Gekke Voronoi diagrammen.

Transcriptie

1 Gekke Voronoi digrmmen. Roderik Lindenergh Mthemtishe Geodesie en Puntsepling Tehnishe Universiteit Delft Figuur : Een Voronoi digrm. Stel je een ntl supermrkten in een std voor. Je kn de std verdelen in geieden door overl de dihtstijzijnde supermrkt te eplen. Zo n onderverdeling wordt het Voronoi digrm genoemd. Het gewone Voronoi digrm ehoort tegenwoordig tot de middelre shoolstof en wordt goed egrepen. Dt wordt nders ls we de supermrkten vervngen door SRV wgens en die kris krs lten rond rijden of zelfs lten otsen: het Voronoi digrm vn de SRV wgens verndert mee, mr te eplen hoe is nog een hele puzzel. Het Voronoi digrm. In plts vn supermrkten eshouwen we ntuurlijk punten. Stel dt S een verzmeling vn n vershillende punten in het vlk is, dus S = {p,..., p n } met p i R en p i p j ls i j. De geieden vn de supermrkten worden Voronoi ellen genoemd: de Voronoi el vn punt p i estt uit lle punten q die niet dihter ij een nder punt p j uit S liggen. Oftewel V (p i ) = {q R : d(q, p i ) d(q, p j ), i j}. Hier is d(q, p) de gewone, Eulidishe fstnd tussen twee punten q, p R. Het Voronoi digrm vn de punten in S estt uit lle Voronoi ellen en uit lle mogelijke doorsnedes vn de ellen. In Figuur zie je een Voronoi digrm estnde uit zeven punten. Elk punt p i leeft in zijn eigen el V (p i ). Sommige ellen heen een knt gemeen. De

2 ellen V (p ) en V (p ) ijvooreeld delen een knt e(p, p ). De e stt voor het Engelse edge. Punten q op knt e(p, p ) zijn even diht ij p ls ij p terwijl de ndere p i zeker niet dihter ij q zijn. De verzmeling vn lle punten op gelijke fstnd vn p i en p j heet de middelloodlijn B(p i, p j ). De middelloodlijn is dus de lijn die de punten die dihter ij p i zijn, sheidt vn de punten die dihter ij p j zijn. In het ijzonder ligt elke Voronoi knt e(p i, p j ) op de middelloodlijn B(p i, p j ). Als we mr twee punten heen, zols in Figuur, digrm, dn is hun middelloodlijn de unieke knt in het Voronoi digrm. Drie Voronoi ellen kunnen elkr ontmoeten in een punt. Voronoi ellen V (p ), V (p 7 ) en V (p ) in Figuur delen ijvooreeld een punt, dt we even x noemen. Dit etekent dt x op gelijke fstnd ligt vn p, p 7 en p. Oftewel, x is het middelpunt vn de irkel,7, door p, p 7 en p. Merk op dt er geen punten innen,7, liggen. Zulke lege irkels vormen in zekere zin de ouwstenen vn het Voronoi digrm......d.e Figuur : Voronoi digrmmen vn twee, drie en vier punten.

3 Gekke Voronoi digrmmen. In Figuur stn lle Voronoi digrmmen met twee, drie of vier punten. Een ntl vn deze digrmmen is een eetje gek. Ik noem een Voronoi digrm gek ls. er ellen zijn die een punt gemeen heen of. er een el is met twee evenwijdige, oneindig lnge knten. Dus digrm. is gek omdt de el vn punt egrensd wordt door twee evenwijdige, oneindig lnge knten. En digrm. is gek omdt de vier ellen een punt gemeen heen. Als een Voronoi digrm gek is, dn liggen de punten die het digrm definiëren ltijd op een onwrshijnlijke mnier: in digrm. liggen de drie punten op een lijn en in digrm. liggen de vier punten op een gemeenshppelijke irkel. Als je zo mr wt (rndom) punten uitstrooit, dn is de kns 0 is dt er drie op een lijn liggen of vier op een irkel. Een verzmeling punten heet generiek ls geen drie punten op een lijn liggen en geen vier punten op een irkel. In Figuur stn dus vier generieke onfigurties. Als je lleen Figuur ekijkt, lijkt het of elke niet-generieke onfigurtie vn punten een gek Voronoi digrm oplevert. Dit is niet wr. Proeer mr en vooreeld te edenken. Andersom is het niet moeillijk te ewijzen dt in een gek Voronoi digrm de punten ltijd niet-generiek liggen. Voor het rekenen met omputers zijn niet-generieke punten onfigurties een eetje vervelend. Allerlei testjes die je kn geruiken om de strutuur vn ijvooreeld een Voronoi digrm uit te rekenen, werken opeens niet meer ls je zo n gekke onfigurtie proeert door te rekenen. Zo kn je in digrm. niet eplen of punt oven of onder de lijn door de punten en gt, dr punt op die lijn ligt. Om dit lstige gedrg te verhelpen, kn je de onfigurtie een shop geven: tel ij elke punt (x, y) een storingsftor ( x, y) op. Door de storingsftoren klein genoeg mr wel steeds per punt vershillend te nemen, verndert n de ene knt het pltje nuwelijks, terwijl n de ndere knt de onfigurtie wel generiek en dus erekenr wordt. Essentiële vernderingen. Zijn deze gekke onfigurties vervelend voor het rekenen, voor wiskundigen zijn ze juist interessnt. Ze komen nmelijk vnzelf om de hoek kijken ls we de punten in het Voronoi digrm lten ewegen. Stel ijvooreeld in Figuur dt we digrm. willen vernderen in digrm.. Alle punten moeten dn een eetje vernderen, mr in het ijzonder moet punt over de lijn door de punten en heen. Mr dt etekent dt de onfigurtie op dt moment gek is en dus ook het ijehorende Voronoi digrm.

4 In het lgemeen lijkt tussen elk tweetl vershillende generieke Voronoi digrmmen minstens één gek Voronoi digrm te liggen. Mr wnneer zijn twee generieke Voronoi digrmmen vershillend? Hiertoe geruiken we de omintoriek vn de Voronoi digrmmen. Zols eerder vermeld, eplen de lege irkels in zekere zin het Voronoi digrm. Mr dt etekent dt wnneer we voor twee Voronoi digrmmen V en V lle lege irkels eplen, we twee lijsten C en C vn lege irkels krijgen die we kunnen vergelijken. Bij digrm. in Figuur hoort ijvooreeld de lijst vn lege irkels, en ij digrm. hoort de lijst,,. Dus deze digrmmen zijn inderdd vershillend volgens deze definitie. Merk op dt je ook een vershillend digrm krijgt ls je in digrm. ijvooreeld de punten en omwisselt. Voronoi digrmmen kunnen mr op twee essentieel vershillende mnieren vernderen. En deze mnieren houden nuw smen met drie op een lijn en vier op een irkel. d Figuur : Een irkel verndering. d d De irkel verndering wordt geïllustreerd in Figuur. In het pltje links zijn er twee lege irkels, nmelijk d en d. Dn eweegt punt nr rehts en komen we uit in het middelste pltje. Hier zijn de twee lege irkels smengesmolten tot één lege irkel, mr wel een gekke irkel: ze evt nmelijk vier punten. Als punt verder nr rehts eweegt, wordt de situtie weer norml: er zijn twee lege irkels, mr wel ndere, nmelijk en d. Tegelijkertijd met deze verndering in lege irkels is de Voronoi knt e(, d) omgeklpt in een een knt e(, ). Figuur : Een onvex omhulsel verndering. De irkel verndering kn overl in het Voronoi digrm pltsvinden, de tweede soort verndering lleen op de rnd. Hier edoel ik met de rnd het onvex omhulsel vn de verzmeling S vn punten die het Voronoi digrm definiëert.

5 Het onvex omhulsel is de kleinste onvexe verzmeling die lle punten vn S evtten. Punten in S ehoren tot het onvex hulsel vn S preies ls ze in een onegrensde Voronoi el leven. Bekijk mr Figuur, digrm.: punten, en ehoren tot het onvex omhulsel en zitten in een onegrensde el; punt ligt in het inwendige vn het omhulsel en heeft een egrensde el. Bij een onvex omhulsel verndering verlt of ereikt een ewegend punt het onvex omhulsel, zie Figuur wr punt nr links eweegt en drdoor het onvex omhulsel verlt. Op het moment dt dt geeurt, in het middelste pltje, is de situtie weer gek:, en liggen op een lijn. Merk op dt ij dit type verndering een lege irkel ontstt: voor de verndering, in het pltje links, evt de irkel lle ndere punten; n de verndering is leeg. Ntuurlijk kn je ingewikkeldere vernderingen verzinnen, wrij zeven punten op een lege irkel liggen of tien punten tegelijk het onvex omhulsel ereiken, mr l deze vernderingen zijn smen te stellen uit de irkel verndering en de onvex omhulsel verndering. Nog gekker. Het kn nog gekker. Tot nu toe heen we ngenomen dt de punten in het Voronoi digrm lleml vershillend zijn. Mr ij kris krs ewegende punten kn er wel eens iets mis gn en het geeuren dt twee punten otsen of over elkr heen ewegen. Je kn je fvrgen of je tijdens zo n otsing nog over het Voronoi digrm vn de punten kn prten. Uiterrd kn dit, ls je mr het juiste model geruikt. Een idee is om je model zo te mken dt je ook weet wr de punten zijn kort voor of kort n de otsing. Mr dt wil zeggen dt je de positie vn de punten zou willen weten ls funtie vn de tijd. Neem ijvooreeld eens q = (t, t ), q = ( t, t), q = ( t, t), q = (t, t ). De nen vn q t/m q voor 0 t zijn te zien in het linker pltje in Figuur 5. De posities op t =. worden ngegeven door de punten, terwijl het Voronoi digrm op t =. grijs gestippeld is. We zien dt op t =. punt q nog steeds ijn in de oorsprong zit, terwijl de ndere drie punten l rdig ver weg zijn. Dit komt ntuurlijk doordt q kwdrtish eweegt, dr t de term met de kleinste mht is die de eweging vn q eshrijft, terwijl de ndere punten lineir ewegen. Uit het linker pltje in Figuur 5 kunnen we l een rdig idee krijgen voor een limiet Voronoi digrm dt hoort ij de posities vn de punten op t = 0. De Voronoi el vn q is op t =. een driehoek. Als t kleiner wordt, zl die driehoek ook kleiner worden en tenslotte ineen krimpen tot één punt op t = 0. Het enige wt dn zihtr overlijft vn het Voronoi digrm zijn de knten e(q, q ), e(q, q ) en e(q, q ). Dit is juist het rehter pltje in Figuur 5. 5

6 Figuur 5: Botsende punten en hun Voronoi digrm tijdens de otsing. We heen ij deze redenering stilzwijgend ngenomen dt het Voronoi digrm vn q t/m q niet verndert op de mnier vn oven. Dt wil dus zeggen dt er voor 0 < t <. geen irkel geeurtenis of onvex omhulsel geeurtenis optreedt. Dit geeft een mnier om het limiet Voronoi digrm te eplen: evlueer de reltie die het onvex omhulsel of de lege irkels ngeven voor t klein genoeg. Als vooreeld ekijken we de reltie vn drie punten op een lijn. Zij l uv de gerihte lijn die eerst door punt u = (u x, u y ) en dn door v = (v x, v y ) gt. Zij D de determinnt u x u y D = D u,v,w = v x v y w x w y. Punt w = (w x, w y ) ligt links vn l uv ls D > 0, rehts vn l uv ls D < 0 en op l uv ls D = 0. Nu vervngen we de gewone punten u, v en w door tijdsfhnkelijke punten u(t), v(t) en w(t). Determinnt D wordt dn ook een tijdsfhnkelijke determinnt D(t): u(t) x u(t) y D(t) = D u,v,w (t) = v(t) x v(t) y w(t) x w(t) y. Met u(t) = q (t), v(t) = q (t) en w(t) = q (t) krijgen we ijvooreeld dt D(t) = 6t + t + O(t ). Nu definiëren we dt w(t) links ligt vn de lijn l uv(t) op t = 0 ls de oëffiient vn de lgste mht vn t in D(t) positief is, enz. In ons vooreeld is die oëffiient 6, en inderdd ligt q links vn de lijn l qq voor kleine t. Merk wel op dt deze definitie de situtie eshrijft die nsluit ij kleine positieve t. Door deze ideeën nder uit te werken is het niet moeilijk een lgoritme te ontwerpen dt een limiet Voronoi toekent n een verzmeling tijdsfhnkelijke punten dt smenvlt op t = 0. Als je wilt lezen hoe dit verder gt, kn je Hoofdstuk vn mijn proefshrift lezen, []. Dr wordt ook uitgelegd wt er geeurt met verdwijnende ellen, zols de el vn punt q in Figuur 5. 6

7 Voronoi digrmmen innen de Universiteit Utreht. Op vershillende plekken innen de Universiteit Utreht wordt met Voronoi digrmmen gewerkt. Bij Informti is een groep mensen tief in de zogenmde Computtionl Geometry, []. Deze disipline onderzoekt hoe je effiient kn rekenen, met een omputer, n llerlei prktishe meetkundige prolemen. Voronoi digrmmen vervullen hierij een elngrijke rol, denk mr n het vooreeld vn de supermrkten. Andere mensen, [, 5] geruiken Voronoi digrmmen ij het simuleren vn systemen vn deeltjes. Zelf he ik een proefshrift, [], geshreven onder leiding vn Dirk Siersm, die Voronoi digrmmen estudeert vnuit een zuiver wiskundige htergrond, []. Referenties [] M. de Berg, M. vn Kreveld, M. Overmrs, nd O. Shwrzkopf. Computtionl Geometry: Algorithms nd Applitions. Springer-Verlg, Berlin, [] R. C. Lindenergh. Limits of Voronoi digrms. PhD thesis, Utreht University, [] D. Siersm. Properties of onflit sets in the plne. In Geometry nd Topology of Custis, volume 50, pges Bnh Center Pulitions, [] M. A. Stijnmn, R. H. Bisseling, nd G. T. Brkem. Prtitioning D spe for prllel mny-prtile simultions. Computer Physis Communitions, 9():, [5] R. Vink. Computer Simultions of Amorphous Semiondutors. PhD thesis, Utreht University, 00. sokrtes.physik.uni-minz.de/~vink/abxx/rtiles/phdthesis-vink.pdf 7