wiskunde D Zwaartepunten

Transcriptie

1 wiskunde D Zwrtepunten

2 Inhoudsopgve Zwrtepunten Op zoek nr evenwicht Het elng vn het zwrtepunt 9 3 Met ehulp vn vectoren 3 4 Appendix 9 Antwoorden 39 experimentele uitgve, jn 009 Colofon 008 Stichting De Wgeningse Methode Auteurs Illustrties Distriutie Leon vn den Broek, Mris vn Hndel, Dolf vn den Homergh, Afke Piekr, Dn vn Smlen Wilson Design, Uden Iddink voortgezet onderwijs v, Postus 4, 670 BA Ede ISBN Homepge Niets uit deze uitgve mg verveelvoudigd en/of openr gemkt worden door middel vn druk, fotokopie, microfilm of op welke ndere wijze ook, zonder voorfgnde toestemming vn de houder vn het copyright. Zwrtepunten

3 Op zoek nr evenwicht Iemnd heeft zeven lokken op elkr gestpeld. De stpel helt gevrlijk nr rechts over. Mr hij vlt niet om! Hoe dt te egrijpen is, dr gt deze prgrf over. Het moiel hieronder is in evenwicht. De zeven mss s zijn lleml even groot. De tweede situtie krijg je door twee vn de mss s in tegengestelde richting te verpltsen. De derde situtie krijg je door drn twee mss s tegengesteld n elkr te verpltsen over dezelfde fstnd en dt drn nog eens te doen. In de derde situtie zie je goed dt het moiel inderdd in evenwicht is. G deze twee verpltsingen n. Schuifprincipe Het evenwicht wordt niet verstoord ls je twee mss s tegengesteld n elkr verpltst: of Op zoek nr evenwicht

4 Het schuifprincipe is ons uitgngspunt. Als je een lns tot je eschikking het, kun je experimenteel vststellen dt dit juist is. Uitgnde vn dit ntuurkundige principe, gn we wiskundig redeneren. De lengte vn de ophngtouwtjes is niet vn elng. * Zoek uit wr je de moielen moet ophngen opdt zij in evenwicht zijn. De moielen stn ook op het werkld. In plts vn één mss eenheden te verpltsen, kun je ook twee mss s eenheid verpltsen (in dezelfde richting). In het ltste moiel vn de vorige opgve ws de fstnd tussen de linker en de rechter mss s 0. We verpltsen elk vn de linker mss s 3 pltsen nr rechts en elk vn de drie rechter mss s pltsen nr links. Dn houden we evenwicht. Doen we dt nog een keer dn hngen lle vijf de mss s op dezelfde plts. Die plts verdeelt de oorspronkelijke fstnd in stukken die zich verhouden ls 6 : 4. Zwrtepunten

5 Het punt wr de stf met mss s moet worden opgehngen om de stf in evenwicht te krijgen, noemen we het zwrtepunt of mssmiddelpunt vn de stf met mss s An een mssloze stf hngen twee mss s vn grootte en 6. Wr moet de stf worden opgehngen opdt hij in evenwicht is?. An een mssloze stf hngen twee mss s vn grootte en. Wr moet de stf moet worden opgehngen opdt hij in evenwicht is? In A en B evinden zich twee mss's vn grootte en. Het zwrtepunt Z vn de twee mss s ligt op lijnstuk AB, zodt AZ : BZ = : An een mssloze stf hngen twee mss's vn grootte 3 en 7. Bepl de plts vn het zwrtepunt Z op twee mnieren:. door te schuiven. door ovenstnde stelling toe te pssen. Nu we weten hoe we het zwrtepunt vn twee mss s kunnen eplen, gn we een systeem vn drie mss s op één lijn npkken. 3 5 An een mssloze stf hngen drie mss s vn grootte, en 3 op onderling gelijke fstnden, en in deze volgorde.. Wr ligt het zwrtepunt?. En wr ls je de mss s en 3 vn plts verwisselt? Bij drie mss s kun je er eerst twee smennemen, en vervolgens het resultt vn die twee comineren met het derde mss. Bijvooreeld: Op zoek nr evenwicht 3

6 Het zwrtepunt vn 5 en 7 ligt op fstnd 5 vn 7. Dus vervngen we de situtie door: Vervolgens eplen we het zwrtepunt vn en 3, die een onderlinge fstnd 65 heen: 5 36 We vinden het zwrtepunt vn de oorspronkelijke drie mss s op fstnd 36 vn het rechter mss. 6. G n dt je dezelfde plek vindt ls je egint met de mss s 3 en 5 smen te nemen.. Ook ls je egint met de mss s 7 en 3 smen te nemen. Het kn nog nders. Splits de mss vn 7 in twee mss s vn 5 en : c. Neem nu de twee mss s vn 5 smen en de mss s vn en 3. Vind je weer hetzelfde zwrtepunt? Bij elk ntl mss s op een lijn vind je ltijd hetzelfde eindpunt, hoe je ook de tweetllen kiest je die je chtereenvolgens smenneemt. Dt etekent dt je terecht kunt spreken vn het zwrtepunt. Verderop zul je met ehulp vn vectoren - egrijpen wrom je ltijd hetzelfde eindpunt vindt. 7 Bepl het zwrtepunt vn: Zwrtepunten

7 Hoe gt het ls de mss s niet op één lijn liggen? Ook dn verschuiven we mss s nr elkr toe, tot dt lles in een centrum smenklontert: ls dt punt weer ltijd hetzelfde is, mg dt het zwrtepunt heten. * 8 We ekijken een vooreeld met drie mss s:, en 3. 3 Voor het gemk heen we een driehoekjesrooster ngercht, wrij de fstnden tussen een tweetl mss s verdeeld is in 5 en.. Bepl op het werkld het zwrtepunt door eerst de mss s en 3 smen te nemen.. Ook door eerst en smen te nemen. c. En door eerst en 3 smen te nemen. In de ruimte gn we op net zo n mnier te werk. 8 9 In de hoekpunten vn een kuus evinden zich de mss s 0,,,,, 4, 4 en 8, zols in de figuur hiernst. Bepl het zwrtepunt op twee mnieren. Als het goed is vind je twee keer hetzelfde punt. 4 4 Op zoek nr evenwicht 5

8 De volgende ewering zl je niet verzen. Het zwrtepunt vn een homogene ol is zijn middelpunt. Onder homogeen verstn we dt de ol "overl hetzelfde is". Preciezer: Als je twee congruente delen neemt vn de ol (ijvooreeld twee kuusjes), dn zijn die even zwr. Zie ook de volgende prgrf, ldzijde 8. De ewering is vn groot elng. Hij zegt dt we de mss vn een homogene ol ls in zijn middelpunt geconcentreerd mogen denken. Zo kunnen we doen lsof ijvooreeld de rde een puntmss is. (Weliswr is de rde eslist niet perfect homogeen, mr wel ij endering.) Je zult het wel niet nodig vinden, mr we gn toch eredeneren dt het zwrtepunt vn een homogene ol zijn middelpunt is. Verdeel de homogene ol in heel veel, heel kleine stukjes, die symmetrisch ten opzichte vn het middelpunt liggen. We pssen het schuifprincipe toe. Twee stukjes die symmetrisch ten opzichte vn het middelpunt liggen verpltsen we eide nr het middelpunt: dt is over twee tegengestelde vectoren. Drdoor verndert het zwrtepunt vn de ol niet vn plts. Op die mnier doorgnd verpltsen we lle stukjes nr het middelpunt; dáár ligt dus het zwrtepunt. * 0 We ekijken het systeem vn Arde en Mn. Arde heeft mss 5, kg en Mn 7,343 0 kg. De strl vn Arde is 637 km en de strl vn Mn is 738 km. Hieronder stt een pltje op schl. Voor de fstnd Arde-Mn is 00 mm gekozen. In werkelijkheid is die km (tussen de middelpunten vn Arde en Mn). Wr ligt het zwrtepunt? Wt vlt je op? 6 Zwrtepunten

9 Het komt voor dt Sturnus, Jupiter en Zon ngenoeg op een lijn liggen. Voor die situtie gn we het zwrtepunt vn het systeem estnde uit deze drie eplen. Sturnus Jupiter Zon Sturnus heeft mss 568,5 0 4 kg, Jupiter kg en Zon kg. De strlen vn Sturnus, Jupiter en Zon zijn respectievelijk 5000 km, en km Sturnus stt km vn de Zon en Jupiter km, gemeten vnf hun middelpunten. Ligt het zwrtepunt vn deze drie innen Zon? Anneke heeft chtereenvolgens de volgende cijfers voor wiskunde gehld: 7, 6, 5, 9, 9, 0, 6, 7, 7. Ze heeft de cijfers uitgezet op de getllenlijn. Bepl hr gemiddelde wiskundecijfer. Merk de nlogie op tussen het gemiddelde cijfer en het zwrtepunt. * 3 Op een tfel liggen drie gelijke lokken. Ze steken gedeeltelijk over de tfelrnd. Het zwrtepunt vn elk vn de lokken veronderstellen we in hun midden. Als het zwrtepunt vn de drie lokken tezmen mr oven het tfelld ligt, ligt de stpel stiel, nders kntelt hij vn tfel. Blijft deze stpel liggen? De figuur stt groter op het werkld. Hoe ver kun jij een stpel lokken lten overhellen, zonder dt de stpel omvlt? Op internet kun je je tlenten testen: Zwrtepunt.htm Op zoek nr evenwicht 7

10 4 Hoe groot is x ls de lns in evenwicht is? Blnsen in evenwicht rengen kn op: 8 Zwrtepunten

11 Het elng vn het zwrtepunt Durf jij over een stlen kel te fietsen, vijf meter oven de grond? Geen proleem in Technopolis te Mechelen. De truc is dt het zwrtepunt vn fiets-met-fietser onder de kel zit. Toelichting In een stiele situtie is het zwrtepunt in zijn lgste positie. Bekijk de dwrsdoorsnede hieronder. Foto: Technopolis, het Vlmse doe-centrum voor wetenschp en technologie kel zwrtepunt Als de fiets vnuit de verticle (veilige) stnd nr links of rechts zou ewegen, gt het zwrtepunt omhoog. De rde zl het zwrtepunt onmiddellijk terugtrekken nr het lgste punt. 5 De rend steunt met zijn snvel op de punt vn een vinger. Hij kn est tegen een stootje: hij komt steeds weer in de toestnd vn de foto terug, tenminste. ls de stoot niet te heftig is. Wr ongeveer vermoed jij het zwrtepunt vn de rend? 6 De scheve toren vn Pis is 55 meter hoog en heeft een dimeter vn 5 meter. Hij stt 5 à 6 grden uit het lood. Hij mg nog wel wt schever zkken voordt hij omvlt. Dt geeurt nmelijk ps ls zijn zwrtepunt uiten de voet vn de toren vlt. Veronderstel dt het zwrtepunt vn de toren in zijn middelpunt zit. Hoeveel grden uit het lood mg de toren dn hoogstens stn om niet om te vllen. Het elng vn het zwrtepunt 9

12 7 Een (nog ongeopende) wijnfles steekt in een stndrd. Het geheel is stiel. Kun je dt verklren? Het zwrtepunt wordt ook wel mssmiddelpunt genoemd; in het Engels: centre of mss. Voor veel erekeningen kun je doen lsof lle mss vn het oject in dt punt geconcentreerd is (en dus kun je de fmetingen vn het oject vergeten). Als we ijvooreeld over de snelheid vn een oject spreken, dn edoelen we de snelheid wrmee het zwrtepunt vn dt oject eweegt. Binnen het oject zelf kn er vn lles ewegen of het oject kn om zijn s drien; dt doet er niet toe. In de mechnic pssen we de wetten vn Newton toe op de zwrtepunten vn de ojecten. 8 An weerszijden vn een veer evinden zich twee mss s. We drukken de mss s nr elkr toe, zodt de veer gespnnen wordt. Wt geeurt er met het zwrtepunt ls we de mss s loslten? 9 Een rket explodeert kort n de strt; de rokstukken vliegen lle knten op. Wt kun je zeggen vn de eweging vn het zwrtepunt? In prgrf 3 heen we uitgelegd dt het zwrtepunt vn een homogene ol zijn middelpunt is. Precies dezelfde redenering gt op voor elk puntsymmetrisch lichm, zols een lk, een cilinder, een rugyl, een diolo, 0 Vn een mssieve kuus is het middelpunt ntuurlijk het zwrtepunt. Dt geldt ook voor een holle kuus (wrvn de wnden overl even dik zijn). Mr hoe zit het met een kuusvormig kje zonder deksel? Dt heeft dus vijf (even dikke) wnden. Wr zit dn het zwrtepunt? 0 Zwrtepunten

13 Een limondegls gls heeft de vorm vn een cilinder. De dimeter vn het gls is 8 cm en zijn hoogte is cm. Deze mten zijn uitenmten. Het gls is overl even dik: 0,5 cm. De dichtheid vn gls is 3 kg/dm 3.. Op welke hoogte zit het zwrtepunt? Het gls wordt tot de rnd toe gevuld met wter (de dichtheid vn wter is kg/dm 3 ).. Op welke hoogte zit het zwrtepunt nu? P P' Hoe je in de prktijk het zwrtepunt vindt Elk voorwerp (plt of ruimtelijk) heeft precies één zwrtepunt Z. Mk een touwtje vst in een punt P vn het voorwerp en hng het ermee op. Het voorwerp gt zo hngen, dt het zwrtepunt Z zo lg mogelijk komt. Dus zó dt Z recht onder P komt te liggen. Kies nu een nder punt P' om het touwtje n vst te mken. Hng het voorwerp op en Z zl recht onder P' komen. We kennen nu twee lijnen wrop Z moet liggen. Wr je het ophngpunt P ook kiest. Het verlengde vn het touwtje gt ltijd door Z! We hngen een houten rechthoek vn 40 ij 00 cm op n een touwtje. Het ophngpunt zit 0 cm vn twee rnden. Teken hoe de rechthoek gt hngen. Homogene puntsymmetrische figuren heen hun zwrtepunt in het symmetriepunt. Nogl logisch! Dit kun je toepssen op een cirkel en een rechthoek. Mr hoe zit het met een gelijkzijdige driehoek? Het zwrtepunt zit ntuurlijk in het "midden", mr wr zit dt precies? Ergens op de hoogtelijn ntuurlijk (zie pltje). Nu hoeven we lleen nog mr de hoogte (oven de sis) te weten. En dr kom je ls volgt gemkkelijk chter. Verdeel de gelijkzijdige driehoek in negen even grote gelijkzijdige driehoeken. 9 Op welke hoogte zit het zwrtepunt? Met ndere woorden; wt is de verhouding vn de twee stukken wrin het zwrtepunt de hoogtelijn verdeelt? Het elng vn het zwrtepunt

14 RAADSEL: Zes spijkers in lns Je het zeven identieke grote spijkers met een duidelijke kop. Sl een spijker in een plnkje. Lukt het je de ndere zes spijkers op de kop vn die spijker te lten lnceren? Zwrtepunten

15 3 Met ehulp vn vectoren A Z Wrom vind je ltijd hetzelfde eindpunt ls je mss s twee n twee smenneemt? De volgorde je drij te werk gt, doet niet ter zke. Hoe kun je dt egrijpen? Drover gt deze prgrf. In prgrf 3 he je de volgende stelling ontdekt. In de punten A en B evinden zich de mss's en. Het zwrtepunt Z ligt op lijnstuk AB, zo dt ZA : ZB = :. Met vectoren lt zich dt fri formuleren. O B Stelling A en B evinden zich de mss's en. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong. Het zwrtepunt Z is het eindpunt vn de vector OZ = Bewijs + OA + + OB OZ = OA + AB = OA + + ( + )OA + OB = + (OB OA ) = + OA + + OB + A B * 4 In de punten A en B evinden zich de mss's en. Geef op het werkld de plts vn het zwrtepunt n in de volgende gevllen.. = 0 en = 6. = en = 5 c. = en = 4 d. = 3 en = 3 e. = 4 en = f. = 5 en = g. = 6 en = 0 O Merk op dt de keuze vn de oorsprong O er niet toe doet. 5. Hoe luidt de stelling ls we voor O het punt A kiezen?. Hoe luidt de stelling ls we voor O het punt Z kiezen? 6 Gegeven zijn vijf mss s in een vlk (of in de ruimte, of op een lijn):, 3, 5, 7 en 0, op de pltsen A, A, A 3, Met ehulp vn vectoren 3

16 A 4 en A 5. Kies een oorsprong O. Om het zwrtepunt te vinden kunnen we (ijvooreeld) ls volgt te werk gn: - epl het zwrtepunt Z vn de mss s en 3, - epl het zwrtepunt Z 34 vn de mss s 5 en 7, - epl het zwrtepunt Z 345 vn het systeem met mss in Z 34 en mss 0 in A 5, - epl het zwrtepunt Z vn het systeem vn mss 5 in Z en mss in Z 345. Welke vector OZ vind je, uitgedrukt in OA, OA, OA 3, OA 4 en OA 5? OZ is een soort gemiddelde vector vn OA, OA, OA 3, OA 4 en OA 5. Hoe "zwr" elk vn die vectoren in het gemiddelde meetelt, hngt f vn de grootte vn mss op de etreffende plts. We gn nu het lgemene gevl ekijken. Voor drie mss s Gegeven zijn drie mss s,, 3 op de pltsen A, A, A 3. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong en erekenen de som vn de mss s: = Dn vinden we het zwrtepunt Z ls volgt: OZ = OA + OA + 3 OA 3. A z A Z O A3 Bewijs Stel dt we eerst de mss s en smennemen. Die twee kunnen we vervngen door het mss = + in hun zwrtepunt Z met OZ = OA + OA. Dit gecomineerd met mss 3 geeft het punt Z met OZ = 3 OZ + + OA + 3 = ( OA + + OA ) OA + 3 = OA 3 + OA + 3 OA 3. Omdt in het eindntwoord de drie mss s en de drie pltsen volkomen symmetrisch voorkomen, is de volgorde wrin de mss s zijn smengenomen kennelijk niet vn elng! 3 Voor vier mss s Gegeven zijn vier mss s,, 3, 4 op de pltsen A, A, A 3, A 4. 4 Zwrtepunten

17 We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong en erekenen de som vn de mss s: = Dn vinden we het zwrtepunt Z ls volgt: OZ = OA + OA + 3 OA OA 4. Bewijs Eerst nemen we de mss s in A, A en A 3 smen. Die kunnen we vervngen door mss = in plts Z 3, wrij OZ 3 = OA + OA + 3 OA 3. Dit nemen we smen met mss 4 in A 4. Dt geeft ons het zwrtepunt Z, wrvoor: OZ = 4 OZ OA = ( OA OA OA 3 ) + OA = OA + OA + 3 OA OA 4. Weer is het ntwoord volkomen symmetrisch in de vier mss s en pltsen. Kennelijk is de volgorde vn smennemen niet vn elng. En zo gt dt door voor vijf, zes, mss s. Algemeen vinden we voor elk ntl mss s,,, n. op de pltsen A, A, A n het zwrtepunt Z ls volgt: Stelling De mss s,,, n evinden zich op de pltsen A, A, A n. Het zwrtepunt noemen we Z, dn: OZ = OA + OA + + n Hierij is = OA n. We zien dt OZ een soort gemiddelde vector is vn OA, OA,, OA n. Hierij eplt een mss op een plts hoe zwr die plts meetelt. Het doet er niet toe in hoeveel dimensies we werken. De punten mogen est op een rechte lijn liggen, mr dt hoeft niet. En ls drie punten een driehoek in de ruimte vormen, hoeft de gekozen oorsprong niet in het vlk vn de driehoek te liggen. De werkwijze met vectoren is dus lgemeen geldig. Met ehulp vn vectoren 5

18 C 7 Bepl het zwrtepunt vn de mssloze driehoek ABC ij de volgende mss s in de hoekpunten:. in A:, in B:, in C:. in A:, in B: 4, in C: 5 c. in A:, in B:, in C: A B 8 Een medin vn een vierhoek is de verindingslijn vn de middens vn twee overstnde zijden. Op de hoekpunten vn een mssloze vierhoek zitten gelijke mss s. Bewijs dt het zwrtepunt het snijpunt is vn de medinen. 9 Op de hoekpunten vn een mssloze vierhoek ABCD zitten gelijke mss s. We eplen (in gedchten) de zwrtepunten vn de driehoeken ABC, ABD, ACD en BCD. Bewijs dt het zwrtepunt vn deze vier zwrtepunten hetzelfde is ls het zwrtepunt vn hele vierhoek. Opmerking Het gestelde in opgve 9 is niet juist, ls de mss s in A, B, C en D verschillend vn grootte zijn. We heen gezien dt je het zwrtepunt kunt vinden door dt stukje ij eetje te doen. En die stukjes mg je zelf kiezen. * 30 Bepl op het werkld het zwrtepunt vn de zes mss s hiernst. 3 In elk hoekpunt vn een mssloos viervlk zit eenzelfde mss.. Bepl op het werkld de plts vn het zwrtepunt.. Hoe hoog zit het zwrtepunt oven het grondvlk? 6 Zwrtepunten

19 3 In elk vn de hoekpunten vn een vijfzijdige pirmide zit eenzelfde mss.. Bepl de plts vn het zwrtepunt.. Hoe hoog zit het zwrtepunt oven het grondvlk? 33 Een trppirmide estt uit vier even dikke plkken vn,, 3 3 en 4 4. Op welke hoogte zit het zwrtepunt? In prgrf IV heen we eredeneerd dt het zwrtepunt vn een homogene ol in het middelpunt zit. Met vectoren ziet de redenering er ls volgt uit. A O A' Kies het middelpunt ls oorsprong. Verdeel de homogene ol weer in heel veel, heel kleine stukjes, die symmetrisch ten opzichte vn het middelpunt liggen. Bij elk stukje A hoort een spiegeleeld A'. In A en A' zitten even grootte mss's. We tellen lle vectoren OA en OA ' op. Omdt voor elke stukje A geldt dt OA + OA ' = 0, is de som vn l die vectoren 0. Dus het zwrtepunt is O: het middelpunt vn de ol. Met ehulp vn vectoren 7

20 34 Vier keer een vierzijdige pirmide met rien vn lengte. De hoogte vn de pirmide noemen we h (Met de stelling vn Pythgors vind je dt h =.) De mss s zitten in de hoekpunten, in elk hoekpunt hetzelfde mss (de rien zijn mssloos).. Op welke hoogte oven het grondvlk evindt zich het zwrtepunt? In de stfjespirmide zit het mss in de rien. De cht rien zijn even zwr.. Op welke hoogte oven het grondvlk evindt zich het zwrtepunt? De pirmide is nu gesloten: de vijf grensvlkken estn uit pltwerk. Het mss vn een grensvlk is dus evenredig met de oppervlkte. Verder is de pirmide hol. c. Op welke hoogte oven het grondvlk evindt zich het zwrtepunt? In het vierde gevl is de pirmide mssief. En homogeen. Met integrlrekening kn de plts vn het zwrtepunt epld worden. Dt lijkt op hoogte 3 vn de hoogte oven het grondvlk te zitten. In de ppendix stt een fleiding zonder integreren. 8 Zwrtepunten

21 4 Appendix Het zwrtepunt vn een homogene driehoek We willen het zwrtepunt vn driehoek heen. Leg er nog drie identiek exemplren ij, zols hieronder. Kies de oorsprong O en de vectoren en zols in de tekening. B 4 3 O A De mss vn noemen we en de zwrtepuntsvector vn noemen we z. Dn zijn de zwrtepuntsvectoren vn, 3 en 4: z + en - z + +. De zwrtepuntsvector vn de grote driehoek is. z z +, Er geldt: z = 3( z + ( z + )+ ( z + ) + ( - z + + ) ) = z + + Dus z = +. Appendix 9

22 Het zwrtepunt vn een homogeen driezijdig prism We kiezen de oorsprong in een vn de hoekpunten vn het prism, zie pltje We noteren OA, OB enzovoort met, enzovoort. C B A O Het zwrtepunt vn het prism noemen we Z, dn is: z = + + c. Het zwrtepunt vn een homogene driezijdige pirmide De inhoud vn een pirmide is vn de inhoud vn het prism met hetzelfde grondvlk en gelijke hoogte. De driezijdige pirmide wordt door vlkken door de middens vn rien verdeeld in twee kleinere pirmides en twee driezijdige prism's. We nemen de inhoud vn zo'n kleine pirmide ls inhoudseenheid, dn is de inhoud vn de grote pirmide 8 en de inhoud vn elk vn de twee prism's 3. C B A O 0 Zwrtepunten

23 We kiezen één vn de hoekpunten vn de grote pirmide ls oorsprong. Het zwrtepunt vn de pirmide noemen we Z. Het zwrtepunt vn de kleine pirmide met hoekpunt C noemen we Z, het zwrtepunt vn de kleine pirmide met hoekpunt O noemen we Z, het zwrtepunt vn het prism met hoekpunt A noemen Z 3 en het zwrtepunt vn het prism met hoekpunt B noemen we Z 4. C 3 4 B A Er geldt: z = c + z, z = z, z 3 = ( c ) = c, z 4 = + ( ) + ( c ) + = c. Dus z = 7 z + 7 z + I z 3 + I z 4 = 7 z c. Hieruit volgt dt z = c. Met gelijkvormigheid volgt nu dt het zwrtepunt vn een homogene driezijdige pirmide op hoogte 3 vn de hoogte vn de pirmide oven het grondvlk ligt. Angezien elke pirmide in driezijdige pirmides met dezelfde top kn worden opgedeeld, geldt dit voor elke pirmide. O Appendix

24 Antwoorden Op zoek nr evenwicht Zelf doen. Eerste: 6 vnf de linkse Tweede: 8 vnf de linkse Derde: 8 vnf de linkse Vierde: 6 vnf de linkse 3. H vn de fstnd vnf links. vn de fstnd vnf links vn de fstnd vnf links 5. vnf. 5 vnf 6. Zelf doen. Zelf doen c. J 7 Op fstnd 9 vn rechts 8 3 Zwrtepunten

25 Zwrtepunt op 4667 km vn het middelpunt vn de rde. Dt is onder het rdoppervlk. Zwrtepunt op km vn middelpunt Zon, dus niet innen Zon. 7,3 3 J, het zwrtepunt ligt oven het tfelld 4 x = 30 Het elng vn het zwrtepunt 5 Loodrecht onder de punt vn de snvel 6 invtn Het zwrtepunt ligt oven het voetpunt 8 Blijft op zijn plts 9 Volgt de eweging vn de rket voor de explosie 0 Zwrtepunt op de verticle symmetries op K vn de hlve hoogte (of 0,4 vn de odem). 56 vnf de grond. 5,76 vnf de grond Het zwrtepunt (snijpunt vn de digonlen) komt onder het ophngpunt. 3 : Antwoorden 3

26 3 Met ehulp vn vectoren 4. g. A f. e. d. c... B O 5. AZ = AB +. 0 = ZA ZB 6 OZ = 7 3 OA OA OA OA OA 5 A P D C Q B 7. Teken OA 4 + OB + OC 4 4. Teken OA + 4 OB + 5 OC c. Teken OA + OB + OC Noem het midden vn AD: P en het midden vn BC: Q. het zwrtepunt Z is het midden vn PQ. OZ = OP + OQ = ( OA + OD )+ ( OB + OC ) = OA + OB + OC OD 4 9 Uitschrijven: ( 4 3 ( 4 3 OA OC+ 3 3 ) + OC OA + OB+ OC) + ( OA + OB+ OD) + OA + OD + ( OB + OC+ OD) = + OB OD 30 4 Zwrtepunten

27 3.. Op 4 vn de hoogte 3. Op 5 vn de hoogte 33 Op hoogte c. 0,494 Antwoorden 5