12 Curvefitting Inleiding
|
|
- Alfred Beckers
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 12 Curvefitting 12.1 Inleiding In dit hoofdstuk wordt er, naar aanleiding van de vele vragen over de werking van Maple wat betreft curvefitting, aandacht aan dit onderwerp besteed. Vanaf Maple 7 is een aantal interessante nieuwe commando s in het pakket CurveFitting beschikbaar gekomen. Het betreft krommen in de R 2 afgeleid van een aantal punten in de R 2. Dit pakket maakt het gemakkelijk om bijvoorbeeld de kleinste kwadratenmethode (Leastsquare) toe te passen op een aantal gegeven punten, splines te maken of Lagrange-interpolatie te doen. Verder is er nog een aantal handige commando s in het Statistics-pakket voor nog enkele andere regressiemethoden. Voor uitgebreide statistische technieken is specifieke statistische software eigenlijk meer aan te bevelen. Als er decimale getallen ingevoerd worden en er geen parameters gebruikt worden, dan wordt er binnen deze pakketten met hardware float gerekend (veel meer decimalen dan 10). Het beste is dan om de displayprecision wat laag te zetten (zie ook blz. 7). Als er gehele getallen ingevoerd worden, dan wordt er in vele gevallen exact gerekend. Voorbeeld 12.1 Curvefitting met een Maplet. Gegeven is een aantal punten waarmee verschillende curves te maken zijn. We kiezen in dit voorbeeld voor lineaire regressie. Dat wil zeggen dat er met behulp van LeastSquares een rechte lijn gemaakt wordt die zo goed mogelijk door de gegeven puntenwolk gaat. > restart; interface(displayprecision=2,warnlevel=0): with(curvefitting): XY:=[[30,40],[40,45],[45,50],[46,60],[50,65],[65,70],[75,80]]; Interactive(XY); XY := [[30, 40], [40, 45], [45, 50], [46, 60], [50, 65], [65, 70], [75, 80]] x 1217 Zie Figuur 12.1 waarin gekozen wordt voor LeastSquares. Met de volgende opdrachten heb je een manier om over een figuur te beschikken zoals ook in dit Maplet te zien is. > lijn:=evalf(%); lijn := x > with(plots): p1:=plot(xy,style=point,symbolsize=20,symbol=circle): p2:=plot(lijn,x=20..70,thickness=2): display({p1,p2},title="lineaire regressie",labels=["x","y"]); Zie Figuur Toelichting: In dit voorbeeld worden de punten gegeven in de vorm van een lijst met deze keer alleen gehele getallen. Dat kan ook anders zoals in paragraaf 12.5 te zien is. In het Maplet zien we verschillende mogelijkheden om met de gegeven punten een curve te maken. De punten kunnen binnen het Maplet eventueel nog aangepast of aangevuld worden met Edit Points (vanaf versie 9.5). Hier is gekozen voor LeastSquares waarbij een standaardformule ax + b van een rechte lijn wordt
2 238 Handleiding Maple 10 Figuur 12.1 opgegeven. Deze formule kan aangepast worden en andere modellen zijn mogelijk, zie paragraaf Als vervolgens op Done geklikt wordt, verschijnt de formule van de berekende regressielijn in het worksheet, klaar om er verder mee te werken bijvoorbeeld om een grafiek te maken. Verder is er ook mogelijk om te kiezen voor Polynomial Interpolation waarover in paragraaf 12.4 meer informatie gegeven wordt en waarbij er een curve gemaakt wordt van de graad n die door n +1punten gaat. Ook kan er gekozen worden voor Spline, een aaneenschakeling van krommen. Een spline gaat door de gegeven punten en heeft speciale eigenschappen (zie paragraaf 12.3). De andere mogelijkheden van het Maplet worden hier niet verder behandeld. (Als er punten opgegeven worden met floating point, dan verschijnt de mogelijkheid van Rational Interpolation niet in het Maplet.) 12.2 Regressiekrommen (Trendlijnen) Met behulp van het commando LeastSquares uit het CurveFitting-pakket is het niet alleen mogelijk om de vergelijking van een rechte lijn door een puntenwolk te laten berekenen zoals in voorbeeld 12.1 te zien is, maar het is ook mogelijk om andere regressiemodellen te hanteren die mogelijk beter passen bij het probleem. Elke modelcurve kan als model dienen waarin de parameters (a, b, c enz.) lineair voorkomen. Deze parameters worden door het programma berekend, zodat de berekende regressiekromme (trendlijn) zo goed mogelijk door de puntenwolk gaat. Aan deze berekening ligt de methode van de kleinste kwadraten ten grondslag, zie voorbeeld In de praktijk werk je met deze berekende waarden om verder aan het model te rekenen. Met behulp van het Statistics-pakket kunnen in voorbeeld 12.3 nog een paar extra mogelijkheden onderzocht worden van situaties die beschreven worden door modellen
3 12 Curvefitting 239 waarin de parameters níet lineair voorkomen. Voorbeeld 12.2 Trendlijnen maken met LeastSquares. Met een aantal gegeven punten die in een databestand staan, kunnen verschillende trendlijnen gemaakt worden, afhankelijk van het model dat het verband aangeeft tussen de twee variabelen. > restart: interface(displayprecision=2,warnlevel=0): with(plots): with(curvefitting):xy:=readdata("data2.txt",2); XY := [[0.22, 0.74], [0.19, 1.40], [0.55, 1.76], [0.76, 2.55], [1.18, 2.82], [1.00, 2.49], [1.55, 2.76], [1.85, 2.94], [2.46, 3.05]] > lijn:=leastsquares(xy,x); lijn := x > kromme:=leastsquares(xy,x,curve=a-b*exp(-2*x)); ( 2 x) kromme := e > polynoom:=leastsquares(xy,x,curve=a*x^3+b*x^2+c*x+d); polynoom := x x x 2 > logaritmisch:=leastsquares(xy,x,curve=a+b*ln(x)); logaritmisch := ln(x) > Punten:=plot(XY,style=point,symbolsize=15,symbol=circle): regr_kromme:=plot(kromme,x=0..3,thickness=2): regr_lijn:=plot(lijn,x=0..3,linestyle=2): regr_polynoom:=plot(polynoom,x=0..3): regr_logaritmisch:=plot(logaritmisch,x=0..3,linestyle=3): display({punten,regr_kromme,regr_lijn,regr_polynoom,regr_logaritmisch}); Zie Figuur verschillende trendlijnen door de gegeven punten 4 3 Y X 2 Figuur 12.2 Toelichting: In dit voorbeeld worden de data gelezen vanuit een databestand dat bijvoorbeeld in een ander programma (Excel) is voorbereid (zie paragraaf 12.5 voor uitleg). Bij LeastSquares moet behalve de lijst met punten ook de variabele (x of
4 240 Handleiding Maple 10 een andere letter) waarin de curve wordt uitgedrukt opgegeven worden. Standaard wordt de rechte lijn gegenereerd. Als extra optie kan een andere modelcurve worden meegegeven met curve=... De parameters van deze curve die als model dient, worden hier a, b, c enzovoort genoemd, maar kunnen ook anders genoemd worden, als maar niet de letter gekozen wordt die als variabele dienst doet. Verder kunnen de verschillende mogelijkheden gevisualiseerd worden door er grafieken van te maken die hier in één figuur met display uit het plotpakket worden weergegeven. Uiteindelijk was het model a b e 2x het best passend. De grafiek van deze berekende kromme is vet weergegeven. Voorbeeld 12.3 Regressie binnen het Statistics-pakket: macht- en exponentieel verband. Bij het werken in het Statistics-pakket moeten de data beslist aangeleverd worden in de vorm van een lijst met x-waarden en een lijst met y-waarden. (Dat kan ook met twee vectoren.) Als gegeven is dat tussen de grootheid X en de bijbehorende waarden Y een exponentieel verband y = a e bx bestaat (de parameters a en b zitten nu niet lineair in het regressiemodel), dan kunnen de waarden van a en b met ExponentialFit van het Statistics-pakket gevonden worden. Bij een verband dat als model een machtsfunctie y = ax b heeft, kan het commando PowerFit van het Statistics-pakket gebruikt worden. > restart;interface(warnlevel=0,displayprecision=3):with(plots): with(statistics):x:=[1, 2, 3, 4, 5]; Y:=[3.0, 5.1, 7.8, 15.9, 30.3]; X := [1, 2, 3, 4, 5] Y := [3.000, 5.100, 7.800, , ] > f:=exponentialfit(x,y,x); (0.576 x) f := e > g:=powerfit(x,y,x); g := x > Functies:=plot([f,g],x=0..6,color=[black,blue],thickness=[2,1]): Punten:=ScatterPlot(X,Y,color=black,symbolsize=15,symbol=circle): display({punten,functies},title="macht en exponentieel verband(vet)"); Zie Figuur macht en exponentieel verband (vet) Y X Figuur 12.3
5 12 Curvefitting 241 Toelichting: Er worden bij het werken binnen het Statistics-pakket voor de data dus twee lijsten aangeleverd. Met ExponentialFit wordt automatisch het model y = a e bx aangeroepen. Wel moet de variabele (x of een andere letter) nog worden opgegeven. Evenzo wordt bij PowerFit automatisch het model y = ax b aangeroepen. Voor de grafiek van de punten is gebruik gemaakt van ScatterPlot uit hetzelfde Statistics-pakket omdat de data in de vorm van twee lijsten zijn aangeleverd en het commando plot dat niet accepteert. Zie ook paragraaf 12.5 om de data in een andere vorm te om te zetten Splines Een spline is een vloeiende kromme door een aantal gegeven punten (knooppunten). Vloeiend wil zeggen dat de functie die deze kromme beschrijft overal continu is. Echter dat niet alleen: de functie moet ook overal differentieerbaar zijn. Dat wil zeggen dat de linker- en rechter afgeleide met name in de knooppunten, gelijk moeten zijn. De raaklijn krijgt daaarmee een vloeiend verloop. Voor de tweede afgeleide geldt zo mogelijk hetzelfde, want de kromming moet liefst vloeiend verlopen. Deze eisen kunnen verwezenlijkt worden als er een aantal krommen aan elkaar worden geknoopt die minimaal van de derde graad zijn. Splines van de derde graad noemt men natural splines. Het woord spline betekent latje. Je kunt je voorstellen dat een lange lat langs spanten gebogen wordt. De plaatsen vandespantenzijndeknooppuntenen de lange lat gaat zich buigen in de vorm van een natural spline. De natural splines (vloeiende krommen) zijn polynomen van de derde graad en kunnen gegenereerd worden met behulp van Spline uit het CurveFitting-pakket. Zie ook het Maplet van voorbeeld 12.1 waar je kunt kiezen voor Spline. Voorbeeld 12.4 Splines. Een eenvoudig voorbeeld met gegeven knooppunten (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 3) waardoorheen een natuurlijke spline gemaakt wordt. > restart;interface(warnlevel=0,displayprecision=2):with(curvefitting): with(plots): M:=<<0 0>, <1 1>, <2.0 4>, <3 3>>; 0 0 M := > f1:=spline(m,x,degree=1); f1 := x x < x x < x otherwise > f3:=spline(m,x);
6 242 Handleiding Maple x +.80 x 3 x < 1 f3 := x ( x 1) ( x 1) 3 x < x 3.60 ( x 2.0) ( x 2.0) 3 otherwise > krommen:=plot([f1,f3],x=0..3,linestyle=[2,1],thickness=[1,3]): punten:=listplot(m,style=point,symbolsize=15): display({krommen,punten},title="natural Spline en Spline van de eerste graad",labels=["x","y"]); Zie Figuur Natural Spline en Spline van de eerste graad x Figuur 12.4 Toelichting: Bij dit voorbeeld wordt de lijst met punten als matrix ingevoerd (hier met paletten, zie paragraaf 1.3.7). Het commando Spline uit het CurveFittingpakket accepteert behalve een lijst met punten ook een matrix of een tweetal lijsten, of vectoren. Let daarbij wel op de volgorde van de waarden van de onafhankelijke variabele (hier de x-waarden). Deze x-waarden moeten beslist in opklimmende volgorde ingevoerd worden bij het gebruik van Spline en dat kunnen ook numerieke waarden zijn. Vervolgens moet de variabele waarin de piecewise-functie beschreven wordt (x of een andere letter), opgegeven worden. Standaard wordt met dit commando de natural spline (van de derde graad) gegenereerd, maar er kan ook een spline van bijvoorbeeld de eerste graad gemaakt worden f 1 : de aaneenschakeling van een aantal lijnstukken. Merk op dat de de grafiek van f 3 bestaat uit derdegraadskrommen (cubic spline of natural spline) die in de knooppunten aan elkaar gekoppeld worden. De grafiek loopt vloeiend langs de punten. Het aantal decimalen kan voor de overzichtelijkheid met displayprecision wat lager gezet worden. Over splines is nog veel meer te zeggen als het gaat om de situatie aan het begin en het eind van de spline. Kijk daarvoor in de helpfunctie?spline Lagrange-polynomen Zoals bekend, gaat er een rechte lijn door twee gegeven punten (steunpunten). Er gaat een parabool door drie gegeven punten. Zo kun je verder redeneren en er gaat dus een
7 12 Curvefitting 243 grafiek van een derdegraadspolynoom door vier steunpunten. In het algemeen kun je dus een n e -graads polynoom construeren door n +1steunpunten. Deze manier van punten verbinden heet Lagrange-interpolatie en Maple heeft voor deze constructie een commando in het CurveFitting-pakket: PolynomialInterpolation (interpolatie) om de Lagrange-polynoom te maken. Het nadeel van deze interpolatiemethode is gelegen in het feit dat hoe meer steunpunten, hoe hoger de graad van de Lagrange-interpolatie polynoom wordt! Dit is niet altijd even wenselijk. Voorbeeld 12.5 De Lagrange-interpolatiepolynoom door de volgende vijf punten (0, 3.2), (1.5, 4.8), (3.4, 3), (4.9, 7.1), (7, 1.4) is van de vierde graad. De punten worden samen met de grafiek van de polynoom weergegeven. > restart; interface(displayprecision=2,warnlevel=0): with(curvefitting): with(plots):x,y:=vector([0,1.5,3.4,4.9,7]),vector([3.2,4.8,-3,7.1,1.4] ):M:=<<X Y>>; M := > kromme:=polynomialinterpolation(m,z); kromme := 0.29 z z z z > Punten:=listplot(M,style=point,symbolsize=15,symbol=circle): Kromme:=plot(kromme,z= ,color=black): display({punten,kromme},title="lagrange interpolatiepolynoom"); Zie figuur Lagrange interpolatiepolynoom z Figuur 12.5 Toelichting: Het enige dat je moet opgeven bij het commando PolynomialInterpolation is een lijst met punten of een n 2-matrix of twee vectoren van dimensie n of twee lijsten met n elementen, waarvoor moet gelden dat de waarden voor x zonder doublures is. De volgorde is niet van belang. Automatisch wordt met PolynomialInterpolation uit het CurveFitting-pakket een polynoom gegenereerd van de graad n 1. Als je numeriek wilt rekenen geef dan minstens één van de getallen met decimale
8 244 Handleiding Maple 10 punt op. Maar als er alleen gehele getallen opgegeven worden, dan kan de polynoom ook exact berekend worden. De Lagrange-interpolatiepolynoom is hier van de vierde graad, omdat er vijf steunpunten gegeven zijn. Van deze polynoom definieer je de grafiek en de punten kunnen in een grafiek weergegeven worden met listplot uit het plotpakket (plot kan alleen met lijsten of verzamelingen punten werken en niet met een matrix). Met het commando display uit het plotpakket kunnen de beide grafieken zoals in figuur 12.5 worden weergegeven Aanbieden van de data Het voornaamste voordeel van de commando s in het CurveFitting-pakket is, dat de argumenten die met het commando meegegeven moeten worden, overzichtelijk zijn. Bovendien zijn er meer mogelijkheden voor het definiëren van de punten. Data in de vorm van een lijst met punten (voorbeeld 12.1) kan gebruikt worden bij alle commando s van het CurveFitting-pakket. De lijst met punten kan dan ook met plot gemakkelijk in een grafiek worden weergegeven. De data die gegenereerd zijn in een andere applicatie, kunnen binnengehaald worden met readdata (zie voorbeeld 12.2) waarmee deze data automatisch ook weer vertaald worden naar een lijst met punten. Maak bijvoorbeeld in Excel een tabel aan van twee kolommen en sla deze op als tekst-bestand. Kies daarbij voor tab-delimited met extensie.txt. Dit tekstbestand plaats je in dezelfde directory als waarin het Maple-worksheet is opgeslagen, anders moet het volledige pad van het databestand worden opgegeven bij readdata. De optie 2 bij het commando readdata slaat op het meenemen van de eerste twee kolommen van het bestand. De lijst met punten kan ook als matrix aangeboden worden zoals in voorbeeld Voor de grafiek met punten, kan dan gebruikgemaakt worden van listplot uit het plotpakket, want plot accepteert geen matrices maar wel lijsten of verzamelingen met punten. Zie ook voorbeeld Het is ook mogelijk om twee lijsten of twee vectoren aan te maken. Een lijst (X ) voor de waarden van de onafhankelijke variabele en een even lange lijst (Y )voorde waarden van de afhankelijke variabele. De commando s uit het CurveFitting-pakket worden dan als volgt: LeastSquares(X,Y,x). Ook het Maplet van voorbeeld 12.1, accepteert lijsten of vectoren of een matrix of een lijst met punten. Binnen het Statistics-pakket moet beslist alleen met lijsten of vectoren gewerkt worden (voorbeeld 12.3). Dit heeft een nadeel voor het maken van grafieken, maar omdat toch het Statistics-pakket geactiveerd moet worden kan gebruikgemaakt worden van Scatterplot dat wel lijsten accepteert. Voorbeeld 12.6 Omzettingen. Wil je een databestand binnenhalen om te gebruiken bij het Statistics-pakket doe dan de volgende omzet-manouvre om er een n 2-matrix van te maken waaruit je met Column van het LinearAlgebra-pakket weer twee vectoren kunt maken (zie paragraaf 8.3.1). Met het binnenhalen van data uit een databestand wordt standaard een lijst met punten als decimale getallen gegenereerd. Als je wilt dat het gehele getallen zijn, dan moet dat aangegeven worden met de optie integer, anders worden de data als floating point-getallen opgevat. > XY:=readdata("data1.txt",2,integer); XY := [[50, 65], [30, 40], [65, 70], [46, 60], [40, 45], [75, 80], [45, 50]]
9 12 Curvefitting 245 > M:=convert(XY,Matrix); M := > X,Y:=LinearAlgebra:-Column(M,[1,2]); X, Y := 46, De vectoren X en Y kunnen nu gebruikt worden binnen het Statistics-pakket.
maplev 2010/7/12 14:02 page 277 #279
maplev /7/ 4: page 77 #79 Module 8 Benaderende en interpolerende functies Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Bestanden Zie ook Continue en differentieerbare functies door gegeven punten; kleinste
Nadere informatiexxii Handleiding Maple 10
xxii Handleiding Maple 10 dat geval kun je van de vectorvergelijking een stelsel vergelijkingen maken in de vorm van een verzameling of een lijst naar keuze en dit stelsel te lijf gaan met solve of andere
Nadere informatieGrafieken in Excel2003
Grafieken in Excel2003 1 Enkelvoudige grafiek Een enkelvoudige grafiek bestaat uit één dataset van xy-koppels op een XYassenstelsel. De gegevens mogen zich in kolommen of in rijen staan. Verder gaan we
Nadere informatieGrafieken in Excel2007
Grafieken in Excel2007 1 Enkelvoudige grafiek Met een enkelvoudige grafiek wordt het uitzetten van één dataset op een assenkruis bedoeld. Meestal zullen de gegevens in kolommen staan maar in rijen is ook
Nadere informatie1. Het werken met een rekenblad: een inleiding
1. Het werken met een rekenblad: een inleiding In onderstaand figuur is een rekenblad weergegeven Celinhoud CEL A4 Actieve Cel RIJEN RIJEN, KOLOMMEN EN CELLEN Figuur 1 CEL B6 Zoals je ziet bestaat een
Nadere informatieOefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1 Introductie Taylor polynoom, floating point getal, afrondfout Orde symbool Landau 1. Laat f(x) = x 3. Bepaal het tweede orde Taylor
Nadere informatieBasisvaardigheden Microsoft Excel
Basisvaardigheden Microsoft Excel Met behulp van deze handleiding kun je de basisvaardigheden leren die nodig zijn om meetresultaten van een practicum te verwerken. Je kunt dan het verband tussen twee
Nadere informatieJe kunt al: -de centrummaten en spreidingsmaten gebruiken -een spreidingsdiagram gebruiken als grafische weergave van twee variabelen
Lesbrief: Correlatie en Regressie Leerlingmateriaal Je leert nu: -een correlatiecoëfficient gebruiken als maat voor het statistische verband tussen beide variabelen -een regressielijn te tekenen die een
Nadere informatieRekenregels voor het differentiëren. deel 1
Rekenregels voor het differentiëren deel 1 Wisnet-HBO update febr 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er
Nadere informatieopdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
Nadere informatieBasisvaardigheden Microsoft Excel
Basisvaardigheden Microsoft Excel Met behulp van deze handleiding kun je de basisvaardigheden leren die nodig zijn om meetresultaten van een practicum te verwerken. Je kunt dan het verband tussen twee
Nadere informatieWerken met parameters
Duur 45 minuten Overzicht Tijdens deze lesactiviteit leer je hoe de waarde van een parameter in een functievoorschrift de vorm of ligging van de functie kan beïnvloeden. Je gaat dit onderzoeken voor tweedegraadsfuncties.
Nadere informatieBeknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows
- Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein
Nadere informatieP2 Exponentiële groei
P2 Exponentiële groei Opgave 1 a. Zet in Excel in A1: Aantal jaar en in B1: Spaarbedrag. b. Zet in A2-A11 de getallen 1 t/m 10. Handig doen. Zie hulp bij Excel blad 6. c. Zorg met een formule dat er in
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieWat gaan we doen? Help! Statistiek! Wat is een lineaire relatie? De rechte-lijn-vergelijking: Y = a + b X. Relatie tussen gewicht en lengte
Help! Statistiek! Wat gaan we doen? Doel: Informeren over statistiek in klinisch onderzoek. Tijd: Doorlopende serie laagdrempelige lezingen, voor iedereen vrij toegankelijk. Derde woensdag in de maand,
Nadere informatieMeetkunde en lineaire algebra
Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x
Nadere informatieGebruik van de TI-83/84 Plus
Inhoud Gebruik van de TI-83/84 Plus Hans Bekaert INHOUD... 1 1. BASISBEWERKINGEN... 1 1.1. DE TABEL MET DATA OPSTELLEN... 1 1.2. BEREKENINGEN MAKEN OP BASIS VAN INGEGEVEN DATA... 1 1.3. FORMULES GEBRUIKEN
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatieBeginnen met de Casio fx-cg20
Beginnen met de Casio fx-cg20 - Korte uitleg van de meest gebruikte knoppen en functies - De knoppen De belangrijkste menu s Navigatie door de mappen Auteur: Tim Bebensee Vertaling en bewerking: Wouter
Nadere informatieAdditionele opmerkingen aangaande L A TEX op notebooks
Additionele opmerkingen aangaande L A TEX op notebooks Cor Hurkens 1 december Inhoudsopgave 1 Aanvullingen op L A TEX-introductie 1 1.1 Commando s voor accenten... 1. Commando s voor sub- en superscripts...............
Nadere informatie5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking
5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatieHet csv bestand gaan we nu inlezen in Coach. Open Coach; log in als docent; kies nieuwe activiteit ; meten. (Je hoeft geen meetpaneel te kiezen.
Data analyse HiSPARC Analyse met Coach C.G.N. van Veen 1 Inleiding Dit werkblad helpt leerlingen en docenten om data analyse van HiSPARC met het software pakket Coach (6 of 7) te doen. Coach (6 of 7) is
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Nadere informatieProject Dynamica: oefenopgaven met R
Project Dynamica: oefenopgaven met R De onderstaande opgaven dienen in R gemaakt te worden; uitwerkingen hoeven niet ingeleverd te worden. Zie de website http://www.r-project.org/ voor R manuals. Start
Nadere informatieHandleiding uitwisseling Tekla Structures RFEM versie: Dlubal RFEM 5.02 - Tekla Structures 19.1
Handleiding uitwisseling Tekla Structures RFEM versie: Dlubal RFEM 5.02 - Tekla Structures 19.1 1 Inhoudsopgave: 1 Rekenmodel maken... 3 2 Import in RFEM... 10 3 Export naar Tekla Structures... 15 2 Rekenmodel
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 157 #159 Taylor-ontwikkelingen
maplev 200/7/2 4:02 page 57 #59 Module 2 Taylor-ontwikkelingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Taylor-ontwikkelingen van functies van éń of meer variabelen. Taylor-ontwikkelingen. taylor, convert(expressie,polynom),
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieBreuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014
Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal
Nadere informatieUtrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
Nadere informatieHet tsv-bestand gaan we nu inlezen in Coach. Open Coach; log in als docent; kies nieuwe activiteit ; meten. (Je hoeft geen meetpaneel te kiezen.
Data analyse HiSPARC Analyse met Coach C.G.N. van Veen 1 Inleiding Dit werkblad helpt leerlingen en docenten om data analyse van HiSPARC met het software pakket Coach (6 of 7) te doen. Coach (6 of 7) is
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatieHandleiding Excel. bij. hoofdstuk 18 Cijfers in Orde Wageningse Methode
Handleiding Excel bij hoofdstuk 18 Cijfers in Orde Wageningse Methode oktober 2008 1 Excel (Nederlandtalig) Excel is een programma dat snel allerlei berekeningen kan uitvoeren. Ook kan het programma gemakkelijk
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieHet berekenen van coördinaten van bijzondere punten van een grafiek gaat met opties uit het CALC-menu.
Toppen en snijpunten We gaan uit van de formule y 0,08x 1,44x 6,48x 3. Voer deze formule in op het formule-invoerscherm (via!) en plot de grafiek met Xmin = 0, Xmax = 14, Ymin = 5 en Ymax = 14. In de figuur
Nadere informatieVariabelen en statements in ActionScript
Ontwikkelen van Apps voor ios en Android Variabelen en statements in ActionScript 6.1 Inleiding Als we het in de informatica over variabelen hebben, bedoelen we een stukje in het geheugen van de computer
Nadere informatieGeoGebra Quickstart. Snelgids voor GeoGebra. Vertaald door Beatrijs Versichel en Ivan De Winne
GeoGebra Quickstart Snelgids voor GeoGebra Vertaald door Beatrijs Versichel en Ivan De Winne Dynamische meetkunde, algebra en analyse vormen de basis van GeoGebra, een educatief pakket, dat meetkunde en
Nadere informatie1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg
1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem
Nadere informatieN3 LINEAIRE INTERPOLATIE
N3 LINEAIRE INTERPOLATIE 3.18 Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een functie f en toch de waarde van de functie y = f(x) in een bepaald
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatieExcel. voor natuurkunde
Excel voor natuurkunde door: L.Kruise jan 2015 1 1. Inleiding De bedoeling van deze cursus is om je in een aantal stappen te laten werken met een spreadsheet-programma. In deze cursus richten we ons specifiek
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieWisnet-HBO. update maart. 2010
Wat is Differentiëren? 1 Wat is differentiëren? Wisnet-HBO update maart. 2010 Differentiëren is eigenlijk het differentiaalquotient bepalen. Je begint met het delen van uiterst kleine verschillen op elkaar.
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 149 #151
maplev 2010/7/12 14:02 page 149 #151 Module 11 Polynomen en rationale functies Onderwerp Expressies Zie ook Manipulaties met polynomen en rationale functies. factor, collect, coeff, degree, lcoeff, gcd,
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatieVergelijkingen met breuken
Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieHet maken van grafieken met Excel
Het maken van grafieken met Excel Hoe vaak gebeurt het niet dat je bij een natuurkunde practicum een hele reeks meetgegevens verzameld hebt en dat je deze in een tabel en een grafiek in je verslag wilt
Nadere informatieHandleiding DAM Edit Design
Handleiding DAM Edit Design Datum: 7 augustus 2012 1/9 Inleiding Voordat dwarsprofielen door DAM gebruikt kunnen worden, dienen ze gecontroleerd te worden en dienen de karakteristieke punten te worden
Nadere informatieDe eerste stappen met de TI-Nspire 2.1 voor de derde graad
De eerste stappen met TI-Nspire 2.1 voor de derde graad. Technisch Instituut Heilig Hart, Hasselt Inleiding Ik gebruik al twee jaar de TI-Nspire CAS in de derde graad TSO in de klassen 6TIW( 8 uur wiskunde)
Nadere informatieEnkele voorbeelden volstaan. Zie verder de Help-file van Matlab.
1 Inleiding Bij Stochastische Operations Research (2DD21 + SOR-deel van 2DD18) wordt software gebruikt: routines en procedures uit het pakket Matlab en uit een toolbox met Matlab-m-files die hoort bij
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieklas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf
Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieVeeltermafbeeldingen. Pim Heesterbeek, Edo van Veen 9 juli 2009
Veeltermafbeeldingen Pim Heesterbeek, Edo van Veen 9 juli 2009 Inhoudsopgave 1 Inleiding 5 2 Theorie 7 2.1 Definitie veeltermafbeelding..................... 7 2.2 Definitie strikte driehoeksvorm...................
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieRekenregels voor het differentiëren
Rekenregels voor het differentiëren Wisnet-HBO update febr. 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er Maplets
Nadere informatieHP Prime: Functie App
HP Prime Graphing Calculator HP Prime: Functie App Meer over de HP Prime te weten komen: http://www.hp-prime.nl De Functie-App op de HP Prime Gebruik! om het keuzescherm voor de applicaties te openen en
Nadere informatieAlgebra leren met deti-89
Algebra leren met deti-89 Werkgroep T 3 -symposium Leuven 24-25 augustus 2001 Doel Reflecteren op het leren van algebra in een computeralgebra-omgeving, en in het bijzonder op het omgaan met variabelen
Nadere informatie1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Nadere informatieInstructie Q-module in Pharmacom Nieuw
Instructie Q-module in Pharmacom Nieuw Patiënt plug-in SFK Auteur Diverse medewerkers PharmaPartners B.V. Redactie PharmaPartners College 2 maart 2011 Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of
Nadere informatieOEFENINGEN PYTHON REEKS 6
OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 1. A) Schrijf een functie die een getal x en een getal y meekrijgt. De functie geeft de uitkomst van volgende bewerking als returnwaarde terug: x y x als x y x y y als x < y B)
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatied. Maak een spreidingsdiagram van de gegevens. Plaats de x-waarden op de x-as en de z-waarden op de y-as.
Opdracht 6a ----------- Dichtheidskromme, normaal-kwantiel-plot Een nauwkeurige waarde van de lichtsnelheid is van belang voor ontwerpers van computers, omdat de elektrische signalen zich uitsluitend met
Nadere informatieStudent number: Zet je naam op alle bladzijdes (liefst nu!) voor het geval ze loslaten.
Naam (voornaam, achternaam): Student number: Zet je naam op alle bladzijdes (liefst nu!) voor het geval ze loslaten. Zet je antwoorden op dit examenpapier, direct na de vraag is ruimte daaarvoor. Gebruik
Nadere informatieAFO 142 Titel Aanwinsten Geschiedenis
AFO 142 Titel Aanwinsten Geschiedenis 142.1 Inleiding Titel Aanwinsten Geschiedenis wordt gebruikt om toevoegingen en verwijderingen van bepaalde locaties door te geven aan een centrale catalogus instantie.
Nadere informatieHoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix
Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een
Nadere informatieKorte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 3 voor B. Functies van twee variabelen.. Een functie fx, y) van twee variabelen kan analoog aan een functie van één variabele in Maple
Nadere informatieCT2121 EXPERIMENT 1 ONDERZOEK NAAR DE VALIDITEIT VAN DE BUIGINGSTHEORIE FORMULIER 1: AFTEKENFORMULIER
CT2121 EXPERIMENT 1 ONDERZOEK NAAR DE VALIDITEIT VAN DE BUIGINGSTHEORIE FORMULIER 1: AFTEKENFORMULIER Naam Studienummer LET OP: NA HET JUIST INVULLEN VAN DE VERPLAATSINGEN BIJ ONDERDEEL 4 KRIJG JE EEN
Nadere informatieIntroductie in R. http://www.math.montana.edu/stat/tutorials/r-intro.pdf http://www.math.montana.edu/stat/docs/splus_notes.ps
Introductie in R R is een programmeer taal met een groot aantal voorgeprogrammeerde statistische functies. Het is de open source versie van S-plus. Wij gebruiken R dan ook omdat het gratis is. Documentatie
Nadere informatieParameterkrommen met Cabri Geometry
Parameterkrommen met Cabri Geometry 1. Inleiding Indien twee functies f en g gegeven zijn die afhangen van eenzelfde variabele (noem deze t), dan kunnen de functiewaarden daarvan gebruikt worden als x-
Nadere informatieHP Prime: Functie App Grafieken op de GR
HP Prime Graphing Calculator HP Prime: Functie App Grafieken op de GR De Functie-App op de HP Prime Deze handleiding gaat er vanuit dat je met de laatste versie (10077) van de firmware werkt. Dit kun je
Nadere informatieBoldriehoeken op een wereldkaart. 1. Op zoek naar de kortste afstand
Boldriehoeken op een wereldkaart 1. Op zoek naar de kortste afstand Een boldriehoek op een wereldbol kun je je makkelijk inbeelden. Je kiest drie steden, en op het aardoppervlak en je verbindt ze met drie
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieVAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt.
VAARDIGHEDEN EXCEL Excel is een programma met veel mogelijkheden om meetresultaten te verwerken, maar het was oorspronkelijk een programma voor boekhouders. Dat betekent dat we ons soms in bochten moeten
Nadere informatieStatistiek en Data Analyse Opgavenserie 3: Lineaire regressie
Statistiek en Data Analyse Opgavenserie 3: Lineaire regressie Inleveren: uiterlijk maandag 6 februari 16.00 bij Marianne Jonker (Kamer: R3.46) Afspraken De opdrachten maak je in tweetallen. Schrijf duidelijk
Nadere informatieHandleiding Maple 10. Metha Kamminga van Hulsen
Handleiding Maple 10 Metha Kamminga van Hulsen Meer informatie over deze en andere uitgaven kunt u verkrijgen bij: Sdu Klantenservice Postbus 20014 2500 EA Den Haag tel.: 070 378 98 80 fax: 070 378 97
Nadere informatieKorte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B
Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn
Nadere informatieTweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003
Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 I Doelstelling en testcase In deze programmeeropgave zullen we een drietal numerieke integratiemethoden
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 135 #137 Plaatjes in drie dimensies
maplev /7/ 4: page 35 #37 Module Plaatjes in drie dimensies Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Zie ook Driedimensionale plots. Module 9. plot3d, spacecurve, contourplot, gradplot, cylinderplot
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van de
Nadere informatieDe studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx
De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm Doelstellingen Lieve Lemmens en An Snoecx Deze tekst stelt een voorbeeld van de analyse van een kromme met de Texas TI-NSpire (en/of computersoftware)
Nadere informatieExamen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1.0 16.0 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Nadere informatieGrafieken tekenen met de computer
Grafieken tekenen met de computer Inleiding In de natuurwetenschappen doe je vaak onderzoek. Je meet dan bepaalde dingen op en zet deze in een tabel. Van jou wordt dan meestal verwacht dat je er een grafiek
Nadere informatieDerde proefexamen doorstroom wiskunde
Derde proefexamen doorstroom wiskunde Datum en tijd: oktober 2004 Toegestane hulpmiddelen: TI-83+, DERIVE 5.05, Microsoft EXCEL, Diktaat Doorstroomwiskunde 2 Waardering: alle vraagstukken gelijk. 1 Een
Nadere informatieWISKUNDE 5 PERIODEN DEEL B
EUROPEES BACCALAUREAAT 2012 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 3 september 2012, ochtend DUUR VAN HET EXAMEN : 3 uur (180 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Examen met technologisch hulpmiddel 1/5 NL VRAAG B1
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks 4 - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatie5,1. Samenvatting door een scholier 1647 woorden 18 oktober keer beoordeeld. Wiskunde A
Samenvatting door een scholier 1647 woorden 18 oktober 2010 5,1 4 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Samenvatting A2 Recht evenredig Bij een stapgrootte van y hoort een constante eerste augmentatie van x Omgekeerd
Nadere informatieToegang tot HiSPARC gegevens jsparc bibliotheek Data retrieval 3.1 Downloaden van data
Data analyse HiSPARC Data retrieval A.P.L.S. de Laat 1 Toegang tot HiSPARC gegevens De data opslag van HiSPARC meetgegevens gebeurt op het Nikhef en bestaat uit een paar databases. Als eerst is er de ruwe
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieGEOGEBRA 4. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet.
? GEOGEBRA 4 R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet.be Roger Van Nieuwenhuyze GeoGebra 4 Pagina 1 1. Schermen
Nadere informatieStraal van een curve
Straal van een curve Arnold Zitterbart Schwarzwald-Gymnasium Triberg Duitsland (Vertaling: L. Sialino) Niveau Vwo-scholieren Hulpmiddelen Grafiek toepassing, Run-Matrix toepassing Doel Bepaal de straal
Nadere informatie