De waarde van Value at Risk

Transcriptie

1 De toepasbaarheid van Value at Risk op beleggingen in direct vastgoed Master Thesis MSRE Amsterdam School of Real Estate ir. Ruben A.R. Langbroek September 2008

2 Voorwoord De Griekse filosoof Plato (347 v.chr.) introduceerde de gedachte dat verandering per definitie slecht is, aangezien verandering opgevat kan worden als een verstoring van de kosmos. Tegenwoordig ligt dat beeld genuanceerder: veranderingen kunnen als positief of negatief ervaren worden. Wel kan gesteld worden dat verandering leidt tot ongewisse situaties en dus niet zonder risico is. Risico kan worden gezien als de kans op een negatieve gebeurtenis. Op de beleggingsmarkt wordt risico volgens de gedachte van Plato dan ook voornamelijk als niet wenselijk beschouwd. Echter, indien er voldoende rendement tegenover staat, kan risico zeer zeker acceptabel zijn. Het gaat er vervolgens wel om die risico s beheersbaar te maken. Dit kan door een beter inzicht te krijgen van het maximaal te lopen risico, oftewel een inschatting van de gevolgen van één of meerdere negatieve gebeurtenissen volgens het worst case scenario. Dat is precies wat de methode van Value at Risk (VaR) doet en waar dit onderzoek op ingaat. In essentie geeft de VaR methode antwoord op de simpele vraag: hoe erg kan het worden? Door het gebruik van deze risico management methode kan het optreden van grote negatieve momenten binnen de beleggingsportefeuille beheerst worden. Onderhavige Master Thesis, uitgevoerd in het kader van afronding van mijn MSRE studie, richt zich op de toepassing van de VaR methode op een direct vastgoed portefeuille. Doelstelling is te achterhalen in hoeverre de methode in staat is het maximale verlies op een vastgoedbeleggingsportefeuille te voorspellen. Hierbij zou ik graag iedereen die heeft bijgedragen aan de totstandkoming van deze Master Thesis willen bedanken. Mijn dank gaat met name uit naar mijn begeleider Ronald Huisman. Hij heeft mij meer inzicht gegeven in de wereld der statistiek en daarnaast sturing gegeven in het stellen van de juiste vragen. Dit onderzoek dient de lezer de juiste antwoorden op die vragen te geven. Het biedt daarmee inzicht in de VaR methode en de mogelijke toepassing ervan op direct vastgoed. Indien de tekortkomingen van toepassing van de methode in acht worden genomen, blijkt deze van toegevoegde waarde bij het nemen van beleggingsbeslissingen. Toepassing van de VaRmethode vindt tot op heden echter nog nauwelijks plaats, iets wat in de toekomst ongetwijfeld zal veranderen. De vraag is vervolgens of ook díe verandering als negatief moet worden beschouwd. Wel kan worden aangenomen dat, indien de VaR methode ruim 2000 jaar eerder ontwikkeld was, Plato optimistischer geweest zou zijn ten aanzien van verandering. Ruben Langbroek Utrecht, september

3 Inhoudsopgave Samenvatting...4 Hoofdstuk 1 Inleiding Aanleiding Probleemschets Probleemstelling Plan van aanpak Uitgangspunten en afbakening onderzoek...10 Hoofdstuk 2 Risicomanagement volgens Value at Risk De Value at Risk methode Definitie VaR Formules voor VaR Numerieke VaR Parametrische VaR VaR methoden Historische simulatie Gestructureerde VaR Alternatieve toepassing VaR methode Beperking principe VaR Beperkingen gebruik VaR Geldigheid van historische data Veronderstelling van normaliteit Liquiditeit van de portefeuille Voordelen VaR...21 Hoofdstuk 3 Toepasbaarheid Value at Risk Rendementsverdeling Karakteristieken vastgoed Smoothing en lagging Beschikbaarheid historische reeksen Normale verdeling: vier momenten Eerste moment: gemiddelde of verwachte waarde Tweede moment: variantie Derde moment: skewness Vierde moment: kurtosis Portfolio s en dikke staarten Niet normale verdeling Alternatieve verdelingen Student t verdeling Niet centrale Student t verdeling Controle van overeenkomst met verdeling...30 Hoofdstuk 4 Toetsing op normaliteit Onderzoek naar verdeling Opzet toetsing Toetsing van reeksen Toetsing van rendement componenten Rendementkarakteristieken Toetsing op normaliteit: stress testing Stress test van rendementen op indexniveau Stress test van rendementen op portefeuilleniveau

4 4.5 Conclusies toetsing op normaliteit...35 Hoofdstuk 5 Testen toepasbaarheid VaR Testen van gekozen verdeling Betrouwbaarheidsinterval Holding period Testen van toepasbaarheid: back testing Back testing VaR op basis van 95% betrouwbaarheidsinterval Back testing VaR op basis van 99% betrouwbaarheidsinterval Conclusies back testing...39 Hoofdstuk 6 Conclusies Conclusies Praktische validiteit Praktische toepasbaarheid Aanbevelingen Aanbevelingen ten behoeve van vervolgonderzoek Aanbevelingen ten behoeve van toepassing Tot slot...44 Literatuur...45 Bijlage I De VaR methode nader toegelicht...48 Bijlage II VaR ten behoeve van beleggingsbeslissingen...52 Bijlage III Standaard normale tabel...55 Bijlage IV Resultaten analyse datareeksen

5 Samenvatting Door de effecten van diverse marktontwikkelingen lopen beleggers in direct vastgoed financieel risico op hun beleggingsportefeuille. Risico management is daardoor van toenemend belang. Het gaat er daarbij om de aanwezige risico s inzichtelijk te maken, om vervolgens te kunnen beoordelen of die risico s al dan niet acceptabel zijn. Op basis daarvan kan de blootstelling aan de te lopen risico s aangepast worden, zodat het daadwerkelijke risicobeeld overeenkomt met het gewenste rendement/risico profiel van de beleggingsportefeuille. Er zijn diverse manieren om de te lopen risico s inzichtelijk te maken en te kwantificeren. Hierbij dienen echter slechts de negatieve gebeurtenissen in het rendementsverloop beschouwd te worden, aangezien de positieve gebeurtenissen eerder kansen zijn. Risico heeft anders gezegd uitsluitend betrekking op verlies. De VaR methode is op dit principe gebaseerd en stelt zich ten doel het risico samen te vatten, door het maximale verlies te voorspellen binnen een bepaalde tijdshorizon voor een gekozen betrouwbaarheidsinterval. Door het gebruik van de VaR als risico management methode, kan de blootstelling aan grote negatieve momenten beoordeeld, gecontroleerd en verminderd worden. In onderhavig onderzoek is nagegaan of de VaR methode toepasbaar is op direct vastgoedbeleggingen, om ook voor deze beleggingscategorie meer inzicht te kunnen geven in de omvang van de aanwezige risico s. De centrale onderzoeksvraag is derhalve als volgt: In hoeverre heeft de VaR methode het vermogen de omvang van het maximale verlies op een direct vastgoed beleggingsportefeuille te voorspellen? De VaR kan gedefinieerd worden als het maximale verlies dat kan ontstaan op een beleggingspositie door normale marktbewegingen in een bepaalde periode, gebaseerd op een time to close benadering, uitgaande van een vastgesteld betrouwbaarheidsinterval. Daarbij kan de VaR op basis van een numerieke of een parametrische benadering berekend worden. Bij de twee benaderingen behoren ook twee verschillende toepassingsmethoden, te weten de historische simulatie en de gestructureerde VaR. De gestructureerde VaR methode heeft een aantal voordelen in het gebruik ervan, zoals de mogelijke toepassing bij een klein aantal waarnemingen, de mogelijkheid tot eenvoudige conversies naar andere betrouwbaarheidsintervallen en naar een andere tijdshorizon. Het maakt het daarnaast mogelijk een bepaalde mate van voorwaardelijkheid te verwerken in de VaR schatting, waardoor betere voorspellingen mogelijk zijn. Deze gestructureerde VaRmethode gaat echter uit van een aantal voorwaarden, zoals de aanname dat rendementen onafhankelijk zijn en dat ze een constante variantie hebben. De belangrijkste aanname voor een accurate parametrische VaR schatting is de aanname dat rendementen normaal verdeeld zijn. Diverse studies hebben reeds aangetoond dat een dergelijke normale verdeling geen juiste beschrijving is van het beeld van gerealiseerde rendementen van diverse beleggingscategorieën. Dit betekent dat de aanname betreffende de normale verdeling resulteert in een verkeerde schatting van de te lopen risico s en dus van de verkregen 4

6 parametrische VaR waarde. Voor het toepassen van de parametrische VaR op direct vastgoed, dient daarom onderzocht te worden hoe de verdeling van direct vastgoed rendementen zich verhoudt ten opzichte van de normale verdeling. Van belang daarbij is niet zozeer of vastgoedrendementen normaal verdeeld zijn, maar of een afwijking ten opzichte van die normale verdeling een dusdanig verschil geeft in het toepassen van de gestructureerde VaRmethode, dat de resultaten ervan onvoldoende betrouwbaar zijn. Vanuit literatuurstudies ten aanzien van de VaR methode, is onderzocht in hoeverre de theorie achter deze methode toepasbaar is op vastgoedbeleggingen. Daarnaast is op basis van historische rendementen gekeken of de verdeling van direct vastgoed beleggingen voldoet aan de voorwaarden die de gestructureerde VaR methode stelt. Vervolgens is door middel van back testing gekeken of de uitkomsten van de parametrische VaR overeen komen met empirische resultaten. Aan de hand hiervan is geëvalueerd of de verkregen VaR waarden voldoende betrouwbaar zijn. De voorwaarden waar de beide VaR benaderingen van uitgaan, impliceren tegelijkertijd een aantal beperkingen ten aanzien van de toepassing ervan in het algemeen en ten aanzien van toepassing op direct vastgoed beleggingen in het bijzonder. Indien de numerieke VaR als ex ante methode wordt ingezet, dan dienen aannamen gedaan te worden over de toekomstige situatie, op basis van historische simulatie. Ook voor toepassing van de parametrische VaR, welke is gebaseerd op de waarschijnlijkheidsverdeling van verwachte rendementen, dienen aannamen gedaan te worden op het gebied van de kansverdeling van het verwachte rendement. In beide gevallen wordt ervan uitgegaan dat de statistische karakteristieken uit het verleden een goede maatstaf zijn voor de toekomst. Het probleem dat zich bij het hanteren van dit uitgangspunt voordoet, is dat resultaten uit het verleden geen garantie bieden voor de toekomst. De projectie van rendementsberekeningen op een toekomstige periode is bijvoorbeeld afhankelijk van conjunctuurschommelingen. Tevens kunnen historische datareeksen beïnvloed zijn geweest door onverwachte, incidentele gebeurtenissen. Bij het gebruik van historische datareeksen wordt de context waaronder die reeks tot stand kwam niet meegenomen. Het niet kennen van die context beperkt de representativiteit van de datareeks in het gebruik ervan. Het principe van de VaR gaat er voorts van uit dat, indien het maximale verlies niet acceptabel wordt geacht, direct ingegrepen kan worden door het aanpassen of afbouwen van de risicovolle beleggingspositie. Dit vereist een redelijke mate van liquiditeit van de betreffende belegging. Vanwege het illiquide karakter van direct vastgoed is dit echter minder acuut mogelijk, waardoor niet gereageerd kan worden in de zin van een direct te treffen corrigerende maatregel. Uit diverse onderzoeken is voorts gebleken dat de rendementsverdeling van verschillende beleggingsklassen niet volledig correspondeert met de parametrische normale verdeling. De voorwaarde van normaliteit van de betreffende verdeling is echter van groot belang voor een correcte toepassing van de gestructureerde VaR methode voor direct vastgoed. Om te bepalen in hoeverre heeft deze VaR methode het vermogen heeft de omvang van het maximale verlies op een Nederlandse kantorenportefeuille te voorspellen, is via stress testing onderzocht in welke mate direct vastgoed voldoet aan het normaal verdeeld zijn. 5

7 Vervolgens is via back testing de discrepantie gemeten tussen de historische waarden en de waarden zoals deze verwacht zouden worden volgens de normale verdeling. De bij de testen gehanteerde reeksen zijn gebaseerd op de ROZ/IPD Kantorenindex op jaar en kwartaalbasis, alsmede op een fictieve portefeuilleselectie. Daarbij is onderscheid gemaakt tussen het totaal rendement en de componenten daarvan, het direct en indirect rendement. Aangezien deze componenten op verschillende wijze tot stand komen, dienen ook de karakteristieken ervan apart beschouwd te worden. Uit de resultaten van de stress test blijkt dat normaliteit bij rendementen van Nederlandse direct vastgoed beleggingen niet zonder meer verworpen kan worden. Wel zijn er verschillen te constateren in de mate waarin de beschouwde rendementsverdelingen overeen komen met de normale verdeling. Uit de back tests is gebleken dat de via de gestructureerde methode verkregen parametrische VaR bij een lager betrouwbaarheidsinterval in een aantal gevallen een redelijke inschatting geeft van de daadwerkelijke maximale verliezen. In alle gevallen geeft de parametrische VaR voor het direct rendement de beste schatting. Op basis van de gehanteerde jaar en kwartaalreeksen kan geconcludeerd worden dat het hanteren van een grotere tijdsinterval tussen rendementen leidt tot een verdeling die meer neigt richting een normale verdeling. Tevens kan geconcludeerd worden dat de afwijkingen tussen de parametrische VaR en de numerieke VaR toenemen, naarmate het betrouwbaarheidsinterval toeneemt. Blijkbaar kan de parametrische VaR voor direct vastgoed minder goed omgaan met extreme waarden in de linker staart van de verdeling. De numerieke VaR kent deze problemen niet. Echter, door factoren als tijdsvariatie en de beperkte beschikbaarheid van betrouwbare en voldoende lange datareeksen, ligt de uitdaging bij toepassing van historische simulatie in het zo goed mogelijk laten aansluiten van de gehanteerde historische verdeling van rendementen op de toekomstige verdeling. Samenvattend blijkt de VaR methode in een aantal gevallen in staat de omvang van het maximale verlies op een direct vastgoed beleggingsportefeuille te voorspellen, echter strekt het tot aanbeveling de resultaten van de VaR analyses met voorzichtigheid te interpreteren. Vanwege het illiquide karakter van direct vastgoed kan geconstateerd worden dat praktische toepasbaarheid van de VaR voor direct vastgoed beleggingen beperkt is. Desalniettemin is toepassing van de VaR methode voor direct vastgoed beleggingen gewenst. Ten eerste kan de VaR een belangrijke ondersteuning bieden bij het samenstellen van een efficiënte portefeuille, aangezien de VaR methode uitgaat van het Downside Risk principe. Voorts geeft de VaR inzicht in een worst case scenario, waardoor een belegger in elk geval een uitspraak kan doen op het gebied van de acceptatie van de uitkomsten volgens dat scenario. Tot slot draagt de VaR bij aan een completer beeld van het rendement/risico profiel voor direct vastgoedbeleggingen. Door middel van financieel risico management kan meer inzicht in risico s verkregen worden en kunnen betere beleggingsbeslissingen genomen worden. Feitelijk is geen enkel risicomanagement systeem perfect, maar de VaR methode kan wel degelijk van toegevoegde waarde zijn, indien men de tekortkomingen in acht neemt. 6

8 Hoofdstuk 1 Inleiding Risk, it seems, is the ultimate unknown (S. Das) 1.1 Aanleiding Alles is aan verandering onderhevig. Veranderingen kunnen positief of negatief zijn, maar leiden altijd tot risico. Zo heeft de recente kredietcrisis ervoor gezorgd dat de liquiditeit in de Europese vastgoedmarkten sterk is gedaald, dat aanvangsrendementen van vastgoedbeleggingen zijn gestegen en dat daardoor marktwaarden van direct vastgoed neerwaarts zijn bijgesteld. Dit heeft invloed op de waarde van vastgoedportefeuilles en zodoende ook op het indirect resultaat van vastgoedbeleggers. Naast een negatievere economische groeiverwachting, die zowel het direct als het indirect resultaat beïnvloedt, zijn er nog talloze overige externe ontwikkelingen, waardoor vastgoedbeleggers financieel risico op hun beleggingsportefeuille lopen. Financieel risico management is in dit licht van toenemend belang voor vastgoedbeleggingsorganisaties. Risico is een breed begrip en het management daarvan kan op vele manieren geschieden. Risico management impliceert echter niet dat alle risico s afgedekt of volledig geëlimineerd dienen te worden. Over het algemeen geldt bovendien dat beleggers juist kiezen voor het lopen van risico, zolang dit wordt vergoed door een hoger rendement dan het rendement van een risicovrije belegging. Risico management richt zich dan ook voornamelijk op het inzichtelijk maken van de aanwezige risico s, om vervolgens te kunnen beoordelen of die risico s acceptabel zijn of niet. Het gaat er dus om inzicht te krijgen in welke risico s men nog acceptabel acht, welke risico s men momenteel reeds loopt en het aanpassen van de blootstelling aan de te lopen risico s, zodat het risicobeeld overeenkomt met het gewenste rendement/risico profiel. Er zijn diverse manieren om de te lopen risico s inzichtelijk te maken en te kwantificeren. Deze methoden gaan veelal uit van berekeningen, waarbij het risico uitgedrukt wordt als de afwijking ten opzichte van het behaalde, dan wel verwachte rendement. In de statistiek wordt deze spreiding berekend door middel van de standaarddeviatie, waarmee in één getal de spreiding rond de gemiddelde waarde van de datareeks wordt weergegeven. De standaarddeviatie alleen zegt echter niets over het maximale verlies dat kan optreden door het aanhouden van een beleggingspositie. Dit inzicht is wel van belang, aangezien beleggers willen weten wat de uitkomst is van een worst case scenario met betrekking tot het portefeuillerendement. Een dergelijk inzicht kan geboden worden door middel van de Value at Risk methode (VaR methode), welke het te verwachten maximale verlies op een beleggingspositie over een bepaalde periode weergeeft. 1.2 Probleemschets Risico analyse is van toenemend belang voor beleggers, aangezien het niet alleen gaat om het te verwachten rendement, maar juist ook om het kader waarin dat rendement tot stand komt. Er wordt zodoende steeds meer gesproken over het rendement/risico profiel van een belegging. Reeds in de jaren 50 werd met behulp van de Moderne Portefeuille Theorie het verband gelegd tussen rendement en risico. Inmiddels bestaan er diverse risico analyse 7

9 methoden, waarbij veelvuldig gebruik wordt gemaakt van statistische berekeningsmodellen om het risico van een beleggingsportefeuille in kaart te brengen. De meest populaire en traditionele manier om risico s te meten, is door gebruik te maken van volatiliteit of spreiding. Deze risico indicator heeft echter enkele tekortkomingen (zie o.a. Sortino e.a., 1991, 1996; Plantinga e.a., 2001; Van Polanen Petel, 2005). De belangrijkste tekortkoming is dat de standaarddeviatie geen rekening houdt met de richting van de beweging van het rendement van een belegging. Zo kan volatiliteit ontstaan doordat het rendement plots stijgt, terwijl dit door de belegger niet als negatief hoeft te worden gezien. Feitelijk wordt bij toepassing van deze methode ook positieve afwijkingen ten opzichte van het behaalde of verwachte rendement als risico beschouwd, terwijl dit eerder kansen zijn. Het gaat er dus om slechts de negatieve gebeurtenissen in het rendementsverloop inzichtelijk te maken. Risico heeft anders gezegd voornamelijk betrekking op verlies en de VaR is juist daarop gebaseerd. Het feit dat de VaR de vraag beantwoordt wat volgens een worst case scenario dat maximale verlies zou kunnen zijn, maakt de VaR tot een gewenste risico indicator. De VaR wordt in de financiële wereld dan ook steeds meer gebruikt, naast de eerder genoemde risicoindicator van de standaarddeviatie. Een andere risico analyse methode die eveneens uitgaat van het zelfde principe als de VaR, is de Downside Risk methode. Bij die methode geeft de Downside Deviation inzicht in de negatieve gebeurtenissen, evenals de daarvan afgeleide indicatoren als de semi variantie en de Sortino ratio. De VaR is echter de enige methode die de aanwezige risico s vertaalt naar een schatting van het daadwerkelijke verlies dat door die risico s kan worden geleden. De VaR kwantificeert de omvang van de risico s op basis van statistische analyse van rendementen en volatiliteit. Nagegaan moet worden of, en zo ja, hoe deze methode toepasbaar is of gemaakt kan worden voor direct vastgoed beleggingen, om ook voor deze beleggingscategorie meer inzicht te kunnen geven in de omvang van de aanwezige risico s. Doel is om door middel van toepassing van financieel risico management volgens de VaRmethode risico's beter inzichtelijk en daarmee beheersbaar te maken, zodat betere beleggingsbeslissingen genomen kunnen worden. 1.3 Probleemstelling Naar aanleiding van de beschreven aanleiding en probleemschets, luidt de centrale onderzoeksvraag als volgt: In hoeverre heeft de VaR methode het vermogen de omvang van het maximale verlies op een direct vastgoed beleggingsportefeuille te voorspellen? Om een gedegen antwoord te kunnen geven op deze centrale onderzoeksvraag, dient deze uitgesplitst te worden naar de navolgende deelvragen: Wat houdt de VaR methode in en wat zegt de literatuur over de toepasbaarheid ervan op vastgoed als beleggingscategorie in het algemeen en op een direct vastgoed portefeuille in het bijzonder? 8

10 Op welke wijze kan de VaR methode toegepast worden op een direct vastgoedportefeuille? Wat is de optimale methode om het maximaal mogelijke verlies op een direct vastgoedportefeuille te bepalen? 1.4 Plan van aanpak Voor het onderzoek wordt het plan van aanpak aangehouden, zoals is afgebeeld in figuur 1.1. Literatuurstudie Financieel risicomanagement Value at Risk: theoretische achtergrond Theoretisch kader Karakteristieken direct vastgoed beleggingen Value at Risk: voorwaarden Voorwaarden gebruik VaR bij direct vastgoed Praktisch kader toepassing VaR Toetsing voorwaarden bij gebruik VaR Signaleren knelpunten bij toepassing direct vastgoed Opstellen oplossingen: toepassing VaR Toetsing en validatie Toetsing oplossingen: beoordeling VaR resultaten Conclusies en aanbevelingen Figuur 1.1: Plan van aanpak 9

11 Het plan van aanpak omvat de navolgende stappen: 1. Literatuurstudie naar financieel risico management en de vastgoedbeleggingsmarkt. Doel van de literatuurstudie is het verkrijgen van inzicht in de VaR methode, evenals de karakteristieken van vastgoedbeleggingen en de bijhorende vastgoedmarkt. 2. Analyse van de voorwaarden voor toepassing van de VaR methode. Analyse van de uitgangspunten en voorwaarden waarop de VaR is gebaseerd, om inzicht te verkrijgen hoe de VaR gemeten kan worden en welke input componenten daarvoor bekend dienen te zijn. 3. Onderzoek naar de mate van toepasbaarheid van de VaR methode. Vanuit de literatuurstudie en de VaR methode, wordt onderzocht in hoeverre de VaRmethode toepasbaar is op vastgoedbeleggingen. Daarbij wordt op basis van historische rendementen gekeken of de verdeling ervan voldoet aan de voorwaarden die de VaRmethode stelt. 4. Toepassen van de VaR methode op direct vastgoedbeleggingen. Indien voldaan wordt aan de voorwaarden van VaR, wordt door middel van backtesting gekeken of de uitkomsten van de VaR overeen komen met empirische resultaten. Indien niet voldaan wordt aan de voorwaarden, dan wordt gekeken of een alternatieve toepassing van de VaR methodiek tot betere resultaten leidt. 5. Evaluatie, terugkoppeling en conclusies. Aan de hand van de uitkomsten van de back tests, kan geëvalueerd worden of de resultaten overeenkomen met de verwachtingen. Eventueel kan terugkoppeling plaatsvinden naar de alternatieve VaR toepassing. Ten slotte worden er conclusies getrokken en aanbevelingen gedaan. 1.5 Uitgangspunten en afbakening onderzoek De VaR meet het marktrisico op een beleggingspositie. Met marktrisico wordt in dit kader bedoeld het potentieel van veranderingen van de waarde van een beleggingspositie, zijnde een direct vastgoed beleggingsportefeuille, veroorzaakt door veranderende marktomstandigheden. Risico wordt hierbij gezien als de mate van onzekerheid van toekomstige rendementen. Het onderzoek richt zich op de toepassing van de VaR methode op een direct vastgoedbeleggingsportefeuille. Het betreft hierbij een vastgoedportefeuille bestaande uit kantorenobjecten in Nederland. De data die hiervoor wordt gebruikt is afkomstig uit de database van de ROZ/IPD Vastgoedindex. Als uitgangspunt geldt dat de rendementen van kantoren, zoals opgenomen in de ROZ/IPD Vastgoedindex voor kantoren (ROZ/IPD Kantorenindex), een correcte weerspiegeling zijn van de rendementen van de totale kantorensector voor het marktsegment van institutionele beleggers. 10

12 Het totaal rendement wordt gevormd door het direct rendement, voortkomend uit het netto exploitatieresultaat, en het indirect rendement, welke de waardegroei van de betreffende belegging betreft. Deze twee componenten van het totaal rendement zijn weliswaar aan elkaar verbonden, toch komen zij op verschillende wijze tot stand. Hierdoor zou verondersteld mogen worden dat de karakteristieken van de betreffende verdelingen ook verschillend zijn. De analyse dient daarom zowel op het niveau van beide rendementcomponenten, als op het niveau van het totaal rendement uitgevoerd te worden. Aangezien het in het kader van dit onderzoek gaat om het maximale verlies op een beleggingsportefeuille, wordt op het niveau van een fictieve beleggingsportefeuille gekeken naar het al dan niet normaal verdeeld zijn van het portefeuillerendement. Er wordt uitgegaan van het reeds eerder geconstateerde feit dat individuele objectrendementen niet normaal verdeeld zijn. Er dient aldus getoetst te worden of rendementen op portefeuilleniveau wél normaal verdeeld zijn. Om te kunnen concluderen welke verdeling het meest geschikt is om de VaR voor direct vastgoed beleggingen toe te passen, wordt onderzocht hoe vaak daadwerkelijke verliezen op portefeuilleniveau de voorspelde VaR overtreft. Dit wordt gedaan op basis van een 95% en 99% betrouwbaarheidsinterval. Als de verdeling correct is gekozen, dan zou verwacht kunnen worden dat verliezen de voorspelde VaR respectievelijk in 5% en 1% van de gevallen zouden overtreffen. 11

13 Hoofdstuk 2 Risicomanagement volgens Value at Risk The loss which is unknown, is no loss at all (P. Syrus) 2.1 De Value at Risk methode Value at Risk (VaR) is een verzamelnaam voor verschillende technieken die hun oorsprong vinden in de oorspronkelijk in 1994 door zakenbank J.P. Morgan ontwikkelde methode genaamd RiskMetrics. Deze methode is ontwikkeld om financieel portefeuillerisico te definiëren en te kwantificeren en stelt deelnemers aan de financiële markten in staat om de blootstelling ten aanzien van marktrisico in te schatten. Met behulp van de VaR wordt uitsluitend het risico gemeten in termen van potentieel verlies op een beleggingspositie of portefeuille. De VaR geeft aldus een uitdrukking aan het neerwaartse risico en is daarmee onderscheidend ten opzichte van overige risico indicatoren. De VaR methode steunt op de in de jaren 50 door econoom Harry Markowitz ontwikkelde Moderne Portefeuille Theorie (MPT), waarin het risico dat aan een beleggingsinstrument of meerdere instrumenten verbonden is, uitgedrukt wordt door middel van de standaarddeviatie van het rendement. De standaarddeviatie vormt daarbij een maat voor de spreiding van het rendement. De VaR methode gaat echter uit van Downside Risk, waarbij alleen de negatieve afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde, oftewel de resultaten in de linker staart van de verdeling worden beschouwd [Booth e.a., 2005]. Indien ervan uitgegaan wordt dat het rendement normaal verdeeld is, kunnen vervolgens betrouwbaarheidsintervallen geformuleerd worden. Hiermee kan vastgesteld worden met welke kans de uitkomst van het te verwachten rendement zich binnen het geformuleerde interval bevindt. Daarmee kan dus ook vastgesteld worden met welke kans het rendement buiten het interval treedt. Dit is feitelijk het principe waarop de VaR methode gebaseerd is. 3 2,5 frequentie 2 1,5 1 0, rendement Figuur 2.1: Normale verdeling van rendementen met de resultaten in de linker staart als Downside Risk 12

14 2.2 Definitie VaR Om de VaR toe te passen, dient eerst nader gekeken te worden naar het principe waarop de VaR gebaseerd is. Een in de literatuur vaak gehanteerde definitie benadrukt vier kernelementen van het VaR principe [Jorion, 2001]: Het maximale verlies dat kan ontstaan op een positie door normale marktbewegingen in een bepaalde periode, gebaseerd op een time to close benadering, uitgaande van een vastgesteld betrouwbaarheidsinterval. Bovenstaande definitie omvat een aantal aandachtspunten dat van belang is bij toepassing van de VaR methode. Zo wordt gesproken over een positie, waarmee bedoeld wordt een belegging, maar in principe komen alle risicodragende instrumenten in aanmerking voor een VaR berekening. Daarnaast wordt gesproken over normale marktbewegingen. Hiermee wordt bedoeld dat slechts indien de markt zich niet significant anders ontwikkelt dan in een zekere periode in het verleden is gebeurd, de VaR kan worden bepaald. De VaR methode maakt daarbij mede gebruik van de normale verdeling, waarbij verondersteld wordt dat de kansverdeling van de betreffende rendementen normaal verdeeld is. De geobserveerde data dienen dus aan de eisen van een normale verdeling te voldoen. Hierop wordt in hoofdstuk 3 nader ingegaan. Ten derde wordt in de definitie van de VaR gesproken over de periode waarover het risico gelopen wordt ( holding period of time to close period ). Hiermee wordt bedoeld de periode die nodig is om de risicodragende positie volledig af te bouwen of te liquideren. Dit zou in het kader van dit onderzoek impliceren dat deze periode, indien de VaR wordt toegepast voor een vastgoedportefeuille, ten minste gelijk zou moeten zijn aan de periode die benodigd is om alle vastgoedobjecten te verkopen. In hoofdstuk 5 wordt nader ingegaan op de te kiezen tijdshorizon. VaR uitkomsten op dagbasis kunnen overigens via de zogenaamde wortel t formule omgerekend worden naar uitkomsten op basis van een holding period op maand of jaarbasis, om ze onderling vergelijkbaar te maken. Zie bijlage I voor de betreffende formules. Tot slot wordt gesproken over een vastgesteld betrouwbaarheidsinterval. Het is onmogelijk een uitspraak te doen omtrent het maximale potentiële verlies met een zekerheid van 100%, zonder in te boeten aan de realiteitsgehalte van de uitkomst. Daarnaast heeft de waarde van het betrouwbaarheidsinterval ook een relatie met de mate van risico aversie die gewenst is. Door de veronderstelling van een normale verdeling van rendementen is het bovendien logisch om met het zogenaamde kwantiel begrip uit de kansverdeling te werken. De keuze voor de waarde van het betrouwbaarheidsinterval bij de VaR metingen is echter arbitrair en wordt in de praktijk veelal tussen de 90% en de 99% genomen [De Wit, 2008]. 2.3 Formules voor VaR De VaR kan op basis van een numerieke benadering of een parametrische benadering berekend worden. Bij de twee benaderingen behoren ook twee verschillende toepassingsmethoden, die in paragraaf 2.4 beschreven worden. 13

15 2.3.1 Numerieke VaR De numerieke VaR kan bepaald worden in termen van absoluut verlies, de absolute VaR, of in termen van relatief verlies, de relatieve VaR. De eerste is het verwachte maximale verlies binnen een gegeven betrouwbaarheidsinterval, gemeten vanuit de beleggingspositie. De tweede wordt gemeten relatief aan de verwachte beleggingspositie aan het einde van de periode, oftewel relatief aan de verwachte gemiddelde opbrengst over de periode. De relatieve VaR geeft aldus het totale verlies zelf weer en kan zodoende gebruikt worden om te bepalen of het te lopen risico acceptabel wordt geacht. Daarbij dient de belegger tevens te bepalen of de kans dat het maximale verlies overschreden wordt aanvaardbaar is. In bijlage I is een voorbeeld gegeven voor het bepalen van de numerieke VaR. De VaR kan bovendien worden weergegeven in termen van rendement, waarbij deze gelijk is aan de winst ten opzichte van de initiële waarde van de beleggingspositie. De absolute VaR kan worden weergegeven als 1 : VaR absoluut = REV = R * W Waarbij: R = Rendement W = Initiële waarde beleggingspositie REV = Opbrengst (Revenue) R = Rendement bij intervalgrens REV = Opbrengst bij intervalgrens De formule voor de relatieve VaR is als volgt: VaR relatief = REV + REV gem = ( R * W) + (R gem * W) Parametrische VaR De parametrische VaR gaat uit van aannamen omtrent de kansdichtheid van het rendement (de zogenaamde probability density function ). Indien het rendement een kansdichtheidsverdeling heeft van f(r) en er gekozen is voor een betrouwbaarheidsniveau van (1 c), dan kan de parametrische VaR bepaald worden op basis van een drie stappen procedure: 1. aanname doen over de kansdichtheidsfunctie f(r); 2. nagaan wat het rendement R op de intervalgrens is; 3. invullen van formule voor de numerieke VaR om de parametrische VaR te verkrijgen. Het rendement op de intervalgrens (het zogenaamde cut off return ) kan worden gezien als de laagste realisatie van R voor een betrouwbaarheidsinterval c [Huisman e.a., 1998a]. Dit rendement kan gevonden worden door de integraal voor de kansdichtheidsfunctie f(r), welke loopt van tot R, gelijk te stellen aan 1 c. 1 c = f(r) dr 1 Het min teken in de formules is vanwege het feit dat de linker staartwaarden van de winsten en rendementen verliezen zijn, terwijl de VaR een positief getal is. 14

16 De kritieke succesfactor hierbij is het doen van de juiste aanname over de kansdichtheidsfunctie f(r). In de praktijk wordt er vaak van uitgegaan dat f(r) een normale verdeling representeert. Deze aanname heeft het grote voordeel dat het schatten van de VaR sterk vereenvoudigd wordt. Indien het rendement R normaal is verdeeld, dan kan in iedere situatie de grens van het betrouwbaarheidsinterval via één enkele parameter gegeven worden, te weten via de alpha (α). Deze α geeft in termen van de standaarddeviatie (σ) weer hoe ver de intervalgrens waarden ten opzichte van het gemiddelde rendement (R gem) liggen. Om de exacte waarde van α te vinden, dient de functie ingevuld te worden op basis van een gekozen waarde voor c, een zogenaamde lower tail gebeurtenis. Indien wordt uitgegaan van een betrouwbaarheidsinterval van 95%, dan geldt c = 5%. Vervolgens kan de waarde van α worden afgelezen uit een standaard normale tabel (zie bijlage III). Daaruit blijkt dat α bij een 95% betrouwbaarheidsinterval 1,65 bedraagt. De formule voor het rendement bij de intervalgrens is vervolgens: R = R gem + α*σ De formules voor de parametrische VaR zijn nu als volgt: VaR absoluut = ( R gem * W) (α*σ*w) VaR relatief = α*σ*w Waarbij: R gem = Gemiddelde rendement α = Alpha volgens gekozen betrouwbaarheidsinterval σ = Standaarddeviatie W = Initiële waarde beleggingspositie De numerieke VaR kan worden afgelezen met behulp van de weergave van de resultaten in een grafiek, waarbij de waarden op de intervalgrens bepalend zijn voor de VaR. De parametrische VaR gaat echter uit van een berekening van die intervalgrens waarden op basis van een zekere verdeling van de kansdichtheid van rendementen. Volgens Huisman e.a. (1998a) heeft de parametrische benadering de voorkeur, omdat het eenvoudige conversies mogelijk maakt naar andere kwantielen, door het aanpassen van de α parameter, en naar een andere tijdshorizon, via de eerdergenoemde wortel t formule. Het maakt het daarnaast mogelijk een bepaalde mate van voorwaardelijkheid te verwerken in de VaR schatting, waardoor betere voorspellingen mogelijk zijn. Hoewel deze berekeningsmethode relatief eenvoudig is en in de praktijk ook het meest gebruikt wordt, gaat ze ook uit van een aantal veronderstellingen. De vraag is in hoeverre de te onderzoeken rendementreeksen voldoen aan de betreffende veronderstellingen. In het navolgende zullen de numerieke en parametrische VaR nader behandeld worden. 15

17 2.4 VaR methoden Er zijn vele methoden ontwikkeld om de VaR van een portefeuille te kunnen bepalen of te berekenen. Er is echter een tweetal basismethoden te onderscheiden, aangeduid met de termen historische simulatie en gestructureerde VaR [Kocken, 1997]. Hierna zullen beide methoden kort uiteen worden gezet Historische simulatie Bij de historische simulatie wordt de historische verdeling van rendementen gebruikt om de VaR (ook wel empirische VaR genoemd) op portefeuilleniveau te simuleren. Bij deze methode worden de in het verleden geobserveerde optredende bewegingen in het rendement over een bepaalde periode gehanteerd, als mogelijke scenario s voor toekomstige rendementsbewegingen. Vervolgens worden de wegingsfactoren in de huidige portefeuille gebruikt om de hypothetische rendementen te simuleren. Deze rendementen zouden behaald zijn, indien de huidige portefeuille over de beschouwde periode was aangehouden. De resultaten worden in frequentietabellen verwerkt, waarna een kansverdeling resulteert voor het rendement van de portefeuille. De VaR is dan gelijk aan die waarde waarbij exact het percentage volgens het gekozen betrouwbaarheidsinterval (100 α) van de scenariouitkomsten lager is. Het relevante percentiel van de verdeling van historische rendementen geeft zodoende de te verwachten VaR van de betreffende portefeuille. Het grootste voordeel van deze variant is dat geen enkele veronderstelling ten aanzien van de te hanteren verdeling noodzakelijk is. Feitelijk wordt hier gebruik gemaakt van de numerieke (of niet parametrische) VaR, die gebaseerd is op resultaten vanuit het verleden. Een aantal beperkingen dat gesteld moet worden aan deze benadering zijn: De steekproef dient homogeen te zijn: Indien voor verschillende tijdvakken de standaarddeviatie van beleggingsrendementen gemeten wordt, dan laat die standaarddeviatie in de loop van de tijd een onstabiel beeld zien [Ammeraal en Heezen, 2001]. Dit duidt op tijdsvariatie, oftewel het feit dat de markt zich anders ontwikkelt dan verwacht zou mogen worden op basis van de historische waarnemingen. Hierdoor is het mogelijk dat historische rendementen weinig zeggen over de toekomstige rendementen. Tijdsvariatie kan zich voordoen als gevolg van een structurele wijziging van de markt, maar kan zich ook voordoen in het optreden van clusters van volatiliteit. In financiële markten worden in de regel onrustige perioden gevolgd door onrustige perioden, terwijl rustige perioden gevolg worden door rustige perioden. Uit onderzoek (Van den Goorbergh en Vlaar, 1999) is gebleken dat tijdsvariërende volatiliteit de belangrijkste eigenschap van aandelenkoersen is voor het modelleren van VaR. Tijdsvariatie dient dus voorkomen te worden, aangezien anders de zeggingskracht van de gekozen historische periode als referentiebeeld wegvalt 2. De betrouwbaarheid van de VaR schattingen: Om accurate schattingen te krijgen is een omvangrijke, betrouwbare datareeks noodzakelijk met voldoende waarnemingen. De VaR schatting is hierdoor afhankelijk 2 Volgens Dowd (1998) zou weighted historical simulation een mogelijke oplossing zou kunnen zijn om tijdsvariatie in de VaR te verwerken. Het principe gaat uit van het toekennen van een lagere weging van meer in het verleden gerealiseerde rendementen ten opzichte van de meer actuele rendementen. 16

18 van de frequentie en de lengte van die datareeks. In paragraaf wordt hier nader op ingegaan. Feitelijk wordt bij gebruik van de methode van historische simulatie aangenomen, dat de gekozen historische verdeling van rendementen een goede benadering is van rendementen voor de komende periode. De historische analyse dient derhalve vanuit twee invalshoeken aangepakt te worden. Ten eerste dient gekeken te worden wat de effecten zijn van de historische periode tot en met het moment van waarneming, indien die worden doorgetrokken voor de aangrenzende toekomstige periode, voor de betreffende belegging of beleggingsportefeuille. Ten tweede dient men daarbij een beeld te vormen over de toekomstige ontwikkelingen. Vervolgens kan daar een passende reeks bij worden gezocht vanuit het verleden, die een indicatie geeft van de invloed van dergelijke ontwikkelingen Gestructureerde VaR De aanpak van gestructureerde VaR (ook wel normale VaR genoemd en in de literatuur tevens aangeduid als de variance covariance, of delta normal benadering) is gericht op het maken van een stochastisch model dat het proces van de rendementbewegingen beschrijft. Dit wiskundige model bevat diverse parameters die worden geschat, op basis van beschikbare historische informatie omtrent rendementsbewegingen. Indien er te weinig observaties zijn voor de historische simulatie, biedt de gestructureerde VaR uitkomst. Voor het bepalen van een gestructureerde VaR, waarbij uitgegaan wordt van de parametrische berekening, dient naar de statistische eigenschappen te worden gekeken. Er worden namelijk enkele statistische aannamen gedaan, waarvan de belangrijkste zijn: Normaliteit: De kansverdeling van het rendement is normaal verdeeld. Hier wordt later verder op ingegaan. Afwezigheid van drift: Drift is de neiging van een variabele om naar een bepaalde (evenwichts )waarde te tenderen. Voor een korte horizon wordt veelal verondersteld dat drift ontbreekt, hetgeen betekent dat de kans op een stijging van rendementen net zo groot is als de kans op een daling. Afwezigheid van autocorrelatie: Verondersteld wordt dat er geen correlatie bestaat tussen de beweging op dag t van een variabele en de beweging op de dagen daarvoor. Uit onderzoek (Longerstaey en Spencer, 1996) blijkt dat dagelijkse rendementen van aandelen nauwelijks leiden onder het fenomeen van autocorrelatie. Voor niet dagelijkse vastgoedrendementen, welke (gedeeltelijk) gebaseerd zijn op de waarderingen door taxateurs, is de autocorrelatie vanwege het smooting en lagging effect meer aanwezig [Geltner en Miller, 2001]. In paragraaf worden deze effecten nader toegelicht. Uit onderzoek (Jorion, 2001) blijkt overigens dat de betrouwbaarheid van VaR waarden verkregen op basis van de gestructureerde methode groter is, dan de VaR verkregen op basis van historische simulatie. Als voorwaarde hiervoor geldt echter wel dat aan de genoemde aannamen, waar de gestructureerde methode van uitgaat, voldaan wordt. 17

19 2.5 Alternatieve toepassing VaR methode Op basis van de beschreven methode voor berekening van de VaR, kan het maximale verlies op een beleggingspositie of portefeuille inzichtelijk worden gemaakt. Door dit inzicht kan het optreden van grote negatieve momenten binnen de beleggingsportefeuille beheerst worden. De VaR kent daarnaast echter een belangrijke alternatieve toepassing. Op basis van het eerder beschreven Downside Risk principe, kan de VaR benadering een wezenlijke bijdrage leveren aan het nemen van beleggingsbeslissingen. Indien de VaR van een portefeuille bekend is, kan gekeken worden wat het effect is van het toevoegen van één of meerdere beleggingen op die VaR van de portefeuille. Analoog aan de hiervoor ontwikkelde Sharpe ratio en de daarop gebaseerde Sharpe rule, bekijkt de Incremental VaR de verbetering van het rendement/risicoprofiel. Bijlage II gaat hier nader op in, maar het principe komt erop neer dat, indien de VaR voor de portefeuille inclusief de nieuwe belegging positiever is dan zonder de betreffende belegging, de belegging aan de portefeuille toegevoegd kan worden. Tegelijkertijd blijkt hieruit dat indien dit niet het geval is, de betreffende belegging aan de portefeuille onttrokken dient te worden. De VaR geeft aldus vanuit de Downside Risk benadering ondersteuning bij objectselectie en het samenstellen van een efficiënte portefeuille. In het verlengde hiervan, kan de VaR gebruikt worden om na te gaan of een belegging voldoet aan de rendementseisen van de belegger. De kern van het beleggingsbeleid is dat er een relatie gelegd moet worden tussen het rendement/risico profiel en de beleggingsdoelstelling. Deze doelstelling is tweeledig: het behalen van het minimaal vereiste rendement, de Minimal Accepted Return (MAR) en het als taak gestelde rendement, de Target Return (TR) [Keeris en Langbroek, 2008]. Beide doelstellingen komen voort uit het feit dat een belegging pas waarde creëert, wanneer het rendement de kostenvoet van het vermogen overtreft. De MAR geeft daarbij het minimale rendementsniveau aan, vanaf waar geen waarde wordt vernietigd. De TR komt voort uit de eis dit minimale niveau te overtreffen, om een bepaalde mate van toegevoegde waarde te creëren. De VaR geeft feitelijk het maximale verlies dat over een gekozen tijdshorizon binnen een bepaald betrouwbaarheidsinterval verwacht wordt. Toepassing van de VaR methode kan zich er derhalve op richten na te gaan of het niveau van de MAR binnen die tijdshorizon niet negatief overschreden wordt. De MAR geeft zodoende de uiterste intervalgrens waarde aan die in geen geval negatief overschreden mag worden, wil binnen de gekozen tijdshorizon geen waarde vernietigd worden. Omgekeerd kan echter, analoog aan de VaR methode, ook de kans bepaald worden dat de MAR negatief overschreden wordt. In dat geval dient de MAR in de formule voor het rendement bij de intervalgrens ingevuld te worden. Op basis van het gemiddelde rendement en de standaarddeviatie, kan vervolgens de waarde van α berekend worden. De formule hiervoor is dan als volgt: α = (MAR R gem) / σ Uitgaande van een normale verdeling, kan via de verkregen α en met behulp van de standaard normale tabel de kans bepaald worden dat de MAR negatief overschreden wordt. Op deze wijze kan een belegger direct bepalen of het rendement/risico profiel van de betreffende belegging acceptabel wordt geacht. 18

20 2.6 Beperking principe VaR Het grootste bezwaar dat wordt geuit tegen het principe van de VaR methode, is dat deze een bepaalde mate van schijnzekerheid biedt (o.a. Das, 2006; De Wit, 2008; Einhorn, 2008). De VaR geeft een schatting van het maximale verlies binnen een betrouwbaarheidsinterval, maar zegt niets over de omvang van het verlies buiten dat betrouwbaarheidsinterval in de uiterste staart. De VaR kan worden vergeleken met een airbag in een auto die altijd werkt, behalve wanneer men een botsing krijgt [Einhorn, 2008]. Als zich extreme situaties voordoen, dan kan dit vergaande financiële consequenties hebben. Stress testing is derhalve noodzakelijk om ook een beeld te krijgen van de meer extreme waarden Beperkingen gebruik VaR Zoals eerder gesteld, ligt aan de veel gebruikte parametrische VaR, waar de gestructureerde VaR methode vanuit gaat, een aantal veronderstellingen en voorwaarden ten grondslag. De voorwaarden waar de VaR van uitgaat, impliceren tegelijkertijd een aantal beperkingen ten aanzien van de toepassing ervan in het algemeen en ten aanzien van toepassing op direct vastgoed beleggingen in het bijzonder Geldigheid van historische data De numerieke VaR schatting behoeft als ex post risico management methode geen aannamen. Hierbij geven de resultaten van de rendementsverdeling zelf de mate van het maximale verlies (zie bijlage I). Indien deze echter als ex ante methode wordt ingezet, dan dienen wel degelijk aannamen gedaan te worden voor de toekomstige situatie op basis van historische simulatie. Ook voor toepassing van de parametrische VaR, welke is gebaseerd op de waarschijnlijkheidsverdeling van verwachte rendementen, dient men aannamen te doen op het gebied van de werkelijke vorm van de verdeling van het verwachte rendement. Dit kan door aan te nemen dat de verdeling van het verwachte rendement gelijk is aan de empirische verdeling, gebaseerd op observaties uit het verleden, of door aan te nemen dat het totaal van de rendementen een bepaalde statistische verdeling laat zien, zoals die eerder geconstateerd werd. In beide gevallen wordt ervan uitgegaan dat de statistische karakteristieken uit het verleden een goede maatstaf zijn voor de toekomst. Het probleem dat zich bij het hanteren dergelijke aannamen voordoet, is dat resultaten uit het verleden geen garantie voor de toekomst bieden. De projectie van rendementsberekeningen op een toekomstige periode is bijvoorbeeld afhankelijk van conjunctuurschommelingen. Tevens kunnen historische datareeksen beïnvloed zijn geweest door onverwachte, incidentele gebeurtenissen. Bij het gebruik van historische datareeksen wordt de context waaronder die reeks tot stand kwam echter niet meegenomen. Het niet kennen van die context beperkt de representativiteit van de datareeks in het gebruik ervan. De periode waarin historische rendementen gemeten zijn, evenals het kennen va de heersende omstandigheden waaronder die rendementen tot stand kwamen, zijn derhalve van groot belang om tot betrouwbare en representatieve aannamen te komen. 3 Als reactie hierop is de Extreme Value Theory ontwikkeld en als uitvloeisel daarvan recentelijk Expected Tail Loss. Deze methoden richten zich op het in beeld brengen van zeldzame, maar niet onmogelijke gebeurtenissen. 19