Logica Wiskunde D-online

Transcriptie

1 1 Logica Wiskunde D-online Deze tekst is een bewerking van de Syllabus wiskunde D, Logica Havo 4 van Windesheim. Samenstellers: drs. N.J. Wolberink en H Ridderbos, docenten Wiskunde aan Vechtdal College Hardenberg en Ommen Bewerking voor wiskunde D-online: Sieb Kemme en Mieke Tijsseling.

2 2 Les1: Definities en waarheidstabellen Inleiding De strip hierboven is van Peter van Straaten. Het gaat over een vader en een zoon. Lees de strip en geef commentaar op de redenering van de vader. Opgave 1.1 Geef commentaar bij het onderstaande gedicht: Drie soorten Onze buurman bleef beweren dat hij mathematici nader kon classificeren in divisies en wel drie. Welke drie kan men nu stellen- Onderscheidde deze man? 1. De groep die goed kan tellen, 2. De groep die dat niet kan. (uit: Wis- en natuurlyriek van Drs. P en Marjolein Kool)

3 3 Opgave 1.2 Wat vind je van de onderstaande logica? Een Belg en een Nederlander zitten samen in de trein, de Belg leest een boek over logica. Logica, vraagt de Nederlander, wat is logica? Wel, zegt de Belg, heb je goudvissen? Ja. Wel, dan houd je van dieren. Ja, dat klopt. Wel, als je van dieren houdt, houd je ook van mensen. Ja, dat klopt ook. En als je van mensen houdt, dan houd je ook van kinderen. Ja, ik houd van kinderen. Wel, en als je van kinderen houdt, heb je natuurlijk ook kinderen. Ja, dat klopt. Wel, en als je kinderen hebt, ben je getrouwd. Ja, dat klopt ook. Wel, als je getrouwd bent, ben je geen vrijgezel. Nee, zegt de Nederlander, ik ben geen vrijgezel! Wel, zegt de Belg, dat is logica. Stapt de Belg uit en komt er een andere Nederlander tegenover de eerste zitten. Nou, zegt Nederlander 1, er was net een Belg, en die las een boek over logica, kei interessant! Logica, vraagt Nederlander 2, wat is dat? Nou, heb je goudvissen? Nee. Wel, dan ben je een vrijgezel. Opgave 1.3 Tot slot van deze inleiding nog een stukje voetballogica. : "VOETBAL IS SIMPEL, JE BENT OP TIJD OF JE BENT TE LAAT. ALS JE TE LAAT BENT MOET JE EERDER VERTREKKEN" (J. CRUIJFF) Je bent op tijd vertrokken en toch was je te laat. Klopt dat met die logica van Cruijff?

4 4 De taal van de wiskunde De taal van de wiskunde streeft naar een zo duidelijk mogelijke exactheid. Dat betekent dat zo precies mogelijk wordt vastgelegd wat de eigenschappen zijn van wiskundige objecten en begrippen. Van sommige begrippen, zoals punt en lijn, gebeurt dat niet. Dat zijn grondbegrippen. Een grondbegrip doet een beroep op onze intuïtie. Daarnaast kent de wiskundige taal een aantal gedragsregels die vastleggen op welke manier met de taal wordt omgegaan. Die regels samen zijn onderdeel van de wiskundige logica. Definitie Met een definitie leg je precies de betekenis vast van wiskundige objecten. Dit zijn afspraken waarbij je alleen gebruik mag maken van grondbegrippen en al eerder gedefinieerde begrippen. De definitie van een gelijkzijdige driehoek zou kunnen zijn: Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan de drie zijden gelijke lengtes hebben. In deze definitie herken je de grondbegrippen driehoek, zijde en lengte. De definitie legt dus vast wat in de wiskunde bedoeld wordt met het woord gelijkzijdig. Propositie Een propositie is een zin die een feit constateert. Een propositie is een grondbegrip. Een propositie is een bewering die waar kan zijn of niet waar kan zijn, waarvan de waarheid op objectieve wijze kan worden vastgesteld Het kan zijn dat je nog niet weet of de propositie waar is, maar er bestaat wel een onafhankelijke manier om de waarheid eventueel vast te kunnen stellen. Een bevel of een vraag is dus geen propositie. Voorbeelden van proposities: De wortel van 144 is 12. Het dubbele van 10 is 30. In een driehoek ligt de grootste zijde altijd tegenover de grootste hoek. Er is buitenaards leven. Geen proposities zijn: Gedraag je! Men neme passer en liniaal. Is er nog thee? x > 2 Een ander voorbeeld van een propositie is: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lange zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. Stelling Je herkent natuurlijk onmiddellijk de stelling van Pythagoras. Dit is een propositie waarvoor een wiskundig bewijs bestaat en wordt daarom een stelling genoemd. Vaak wordt in het bewijs van een stelling gebruik gemaakt van eerdere definities en eerder bewezen stellingen.

5 5 Axioma Naast grondbegrippen zoals punt, lijn, driehoek worden sommige proposities van nature als waar aangenomen. Ze hebben dus geen bewijs nodig omdat ze intuïtief voor waar worden aangenomen. Ze worden axioma s of postulaten genoemd. Voorbeelden van axioma s zijn: Je kunt één lijn trekken door twee verschillende punten. Je kunt een cirkel tekenen bij een gegeven middelpunt en straal. Bij een gegeven lijn en een punt buiten die lijn, kun je één lijn tekenen die evenwijdig is met de gegeven lijn. [Het laatste axioma is lange tijd omstreden geweest en men heeft verwoede pogingen gedaan om het te bewijzen vanuit de overige axioma s. Vervang je dit axioma door een ander axioma, dan krijg je een ander soort meetkunde, de niet- Euclidische meetkunde.] Waarheidswaarde We zullen aan een propositie de waarde 1 toekennen als de propositie waar is en de waarde 0 als deze niet waar is. We noemen deze 0 of 1 de waarheidswaarde. Een propositie heeft dus of een waarheidswaarde 1 of een waarheidswaarde 0. Een andere (derde?) mogelijkheid sluiten we uit. Bewerkingen met proposities Een bewijs van een stelling is een wiskundige redenering die is opgebouwd uit definities en reeds bewezen stellingen volgens strikte regels. Die regels leggen vast hoe je proposities kunt combineren en aanpassen. Negatie of ontkenning Proposities geef je aan met de hoofdletters P, Q, R etc. Bijvoorbeeld: P: Gisteren regende het Q: Gisteren regende het niet. Q is de ontkenning van P. Als de ene propositie waar is dan is de andere niet-waar. Van een propositie kun je altijd een nieuwe maken door die te ontkennen. Je schrijft P voor de ontkenning van P. Waarheidstabellen Een en ander kun je weergeven in zogenaamde waarheidstabellen. P P De negatie is een belangrijk hulpmiddel bij het programmeren van computers of rekenmachines. In die context wordt meestal het woordje NOT gebruikt.

6 6 Conjunctie ( en ) Bekijk de volgende twee proposities P en Q: P: Gisteren won Feijenoord van Ajax. Q: FC Groningen wint de eredivisie in 2013 Hoewel deze proposities niet veel met elkaar te maken hebben, kun je ze samenvoegen tot één propositie met behulp van het voegwoordje "en": P Q: Gisteren won Feijenoord van Ajax en FC Groningen wint de eredivisie in Dit is een nieuwe, samengestelde, propositie. Die kan waar zijn of niet-waar zijn. Dan hangt af van de waarheid van P en Q. De propositie is alleen waar als zowel P als Q waar zijn. Je schrijft de conjunctie van P en Q als volgt: P Q. De waarheid van de conjunctie P Q is vastgelegd in de onderstaande waarheidstabel: P Q P Q Je onderscheidt vier gevallen: P is niet waar en Q is niet waar. P is niet waar en Q is waar. P is waar en Q is niet waar. P is waar en Q is waar. In slechts één van deze gevallen is de conjunctie van P en Q waar. In computertoepassingen wordt de conjunctie aangegeven met het woordje "AND". Disjunctie ( inclusief-of ) De vorige conjunctie is in overeenstemming met ons dagelijks taalgebruik van het woord en. Het Nederlandse woordje "of" heeft verschillende betekenissen. Bekijk de volgende voorbeelden maar eens. Agent tegen een verkeersovertreder: "U moet beloven dat u nooit meer door rood rijdt of u krijgt een boete." Mensen die een hond of kat hebben, wordt verzocht hun dier op oudejaarsavond binnen te houden. In het eerste geval verwachten we niet dat de diender alsnog een boete uitschrijft nadat de overtreder beterschap heeft beloofd. Of een belofte, of een boete, maar niet beide. In het tweede voorbeeld zal niemand die het advies serieus neemt en die een hond en een kat heeft, deze dieren naar buiten laten gaan. In ons dagelijks taalgebruik blijkt uit de situatie welke betekenis je bedoelt met het gebruik van of en voelen we deze verschillen in de betekenis van het woordje "of" perfect aan.

7 7 Maar de wiskunde kan hier niet mee uit de voeten. Vandaar dat er binnen de logica twee betekenissen voor "of" bestaan: exclusief en inclusief. Het eerste voorbeeld gebruikt het woord of exclusief, bij het tweede voorbeeld is dat inclusief. Het "inclusief-of" heet disjunctie. De disjunctie van P en Q geef je aan als: P Q. Hierbij hoort de onderstaande waarheidstabel: P Q P Q In computertoepassingen wordt de disjunctie aangegeven met het woordje "OR". Exclusief-of Bij de disjunctie hebben we al kennisgemaakt met het exclusief-of. De waarheidstabel verschilt op één plaats met die van de disjunctie. Voor het exclusief-of zijn verschillende symbolen in omloop. We zullen het symbool gebruiken. Als P en Q proposities zijn, is het exclusief-of van P en Q als volgt gedefinieerd: P Q P Q In computertoepassingen wordt het exclusief-of aangegeven met het woordje "XOR". Voorbeeld: P: Ik ben jarig in januari. Q: Ik ben jarig in februari. P Q is waar, als P waar is, maar Q niet waar is. Ook is P Q waar, als P niet- waar is, maar Q wel waar is. Je hebt in dit voorbeeld te maken met het exclusief-of. Immers een persoon kan slechts in één maand jarig zijn. Implicatie Eerst een voorbeeld: Als ik dit jaar de jackpot win in de staatsloterij, dan trakteer ik alle wiskunde D leerlingen in het volgend jaar op een etentje. Deze belofte is een samenstelling van twee proposities. Kortweg: "ik win" en "ik trakteer". Laten we nu eens aannemen dat het volgende jaar al begonnen is. Er kunnen zich dan vier situaties voordoen: 1. Ik heb niet gewonnen en ik heb niet getrakteerd. 2. Ik heb niet gewonnen en ik heb getrakteerd. 3. Ik heb gewonnen en ik heb niet getrakteerd. 4. Ik heb gewonnen en ik heb getrakteerd.

8 8 In welke gevallen kan ik van leugenachtige praktijken worden beschuldigd? In het eerste geval heb ik niet gewonnen en hoef ik dus ook niet te trakteren. In het tweede geval ben ik genereus geweest. Ik heb niet gewonnen en toch heb ik getrakteerd. Het zou wel heel zuur zijn om mij dan als leugenaar aan te merken. Afgezien daarvan, het is ook in strijd met de logica. Ik had toch niet gezegd dat ik uitsluitend zou trakteren als ik zou winnen. Ik zou trakteren als ik zou winnen. Het staat mij dan toch zeker vrij te trakteren als ik niet win? In het derde geval ben ik verworden tot leugenaar. Ik had beloofd te zullen trakteren als ik zou winnen. Het geld is binnen en de beloofde traktatie is uitgebleven. Foute boel dus. In het laatste geval ben ik netjes mijn belofte nagekomen. Conclusie: alleen in het derde geval kan ik als leugenaar worden gezien. Een als-dan-propositie of als-dan-bewering wordt in de wiskunde een implicatie genoemd. Heel veel wiskundige uitspraken en stellingen zijn als-dan-proposities. Voorbeelden: Als het regent dan draag ik een paraplu. Als ik uien snijd dan moet ik huilen. Als ik een 8 haal dan heb ik een voldoende. Voor de implicatie gebruik je het symbool. Hierbij hoort de onderstaande waarheidstabel: P Q P Q Bi-implicatie (of equivalentie) Voor sommige implicaties ( P Q ) geldt dat de omkering ( (Q P) ook waar is. Voorbeelden hiervan zijn: Als het vrede is, dan is het geen oorlog. en Als er geen oorlog is, dan is er vrede. Als van driehoek ABC de hoek A recht is, dan geldt: a 2 = b 2 + c 2. en Als in driehoek ABC geldt dat a 2 = b 2 + c 2, dan is hoek A een rechte hoek. Als de discriminant van een tweedegraads vergelijking negatief is, dan heeft deze vergelijking geen oplossingen. en Als een tweedegraads vergelijking geen oplossing heeft, dan is de discriminant negatief. De bi-implicatie of equivalentie kan op een hele natuurlijke manier met behulp van de bewerkingen en worden gedefinieerd.

9 9 Met de bi-implicatie P Q betekent: (P Q) (Q P). De waarheidstabel kun je als volgt opstellen: P Q P Q P Q (P Q) P Q Eerst heb je de kolommen voor P en Q ingevuld, dan die voor P Q, dan die voor P Q en als laatste die voor (P Q) P Q. Het resultaat is: P Q P Q De bi-implicatie P Q is precies dan waar als P en Q dezelfde waarheidswaarde hebben. Bij een bi-implicatie zou je P door Q kunnen vervangen en omgekeerd. Je zegt in dit geval dat P en Q equivalent of gelijkwaardig zijn. De bi-implicatie is de laatste direct gedefinieerde logische bewerking. Dit wil overigens niet zeggen dat er niet meer bestaan. In principe kun je met de genoemde bewerkingen,,, en andere bewerkingen maken. Opgave 1.4 De dokter zegt: Als je mijn medicijn slikt, dan word je beter. a Welke twee proposities kunnen we in de bovenstaande zin ontdekken? b Met welke bewerking hebben we te maken in de zin die de dokter uitspreekt? c Een week later kom je de dokter tegen bij de supermarkt. De dokter kijkt je aan en concludeert: Je ziet er goed uit. Je hebt dus mijn medicijn geslikt. Wat vind je van de conclusie van de dokter? Heeft de dokter gelijk? Opgave 1.5 Geef de waarheidstabellen van de volgende (samengestelde) proposities: a (P Q) b P Q c ( P) ( Q) d ( P) ( Q) e (P Q) f Wat valt je op bij de waarheidstabellen van de opgaven d en e?

10 10 Opgave 1.6 Geef de waarheidstabellen van de volgende (samengestelde) proposities: a (P Q) (P Q) b (P Q) Q c (P Q) Q d (P Q) ((P R) Q) Opgave 1.7 Een moordzaak. Ad, Ben en Cor zijn verdachten in een moordzaak. Ze leggen onder ede de volgende verklaringen af: Ad: Ben is schuldig en Cor is onschuldig. Ben: Als Ad schuldig is, dan is Cor ook schuldig. Cor: Ik ben onschuldig, maar minstens één van de anderen is schuldig. a Stel dat alle drie de verdachten onschuldig zijn, wie pleegde(n) er dan meideed? b Stel dat ze alle drie de waarheid spraken, wie is/zijn er dan schuldig? c Stel dat de onschuldigen de waarheid spraken en de schuldigen logen, wie is/zijn er dan schuldig? Opgave 1.8 Een computer kan allerlei opdrachten uitvoeren. Daartoe tik je commando s in via het toetsenbord. De computer begrijpt de commando s alleen als ze aan strikte regels voldoen. Een computertaal zal dan ook gebruik maken van de regels van de logica. Hieronder volgt een stukje programmeercode: IF (X > 3) THEN (OPDRACHT 1) ELSE (OPDRACHT 2) Het programma zal OPDRACHT 1 uitvoeren als X > 3 waar is, maar als X > 3 niet waar is zal OPDRACHT 2 worden uitgevoerd. Hieronder volgt een stukje programmeercode: IF (X 4) AND (Y<3) THEN (ACTIE!) Geef aan wat het programma bij de onderstaande gevallen zal doen: a X = 2,Y = 6 b X=4, Y=21 c X=5, Y=2 d Nog een stukje programmeercode: IF (X 6) AND (X<6) THEN (ACTIE!) Wat is er aan de hand bij de bovenstaande programmaregel? Opgave 1.9 Onderzoek de implicatie en de bi-implicatie van de volgende beweringen: a Als een vierhoek een rechthoek is dan heeft de vierhoek één rechte hoek. b Als de functie y = (x 3) 3 een maximum heeft in x = 3 dan is y (3) = 0.

11 11 Les 2: Bewijzen Stelling Het kwadraat van een negatief getal is een positief getal. Bewijs Stel n is een negatief getal. Dan kun je n schrijven als m met m een positief getal. n 2 = ( m) 2 = ( 1) 2 m 2 = m 2. Einde bewijs Analyse van stelling en bewijs Het gaat hier om de implicatie van twee proposities. P: Een gegeven getal is negatief. Q: Het kwadraat van een gegeven getal is positief. Stelling: P Q In het bewijs neem je aan dat P waar is. Van daaruit beredeneer je dat Q waar is. Daarbij maak je gebruik van de bekende rekenregels en van het feit dat ( 1) ( 1) = 1. In de tabel zit je dus in de situatie van de onderste regel. P Q P Q Je kunt hierbij denken dat P een schakelaar is en Q een lamp die op één of andere manier met P verbonden is. P Q betekent dan: Als schakelaar P aan staat, gaat het licht aan. Als schakelaar P uit staat, kan het licht aanstaan (via een andere schakelaar) of niet aanstaan. De omgekeerde implicatie Je kunt ook kijken naar de omgekeerde bewering Q P. De bijbehorende tabel is nu: Q P Q P In woorden Als het kwadraat van een gegeven getal positief is, dan is het gegeven getal negatief. Maar 4 = 2 2 en 2 is positief. Met dit voorbeeld zie je zo dat deze implicatie niet waar is. In het voorbeeld heeft Q de waarheidswaarde 1, maar P de waarde 0. Je zit in de situatie van de derde regel en de implicatie krijgt de waarde 0.

12 12 Stelling Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9. Bewijs Het bewijs gaat uit van de eigenschappen van het tientallig stelsel. Neem, bij wijze van voorbeeld, een getal van drie cijfers. De cijfers zijn a, b en c. De waarde van het getal is dan 100 a + 10 b + c. De som van de cijfers is a + b + c. Neem het verschil van deze twee getallen: (100 a + 10 b + c) (a + b + c) = 99 a + 9 b. Of: (100 a + 10 b + c) = (a + b + c) + 99 a + 9 b. Als a + b + c deelbaar is door 9, dan is de hele rechterkant van de vergelijking deelbaar door 9 en dus ook de linkerkant. Einde bewijs. Analyse van de stelling en het bewijs P is: Een getal is deelbaar door 9. Q is: De som van de cijfers van een getal is deelbaar door 9. Ook nu ga je uit van de situatie dat P waar is en bewijs je dat Q waar is. Maar uit het bewijs kun je afleiden dat het omgekeerde ook waar is: Als de som van de cijfers deelbaar is door 9, dan is het getal ook deelbaar door 9. Kijk maar naar de vergelijking: a + b + c + (99 a + 9 b) = (100 a + 10 b + c). Neem aan dat Q waar is. De linkerkant is dan deelbaar door 9, dus ook de rechterkant. Dus ook Q P is waar. In dit geval is P Q waar. Tautologie en contradictie De zin Het regent en het regent niet. is pertinent onwaar. Je hebt hier te maken met een propositie in combinatie met de ontkenning daarvan, dus met P P. De waarheidstabel van P P ziet er zo uit: P P P P Uit de tabel blijkt dat de propositie P P voor geen enkele waarde van P waar is. Een dergelijke propositie heet een contradictie. Dat is wat je natuurlijk ook verwacht. Hetzelfde kun je doen voor de propositie P P In dit geval gaat het om de propositie Het regent of het regent niet. Die is gewoonweg altijd waar. In de bijbehorende tabel vind je dat terug. P P P P

13 13 Nu is de propositie P P waar voor elke waarde van P. Een propositie die waar is voor elke waarde van de onderliggende proposities heet een tautologie. De wet van het uitgesloten derde. De tautologie P P wordt ook de wet van het uitgesloten derde genoemd. Een wiskundige bewering is waar of is niet waar, meer mogelijkheden zijn er niet. In ons dagelijks taalgebruik geldt deze wet niet. Daarin bestaat de mogelijkheid dat je niet weet of een bewering waar is en er niet achter kunt komen of die bewering waar of onwaar is. Ook in de wiskunde zijn er beweringen waarvan we (nog) niet weten of die waar is of niet waar is. Bijvoorbeeld het vermoeden van Goldbach: Elk even getal groter dan 2 is te schrijven als de som van twee priemgetallen. Wiskundigen gaan ervan uit dat het vermoeden waar is of niet waar is. Ze zoeken dus naar een bewijs. Tot nu toe is dat niet gevonden. Of ze proberen de onwaarheid te bewijzen door een tegenvoorbeeld te vinden, dus door een even getal te vinden dat niet te schrijven is als som van twee priemgetallen. Ook dat is tot nu toe niet gevonden. Samengevat: Geef een bewijs van propositie P, dan is P waar. Geef een tegenvoorbeeld bij propositie P, dan is P waar. Opgave 2.1 Onderzoek de waarheid van de bewering Een getal is deelbaar door 4 als de som van de cijfers deelbaar is door 4. De ontkenning van de ontkenning Je kunt de ontkenning ook weer gaan ontkennen. De waarheidstabel daarbij is: P P ( P) Hieruit volgt dat P ( P) Bewijs uit het ongerijmde Deze laatste eigenschap kun je gebruiken om een propositie P te bewijzen. Stel je ziet niet hoe je dat bewijs direct voor elkaar krijgt. In plaats daarvan laat je zien dat P onwaar is en dus, als gevolg daarvan, dat P waar is. Een beroemd en historisch voorbeeld is het volgende bewijs dat er oneindig veel priemgetallen bestaan. P is de propositie: Er zijn oneindig veel priemgetallen. Dan is P: Er zijn eindig veel priemgetallen. Neem eens aan dat P waar is. Dat betekent dat je een eindige lijst van priemgetallen zou kunnen maken. Stel die lijst is p1, p2, p3,., pn. Het laatste priemgetal is dus pn. Bekijk nu het getal g = p1 p2 p3. pn + 1. Nu zijn er twee mogelijkheden: g is een priemgetal of g is geen priemgetal. In het eerste geval heb je een groter priemgetal gevonden en dat is in strijd met je aanname dat je de volledige lijst had opgeschreven.

14 14 In het tweede geval is g geen priemgetal maar is g deelbaar door een ander priemgetal. Maar dat andere priemgetal kan niet in je lijst voorkomen want dan zou 1 deelbaar zijn door dat getal. Dat moet dus een groter priemgetal zijn dan in je lijst staat. Zo heb je er ook weer een groter priemgetal bij gevonden en dit is weer in strijd met je aanname. In feite doet zich al gauw de tweede situatie voor: = en dit is geen priemgetal maar gelijk aan , het product van twee priemgetallen die groter zijn dan het laatste getal 13. Dat betekent dat P onwaar en dus P waar is. Dit bewijs is al 2000 jaar oud en werd door Euclides opgeschreven in zijn boek Elementen. Tautologie en equivalenties Je hebt in les 1 gezien dat de samengestelde propositie P Q precies dan waar is als P en Q dezelfde waarheidswaarden hebben. P en Q heten dan equivalent of gelijkwaardig. Vergelijk je de waarheidstabel van P Q met de waarheidstabel van P Q, dan zie je geen verschil. P Q P Q P Q Met andere woorden: ( P Q) en (P Q) hebben altijd dezelfde waarheidswaarden, wat de waarden van P en Q ook zijn. Ze zijn dus equivalent of gelijkwaardig. Dus mag je schrijven: ( P Q) (P Q) Hier staat weer een propositie. Als je van deze nieuwe propositie een waarheidstabel maakt, zie je dat de waarheidswaarde van ( P Q) (P Q) een tautologie is: P Q P Q P Q ( P Q) ( P Je hebt nu de volgende stelling in de logica gevonden: Als twee proposities P en Q equivalent zijn dan is P Q een tautologie. Opgave 2.2 a Toon aan met een waarheidstabel dat de samengestelde propositie (P Q) ( P Q) een contradictie is. b Toon aan met een waarheidstabel dat de samengestelde propositie (P Q) ( P Q) (P Q) een tautologie is.

15 15 Opgave 2.3 Gebruik waarheidstabellen om aan te tonen dat de volgende proposities tautologieën zijn. a (P P) P b (P P) P c ( P) P (wet van de dubbele ontkenning) d (P (P Q)) P e (P (P Q)) P f ((P Q) (Q R)) (P R) Contrapositie De contrapositie is een tautologie die vaak gebruikt wordt in bewijzen. Deze luidt: (P Q) ( Q P) Voorbeelden: Als c > 0, dan heeft x 2 + c = 0 geen oplossing. Contrapositie: Als x 2 + c = 0 een oplossing heeft, dan is c 0. Als een ruit een rechte hoek heeft, dan is de ruit een vierkant. Contrapositie: Als een ruit geen vierkant is, dan heeft die geen rechte hoek. Als een getal van minstens twee cijfers eindigt op 0, dan is het deelbaar door 2 of 5. Als een getal van minstens twee cijfers niet deelbaar is door 2 of 5, dan eindigt het getal niet op 0. Een zin en zijn contrapositie geven steeds dezelfde informatie. Het bewijs kan uiteraard weer geleverd worden met een waarheidstabel. P Q P Q Q P Merk op dat de propositie Q P niet de ontkenning is van P Q, maar een equivalentie van P Q. Opgave 2.4 Geef van de onderstaande zinnen de contrapositie: a Als in een driehoek geldt dat a 2 + b 2 = c 2, dan is de hoek tussen de zijden met lengte a en b een rechte hoek. b Als een getal deelbaar is door 6, dan is het deelbaar door 3. c Als x 2 = y 2, dan is x = y of x = y.

16 16 Les 3 Herleidingen Commutatieve regel (de verwissel eigenschap) Als je de waarheidstabellen van de conjunctie, disjunctie, bi-implicatie en exclusief-of goed bekijkt, kun je zien dat er een zekere symmetrie is. Als je namelijk de rol van P en Q verwisselt, blijven de waarheidstabellen correct. Dit betekent dat de volgende paren proposities gelijkwaardig zijn: P Q en Q P P Q en Q P P Q en Q P P Q en Q P Je kunt ook zeggen dat de volgende proposities tautologieën zijn: (P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (Q P) De logische bewerkingen,, en commutatief zijn. De bewerking is niet commutatief. Opgave 3.1 Laat met een waarheidstabel zien dat de implicatie niet commutatief is. Associatieve regel (de schakel eigenschap) De samengestelde propositie P Q R kun je op twee manieren lezen. Het gaat om de volgorde van uitwerken. Bij ((P Q) R) bereken je eerst P Q en daarna deze propositie in combinatie met R. Bij (P (Q R)) bereken je eerst. Q R en brengt dat in combinatie met P. P Q R P Q Q R (P Q) R P (Q R) Je ziet dat beide mogelijkheden gelijkwaardig zijn. De bewerking is associatief. Op vergelijkbare wijze kun je aantonen dat de bewerking associatief is. Opgave 3.2 Toon aan met een waarheidstabel dat de dat de bewerking associatief is.

17 17 Opgave 3.3 Toon aan met een waarheidstabel dat de implicatie niet associatief is. Distributieve regel (de verdeel eigenschap) Naast de commutatieve en associatieve eigenschap is er nog een derde belangrijke eigenschap van bewerkingen en wel de distributieve eigenschap. Een verschil met de vorige twee is dat er bij deze eigenschap nu twee bewerkingen een rol spelen. Er is een sterke overeenkomst met de regels voor optellen en vermenigvuldigen: 2 (3 + 4) = (2 3) + (2 4). In dit geval zeg je dat de vermenigvuldiging linksdistributief is over de optelling. De logische bewerkingen zijn rijk aan distributiviteit. Zo zijn bijvoorbeeld de volgende paren proposities gelijkwaardig: P (Q R) en (P Q) (P R) (P Q) R en (P R) (Q R) P (Q R) en (P Q) (P R) (P Q) R en (P R) (Q R) De eerste van de hiervoor genoemde eigenschappen ( is linksdistributief over ) kun je met een waarheidstabel bewijzen. Daarna zul je zien dat voor het bewijs van de tweede eigenschap ( is rechtsdistributief over ) geen waarheidstabel nodig is. P Q R Q R P Q P R P (Q R) (P Q) (P Hieronder volgt het bewijs van de tweede eigenschap ( is rechtsdistributief over ); de verantwoording staat weer tussen haakjes. (P Q) R R (P Q) ( is commutatief) R (P Q) (R P) (R Q) ( is links-distributief over, zie hierboven) (R P) (R Q) (P R) (Q R) ( is commutatief) Omdat zowel links- als rechtsdistributief is over, zeg je dat distributief is over. De distributiviteit van over kun je op dezelfde manier aantonen. Opgave 3.4 Pas een distributieve-eigenschap toe op de volgende zinnen: a x is even of x > 0 en x < 10 b x is even en x > 0 of x < 10

18 18 Opgave 3.5 Toon aan dat de propositie ((P Q) (Q R)) (P R) een contradictie is. Opgave 3.6 In gebouwen, bijvoorbeeld ziekenhuizen of bibliotheken, wordt bij de ingang vaak gebruik gemaakt van een luchtsluis om tocht te voorkomen. Er zijn dan twee deuren: een buitendeur en een binnendeur. Het is de bedoeling dat de deuren niet tegelijk open zijn. Soms moet je even wachten op het opengaan van de ene deur totdat de andere deur weer gesloten is. Maak de volgende afkortingen: A: de buitendeur is open B: de binnendeur is open. De deuren mogen dus niet tegelijk open staan., dus: ( A B) a b c Herschrijf deze samengestelde propositie volgens de wetten van de Morgan. Als het goed is heb je o.a. gebruik gemaakt van het -teken, dus het inclusieve OF. Is het juist dat je hier gebruik moet maken van het inclusieve OF? Wat zou het betekenen als hier het exclusieve OF had gestaan? Het is mogelijk om een samenstelling te maken met, en die dezelfde waarheidstabel oplevert als het exclusieve OF. Probeer zo n samenstelling te maken. Wetten van De Morgan Een aantal eigenschappen uit de logica heeft een speciale naam gekregen. De belangrijkste eigenschappen worden soms naar een persoon genoemd. Twee zeer belangrijke voorbeelden zijn de wetten van De Morgan, genoemd naar de Engelse wiskundige August de Morgan ( ): (P Q) P Q En (P Q) P Q Door middel van waarheidstabellen is het bewijs van de wetten van De Morgan eenvoudig te geven. P Q (P Q) P Q P Q (P Q) P Q De wetten van De Morgan zijn vaak handig bij het ontkennen van proposities. R is de samengestelde propositie: x is een priemgetal (P) en x > (Q). De propositie R = P Q. Bij de ontkenning van R is kun je de wetten van de Morgan toepassen:

19 19 R (P Q) P Q. In woorden luidt de ontkenning van R: x is geen priemgetal of x Opgave 3.7 Toon aan, zonder gebruik te maken van waarheidstabellen, dat P Q equivalent is met de ontkenning van (P Q). Je mag gebruik maken van eerder behaalde resultaten. Opgave 3.8 Pas een wet van de Morgan toe op de onderstaande zin (geef dus een gelijkwaardige zin nadat je de Morgan hebt toegepast): Je vooropleiding is niet havo of vwo. Opgave 3.9 De bovenstaande strip gaat over vrouwen met kinderen. Deze tekst bevat twee proposities: H: ze is hoger opgeleid T: ze blijft thuis Er wordt schande gesproken van H T. Zusje zegt eigenlijk (H T ) Is haar besluit het enige juiste volgens de wereld van de logica?

20 20 Schakelingen Tussen de rekenregels van de logica bestaat een sterke overeenkomst met het rekenen van elektrische schakelingen. Een elektrische schakelaar kan AAN staan en stroom doorlaten of UIT staan en stroom blokkeren. Je kunt die twee standen aangeven met een 1 (AAN) of een 0 (UIT). Je kunt schakelaars op twee manieren combineren. In serie staan de schakelaars achter elkaar: Je schrijft: x y. Of parallel, de schakelaars staan naast elkaar. Dat schrijf je als x + y. In de figuur zie je hoe het werkt. Met tabellen kun je de werking van een schakeling aangeven. Een 1 betekent dat de schakeling stroom doorlaat en een 0 dat er geen stroom door de schakeling gaat. x Y x y x y x + y Ook bestaan schakelaars die het omgekeerde doen: als er stroom op de schakelaar staat, blokkeert de schakelaar en als er geen stroom op staat, laat die juist door. Denk bijvoorbeeld

21 21 aan de noodverlichting in een gebouw. Als de stroom uitvalt gaat de noodverlichting aan en als de stroom weer terugkomt, gaat de noodverlichting uit. Deze schakelaars geef je aan met x. De schakeltabel is: x x Opgave 3.10 a Schrijf een formule bij de volgende schakeling en maak de schakeltabel bij deze schakeling: b Beredeneer de uitkomst aan de hand van de schakeling zelf. Opgave 3.11 Teken een schakeling bij de volgende formule: ( x + y) x en maak de schakeltabel bij deze schakeling. Schakelalgebra Schakelingen en hun tabellen hebben dezelfde reken- eigenschappen als proposities. Het voordeel van schakelalgebra is dat de notatie eenvoudiger is en meer aansluit bij wat we gewend zijn. Aan de schakelingen voegen we nog twee bijzondere schakelingen toe: de 0 en de 1. De 0 is de schakeling die geen stroom doorlaat, de 1 is de schakeling die wel stroomdoorlaat. In propositietaal: de 0 is de contradictie en de 1 is de tautologie. De rekenregels zijn: Commutatief: x + y = y + x x y = y x distributief: x (y + z) = (x y) + (x z) x + (y z) = (x + y) (x + z) neutrale elementen: x + 0 = x x 1 = x negatie: x + x = 1 x x = 0 Met deze regels kun je een schakeling tot een eenvoudiger schakeling herleiden. Bij de schakeling bij opgave 3.7 past de formule (x + y) ( x + y ). Deze kun je als volgt herleiden: (x + y) ( x + y ) = (x + y) x + (x + y) y = x x + y x + x y + y y = 0 + y x + x y + 0 = y x + x y. De schakeltabel is nu: x y y x x y y x + x y

22 22 Opgave 3.12 Maak een schakeling en een schakeltabel bij de volgende formules. a x + (y z) b x (y + z) c (x + y) (x + (z y)) Opgave 3.13 Maak een formule en schakeltabel bij de volgende schakelingen. a b c

23 23 Les 4 Predicatenlogica Tot nu toe heb je gewerkt met proposities. Dit onderdeel heet dan ook propositielogica. Nu komen open beweringen of predicaten aan bod. Dit heet de predicatenlogica. Voorbeelden van open beweringen of predicaten zijn: x 1 > 0 x 2 + 2x 5 < 0 y = 2x (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Open beweringen bevatten één of meer letters die nog geen vaste waarde hebben. Van open beweringen kun je dus ook niet zeggen of ze waar of onwaar zijn. Het zijn geen proposities. Zodra je getallen hebt ingevuld, wordt de open bewering een propositie, die waar is of waar is. Je kunt het predicaat 2(x 6) = 18 bijvoorbeeld noteren met P(x). Substitueer je voor x achtereenvolgens 4, 15 en 26, dan krijg je de proposities P(4),P(15) en P(26). Van deze drie proposities is P(15) waar en zijn P(4) en P(26) niet waar. De Al-kwantor Bekijk weer de onderstaande voorbeelden: x 1 > 0 x 2 + 2x 5 < 0 y = 2x (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Alleen het predicaat (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 geldt voor alle waarden van a en b. De overige gelden niet voor alle waarden. De wiskunde heeft een speciaal symbool om dit aan te geven:. Je spreekt dit symbool uit als: voor alle. Dit is de zogenaamde al-kwantor, ook wel universele kwantor genoemd. Bij een al-kwantor speelt altijd een verzameling een rol waarvoor de kwantor geldig is. Voorbeeld 1 Laat P( x) de propositie x + 7 > 9 zijn en V de verzameling die bestaat uit vier elementen: 4, 7, 23 en 34, dus V = {4, 7, 23, 34}. Dan zijn de proposities P(4), P(7), P(23) en P(34) alle waar. Je zegt dat voor elke x uit V het predicaat een ware propositie is. Symbolisch schrijf je dit als volgt: P() x is waar. P() x is dus een ware propositie! x V Voorbeeld 2 De propositie Alle zesvouden zijn deelbaar door 3 kun je als volgt formeel opschrijven. V is de verzameling van zesvouden. P(n) is het predicaat n is deelbaar door 3 P( n) is de ware bewering. n V x V

24 24 Opgave 4.1 Je kunt voorbeeld 2 ook anders opschrijven. Stel V(n) is het predicaat n is een zesvoud. Schrijf nu Alle zesvouden zijn deelbaar door 3 in een formele notatie met behulp van een implicatie en de al-kwantor. De existentiële kwantor Een predicaat P(x) hoeft natuurlijk niet altijd voor alle waarden van x een ware propositie op te leveren. Neem de vergelijking 2x = 3x 2 7 en 3x + 5 = 3x 5 en noem ze respectievelijk P(x) en Q( x). Het is duidelijk dat de eerste vergelijking wel oplossingen heeft en de tweede vergelijking niet. Om aan te geven dat er waarden van x R bestaan waarvoor P(x) een ware propositie is, kun je de existentiële kwantor gebruiken:. Je spreekt dit symbool uit als: er is een. De propositie P(x): 2 2 (2 x + 5 = 3 x 7) x R + 5 = 3x 2 7. Lees dus een en niet één, want er zijn meer oplossingen. De tweede vergelijking heeft geen oplossingen, dus de propositie Q(x): ( 3 x+ 5 = 3 x 5) x R is niet waar. lees je als: er is een (reële) x waarvoor geldt 2x 2 Er is dus geen enkele x waarvoor Q( x) waar is, m.a.w. voor alle x is Q( x) niet waar. Opgave 4.2 Laat door uitschrijven in woorden zien dat ( 3x+ 5 = 3x 5) x R ( 3x+ 5= 3x 5) en dat dit weer gelijkwaardig is met ( 3x+ 5 3x 5) x R x R gelijkwaardig is met Opgave 4.3 Met betrekking tot P(x) kun je iets dergelijks opmerken. Niet alle waarden van x zijn oplossingen, dus er zijn waarden van x die geen oplossing zijn. a Schrijf dit predicaat formeel met een ontkenning van de al-kwantor. b En schrijf dit vervolgens formeel met een existentiële kwantor. Heel stiekem is De Morgan binnen geslopen. De Morgan? Jawel! Neem maar eens de verzameling V = {1, 2, 3, 4}. Je kunt de propositie P() x schrijven als P(1) P(2) P(3) P(4). De propositie x x V P() x kun je schrijven als P(1) P(2) P(3) P(4). V De ontkenning ( P1 () P2 () P3 ( ) P4 ( )) kun je met De Morgan schrijven als P(1) P(2) P(3) P(4) Dus P() x is gelijkwaardig met P() x. x V x V.

25 25 Opgave 4.4 De Franse advocaat Pierre de Fermat, was een enthousiast wiskundige, die veel wiskunde in zijn vrije tijd bedreef. Hij kwam omstreeks 1625 met het volgende vermoeden: (2 n) (2 + 1) n N is een priemgetal. Een priemgetal heeft slechts twee delers, het getal 1 en het getal zelf. a Bereken welke uitkomst je krijgt voor n = 5. b De wiskundige Euler ontdekte in 1732 dat voor n = 5 het vermoeden niet klopt. Hij ontdekt dat het getal dat ontstaat door n = 5 in te vullen deelbaar is door 641. Laat zien dat Euler gelijk had. c Dus het vermoeden van de Fermat was onjuist. Je kunt nu dus schrijven: (2 ) (2 n 1) n N + Herschrijf de propositie hierboven, m.b.v. het -symbool. Soms tref je meer kwantoren in één propositie aan. Je weet dat er oneindig veel priemgetallen zijn door te bewijzen dat je bij elk priemgetal een groter priemgetal kunt vinden. Stel P is de verzameling van priemgetallen. Je kunt deze propositie dan als volgt samenvatten: ( m> n) n Pm P Opgave 4.5 Breng de volgende propositie onder woorden en onderzoek de waarheid ervan ( m> n). P P n m Opgave 4.6 Hieronder staat een aantal open beweringen. Voeg één of meer kwantoren toe op de stippeltjes, zodanig dat er een ware propositie ontstaat. a x 2 = x b. y= 2x c x + y = 25 Opgave 4.7 Ga de waarheidswaarde na van de volgende proposities. Als er geen verzameling staat vermeld, werk je in de verzameling R: a ( xy= 1) x y b (( x> y ) ( x< y ) ( x= y) ) x y c ( x + y = z xyz= 0) x 0y 0z 0 d ( y+ x= y) x y Opgave 4.8 Wat kun je zeggen over de waarheidswaarde van de volgende proposities y+ x >? 2 ( 0) x y y+ x > en 2 ( 0) x y

26 26 Extra oefenopgaven Opgave 4.9 Toon aan dat de volgende propositie een tautologie is. Geef bij elke stap een verantwoording. (Q R) ( Q (R S )) Opgave 4.10 Toon aan dat de propositie ((P Q) (Q R)) (P R) een contradictie is. Verantwoord alle stappen. Opgave 4.11 Schrijf de propositie (P Q) uitsluitend met de bewerkingen en. Opgave 4.12 Bepaal de waarheidswaarde van de volgende proposities. Geef een toelichting. 2 a (10 + t = 4 t) t 2 68 b (2 p +7p+7> ) p 79 2 c ( x = y + 1) y x