Statistiek voor Managers

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Statistiek voor Managers"

Transcriptie

1 Statistiek voor Managers Een 10-stappen plan voor Managers Ir. Paul P.J. Durlinger / WP

2 0 Inleiding Statistiek is een woord dat bij velen onder u gemengde gevoelens zal oproepen. Toch denk ik dat het management iets moet weten van statistiek. Statistiek bestudeert immers alles wat te maken heeft met onzekerheid, en juist onzekerheid maakt logistiek complex. Daarbij zijn veel managementbeslissingen impliciet gebaseerd op statistische overwegingen. Zoals het bepalen van veiligheidsvoorraden, het afgeven van levertijden, het vaststellen van budgetten, het maken van investeringsbeslissingen en veel kwaliteitsgerelateerde zaken. Het is in dit paper niet de bedoeling om de manager op te leiden tot volleerd statisticus. Verre van dat maar ik leg wel een aantal eenvoudige, direct toepasbare principes uit. Ik kijk naar het gemiddelde en de standaardafwijking. Ik leg de normale verdeling met zijn toepassingen uit en ik leer de lezer om te gaan met uitschieters. Tenslotte behandel ik de regressieanalyse. En niet onbelangrijk, ik probeer het aantal formules te minimaliseren. 1. Datarepresentatie Stel u bent de producent van Quispels, een niet onbelangrijk product in het realiseren van fantasie-objecten in sprookjesparken. Er zijn een aantal types, die uit voorraad geleverd worden, waaronder Q-A. Verder zijn er een aantal specifieke types, die alleen op order gemaakt worden. Type Q-S1 valt hier onder. Type Q-A wordt elke week gemaakt en op vrijdag week X moet men bepalen hoeveel stuks Q-A men in week X+1 moet maken. Deze zijn dan beschikbaar op maandagmorgen week X+2. Het is dus zaak om te weten wat de verwachte vraag zal zijn in week X+2. Type Q-S1 wordt op order gemaakt. De klanten vragen altijd om een levertijd en tot nu toe geeft men 4 weken af. Niet omdat men dit goed berekend heeft, maar meer omdat dit een levertijd is die heel vaak gehaald wordt. Nu vraagt men zich af of dat niet beter kan. In dit paper kijken we hoe Statistiek kan helpen bij het oplossen van deze vraagstukken. Als eerste kijken we naar het probleem Q-A. Uw salesmanager zegt dat de gemiddelde afzet van product Q-A, 80 stuks per week is. Op dat ogenblik moet de wedervraag zijn: Hoe kom je daar aan?. Dat klinkt flauw maar is het niet. Heeft hij gekeken naar de afzet van de laatste 2 weken of 4 weken of 25 weken. Of heeft hij maandcijfers gedeeld door 4 (of 4.2), of heeft hij dagcijfers geaggregeerd naar weken? Dit alles heeft te maken met het vaststellen van de steekproefgrootte. Dit probleem bespreek ik later in paragraaf 6. En wat betekent 80 nou? Dat de vraag de volgende weken ook 80 zal zijn? Tijd voor een nadere analyse. Uit de computer worden de verkoopcijfers gehaald van de laatste 50 weken (in week 51 en 52 worden geen Quispels gemaakt en gevraagd) en weergegeven in tabel Tabel 1 Afzetgegevens Quispels Statistiek voor Managers 2

3 Frequentie Wat leren we uit tabel 1? Eigenlijk niet veel, maar als we deze gegevens importeren in Exel kunnen we wel eenvoudig het gemiddelde berekenen. Binnen de statistiek gebruiken we de Griekse letter μ (mu) voor het gemiddelde. Dat blijkt 79,1 te zijn, dus de schatting van de salesmanager was correct. Maar verder is het allemaal een beetje chaotisch. Daarom rangschikken we deze gegevens van laag naar hoog. De resultaten vinden we in tabel Tabel 2 Afzet gegevens Quispels geordend op groote Nu kunnen we al wat meer zien. De waarden liggen tussen 62 en 96. Dit geeft ons meteen de range. De range is het verschil tussen de hoogste en de laagste waarde en is in dit geval 34. Maar we kunnen nog twee dingen eenvoudig afleiden. De eerste is de mediaan. De mediaan is ook een soort gemiddelde. Links en rechts van de mediaan liggen evenveel waarnemingen. Nou is dat met onze 50 (een even aantal) waarnemingen wat moeilijk, maar dan zeggen we dat de mediaan tussen de 25 e en 26 e waarneming ligt. In ons geval tussen 79 en 80. En dat is ongeveer gelijk aan het gemiddelde van 79,1. Dat betekent dus dat de helft van de weken de vraag groter was dan het gemiddelde en de helft lager. Maar wat zegt dat nu over de vraag van de komende week? Om daar wat meer inzicht in te krijgen maken we een frequentiediagram. We geven dit diagram weer in figuur Histogram Afzet Figuur 1 Frequentiediagram oorspronkelijke gegevens We zien dat de meeste waarden rond de 80 zitten, maar echte uitschieters zitten er niet in. We hebben hoogstwaarschijnlijk te weinig waarnemingen om echt een duidelijke verdeling te zien. Omdat we maar 50 waarnemingen hebben gaan we clusteren in klassen en kijken hoeveel waarnemingen we per categorie zien. Het bepalen van aantal klassen of de klassenbreedte is enigszins subjectief maar bij 50 waarnemingen zijn 7 of 8 klassen redelijk. Wij hebben als klassenbreedte 5 gekozen waardoor we 8 klassen hebben. Het resultaat zien we in tabel 3 Statistiek voor Managers 3

4 Afzet Frequentie Frequentie Tabel 3 Klassenindeling met klassenbreedte 5 Wanneer we opnieuw een frequentiediagram tekenen ziet die er als in figuur 2 Frequentiediagram Afzet Figuur 2 Frequentiediagram van klassen Figuur 2 geeft een duidelijker beeld van de verdeling van de afzet gedurende de laatste 50 weken. Een andere mogelijkheid zou zijn geweest om de data af te zetten tegen de tijd om te zien of er een bepaald verloop in zit. We geven dit weer in figuur 3. Afzet in de tijd weken Figuur 3 Afzet in de tijd Statistiek voor Managers 4

5 Ik raad de lezer aan om altijd een grafische weergave te vragen van gegevens. Dit geeft een veel duidelijker beeld dan de gewone cijfers. Vooral het frequentiediagram geeft ons een goed eerste beeld over de verdeling van bijvoorbeeld de afzet. Daarmee krijgt men ook een beeld hoe groot de vraag in de toekomst zal zijn als we niet te maken met een trend. De verdeling hangt af van twee parameters, gemiddelde en spreiding die we in de volgende paragrafen bekijken. 2. Gemiddelde In onderstaande tabel 4 laten we twee reeksen A en B zien. A B Tabel 4 Voorbeeldreeksen A en B Het rekenkundig gemiddelde (μ) van reeks A en B is in beide gevallen 10, maar de mediaan van beide reeksen is verschillend. De mediaan was het getal die de reeks in twee gelijke delen opsplitste. De helft was groter en de helft was kleiner. De mediaan is in ons voorbeeld het derde getal. Voor reeks A is dat 10 en voor reeks B is dat 9. Dan kennen we nog een derde soort gemiddelde en dat is de modus. Dat is het getal dat het meeste voorkomt. Voor reeks A is dat het getal 7 en voor reeks B is dat het getal 14. We komen op de toepassingen later terug. Een interessante vraag is: Welke van de twee reeksen is het meest onregelmatig of vertoont de meeste spreiding? 3. Spreiding Vraag is welke van beide reeksen (A of B) de grootste spreiding vertoont. Een van de maten van spreiding is de range, die in de vorige paragraaf behandeld is. Dit is het verschil tussen de grootste en de kleinste waarde van de reeks De range voor beide reeksen is 8 dus dit geeft geen uitsluitsel. Echter de range is geen echt goede indicator voor spreiding omdat hij erg gevoelig is voor extrema. Wanneer we over spreiding praten hebben we het eigenlijk over de spreiding t.o.v. het gemiddelde. Ik heb dat voor beide reeksen bepaald in tabel 5 en vervolgens heb ik de afwijkingen gesommeerd en gemiddeld. Deze grootheid heet de Gemiddelde Fout (GF) A : μ= SOM GF Afwijking B : μ= SOM GF Afwijking Tabel 5 Berekening Gemiddelde fout Statistiek voor Managers 5

6 We zien nu dat de som van de afwijkingen in beide gevallen 0 is. Helaas is dat altijd zo als we de spreiding op deze manier berekenen. De plussen en minnen heffen elkaar op. De gemiddelde afwijking zegt daarom niet veel. In praktijk zien we toch echter dat mensen op deze manier vaak een gemiddelde voorspelfout berekenen. Dit kan leiden tot verkeerde conclusies. Omdat plussen en minnen elkaar opheffen. Dus ook de GF geeft geen uitsluitsel voor de onregelmaat van de reeks. Omdat we alleen geïnteresseerd zijn in een afwijking t.o.v. het gemiddelde en minder of deze nu plus of min is kunnen we ook kijken naar de Absolute Afwijking, of nog beter naar de Gemiddelde Absolute Afwijking (GAA). Deze is berekend in tabel 6 A : μ= SOM GAA Abs Afwijking ,4 B : μ= SOM GAA Abs Afwijking Tabel 6 Berekening Gemiddelde Absolute Afwijking De Engelse benaming voor Gemiddelde Absolute Afwijking is Mean Absolute Deviation, ook wel MAD geheten. Op basis van deze grootheid is reeks A regelmatiger. Een andere methode om plussen en minnen kwijt te raken is de afwijkingen te kwadrateren. Vervolgens bepalen we het gemiddelde van de kwadratische afwijkingen (GKA). Zie Tabel 7 A : μ= SOM GKA Afwijking ,8 B : μ= SOM GKA Afwijking ,6 Tabel 7 Bepaling Gemiddelde Kwadratische Afwijking of Variantie De statistische benaming voor GKA is variantie en wordt geschreven als σ 2 (sigma-kwadraat). Nu is de variantie uitgedrukt in een vreemde eenheid. Wanneer de eenheid van reeks A stuks zou zijn, is de eenheid van de variantie stuks 2. Dit is voor de meesten onder ons, inclusief de auteur, niet goed voor te stellen. We gebruiken daarom als parameter de wortel uit de variantie die we standaardafwijking of standaarddeviatie noemen. Deze duiden we aan als σ ( σ 2 = sigma). In formule vorm (nou ja een formule kan wel) is dat: N i 1 ( x ) i N 2 Statistiek voor Managers 6

7 Onder het wortelteken staat de variantie. Wanneer we de standaardafwijking voor reeks A uitrekenen vinden we 3 en voor reeks B vinden we 3.4. Op basis van de standaardafwijking kunnen we concluderen dat reeks A onregelmatiger is. Ik heb nog een voorbeeld waarbij ik een andere reeks neem. Voor deze reeks heb ik de belangrijke parameters uitgerekend en in onderstaande tabel 8 gezet. Μ σ 2 σ Reeks A ,1 Reeks B ,4 Tabel 8 Vergelijking tussen twee reeksen op basis van μ, σ en σ 2 Wat is nu de meest regelmatige reeks? U zou opnieuw verwachten dat dit reeks B is; de σ van reeks B is immers kleiner dan die van reeks A. Echter het gemiddelde van reeks A is ook anders dan die van B. Bij reeks A zien we dat σ = 4.1 bij een gemiddelde van 20. Bij reeks B vinden we σ=3.3 bij een gemiddelde van 10. Relatief is reeks A dus regelmatiger! Een maat die deze relatie tussen gemiddelde en standaardafwijking meeneemt is de zogenaamde variatie-coefficient VC en die we definieren als VC Hoe kleiner VC des te regelmatiger de reeks. We zien nu dat VC A = 4.1/20=0,205 en VC B = 3.3/10=0.33. Reeks A is dus regelmatiger. We hebben de standaardafwijking voor de 50 afzetgegevens berekend en deze blijkt 7.67 stuks/week te zijn. Wat dat concreet betekend gaan we in de volgende paragraaf zien. 4. De normale verdeling Terug naar de basisvraag. De gemiddelde afzet was 80 stuks/week (om precies te zijn 79,1) stuks en de standaardafwijking is 7.67 stuks/week. Uit de vraag van de laatste 50 weken konden we een verdeling construeren als in figuur 2. Wat betekent dat nou voor de volgende week? Is de vraag dan ook weer 80? Of kan hij ook 100 zijn en wat is dan de kans daarop? We kunnen natuurlijk uitgaan van de ruwe data en daar schattingen uit afleiden maar het zou mooier zijn als we wat systematischer te werk konden gaan. Wanneer we naar figuur 2 kijken zien we dat e vraag een bepaalde verdeling volgt. Een dergelijke verdeling noemen we een normale verdeling en deze geef ik weer in figuur Figuur 4 Normale verdeling Statistiek voor Managers 7

8 De normale verdeling is een mooie, symmetrische verdeling. Dat wil zeggen dat gemiddelde en modus en mediaan hetzelfde zijn. En verder dat de linkerhelft en de rechterhelft identiek zijn (maar wel gespiegeld). Op de X-as staan de mogelijke afzetten (of andere grootheden) en op de verticale as staat een soort frequentie. Ik zeg met name soort omdat uit de hoogte niet direct af te leiden is hoe vaak een bepaalde waarde voorkomt. De figuur is een kansverdeling en de som van de kansen dat er een bepaalde afzet optreedt, is gelijk aan 100% (of 1). De kans dat een waarde optreedt die groter (of kleiner) is dan het gemiddelde is 50% (0.5). De vorm van de kromme wordt bepaald door de standaardafwijking. Een grote standaardafwijking maakt dat de krommem wat platter is maar minder hoog. Een kleine standaardafwijking maakt dat de kromme wat hoger is maar minder plat. Zie figuur 5 Figuur 5 Een aantal normale verdelingen Het oppervlakte onder de kromme blijft immers 100%! Links staat een normale verdeling met een kleine standaardafwijking, rechts een met een grote standaardafwijking. Deze grafiek kunnen we nu gaan gebruiken om te bepalen wat de kans is dat de afzet groter of kleiner is dan een bepaalde waarde. Bijvoorbeeld: wat is de kans dat de afzet groter is dan 100? In onze grafiek komt dat overeen met het gearceerde vlak in figuur Figuur 6 Kans dat de afzet groter is dan 100 We kunnen dat helaas niet rechtstreeks afleiden maar moeten gebruik maken van een omleiding via een tabel. In de appendix treft de lezer een dergelijke tabel aan. In onderstaande tabel staat een klein stukje van deze tabel Statistiek voor Managers 8

9 Z , ,508 0,512 0,516 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0, ,5438 0,578 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5478 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6864 0,6103 0,6141 Tabel 7 Deel van een normale verdelingtabel Wanneer we naar de tabel kijken zien we boven en links waarden staan voor een parameter z. Van boven naar beneden loopt deze in stapjes van 0.1 van een waarde van 0.0 tot 3.0. Op de horizontale as worden de stapjes nog eens onderverdeeld in stapjes van De getallen in de tabel zelf zijn kansen. Deze lopen van 0.5 linksboven tot rechtsonder De waarde die bij z=0 hoort is 0,5. Bij een z-waarde van 0,16 hoort blijkbaar een kans van Maar wat betekent dat voor de praktijk? Wat is de betekenis van z? De parameter z heeft te maken met de standaardafwijking. We kunnen z definiëren als: Het aantal standaardafwijkingen dat een bepaald punt x op de X-as verwijderd is van het gemiddelde (μ) In ons Quispel-voorbeeld was het gemiddelde 80 en de standaardafwijking afgerond 8 (eigenlijk 7.67). We wilden weten wat de kans is dat de volgende week de afzet groter is dan 100. De waarde 100 ligt 20 eenheden of 2.5 standaard afwijking van het gemiddelde. Dus z is in dit geval 2.5. In formule vorm x gemiddelde ( ) z s tan daardafwijking ( ) in onsvoorbeeld z 2,5 8 Bij z=2.5 vinden we in de tabel een kans van 0,9938 oftewel 99,38%. Dat wil voor deze tabel zeggen dat de kans dat de afzet kleiner is da 100 gelijk is aan 99.38%. Dus de kans dat de vraag groter is dan 100 is gelijk aan 100%-99.38%=0.68%. Elke normale verdelingstabel werkt een beetje anders; daarom staat boven de tabel een tekening die aangeeft welke kans bedoelt wordt. Voor deze tabel is dat het gearceerde deel van de grafiek. Dus de kans dat iets kleiner is! De formule voor het bepalen van z geldt voor elke willekeurige normale verdeling. Dus als we van een normale verdeling het gemiddelde (µ) en standaardafwijking (σ) kennen, kunnen we voor elke willekeurige x bepalen wat de kans is dat iets groter (of kleiner) dan x is. De hoogste waarde voor z in onze tabel is 3.09 met een bijbehorende kans van 99,9%. Dat wil zeggen dat de kans, dat een waarde optreedt die groter is dan µ+3,09xσ gelijk is aan 0,1%. In ons voorbeeld; de kans dat de vraag groter is dan 125 (80 + 8x3,09) is gelijk aan 0,1%. Oftewel verwaarloosbaar klein. We kunnen praktisch stellen dat bij een normale verdeling alle waarnemingen zullen liggen tussen µ-3,09xσ en µ+3,09xσ. Uit de tabel kunnen we afleiden dat 95% van de waarden zal liggen tussen µ-2xσ en µ+2xσ en 99% tussen µ-3xσ en µ+3xσ (de term Six-Sigma krijgt nu ongetwijfeld meer betekenis). Ik geef dit weer in figuur 7. Statistiek voor Managers 9

10 Frequentie Frequentie Figuur 7 Normale verdeling met betrouwbaarheidsintervallen 5. Andere verdelingen Er zijn natuurlijk ook andere verdelingen in het universum. In onderstaande figuur 8 geef ik er nog twee. expoenetiele verdeling Uniforme verdeling Waarde Waarde Figuur 8 Exponentiële en Uniforme verdeling De linker verdeling is een zogenaamde (negatief) exponentiële verdeling. Hij is een beetje scheef. Bij deze verdeling liggen modus en mediaan links van het gemiddelde. Deze verdeling gebruikt men vaak in de wachttijdtheorie. De tijd tussen twee aankomsten van klanten bij een loket, de afstand tussen twee auto s op een drukke weg of de duur van telefoongesprekken volgen deze verdeling. De rechter verdeling is een uniforme verdeling. De uitkomsten, als u gooit met één dobbelsteen volgen deze verdeling. In principe gaan alle berekeningen op een analoge manier als bij de normale verdeling, alleen moet men andere tabellen gebruiken. Zaak is wel dat u van te voren kijkt of u wel met een normale verdeling te maken hebt. Dat kan door een frequentiediagram (zoals in fig. 2) te maken en vervolgens te kijken of hij een beetje lijkt op Statistiek voor Managers 10

11 een normale verdeling (of een andere verdeling). In geval van twijfel kan een statisticus met de Chi-kwadraat toets bepalen of hij (de verdeling) statistisch wel genoeg lijkt op iets bekends. Het is maar dat u het weet. 6. Steekproefgrootte of het mysterie van de groene dwerg. In de vorige paragrafen heb ik een aantal algemene uitspraken gedaan op basis van onze 50 waarnemingen. Maar mag dat eigenlijk wel? Had ik niet meer waarden moeten meenemen of waren minder dan 50 ook genoeg geweest om die uitspraken over gemiddelde en standaardafwijking te doen? Ik neem mijn toevlucht tot een gedachte-experiment. Ik kan me voorstellen dat na het lezen van al deze bladzijden de lezer nu en dan opkijkt van het papier. En ik kan me ook heel goed voorstellen dat hij/zij dan plotseling een groen dwergje meent te zien dat ca 25 cm groot is. Troost u met de gedachte dat dit in IJsland de gewoonste zaak van de wereld is. De prangende vraag is nu natuurlijk: hoe groot zijn groene dwergjes gemiddeld?. Ik stel voor dat u even nadenkt over deze vraag. Het enige logische antwoord is 25 cm, u heeft immers geen andere informatie (tenzij u heel vaak in IJsland heeft vertoefd). Zou de populatie van groene dwergjes immers gemiddeld 10 cm lang zijn dan had u te maken met een reuze-dwerg. Zou de lengte gemiddeld 50 cm zijn dan had u te maken met een mini-dwerg. Een van beide situaties zou wel heel toevallig zijn. Vervolgens ziet u nog twee dwergen verschijnen. Een van 20 en een van 27.5 cm. Dit zal uw eerste vermoeden over de lengte bevestigen. Als later nog een tiental soortgelijke dwergen binnen komen kunt u een goede schatting maken. Zeker wanneer er even later nog een buslading groene dwergen binnenstroomt. U weet genoeg om u een goed beeld te vormen van de gemiddelde lengte van de groene dwerg. Ik sluit hierbij de mogelijkheid van een busreis naar een reuze-dwerg conventie uit. Iets soortgelijks zien we in de statistiek. Op basis van een steekproef probeert men wat te zeggen over de populatie. Wanneer u slechts een paar waarnemingen heeft is het moeilijk iets algemeens te zeggen. Maar wanneer u een redelijk aantal waarnemingen heeft zullen meer waarnemingen niets substantieels toevoegen. U zult hooguit wat zekerder worden van uw zaak. Er is veel onderzoek gedaan naar steekproefgrootte maar een algemene consensus lijkt te zijn dat er toch minstens 30 waarnemingen nodig zijn om iets zinnigs te zeggen. Heeft u minder data moet u voorzichtig zijn of de hulp van een statisticus inroepen 7. De uitschieter Wederom terug naar ons oorspronkelijke Quispel-probleem. De sales manager komt maandagochtend blij binnen op de MT-meeting en zegt dat afgelopen week 120 stuks verkocht zijn. De markt trekt blijkbaar aan zegt hij. Maar is dat ook zo? Uitgaande van de normale verdeling die we gevonden hadden met een gemiddelde van 80 en een standaardafwijking van 8 zou een afzet van 120 wel heel toevallig zijn. Voordat er meer gegevens bekend zijn moet men heel voorzichtig zijn met een dergelijke verdachte waarde. Zeker wanneer een week later de afzet weer 80 of 90 zou zijn. Het is beter om een dergelijke heel toevallige waarde niet mee Statistiek voor Managers 11

12 Gewicht (kg) te nemen in parameterberekeningen. Dit verwijderen van ongewenste waarden noemen we uitschietercorrectie. Heel gebruikelijk is het om waarden die groter zijn dan µ+2,5σ of kleiner dan µ-2,5σ te verwijderen. De kans dat deze waarden optreden is iets meer dan 1%. In ons voorbeeld zijn dat de waarden, die groter zijn dan 100 (80+2.5x8) of kleiner dan 60 (80-2.5x8). Wanneer we nog eens kijken naar onze waarnemingen zien we dat alle waarnemingen binnen de grenzen vallen. 8. De regressieanalyse Een statistische analyse die vaak gebruikt (of misbruikt) wordt is de zogenaamde regressieanalyse. Deze analyse probeert een verband te leggen tussen twee variabelen: bijvoorbeeld tussen lengte en gewicht van mannen, de ijsverkoop en buitentemperatuur of tussen reclamebudget en verkopen. Als voorbeeld gebruiken we ons gedachten-experiment en kijken we of er een verband bestaat tussen de lengte en het gewicht van mannelijke groene dwergen. In onderstaande figuur 9 geven we de data van 25 dwergen weer. relatie Lengte-Gewicht Lengte (cm) Figuur 9 Relatie Lengte en gewicht De vraag die we willen beantwoorden is: Wat is het (gemiddelde) gewicht van een dwerg van 22,5 cm? Om dit te bepalen moeten we kijken of er überhaupt een verband is tussen lengte en gewicht van groen dwergen. Kijkend naar figuur 9 lijkt het aannemelijk dat ook voor groene dwergen geldt: Hoe langer de dwerg hoe zwaarder. Maar hoe ziet dat verband er uit? Een mogelijkheid is om een lijn te trekken door de puntenwolk die het beste past. Als ik een aantal lezers vraag zo n lijn te trekken zou ik zeker een aantal verschillende lijnen krijgen. Regressieanalyse software bepaalt deze lijn op basis van de afstand van de punten tot de lijn. De lijn met de (totale) minimale afstand tot de punten is de beste. Dit is precies wat u intuïtief probeerde te doen wanneer u een lijn door de puntenwolk moet trekken. Het is duidelijk dat er altijd een lijn te trekken valt maar de vraag is natuurlijk: Hoe goed is deze lijn?. De grootheid die dit aangeeft is de correlatie coëfficiënt, weergegeven door de letter r. Deze r wordt bij elke regressieanalyse berekend. De waarde van r ligt tussen 1 en 0 (of tussen -1 en 0). Een r van 1 is een perfecte fit. Bijvoorbeeld het verband tussen de straal en de omtrek van een cirkel. Alle punten zullen dan op één lijn liggen. Een r-waarde van 0 wil zeggen dat er geen enkel Statistiek voor Managers 12

13 Gewicht (kg) verband is. En een r van 0.7 zal er tussen in liggen. In figuur 10 geef ik een voorbeeld van zulke punten-wolken. Puntenwolk r= Puntenwolk r=0, Figuur 10 Puntenwolken met r=0 en r=7 Beide extrema zullen in praktijk nooit voorkomen. Om echter een sterk verband te mogen veronderstellen moet de r minstens een waarde van 0.8 hebben. Daarbij laat ik in het midden of het verband een causaal verband is. We hebben een regressieanalyse voor ons dwergprobleem uitgevoerd en vinden als regressielijn Y=2,125X 1,68 en de waarde van r is 0,825. Zie figuur 11. relatie Lengte-Gewicht y = 2,125x - 1,6811 R = 0, Lengte (cm) Figuur 11 Regressielijn en correlatiecoëfficiënt Dus we mogen spreken van een sterk verband. Volgende vraag is hoe goed dat verband is. Daarvoor gebruikt men in de statistiek als grootheid de determinatiecoëfficiënt (scrabblewoord) weergegeven als r 2 (het kwadraat van de correlatiecoëfficiënt). Dit wil zeggen hoeveel % mag worden toegeschreven aan jet verband tussen de twee variabelen. In ons dwergvoorbeeld is r 2 gelijk aan Dat wil zeggen dat het gewicht voor 68% voorspeld wordt door de grootheid lengte. Daarnaast dragen misschien lichaamsbouw, botstructuur, eet en leef gewoonten en andere onbekende factoren ook hun steentje bij. Zij zijn verantwoordelijk voor de resterende 32%. We kunnen hieruit afleiden dat we r 2 zo groot mogelijk willen hebben, liefst 70% of meer. Dit impliceert dat r groter moet zijn dan 0.8 Natuurlijk is dit geen wet van Meden En Perzen maar een r-waarde van bijvoorbeeld 0.6 zegt niet zoveel. Dat betekent namelijk dat maar 36% verklaard wordt door het verband tussen de twee variabelen en 64% door onbekende invloeden. Statistiek voor Managers 13

14 9. Trend of geen trend? Soms is het handig om te weten of de data een trend vertonen. Ook daarbij kan de regressieanalyse helpen. De uitkomst van een regressieanalyse is altijd een regressielijn van de vorm Y = ax + b In ons groene dwerg voorbeeld was deze lijn Y=2.125X-1,68 (a=2,125, b=-1,68). Vraag is of er echte een trend inzit, met andere woorden: verschilt a in de vergelijking echt van nul? Gelukkig geeft de regressieanalyse ook antwoord op deze vraag. In ons voorbeeld verschilt a echt significant van 0. Voor het precieze antwoord verwijs ik naar de referenties. 10 Interpoleren en extrapoleren We kijken weer naar ons voorbeeld. De regressielijn voor dit voorbeeld was Y=2.125X-1,68. We wilden graag weten wat het gemiddelde gewicht voor een dwerg van 22.5 cm zou zijn. Dat kunnen we nu berekenen en het blijkt dat het gemiddelde gewicht ca 46 kg zal zijn. Ik zeg met nadruk gemiddeld omdat de regressielijn een soort gemiddelde lijn is door de puntenwolk. Omdat de lengte van 22.5 cm binnen de range van waarnemingen ligt noemen we dit interpoleren. Maar hoeveel zou een dwerg wegen van 15 cm of 35 cm? Deze lengtes vallen immers niet binnen de range. Mogen we dan toch de regressievergelijking gebruiken en zeggen dat de dwergen gemiddeld 30.kg en 72.6 kg wegen? Met andere woorden: mogen we extrapoleren? Nou eigenlijk niet. We weten niet hoe de regressielijn zou zijn als we meer waarnemingen hadden gehad. In principe zou het niet veel mogen uitmaken maar er schuilen gevaren bij extrapoleren. Zeker als het echte verband niet door een rechte lijn is weer te geven. Bij reclame weten we dat er afnemende meeropbrengsten zijn dus zal er zeker geen rechte lijn gelden. Maar misschien wel in het bestudeerde gebied: binnen de range van waarnemingen. 11. Samenvatting In dit white-paper heb ik enkele begrippen uit de statistiek behandeld. Ik heb enkele maten voor het gemiddelde besproken zoals rekenkundig gemiddelde, modus en mediaan. Vervolgens zijn maten voor spreiding zoals range, variantie en standaardafwijking de revue gepasseerd. We hebben veel aandacht besteed aan de normale verdeling waarbij we gezien hoe we met behulp van de z-waarde en een tabel kunnen bepalen wat de kans is dat een bepaalde waarde optreedt. Aan de hand van groene dwergen hebben we gekeken naar het probleem van de steekproefgrootte en uitschietercorrectie. Hierbij heb ik aangegeven dat we minstens 30 waarnemingen moeten hebben om zinnige uitspraken te doen. Ook is gekeken naar de regressieanalyse waarbij we de betekenis van de correlatiecoëfficiënt (r) en de determinatiecoëfficiënt (r 2 ) uitgelegd hebben. Aangetoond is dat de waarde van r minstens 0.8 moet zijn wil er sprake zijn van een sterk verband. Tenslotte heb ik de mogelijkheden van interen extrapoleren besproken. Statistiek voor Managers 14

15 12 Referenties Darrell Huff How to lie with Staitistics Penguin Books, Londen, 1991 Derek Rowntree Statistics without Tears Penguin Books, Londen, 1991 Deborah Rumsey Statistiek voor Dummies Wiley, Indianapolis, 2003 Statistiek voor Managers 15

16 Tables of the Normal Distribution Probability Content from -oo to Z Z Statistiek voor Managers 16

VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN

VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN VEILIGHEIDSVOORRADEN BEREKENEN 4 Soorten berekeningen 12 AUGUSTUS 2013 IR. PAUL DURLINGER Durlinger Consultancy Management Summary In dit paper worden vier methoden behandeld om veiligheidsvoorraden te

Nadere informatie

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Centrale tendentie Centrale tendentie wordt meestal afgemeten aan twee maten: Mediaan: de middelste waarneming, 50%

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: 5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van

Nadere informatie

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen....

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... HAVO 4 wiskunde A Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... 1. rekenregels en verhoudingen Ik kan breuken vermenigvuldigen en delen. Ik ken de rekenregel breuk Ik kan

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

Interne & externe servicegraad

Interne & externe servicegraad Interne & externe servicegraad Een benadering voor managers Ir. Paul P.J. Durlinger 27-12-2012 / WP.01.2012 / V.01 0 Inleiding Een van de doelen van een voorraadhoudende onderneming is het realiseren van

Nadere informatie

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. 3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal

Nadere informatie

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening Les 1: Waarschijnlijkheidrekening A Men neemt een steekproef van 1000 appelen. Deze worden ingedeeld volgens gewicht en volgens symptomen van een bepaalde schimmel: geen, mild, gematigd of ernstig. Het

Nadere informatie

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Ik weet hoe je met procenten moet rekenen: procenten en breuken, percentage berekenen, toename en afname in procenten, rekenen met groeifactoren.

Nadere informatie

Kwantitatieve methoden. Samenvatting met verwijzing naar Excel functies

Kwantitatieve methoden. Samenvatting met verwijzing naar Excel functies Kwantitatieve methoden Samenvatting met verwijzing naar Excel functies I. Inleiding Statistiek is een gebied in de wiskunde dat zich bezighoudt met het samenvatten, beschrijven en analyseren van (grote

Nadere informatie

Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A.

Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Boek 1 H7, Boek 2 H7&8 Martin@CH.TUdelft.NL Boek 2: H7. Verbanden (Recht) Evenredig Verband ( 1) Omgekeerd Evenredig Verband ( 1) Hyperbolisch Verband ( 2) Machtsverband

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Normale Verdeling Inleiding

Normale Verdeling Inleiding Normale Verdeling Inleiding Wisnet-hbo update maart 2010 1 De Normale verdeling De Normale Verdeling beschrijft het gedrag van een continue kansvariabele x. Om kansen te berekenen, moet de dichtheidsfunctie

Nadere informatie

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding.

Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Het gebruik van Excel 2007 voor statistische analyses. Een beknopte handleiding. Bij Excel denken de meesten niet direct aan een statistisch programma. Toch biedt Excel veel mogelijkheden tot statistische

Nadere informatie

SPSS. Statistiek : SPSS

SPSS. Statistiek : SPSS SPSS - hoofdstuk 1 : 1.4. fase 4 : verrichten van metingen en / of verzamelen van gegevens Gegevens gevonden bij een onderzoek worden systematisch weergegeven in een datamatrix bij SPSS De datamatrix Gebruik

Nadere informatie

8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1]

8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1] 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1] Gegeven zijn de volgende 10 waarnemingsgetallen: 1, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9 Het gemiddelde is: De mediaan is het middelste waarnemingsgetal als de getallen naar grootte

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I Examenresultaten Voor de invoering van de tweede fase bestonden de vakken wiskunde A en wiskunde B. In 2 werden deze vakken voor het laatst op alle VWO-scholen geëxamineerd. Bij het Centraal Examen wiskunde

Nadere informatie

Gemiddelde: Het gemiddelde van een rij getallen is de som van al die getallen gedeeld door het aantal getallen.

Gemiddelde: Het gemiddelde van een rij getallen is de som van al die getallen gedeeld door het aantal getallen. Statistiek Modus De waarneming die het meeste voorkomt. voorbeeld 1: De waarnemingen zijn 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7 en 8. De waarneming 5 komt het meeste (driemaal) voor, dus de modus is 5. (Kijk maar:

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Schrijf je antwoorden zo volledig mogelijk op. Tenzij anders aangegeven mag je je rekenmachine niet gebruiken. Sommige vragen zijn alleen voor het vwo, dit staat aangegeven.

Nadere informatie

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Zowel correlatie als regressie meten statistische samenhang Correlatie: geen oorzakelijk verband verondersteld: X Y

Zowel correlatie als regressie meten statistische samenhang Correlatie: geen oorzakelijk verband verondersteld: X Y 1 Regressie analyse Zowel correlatie als regressie meten statistische samenhang Correlatie: geen oorzakelijk verband verondersteld: X Y Regressie: wel een oorzakelijk verband verondersteld: X Y Voorbeeld

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.3 16.3 uur 2 4 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 21

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 0 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage.. Dit eamen bestaat uit 0 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

4.1 Cijfermateriaal. In dit getal komen zes nullen voor. Om deze reden geldt: 1.000.000 = 10 6

4.1 Cijfermateriaal. In dit getal komen zes nullen voor. Om deze reden geldt: 1.000.000 = 10 6 Voorbeeld 1: 1 miljoen = 1.000.000 4.1 Cijfermateriaal In dit getal komen zes nullen voor. Om deze reden geldt: 1.000.000 = 10 6 Voorbeeld 2: 1 miljard = 1.000.000.000 In dit getal komen negen nullen voor.

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Lesbrief de normale verdeling

Lesbrief de normale verdeling Lesbrief de normale verdeling 2010 Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 1 Hoofdstuk 1 de normale verdeling... 2 Hoofdstuk 2 meer over de normale verdeling... 11 Hoofdstuk 3 de n-wet...

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: De normale verdeling. 8.1 Centrum- en spreidingsmaten. Opgave 1:

Hoofdstuk 8: De normale verdeling. 8.1 Centrum- en spreidingsmaten. Opgave 1: Hoofdstuk 8: De normale verdeling 8. Centrum- en spreidingsmaten Opgave : 00000 4 4000 5 3000 a. 300 dollar 0 b. 9 van de atleten verdienen minder dan de helft van het gemiddelde. Het gemiddelde is zo

Nadere informatie

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Hoofdstuk 1 Rekenen Hoofdstuk 2 Lineaire verbanden Hoofdstuk 3 Vlakke meetkunde Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Hoofdstuk 5 Statistiek Hoofdstuk 6 Ruimtemeetkunde Hoofdstuk

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel 26.0 Inleiding In dit hoofdstuk leer je een aantal technieken die je kunnen helpen bij het voorbereiden van bedrijfsmodellen in Excel (zie hoofdstuk 25 voor wat bedoeld

Nadere informatie

13,5% 13,5% De normaalkromme heeft dezelfde vorm als A (even breed en even hoog), maar ligt meer naar links.

13,5% 13,5% De normaalkromme heeft dezelfde vorm als A (even breed en even hoog), maar ligt meer naar links. G&R havo A deel C. von Schwartzenberg /8 a Er is uitgegaan van de klassen: < 60; 60 < 6; 6 < 70;... 8 < 90. b c De onderzochte groep bestaat uit 000 personen. (neem nog eens GRpracticum uit hoofdstuk 4

Nadere informatie

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen R.J. Baars, MSc Kruytgebouw N710 r.j.baars@uu.nl februari 2014 Opbouw van statistiek Statistiek 1 (periode 2: vandaag) Dit college + zelfstudie +

Nadere informatie

Statistiek. Beschrijvend statistiek

Statistiek. Beschrijvend statistiek Statistiek Beschrijvend statistiek Verzameling van gegevens en beschrijvingen Populatie, steekproef Populatie = o de gehele groep ondervragen o parameter is een kerngetal Steekproef = o een onderdeel van

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Beschrijvende statistiek

Beschrijvende statistiek Duur 45 minuten Overzicht Tijdens deze lesactiviteit leer je op welke manier centrum- en spreidingsmaten je helpen bij de interpretatie van statistische gegevens. Je leert ook dat grafische voorstellingen

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

De 10 e editie havo-vwo OB

De 10 e editie havo-vwo OB De 10 e editie havo-vwo OB Presentatie havo/vwo onderbouw 10 e editie 1 HAVO/VWO 1 VWO 2 HAVO 2 HAVO/VWO 2 VWO De delen 10 e editie onderbouw 3 HAVO deel 1 3 HAVO deel 2 3 VWO deel 1 3 VWO deel 2 Presentatie

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

Basisvaardigheden Microsoft Excel

Basisvaardigheden Microsoft Excel Basisvaardigheden Microsoft Excel Met behulp van deze handleiding kun je de basisvaardigheden leren die nodig zijn om meetresultaten van een practicum te verwerken. Je kunt dan het verband tussen twee

Nadere informatie

Examen PC 2 Financiële Rekenkunde

Examen PC 2 Financiële Rekenkunde Examen PC 2 Financiële Rekenkunde Instructieblad Examen : Professional Controller 2 leergang 8 Vak : Financiële Rekenkunde Datum : 18 december 2014 Tijd : 14.00 15.30 uur Deze aanwijzingen goed lezen voor

Nadere informatie

Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten

Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten 21.0 Inleiding In Excel kunnen grote (en zelfs ook niet zo grote) tabellen met getallen en tekst er nogal intimiderend uitzien. Echter, Excel komt helemaal tot haar recht

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Stoeien met Statistiek

Stoeien met Statistiek Stoeien met Statistiek Havo 4: Statistiek op grote datasets 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Docentenhandleiding... 5 Inleiding voor leerlingen... 6 Opdracht 1... 7 Opdracht 2... 8 Opdracht 3...

Nadere informatie

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economie Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

Klantonderzoek: statistiek!

Klantonderzoek: statistiek! Klantonderzoek: statistiek! Statistiek bij klantonderzoek Om de resultaten van klantonderzoek juist te interpreteren is het belangrijk de juiste analyses uit te voeren. Vaak worden de mogelijkheden van

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen Voorkennis V-a Bedrijf A rekent 7 8 + 5 = 6 euro en bedrijf B rekent, 5 8 + 60 = 0 euro. Hij is goedkoper uit bij bedrijf B. b Dat kan met de vergelijking 7a + 5 =, 5a + 60 waarbij a het aantal m zand

Nadere informatie

Een groot Assortiment kost geld?!

Een groot Assortiment kost geld?! Een groot Assortiment kost geld?! Een 1-stappen plan voor Managers Ir. Paul P.J. Durlinger 28-12-212 / WP.5.212 / Versie 1. . Inleiding Wat betekent een groot assortiment voor de winstgevendheid van uw

Nadere informatie

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456

VB: De hoeveelheid neemt nu met 12% af. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? = 1655 oud = 1655 nieuw = 0,88 x 1655 = 1456 Formules, grafieken en tabellen Procenten - altijd afronden op 1 decimaal tenzij anders vermeld VB: Een hoeveelheid neemt met 12% toe to 1456. Hoeveel was de oorspronkelijke hoeveelheid? Oud =? Nieuw =

Nadere informatie

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen SPSS Introductiecursus Sanne Hoeks Mattie Lenzen Statistiek, waarom? Doel van het onderzoek om nieuwe feiten van de werkelijkheid vast te stellen door middel van systematisch onderzoek en empirische verzamelen

Nadere informatie

WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

Aanvulling hoofdstuk 1 uitwerkingen

Aanvulling hoofdstuk 1 uitwerkingen Natuur-scheikunde Aanvulling hoofdstuk 1 uitwerkingen Temperatuur in C en K Metriek stelsel voorvoegsels lengtematen, oppervlaktematen, inhoudsmaten en massa Eenheden van tijd 2 Havo- VWO H. Aelmans SG

Nadere informatie

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2 IJkingstoets 30 juni 04 - reeks - p. /5 Oefening Een functie f : A B : 7 f () van verzameling A naar verzameling B is injectief als voor alle, A geldt: als 6=, dan is f () 6= f (). Welke van de volgende

Nadere informatie

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte. Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde A

Samenvatting Wiskunde A Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval voor

Nadere informatie

De normale verdeling. Les 3 De Z-waarde (Deze les sluit aan bij de paragraaf 10 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode)

De normale verdeling. Les 3 De Z-waarde (Deze les sluit aan bij de paragraaf 10 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode) De normale verdeling Les 3 De Z-waarde (Deze les sluit aan bij de paragraaf 10 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode) De grafische rekenmachine Vooraf In deze les ga je veel met

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Hoe krijg ik in vredesnaam mijn voorraad omlaag?

Hoe krijg ik in vredesnaam mijn voorraad omlaag? Hoe krijg ik in vredesnaam mijn voorraad omlaag? Een benadering voor managers Ir. Paul P.J. Durlinger 31-12-2012 / WP.11.2012 / versie 1.0 Eerder verschenen als expert artikel in Logistiek.nl Hoe krijg

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

DE ROL VAN TOPMANAGEMENT BIJ FORECASTING. -Een pragmatische aanpak-

DE ROL VAN TOPMANAGEMENT BIJ FORECASTING. -Een pragmatische aanpak- DE ROL VAN TOPMANAGEMENT BIJ FORECASTING -Een pragmatische aanpak- Versie 1.0 juli 2015 1 Managements samenvatting In dit white-paper laten we zien wat de manager moet weten over Forecasting. We behandelen

Nadere informatie

Grafieken Cirkeldiagram

Grafieken Cirkeldiagram Er is onderzoek gedaan naar rouw na het overlijden van een huisdier (contactpersoon: Karolijne van der Houwen (Klinische Psychologie)). Mensen konden op internet een vragenlijst invullen. Daarin werd gevraagd

Nadere informatie

Eenvoud bij tekenen en rekenen

Eenvoud bij tekenen en rekenen Eenvoud bij tekenen en rekenen Jan van de Craats In het decembernummer 2005 van Euclides doen Paul Drijvers, Swier Garst, Peter Kop en Jenneke Krüger verslag van een experimenteel project in vwo-5 wiskunde-b

Nadere informatie

Basisvaardigheden Microsoft Excel

Basisvaardigheden Microsoft Excel Basisvaardigheden Microsoft Excel Met behulp van deze handleiding kun je de basisvaardigheden leren die nodig zijn om meetresultaten van een practicum te verwerken. Je kunt dan het verband tussen twee

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Appendix: Zwaartepunten

Appendix: Zwaartepunten Appendi: Zwaartepunten Enkele opmerkingen vooraf: Maak altijd eerst een schets van het betreffende gebied (en dat hoeft heus niet zo precies te zijn als de grafieken die ik hier door de computer kan laten

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1 vwo 2004-I Bevolkingsgroei Begin jaren negentig verscheen in NRC Handelsblad een artikel over de bevolkingsgroei en de gevolgen van deze groei. Bij dit artikel werden onder andere de onderstaande figuren 1A, 1B,

Nadere informatie

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14

Statistiek met Excel. Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14 Statistiek met Excel Schoolexamen en Uitbreidingsopdrachten 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Schoolexamen Wiskunde VWO: Statistiek met grote datasets... 5 Uibreidingsopdrachten vwo 5... 6 Schoolexamen

Nadere informatie

Tussendoelen in MathPlus

Tussendoelen in MathPlus MALMBERG UITGEVERIJ B.V. Tussendoelen in MathPlus Versie 1 Inhoud Tussendoelen onderbouw in MathPlus... 2 Tabel tussendoelen... 2 1HVG... 7 Domein Rekenen... 7 Domein Meten en tekenen... 9 Domein Grafieken

Nadere informatie

Leergang CCP Module 1 Statistiek voor het Credit Management - Drs. J.H. Gieskens AC CCM QT -

Leergang CCP Module 1 Statistiek voor het Credit Management - Drs. J.H. Gieskens AC CCM QT - Leergang CCP Module 1 Statistiek voor het Credit Management - Drs. J.H. Gieskens AC CCM QT - CCP Mod1 - Reader Statistiek Pagina 1 van 17 1. Inleiding: Statistiek De beeldvorming rond het begrip statistiek

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur. VOORAF: Hieronder staat een aantal opgaven over de stof. Veel meer dan op het tentamen zelf gevraagd zullen worden. Op het tentamen zullen in totaal 20 onderdelen gevraagd worden. TECHNISCHE UNIVERSITEIT

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur wiskunde A1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

Korte uitleg van twee veelvoorkomende statistische toetsen Veel wetenschappelijke hypothesen kunnen statistisch worden getoetst. Aan de hand van een

Korte uitleg van twee veelvoorkomende statistische toetsen Veel wetenschappelijke hypothesen kunnen statistisch worden getoetst. Aan de hand van een Korte uitleg van twee veelvoorkomende statistische toetsen Veel wetenschappelijke hypothesen kunnen statistisch worden getoetst. Aan de hand van een statistische toets beslis je of een hypothese waar is.

Nadere informatie

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde A

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde A Wiskunde A Examen HAVO en VHBO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Vooropleiding Hoger Beroeps Onderwijs HAVO Tijdvak 1 VHBO Tijdvak 2 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur Examen VWO 2008 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

22-9-2010. Pieperproef. Praktische opdracht voor wiskunde Klas 2 Havo. 2H_Pieperonderzoek LEERLINGEN JvdB en HB.versie 2.0 1 van 8

22-9-2010. Pieperproef. Praktische opdracht voor wiskunde Klas 2 Havo. 2H_Pieperonderzoek LEERLINGEN JvdB en HB.versie 2.0 1 van 8 Pieperproef Praktische opdracht voor wiskunde Klas 2 Havo 2H_Pieperonderzoek LEERLINGEN JvdB en HB.versie 2.0 1 van 8 Inhoudsopgave Benodigdheden blz. 3 Pieperonderzoek, De proef blz. 4 Uitwerking & Normering

Nadere informatie

MULTIPELE IMPUTATIE IN VOGELVLUCHT

MULTIPELE IMPUTATIE IN VOGELVLUCHT MULTIPELE IMPUTATIE IN VOGELVLUCHT Stef van Buuren We hebben het er liever niet over, maar allemaal worden we geplaagd door ontbrekende gegevens. Het liefst moffelen we problemen veroorzaakt door ontbrekende

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als

Nadere informatie

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A havo 2011 - I

Eindexamen wiskunde A havo 2011 - I Zuinig rijden Tijdens rijlessen leer je om in de auto bij foto 20 km per uur van de eerste naar de tweede versnelling te schakelen. Daarna ga je bij 40 km per uur naar de derde versnelling, bij 60 km per

Nadere informatie

Hoofdstuk 20: Wiskundige functies

Hoofdstuk 20: Wiskundige functies Hoofdstuk 20: Wiskundige functies 20.0 Introductie Er is een uitgebreid aanbod aan wiskundige functies in Excel, variërend van het simpele + teken tot de esoterische statistiek functies voor een correlatie

Nadere informatie