Exponentiële groei. Introductie 125. Leerkern 125

Transcriptie

1 Open Inhoud Universiei leereenheid 4 Wiskunde voor milieuweenschappen Exponeniële groei Inroducie 125 Leerkern Groeimodellen Exponeniële oename en groeifacor Exponeniële afname Procenuele oename en afname 133 Samenvaing 137 Zelfoes 138 Terugkoppeling Uiwerking van de opgaven Anwoorden op de zelfoes

2 Leereenheid 4 Exponeniële groei Leereenheid 4 Exponeniële groei Inroducie Twee veel voorkomende groeimodellen zijn die van de lineaire en exponeniële groei. In he begin van deze leereenheid worden beide kor aangesip. De groeifuncie bij een lineair groeimodel is al uigebreid behandeld in leereenheid 2. In deze leereenheid concenreren we ons daarom verder op diverse vormen van exponeniële groei en op de bijbehorende funcievoorschrifen. LEERDOELEN Na besudering van deze leereenheid ken u he verschil ussen een lineair en een exponenieel groeimodel ken u verschillende siuaies waarin er sprake is van exponeniële groei, zoals verdubbeling, halvering, procenuele oename en procenuele afname kun u op grond van een beschrijving van he groeiproces de groeifacor en he funcievoorschrif van de groeifuncie bepalen kun u de groeifacor en he funcievoorschrif van de groeifuncie ook vinden op grond van een abel. LEERKERN 1 Groeimodellen Richingscoëfficiën Groeifacor In de milieuweenschappen besuderen we vaak de oename of afname van een grooheid, zoals de hoeveelheid of de concenraie van een bepaalde sof. Daarbij komen wee groeimodellen vaak voor: De oename (of afname) van de hoeveelheid H () is op ieder ijdsip hezelfde. He verschil H ( + 1) H ( ) is dan een vas geal a. Bij di verband hoor een formule van de vorm H() = a + b. H is dan dus een lineaire funcie en a is de richingscoëfficiën van de grafiek van H. De oename (of afname) van de hoeveelheid H () is evenredig aan de al aanwezige hoeveelheid H(). He quoiën H( + 1)/H() is dan een vas geal, de groeifacor g. Di verband word meesal geschreven als H ( + 1) = H ( ) g. He eerse groeimodel noemen we lineaire groei. He weede groeimodel leid o exponeniële groei. De groei van de lenge van een kind vanaf de derde o aan de waalfde verjaardag kan worden beschreven me he lineaire groeimodel. 125

3 Open Universiei Wiskunde voor milieuweenschappen VOORBEELD 4.1 Anneke heef de lenge van haar zoon Bar ieder jaar op zijn verjaardag gemeen. Daarbij heef zij genoeerd: leefijd lenge in cm In figuur 4.1 zijn deze meingen weergegeven als punen in een assenselsel. lenge (in cm) leefijd FIGUUR 4.1 De lenge van Bar op zijn derde /m waalfde verjaardag OPGAVE 4.1 (*) a Me hoeveel cm groei Bar gemiddeld per jaar? b Sel een formule op voor L, de lenge van Bar in cm als funcie van l, de leefijd van Bar in jaren. c Wa is, gele op de eks bij voorbeeld 4.1, he domein van deze funcie? En wa is he bereik? d Verklaar da er hier sprake is van lineaire groei. Lineaire groei VOORBEELD 4.2 Nuldeorde chemische reacie Een ander voorbeeld van lineaire groei zijn we egengekomen in voorbeeld 2.2. Bij deze nuldeorde chemische reacie was de concenraie ammoniak een lineaire funcie van de ijd en nam de concenraie iedere seconde me 2 mol/lier af. De concenraie in mol/l als funcie van de ijd in seconden werd gegeven door de formule f( ) = Merk op da hoewel hier sprake is van afname, we och spreken van een lineair groeimodel. Bij een lineair groeimodel pas een groeifuncie van de vorm H() = a + b. De verandering per ijdseenheid is dan consan: H( + 1) H( ) = ( a( + 1) + b) ( a + b) = a + a + b a b = a. Di is precies de richingscoëfficiën van de grafiek van H. Deze verandering kan zowel posiief zijn (d.w.z. een oenemende hoeveelheid) als negaief (d.w.z. een afnemende hoeveelheid). Aangezien we lineaire funcies al uigebreid besudeerd hebben in leereenheid 2, concenreren we ons in deze leereenheid verder op he weede groeimodel: exponeniële groei. In di groeimodel is de oename of de afname van een grooheid evenredig aan de al aanwezige hoeveelheid van die grooheid. 126

4 Leereenheid 4 Exponeniële groei In de wereld om ons heen zien we vele voorbeelden van exponeniële groei. Vanui een milieuweenschappelijk perspecief dragen we hieronder wee voorbeelden aan: een voor exponeniële oename (populaiegroei), en een voor exponeniële afname (radioaciviei). BOX 4.1 Populaiegroei Een van de bekendse voorbeelden van exponeniële groei is de groei van populaies van mensen en dieren. Sel da in een populaie ieder ouderechpaar zes nakomelingen produceer die zich op hun beur zullen reproduceren. Als we me 1 ouderpaar beginnen, dan verdrievoudig de populaiegrooe iedere generaie van 2, naar 6, 18, 54, 162 enzovoors, individuen in de volgende generaies. De groeisnelheid blijf dus sijgen naar gelang de grooe van de populaie. Zeker bij snelle voorplaning, de aanwezigheid van voldoende nauurlijke hulpbronnen, en in afwezigheid van nauurlijke vijanden kan populaiegroei dan ook flink ui de hand lopen. Bron: OU cursus Levensweenschappen 1: Evoluie (van Rhijn, 2009) Aandachsgebied: Populaiegroei, Dynamiek van ecosysemen BOX 4.2 Radioaciviei Radioaciviei is he fenomeen waarbij aomen vervallen in een andere aoomsoor of aoomoesand. Hierbij word sraling uigezonden in de vorm van deeljes, of elekromagneische sraling. He verschijnsel werd ondek door de fysicus Henri Becquerel (1895). Hij merke da een brok uraniumers een foografische plaa zwar maake. Kennelijk zond he ers sraling ui, vandaar da hij he woord radioaciviei inroduceerde. Men wee egenwoordig da de uraniumaomen in he uraniumers vervallen o horiumaomen. Hierbij worden zogenaamde alfadeeljes uigezonden. Da zijn in feie kale heliumkernen, besaande ui 2 proonen en 2 neuronen. Van belang is da de snelheid van he vervalproces en daarmee de inensiei van de alfasraling evenredig is aan de hoeveelheid overgebleven uraniumaomen in he uraniumers. In he geval van uranium gaa he vervalproces langzaam, maar gesaag. Na zo n 5 miljard jaar is de helf van he aanal uraniumaomen vervallen, waardoor ook de inensiei van de alfasraling zal zijn gehalveerd. Na nog eens 5 miljard jaar zal de helf van he reserende uranium alsnog zijn vervallen, waardoor wederom de sraling zal zijn gehalveerd, en ga zo maar door. De sralingsinensiei zal dus alijd blijven afnemen, maar de snelheid waarmee di gebeur neem ook af. Bron: OU cursus Nauurkunde voor milieuweenschappen (van Belleghem, 2012) Aandachsgebied: Radioaciviei BOX 4.3 Microbiële groei (voorbeeld van populaiegroei) Om een en ander concree e maken bekijken we de groei van een kweek baceriën als voorbeeld van populaiegroei. Baceriën zijn eencellige organismen. Zij vermeerderen zich door weedeling ofwel binaire splising. Di verschil van geslachelijke voorplaning, waar een ouderpaar een bepaald aanal nakomelingen produceer. De snelheid waarmee een populaie baceriën groei is dus uisluiend afhankelijk van de snelheid waarmee de weedeling plaasvind. 127

5 Open Universiei Wiskunde voor milieuweenschappen De duur van een volledige baceriedeling varieer serk en is afhankelijk van een aanal facoren, zoals he beschikbare voedsel en geneische facoren. De cyclus van E. coli, bijvoorbeeld, duur onder opimale omsandigheden ongeveer 20 minuen. De cyclus van groei en deling gaa door zolang de cellen zich in een omgeving bevinden waarin de noodzakelijke nuriënen in voldoende mae beschikbaar zijn en de omsandigheden (ph, emperauur, redoxcondiies) voor groei gunsig zijn. In deze zgn. exponeniële groeifase word de groei van de populaie baceriën omschreven door he exponeniële groeimodel. Hebben we aan he begin van de exponeniële groeifase een aanal van N cellen, dan zal na een zekere ijd he aanal cellen zijn verdubbeld o 2 N. Deze ijd noemen we dan ook de verdubbelingsijd. Bron: OU cursus Biologie van cellen (Middelbeek & Counoe-Poman, 1999) Aandachsgebied: Populaiegroei, Biologie van cellen VOORBEELD 4.3 Microbiële groei De E. coli-bacerie deel zich onder laboraoriumomsandigheden elke 20 minuen. Als we deze periode van 20 minuen als ijdseenheid nemen en saren me 1 cel = 1 bacerie op = 0, dan heef deze zich op = 1 gedeeld in wee baceriën. Deze wee baceriën hebben zich op hun beur weer gedeeld op = 2. Op da ijdsip zijn er dus 4 baceriën. OPGAVE 4.2 Microbiële groei Hoeveel baceriën zijn er in de groeisiuaie van voorbeeld 4.3 op = 3? En op = 4 en = 5? Hoeveel baceriën zijn er op = 10 en op = 15? OPGAVE 4.3 Microbiële groei Sel da we in voorbeeld 4.3 op = 0 al 1000 baceriën hebben. a Hoeveel baceriën zijn er dan op = 1, op = 2, op = 3 en op = 4? b Hoeveel baceriën zijn er dan op = 10 en op = 15? Bij de besudering van de groei van een kweek baceriën lig he meer voor de hand om ui e gaan van he gewich van de kweek en om di gewich op vase ijdsippen e meen. OPGAVE 4.4 Microbiële groei Sel da we voor een kweek baceriën de volgende meegegevens hebben: ijd gewich (in mg) a Me hoeveel mg neem he gewich oe in he eerse uur? En in he weede, derde, vierde en vijfde uur? b Hoe verhoud e oename van he gewich in een uur zich o he begingewich van da uur? c En hoe verhoud he gewich op een bepaald ijdsip zich o he gewich van één uur voor da ijdsip? 128

6 Leereenheid 4 Exponeniële groei In opgave 4.4a en b zien we da de oename in een bepaald uur evenredig is aan he begingewich van da uur. Di zouden we kunnen gebruiken om de hoeveelheid na da uur e berekenen, maar he is veel eenvoudiger om zoals in opgave 4.4c direc de verhouding ussen he gewich op een bepaald ijdsip en he gewich één uur voor da ijdsip e bepalen: als G () he gewich op ijdsip is, dan neem he gewich in he uur ussen ijdsip en ijdsip + 1 oe me 2 G (). Er geld dus G ( + 1) = G () + 2 G () = 3 G (). OPGAVE 4.5 Microbiële groei a Me welke facor moe he gewich op = 6 vermenigvuldigd worden om he gewich op = 7 e krijgen? b Bereken ook he gewich van deze kweek baceriën op = 8, = 9 en = Exponeniële oename en groeifacor In voorbeeld 4.3 en opgaven 4.2 /m 4.5 is de oename van he aanal baceriën c.q. van he gewich van de kweek evenredig aan he al aanwezige aanal/gewich. In opgave 4.2 en 4.3 verdubbel he aanal baceriën iedere 20 minuen. De oename in een zekere periode van 20 minuen is dus precies gelijk aan de beginhoeveelheid. In opgave 4.4 en 4.5 verdrievoudig he gewich ieder uur. De oename in een uur is dus wee keer he begingewich. In opgave 4.3 en 4.5 hadden we he aanal baceriën resp. he gewich van de kweek als volg kunnen berekenen: A (0) = 1000 G (0) = 50 A(1) = A(0) 2 = = 2000 G(1) = G(0) 3 = 50 3 = 150 A(2) = A(1) 2 = A(0) 2 2 = = 4000 G(2) = G(1) 3 = G(0) 3 3 = = 450 A(3) = A(2) 2 = A(0) 22 2 = = 8000 G(3) = G(2) 3 = G(0) 32 3 = = 1350 A(4) = A(3) 2 = A(0) 23 2 = = G(4) = G(3) 3 = G(0) 33 3 = = 4050 In opgave 4.3 krijgen we he aanal baceriën op ijdsip dus door he beginaanal keer e verdubbelen en in opgave 4.5 krijgen we he gewich van de kweek op ijdsip door he begingewich keer e verdrievoudigen. Di geef de formules: A ( ) = A(0) 2 = en G ( ) = G(0) 3 = 50 3 In de abel is ook duidelijk wa deze formules zouden moeen opleveren als we = 1 of = 0 invullen: = 1 : Volgens de formule geld A(1) = A(0) 21 = en G(1) = G(0) 31 = Di moe gelijk zijn aan A(1) = A(0) 2 = en G(1) = G(0) 3 = Hierui volg: 21 = 2; 31 = 3 en algemeen a1 = a. 129

7 Open Universiei Wiskunde voor milieuweenschappen = 0 : Volgens de formule geld A(0) = A(0) 20 = en G(0) = G(0) 30 = Di moe gelijk zijn aan A (0) = 1000 en G (0) = 50. Zo volg: 20 = 1; 30 = 1 en algemeen a 0 = 1. Zie ook appendix A, paragraaf A.7. De formules A ( ) = A(0) 2 = en G ( ) = G(0) 3 = 50 3 zijn dus ook geldig voor = 0 en = 1. In groeimodellen als die van opgave 4.2 /m 4.5 word de begin hoeveelheid ( A (0) resp. G (0) ) ook wel aangegeven me b. De facor waarmee we A () of G () moeen vermenigvuldigen om he aanal/he gewich op he volgende ijdsip e krijgen, word de groeifacor genoemd en aangegeven me g. In opgave 4.2 en 4.3 is de groeifacor gegeven doorda in voorbeeld 4.3 is aangegeven da he aanal baceriën om de winig minuen verdubbel. In opgave 4.4 en 4.5 moe de groeifacor ui de abel afgeleid worden. Deze is gelijk aan G(1)/G(0), aan G(2)/G(1) en algemeen aan G( + 1)/G(). He groeimodel van opgaven 4.2 /m 4.5 kan als volg worden samengeva: Groeifacor Als in een groeiproces de oename van de hoeveelheid H () evenredig is aan de al aanwezige hoeveelheid H (), dan kan H+ ( 1) berekend worden door H () e vermenigvuldigen me een vas geal g. Di geal hee de groeifacor van di groeiproces. De hoeveelheid op een willekeurig ijdsip kan dan ook direc berekend worden uigaande van b, de hoeveelheid op ijdsip = 0. Voor = 0 geld dan uieraard H(0) = b ( = b g0 ). Voor = 1 geld H(1) = H(0) g = b g ( = b g1). Voor = 2 geld H(2) = H(1) g = ( b g) g = b g2. Voor = 3 geld H(3) = H(2) g = ( b g2) g = b g3. Algemeen geld: H ( ) = H ( 1) g= bg 1 g= bg. Exponeniële groei Omda de invoervariabele hier in de exponen van de groeifacor saa, word deze vorm van groei exponeniële groei genoemd. Bij een exponenieel groeiproces is de verandering per ijdseenheid gelijk aan: H ( + 1) H () = H () g H () = ( g 1) H (). Deze verandering is dus evenredig aan de al aanwezige hoeveelheid H () me evenredigheidsfacor r = g 1. Bij exponeniële groei is de verhouding G( + 1)/G() consan. Deze verhouding is precies de groeifacor g. OPGAVE 4.6 Microbiële groei Bepaal de beginhoeveelheid b en de groeifacor g in voorbeeld 4.3 en in opgaven 4.3 en

8 Leereenheid 4 Exponeniële groei OPGAVE 4.7 (*) Een schip loos olie op zee. Op = 0 word de lozing vanui de luch ondek. Op da momen is 1,5 km 2 zeeoppervlak vervuild. Helaas duur he enige ijd voorda de marine bij he schip is. To die ijd kan men alleen de grooe van he veronreinigde oppervalk vanui de luch meen. Di doe men iedere 20 minuen. He resulaa van deze meingen zie u in de volgende abel. ijdsip (20 min.) (40 min.) (1 uur) (80 min.) (100 min.) (2 uur) vervuilde oppervlake (in km 2 ) 1, a Waarom is er hier sprake van een exponenieel groeimodel? b Bepaal de groeifacor over een periode van 20 minuen. c Bepaal ook de groeifacor over een periode van 1 uur. d Geef een funcievoorschrif voor V, he vervuilde zeeoppervlak in km 2, als funcie van de ijd. Neem daarbij 20 minuen als ijdseenheid. Neem aan da de marine he schip 3 uur nada de lozing ondek is, aanhoud. e Hoe groo is he vervuilde zeeoppervlak dan? 3 Exponeniële afname Formules van de vorm H () = bg kunnen ook onsaan als de beginhoeveelheid in de loop van de ijd afneem. BOX 4.4 Radioacief afval (voorbeeld van radioaciviei) Ongeveer ien procen van de elekriciei die we in Nederland gebruiken, is opgewek door een kerncenrale. Deze vorm van energie winning heef voordelen zoals de beperke uisoo van CO 2 maar er kleven ook nadelen aan. Een van de problemen is he afval, da gedurende een lange periode radioacief blijf. Hier bekijken we he laag-radioacieve afval da overblijf bij he winnen en verwerken van uraniumers o een bruikbare radioacieve uigangssof. Uraniumers beva doorgaans nie meer dan enkele ienden van procenen uranium. Bij uraniumwinning worden daarom groe hoeveelheden ers vermalen, waarbij de Uranium me zuur of base word geëxraheerd. He resan word geneuraliseerd en als een slibachig resproduc in reservoirs op locaie opgeslagen. In di resan zullen echer radioacieve elemenen overblijven, waaronder uranium en reacieve dochers (ofwel vervalproducen) hiervan. De sraling vanui he resan neem vervolgens over een lange ijdsduur geleidelijk af. He verval word hierbij gedomineerd door een radioacieve isooop van he elemen Thorium, he zogenaamde 230 Th. Deze isooop heef een halfwaardeijd van (afgerond) jaar. Bron: Clingendael Inernaional Energy Programme (2006), WISE Uranium projec (hp:// geraadpleegd 23 april 2012), Milieucenraal (hp://www. milieucenraal.nl/, geraadpleegd op 23 april 2012). Aandachsgebied: Radioaciviei, Radioacief afval 131

9 Open Universiei Wiskunde voor milieuweenschappen VOORBEELD 4.4 Radioacief afval Zie appendix B. He resan van uraniumwinning heef ypisch een aciviei van zo n 130 Bq per kg maeriaal. Bij een reservoir van een goede 3 miljoen on spreken we dus al gauw van een oale radioaciviei van MBq. Sel da op een zeker momen ( = 0 ) inderdaad een reservoir me een sraling van MBq overblijf na he verwerken van de uraniumers. Na jaar is de sraling dan nog MBq. En na jaar is de sraling nog MBq. De becquerel (Bq) is de SI-eenheid voor radioacieve sraling. Deze is gedefinieerd als he aanal aoomkernen da per seconde radioacief verval. OPGAVE 4.8 Radioacief afval Bekijk he radioacief verval ui voorbeeld 4.4. a Bereken de sraling in MBq na jaar en na jaar. Bij di proces pas ook een funcie me een funcievoorschrif van de vorm S () = b g, me als ijdseenheid de halfwaardeijd van jaar (dus = 1 na jaar, = 2 na jaar, = 3 na jaar en = 4 na jaar). b Bepaal b en g. c Zal de sraling ooi helemaal verdwijnen? En zal de sraling op een gegeven momen zo goed als verdwenen zijn? Hoe groo is bijvoorbeeld de sraling na jaar? BOX 4.5 Eerseorde chemische reacie In een eerdere oepassing (box 2.1) beschreven we al de nuldeorde chemische reacie A B+ C. Deze nuldeorde reacie is een vrij specifiek geval waarbij de reaciesnelheid onafhankelijk is van de concenraie van A. Bij een eerseorde chemische reacie is de reaciesnelheid evenredig aan de concenraie van A. Omda de concenraie van A afneem, neem de reaciesnelheid ook af. Een voorbeeld van een eerseorde scheikundige reacie is de zogenaamde eerseorde onledingsreacie, zoals de hieronder beschreven onleding van 1-chloorpropaan in propeen en waersofchloride. Overigens word ook radioacief verval in de scheikunde een eerseorde reacie genoemd. Bron: OU cursus Scheikunde voor Milieuweenschappen (Holkamp & van Wijnen, 2012) Aandachsgebied: Scheikunde, Reaciekineiek VOORBEELD 4.5 Eerseorde chemische reacie Een goed voorbeeld van een eerseorde scheikundige reacie is de onleding van 1 chloorpropaan in propeen en waersofchloride. Deze zgn. onledingsreacie word in (scheikundige) formulevorm beschreven als: CH 3 CH 2 CH 2 Cl CH 3 CH = CH 2 + HCl We bekijken een hoeveelheid in waer opgelos 1-chloorpropaan me een concenraie N van precies 1 mol / lier. Zodra de reacie op gang kom, meen we de verandering van de concenraie van de oorspronkelijke sof 1-chloorpropaan als funcie van de ijd. Voor een aanal ijdsappen zijn de waarden van N gegeven: ijdsip (in seconden) concenraie N() (in mol/lier) 1,000 0,707 0,500 0,250 0,125 0,

10 Leereenheid 4 Exponeniële groei OPGAVE 4.9 Eerse orde chemische reacie Bekijk de chemische reacie ui voorbeeld 4.5. a Me welke facor moeen we N (0) vermenigvuldigen om N (1) e krijgen? b Vermenigvuldig N (1) me he anwoord van vraag a. Krijg u precies N (2) ui de abel? Zo nee, waarom nie? c Bij di proces pas ook een funcie me een funcievoorschrif van de vorm H () = bg Bepaal b en g en conroleer da de overige abelwaarden bij deze formule passen. d Zal he 1-chloorpropaan ooi helemaal verdwijnen? En zal de concenraie op een gegeven momen zo goed als 0 zijn? We zien dus da ook bij exponeniële afname de hoeveelheid H () gegeven word door een formule van de vorm H() = b g. De groeifacor g is nu kleiner dan 1. Omda H ( + 1) = H ( ) gen g < 1, geld H ( + 1) < H ( ). 4 Procenuele oename en afname Groei word ook vaak uigedruk in een groeipercenage. Ook dan kunnen we he groeiproces weergeven me een formule van de vorm H () = bg. BOX 4.6 Bevolkingsgroei (voorbeeld van populaiegroei) Ook de groei van de menselijke bevolking verloop vaak exponenieel. Zo lig de jaarlijkse groei sinds 1960 van de Nederlandse bevolking ussen de 0% en 1.5%, en van de wereldbevolking ussen de 1 en 2%. Zuivere exponeniële groei vind plaas wanneer he groeipercenage consan is. Bij bovengenoemde voorbeelden is da nie he geval: de groei word seeds minder ussen 1960 en In een land als Oeganda lig de jaarlijkse bevolkingsgroei echer op een relaief hoog en consan niveau van 3%. Bron: OU cursus Ecosysems and human well-being (de Kraker, 2007), World Developmen Indicaors (hp://daabank.worldbank.org, geraadpleegd op 24 april 2012) Aandachsgebied: Populaiegroei, Bevolkingsgroei OPGAVE 4.10 Bevolkingsgroei In januari 1960 had Oeganda 6,8 miljoen inwoners. He aanal inwoners van Oeganda nam volgens bovensaande ussen 1960 en 2010 oe me 3% per jaar. Neem in deze opgave aan da di percenage juis is. a Hoeveel inwoners kreeg Oeganda er bij in 1960? Hoeveel inwoners had Oeganda dus in januari 1961? b Hoeveel inwoners kreeg Oeganda er bij in 1961? Hoeveel inwoners had Oeganda dus in januari 1962? Als we de bevolkingsgroei van Oeganda in de res van de periode willen besuderen, kunnen we nauurlijk op de manier van opgave 4.10 verder rekenen. Dan rekenen we per jaar eers ui hoeveel inwoners er bij komen (3% van he aanal inwoners aan he begin van he jaar) en ellen we di op bij he aanal inwoners aan he begin van he jaar. Als we he aanal inwoners aan he begin van jaar aangeven me A (), dan geld dus voor he aanal inwoners aan he begin van he volgende jaar: A+ ( 1) = (3% van A()) + A (). 133

11 Open Universiei Wiskunde voor milieuweenschappen Di kunnen we ook zó uirekenen: A ( + 1) = 0,03 A () + A () = (0,03+ 1) A () = 1,03 A () = A ()1,03 Als we = 0 nemen in 1960, dan volg dus: jaar A() (in miljoenen) 6,8 A(0) 1,03 = 6,8 1,03 = 7,004 A(1) 1,03 = A(0) 1,03 1,03 = 6,8 1,03 2 = 7,21412 A(2) 1,03 = A(0) 1,03 2 1,03 = 6,8 1,03 3 7, A(0) 1,03 = 6,8 1,03 Een groeiproces me een oename van 3% (per jaar) kom dus overeen me een groeiproces me een groeifacor van 1,03 (over een jaar). OPGAVE 4.11 Bevolkingsgroei De formule A ( ) = A(0) 1, 03 = , 03 gaa er van ui da Oeganda in 1960 precies 6,8 inwoners had en da di aanal ieder jaar me precies 3% oegenomen is. In de prakijk is de bevolkingsoename nauurlijk nie precies volgens deze formule verlopen. De werkelijke aanallen voor de jaren 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 en 2010 vind u in de abel hieronder, afgerond op honderdduizenden. jaar aanal inwoners (in miljoenen) 6,8 9,4 12,7 17,7 24,2 33,4 a Bereken he aanal inwoners van Oeganda in januari 1970 volgens de formule A ( ) = 6,8 1,03. Bedenk daarbij da = 0 in Hieronder zie u een Maxima-uivoer waarin eers he funcievoorschrif word ingevoerd voor een willekeurig groeipercenage p (%i1). Vervolgens krijg p de waarde 3 (le op: we kennen een waarde oe aan een variabele me een dubbele pun). Daarna worden A (0), A (10), A (20), A (30), A (40) en A (50) berekend. b Me welke jaren ui de abel hierboven corresponderen deze waarden van A? c Wa val u op als u de waarden ui de Maxima-uivoer vergelijk me de waarden in bovensaande abel? 134

12 Leereenheid 4 Exponeniële groei OPGAVE 4.12 MAXIMA In opgave 4.11 zien we da he groeipercenage van de bevolking in Oeganda och blijkbaar ies hoger is dan de 3% die in de lierauur vermeld word. Om een schaing e maken van he werkelijke groeipercenage van de bevolking van Oeganda, maken we een aanal berekeningen in Maxima. a Produceer de Maxima-uivoer in opgave 4.11 ook zelf. b Klik op regel (%i2) en vervang deze door p:4. Klik vervolgens op regel (%i3) en druk op <shif><ener>. Zo worden A (0), A (10), A (20), A (30), A (40) en A (50) opnieuw berekend. Ga na da he groeipercenage kleiner is dan 4. c Herhaal vraag b me p:3.2, p:3.21, p:3.22 en p:3.23. Ui opgaven 4.11c en 4.12b is duidelijk da he werkelijke groeipercenage van de bevolking van Oeganda ergens ussen 3% en 4% lig. In opgave 4.12c zien we da di percenage vrijwel 3,23% is. He aanal inwoners van Oeganda word dus goed benaderd door de formule A ( ) = 6,8 1,0323 ( in jaren, = 0 in 1960). OPGAVE 4.13 Bevolkingsgroei a Me hoeveel procen neem he aanal inwoners van Oeganda volgens bovensaande formule oe in 10 jaar? b In hoeveel jaar verdubbel he aanal inwoners van Oeganda volgens deze formule? VOORBEELD 4.6 He sandaardvoorbeeld van procenuele groei is een kapiaal da egen een vase rene op een bankrekening saa. Als de rene jaarlijks bijgeschreven word op deze rekening en er verder geen geld bijgesor of afgehaald word, neem he saldo van deze rekening me een vas percenage oe. OPGAVE 4.14 (*) Pera heef eind 2009 op haar 45 se verjaardag een leuke prijs gewonnen in de loerij en zij heef besloen om van die prijs 1 miljoen euro vas e zeen op een bankrekening. Deze ransacie is op 1 januari 2010 uigevoerd en he vase jaarlijkse renepercenage bedraag 5%. De rene word ieder jaar op 1 januari bijgeschreven. a Hoeveel bedraag he saldo van deze bankrekening in 2011, dus nada er één keer rene is bijgeschreven? b En hoeveel bedraag he saldo in 2012? c Geef de groeifacor van he saldo van de bankrekening en geef een formule die he saldo van de bankrekening geef als funcie van de ijd in jaren ( = 0 in 2010). In 2035 is Pera 70 jaar en beslui zij he geld van deze bankrekening op e nemen als aanvulling op haar pensioen. d Hoe groo is he saldo op deze bankrekening na de renebijschrijving van 1 januari 2035? e In hoeveel jaar verdubbel he saldo op een bankrekening waarop jaarlijks 5% rene word bijgeschreven (en verder geen geld word bijgesor of afgehaald)? 135

13 Open Universiei Wiskunde voor milieuweenschappen Samengeva: Als een grooheid me een vas percenage p per ijdseenheid oeneem, dan groei deze grooheid exponenieel me groeifacor g = 1 + p/100. De groeifuncie is dan p H () = b Ook als een grooheid afneem me een vas percenage per ijdseenheid, onsaa een exponeniële groeiformule. BOX 4.7 Overbevissing Groeiende bevolking en daarmee een groeiende consumpie kan een flinke inbreuk maken op onze nauurlijke hulpbronnen. Een voorbeeld hiervan is overbevissing. Elk jaar worden vissen geboren en zullen vissen serven, bijvoorbeeld door visvangs. Is geboore en serfe even groo, dan is de vispopulaie in evenwich. Zij blijf consan. Bij overbevissing echer, is de serfe groer dan de geboore en neem de populaie dus elk jaar af. Sel bijvoorbeeld, da de geboore elk jaar 10% bedraag van de dan aanwezige populaie vis. De visvangs echer, is hoger: elk jaar 20% van de aanwezige hoeveelheid vis. He verschil ussen he geboore- en serfecijfer geef dan aan hoeveel de populaie jaarlijks groei of daal. In di geval dus een daling van 10% per jaar. Bron: OU cursus Ecosysems and human well-being (de Kraker, 2009) Aandachsgebied: Visserij, Dynamiek van ecosysemen, Nauurlijke hulpbronnen OPGAVE 4.15 Overbevissing Neem aan da in een bepaald zeegebied de haringsand op = 0 gelijk aan on is en da de populaie door overbevissing afneem me 10% per jaar. a Me hoeveel on neem de haringsand af ussen = 0 jaar en = 1 jaar? b Wa is dus de haringsand op = 1 jaar? c Bereken op dezelfde manier de haringsand in di zeegebied op = 2 jaar. OPGAVE 4.16 Overbevissing Me hoeveel procen neem de haringsand in di zeegebied af ussen = 0 jaar en = 2 jaar? De haringsand op = 3 jaar en op = 4 jaar kunnen we vinden door op de manier van opgave 4.15 verder e rekenen. We kunnen ook eers een formule afleiden warmee we deze hoeveelheden direc kunnen berekenen. Bekijk daarvoor de sappen van de berekening in opgave We berekenen A+ ( 1) door 10% van A () e nemen en di af e rekken van A (). Er geld dus: A ( + 1) = A () 0,1 A () = 1 0,1 A () = 0,9 A () = A ()0,9. ( ) Me A (0) = volg dan: A() A(0) 0,9 = ,9 = A(1) 0,9 = A(0) 0,9 0,9 = ,9 2 = A(2) 0,9 = A(0) 0,9 2 0,9 = ,9 3 = A(0) 0,9 = ,9 136

14 Leereenheid 4 Exponeniële groei Een groeiproces me een afname van 10% (per jaar) kom dus overeen me een groeiproces me een groeifacor van 0,9 (over één jaar). Merk op da de groeifacor gelijk is aan 1 10/100. Algemeen geld: p Bij een afname me p% hoor een groeifacor van OPGAVE 4.17 Overbevissing a Bereken de haringsand volgens bovensaand model op = 10. b In welk jaar zal de haringsand volgens di model voor he eers onder de on zijn? OPGAVE 4.18 Overbevissing Er word een vangsquoum ingeseld van on. Deze maaregel gaa echer pas in op = 2. Neem aan da de haringsand zonder bevissing me 10% per jaar zou oenemen. a Leg ui da de haringsand voor = 3 dan gegeven word door A(3) = 1,1 A(2) b Bereken voor deze siuaie de haringsand op = 3, = 4 en = 5. c Hoe groo moe he vangsquoum zijn om e bereiken da de haringsand na = 2 weer oeneem? OPGAVE 4.19 (*) Paul heef eind 2009 ook een prijs gewonnen in de loerij. Hij heef daarvan ook 1 miljoen euro op een bankrekening geze, maar hij laa de rene (5%) ieder jaar direc uibealen en hij neem ook ieder jaar op 1 januari 5% van he uisaande saldo op, voor he eers op 1 januari a Hoeveel bedraag he saldo op deze rekening op 31 december 2011? b Welk bedrag onvang Paul dus in oaal op 1 januari 2012? Jan reken Paul voor da 5% gelijk is aan 1 winigse deel, dus da hij na 20 jaar al he geld van deze rekening heef opgenomen. c Waarom klop deze redenering nie? De redenering van Jan kan ook onkrach worden door he saldo e berekenen nada Paul 20 keer een opname heef gedaan, da is dus na de opname van 1 januari d Bereken de groeifacor over één jaar van he saldo op de rekening van Paul. e Ga na da he saldo na de geldopname van 1 januari 2030 gegeven word door S (20) = , 9520 en bereken di saldo. Aangezien de rene op de rekening van Paul 5% per jaar is, onvang hij elk jaar in oaal 10% van he uisaande saldo, Om zijn inkomen aan e vullen, heef hij minimaal euro per jaar nodig. f In welk jaar onvang Paul voor he eers minder dan euro van deze rekening? Samenvaing Lineaire groei Exponeniële groei Bij lineaire groei is de oename (of afname) per ijdseenheid van een grooheid H consan. De groeifuncie word gegeven door H() = a + b, waarin b= H(0). Bij exponeniële groei is de oename (of afname) van een grooheid H evenredig aan de al aanwezige hoeveelheid. De groeifuncie word gegeven door H () = bg, waarin b= H(0). De vermenigvuldigingsfacor g hee de groeifacor. 137

15 Open Universiei Wiskunde voor milieuweenschappen Exponeniële groei kan worden beschreven door he explicie geven van de groeifacor (verdubbeling, verdrievoudiging, halvering) he geven van een abel me funciewaarden, waarbij er een vase verhouding besaa ussen H () en H+ ( 1). De groeifacor is dan g = H( + 1)/H(). he geven van een percenage waarmee de hoeveelheid oeneem of afneem. Bij een oename me p% is de groeifacor gelijk aan g = 1 + p/100; bij een afname me p% is de groeifacor gelijk aan g = 1 p/100. Bij exponeniële groei word de ijdseenheid vaak zo gekozen, da de gegevens gemakkelijk veraald kunnen worden naar een groeiformule. ZELFTOETS 1 a Voor een lineair groeiproces is gegeven: H (0) = 15 en H (1) = 20. Sel een formule op die de hoeveelheid H geef als funcie van de ijd. b Voor een exponenieel groeiproces is gegeven: H(0) = 15 en H(1) = 20. Sel een formule op die de hoeveelheid H geef als funcie van de ijd. c Voor een lineair groeiproces is gegeven: H (1) = 20 en H (2) = 25. Sel een formule op die de hoeveelheid H geef als funcie van de ijd. d Voor een exponenieel groeiproces is gegeven: H(1) = 20 en H(2) = 25. Sel een formule op die de hoeveelheid H geef als funcie van de ijd. 2 He gewich van een kweek baceriën is op = 0 gelijk aan 350 milligram. He gewich van deze kweek groei me 2% per uur. a Bereken he gewich van deze kweek op = 2 uur. b Me hoeveel procen groei he gewich van deze kweek per dag? 3 He aanal inwoners van Groeisad was in 2010 gelijk aan Di aanal neem oe me 15% per jaar. a Bereken he aanal inwoners van Groeisad in b In welk jaar heef Groeisad voor he eers meer dan inwoners? 4 He aanal inwoners van Leegloopdorp was in 2010 gelijk aan Di aanal neem af me 7% per jaar. a Bereken he aanal inwoners van Leegloopdorp in b In welk jaar heef Leegloopdorp voor he eers minder dan inwoners? 5 De Algemene Bank bied 1% rene per maand op een spaarrekening. De rene word maandelijks aan he saldo oegevoegd. De Volksbank bied 13% rene per jaar. Bij welke bank zou u uw spaargeld inleggen? BOX 4.8 Bevolkingsgroei in New Towns Na de Tweede Wereldoorlog werd besloen om de bevolkingsgroei van de regio Londen op e vangen door een ring van voorseden rond Londen e bouwen, de zogenaamde New Towns. Meesal werd zo n New Town onwikkeld rond een besaande kleine sad, of werden een aanal dorpen samengevoegd en uigebouwd o een nieuwe sad. In Nederland vond er vanaf de jaren 60 van de vorige eeuw een vergelijkbare 138

16 Leereenheid 4 Exponeniële groei onwikkeling plaas in seden als Purmerend en Nieuwegein. Eén van de New Towns bij Londen is Milon Keynes, waar he hoofdkwarier van onze collega s van de Brise Open Universiy is gevesigd. Bron: Wikipedia (hp://nl.wikipedia.org/wiki/milon_keynes, geraadpleegd op 23 april 2012) 6 De (ficieve) sad Calculus is in 1955 officieel ingewijd als New Town. De onwikkeling van he aanal inwoners van Calculus /m 1970 is weergegeven in ondersaande abel. jaar aanal inwoners a Pas er bij deze abel een lineair groeimodel? Zo ja, bereken dan he aanal inwoners volgens di model in Zo nee, leg ui waarom nie. b Pas er bij deze abel een exponenieel groeimodel? Zo ja, bereken dan he aanal inwoners volgens di model in Zo nee, leg ui waarom nie. 7 Onze New Town Calculus had in 1975 zijn geplande maximale inwoneraanal van bereik. Vanaf die ijd werden er geen woningen meer bijgebouwd en omda de gemiddelde gezinsgrooe (he aanal inwoners per woning) afnam, nam he aanal inwoners van Calculus vanaf 1975 ook geleidelijk af: jaar aanal inwoners a Pas er bij deze abel een lineair groeimodel? Zo ja, bereken dan he aanal inwoners volgens di model in Zo nee, leg ui waarom nie. b Pas er bij deze abel een exponenieel groeimodel? Zo ja, bereken dan he aanal inwoners volgens di model in Zo nee, leg ui waarom nie. 139

17 Open Universiei Wiskunde voor milieuweenschappen erugkoppeling 1 Uiwerking van de opgaven 4.1 a In 9 jaar word Bar 45 cm langer, da is dus gemiddeld 5 cm per jaar. b De richingscoëfficiën is 5, dus L = 5 l + b. Als l = 3, dan is L = 100, dus 100 = b = 15 + b. Hierui volg da b = 85 en L = 5 l c He domein is [3, 12] en he bereik [100, 145]. d Ieder jaar is de oename even groo. Da verband kunnen we weergeven me een lineaire funcie, zoda we spreken van lineaire groei. 4.2 Op = 2 zijn er 4 baceriën. Op = 3 dubbel zoveel, dus 8. Op = 4 zijn er 16 en op = 5 zijn er 32. Vervolgens gaa he hard. Doorrekenen geef da op = 10 er 1024 baceriën zijn en op = 15 zijn da er a Op soorgelijke wijze als in opgave 4.2 berekenen we da he aanal baceriën op = 1 gelijk is aan Op = 2 zijn er 4000 en op = 3 zijn er Op = 4 zijn er Op ieder ijdsip zijn er 1000 keer zoveel. b Ook op = 10 en =15 zullen er 1000 keer zoveel zijn, dus op = 10 zijn er , en op = 15 zijn er a De oename in mg in he eerse uur is 150. Vervolgens 300, 900, 2700, 8100, b In een uur is de oename seeds wee keer he begingewich. c Tussen wee opeenvolgende ijdsippen neem he gewich seeds me een facor 3 oe. 4.5 a We moeen me een facor 3 blijven vermenigvuldigen, dus he gewich op = 7 is b Seeds vermenigvuldigen me 3 geef , , en In voorbeeld 4.3 is de beginhoeveelheid b op = 0 gelijk aan 1. De groeifacor is 2. In opgave 4.3 is de beginhoeveelheid op = 0 gelijk aan 1000 en de groeifacor is 2. In opgave 4.4 is de beginhoeveelheid 50 en de groeifacor is a Iedere 20 minuen verdubbel de oppervlake, de groeifacor is consan en er is dus exponeniële oename. b De groeifacor is 2. c Na een uur is de oppervlake 8 keer zo groo, dus dan is de groeifacor 8. d De beginhoeveelheid is 1,5, de groeifacor is 2, dus he funcievoorschrif is V() = 1,5 2. e Na 3 uur is = 9, en he oppervlak is V(a) = 1,5 2 9 = 1,5 512 = 768 km 2 (in de veronderselling da de oppervlake seeds blijf verdubbelen). 4.8 a Na nog eens jaar is de sraling weer gehalveerd, dus MBq. Na nog wee periodes is he MBq. b b = ; g = ½. c De sraling zal nooi helemaal verdwijnen; alijd blijf de helf over. Na is = 10 en de sraling gelijk aan (½) 10 = / MBq. 140

18 Leereenheid 4 Exponeniële groei 4.9 a De facor is N(1)/N(0) = 0,707. b N(1) 0,707 = 0,707 0,707 = 0, Di is nie precies gelijk aan N(2). Omda we me meefouen en afrondingseffecen e maken hebben, is er enig verschil. c Omda geld H(0) = b = 1, vinden we direc b = 1. Voor = 2 vinden we: H(2) = b g 2 = g 2 = 0,5 = ½. Dus g 2 1 = ½, ofwel g = 1 2 = 2. 2 d Omda de concenraie seeds halveer, blijf er seeds wa over, en zal de sof nooi helemaal verdwijnen (maar wel ooi zo goed als 0 zijn) a 3% van 6,8 miljoen is inwoners komen er in 1960 bij. Op 1 januari 1961 waren er dus ongeveer 7 miljoen inwoners. b 3% van 7 miljoen is inwoners. Op 1 januari 1962 waren er dus ongeveer 7,2 miljoen inwoners a We berekenen A() = 6,8 1,03 voor = 10: A(10) = 6,8 1, ,139. b De waarden corresponderen precies me de waarden ui de abel, immers de oupu bij (%08) is nu 50 jaar, dus in c De Maxima-waarden zijn allemaal lager. Blijkbaar is he groeipercenage hoger dan 3% U kun de Maxima-uivoer zelf produceren a We berekenen 1, ,374. In 10 jaar neem de bevolking dus oe me ongeveer 37%. b Enig uiproberen geef da 1, ,01. In ongeveer 22 jaar verdubbel he aanal inwoners van Oeganda a Na 1 jaar word euro bijgeschreven en he saldo is dan euro. b Nu is 5% rene van he saldo gelijk aan Na 2 jaar is he saldo euro. c De groeifacor is 1,05 en he funcievoorschrif is (1,05). d Op 1 januari 2035 geld = 26. He saldo is dan (1,05) 26 = ,69. e Enig uiproberen geef (1,05) 14 1,98. He saldo verdubbel dus in ongeveer 14 jaar a 10% van on is on. b Op = 1 is de haringsand on. c Nu is 10% van on gelijk aan on. Op = 2 is de haringsand on De afname is on, da is 19% van a Op = 10 en me p = 0,9 geld A(10) = (0,9) 10 = on. b Enig uiproberen laa zien da bij = 16 de haringsand voor he eers onder de on is a De groei is 10%, dus zonder bevissing zou de haringsand op = 3 gelijk zij aan 1,1 A(2). Er word echer on gevis, dus A(3) = 1,1 A(2) b Op = 2 is A(2) = Nu volgen: A(3) = 1, = A(4) = 1, = A(5) = 1, = c Om groei e bereiken mag er nie meer gevis worden dan de geboore. De geboore is 10% en op = 2 is da on. De haringsand neem 141 oe als he vangsquoum kleiner is dan on.

19 Open Universiei Wiskunde voor milieuweenschappen 4.19 a De rene word nie bijgeschreven en in 2011 word 5% opgenomen. 5% is euro, dus eind 2011 saa er nog euro op de rekening. b 5% rene van euro is euro. Als hij ook 5% opneem, dan onvang hij dus euro. c Hij neem seeds 5% op van he bedrag da er nog saa. Da word seeds minder en daarvan zal er na 20 jaar nog geld op de rekening saan. d Paul neem seeds 5% op, dus de groeifacor is 0,95. e De beginwaarde is en de groeifacor is Er geld dus S() = (0,95) en S(20) = , Di is gelijk aan euro. f Paul onvang minder dan euro als he saldo onder de euro kom, ofwel zodra 0,95 kleiner is dan 0,1. Di is he geval voor = Anwoorden op de zelfoes 1 a Per ijdseenheid is de groei gelijk aan 5. De formule is dus H() = 5 + b. Me H(0) = 15, volg da 15 = b, dus H() = b De groeifacor is 20/15 = 4/3. De formule is nu H() = b g = 15 (4/3). c De formule in onderdeel a heef als resulaa H(1) = 20 en H(2) = 25. De formule blijf dus gelijk. d De groeifacor is nu 25/20 = 5/4. Omda H(1) = 20 volg b g = 20 ofwel b = 20/g = 20/(5/4) = 16. De formule word dus H() = 16 (5/4). 2 a He gewich zal gelijk zijn aan 350 (1,02) 2 = 364,14. b De groeifacor is 1,02 per uur. In 24 uur is de groeifacor (1,02) 24 1,61. De groei per dag is dus ongeveer 61%. 3 a Er geld (1,15) 10 4, He aanal inwoners in 2020 is b Er geld (1,15) 5 2,011. Na 5 jaar is he aanal inwoners voor he eers meer dan a De groeifacor is 0,93. Er geld ,93 10 = b Na 9 jaar is he aanal inwoners nog meer dan Na 10 jaar is he voor he eers minder. 5 Een rene van 1% geef een groeifacor van 1,01. Omda 1, ,127 is he renepercenage op jaarbasis ongeveer 12,7%. De Volksbank bied me 13% meer rene. 6 a De oename in iedere periode van 5 jaar is respecievelijk , en Di is nie een consane oename, dus er is nie sprake van een lineair groeimodel. b De groeifacor in de periodes is seeds 1,5. Er is dus exponeniële groei. In 1975 is he aanal inwoners ,5 = a De afname in de opeenvolgende periodes was , en Deze aanallen zijn nie helemaal gelijk, maar wel bijna. Gemiddeld is de afname per periode. In 2010 zijn er vier periodes versreken, dus he inwoneraanal is dan = b De groeifacor in de opeenvolgende periodes is 0,950, 0,943 en 0,942. Deze zijn ongelijk en de groei (afname) is nie ech exponenieel. Als we zouden rekenen me een groeifacor van 0,945 dan is he aanal inwoners in 2010 gelijk aan (0,945)

20