan de kontinuïteitsvergelijking voor het zuiver tweedimensionale geval (waarin verschillen in waterdiepte of waterstand niet bestaan) is voldaan. Wil men de zijden van de Vierkanten géén hoek laten maken met de koördinaatassen, dan heeft men per komponent twee harmonische funkties nodig (figuur 3). Het wervelveld heeft overigens precies dezelfde eigenschappen. De stroomlijnen c.q. deeltjesbanen binnen de vierkanten hebben dezelfde vorm (figuur 4). De getoonde velden zijn niet alleen Sterk gestyleekd; ze bevatten bovendien slechts één "golflengte". De eenvoudigste manier om tot een "spektrum" te komen is een aantal van deze velden, met verschillende golflengten en willekeurige fasen (ruimtelijk: het veld is nog steeds stationair gedacht) gewoon lineair bij elkaar op te tellen. Hiermee wordt niet bereikt dat kleine wervels in grotere worden meegevoerd, zoals in de natuur wel gebeurt. Een dergelijke situatie is trouwens onverenigbaar met stationariteit. De sommatie levert meer gekompliceerde velden op, zoals in figuur 5 weergegeven in vektorvorm en in figuur 6 in de vorm van stroomliijnen (wegens de stationariteit samen-

5 - 7 - vallend met deeltjesbanen). Er zijn voor figuur 6 ongeveer 60 deeltjes losgelaten, zodanig dat het veld min of meer gelijkmatig werd gevuld, doch overigens willekeurig. Hierbij valt op dat slechts twee van de 60 banen een groter gebied omspannen dan overeenkomt met de grootste golflengte van de deelvelden; mogelijk gaan deze banen zelfs naar oneindig. Er bestaat grote twijfel over de vraag of dergelijke banen inderdaad vóórkomen of dat, ondanks de zeer kleine tijdstap waarmee gerekend is (waardoor de overige banen netjes sluiten) hier toch nog van een incidenteel numeriek artefakt sprake is. Hiervoor bestaat naast het incidentele voorkomen van deze banen in het rekenresultaat nog een tweede aanwijzing. Zodra men namelijk de rekenstap iets te groot neemt, zodat de deeltjes in de berekening uit de in werkelijkheid gesloten banen langzaam naar buiten 'spiralen", verzamelen ze zich in banen die zich op dezelfde wijze tussen de grootste "wervels" d66r bewegen als de twee bijzondere banen van figuur 6. Deeltjes van uiteenlopende herkomst komen in deze "straten" samen en blijven er. De schijnbare aantrekking is in feite een afstoting door de wervels ter weerszijden: de numerieke afwijking heeft een "middelpuntvliedend" karakter. Uitsluitsel over het mogelijke bestaan van grotere banen in velden van dit type is nog niet verkregen, hoewel externe deskundigheid is ingeroepen. uit de illustratie is echter wel duidelijk dat een deeltjesverzameling van eindige afmetingen, zeker wanneer deze afmetingen kleiner zijn dan die van de grootste wervel, in het algemeen opgesloten zal blijven binnen een eindig gebied (bij voorbeeld in de "ring" tussen twee "koncentrische" stroomlijnen), zolang het veld "bevroren" blijft. Dit is bij de numerieke experimenten ook bevestigd. Zodra er echter een veranderlijk element wordt ingebracht dat zich overal in het veld manifesteert, breidt een deeltjesdistributie zich op den duur onbegrensd in alle richtingen uit. Eén van de manieren om dit te realiseren is een kleinschalige random walk, met verplaatsingen, kleiner dan de kleinste wervel in het spektrum (figuur 7, overgenomen uit lit. 1). Bij gebruikmaking van een kleine random walk kan men in het numerieke model alle deeltjes bij een momentlozing zelfs in één punt loslaten, iets wat fyisch uiteraard onmogelijk is. Vervangt men de random walk door een zekere veranderlijkheid in één of meer van de deelvelden (golflengten), dan ontstaat eveneens een onbeperkt voortgaande verspreiding. Uiteraard moet dan de deeltjesverzameling een eindige begin-afmeting hebben, wat ook fysisch realistisch is. Men beschrijft op deze wijze het dispersieproces geheel door advektie, zonder dat hierdoor vanuit "makroskopisch" gezichtspunt essentiële elementen verloren gaan. Bovendien kan men door juiste keuze van het spektrum in principe elk schaaleffekt in het dispersieproces verkrijgen dat men in het prototype aantreft als gevolg van de spektrale struktuur die dáár heerst. Dit laatste zou voor de groei van individuele wolken 66k nog wel mogelijk zijn met een gemodificeerde random walk-methode (namelijk door in de faktor ta de exponent a op meer ingewikkelde wijze van de tijd te laten afhangen dan tot op heden), maar de onrealistische elementen van die methode vervallen daarmee niet. Dit komt niet alleen tot uiting bij kontinue lozing. Bij de advektieve methode verkrijgt men grilliger vlekvormen die voortdurend veranderen. Een zichtbaar effekt bij kontinue lozing is het meanderen van de pluim als men de advektieve methode (kunstmatig wervelveld) toepast (figuur 16). Het spektrum van de kunstmatige wervels is uit een eindig aantal diskrete golflengten opgebouwd ("lijnenspektrum"). De dispersie blijkt betrekkelijk ongevoelig voor de onderlinge spatiëring naar golflengte en sterk bepaald door de verdeling van de snelheidsamplituden (de

6 - 8 - "energie") Over de golflengten. Een nauwkeurige analyse van de invloed van de spatiëring kon nog niet worden voltooid, omdat dit onderzoek nogal reken-intensief is. Wel bleek dat bij verschillende systemen van spatiëring toekenning van gelijke snelheden aan alle golflengten steeds bij goede benadering het bekende resultaat oplevert van een maximumkoncentratie die met t-2 afneemt, c.q. een "diameter" die groeit met tl (als t = O het tijdstip is waarop de diameter ongeveer nul is). Door een zekere progressie in de snelheid aan te brengen werd een meer progressieve dispersie verkregen. Interessant is ook dat de door verschillende theorieën voorspelde afwijking van de ruimtelijke verdeling t.o.v. de normale distributie, uit de simulatie duidelijk te voorschijn komt en de voorspelde richting heeft (figuur 7, inzet). Een aanschouwelijke voorstelling van het advektieve dispersieproces wordt verkregen door bij de simulaties zonder random walk niet met een min of meer willekeurige deeltjesverzameling te beginnen, maar met een verzameling die geheel op een cirkelomtrek is gelegen, een methode waarmee bij de Fysische Afdeling begin 1983 is begonnen. En passant ziet men daarbij meteen wat er met de "watermassa" binnen de kontour gebeurt. Zolang het systeem nog klein is t.o.v. de grootste wervel van het gekozen spektrum, maakt het niet veel uit of men werkt met een stationair veld of met veranderlijke komponenten. Immers, aanvankelijk verplaatsen de grotere wervels het systeem voortdurend naar andere delen van het veld, wat hetzelfde effekt sorteert als een veld dat (tevens) in de tijd verandert. Zo is figuur 8 met een stationair veld berekend, waarbij de grootste golflengte gelijk is aan ca. 20 keer de diameter van de begincirkel, dus nog groot ia ten opzichte van de lineaire afmetingen die op het laatste tijdstip ("t = 20") bereikt zijn. Men kan de in beeld gebrachte ontwikkeling dus in feite beschouwen als de beginfase van een "algemeen" geval (met tijdafhankelijk veld). De lineaire afmetingen van zo'n systeem nemen op den duur onbegrensd toe; de kontour, begonnen als cirkelomtrek, wordt oneindig lang en neemt in lengte veel sneller toe dan de "overall"-afmeting van het systeem. Het cmsloten oppervlak verandert echter niet; desalniettemin komt de kontour uiteindelijk "overal dicht" te liggen, evenals de deeltjes die zich binnen de kontour bevinden, hoewel een geheel binnen de kontour gelegen oppervlakje altijd hetzelfde aantal deeltjes blijft bevatten: de "koncentratie" binnen de kontour blijft altijd dezelfde, al wordt dit, wanneer men het inwendige van de cirkel bij de aanvang gelijkmatig met een eindig aantal deeltjes zou beleggen, op een gegeven moment wel een onmeetbare grootheid: de diameter van alle cirkeltjes die men nog binnen de kontour kan tekenen nadert tot nul en daarmee ook het omsloten aantal deeltjes per cirkeltje bij eindig totaal aantal deeltjes. Ondanks het konstant blijven van de deeltjesaantallen per oppervlakte-eenheid, nemen de afstanden tussen deeltjes langs kontouren enorm toe: er vinden geweldige uitrekkingen plaats waardoor al gauw op sommige plaatsen wegens het eindige aantal deeltjes de kontour moeilijk te rekonstrueren is, terwijl op andere plaatsen de uitrekking nog niet of nauwelijks zichtbaar is. Soms lopen twee kontourfragmenten met een vrij grote en een relatief kleine onderlinge deeltjesafstand op korte afstand evenwijdig aan elkaar (figuur 9). Naast verspreiding is ook sprake van een zekere ordening. Iedere deeltjesverzameling binnen de begincirkel is immers veroordeeld om binnen de kontour te blijven zoals deze zich verder ontwikkelt. Omgekeerd kan men rond iedere -

7 - 9 - verzameling van eindige afmetingen een gesloten kontour trekken. Men ziet dan Ook, dat wanneer het snelheidsveld wordt losgelaten op een deeltjeswolk met bij voorbeeld een gauss-achtige distributie, deze wolk na enige tijd de gedaante krijgt van een veelpotige spinachtige draadfiguur (figuur 10). De berekeningen voor figuur 8 werden tot en met het voorlaatste tijdstip ("t = 10") uitgevoerd met de UNIVAC 1100 met 2000 deeltjes. Met dit deeltjes-aantal zijn sommige kontourfragmenten voor tijdstip 10 al moeilijk te konstrueren. Met een CRAY (te Reading) werd de berekening herhaald met deeltjes, waarmee een redelijke rekonstruktie voor t - 10 geen problemen meer oplevert. De berekening werd met dit deeltjesaantai doorgezet tot t = 20. Hoewel een zeer illustratieve figuur werd verkregen, levert de rekonstruktie van bepaalde kontourgedeelten grote problemen op, groter dan bij 2000 deeltjes voor t = 10. Het aantal benodigde tijdstappen hangt af van het gebruikte rekenschema. Met een tweede-orde-schema kan voor het tijdstip t = 20 met 100 tijdstap pen worden volstaan. Voor deze 100 stappen van deeltjes is op de CRAY ca. 13 s rekentijd nodig (gevektoriseerde versie van het programma). Daarbij bedroeg het aantal harmonische kompnenten voor beide koördinaatrichtingen tien. Berekeningen om het gedrag van dichtheid of omvang van deeltjeswolken in de tijd te onderzoeken (met een tijdafhankelijk element in het snelheidsveld of een ander "overstap"-mechanisme) strekken zich uit over veel meer tijdstappen (men wil in beginsel doorrekenen tot de deeltjeswolk groot ten opzichte van de grootste wervel is). Qn tot aanvaardbare rekentijden te komen wordt met kleinere aantallen deeltjes gewerkt dan wanneer men kontouren zichtbaar wil maken. Het is interessant om na te gaan in hoeverre eigenschappen van onze in eerste instantie als kleinschalig bedoelde kunstmatige velden, zoals deze tot uitdrukking komen in hun werking op cirkelvormige kontouren, op grotere schaal zijn terug te vinden in de met 2DA-waterbewegingsmodellen verkregen velden. We kunnen eerst kijken naar de geschiedenis van een aantal kontouren in een snelheidsveld verkregen uit een model van de zuidelijke Noordzee met een maaswijdte van 10 km (figuur 17a). De diameter van de begincirkels is 7600 m, na verloop van tijd hebben sommige kontouren een grootste lineaire afmeting van ruim 4 maaslengten bereikt, maar er gebeurt verder heel weinig mee in vergelijking met wat we zagen in de kunstmatige velden, hoewel is doorgerekend over een tijdsduur van 240 getijperioden (M2) en er niet met tijdsgemiddelde velden maar met de volledige getijbeweging is gewerkt. Interessanter is nog de vergelijking met het gedrag van kontouren met diameters van de aanvankelijke cirkels van 800 en 4000 m (2 en 10 keer de maaswijdte van het waterbewegingsmodel) in snelheidsvelden uit het WAQUA-model van de Westerschelde (figuren 11 en 12). De vervorming van de kleinere cirkel komt wat langzamer op gang dan die van de grotere, maar in beide gevallen verloopt het proces razendsnel in vergelijking met het Noordzeemodel (zie de aangegeven aantallen getijperioden). Het verschil in homogeniteit tussen de beide (tijdafhankelijke) velden is opvallend en is niet louter toe te schrijven aan het verschil in maaswijdte tussen de beide modellen; ook wanneer men rekening houdt met de maaswijdte, is de stroomsnelheidsverdeling in grote

8 -10 - delen van de Noordzee aanzienlijk vlakker dan in het estuarium met zijn geaccidenteerde bodem en grillige begrenzing. Beperken we ons verder tot het estuarium, dan blijkt uit de figuren duidelijk hoe groot de rol is van het berekende snelheidsveld in het totale dispersieproces. Reeds na 8 getijperioden (M2) zijn de grootste lineaice afmetingen van de (als kleine cirkel begonnen) deeltjesverzameling wanneer alleen het berekende snelheidsveld gewerkt heeft, niet veel kleiner meer dan wanneer ook de suppletie voor de kleine schalen is toegepast (figuur 13). Aan de andere kant is de struktuur van de verzameling in het ene geval toch wel zo sterk verschillend van die in het andere geval, dat dezelfde illustratie tevens kan dienen om de belangrijke rol van "de kleine schalen" voor de "doormenging" te demonstreren. Dat sterke vervorming in tanelijk korte tijden ook door een tijdonafhankelijk veld kan worden veroorzaakt moge blijken uit enkele resxtaten verkregen met een berekend snelheidsveld voor het IJsselmeer (figuur 14). Dat een waterbewegingsmodel met een kleinere maaswijdte een grotere "eigen bijdrage" aan de dispersie geeft, wordt al enigszins geïllustreerd door vergelijking van de figuren 15a en 15b verkregen met modellen met maaswijdten van respektievelijk 2 en l kilometer. In het fijnere model is in dit geval met dezelfde toevoeging aan het berekende snelheidsveld gewerkt als in het grovere, met het gevolg dat in de afgebeelde periode een grotere totale dispersie optreedt in het fijnere model. De gebruikte parameter-waarden zijn die, welke bij de afregeling van het grove model bepaald zijn door vergelijking met waarnemingen. Door de parameters niet bij te stellen verloopt de dispersie in het fijnere model dus sneller dan met deze waarnemingen overeenkomt. 4. Kombinatie van kunstmatige velden met berekende Men zou zich kunnen voorstellen dat de kunstmatige snelheidsvelden weliswaar uit fysisch oogpunt de voorkeur verdienen als "subgrid"-aanvulling op dynamisch berekende snelheidsvelden, maar dat de toepassing uit een oogpunt van rekentijd bezwaarlijk zou zijn. Echter blijkt in de praktijk dat men met een klein aantal golflengten kan volstaan (aangevuld met een kleine random-stap als representant van de allerkleinste schalen). De praktische toepassing van de kunstmatige velden is tot dusverre om geheel andere redenen beperkt gebleven. In het gegeven (berekende) snelheidsveld komen meestal snelheden voor Bie een orde groter zijn dan de benodigde snelheden in de toe te voegen wervels. Geeft men deze laatste gefixeerde posities, dan wordt hun dispersieve werking onderdrukt doordat de snelheid van het gegeven veld de deeltjes zo snel door de wervels heen "trekt", dat hun invloed op de deeltjesbaan sterk vermindert. Is het gegeven veld in het interessegebied, bij voorbeeld een zekere omgeving van een bron, redelijk homogeen, dan is het aangeduide probleem op te lossen door het wervelveld met de (globale) snelheid van het grootschalige veld in het interessegebied te laten meebewegen. Deze oplossing is eenvoodig en is dan ook in de programmatuur voorzien en als zodanig toegepast. Een resultaat voor een beperkt gebied (in het IJsselmeer) met een betrekkelijk homogeen basisveld is gegeven in figuur 16. Is aan de eis van redelij-

9 ke homogeniteit niet meer voldaan, dan blijkt inderdaad dat de dispersie merkbaar van de plaats gaat afhangen door het van gebied tot gebied variërende snelheidsverschil tussen het gegeven veld en het aanvullende veld. Men zou het aanvullende veld dus overal willen laten bewegen met de lokale snelheid. Dit is een eis waaraan met de ruimtelijk "starre" velden die in het voorafgaande ten tonele gevoerd werden (mk waar over de tijdafhankelijke variant werd gesproken) niet kan worden voldaan. Een oplossing lijkt mogelijk door de reeds genoemde tijdafhankelij kheid door middel van wervels van eindige levensduur (wat ook fysisch realistisch is), te kombineren met onderlinge onafhankelijkheid van wervels, d.w.z. de wervels ontstaan lokaal en worden door het gegeven veld (dus onafhankelijk van elkaar) geadvekteerd. Ook dit laatste is fysisch realistisch. Deze en andere oplossingen worden nader onderzocht. 5. Driedimensionale aspekten We komen nu terug op de kwestie dat er weliswaar tweedimensionaal wordt gerekend, maar een driedimensionaal systeem wordt beschreven. De verschillen in waterdiepte drukken hun stempel op de aangeboden snelheidsvelden. Om uit de tweedimensionale deeltjesdistributies (3D-)koncentraties te berekenen moeten de deeltjesaantallen per oppervlakte-element door de lokale en momentane waterdiepte worden gedeeld. Een zuiver tweedimensionaal ontworpen mechanisme, zoals Zo-random-walk past niet in dit wezenlijk driedimensionale geheel. Als de diepteverschillen in het interessegebied gering zijn kunnen een ZD-random-walk of een snelheidsveld dat gebaseerd is op een zuiver tweedimensionale kontinuïteitswet zonder bezwaar worden toegepast. Een relatief vlakke bodem zoals die van het IJsselmeer vertoont echter reeds te grote diepteverschillen om zonder korrekties een 2ü "diffusie"-mechanisme te kunnen toepassen. Voor een stationaire koncentratieverdeling leidt dit tot koncentratieverschillen van dezelfde relatieve grootte als de diepteverschillen. Immers, een ZD diffusiekoncept leidt in situaties waar homogenisering optreedt tot een gelij kmatige ZD-verdeling : gelijke aantallen deeltjes binnen gelijke oppervlakken. De (3D)koncentratie is in zo'n geval dus omgekeerd evenredig met de waterdiepte, in strijd met de realiteit. Het is uiteraard niet toelaatbaar om voor deze afwijking een korrektie achteraf toe te passen, bij voorbeeld door de volumekoncentratie maar evenredig aan de oppervlaktekoncentratie te nemen. Men kan geen vertrouwen hebben in een dergelijke eindsituatie als men "tussentijds" steeds met onjuiste verdelingen heeft gewerkt. De korrektie zal moeten worden aangebracht in de simulatie van het proces van het uitwisselingstransport. Wanneer de "diffusie" wordt bewerkstelligd door middel van stappen ter grootte ds (2 D hor., random in richting) dan moet elk deeltje bij elke tijdstap een extra verplaatsing - a dsz 4H in hellingafwaartse richting gegeven worden om het gewenste 3D-gedrag te krijgen (a= absolute waarde van de lokale gradient van 8; H= lokale hoogte van de waterkolom). Voor de afleiding van deze korrektie Wordt verwezen naar lit. 4, evenals voor de overeenkomstige procedure als i.p.v. random-verplaatsingen een supplementair snelheidsveld wordt toegepast. Behalve bij geringe diepteverschillen is een ZD-aanpak van het uitwisselingstransport wellicht ook toelaatbaar in gevallen waarin de deel-

10 tjesdistributie zeer snel varieert met de tijd, althans ten opzichte van de geometrie van het gemodelleerde gebied. Men kan hierbij denken aan de momentlozingen in het kalamiteitenmodel voor de Westerschelde5,6. De overweging is, dat voor een bepaald waterpakketje (en de zich daarin bevindende deeltjes) grootte en richting van de bodemhelling zodanig varieert in de tijd, dat de zojuist beschreven fouten elkaar voor een groot deel opheffen. 6. Artefakten door middeling van snelheden in ruimte en tijd Voor problemen in samenhang met ruimtelijke middeling c.q. interpolatie wordt verwezen naar de bijdrage van W.A.M. de Jong. De problemen vloeien geheel voort uit de diskretisering! de fouten naderen tot nul als de maaswijdte van de modellen tot nul nadert. Voor problemen samenhangend met middeling of interpolatie in de tijd geldt in wezen hetzelfde. ze worden bestreden door de tijdstap voldoende klein te nemen en/of hogere-orde-rekenschema s toe te passen. Echter, wanneer het snelheidsveld periodiek is en een groot aantal perioden moet worden doorgerekend, bestaat vaak de wens om de netto-verplaatsing over een periode te bepalen met behulp van &n snelheidswaarde voor de gehele periode. Dit is in feite alleen mogelijk als het snelheidsveld homogeen is. Is dit niet het geval, dan is er sprake van een benadering. Uit recent onderzoek2 is gebleken dat benadering met behulp van zogenaamde Euierse grootheden reeds voor relatief homogene getijstroomvelden tot ontoelaatbaar grote fouten kan leiden (fig. 17). Tracht men dit te ondervangen door voor een gegeven periodiek veld (zoals een getijstroming, eventueel met een stationaire windinvloed) de periodegemiddelde verplaatsingen a.h.w. eenmalig uit te rekenen, dan blijft men toch nog met een probleem zitten: de verplaatsingen hangen af van de fase waarop de deeltjes uit de gekozen punten vertrekken. In lit. 2 worden voorbeelden gepresenteerd (fig. 18) waarin deze fase-afhankelijkheid klein is t.o.v. de afwijkingen die ontstaan bij gebruik van Euierse grootheden. Dit behoeft echter niet te betekenen dat de fase-afhankelijkheid in het algemeen een verwaarlwsbaar effekt is. 7. Technische bijzonderheden Voor een bespreking van een aantal min of meer technische zaken zoals nauwkeurigheid, rekentijden, speciale technieken (m.n. superpositie), randbehandeling, afregeling van rekenmodellen, afbraak, reakties, nabewerking en presentatie van rekenresultaten, wordt verwezen naar de bijdrage over 2 DH-deeltjesmodellen aan de in september te houden WAQUA-vervolgkursus 4.

11 B. Literatuur Dam, G.C. van, Distinct-particle simulations. Paragraaf VIS1 van Chapter 2 in mllutant transfer and transport in the sea, G. Kullenberg ed., vol. I. CRC Press Inc., BoCa Raton, Florida, Dan, G.C. van, R?ststromen en resttransport in modelberekeningen. Rijkswaterstaat, Directie Waterhuishouding en Waterbeweging, Fysische Afdeling, nota FA 8402, Dam, G.C. van, Konstante en aangroeiende random-stap in deeltjesmodellen. Rijkswaterstaat, Directie waterhuishouding en Waterbeweging, Fysische Afdeling, notitie 85-FA-219, Dam, G.C. van, Deeltjesmcdellen(tweedimensionaa1-horizontaal). Bijdrage aan (syllabus bij) de kursus Waterkwaliteitsmodelering in relatie tot WAQUA-gebruik. Rijkswaterstaat en Waterloopkundig Laboratorium, september 1985 (Tevens afzonderlijk als nota FA E507, Rijkswaterstaat, Directie Waterhuishouding en Waterbeweging, Fysische Afdeling). Dam, G.C. van, A particle model applied to the Western Scheldt. Liverpool Conference on Mixing and Dispersion in Estuaries, 24/25 September 1985 (Abstract: notitie 65-FA-226, Rijkswaterstaat, Directie Waterhuishouding en Waterbeweging, Fysische Afdeling, 1985). Dekker, L., en F.O.B. iefèvre, Presentatie calmiteitenmodel Westerschelde. Rijkswaterstaat, Directie Waterhuishouding en Waterbeweging, District Kust en Zee, Adviesdienst Vlissingen, notitie WWKZ-85.V300, Einstein, A., über die von der molekularkinetische Theorie der Warme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. Ann. Phys. (Leipzig), 4, 17, Joseph, J., H. Emdner, en H. Weidemann, Untersuchungen über die horizontale Diffusion in der Mrdsee. Deutsche Hydrographische Zeitschift, 17, 2, Maier-Reimer, E., Hydrodynmnisch-numerische Untersuchungen 20 horizontalen Ausbreitungs- und 'hansportvorgangen in der Nordaee. Dissertatie, Mitt. Inst. für Meereskunde der UniversitBt Hamburg, UI, Pasmanter, R.A., Dynmical systens, deterministic chaos and dispersion in shallow tidal 8eas. - In: Berekeningen van banen en distributies van deeltjes in tweeen driedimensionale snelheidsvelden. Colloquiumdag (19 jmi 1985) Rijkswaterstaat, Directie Waterhuishouding en Waterbeweging, Fysische Afdeling (nota FA 8506) in sanenwerking met Overleggroep Transportverschijnselen van de Raad van (kierleg voor het fysischoceanografisch onderzoek van de Noordee (Tevens afzonderlijk als nota FA 8505, RWS, WW, Fys. Afd.), Weidemann, H. (editor), The ICES diffusion experiment RHENO Cnnseil International pour l'mploration de la Mer, Charlottenlund Slot, Danemarkt Rapports et Procès Verbaux des Réunions, vol. 163, 1973.

12 Abb.20.2 Traneport wad DiffuBiOri nach Honta-Culo-Varrihrrn.UB konntmtar Quellr bei H2-Oezeit und 14 D/.OC Hocd-Nast-Wind Uber dar Norâmee in 20 Perioden P-O,Q-2 Figuur 1: Overgenomen uit lit. 9

13 - 16- v X = a cos (% + $x) 1 Isotrope geval (&=I) \ /' Figuur 4a Figuur 2 V.. Y v X = a sin (y + $.) cos (3 v Y = -E a cos (y t Qx) sin(% + $y) t Qy) Isotrope geval (E-i) van lit. 10) C L. f I * - -.._CL c a Figuur 3

14

15 Figuur 6 Snelheidsveld bestaat uit 6 komponenten van de vorm aangegeven in figuur 2. "Doorgaande" banen gearceerd

16 : * f.. a... O O O - 1 r rtiotwt to z tddy stzi rorqi FIGURE 19. Reruli of compuisiion (288 iime sieps) 01 spread of Iûûû parlicles in a field given by six icims of ihe iorm (Epuaiion 35). Eddy sim indicaied on scalc. Addiiional random sieps are smaller than smallesi eddies. Resuliing disiiibuiion (heavy linc) is non-gaussian; 2 = cenler of mass. Figuur 7 Overgenomen uit lit. 1

VORtech Computing. Experts in Technisch Rekenwerk MEMO. Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA. BvtH/M08.079. Onderwerp. Documentinformatie

VORtech Computing. Experts in Technisch Rekenwerk MEMO. Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA. BvtH/M08.079. Onderwerp. Documentinformatie Experts in Technisch Rekenwerk Postbus 260 2600 AG DELFT MEMO Datum Auteur(s) Onderwerp BvtH/M08.079 24-nov-2008 Bas van 't Hof Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA tel. 015-285 0125 fax. 015-285

Nadere informatie

Bepalen van stroomlijnen met behulp van de stroomfunctie

Bepalen van stroomlijnen met behulp van de stroomfunctie Bepalen van stroomlijnen met behulp van de stroomfunctie André Blonk Momenteel wordt de stroming van grondwater veelal met numerieke methoden berekend. Het numerieke geweld doet de kracht en de schoonheid

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Coaxial Plasmonic Metamaterials for Visible Light M.A. van de Haar

Coaxial Plasmonic Metamaterials for Visible Light M.A. van de Haar Coaxial Plasmonic Metamaterials for Visible Light M.A. van de Haar Samenvatting Optische metamaterialen zijn kunstmatige materialen opgebouwd uit elementen die typisch kleiner zijn dan de golflengte van

Nadere informatie

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven 1 Formulering van het probleem

Nadere informatie

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005 Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Waterweerstand. 1 Inleiding. VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding

Waterweerstand. 1 Inleiding. VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding Waterweerstand 1 Inleiding Een bewegend vaartuig ondervindt altijd weerstand van het langsstromende water: het water oefent een wrijvingskracht uit

Nadere informatie

Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004

Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 1 Inhoudsopgave 1 Thermaliseren 2 2 Waarde van λ max 2 3 Integreren

Nadere informatie

3 Veranderende krachten

3 Veranderende krachten 3 Veranderende krachten B Modelleren Een computermodel van bewegingen in SCYDynamics NLT-module Het lesmateriaal bij deze paragraaf vormt een onderdeel van de NLT-module Dynamische Modellen VWO. Wat gaan

Nadere informatie

Bijlage 1.3 Bodemdaling in het Eems-Dollardgebied in relatie tot de morfologische ontwikkeling

Bijlage 1.3 Bodemdaling in het Eems-Dollardgebied in relatie tot de morfologische ontwikkeling Bijlage 1.3 Bodemdaling in het Eems-Dollardgebied in relatie tot de morfologische ontwikkeling........................................................................................ H. Mulder, RIKZ, juni

Nadere informatie

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding:

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding: 1 Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. 23-09-2015 -------------------------------------------- ( j.eitjes@upcmail.nl) Een korte inleiding: Is Ruimte zoiets als Leegte, een

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Samenvatting Dit proefschrift gaat over Monte Carlo simulatie van polymeersystemen. Polymeren zijn grote moleculen die opgebouwd zijn uit kleinere chemische eenheden die monomeren genoemd worden. Bekende

Nadere informatie

Raad voor Accreditatie (RvA) De sterkte van het zwaarteveld in Nederland

Raad voor Accreditatie (RvA) De sterkte van het zwaarteveld in Nederland Raad voor Accreditatie (RvA) De sterkte van het zwaarteveld in Nederland Document code: RvA-Tk-2.27 Datum vaststelling: 14 september 2004 Een RvA-Toelichting beschrijft het beleid en/of de werkwijze van

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Mark Bakker i Een onvolkomen put kan gemodelleerd worden met een meerlagenmodel door het watervoerend pakket op te delen in drie lagen gescheiden

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op donderdag 7 augustus 2008, 14.00-17.00 uur. 1. Beantwoord de volgende vragen

Nadere informatie

Presentatie en gebruik van productgegevens. Suskasten en het bouwbesluit

Presentatie en gebruik van productgegevens. Suskasten en het bouwbesluit Presentatie en gebruik van productgegevens Suskasten en het bouwbesluit In Nederland wordt tot nu toe de akoestische prestatie van geluidgedempte ventilatievoorzieningen (suskasten) gegeven door de geluidisolatie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven. " '"of) r.. I r. ',' t, J I i I.

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven.  'of) r.. I r. ',' t, J I i I. .o. EXAMEN VOORBEREDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWJS N 1979 ' Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur NATUURKUNDE.,, Dit examen bestaat uit 4 opgaven ',", "t, ', ' " '"of) r.. r ',' t, J i.'" 'f 1 '.., o. 1 i Deze

Nadere informatie

De bepaling van de positie van een. onderwatervoertuig (inleiding)

De bepaling van de positie van een. onderwatervoertuig (inleiding) De bepaling van de positie van een onderwatervoertuig (inleiding) juli 2006 Bepaling positie van een onderwatervoertuig. Inleiding: Het volgen van onderwatervoertuigen (submersibles, ROV s etc) was in

Nadere informatie

Figuur 1. Schematisch overzicht van de structuur van het twee-stadia recourse model.

Figuur 1. Schematisch overzicht van de structuur van het twee-stadia recourse model. Samenvatting In dit proefschrift worden planningsproblemen op het gebied van routering en roostering bestudeerd met behulp van wiskundige modellen en (numerieke) optimalisatie. Kenmerkend voor de bestudeerde

Nadere informatie

11 Junior Wiskunde Olympiade 2001-2002: tweede ronde

11 Junior Wiskunde Olympiade 2001-2002: tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 200-2002: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Lessen over Cosmografie

Lessen over Cosmografie Lessen over Cosmografie Les 1 : Geografische coördinaten Meridianen en parallellen Orthodromen of grootcirkels Geografische lengte en breedte Afstand gemeten langs meridiaan en parallel Orthodromische

Nadere informatie

1 Efficient oversteken van een stromende rivier

1 Efficient oversteken van een stromende rivier keywords: varia/rivier/rivier.tex Efficient oversteken van een stromende rivier Een veerpont moet vele malen per dag een stromende rivier oversteken van de ene aanlegplaats naar die aan de overkant. De

Nadere informatie

Het naaldenexperiment van Buffon

Het naaldenexperiment van Buffon Het naaldenexperiment van Buffon (Ph. Cara, 3 april 2015) 1 Definitie en korte geschiedenis van π Reeds in 400 v.chr. stelde de Griek Hippocrates vast dat de verhouding tussen de oppervlakte van een cirkelschijf

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave.

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Q1-1 Twee problemen uit de Mechanica (10 punten) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Deel A. De verborgen schijf (3.5 punten) We beschouwen een

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

TENTAMEN NATUURKUNDE

TENTAMEN NATUURKUNDE CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN NATUURKUNDE TENTAMEN NATUURKUNDE tweede voorbeeldtentamen CCVN tijd : 3 uur aantal opgaven : 5 aantal antwoordbladen : 1 (bij opgave 2) Iedere opgave dient op een afzonderlijk

Nadere informatie

Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I)

Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I) Stochastic Operations Research I (2014/2015) Selection of exercises from book and previous exams. Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I) 1.1 Book pp 179 185 These are useful exercises to learn

Nadere informatie

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend Hints/procedures voor het examen 4Q130 dd 25-11-99 ( Aan het einde van dit document staan antwoorden) Opgave 1 Beschouwing vooraf: De constructie bestaat uit twee delen; elk deel afzonderlijk vrijgemaakt

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur 1 RONDDRAAIENDE MASSA 5pt Een massa zit aan een uiteinde van een touw. De massa ligt op een wrijvingloos oppervlak waar het

Nadere informatie

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule:

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule: Voorbeeldmeetrapport (eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat) Eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat. Doel van de proef Een kogel die van een helling afrolt, voert een eenparig versnelde

Nadere informatie

o ATerinzagelegging @ 7906572

o ATerinzagelegging @ 7906572 Octrooiraad o ATerinzagelegging @ 7906572 Nederland @ NL

Nadere informatie

Deze Informatie is gratis en mag op geen enkele wijze tegen betaling aangeboden worden. Vraag 1

Deze Informatie is gratis en mag op geen enkele wijze tegen betaling aangeboden worden. Vraag 1 Vraag 1 Twee stenen van op dezelfde hoogte horizontaal weggeworpen in het punt A: steen 1 met een snelheid v 1 en steen 2 met snelheid v 2 Steen 1 komt neer op een afstand x 1 van het punt O en steen 2

Nadere informatie

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss 1 Deeltjes in Airshowers N.G. Shultheiss 1 Inleiding Deze module volgt op de module Krahten in het standaardmodel. Deze module probeert een beeld te geven van het ontstaan van airshowers (in de atmosfeer)

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Polymeren zijn grote moleculen die zijn opgebouwd uit een beperkt aantal soorten bouwblokken waarvan er een groot aantal in een molecuul zijn verwerkt. Meestal bestaat een polymeermolecuul uit een lange

Nadere informatie

1. Weten wat potentiaal en potentiaalverschil is 2. Weten wat capaciteit en condensator is 3. Kunnen berekenen van een vervangingscapaciteit

1. Weten wat potentiaal en potentiaalverschil is 2. Weten wat capaciteit en condensator is 3. Kunnen berekenen van een vervangingscapaciteit Hoofdstuk 2 Elektrostatica Doelstellingen 1. Weten wat potentiaal en potentiaalverschil is 2. Weten wat capaciteit en condensator is 3. Kunnen berekenen van een vervangingscapaciteit 2.1 Het elektrisch

Nadere informatie

. D.B.W./RIZA. Stijghoogte-veranderingen door de aanleg van Westelijk Flevoland. D.B.W./RIZA nota 88046. Auteurs F.A.M. Claessen D.

. D.B.W./RIZA. Stijghoogte-veranderingen door de aanleg van Westelijk Flevoland. D.B.W./RIZA nota 88046. Auteurs F.A.M. Claessen D. Stijghoogte-veranderingen door de aanleg van Westelijk Flevoland D.B.W./RIZA nota 88046 Auteurs F.A.M. Claessen D. Endema. D.B.W./RIZA Hoofdafdeling WS STIJGHODGTE-VERANDERINGEN DOOR AANLEG WESTELIJK FLEVOLAND

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer

Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer Gestelde vragen en antwoorden 1. Kan er ook een webinar gegeven worden op het gebruik van een plaat met ribben. Dit voorstel is doorgegeven, en al intern

Nadere informatie

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen 5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal

Nadere informatie

Nieuwsbrief nr. 55 Juni 2007

Nieuwsbrief nr. 55 Juni 2007 Inhoud In deze Nieuwsbrief komen de volgende onderwerpen aan de orde: Upgrade naar MicroFEM versie 4.00 Parameter-optimalisatie met MicroFEM Een eenvoudig testmodel als voorbeeld Upgrade naar MicroFEM

Nadere informatie

Henk meet: A. Coördinaattijd in het stelsel van de trein. B. Coördinaattijd in het stelsel van het perron. C. Eigentijd. D.

Henk meet: A. Coördinaattijd in het stelsel van de trein. B. Coördinaattijd in het stelsel van het perron. C. Eigentijd. D. Henk en Ingrid zitten in een trein die met constante snelheid een station passeert. Aan de uiteinden van het perron staan twee gesynchroniseerde stationsklokken. Bij passage van de klokken leest Henk de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde A (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur wiskunde A (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal.

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal. -09-5 Bijlage voor Stabiel Heelal. --------------------------------------- In deze bijlage wordt onderzocht hoe in mijn visie materie, ruimte en energie zich tot elkaar verhouden. Op zichzelf was de fascinatie

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 20 tijdvak 2 woensdag 22 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

TU Delft. lodellering morfodynamisch adrag van de Drempel van answeert. C-13809 712 (bijlage) Aanvuliende berekeningen. M.D. Groenewoud.

TU Delft. lodellering morfodynamisch adrag van de Drempel van answeert. C-13809 712 (bijlage) Aanvuliende berekeningen. M.D. Groenewoud. Bibliotheek C-13809 712 (bijlage) lodellering morfodynamisch adrag van de Drempel van answeert Aanvuliende berekeningen Januari 1998 M.D. Groenewoud 1 Uitgevoerd in opdracht van het Rijksinstituut voor

Nadere informatie

Folkert Buiter 2 oktober 2015

Folkert Buiter 2 oktober 2015 1 Nuchter kijken naar feiten en trends van aardbevingen in Groningen. Een versneld stijgende lijn van het aantal en de kracht van aardbevingen in Groningen. Hoe je ook naar de feitelijke metingen van de

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Kengetallen. E-5 MPR-Kwaliteit. Inleiding. MPR 24 uur. 4 Betekenis van MPR 24 uur

Kengetallen. E-5 MPR-Kwaliteit. Inleiding. MPR 24 uur. 4 Betekenis van MPR 24 uur Kengetallen E-5 MPR-Kwaliteit Inleiding Via Melkproductieregistratie (MPR) worden gegevens over de melk-, vet en eiwitproductie van de veestapel verzameld. Deze gegevens zijn de basis van managementinformatie

Nadere informatie

Voorburg, 21 januari 197~ Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid SWOV

Voorburg, 21 januari 197~ Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid SWOV CONSULT aan Rijkswaterstaat MOGELIJKE VERMINDERING VAN HET BENZINEVERBRUIK DOOR DE INSTELLING VAN SNELHEIDSBEPERKINGEN R-7~-3 Voorburg, 21 januari 197~ Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid

Nadere informatie

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,

Nadere informatie

Schuifspanningen loodrecht op een cilindrisch gat

Schuifspanningen loodrecht op een cilindrisch gat Schuifspanningen loodrecht op een cilindrisch gat Colin van Weelden CT3000 Bachelor Eindwerk Begeleiders: 1379550 TU Delft P.C.J. Hoogenboom Delft, Juni 2010 C.B.M. Blom Voorwoord Dit rapport is het eindresultaat

Nadere informatie

1 Inleiding. 2 Uitgangspunten. Notitie Petten, 15 oktober 2014

1 Inleiding. 2 Uitgangspunten. Notitie Petten, 15 oktober 2014 Notitie Petten, 15 oktober 2014 Afdeling Policy Studies Van Aan Sander Lensink Marc Streefkerk (Ministerie van Economische Zaken) Kopie Onderwerp Update kosten windenergie op zee, fase II (openbaar) 1

Nadere informatie

Reactie watersportsector n.a.v. bijeenkomst Rijkswaterstaat over bestaand gebruik IJsselmeergebied

Reactie watersportsector n.a.v. bijeenkomst Rijkswaterstaat over bestaand gebruik IJsselmeergebied Reactie watersportsector n.a.v. bijeenkomst Rijkswaterstaat over bestaand gebruik IJsselmeergebied Diverse belangenorganisaties waaronder HISWA Vereniging en een aantal watersportondernemers waren op 18

Nadere informatie

Vraagstuk 1 (10 eenheden) In het algemeen zal een ferro-magnetisch lichaam zich opsplitsen in een aantal magnetische domeinen.

Vraagstuk 1 (10 eenheden) In het algemeen zal een ferro-magnetisch lichaam zich opsplitsen in een aantal magnetische domeinen. Tentamen vragen DEEL B Materiaalkunde dec. 1999 Vraagstuk 1 (10 eenheden) In het algemeen zal een ferro-magnetisch lichaam zich opsplitsen in een aantal magnetische domeinen. a). Wanneer treedt deze toestand

Nadere informatie

Een model voor een lift

Een model voor een lift Een model voor een lift 2 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Inleiding... 5 Model 1, oriëntatie... 7 Model 1... 9 Model 2, oriëntatie... 11 Model 2... 13

Nadere informatie

De link tussen onderzoek en praktijk op het gebied van gebouwsimulatie

De link tussen onderzoek en praktijk op het gebied van gebouwsimulatie De link tussen onderzoek en praktijk op het gebied van gebouwsimulatie Piet Standaert Physibel Samenvatting Als ontwikkelaar van bouwfysische software bevindt men zich in een positie tussen onderzoek en

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 2 dinsdag 19 juni 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 2 dinsdag 19 juni 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2012 tijdvak 2 dinsdag 19 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 75 punten te behalen.

Nadere informatie

QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX. Naam: Klas: Datum:

QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX. Naam: Klas: Datum: DE EPR-PARADOX QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX Naam: Klas: Datum: DE EPR-PARADOX DE EPR-PARADOX EEN GEDACHTE-EXPERIMENT Volgens de wetten van de quantummechanica kunnen bepaalde deeltjes spontaan vervallen.

Nadere informatie

Fundamenteel Onderzoek, uitgevoerd door het Waterloopkundig Laboratoriua, in opdracht van en in samenwerking 5et de Bijkewaterataat

Fundamenteel Onderzoek, uitgevoerd door het Waterloopkundig Laboratoriua, in opdracht van en in samenwerking 5et de Bijkewaterataat Memo 73-3 i Fundamenteel Onderzoek, uitgevoerd door het Waterloopkundig Laboratoriua, in opdracht van en in samenwerking 5et de Bijkewaterataat Rofractie en Diffractie Jaarrerelau 1972 ONDERZOEI( REFRACTIE-DIFFRACTIE

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1.0 16.0 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen:

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen: 60 Hoofdstuk 8 Modulaties en golfpakketten Met een lopende harmonische golf kan geen informatie overgebracht worden. Teneinde toch een boodschap te versturen met behulp van een harmonische golf dient deze

Nadere informatie

VRAAGVORMEN OPTIMAAL GEBRUIKEN INSTRUCTIE VOOR VRAAGONTWIKKELAARS TESTVISION ONLINE

VRAAGVORMEN OPTIMAAL GEBRUIKEN INSTRUCTIE VOOR VRAAGONTWIKKELAARS TESTVISION ONLINE VRAAGVORMEN OPTIMAAL GEBRUIKEN INSTRUCTIE VOOR VRAAGONTWIKKELAARS TESTVISION ONLINE VERSIE: 4 DATUM: MEI 2014 INHOUDSOPGAVE Inleiding... 2 1. Eén-uit-meervraag... 3 1.1 Belangrijkste kenmerken... 3 1.2

Nadere informatie

Molen van Oude Hengel te Ootmarsum

Molen van Oude Hengel te Ootmarsum Molen van Oude Hengel te Ootmarsum Onderzoek invloed nieuwbouw op windvang klassieke windmolen Gemeente Dinkelland september 2010 Molen van Oude Hengel te Ootmarsum Onderzoek invloed nieuwbouw op windvang

Nadere informatie

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype.

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype. TNO heeft een onderzoek naar de invloed van een aantal parameters op de wrijvings- en weerstandscoëfficiënten van DEC International -slangen en -bochten uitgevoerd (rapportnummer 90-042/R.24/LIS). De volgende

Nadere informatie

Opvallend in deze figuur is het grote aantal bedrijven met een vergunning voor exact 340 stuks melkvee (200 melkkoeien en 140 stuks jongvee).

Opvallend in deze figuur is het grote aantal bedrijven met een vergunning voor exact 340 stuks melkvee (200 melkkoeien en 140 stuks jongvee). Ontwikkeling melkveebedrijven in Utrecht, Gelderland en Brabant Analyse van mogelijke groei van melkveebedrijven op basis van gegevens van CBS en provincies Het CBS inventariseert jaarlijks de feitelijk

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 9 juni 3.30 6.30 uur 20 02 Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen; het eamen bestaat uit 6 vragen.

Nadere informatie

Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur

Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur Opmerkingen: 1) Lijsten met de punten toegekend door de corrector worden op OASE gepubliceerd. De antwoorden van

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Renema, Jelmer Jan Title: The physics of nanowire superconducting single-photon

Nadere informatie

Ternperatuurverdeling Botlek en le, 2e en 3e Petroleumhaven. ( definitieve versie maart 1979) Ir. H.W. Brunsveld van Hulten Fysische Afdeling

Ternperatuurverdeling Botlek en le, 2e en 3e Petroleumhaven. ( definitieve versie maart 1979) Ir. H.W. Brunsveld van Hulten Fysische Afdeling ' l ~ ~ ~ ~ ~' i. nleiding 2. Doelstelling van het onderzoek 3. Resultaten 4. Conclusies Literatuur directie waterhuishouding en waterbeweging A; L,~'~,, Rapport 04 78-bA RSWS 8 Ternperatuurverdeling Botlek

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VWO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Migrerende euromunten

Migrerende euromunten Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in

Nadere informatie

Tentamen Natuurkunde 1A 09.00 uur - 12.00 uur vrijdag 14 januari 2011 docent drs.j.b. Vrijdaghs

Tentamen Natuurkunde 1A 09.00 uur - 12.00 uur vrijdag 14 januari 2011 docent drs.j.b. Vrijdaghs Tentamen Natuurkunde 1A 09.00 uur - 12.00 uur vrijdag 14 januari 2011 docent drs.j.b. Vrijdaghs Aanwijzingen: Dit tentamen omvat 6 opgaven met totaal 20 deelvragen Begin elke opgave op een nieuwe kant

Nadere informatie

Wiskunde A. Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur

Wiskunde A. Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde A Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord

Nadere informatie

Praktische opdracht: modelleren met Coach

Praktische opdracht: modelleren met Coach Praktische opdracht: modelleren met Coach VWO 5 wiskunde B Mei 00 Hieronder zie je een ketting waaraan vijf gelijke gewichten hangen. Daarnaast een schematische tekening van ketting en gewichten. Aan de

Nadere informatie

Algemene escalatieberekening

Algemene escalatieberekening Algemene escalatieberekening G5010 1 Algemene escalatieberekening Redactiecommissie 1. Inleiding G5010 3 2. Uitgangspunten voor de escalatieberekening G5010 3 3. Berekening kostenescalatie G5010 4 4. Enkele

Nadere informatie

Tentamen E&M 13-mei-2004

Tentamen E&M 13-mei-2004 E&M Tentamen E&M 3-mei-2004 Boller, Offerhaus, Verschuur E&M 40305 Aanwijzingen De toets bestaat uit twee delen, waarvan het eerste deel binnen 60 minuten moet worden ingeleverd. In het eerste deel worden

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Examen HAVO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2012 tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Hoe belangrijk is lineaire algebra voor akoestiek en omgekeerd?

Hoe belangrijk is lineaire algebra voor akoestiek en omgekeerd? Hoe belangrijk is lineaire algebra voor akoestiek en omgekeerd? 9 februari 2007 Overzicht 1 Situering 2 Numerieke simulatie 3 Gedempt massa-veersysteem 4 Numerieke simulaties voor trillingen 5 Versnellingstechnieken

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

RADIOACTIEF VERVAL. Vervalsnelheid

RADIOACTIEF VERVAL. Vervalsnelheid /stralingsbeschermingsdienst 8385-I dictaat september 2000 RADIOACTIEF VERVAL Voor een beperkt aantal van nature voorkomende kernsoorten en voor de meeste kunstmatig gevormde nucliden wijkt de neutron/proton

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I Examenresultaten Voor de invoering van de tweede fase bestonden de vakken wiskunde A en wiskunde B. In 2 werden deze vakken voor het laatst op alle VWO-scholen geëxamineerd. Bij het Centraal Examen wiskunde

Nadere informatie

Memorandum. Monitoring Systems Stieltjesweg 1 Postbus 155 2600 AD Delft

Memorandum. Monitoring Systems Stieltjesweg 1 Postbus 155 2600 AD Delft Memorandum Aan Reppel BV / Fonofloor BV t.a.v. de heer ing. R. van der Klis Postbus 102 3300 AC DORDRECHT Van prof.ir. E. Gerretsen Onderwerp Akoestische beoordeling vloersystemen Inleiding Reppel BV en

Nadere informatie