Het Oudbabylonisch kleitablet AO 8862 uit het Louvre
|
|
- Thijmen van der Velde
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Het Oudbabylonisch kleitablet AO uit het Louvre Hieronder staan afbeeldingen en vertalingen van de vier rechthoekszijden van een rechthoekig blok no. AO uit het Louvre in Parijs. De tekeningen (op ware grootte) zijn ontleend aan O. Neugebauer, Mathematische Keilschrift-Texte, Berlin: Springer,, deel, Tafels -, en de vertalingen zijn gebaseerd op Neugebauer s Duitse vertalingen op pp. - van deel van het genoemde werk. Het blok is aan vier kanten beschreven tussen 000 en 00 v. Chr. Het is, cm hoog en, cm breed. De kleine cijfertjes aan het begin van de regels zijn regelnummers in de tekening. Woorden tussen haakjes zijn toegevoegd, evenals enkele getallen in gepunte haken < >. De getallen kun je zelf in de tekening herkennen, waarbij het je zal opvallen dat de tablet op veel plaatsen een beetje beschadigd is. De oud-babylonische sexagesimale schrijfwijze is gehandhaafd, dus bijv. zou kunnen betekenen 0 +, of ook + of Hoe het 0 0 gehele deel van het breukdeel zou kunnen worden gescheiden is niet aangegeven (misschien zijn verschillende interpretaties mogelijk; de lege stukken tussen de sexagesimalen zouden misschien iets kunnen zeggen.)
2 Vertaling van het blok: Kant I Lengte, breedte. Lengte en breedte heb ik vermenigvuldigd en zo de oppervlakte gemaakt. Wat de lengte over de breedte uitsteekt heb ik bij de oppervlakte opgeteld en (er komt). Verder, lengte en breedte opgeteld (is). Wat zijn de lengte en de breedte? lengte breedte de sommen oppervlakte Jij bij je methode, de som van lengte en breedte 0 optellen, er komt 0. Nu bij optellen, (er komt). De helft van afbreken 0 maal 0 (is) 0 Van 0 0 aftrekken is het verschil. heeft 0 als kwadraat (wortel) Nu 0 bij de eerste 0 optellen, er komt als lengte 0 van de tweede 0 0 aftrekken, er komt als breedte die je bij opgeteld hebt van, de breedte, aftrekken is de uiteindelijke breedte., de lengte en, de breedte heb ik vermenigvuldigd maal is de oppervlakte lengte over breedte wat steekt het uit? steekt het uit; deze bij de oppervlakte optellen is het resultaat. 0 Lengte, breedte. Lengte en breedte heb ik vermenigvuldigd en zo de oppervlakte gemaakt. Daarna de helft van de lengte en een derde van de breedte bij mijn oppervlakte opgeteld en (er komt) Verder, lengte en breedte opgeteld (is)
3 (Kant II) Wat zijn de lengte en de breedte? Jij bij je methode... omgekeerde van de helft... omgekeerde... deel keer je om. De -de deel daarvan, 0, breek je af 0 maal (is) 0 voor de som van lengte en breedte breng ik, en 0 0 van, mijn som aftrekken 0 is het verschil Het gaat niet verder. en heb ik vermenigvuldigd maal (is) Het -de deel levert 0 aan je 0 van... je som van lengte en breedte aftrekken 0 is het verschil de helft daarvan... breek je af 0 geeft dit je als resultaat tot zijn tweede verhef je; maal is 0 < >. Daarvan 0 aftrekken 0 is het verschil bij de eerste optellen: (er komt) 0 en wat ik van de som van lengte en breedte afgetrokken heb 0 tel je bij <0> op is de lengte. Van de tweede aftrekken: (is) de breedte de sommen lengte oppervlakte breedte Lengte, breedte. Lengte en breedte heb ik vermenigvuldigd en zo de oppervlakte gemaakt
4 Jij bij je methode 0, de som van lengte en breedte 0 0 maal 0 (is) 0 Van 0 0 de oppervlakte aftrekken: (er komt) 0 Het gaat niet verder. De helft, van 0, breek je af. 0 maal 0 (is) 0 bij 0 optellen. heeft 0 als kwadraatwortel 0 hoeveel steekt dit boven 0 uit? 0 steekt het uit. 0 bij 0 optellen: is de lengte. 0 van 0 aftrekken: 0 0 is de breedte Lengte, breedte. Lengte en breedte heb ik vermenigvuldigd, en zo de oppervlakte gemaakt Verder, de lengte en de breedte heb ik opgeteld en (het is) aan de oppervlakte gelijk. Lengte, breedte en oppervlakte heb ik opgeteld, (er komt). Wat zijn de lengte, breedte en oppervlakte? Van 0 ashlu afstand heeft e e n man hopen tegels 0 hier naartoe gebracht; ban koren heb ik hem (als totaal loon) gegeven. Nu heeft de bouwmeester mij opgedragen dit te organiseren mensen heb ik erbij geroepen de ene heeft een (bepaalde) hoeveelheid de tweede twee maal zoveel de derde drie maal zoveel de vierde vier maal zoveel de vijfde vijf maal zoveel 0 hier naartoe gebracht. (Kant III) Verder, wat de lengte over de breedte uitsteekt heb ik met de som van de lengte en mijn (breedte) vermenigvuldigd daarbij heb ik mijn oppervlakte opgeteld: (er komt) 0. Verder heb ik lengte en breedte opget... (er komt) de sommen lengte 0 oppervlakte 0 breedte ashlu is ongeveer meter hoop tegels is altijd 0 tegels Een ban is een inhoudsmaat, ca.. liter
5 (Kant IV) Die eenmaal (de hoeveelheid) hier naartoe gebracht heeft zoveel tegels hij afgeleverd heeft zoveel koren heb ik hem gegeven 0 0 ko(ren) Over 0 ashlu heeft e e n man zestigtallen tegels hier naartoe gebracht. ban koren gaf ik hem. Nu heeft de bouwmeester mij opgedragen dit te organiseren mensen heb ik erbij geroepen 0 De eerste heeft zevenmaal een bepaalde hoeveelheid de tweede elf maal (die hoeveelheid) de derde dertien maal (die hoeveelheid) de vierde veertien maal (die hoeveelheid) hier naartoe gebracht. Zoveel tegels hij afgeleverd heeft, zoveel koren heb ik hem gegeven koren Hierna volgt een opgave over tegels die door een aantal mensen gedurende een aantal dagen getransporteerd moeten worden. De tekst is zo beschadigd dat de opgave niet meer te reconstrueren is.
6 Commentaar: Het tablet is bijzonder niet alleen omdat er een aantal problemen opstaan die equivalent zijn met een kwadratische vergelijking, maar ook omdat er dan een oplosmethode gegeven wordt. Op veel andere tabletten staan opgaven met alleen oplossingen zonder methode. Kant I. Het probleem kan in moderne termen geschreven worden als xy + (x y) = = 0 +, x + y =. Men probeerde zulke problemen door een geschikte substitutie (dit is natuurlijk een anachronisme, bedoeld om de tekst in eerste instantie wiskundig te interpreteren, en niet om de denkwijze van de auteurs te begrijpen) te herleiden tot x + y = p, x y = q, die dan werden opgelost met een standaardrecept: x en y zijn p ± ( p ) q. In dit geval is de substitutie x = x, y = y + met p =, q = + = 0. De achtergrond van deze redeneringen was waarschijnlijk meetkundig, met vierkanten en rechthoeken; zo moet ook het standaardrecept zijn ontdekt. Het is duidelijk dat het om de methode gaat; de oplossing x =, y = kan eenvoudig met trial en error gevonden worden. Het leuke aan dit probleem is dat er ook een andere oplossing x =, y = is (die ongetwijfeld aan de opstellers bekend geweest is). Kant I, regels 0 en verder en kant II. Dit probleem is equivalent met x + y + xy =, x + y =, hetgeen wordt aangepakt met de substitutie x = x, y = y met p =, q = =. Regels - zijn niet erg duidelijk. Het probleem heeft oplossingen x =, y = en ook x =, y =. Het probleem zou evengoed kunnen worden aangepakt met de substitutie x = x, y = y +. Kant II, regels e.v., en Kant III. Dit probleem is equivalent met (x y)(x + y) + xy = 00, x+y = 00 (met oplossingen x = 0, y = 0) of met (x y)(x+y)+xy =, x+y =, met oplossingen x =, y =, naar keuze. Ik gebruik de eerste interpretatie. x = 00 y substitueren levert een kwadratische vergelijking y(y+00) = = 00 = Dit leidt tot een ander standaardprobleem x y = q, x y = p met p = 00, q = 00 met een standaardoplossing x = p + ( p ) + q, y = p + ( p ) + q. NB op deze manier verwijderen we ons waarschijnlijk heel erg van de denkmethode van de auteurs. Kant III, regels -: hier staat alleen een probleem zonder oplossing, te interpreteren als xy = x + y, xy + (x + y) = met oplossingen x =, y = of omgekeerd. Kant III, regels e.v.: De rest van het blok staan verdelingsproblemen. In het eerste probleem moet a = worden uitgerekend en dan n voor a n. a In de kolommen staan de gegevens: de afstand 0, het aantal delen voor elke arbeider, de hoeveelheid tegels, en de hoeveelheid korens (in de tweede en derde kolom een plaats te hoog aangegeven). De hoeveelheid koren wordt aangegeven in qa. Hierbij moet je weten dat ban = 0 qa. Kant IV, regel e.v.: nog zo n opgave, met ingewikkeldere gegevens.
Babylonische kleitabletten
1 2 HOOFDSTUK 1. BABYLONISCHE KLEITABLETTEN Hoofdstuk 1 Babylonische kleitabletten 1.1 Vermenigvuldigen en delen 1.1. VERMENIGVULDIGEN EN DELEN 3 Bestudeer deze afbeeldingen van Babylonische kleitabletten
Nadere informatieBabylonische kleitabletten
2 HOOFDSTUK 1. BABYLONISCHE KLEITABLETTEN Hoofdstuk 1 Babylonische kleitabletten 1.1 Vermenigvuldigen en delen 1.1. VERMENIGVULDIGEN EN DELEN 3 Bestudeer deze afbeeldingen van Babylonische kleitabletten
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatie5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2
Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatie3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieTips Wiskunde Kwadratische vergelijkingen: een uitgebreid stappenplan
Tips Wiskunde Kwadratische vergelijkingen: een uitgebreid stappenplan Tips door F. 738 woorden 18 januari 2013 5,9 25 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte Stappenplan voor oplossen van
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatieDe wortels van de algebra
De wortels van de algebra Voordracht gehouden op de NWD - Bronnen en oefenmateriaal J.P. Hogendijk Vakgroep wiskunde, universiteit Utrecht Samenvatting Dit artikel bevat bronnenmateriaal en vertalingen
Nadere informatieinhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2
handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor
Nadere informatieDeel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen
Deel C Breuken vermenigvuldigen en delen - 0 Sprongen op de getallenlijn. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot. Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes. 0 Welk eindpunt wordt bereikt
Nadere informatieAntwoordmodel - Kwadraten en wortels
Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Schrijf je antwoorden zo volledig mogelijk op. Tenzij anders aangegeven mag je je rekenmachine niet gebruiken. Sommige vragen zijn alleen voor het vwo, dit staat aangegeven.
Nadere informatieANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999
ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatieWortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)
1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatieWat betekenen de getallen? Samen bespreken. Kies uit kilometer, meter, decimeter of centimeter.
70 blok 5 les 23 C 1 Wat betekenen de getallen? Samen bespreken. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 60 981 540 C 2 Welke maten horen erbij? Samen bespreken. Kies uit kilometer, meter, decimeter of centimeter.
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000
Nadere informatie5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking
5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in
Nadere informatieRekenen met letters. RGO-Middelharnis 1. 1 c RGO-wiskunde
Rekenen met letters RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1 Inhoudsopgave 2 1 Korter schrijven 1 Korter schrijven 7 + 7 + 7 + 7 = 4 7 8 + 8 + 8 + 8 = 4 8 9 + 9 + 9 + 9 = 4 9 Zoals de drie regels hierboven
Nadere informatieHet oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule
Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule door Pierre van Arkel Dit verslag is een voorbeeld hoe bij wiskunde een verslag er uit moet zien. Elk schriftelijk verslag heeft een titelblad.
Nadere informatieNovum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en):
Wiskunde, LTP leerjaar 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 26 De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert
Nadere informatieRekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan
Nadere informatie7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]
7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] Voorbeeld: Getekend zijn de grafieken van y = x 2 4 en y = x + 2. De grafieken snijden elkaar in de punten A(-2, 0) en B(3, 5). Controle voor x = -2 y = x 2 4 y = x
Nadere informatieHoofdstuk 1: Basisvaardigheden
Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen
Nadere informatie1.3 Rekenen met pijlen
14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij
Nadere informatie7 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31,
Hoofdstuk.0 INTRO De som is, of 0, of. Dat zijn de enige met vier mogelijkheden, zie eerste twee kolommen. Som Mogelijkheden Product Manieren om het product te schrijven + 8 + 7 + + 5 8 8 0 8 of 7 of 5
Nadere informatieDomein A: Inzicht en handelen
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het
Nadere informatiex = 12 of x = -12 x = 5 of x = -5 x = 5 of x = -7 x = 7 of x = x = 2 15 a x(x + 10) = 600 b x = 20 meter 16 x(x + 5) = 24, dus x = 3
Hoofdstuk VWO.0 INTRO De som is, of 0, of. Dat zijn de enige met vier mogelijkheden, zie eerste twee kolommen. Som Mogelijkheden Product Manieren om het product te schrijven + 8 + 7 + + 5 8 8 0 8 of 7
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x).
Nadere informatieWortels en kwadraten
Blok. Wortels en kwadraten kwadrateren en worteltrekken. Reken uit. a Met tegels van 0 cm bij 0 cm wil je een vierkant terras leggen van 0 cm bij 0 cm. Hoeveel tegels heb je nodig?... b Je legt met tegels
Nadere informatieOefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen
Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen l. e omtrek van een rechthoek is 8 m en de diagonaal 10 m. Welke afmetingen heeft deze rechthoek?. Bereken x zodat de opp van de rechthoek even groot
Nadere informatieGroep 6. Uitleg voor ouders (en kinderen) over de manieren waarop rekenen in groep 6 aan bod komt. Don Boscoschool groep 6 juf Kitty
Groep 6 Uitleg voor ouders (en kinderen) over de manieren waarop rekenen in groep 6 aan bod komt. Getalbegrip Ging het in groep 5 om de hele getallen tot 1000, nu wordt de getallenwereld uitgebreid. Naast
Nadere informatieInhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100
1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder
Nadere informatiehandleiding ontbinden
handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieBabylonische rekenkunst
Panama Praktijktip nummer 98 Babylonische rekenkunst M. Kindt Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht Het vak rekenen-wiskunde bestaat al heel lang, wel zo n vierduizend jaar! Dat weten we van de kleitabletten
Nadere informatieLeerlijnen groep 6 Wereld in Getallen
Leerlijnen groep 6 Wereld in Getallen 1 REKENEN Boek 6a: Blok 1 - week 1 - buurgetallen - oefenen op de getallenlijn Geld - optellen van geldbedragen - aanvullen tot 10 105 : 5 = 2 x 69 = - van digitaal
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieTOETS REKENEN / WISKUNDE. Naam:... School:...
TOETS REKENEN / WISKUNDE Naam:... School:... Datum:... Groep:... 1A. Hoofdrekenen: optellen en aftrekken Reken de sommen op je eigen manier uit. Gebruik het kladblaadje als je een tussenstap wilt noteren.
Nadere informatiei By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.)
Mathematics. - Over de benadering van ~ in de Aegyptische meetkunde. i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.) 1. In het onderstaande
Nadere informatiewiskunde C pilot vwo 2017-I
wiskunde C pilot vwo 207-I De formule van Riegel en kilometertijden maximumscore 3 4 minuten en 52 seconden komt overeen met 292 seconden,07 0000 T2 = 292 2223 (seconden) (of nauwkeuriger) 500 Dat is 37
Nadere informatiex = - 5 voldoet niet. De tennisbal komt na 25 meter op de grond.
8 Leereenheid 1.1 Ontbinden en vergelijken ----- 6 Formuleer de wetmatigheid in de uitkomsten van de volgende sommen, nadat je deze met behulp van computeralgebra hebt berekend. a (x-l)4= d (x-lr= b (x
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieTussendoelen in MathPlus
MALMBERG UITGEVERIJ B.V. Tussendoelen in MathPlus Versie 1 Inhoud Tussendoelen onderbouw in MathPlus... 2 Tabel tussendoelen... 2 1HVG... 7 Domein Rekenen... 7 Domein Meten en tekenen... 9 Domein Grafieken
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieOp stap naar 1 B Minimumdoelen wiskunde
Campus Zuid Boomsesteenweg 265 2020 Antwerpen Tel. (03) 216 29 38 Fax (03) 238 78 31 www.vclbdewisselantwerpen.be VCLB De Wissel - Antwerpen Vrij Centrum voor Leerlingenbegeleiding Op stap naar 1 B Minimumdoelen
Nadere informatieRekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO
Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)
Nadere informatieH1 Haakjes wegwerken, ontbinden in factoren
H1 Haakjes wegwerken, ontinden in factoren 1.1 Haakjes wegwerken In wiskundige uitdrukkingen komen vaak haakjes voor. In deze paragraaf komen de rekenregels aan de orde met etrekking tot het wegwerken
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde B. Voorbereidende opgaven VWO. Haakjes. Machten
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde B Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieCursus rekenen gevorderden. ROC Nijmegen vierde bijeenkomst 4 oktober 2011
Cursus rekenen gevorderden ROC Nijmegen vierde bijeenkomst 4 oktober 2011 Programma Huiswerk Domein meten Domein meetkunde Domein verbanden deel 1 HUISWERK Huiswerk Werk een eigen voorbeeld van rekenen
Nadere informatieREKENEN WORDT WISKUNDE
REKENEN WORDT WISKUNDE Tine Wijnants Actieonderzoek Bachelor Secundair Onderwijs, KHLim Waarom haken sommige leerlingen af tijdens de lessen wiskunde? Wat maakt het Secundair Onderwijs zo anders dan het
Nadere informatieRuitjes vertellen de waarheid
Ruitjes vertellen de waarheid Opdracht 1 Van fouten kun je leren Van fouten kun je leren, jazeker. Vooral als je héél goed weet wat er fout ging. Vandaag leer je handige formules begrijpen door kijken
Nadere informatieOpdracht 2.1 a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde grootte te krijgen.
Uitwerkingen hoofdstuk Gebroken getallen. Kennismaken met breuken.. Deel van geheel Opdracht. a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde
Nadere informatieAntwoorden bij Rekenen met het hoofd
Antwoorden bij Rekenen met het hoofd Hoofdstuk Basisbewerkingen. Bewerkingen in beeld a. : splitsen in 5 en. Eerst min 5, dan min 0 en tenslotte nog min : splitsen in 5 en, die uitvoeren en dan nog stapsgewijs
Nadere informatieProducten, machten en ontbinden in factoren
Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen
Nadere informatie3 Formules. 8 x 6 = x 3 = 12. r-w-w b-w-w g-w-w r-w-r b-w-r g-w-r r-z-w b-z-w g-z-w r-z-r b-z-r g-z-r 6 x 7 = x 100 = 500.
31 32 1 2 8 x 6 = 48 3 Formules 4 x 3 = 12 r-w-w b-w-w g-w-w r-w-r b-w-r g-w-r r-z-w b-z-w g-z-w r-z-r b-z-r g-z-r 6 x 7 = 42 12 5 x 0 = 500 5 0 12 x 150 = 1800 12 12 x 200 = 2400 1440 : 12 = 120 3 4 29
Nadere informatieAfbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6.
Hoofdstuk 12 Cartesische coördinaten 157 Hoofdstuk 12 CARTESISCHE COÖRDINATEN In dit hoofdstuk behandelen we: Het Cartesisch coördinatenstelsel De X-as en de Y-as De commutatieve eigenschap van optellen
Nadere informatie7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte
1 Tekenen in roosters Kern 1 Tegelvloeren Kern 2 Oppervlakte Kern 3 Het assenstelsel Kern 4 Rechthoeken 2 Rekenen Kern 1 De rekenmachine Kern 2 Voorrangsregels Kern 3 Afronden Kern 4 Afronden 3 Grafieken
Nadere informatieDe wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.
98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden
Nadere informatie3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5-3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 3 = -15 Voorbeeld 4: -5 3 9 2
Nadere informatie20 De leerling leert alleen en in samenwerking met anderen in praktische situaties wiskunde te herkennen en te gebruiken om problemen op te lossen
Onderwerp: Kwadraten en Wortels H1 19 De leerling leert passende wiskundetaal te gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan anderen, en leert de wiskundetaal van anderen te begrijpen.
Nadere informatieTussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken
Nadere informatieOefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen
Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen l. e omtrek van een rechthoek is 8 m en de diagonaal 10 m. Welke afmetingen heeft deze rechthoek?. Bereken x zodat de opp van de rechthoek even groot
Nadere informatieBabylonische rekenkunst
Panama Praktijktip nummer 8 Babylonische rekenkunst M. Kindt Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht Het vak rekenen-wiskunde bestaat al heel lang, wel zo n vierduizend jaar! Dat weten we van de kleitabletten
Nadere informatieVergelijkingen met één onbekende
- 89 - Hoofdstuk 3: ergelijkingen met één onbekende Opgave boek pag 67 nr. 5: Los op in R a. 3 ( + ) 4 7.................. {... }... proef : 1 e lid :... e lid :... b. ( 3 ) + 7 5 ( )........................
Nadere informatie16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3
Hoofdstuk 6 HAAKJES VWO 6.0 INTRO 6. TREK AF VAN 8 a b De uitkomsten zijn allemaal. c (n + )(n ) (n + )(n ) = d - - = -0,75 -,75 = b De uitkomsten zijn allemaal. c n + (n + ) (n + ) = + 6 4 4 = 6 4 = d
Nadere informatie7 a patroonnummer a patroonnummer a h = z
Hoofdstuk 3 FORMULES 3.1 PATRONEN EN FORMULES 3 a 10 22 c? d De beweringen a b = b a en a + b = b + a zijn juist. e 15 a 12 a 18 a f a + 8 10 + a a + 14 b zijde vierkant 3 4 5 6 7 aantal gekleurde hokjes
Nadere informatie16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3
Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO 16.0 INTRO 16.2 TREK AF VAN 8 a 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3 1111d 1 2-2 2-1 2= -0,75-3,75 = 3 2 b De uitkomsten zijn allemaal 2. c n 2 +
Nadere informatieHet leek ons wel een interessante opdracht, een uitdaging en een leuke aanvulling bij het hoofdstuk.
Praktische-opdracht door een scholier 2910 woorden 3 mei 2000 5,2 46 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wiskunde A1 - Praktische Opdracht Hoofdstuk 2 1. Inleiding We hebben de opdracht gekregen een praktische
Nadere informatieBabylonisch rekenen. Jan van de Craats (UvA, OU)
Babylonisch rekenen Jan van de Craats (UvA, OU) De oude Babyloniërs die een kleine vierduizend jaar geleden Mesopotamië (het huidige Irak) bewoonden, moeten keien in de wiskunde zijn geweest. Ze kenden
Nadere informatieRekenen met letters deel 2
Rekenen met letters deel 2 Sectie wiskunde RGO RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1 1 Herhaling 2 1 Herhaling 3a (a + 2b) 4b 3a ( 3a 3b) 3b 2a (a 2b) + 3a 2a + 3b ( 2a + 3b) a + (a 2b) 4b b (4a 2b) a
Nadere informatiew e r k b o e k a n t w o o r d e n blok De Klimboom Een nieuw schoolplein. Hoeveel tegels samen? Eerst schatten, dan precies.
jaargroep a n t w o o r d e n Zwijsen reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs blok De Klimboom w e r k b o e k = Een nieuw schoolplein. Hoeveel samen? Eerst schatten, dan precies. Les Overal getallen
Nadere informatieSTOF VOOR SCHOOLEXAMEN 1
STOF VOOR SCHOOLEXAMEN 1 Nederlands Hoofdstuk 1 en 2. Lezen Taal en woordenschat Grammatica en spelling Schrijfopdracht (zakelijke e-mail) Geldt voor alle niveaus. Engels Het eerste schoolexamen Engels
Nadere informatieRekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en Rekenen en ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal Vaktaal herkennen en voor het ordenen van herkennen en voor het ordenen van herkennen en voor het ordenen van
Nadere informatieAntwoorden Wiskunde Kwadraten en wortels
Antwoorden Wiskunde Kwadraten en wortels Antwoorden door een scholier 1076 woorden 16 maart 2016 4,9 19 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte 1. Bij x = 3 hoort y = 15 Bij x = 0 hoort y
Nadere informatieVerkorte versie van de SYLLABUS REKENEN 2F EN 3F (VO en MBO, versie mei 2015) Aanpassing van product van CvTE
Verkorte versie van de SYLLABUS REKENEN 2F EN 3F (VO en MBO, versie mei 2015) Aanpassing van product van CvTE 1. Inleiding Vanaf 1 oktober 2015 gelden nieuwe afspraken omtrent het rekenexamen 3F. De exameneisen
Nadere informatied x = (3,9) ; (- 2 5 a
H9 PARABOLEN HAVO 9. INTRO ab c d = - (,9) ; (-,-6) 5 a 9. PARABOLEN a 6 b y = (6 ) c bd d e = c a y = ( + 5) b e Dalparabool als c >, een bergparabool als c
Nadere informatieVertaling van een gedeelte uit het Korte Boek over het Rekenen met Restauratie en Confrontatie (al-kitāb al-mukhtaṣar fī l-jabr wa l-muqābala)
Vertaling van een gedeelte uit het Korte Boek over het Rekenen met Restauratie en Confrontatie (al-kitāb al-mukhtaṣar fī l-jabr wa l-muqābala) van Muḥammad ibn Mūsā al-khwārizmī (ca. 830). De onderstaande
Nadere informatiePTA wiskunde BBL - Kijkduin Statenkwartier - cohort 13-14-15
A. Schoolexamen derde leerjaar, 2013-2014 1 SE 1 De volgende onderdelen worden getoetst: PCS Schriftelijk 90 min ja 2,0 Hoofdstuk 1: Plaats en afstand. 301B Algebraïsche verbanden en WI/K/4 * * * aanzichten
Nadere informatieRekenvaardigheden voor het vak natuurkunde
VWO Inhoud Formules uitrekenen... 2 Balansmethode... 2 Categorie eenvoudig... 3 Categorie moeilijker... 4 Categorie moeilijkst... 5 Uitgebreidere formules... 7 Balansmethode en abc-formule... 7 1/10 VWO
Nadere informatieEen Meet- en Ontdekpad gemaakt door Maaike Kuijer. Pabo De Eekhorst Assen.
METEN Een meet- en ontdekpad www.rekenhoek.nl 5 6 Een Meet- en Ontdekpad gemaakt door Maaike Kuijer. Pabo De Eekhorst Assen. Inhoudsopgave meet- en ontdekpad Samenvatting 2 Verantwoording 4 Gebruiksaanwijzing
Nadere informatieOefentoets Versie A. Vak: Wiskunde Onderwerp: Meetkunde Leerjaar: 1 (2017/2018) Periode: 3
Oefentoets Versie A Vak: Wiskunde Onderwerp: Meetkunde Leerjaar: 1 (017/018) Periode: 3 Opmerkingen vooraf: Het gebruik van een rekenmachine en een tabellenboekje is toegestaan. Geef je antwoord alljd
Nadere informatieBijlage Wiskunde vmbo
Bijlage Wiskunde vmbo IJking Referentiekader Rekenen versus Examenprogramma's Victor Schmidt April 2010 Verantwoording 2010 Stichting leerplanontwikkeling (SLO), Enschede Alle rechten voorbehouden. Mits
Nadere informatieLeerdoelen groep 8. Pluspunt rekenen
Leerdoelen groep 8 Pluspunt rekenen NB. De leerdoelen van deze rekenmethode bieden wij de kinderen aan middels Denken in Doelen. Dat betekent dat we niet exact de blokken van de methode volgen, maar dat
Nadere informatieThiemeMeulenhoff, Utrecht/Zutphen,
Groep 6 Blok 4 Les 1-5 Les 1 en 2 Leerlingenboek 6B 3 opgave 1 a opgave 6 opgave 8 eerste twee rijtjes sommen Werkschrift 32 opgave 1 opgave 6 a, b en c Les 3 en 4 Leerlingenboek 6B 5 opgave 1 a en b bovenste
Nadere informatieREKENTOETS VMBO BB/KB/TL-GL
rekentoets vmbo BB/KB/TL-GL vakinformatie staatsexamen 2020 REKENTOETS VMBO BB/KB/TL-GL VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2020 Versie: 22 maart 2019 pagina 1 van 7 rekentoets vmbo BB/KB/TL-GL vakinformatie staatsexamen
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Nadere informatieGeometrie in de Babylonische sterrenkunde
Geometrie in de Babylonische sterrenkunde Mathieu Ossendrijver Humboldt-Universität Berlin NWD Noordwijkerhout 4 februari 2017 inhoud 1 inleiding: Babylonië, dierenriem, beweging van Jupiter, sexagesimale
Nadere informatieLeerlijnen rekenen: De wereld in getallen
Leerlijnen rekenen: De wereld in getallen Groep 7(eerste helft) Getalbegrip - Telrij tot en met 1 000 000 - Uitspraak en schrijfwijze van de getallen (800 000 en 0,8 miljoen) - De opbouw en positiewaarde
Nadere informatie!"#$%&'()*%+,"-./0+$$"-)*"("-/1-)"#2*+3/456*7!81/ 19:/ ;<=98/ / Preambule
!"#$%&'()*%+,"-./0+$$"-)*"("-/1-)"#2*+3/456*7!81/! 19:/ ;
Nadere informatie