0,269 of binompdf(8, 7, 4) 0,269.

Transcriptie

1 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg / a P (som = 6) = P () + P () = () () P P. + = + = + = b P = = + = + (som 0) P () P () () () = + = + = 6 = P P c T = het aantal keer P ( T ) = P ( T ) = binomcdf(,,) 0,98. d P () = P () + P () = + = + = 6 6. e E = het aantal keer P ( E ) = P ( E ) = binomcdf( n,,) > 0,8. 6 n = 6 (TABLE) P ( E ) 0, 8 en n = 7 (TABLE) P ( E ) 0, 8. Je moet dus minstens 7 keer draaien. 6 f P () = ( ) ( ) 0,7 of 6! ( ) ( ) 0,7.!! g P (** ) = ( ) 0, 0. (waarbij * staat voor "alles mag" en voor "geen ") a P (rrrr r) = 0,6 of ,6. b P (rrrrr r r r) ( ) ( ) 8 = 7 8 0,69 of binompdf(8, 7, ) 0, c P (rrrwwz) = 0, 0 of 7 6 0, = 7 0,6. d P (rrrwwz) ( ) ( ) 8 e P (r r r r r) = ,0 of P (r r r rr) = P (r r r r) P (r) = 7 0, f P (rrr r r r r) = ,6 of P (rrr r r r r) = P (rrr r r r) P (r) = 0, a P (zz) = = 0,079 of 6 = 0, X = het aantal keer " zwart" P ( X = ) = binompdf(0, Ans, ) 0, b P (twee met dezelfde kleur) = P (ww) + P (zz) + P (bb) = + + 0, of P (twee met dezelfde kleur) = P (ww) + P (zz) + P (bb) = = 6 0, Y = het aantal keer " met dezelfde kleur" P ( Y > ) = P ( Y ) = binomcdf(0,ans, ) 0,89. 9 c P (hoogstens blauwe) = P (bb) = 0,8 of 9 8 = 77 0, B = het aantal keer "hoogstens één blauwe" P ( B ) = P ( B ) = binomcdf(0,ans, ) 0,. = = 0,0 of = 0,0. = 0, d P (s) P (ww) P (s s s s) 8 ( ) = = 0, e P (meer dan keer pakken) P (s s s) 8 ( ) a P ( R ) = P ( T ) = binomcdf(, 0.80,) 0,. b P (afwisselend raak en mis) = P (rmrmr) + P (mrmrm) = 0,8 0, + 0, 0,8 0,06. c P (twee keer achter elkaar raak en drie keer mis) = P ( rr mmm) = 0, 8 0, 0, 00.

2 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg / d e a c = = P (twee keer achter elkaar raak en drie keer mis) P (rmm rm) 0,8 0, 0,8 0, 0,0. M = het aantal keer mis P ( M ) = binomcdf(0,0.,) 0,80. P (Amerikanen in de middelste drie banen) = 0, 09. b P (één Duitser in een buitenbaan) = 0, P (tenminste één niet-amerikaan in een buitenbaan) = P (geen niet-amerikaan in een buitenbaan) = 0, P ( ) = = a P (baantje) = P (B) = 0,60 P (geen baantje) = P (B) = 0, 0; P (baantje van meer dan uur/week) = P (M) = 0, 60 = 0, P (kleinere baan) = P (K) = 0, 60 = 0, 0 7 P (B B BMMMMMMMMMMMMKKKKK) = 0, 0 0, 0, 0, 00. 7b P (minstens vijf keer bellen) = P (eerste vier keer geen succes) = P (K K K K) = 0,8 0,. 7c 8 leerlingen, waarvan 6 een baantje. van deze 6 werken meer dan uur hebben een kleinere baan 7 P (vier keer bellen) = P (K K K K) = 0, 09 of P (K K K K) = 7 6 0, = 0, 0 of 0, 0.!!!! = P ( a a a a a a) 0, 0 of 6! 6 6!! 6! 0, 0. (a staat voor iets anders dan een of een ) 6 8 8a P ( ) 6! ( ) ( ) 8b ( ) ( ) ( ) ( ) 8c P (bij de tiende worp evenveel als bij de derde worp) = = 0,. 9a 9b P (som is ) = P () = = (zie de tabel hiernaast). 6 P ( ) = ( ) ( ) = 7 of binompdf(,,) = P (verschil is ) = P () = = (zie de tabel hiernaast). A = aantal keer "verschil is ". 6 P ( A ) = P ( A = 0) = ( ) = 7 of binompdf(,,0) = a (rr) = 6 = 6 a P a a a =. 0b P (rz) = P (rz) + P (zr) = 6 a + a 6 a = 6a + a 6a = a a +. a a a a a 0c = = ( a 6) P (rz) P (rz) a = = a 7. a a a ( a ) a a 0d P (rz) = a 7 > 0, (bladeren door TABLE geeft) a a 8, 9, 0,,..., 0,, of knikkers vaas I II rood 6 a zwart a 6 a totaal a a E = het aantal dat met een begint. (0% van is = ) P ( E < ) = P ( E ) = binomcdf(, 0.0, ) 0, b N = het aantal dat met een 9 begint. (0% van 80 is = 8) 0 P ( N 8) = P ( N 7) = binomcdf(80, 0.06, 7) 0, 0. c Je verwacht dat (0,% dus) 0, aantallen met een begint. P ( E 89) = binomcdf(70, 0.0,89) 0, 00. Er is aanleiding om aan fraude te denken, want de kans dat er 89 of minder met een beginnen is heel erg klein. d = 8 P ( a a a a a) 0, 0 0,76 0, 0, 09 of! 0,0 0,76 0, 0, 09.!!! (a staat voor een,,, 6, 7, 8 of 9)

3 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg / a Op de bovenste stippeltjes P (Sander pakt rood) = P (r S) = =. Dus. Op de middelste stippeltjes P (Rob pakt wit) = P (w R) =. Dus. Op de onderste stippeltjes P (Sander pakt rood) = P (r S) =. Dus. b P (Sander wint in beurten) = P (rs wr r S) = = = 0,0. 0 c Het schema staat in figuur.. a P (Anouk wint in eerste beurt) = P (Anouk pakt keer rood) = P (ra ra r A) = 0, b P (Hinke wint bij het pakken van de vierde knikker) = P (wa rh rh r H) = 0, c P (Anouk wint bij het pakken van de vijfde knikker) = P (wa wh ra ra r A) + P (ra wa wh ra r A) + P (ra ra wa wh r A) = + + 0, a P (rrr) = 7 9 0, b P (wwr) = P (wwr) + P (wrw) + P (rww) = + + 0, a P (EEEEE) = 0, 6 0, 078. b 6 (EEBBBBB) 0,6 0, 0, 0,0. c Dit betekent dat Eline de volgende drie rondes moet winnen met P (Eline wint alsnog) = P (EEE) = 0,6 = 0,6. d P (Eline wint alsnog) = P (EEE) + P (BEEE) = 0,6 + 0, 0,6 0,6 0, 7. 6a Zie de kansboom (met de kansen) hiernaast. 6b P (Anton pakt zwart) = P (mz) = = 0,. 6c P (Anton pakt rood) = P (kr) + P (mr) = + 0, d P (Anton pakt twee keer wit) = P (kwkw) = 0, e P (Anton pakt twee keer rood) = P (krkr) + P (krmr) + P (mrmr) + P (mrkr) = , start k m 7 7 r w r z 7a P (Evelien pakt de eerste keer rood) = P (Ir) + P (IIr) = + 0, b P (Evelien pakt drie keer rood) = P (rrr) = ( + ) 0, c P (Evelien pakt twee keer zwart) = P (IIzIIz) = 0, , 7 s 8a Zie de kansboom hiernaast. p 8b P (Nederlander heeft spierpijnklachten) = P (ps) + P (ps) = 0, 0 0, 7 + 0, 0, = 0, 0. 0, 0 0, s 8c Aantal = ,0 0,7 = 70. start 8d Aantal = ,0 = 00. 0, s 0, p 8e P (persoon met spierpijnklachten heeft Parkinson) = 70 0, ,8 s 8f Van de personen die spierpijnklachten hebben, heeft maar een klein deel de ziekte van Parkinson. (zie 8e) 9a P (testresultaat negatief) = P (geen malaria en negatief) + P (malaria en negatief) = 0,9 0,9 + 0,06 0,0 = 0,90. 9b 9c 0,06 0,80 P (testresultaat positief) = 0, 90 = 0, 09. Dus P (Marc is besmet) = 0, 0. 0,09 0,9 0,9 P (Sabine is niet besmet) = 0, ,90 0a P (Schut is aan het kopiëren) = 8 = 60. 0b 0 P (minstens één keer aan het kopiëren) = P (geen enkele keer aan het kopiëren) = ( ) 0,

4 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg / --- De verondertelling dat voor elke persoon de kans dat hij een kopieerapparaat nodig heeft gelijk is. --- De verondertelling dat op elk moment evenveel behoefte is om te kopiëren. K, het aantal klanten dat op dat moment geholpen moet worden, is binomiaal verdeeld met n = 0 en p =. 80 P ( K > ) = P ( K ) = P ( K ) = binomcdf(0,,) 0, a F, het aantal drukfouten dat op een willekeurige bladzijde staat, is binomiaal verdeeld met n = 8 en p =. 80 P ( F ) = P ( F ) = binomcdf(8,,) 0, b P ( F = ) = binompdf(8,,) 0, Dus je verwacht Ans 80 bladzijden met twee drukfouten. J, het aantal jarige docenten op deze dag, is binomiaal verdeeld met n = 0 en p =. 6 P ( J ) = P ( J ) = binomcdf(0,,) 0, 0. 6 a normalcdf(00,0,80,) 0,08. d b normalcdf( 0, a,80,) = 0, (intersect of) a = invnorm(0., 80,) 7, 8. c normalcdf( b,0, 80,) = 0, 08 (intersect of) b = invnorm(0.9, 80,) 96, 86. normalcdf( 0,.,.8, σ) = 0.7 intersect geeft σ 0,7. 6a normalcdf(000,0,00,6) 0,798. Dus 79,8%. 6b normalcdf(00,009,00,6) 0,0. Dus 0,%. 6c normalcdf( 0,000, µ,8) = 0,0 (intersect) µ 06, (gram). 7a normalcdf(60,70,6.8,9.) 0,. Dus,%. 7b normalcdf( 0, b, 6.8, 9.) = 0, (intersect of) b = invnorm(0., 6.8, 9.) 6,. Dus tot de score 6, val je af. 7c normalcdf( 0, c, 6.8, 9.) = 0, 0 (intersect of) c = invnorm(0.0, 6.8, 9.) 6,. Dus bij de scores van 6, tot 6, mag je herkansen. 8a µ = = 68 = (kg). (een normale verdeling is symmetrisch t.o.v. µ ) normalcdf( 0, 8,, σ ) = 0,0 (intersect) σ 7, (kg). 8b normalcdf(.8,0,,7.) 0,09. Dus 0,9%. (als σ 7, niet gevonden is, neem dan σ = 7,) 8c normalcdf( 0, c,, 7.) = 0, 0 (intersect of) c = invnorm(0.0,, 7.),. Dus tot, kg word je opgeroepen. 8d normalcdf( 0, d,, 7.) = 0, 9 (intersect of) d = invnorm(0.9,, 7.), 7. Dus P9 =, 7 kg. 9a P (kind zwaarder dan kg) = normalcdf(,0,,7.) 0,. 0 9b P (minstens één zwaarder dan kg) = P (niemand zwaarder dan kg) = ( Ans) 0, 7. 9c P (kind lichter dan kg) = normalcdf( 0,,, 7.) 0, C, het aantal kinderen lichter dan kg, is binomiaal verdeeld met n = 0 en p = 0,89... P ( C 6) = P ( C ) = binomcdf(0, , ) 0,9. 0a A is het aantal instellingen dat langer dan 80 seconden ( = minuten) duurt. p = normalcdf(80,0,60,) = 0, ( minuten en 0 seconden = 60 seconden) P ( A 0) = P ( A 9) = binomcdf(80, p, 9) 0,9.

5 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg / 0b B is het aantal instellingen dat minder dan 0 seconden ( = minuut) duurt. p = normalcdf( 0,0,60,) = 0,... Dus naar verwachting duren p 80 handelingen minder dan minuut. 0c C is het aantal instellingen dat meer dan 6 seconden ( = minuten en seconden) duurt. p = normalcdf(6,0,60,) = 0, P ( C ) = P ( C ) = binomcdf( n, p, ) > 0, ( n geheel TABLE) n 8. De werknemer moet minstens 8 remmen instellen. a Vuistregel I: 68% van de waarnemingsgetallen ligt binnen één standaardafwijking van µ a = 68. Vuistregel II: 9% van de waarnemingsgetallen ligt binnen twee standaardafwijkingen van µ b = 9. b µ = = = 6,. (een normale verdeling is symmetrisch t.o.v. µ ) Tussen P, en P97, ligt 9% µ σ = P, 6, σ = 8 σ =, σ =,. a Y X ----σ = --- Y P0 = 0 en P80 = 90 de lijn van de toevalsvariabel X gaat door (0, 0) en (90, 80) (zie hierboven). Lees nu af: bij 0% hoort µ X = 7 en bij 8% hoort µ X + σ X = 9 µ X = 7 en σx = 9 7 = 9. b µ Y = 68 (niet 60 zoals in de eerste boeken) en σy = (niet 0 zoals in de eerste boeken). Dus de lijn van de toevalsvariabel Y gaat door (68, 0) en (79, 8) (zie de figuur bij a hierboven). c µ X = 7 µ + σ = 9 Het snijpunt (9, ) betekent dat van beide toevalsvariabelen % van de waarnemingen onder de 9 ligt. X X a Ja, zie figuur.9. (de gemiddeldes van beide klokken zijn elkaars tegengestelden µ X = µ X ) b Nee, zie figuur.9. (de standaardafwijkingen van beide klokken zijn gelijk σ X = σ X ) 6 De totale afhandelingstijd T = X + Y van de twee fasen is normaal verdeeld met: µ T = µ X + µ Y = = 80 (seconden) en σ T = σx + σy = + 8 = 08 (seconden). P ( T > 60) = normalcdf(00,0, 80, 08) 0, 08. Dus in 8,% van de gevallen. De brutogewicht B = X + Y is normaal verdeeld met: µ B = µ X + µ Y = + 8 = (gram) en σb = σx + σy = 0, + =, 09 (gram). P ( B > 0) = normalcdf(0,0,,.09) 0,. Dus in 9,9% van de gevallen. De totale afstand d = d + d is normaal verdeeld met: µ d = µ d + µ 0 7 (m) en 0 (m). d = + = σ d = σ + σ = + = d d P ( T > 00) = normalcdf(00,0,7, ) 0, 0.

6 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg 6/ 7a De bout is te dik voor de moer als X > Y V = X Y > 0. V is ook normaal verdeeld met: µ V = µ X µ Y =,, = 0, (mm) en σ V = σx + σy = 0, + 0, = 0, 0 (mm). P ( V > 0) = normalcdf(0,0, 0., 0.0) 0,090. Dus in 9,0% van de gevallen. 7b µ V = µ X µ Y =, µ Y (mm) en σ V = 0, 0 (mm). P ( V > 0) = normalcdf(0,0,. µ Y, 0.0) = 0, 0 (intersect) µ Y, 6. Dus met een gemiddelde diameter van de moeren van,6 mm. 8a A = de speelsterkte van Van der Avoird en T = de speelsterkte van Thijssen. Van de Avoird wint van Thijssen als A > T V = A T > 0. V is ook normaal verdeeld met: µ V = µ A µ T = = 0 en σ V = σa + σt = = P ( V > 0) = normalcdf(0,0,0, ) 0, 8. 8b De Elo-rating van Van de Avoird: Rnieuw = Roud + 0( w v ) = (0, 0,8) 67. De Elo-rating van Thijssen: Rnieuw = Roud + 0( w v ) = (0, 0,9) 9. 8c K = de speelsterkte van De Keizer en M = de speelsterkte van Mol. De Keizer wint van Mol als K > M V = K M > 0. V is ook normaal verdeeld met: µ V = µ K µ M = = 90 en σ V = σk + σm = = P ( K wint) = P ( V > 0) = normalcdf(0,0,90, ) 0, 79. De Elo-rating van De Keizer wordt ( 0,79) 06. De Elo-rating van Mol wordt (0 0,) a Limonade verloren als X < Y V = X Y < 0. V is ook normaal verdeeld met: µ V = µ X µ Y = 0 00 = 0 (ml) en σ V = σx + σy = + 8 = 80 (ml). P ( V < 0) = normalcdf( 0,0,0, 80) 0,. Dus in,% van de gevallen. 9b µ V = µ X µ Y = 0 µ Y (ml) en σ V = 80 (ml). P ( V < 0) = normalcdf( 0, 0, 0 µ Y, 80) = 0, 00 (intersect) µ Y 989,. Dus de machine afstellen op een gemiddelde van 989, ml. V µ = 0 0a X = de lengte van man in cm en Y = de lengte van man in cm. σ = 7 Het verschil is meer dan betekent: opp. =... V = X Y < (dus Y X > ) of V = X Y >. V is normaal verdeeld met: µ V = µ X µ Y = = 0 (cm) en σv = σx + σy = = 7 (cm). opp. = normalcdf( 0,, 0, 7) 0, 077 (de gevraagde kans). 0b T, het aantal tweetallen dat meer dan cm verschilt, is binomiaal verdeeld ( n = en p = Ans). P ( T ) = P ( T ) = binomcdf(, Ans,) 0,. De totale afhandelingstijd T is normaal verdeeld met: µ T = = 8 (sec.) en σ T = 0, + 0, + 0, 8 +, 6 =, (sec.). P ( T > 60) = normalcdf(60,0,8,.) 0,. Dus in,% van de gevallen. a De totale fietstijd T is normaal verdeeld met: µ T = = 0 (min.) en σ T =, +, + =, 8 (min.). P ( T > ) = normalcdf(,0, 0,.8) 0, 07. b Van 7: tot 8: zijn + = 0 minuten. T, het aantal keer te laat, is binomiaal verdeeld met n = en p = normalcdf(0,0, 0,.8) 0, P ( T ) = P ( T 0) = binomcdf(, p, 0) 0, 06. c c = invnorm(0.98, 0,.8) 7, 06 (min.). OF...normalcdf( 0, c, 0,.8) = 0, 98 (intersect) c 7, 06 (min.). Dus minstens 7 ( = + ) minuten vóór 8: vóór 7:8. d µ T = µ I + (min.) en σ T =, 8 (min.). normalcdf( 0, 0, µ I +,.8) = 0, 90 (intersect) µ I, 60 (min.). Dus de gemiddelde fietstijd op I is (ongeveer) minuten en 6 seconden.

7 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg 7/ µ som = µ X + µ X + µ X + µ X + µ X + µ X + µ X + µ X = 8 µ X. σ som = σx + σx + σx + σx + σx + σx + σx + σx = 8 σx = σx 8 = 8 σx 8 σx. P ( 60 + ) = P ( ) = P ( > ) = normalcdf(,0, 0, 8 ) 0,0. Xsom Xsom Xsom a b 6a 6b 6c 7 8a 8b P ( X > 0) = normalcdf(0,0, 0, 0, 0) 0, 0. stapel B, het aantal stapels dat niet in de krat past, is binomiaal verdeeld met n = en p = Ans. P ( B ) = P ( B ) = binomcdf(, Ans,) 0, 00. P ( X < 0) = normalcdf( 0,0,, ) 0, 08. P ( B < 0) = normalcdf( 0,0, 6, 6) 0, 087. C, het aantal pakken dat minder dan 0 gram bevat, is binomiaal verdeeld met n = 0 en p = Ans. P ( C > ) = P ( C ) = P ( C ) = binomcdf(0, Ans, ) 0,9. T, het gewicht van een krat met flessen, is normaal verdeeld met: µ T =, + = 0 (kg) en σ T = 0, 0 + 0, = 0, (kg). P ( T > 0, ) = normalcdf(0.,0,0, 0.) 0, 07. Q, de duur van de quiz, is normaal verdeeld met µ Q = 6 = (min.) en σq = 0,7 6 = 0,7 6 (min.). P ( Q > ) = normalcdf(,0,, 0.7 6) 0,9... Dus naar verwachting Ans 0 keer. De verwachting P ( Q > ) 0 P ( Q > ). 0 P ( Q > ) = normalcdf(,0, 6 µ ronde, 0.7 6) = 0, 0 (intersect) µ ronde, (min). Dat is minuten en seconden. 9a P ( X < X > ) = P ( X ) = P ( < X < ) = normalcdf(,,0, ) 0,. 9b P ( X < X > ) = P ( < X < ) = normalcdf(,, 0, ) 0, c P (0 a < X < 0 + a) = normalcdf(0 a,0 + a, 0, ) = 0, 9 (intersect) a, d P ( X < 9 X > ) = P (9 < X < ) = normalcdf(9,, 0, ) = 0, 00 (intersect) n 7,. n P ( X < 9 X > ) < 0, 00 (zie een plot/table) n > 7 (of n 7). 0a P ( A < 0) = normalcdf( 0,0,0.,0.6) 0,. Dus,% van de pakjes. 0b P ( B < 0) = P ( A < 0) = normalcdf( 0,0,0., 0. 6 ) 0,08. Dus,8% van de dozen. 0 0c P ( C < 00) = normalcdf( 0, 00, 0. 0, 0.6 0) 0, 08. Dus,8% van de dozen. 0d Bij een gemiddeld gewicht van 0 gram per pakje, weegt een doos 0 0 = 00 gram. P ( X > 00) = normalcdf(00,0,0., 0 ) 0,96. Dus 96,% van de pakjes. 6 a P ( A < 00) = normalcdf( 0,00,0, σ) = 0, (intersect) σ, 9 (cl). b P ( B < 00) = P ( A < 00) = normalcdf( 0,00,0,. 9 ) 0, 000. c P ( C ) = P ( C = 0) = binompdf(, Ans, 0) 0, 00. normalcdf(,0, 7, ) = 0, 98 (intersect) n 6,. n P ( X ) 0, 98 (zie een plot/table) n > 6 (of n 7).

8 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg 8/ a P ( Z < ) = normalcdf( 0,,., 0.) 0, 7. b P ( B < 00) = normalcdf( 0,00,. 0, 0. 0) 0, 00. c P ( Z <, Z >, ) = P (, Z, ) = P (, < Z <, = normalcdf(.,.,., 0. ) 0,7. 0 Dus van 7,% van de pakjes. d 0 P < =. ( Z ) normalcdf( 0,,., ) = 0, 0 (intersect) n, 7. n P ( Z < ) < 0, 0 (zie een plot/table) n (dus minstens zakjes in een pakje). a Niet juist, want bij aantallen X is X een geheel getal P ( X < ) = P ( X ). b Wel juist, want bij gewichten Y is Y hetzelfde als Y <. 6a continu. 6c continu. 6e discreet. 6g discreet. 6i discreet. 6b discreet. 6d discreet. 6f discreet. 6h continu. 6j discreet. 7a P ( X 0) = P ( Y 0, ). 7b P ( X < ) = P ( X ) = P ( Y, ). 7c P ( X > 8) = P ( X 9) = P ( X 8) = P ( Y 8, ). 7d P ( X 8) = P ( X 7) = P ( Y 7,). 7e P (6 X 0) = P ( X 0) P ( X ) = P ( Y 0,) P ( Y, ). 7f P (8 < X < 0) = P ( X 9) P ( X 8) = P ( Y 9, ) P ( Y 8, ). 7g P ( X 6 X 8) = P ( X 6) + P ( X 8) = P ( X 6) + P ( X 7) = P ( Y 6,) + P ( Y 7,). 7h P ( X = 0) = P ( X 0) P ( X 9) = P ( Y 0,) P ( Y 9, ). 7i P (9 < X ) = P ( X ) P ( X 9) = P ( Y,) P ( Y 9, ). 8a P ( X 8) = P ( Y 8, ) = normalcdf( 0,8.,., 6.9) 0,66. 8b P ( X 8) = P ( Y 7, ) = normalcdf(7.,0,., 6.9) 0,69. 8c P ( X = ) = P (, Y, ) = normalcdf(.,.,., 6.9) 0, 0. 8d P (0 X 0) = P (9, Y 0, ) = normalcdf(9., 0.,., 6.9) 0, 7. 8e P ( X < ) = P ( Y, ) = normalcdf( 0,.,., 6.9) 0, 9. 8f P ( X > 0) = P ( Y 0, ) = normalcdf(0.,0,., 6.9) 0,. 9a P ( X < 0) = P ( Y 9, ) = normalcdf( 0,9.,8.,.) 0, 0. Dus,%. 9b P ( X = 0) = P (9, Y 0, ) = normalcdf(9.,0., 8.,.) 0, 08. 9c P ( X > ) = P ( Y, ) = normalcdf(.,0, 8.,.) 0, 7. 60a P ( X > ) = P ( Y, ) = normalcdf(.,0, 9.8,.6) 0,7. 60b P ( X = 0) = P (9, Y 0, ) = normalcdf(9.,0., 9.8,.6) 0,0. 60c P ( C ) = P ( C ) = binomcdf(6, ,) 0, a P ( X 00) = binomcdf(00, 0.7,00) 0,0. 6b P ( X 00) = P ( Y 00, ) = normalcdf( 0,00., , ( 0.7)) 0,0. 6a X = het aantal personen dat komt opdagen P ( X 00) = binomcdf(0,0.9,00) 0,88. 6b Stel hij accepteert maximaal n reserveringen. P ( X 00) = binomcdf( n, 0.9,00) > 0,. TABLE geeft n 6. Dus hij noteert maximaal 6 reserveringen.

9 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg 9/ 6 n = 0 en p = 0, 7 np = 0 0, 7 = > en n( p) = 0 0, = >. (dus X normaal te benaderen met toevalsvariabele Y waarvan) µ Y = np = en σy = np( p) = 0, = 0,. P ( 0, < Y < + 0,) = normalcdf( 0., + 0.,, 0.) 0, 68. n = 00 en p = 0, 7 µ Y = np = 80 en σy = np( p) = 80 0, = 8. P (80 8 < Y < ) = normalcdf(80 8, , 80, 8) 0, 68. n = 900 en p = 0, 7 µ Y = np = 60 en σy = np( p) = 60 0, = 89. P (60 89 < Y < ) = normalcdf(60 89, , 60, 89) 0, 68. De vuistregel klopt ook bij de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X. 6 E ( X ) = 0 np = 0❶ σx = 0 np( p) = 0❷ ❶ ❷ in 0( p) = 0 (kwadrateren) 0( p) = 900 = 0,7 in n 0,7 = 0 n = = p = = p 0 ❶ 0 0,7 6 E ( X ) = np = ❶ σx = np( p) = ❷ ❶ in ❷ ( p) = (kwadrateren) ( p) = 9 9 p = = = p = in ❶ n = n = = 8. P ( X 6) = P ( X ) = binomcdf(8,,) 0,. Diagnostische toets = 0,00 of 0,00. 6!!!!!! Da P (66)! ( ) ( ) = 0, 00 of !!! 6 6 0, P (66********6 6) = 0, 09. (* mag elk aantal zijn) Db P (6666aaaa)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dc ( ) ( ) Dd P (vier of vijf keer gooien) = P (vier keer gooien) + P (vijf keer gooien) = P (*666) + P (66 666) + P (66666) + P ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 0, Da Db Dc A, het aantal keer even, is binomiaal verdeeld met n = 6 en p = =. 6 P ( A > 0) = P ( A ) = P ( A 0) = binomcdf(6,,0) 0,0. B, het aantal keer of 6 ogen, is binomiaal verdeeld met n = 6 en p = =. 6 P ( B = ) = binompdf(6,, ) 0,08. C, het aantal keer of ogen, is binomiaal verdeeld met n = 6 en p = =. 6 P ( < C < 0) = P (6 C 9) = binomcdf(6,, 9) binomcdf(6,, ) 0, 7.

10 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg 0/ Da P (rw) = P (rw) + P (wr) = 8 0 a + a 8 a = 0 8a + a 8a = a 6a + 0. a 0 a 0 0a 0a 0a Db P (rw) = a 6a + 0 = 0,6 (bladeren door TABLE geeft) 0a a = 0 of a =. ( a is het aantal knikkers in vaas I) Dc Dd = = 8 8 6( a 8) P (rw) P (rw) a = = 6a 8. a a a( a ) a a = = 0 a(0 a) P (rw) P (rw) a a = = 60a a a(0 a) > 0, (bladeren door TABLE) a= a = a = a = 6 a = 7. (rode knikkers in vaas II) 870 Da P (na keer pakken 7 blauwe over) = P (rb) = P (rb) + P (br) = , 09. Db P (na keer pakken 6 blauwe over) = P (rbb) = P (rbb) + P (brb) + P (bbr) = , 8. Da P (Klaas wint in 7 beurten) = P (Klaas moet na 6 beurten nog punt) 6 6 = P (KKKKKL K) = P (KKKKKL) P (K) = ( ) = 6 ( ) 0, = + = + = + 0, Db P (Leo wint in 7 beurten) P (LLLL) P (KLLL L) P (LLLL) P (KLLL) P (L) ( ) ( ) vaas I II rood 8 a wit a 8 0 a totaal a 0 D6 D7 D8 K, het aantal klanten dat op dat moment de helpdesk belt, is binomiaal verdeeld met n = 00 en p = = P ( K > 6) = P ( K 7) = P ( K 6) = binomcdf(00,, 6) 0,8. 0 B, het aantal bouten langer dan 7 mm, is binomiaal verdeeld met n = en p = normalcdf(7,0, 8,.) 0, P ( B = ) = p 0,87 (of binompdf(, p, ) 0, 87). De totale productietijd T is normaal verdeeld met: µ T = 9, +, + 0, 7 =, (minc.) en σ T =, +, +, = 9, 9 (min.). P ( T > ) = normalcdf(,0,., 9.9) 0,. Dus in,% van de gevallen. D9a V, de dikte van de plank na schaven, is normaal verdeeld met: µ V =,0 0, =, 7 (cm) en σ V = 0, + 0, 09 = 0, 077 (cm). P ( V <, 70) = normalcdf( 0,.70,.7, 0.077) 0,8. Dus 8,%. D9b µ V =,0 µ D (cm) en σ V = 0, 077 (cm). P ( V <, 70) = normalcdf( 0,.70,.0 µ D, 0.077) = 0, 0 (intersect) µ D 0,06 (cm). Dus afstellen op een dikte van 0,06 cm (of minder). D0a P ( A > 600) = normalcdf(600,0, 70 6, 6) 0, 077. D0b P ( B < 70) = normalcdf( 0, 70, 70, ) 0, 00. Dus 0,%. 6 D0c P (79 < B < 7) = normalcdf(79, 7, 70, ) = 0, 9 (intersect) n,. n P (79 < B < 7) > 0, 9 (zie een plot/table) n (of n > ). Da P ( X = X = ) = P (, Y, ) = normalcdf(.,.,., 8.) 0, 096. Db P ( X 0) = P ( Y 9, ) = normalcdf(9.,0,., 8.) 0,00. Da E ( X ) = 00 np = 00❶ σx = 0 np( p) = 0❷ ❶ in ❷ 00( p) = 0 (kwadrateren) 00( p) = 00 p = 00 = 00 = p = in ❶ n = 00 n = 00 = 00. Db P ( X ) = P ( X ) = binomcdf(00,, ) 0,.

11 Ga G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg / Gemengde opgaven. Mathematische statistiek A is het aantal keer 6 ogen bij het werpen met één dobbelsteen. P ( A > ) = P ( A ) = P ( A ) = binomcdf(0,,) 0,. 6 Gb B is het aantal keer meer dan 9 ogen bij het werpen met twee dobbelstenen. P ( B ) = P ( X ) = binomcdf(, 6, ) 0,. 6 Gc p = P (som ) = P (som = ) + P (som = ) + P (som = ) Gd Ga = P () + P () + P () + P () = P () + () () () P + P + P = = = C is het aantal keer hoogstens ogen bij het werpen met drie dobbelstenen. P ( C ) = binomcdf(0, 0, ) 0, D is het aantal keer oog bij het werpen met één dobbelsteen. P ( D ) = P ( D ) = binomcdf( n,,) > 0, 9 (TABLE) n 6 (of n > ). 6 A is het aantal keer 6 ogen bij het werpen met één dobbelsteen. 8 P = P A = 0 = ( 6 ) 0, Gb P (666aa...a) = ( ) ( ) ( ) 0, 06. (geen enkele keer 6) ( ) (of binompdf(8,, 0)) (a staat voor "iets anders dan een of een 6") = 0, ( keer "drie 6 naast elkaar" en verder keer "geen 6") 6 Gc P ( ) ( ) ( ) Gd P (666) ( ) 8 = 0, G, X, het gemiddelde gewicht van de koeken in een trommel, is normaal verdeeld met µ X =, en σx = (gram). n P. ( X >, 0) = normalcdf(.0,0,., ) = 0, 9 n 8,. n P ( X >, 0) 0,9 (zie een plot/table) n 9 ( of n > 8). Hij doet minstens 9 (of meer dan 8) koeken in de blikken trommel G Dsom, de totale dikte van de 0 tabletten, is normaal verdeeld met: µ D = 0, 8 0 = 6, (cm) en σ 0, 0 0 (cm). som D = som De tabletten passen niet in het buisje als Dsom > L V = Dsom L > 0. V is normaal verdeeld met: µ V = µ D µ L = 6, 7,0 =, (cm) en σ V = σ + σl = 0, , 8 = 0, 80 (cm). Dsom P ( V > 0) = normalcdf(0,0,., 0.80) 0, 007. som Ga A = het aantal reizen dat niet wordt geannuleerd. P ( A 0) = binomcdf(0, 0.9,0) 0, 80 (de gevraagde kans). Gb P ( A > 0) = P ( A ) = P ( A 0) = binomcdf( n, 0.9,0) 0, 0 (TABLE) n. Dus men zal maximaal reizen verkopen. G6a G6b G6c P ( A < 8, ) = normalcdf( 0, 8., 8, σ) = 0, 08 (intersect) σ, 78 (gram). P ( A < 8) = normalcdf( 0, 8, 8,. 78 ) 0, C, het totale vulgewicht van een doos, is normaal verdeeld met: µ C = 8 0 (gram) en σc =,78 0 (gram). V, het verschil in vulgewicht tussen twee dozen, is normaal verdeeld met: µ V = µ C µ C = 0 (gram) en σ V = σc + σc = σc = σc =, 78 0 (gram). P (verschil minstens 0) = P ( V < 0 V > 0) = normalcdf( 0,0, 0,, 78 0 ) 0,7.

12 G&R vwo A deel Mathematische statistiek C. von Schwartzenberg / G7a G7b G7c P (tegoedbon) = P (kk) + P (ll) + P (nn) + P (vv) = 0, + 0, + 0, + 0, = 0,8. P (tegoedbon) = P (vv) + P (kk) + P (ll) + P (nn) = k + ( k ) = k + ( k ) ( k ) = k + ( k k + k ) = k + k k + k = k k P (tegoedbon) = k k + dp = k. dk dp = 0 8 k = 0 ( ) 8k = 0 8k = k = =. dk 8 Dus de kans op een tegoedbon is minimaal (volgt uit de vraagstelling of uit een schets) voor k =. P (tegoedbon) = P (vv v) + P (vvv) = 0,6. + G7d ( ) ( ) G8a Tom verwacht 0 = juiste antwoorden = punten. G8b De verwachtingswaarde van de score per vraag is (punt) + 0, = = = G8c score = ( pa + ( pb ) + pc + pd ) = (0, + 0, , ) = 0, 86. G8d pa =, pb = 0, pc = 0 en pd = 0. pa = 0, pb =, pc = 0 en pd = 0. pa = 0, pb = 0, pc = 0 en pd =. G8e Mogelijkheid II Als het juiste antwoord er bij zit (met een kans van ) is de score (( ) + ( ) ) =. Als het juiste antwoord er niet bij zit (met kans van ) is de score (( ) + ( ) + ) =. De verwachte score is dus + = = 0. Mogelijkheid III Als het juiste antwoord er bij zit (met kans van ) is de score (( ) + ( ) + ( ) ) =. Als het juiste antwoord er niet bij zit (met kans van ) is de score (( ) + ( ) + ( ) + ) =. De verwachte score is dus + = = =. 6 Conclusie: Mogelijkheid IV met een verwachte score van 0, (gegeven) is de meest verstandige strategie. G9a G9b P (een stuk zeep weegt minder dan 90 gram) = normalcdf( 0, 90, 9,.) 0, 06. P (alle drie stukken zeep wegen minder dan 90 gram) = Ans 0, 000. P( T < 60) = normalcdf( 0, 60, 9,. ) 0, 0. G9c P (een stuk zeep wijkt minder dan σ van µ af) = normalcdf(9., 9 +., 9,.) 0, 7. 0 P (machine opnieuw instellen) = P (alle 0 gewichten wijken minder dan σ van µ af) = Ans 0, 07. G9d P (een stuk zeep wijkt meer dan σ van µ af) = normalcdf(9., 9 +., 9,.) 0, 0. (of volgens de tweede vuisteregel een kans van 00% 9% = %) P (machine opnieuw instellen) = 0, 0 + 0, 9 0, 0 0, 00. (of met gebruik van de tweede vuisteregel 0, 0 + 0, 9 0, 0 0, 00) G0a X = de levensduur in uur van de linker koplamp. P ( X < 00) = normalcdf( 0,00,00, 0) 0,87... P (beide koplampen binnen 00 branduren stuk) = Ans 0, 0. G0b Y = de levensduur in uur van de rechter koplamp. V = X Y is normaal verdeeld met µ V = µ X µ Y = = 0 (branduren) en σ V = σx + σy = σx = σx = 0 (branduren). P (verschil kleiner dan 0 branduren) = P ( 0 < V < 0) = normalcdf( 0,0, 0, 0 ) 0, 0.